Интегральные операторы и пространства измеримых векторнозначных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

Глава 0. Предварительные сведения

§1. Идеальные пространства измеримых функций.

§2.Исчисление порядково ограниченных операторов

§3.Измеримые вектор-функции.

Глава I. Интегральное представление операторов

§1.Критерий интегральной представимости линейных операторов

§2.Доказательство критерия интегральной представимости

§3.Приложения к представлению нелинейных интегральных операторов Урысона.

§4.Пространства со смешанной нормой и обобщённая теорема

Колмогорова - Нагумо

§5.Интегральное представление некоторых классов линейных операторов.

Глава П. Пространства измеримых вектор-функций.

§1.Основные определения. Простейшие свойства.

§2.Функционалы на пространствах вектор-функций.

§3.Общие теоремы о непрерывности операторов в пространствах вектор-функций.

§4.Плотность конечнозначных функций в пространствах вектор-функций.

§5.Обобщённая теорема Иосиды - Хьюитта.

§6.0 выпуклых множествах, замкнутых относительно сходимости по мере.

§7.Свойство Радона - Никодима в пространстве Е(Х).

Глава Ш. Интерполяция линейных операторов в пространствах вектор-пункций и приложения к изучению пространств функций многих переменных.

§1.Комплексный метод интерполяции линейных операторов в пространствах вектор-функций.

§2.Другие методы интерполяции линейных операторов в пространствах вектор-функций.

§3.Интерполяция сублинейных операторов с приложениями к оценкам максимальных функций в пространствах со смешанной нормой

§4.Сингулярные интегральные операторы в пространствах вектор-функций.

Изучение интегральных операторов, т.е. операторов, действующих по формуле

1ф( СМ*, «) где интеграл понимается в смысле Лебега, началось одновременно с возникновением функционального анализа (Вольтерра, Гильберт, Карлеман и др.). Тем не менее, задачи об описании их свойств и выявлении интегральных операторов в более общих совокупностях операторов остаются актуальными, что показывает поток журнальной и монографической литературы (отметим Красносельский и др.[з], Коротков[4,?] , Халмош и Сандер[1]). В недавней монографии Халмош и Сандер[1] пишут во введении (стр.У1): "Почему мы изучаем интегральные операторы? .возможный ответ заключается в том ., что теория интегральных операторов является первопричиной всего современного функционального анализа и остаётся и сегодня богатым источником нетривиальных примеров. Основное внимание в книге уделено важнейшим связям, на которых основан цредмет. Какие операторы могут быть представлены как интегральные операторы? -такие проблемы являются центральными."

Пространства измеримых вектор-функций со значениями в (бесконечномерном) банаховом пространстве (БП) начали встречаться в математической литературе с начала 1930-х годов (Бохнер, И.М. Гельфанд, Данфорд, Л.В.Канторович, Филлипс). С тех пор пространства измеримых вектор-функций нашли себе применение во многих областях математического анализа и смежных дисциплин: в теории дифференциальных уравнений (см., например, Массера и Шефер[1], где при исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений в ЕЛ использованы пространства вектор-функций весьма общего вида; в теории уравнений в частных производных применения связаны как с абстрактными уравнениями в БП, так и с некоторыми классами задач для уравнений с обычными числовыми функциями, см. Соболев^]), во многих методах построения интерполяционных цростарнств (Лионе и Петре ¡д] , Крейн и др. [1]), в теории вероятностей (например, в теории случайных процессов; огромное количество работ посвящено законам больших чисел, центральной предельной теореме, мартингалам для случайных величин, принимающих значения в БП), в выпуклом анализе и оптимизации. Особенно много работ связано с аналитическим представлением векторных мер и линейных операторов. При аналитическом представлении пространства вектор-функций выступают в качестве пространств ядер.

В 1928 году на Международном математическом конгрессе в Болонье Ф.Рисс[1] предложил исчисление для непрерывных линейных функционалов в пространстве непрерывных функций С [ 09 { ] . Это исчисление позволило вычислять модуль, положительную и отрицательную компоненты функционалов, которые по своим свойствам во многом аналогичны обычным модулю, положительной и отрицательной компонентам числовой функции. Построения Ф.Рисса опирались на рассмотрение естественного поточечного отношения порядка между функциями в С [0,1] . В 1930-х годах Л.В.Канторович (см., например, итоговую работу Канторович[*]) в рамках построения общей теории векторных решёток (абстрактных пространств с "хорошим" отношением порядка) развивает исчисление линейных порядково ограниченных операторов и функционалов в них, очень частным случаем которого является конструкция Ф.Рисса. Тогда же он применяет его к решению абстрактных функциональных уравнений. Далее, вплоть до рубежа 1960-х - 1970-х годов, построенное исчисление операторов было мало связано с приложениями в других областях анализа (исключение составляет интересный подход к спектральной теории самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве, см. ВулихЩ, глава И, который, однако, не привёл к получению новых результатов). Б последнее время положение в существенном изменилось: по-видимому, одним из первых результатов такого сорта была теорема 1ЛЛ - критерий интегральной представимости операторов в , один из основных результатов диссертации (см. также, например, решение проблемы Б.Саймона мажорации компактных операторов в Доддс и Фремлин[1], исследования по выпуклому анализу, см. Акилов и КутателадзеЩ).

Основная цель работы - решение проблемы интегральной представимости операторов и построение теории пространств измеримых векторнозначных функций и их приложений на основе самого исчисления порядково ограниченных операторов и функционал) в и на основе идей, связанных с этим исчислением, в тех случаях, когда оно само принципиально неприменимо.

Прежде, чем переходить к обзору основных результатов, дадим некоторые общие мотивировки, связанные с предметом исследования и принятой в работе общностью. Если X - БП, то хорошо известно БП 1!(Х) » состоящее из всех измеримых функций | : Т—X таких, что у

1 ОО .

Всё внимание уделено специфичности векторнозначного случая, которая, как правило, сказывается уже в самой постановке задачи и уж, конечно, - в доказательстве. Отметим, что до последнего десятилетия почти все исследования пространств 1Г(Х) основывались на аналогии со скалярным случаем (см. Данфорд и Шварц[1]); трудности возникали, в основном, при описании сопряженного 1Г(Х) .

В £970-х годах целым рядом авторов были получены трудные специфические результаты в теории пространств [Г (X) - црежде всего в их банаховой теории (Пизье[2,3^ Хоффманн-Юргенсен [1,2], Фи-гель[1], Бургейн[к,2~\ и др.), где одним из важнейших методов оказался метод случайных рядов с коэффициентами из БП (см. КаханЩ). Автор с помощью своих методов, кроме геометрических задач, исследовал ряд других задач: общее описание сопряжённого пространства (когда есть функционалы, недопускающие интегрального представления) , интерполяцию линейных и нелинейных операторов в пространствах вектор-функций, приложения к пространствам дифференцируемых функций многих переменных, условия действия в 1Г(Х) векторноР значных расширений операторов в ь и др. Все эти различные вопросы объединены общностью метода исследования (хотя, конечно, используются и традиционные методы теории функций, БП и т.д.).

Кроме возможности построения специфической нетривиальной теории, пространства вектор-функций привлекают к себе внимание приложениями к задачам, которые по своим формулировкам с вектор-функциями не связаны. Это прежде всего приложения к изучению пространств измеримых функций со смешанной нормой и операторов в них, к изучению пространств дифференцируемых функций многих переменных. В последнем случае речь идёт о рассмотрении пространств с доминирующей смешанной производной и пространств Бесова обычных числовых функций (этот материал изложен в главеШ).

Подчеркнём, что наши исследования относятся к случаю, когда )( - бесконечномерное БП; кроме того, некоторая часть проблематики отпадает и в случае, когда X - гильбертово пространство (это касается воцроса о непрерывности векторнозначных расширений).

Результаты излагаются, как правило, не для 1Г и 1Р(Х) . а для более общего случая Е. и , где - банахово идеальное цространство (БИЛ) на пространстве с мерой (% 21^) . Отсылая за точным определением БИЛ к главе 0, подчеркнём, что выбранная степень общности связана с желанием охватить все различные конкретные пространства измеримых функций, к которым, кроме I? , применима развиваемая теория. Каждый из основных реР зультатов является новым, если не для Ь , то для одного из важнейших классов конкретных пространств: Орлича И^ , Марцин-кевича Лоренца . Все перечисленные пространства являются симметричными (СП). Мы в большинстве результатов не предполагаем симметричность Е- , позволяя, тем самым, охватить случай весовых пространств и пространств со смешанной нормой

I Р типа известных пространств ц, , встречающихся при построении нормы в изотропных и анизотропных пространствах Соболева, Никольского , Бесова. Желание привлечь в таком контексте общие нормы встречается и у специалистов по теории функций (см., например, Кальдерон[1], Головкин[1,2], Бесов[2,3^. Рассмотрение же общих цространств с мерой нам удобно для того, чтобы охватить одновременно случаи меры Лебега в областях разной размерности (как ограниченных, так и неограниченных), весовой меры Лебега, диыфетной меры (при рассмотрении пространств последовательностей). Вопросы типа несепарабельности меры не играют здесь никакого з|йс£ения.

В работе значительное внимание уделено технике исследования несепарабельных БИЛ, Это связано с существом дела: в цриведённом списке интересующих нас конкретных цространств много несепарабельных ( Ь ; , если И не удовлетворяет А^-условию ;

М (°0 ) • Известна важная роль несепарабельных пространств Орлича для исследования эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями. Пространства Марцинкевича

МИ естественно возникают при интерполяции . Есть и другая причина: в §П.6 мы покажем, что для исследования сепарабельного пространства 1^(0,1) важны результаты о несепарабельном случае (а именно, о С^ и (р? )•

2. Приведём здесь общий обзор содержания работы, отложив точные формулировки конкретных результатов до п.З? В главе О кратко изложены предварительные сведения по теории БИЛ, исчислению порядково ограниченных операторов и функционалов, теории измеримых функций со значениями в Ш.

Глава "Интегральное представление операторов" посвящена в основном решению задачи Дж. фон Неймана[2] о характеризации интегральных операторов в 1^(0,1) (см. теорему 1.1.-1 в п.3°). Речь идёт о представимости линейного оператора в виде (I) с измеримым ядром К($,±) » на которое априори не наложены никакие дополнительные условия суммируемости (типа известных условий Гильберта - Шмидта или Карлемана). То, что эта задача не утратила свей актуальности говорит тот факт, что Халмош и Сандер[1] во введении к своей монографии 1978г. пишут: "Кульминационная точка, причина существования самой книги заключается в трёх последних разделах. В них спрашивается., какие операторы "могут" быть интегральными, какие операторы "должны" быть интегральными, какие операторы "являются" интегральными? Вопрос "могут" (какие операторы унитарно эквивалентны интегральному оператору на указанном пространстве с мерой?) имеет полный и удовлетворительный ответ. Вопрос "должны" (какие унитарные орбиты состоят только из интегральных операторов?) имеет удовлетворительный частичный ответ. Вопрос "являются" (какие операторы в порождены ядром?) не имеет ничего общего с унитарной эквивалентностью: он выглядит для каждого отдельного оператора так, как он стоит, и требует способа распознавания, что он является (или нет) интегральным. Здесь ответ только наполовину удовлетворителен: известны различные интересные и полезные достаточные условия, но ни одно из них не является одновременно необходимым и достаточным." Появление этого вопроса в Халмош и Сандер[l] связано с тем, что авторы этой монографии не успели ознакомиться с работами Бухва-лов[7,8] (см. сказанное в рецензии Заанена[з] на книгу Халмош и Сандер[l], а также приоритетные замечания в n.I.i Л°). В § I приводятся основные факты об интегральных операторах, формулируется и обсуждается сам критерий (теорема 1^.1.1), приводятся следствия. Весь §2 посвящен доказательству теоремы ТД.1 на основе исчисления порядково ограниченных операторов. В §3 теорема IЛ Л применяется для представления нелинейных операторов в виде интегральных операторов Урысона. В §4 вводится важнейший для даль-нешего объект - пространство EL[F] со смешанной нормой, которое строится по двум (или более) БИЛ El и F с помощью формулы || (фД)!^^ II IIK^t)!^ Jlj- Здесь доказывается принципиально важный для всей дальнейшей теории результат: обобщённая теорема Колмогорова - Нагумо (теорема 1ЛЛ), утверждающая, что случай эквивалентности смешанных норм || Ii K(s/b)L L , и i>s b,t h> вычисленных в разном порядке, означает, грубо говоря, что Ь и F совпадают с [Г . Важность этого результата заключается в том, что он запрещает даже в пространствах когда многие привычные приёмы рассуждения. Кроме того, он показывает, что в СП функций нескольких переменных невозможен процесс "расщепления" переменных, который постоянно используется, например, при доказательстве теорем вложения. Таким образом, теорема 1АЛ служит обоснованием нетривиальности многих дальнейших построений.

В §5 из теоремы ТАЛ просто выведены достаточные критерии интегральной представимости: теоремы типа Данфорда - Петтиса, Гельфанда, Канторовича - Вулиха, дающие представления с ядрами из пространств со смешанной нормой. Здесь же исследованы функционалы на Е Г ЬЛ .В п.1.5.4^на основе теорем об интегральном представлении из §§1,2 показано, что если резольвента оператора Шрёдингера является интегральным оператором, то резольвента оператора Шрёдингера с магнитным векторным потенциалом тоже является интегральным оператором.

Глава П "Пространства измеримых вектор-функций" посвящена развитию их общей теории. Если Е - БИП на (ТД^ц) , X - БП, то через Е(Х) обозначается БП всех измеримых функций таких, что функция входит в Е , с нормой II II£ • В теореме П.! Л устанавливаются необходимые и достаточные условия совпадения в случае, когда

Р* - БИЛ. Этот результат служит основой для применения абстрактных пространств вектор-функций к пространствам функций многих переменных. В §2 начинается изучение и классификация функционалов на Е. (X) ; выделяется класс Е(Х^ функционалов, допускающих естественное интегральное представление; в случае "хороших" Е описывается Е(Х) . Изучается также возможность представления вектор-функциями двух классов операторов. В §3 начинается другое основное направление исследования пространств вектор-нозначных функций, имеющее важные приложения в различных областях анализа, разработкой некоторых из которых мы займёмся в главе Ш. Пусть имеется оператор XI • Е ^ Ь . Через Е ® X обозначим множество простейших функций в

ЕМ вида:

Е^еХ). (2)

- 12

Рассмотрим векторнозначное расширение У оператора У на Е@Х , действующее по формуле

V, к к р ь

Начало исследованию непрерывности операторов такого рода в ) положила известная работа Марцинкевича и Зигмунда [У. Оператор

К вовсе не обязан быть непрерывным (если X - не гильбертово пространство; именно в этом смысле надо понимать сказанное выше о том, что часть проблематики работы нетривиальна только, если )( - не гильбертово пространство). Автору удалось установить связь между порядковыми свойствами У (свойство иметь модуль) и воцросом о непрерывности Ц . Теорема П.3.€ позволяет строить в случае не порядково ограниченного оператора Ы "хорошее" про« странство X (сепарабельное, рефлексивное, с безусловным базисом) такое, что V не действует ни в одном из пространств ¿<р<оо . Это впервые делает интересным доказательство не порядковой ограниченности оператора II . Многочисленные приложения этой схемы к задачам математического анализа приводятся в главе Ш(контрпримеры, связанные с описанием сопряжённых к пространствам Харди НР(Х) и Соболева \д/р(Х) Х-значных функций; контрпримеры на базисы в 1Г(Х) , на совпадение пространств Соболева ^^рС^Х) и бесселевых потенциалов (X) ).

Хорошо известно, какую важную роль в анализе играют вопросы аппроксимации функций данного класса функциями более простого вида. В случае пространств Е (X) такими простыми функциями являются элементы Е@ X » определяемые формулой (2). В теореме П.4.1 даны необходимые и достаточные условия для плотности Ь ® X в Е.(Х) при фиксированном бесконечномерном БП X грубо говоря, необходима и достаточна сепарабельность Е1 ; нетривиальна необходимость). Доказательство основано на результатах §3 и свойствах \6\-топологии, впервые привлечённой автором для решения конкретных задач.

В §5 получена обобщённая теорема Иосиды - Хьюитта о строении сопряжённого Ё(Х) , которое удаётся представить в виде прямой суммы (в смысле теории БП):

Е(ХУ*= Е0О*еЕ(Х)^ (3) где Е(Х)^ -функционалы, допускающие интегральное представление, а Е(Х)~ - "сингулярная" компонента. Сама классификация и разложение (3) идейно связаны с соответствующими фактами из исчисления функционалов на БИЛ. Однако, это лишь формальная аналогия; доказательство требует совсем других идей, так как в отличие от случая сопряжённого к БИЛ, где имеется много естественных проекторов, наличие проектора в Е(х)* приходится получать совсем из других соображений. Простейший случай,

О0 когда (3) нетривиально - Ь (этот частный случай независимо получен в Левин[2]).

В §6 обобщённая теорема Иосиды - Хьюитта применяется к выявлению свойств выпуклых, замкнутых по мере, ограниченных по норме множеств в Е (X), роднящих их с компактными множествами (хотя никакой компактности по существу может и не быть). Получены приложения к оптимизации выпуклых функционалов на таких множествах.

В §7 исследуется следующая задача. Пусть ( .¡Р) - некоторое свойство, которым может обладать данное БП X (пишем

Х€ (Р)).

Рассматривается справедливость утверждений типа

Задача (4) естественна в том смысле, что хорошо иметь информацию о свойствах более сложного пространства Е (X) , исходя только из свойств "кирпичей", из которых оно построено, - Е и X . Такого рода задачи для различных свойств (^Р) рассматривались уже давно (теорема Филлипса[2]: если X рефлексивно, то 1?(Х) рефлексивно, \ <р < «о ). В теореме 7.1 доказано, что (4) справедливо, если (Ф) - интенсивно исследуемое с конца 1960-х годов свойство Радона - Никодима (М) . Доказательство опирается на теоремы представления из §2. Подробно анализируются другие подходы к доказательству этого факта, причём полученные результаты имеют и самостоятельный интерес. В теореме 1,1.7 собраны различные результаты типа (4), как принадлежащие автору, так и известные.

В главе "Интерполяция линейных операторов в пространствах вектор-функций и приложения к изучению пространств функций многих переменных" рассматриваются различные методы интерполяции линейных операторов применительно к пространствам вектор-функций. Результаты об интерполяции применяются к классическим линейным и нелинейным операторам анализа. Далее, прежде всего, на основе интерполяции, строится теория обобщённых пространств Соболева и Бесова. Подчеркнём, что пространства вектор-функций применяются к изучению пространств Бесова обычных числовых функций (порождённых нормой, более общей, чем £ -норма), в чём автор видит дополнительный интерес к развитию теории пространств вектор-функций. Отметим важность получения интерполяционных формул для таких сложно устроенных объектов как пространства Соболева и р

Бесова. В §8 будет показано, как при помощи интерполяции -случая, можно получить полное описание следов пространств Соболева Ы^Е(^) на т. < ю- , где метрика порождена нормой сп Е .

В §1 подробно исследован второй комплесный метод интерполяции Кальдерона[1] в случае пространств Е(Х) . Главным результатом является теорема П.1#1, показывающая, что при простых условиях на Ь Е^ Х0 ^ ХА (большинство из которых необходимо в силу теоремы 1.3) имеем иЕ^хУ-СЧ^ГХ.,^8). «>

Ранее такая теорема была неизвестна даже при X ; из шкалы . о

Если иметь в виду не только задачу о вычислении интерполяционных цространств, но и цриложения интерполяции к конкретным операторам, то нужно учитывать тот факт, что для классических операторов уже известны многочисленные [^-оценки, поэтому наиболее интересны те методы, которые позволяют из цространств получать новые функциональные цространства. В этом отношении Р комплексные методы малоперспективны: из и можно получить только другие Ь . В §2 исследуется задача об интерполяции £ (X) именно с этих позиций. Прежде всего отмечается, что интерполяция сразу по изменяющимся Е и X невозможна, если мы выходим за границы степенного преобразования. Причина заключается в той же теореме Колмогорова - Нагумо из главыВ §3 будет показано, что интерполяция по Е при фиксированном X возможна любым методом. Примеры показывают, что при фиксированном Е интерполяция по X возможна не всегда. В частности, она невозможна в случае наиболее популярных вещественных методов. В §2 доказывается, что такая интерполяция при определённых условиях возможна в случае -метода В.И.Овчинникова[I], позволяющего по [Г строить пространства Орлича.

В §3 на основе теоремы Хана - Банаха - Канторовича получено расширение области действия теоремы Янсона[1] об интерполяции сублинейных операторов. Затем результаты §§2,3 применяются к следующим конкретным задачам в пространствах Орлича со смешанной нормой: 1) оценки максимальных операторов (весовые и невесовые; обобщение £ -результатов Феффермана - СтейнарЕ] и В.М.Кокила-швили[3]); 2) теорема Карлесона - Хаита; 3) сингулярные интегральные операторы (с.и.о.) в весовом случае; 4) мультипликаторы интегралов Фурье (интерполяция теоремы П.И.ЛизоркинаЩ).

В §4 систематически изучаются с.и.о. с общими ядрами Каль-дерона - Зигмунда в пространствах и с {Л). В случае № с.и.о. исследовались Дгк.Шварцем, Кальдероном и др. В теореме Ш.4.1 установлено, что с.и.о. не являются порядково ограниченными. Этот результат, вместе с изложенной схемой из §П.З, является источником контпримеров. В теореме 4.4 доказано, что с.и.о. действует в , тогда и только тогда, когда рефлексивно. Отметим, что достаточность получается при помощи \р -интерполяции и никакого другого доказательства неизвестно (доказательство для]Г((?) не обобщается опять-таки в силу теоремы Колмогорова - Нагумо).

В § 5 приведены приложения с.и.о. к вопросу о базисности системы Ц®ЧЛ.т.в где - тригонометрическая система, а {хт} - произвольный базис в X • Показано, в частности, что - базис в \1 (Е) тогда и только тогда, когда 1м

1 И. ГП п п рефлексивно. Построены примеры рефлексивных X таких, что эта система - не базис в 1?(Х). Тут же получены аналогичные результаты о справедливости равенства где И^ - пространство Харди.

В §6 начинаются приложения построенной теории к пространствам дифференцируемых функций многих переменных. Сам С.Л.Соболев Ь

1] ввёл пространство V/ (0.р X ) - естественный векторнозначный аналог \А/р(ХХ) . В §6 исследуются пространства (^ X) »т.е. обобщение идёт одновременно и по пути Х-значности и по пути перехода от -метрики к Е -метрике. Обобщения и в том и в другом направлении были известны (Гриварр], МураматуЩ,

А.Х.ХУдиевЩ, В.С.Климов[1-3], Дональдсен и ТрудингерЩ и др.), тем не менее, многие важные проблемы пространств №^Е и Собесу лева - Орлича VI Ьу ещё совсем не были разработаны. На основе развитой теории в §6 решены следующие задачи: I) исследована связь с пространствами бесселевых потенциалов; 2) дано описание

Р ^ сопряжённого \Д/ £(Х) » 3) описана интерполяция пространств \А/^Е(Х) различными методами; 4) впервые исследованы на основе теорем §П.7 банаховы свойства \АГЬ (X) Большинство результатов являются новыми уже, если Е — [Г и X - любое бесконечномерное, или Е - СП, а X - одномерное (т.е. случай числовых функций). Техническим средством решения ряда из этих задач являть ется исследование мультипликатора г-—;—при (о/| = в предложении Ш.6.2 и теореме Л.6.1, где используются результаты

§4. В §6 на основе подхода к пространствам к пространствам с дор минирующей смешанной производной (введённым в случае Е -метЬ / & рики С.М.Никольским) как пространствам типа \л/ решены задачи об описании сопряжённого к ним и совпадения с соответствующим пространством бесселевых потенциалов с доминирующей смешанной производной (введённым С.М.Никольским и П.И.Лизоркиным).

§7 посвящен изучению липшицевых пространств Л СХ^ Е) ^ Кальдерона и Ю.А.Брудного и обобщённых пространств Бесова ^ обычных числовых функций при помощи приёма Кальдерона [I], позволяющего вложить эти пространства дополняемым образом в пространст

-18 ва вектор-функций. Общие пространства с^ ^ с других позиций рассматривались К.К.Головкиным[1,2] и самим 0.В.Бесовым¡2,з]. В §7 на основе результатов §§1-3 получены различные интерполяционные формулы для пространств Липшица и Бесова, а также впервые исследованы их банаховы свойства. Рассмотрены цространства с нестепенной ^-гладкостью, введённые А.С.Джафаровым[1]; развит новый подход к получению теорем вложения для них на основе интерполяции ^ -методом.

В §8 дано описание следов пространства Соболева V/ Е (Я ) на 15 } У*- < п, , где Е1 - подходящее СП, в виде пространства типа Соболева - Слободецкого (которое, по-видимому, отлично от какого либо пространства типа Бесова при Е ^ I? ). Это описание получено при помощи результатов об интерполяции из §7, классической теоремы о следах С.М.Никольского - 0.В.Бесова и дальнейшего развития конструкции Кальдерона. Показана схема применения полученного результата к получению оценок решений неоднородных краевых задач.

Отметим, что в приложениях мы не стремились к предельной общности формулировок и привлечению самой мощной аналитической техники. Цель изложенного в том, чтобы показать, что развитые методы уже при использовании весьма скромного аналитического аппарата позволяют получать новые, нетривиальные результаты. Мы не претендуем здесь на построение общей теории обобщённых пространств Соболева и Бесова, где имеется ещё очень много открытых интересных проблем, хотя многие из элементов этой теории впервые затронуты в этой работе.

3? Здесь мы цриведём кратко точные формулировки основных результатов работы. При этом иногда в самой работе результаты сформулированы в большей степени общности.

Основной результат главы I - критерий интегральной представимости.

Теорема 1.1.1. Пусть 1Л * ^ ~ линейный оператор. Следующие утверждения эквивалентны:

1) К - интегральный оператор, т.е. 1/ допускает представление (I);

2) если | € I и 0 по мере (то же самое, что по норме в № ), то О почти всюду.

Таким образом, за интегральность отвечает специфический вид непрерывности: оператор Ы переводит мажорированную в сходимость по норме в сходимость п.в. Доказательство нетривиальной импликации 2)=>1) полностью основано на исчислении порядково ограниченных операторов.

Основными результатами главы 2 являются теоремы о строении самого пространства Е (X) и его сопряжённого Е- (X).

Теорема НАЛ. Пусть Е. - БИП на (Т, ^х) , X - фиксированное бесконечномерное БП. Следующие утверждения эквивалентны:

1) Е ® X плотно по норме в Е.(Х) ;

2) в Е выполнено условие (А): (е^О)3^ в случае сепарабельности меры ^ условие (А) эквивалентно сепарабельности Е. ). # ^

Перейдём к рассмотрению Е (X) . Функционал ^ € Е1 (X ) | ., "" называется (о Е )-непрерывным, если из II | ("Ь)|| 7*0 п.в. и следует, что 0 (пишем ).

Всякий допускает интегральное представление с помощью -X-скалярно измеримой функции ЬУ : Т-> X :

Функционал E (X) называется сингулярным, если для любого I £ EL (X) существует A€Z.> u(/4)>0,4С«РР^такое, что

Т - л; ь ' II 0 (пишем SP€E(X)~ ).

Каждому функционалу Е(Х)* можно сопоставить положительный функционал - его абстрактную норму - по формуле

IV? I (е)=sup {I tf ф| : Jç Е lli(- >lxs е}, е € Е + .

Ясно, что

Имеет место следующая обобщённая теорема Иосиды - Хьюитта. Теорема П.5Л. Всегда s

Е(Х) =Е(Х)^$Е(Х); более того, любой функционал Е(Х) единственным образом Л» разлагается в сушу — ^ , где ^ £ Е (Х)^ ) ^€£00* , причём = -4-Напомним, что

БП X обладает свойством Радона - Никодима (X С (RNy) » если любая X -значная мера конечной вариации, абсолютно непрерывная относительно меры Лебега на Х.0Р 1] , имеет X -значную производную, суммируемую по Бохнеру. Теорема П.7.1.

E(X)€(RW))«=> (E€(RN) h Х€ CRN».

Основными результатами главы Ш являются интерполяционные теоремы для пространств из §§1-3 и построение на основе этих теорем ряда важных аспектов теории пространств дифференцируемых функций многих переменных.

БИЛ Е. называется совершенным, если sup влечёт, что e^fe^E и Sup Нб^Ц (пространства Орлича,

Лоренца, Марцинкевича всегда совершенны).

- 21

В Кальдерон[к] введены два комплексных метода интерполяции [^0?ХЛ [Хс X,] . Первый из них приспособлен для изучения сепарабельных пространств, а второй - совершенных. Если задача об интерполяции первым методом в пространствах вектор-функций была решена в Кальдерон |[1], то решение для второго метода не было получено. г- г- 1-е е /

Пусть Е0? Е± - БИЛ, Ее= Е0 Е± (0<©<1)- БИЛ функций I : ЦиЛе^ее1в;е:€Е:С| = 0Л). пусть (Хп, - интер

4> " /б поляционная пара БП; ^ у г [X •

Теорема Ш.1.1. Пусть Ео; совершенны и выполнены следующие условия:

1) единичный шар БП В^е замкнут по норме в Х0+Х^ ;

2) любая функция ?:Т->Хе » которая измерима как (Х+Х;)

6 о -1

-значная функция, измерима и как X -значная функция.

Тогда выполнено равенство

ЕоСХДЕ,(ХА)Дв = Ее(СХ0,ХЛе).

Отметим, что условие 1) выполнено во всех известных автору 6 случаях. Оба условия выполнены, например, если[)( X.] рефлексив

Ро \/ Р 0) л но, что охватывает случай ц1 ( ре и рл ф одновременно 1 или »о ). в теоремеШ.1.3 показано, что уже в случае Е0-Е1 - 1^(0,1) условие типа 2) необходимо.

Применение ^-метода интерполяции и теорем §П.З о непрерывности векторнозначных расширений операторов даёт следующий результат» Пусть -"ОГ^-ь-" оо

- с.и.о. Гильберта

Теорема Ш.4.4. H непрерывен в L ^Р <о0> тогда и только тогда, когда L^ рефлексивно.

Отметим, что аналогичный результат верен и для других с.и.о. Пространства Соболева X) и бесселевых потенциалов

Лиувилля) LE(R,X) определяются естественным образом заменой

-метрики на Е -метрику и функций с числовыми значениями на Х-значные ( ¿>0 - целое). Известно важное соотношение Wp(R)-Lp(R)t^<p<00 • Чтобы сформулировать его обобщение введём одно обозначение. Будем писать, что СП

Ро |Р± " если оно интерполяционно относительно некоторых и и L • Известно, что М(сОб (£>); Цр^), (5) р;^°с>); ^рефлексивно. ^

Теорема Ш.6.2. Пусть t >0 - целое, EL - СП на R ,п> 1,

1) Если СП

EC(jf) и БП X таково, что И действует в LTCX) (см. теорему DI.4.4), то

WeE(R» = Li'L(X). (7)

2) Если выполнено (7), то X В-выпукло (что означает отсутствие в X последовательности подпространств (^-изо-метричной I ; в случае, когда X - БИП, это условие равноrV сильно существованию на X эквивалентной равномерно выпуклой нормы), а если СП t - сепарабельно или совершенно, то

Доказательство теоремы Ш.6.2 основано на изучении свойств ±<* — мультипликатора ——^ w . Аналогичного рода результат * / t / / ^ получается для естественной формулы вычисления сопряжённого W^(R^xf-Vi^EX^X*) * гДе дуальное БИП, состоящее из функций, задающих функционалы на £. (если Е — L , то lip' — Е ~ L ). Б теореме Ш.6.6 для многих банаховых свойств установлена эквивалентность

Ц1 Е(а,Х)€(®) (Е$СР)8сХ€(Р)), доказательство которой основано на результатах §П.7.

В §7 на основе всей развитой ранее теории реализована схема Кальдерона исследования обобщённых пространств Бесова с помощью вектор-функций. Эти исследования дополняют результаты К.К. Головкина, Ю.А.Брудного и самого 0.В.Бесова в этом направлении.

Пусть X - БП функций на к , инвариантное относительно сдвига, в котором сдвиг сильно непрерывен (это условие близко к сепарабельности X ); (|, т) - модуль непрерывности функции X к -го порядка относительно X -метрики.

Пусть Е - БИП на (0 °о) . Липшицево пространство ЛУх, Е) есть БП всех | € X с конечной нормой т:

Нам потребуются операторы Харди - Литтлвуда: оо ^ ^ с! <5*

А^Хф-фс^ (в^-фс«)-* х 0

Если 1С - положительная функция на (Ороо) , то И Е- есть БИП всех измеримых функций ё. таких, что ял-е € Е , с нормой \\€\1 ^-НибИ^ С если Е Ф 1Г »то это уже, вообще говоря, не весовое пространство!). Кальдерон[1] показал, что если в Е непрерывны операторы А<и В^ 0<К1с , то пространство канонически вкладывается в качестве дополняемого подпространства в Е (X) Ф X .На свойствах этих вложения и проектора основаны приложения пространств Е(Х) к.теории пространств

Л(х^) и обобщённых цространств Бесова & ^ £ , к определению которых мы переходим. Пусть теперь > 0 - любое; Е - СП на (0,°° интерполяционное относительно Е(о,00} ^ %) и Е (00)

I "24"

Пространство В^ £ есть БП всех измеримых функций ^ на ^ » для которых конечна норма где ^>0 - целое, I ; ¿-0 прш0<^<1 ; =-1 при 1 . Если Х- Е - с1хЛ) . то В у г • Связь между пространствами Липшица и Бесова определяется формулой

Всё это позволяет при помощи результатов §§Ш.1-Ш.З доказать следующую интерполяционную теорему.

Теорема Ш.7.2. 2) Если совершенны, а X ^ Х^ удовлетворяют условиям теоремы ШЛЛ, то

V/ "Ч^СЧ* ■

Друтие утверждения теоремы Ш.7.2 посвящены ^-интерполяции. Отметим, что ъР-интерполяция по гладкости позволяет получить пространства Бесова с ^ -гладкостью и теоремы вложения для них (например, теорему о следах А.С.Джафарова). Теорема Ш.7.2 имеет в качестве своего очевидного следствия соответствующие мультипликативные неравенства.

В §8 техника §Ш.7 применяется для решения задачи об описании следов пространства Соболева V/ Е , построенного по СП Е на подпространствах К ? т» < К-. Рассмотрим сначала случай = . Дробное пространство Соболева - Слободецкого у ^ ц, к. д/ ЕСб ) вводится как БП всех функций ^ € Е , для которых конечна норма

Е \di4-i пи 1 «г. . * , где Е - аналог СП Е на £ + - * К с мерой аъ ®<*иТ

Легко видеть, что V^ТЙ$ • Аналог СП Е на любом

Р'Р — с мерой Лебега обозначаем через Ь .

Теорема Ш.8.-1. Пусть СП Е на ^ входит в класс (, 1>0 - целое. Тогда

•г-1

В теореме Ш.8.2 цриведено близкое описание следов на при юг<*г-1.

4.° Основные результаты диссертации докладывались на семинарах в МИАН и МГУ (руководители С.М.Никольский, Л.Д.Кудрявцев, П.Л.Ульянов, Е.М.Никишин, А.М.Олевский), ЛОМИ и ЛГУ (руководители В.П.Ильин, Н.К.Никольский, В.П.Хавин, Б.З.Вулих, Б.М.Макаров), ВГУ (руководитель Е.М.Семёнов), Институте математики СО АН СССР (руководитель С.Л.Соболев), а также в Школах по теории операторов в функциональных пространствах (Новосибирск (1975,1977), Новгород (1976), Минск (1978), Рига (1983), см. Бухвалов[16,25, 27], Бухвалов и Лозановский[2]), в зимней математической Школе в Воронеже (1975), на заседании секции математики Западного научного центра АН УССР, посвящённом 90-летию со дня рождения С.Банаха (Львов, 1982), на заседаниях Московского (1980, Бухвалов^]) и Ленинградского (1979, Бухвалов[21]) математических обществ.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах Бухвалов[2,7-И,13-15Д7,18,20,23,25,27,28], Бухвалов и Лозанов-ский [I]. Некоторые вспомогательные сведения содержатся и в других работах автора, приведённых в списке литературы. 26 —

В обзоре Бухвалов и Лозановский]^ приведены многие основные результаты диссертации, опубликованные ранее в отдельных работах. Некоторые результаты (в частности, критерий интегральной представимости) вошЛй в монографии Канторович и Акилов [I](см. §6 главыи §1 главы И) и Коротков|У].

Система ссылок. I) Запись т. я. означает ссылку на пункт к § а главы По, . Аналогично понимается запись "теорема пг. п. К Внутри данной главы пункты и утверждения нумеруются двумя цифрами - опускается номер главы.

2) Используемые известные утверждения нумеруются цифрой (номер параграфа) и русской буквой (например, теорема 2.А).

3) Ссыжа Коротков^з] означает ссылку на работу, идущую под номером 3 среди работ В.Б.Короткова в списке литературы. При ссылках на работы более, чем двух авторов, фамилии всех авторов, кроме первого, сокращаются "и др." Например, монография Канторов вич, Вулих } Пинскер[1] обозначается Канторович и др.[1].

4) В связи с частыми ссылками на монографию Канторович и Акилов [I] обозначаем ссылку на неё сокращённо [ка] .

5) В случае, когда используемый результат нашёл отражение в монографической литературе, ссылка, как правило, делается на книгу, а не на оригинальную статью.

6) Конец доказательства обозначается знаком

- 27

Глава О ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

В системе терминов и обозначений мы следуем монографии Канторович и Акилов[?]( далее [ка]). Начнём с обозначений и сокращений, постоянно применяемых на протяжении всей работы.

Обозначения

- множество натуральных чисел; С - множество комплексных чисел;

К - и,-мерное действительное евклидово пространство; 2 - пространство всех измеримых почти всюду конечных функций;

- характеристическая функция множества А ;

1 1 - Функция, тождественно равная единице на множестве Т ; со (М) ~ выпуклая оболочка множества М ;

- тождественное отображение пространства X ; X С (ф)- объект X обладает свойством объект X не обладает свойством ( ЕР) ; X - пространство непрерывных линейных функционалов на банаховом пространстве X ; Е- - дуальное пространство; р7 - если 1 ^ р , то Ур + = ^ ;

Щ= - символ окончания доказательства.

Сокращения

БИЛ - банахово идеальное пространство;

БП - банахово пространство;

ИП - идеальное пространство; о) - сокращение для слова "порядковый": п.в. - почти всюду;

- 28

СП - симметричное пространство; с.и.о. - сингулярный интегральный оператор.

Некоторые общие термины и обозначения 0.0.1) Буквами Х?У обозначаются абстрактные векторные пространства (например, ЕЛ). Буквами Е^Ь^ С обозначаются пространства измеримых функций. Буквами х,^ 5 обозначаются элементы векторных пространств;.!^ ^ е - числовые функции (для функций из Е могут употребляться все четыре буквы). В случае функций со значениями в БП д пишем £ , а со значениями в X — а . Функционалы обозначаются буквами Х/'Ц 5 б или % у . Значение функционала х на элементе х обозначается как х (х) , так и х*>. Отметим, что символом | обозначается убывающая перестановка функции (см. Крейн и др.[1]).

0.0.2) Если рассматривается одно множество Т $ то точки из Т обозначаются *Ь . Если рассматриваются два множества Т£ и Т^ , то $£Т2. Для обозначения точек в употребляем буквы 5 и 1 ; если одновременно используется одномерная переменная, то употребляется буква т .

0.0.3) Для обозначения последовательностей в качестве индексов используются латинские буквы - и т.д., а для обозначения направлений - греческие - {ое^^^ и т.д.

0.0.4) Если не оговорено противное, то все результаты работы справедливы как для действительных, так и для комплексных векторных пространств, но для определённости, как правило, предполагается, что пространства действительны. Случай комплексных скаляров требует лишь минимальных изменений. Это касается, в частнос ти, теории идеальных пространств (см. [м], стр.377-378). Все векторные пространства предполагаются отличными от .

0.0.5) Все операторы и функционалы, если не оговорено противное, предполагаются линейными. Если Х^ У - БП, то Б (Л, У) -ЕЛ всех линейных непрерывных операторов из X в У .

0.0.6) Пусть X - векторное пространство, У - некоторое линейное множество линейных функционалов на X . Через б (X, У) обозначается слабая топология на X , наведённая У . Она порождается множеством полунорм р(о:)=|х(эс) \ г где эс, €У . Через.% обозначается каноническое отображение X в пространство функционалов на У : 0-эсеХ., х*6 У • Говорят, что У тотально на X , если У разделяет точки на X : для любого х^Х, х^О, найдётся х € У такой, что Если X - локально

V/* выпуклое пространство (в частности, ЕП), то X - его топологическое сопряжённое.

0.0.7) Пусть X - БП. Подпространство (не обязательно замкнутое) У в X называется ^-нормирующим, если х,х >|: хеУ? ц^й $ . Через В^-{^К' 11*11 $ 1} обозначается единичный шар пространства X .

0.0.8) Знак включения употребляется в двух смыслах. Если X и У - БП, то запись ХС У означает, что существует изоморфное вложение X в У ( X ф. У означает, что такого вложения не существует). Если Ь и £ - пространства функций, то £ср означает просто теоретико-множественное вложение.

0.0.9) Мера Лебега в Й обозначается с1"Ь илио!^. Если -иг - вес, то игсИЛ - весовая мера: ^ц (А) -^^вОЛЬ

1. О следах на негладкой поверхности классов дифференцируемых функций.— Труды МИАН, 1972, 117, 11-21.

2. Об аналитическом представлении операторов с абстрактной нормой. ДАН СССР, 1973, 208, Л5, I0I2-I0I5.

3. О топологических K-линеалах.-Вестник ЛГУ,1973,МЗ, 14-20.

4. О пространствах со смешанной нормой.-Вестник ЛГУ,М9,1973, 5-12.

5. О некоторых свойствах нормы и полуупорядочения в пространствах операторов.- Оптимизация, 1973, 12(29), 23-28.

6. Аналитическое цредставление операторов при помощи измеримых вектор-функций.- Вестник ЛГУ, 1974, Ш7, 157-158.

7. Об интегральном представлении линейных операторов, -вап.научн. семинаров ЛОМИ, 1974, 17, 5-14.

8. Критерий интегральной представимости линейных операторов.-Функц. анализ и его прилож., 1975, 9, Ж, 51.

9. Интегральные операторы и представление вполне линейных функционалов на пространствах со смешанной нормой.-Сиб. мат. ж., 1975, 16, ЖЗ, 483-493.

10. О двойственности функторов, порождаемых пространствами вектор-функций.-Известия АН СССР, сер. мат ем. Д975 , 39, №6,1284-1309.

11. Об аналитическом представлении операторов с абстрактной нор- 273 мой.-Известия вузов. Математика, 1975, MI, 21-32.

12. Факторизация компактных операторов и пример рефлексивной банаховой решётки без свойства аппроксимации.- ДАН СССР, 1976, 227, ЖЗ, 528-530.

13. Пространства Харди векторнозначных функций.- Зап научн. семин ЛОМИ, 1976 , 65 , 5-16.

14. Об аналитическом представлении линейных операторов при помощи измеримых вектор-функций.-Известия вузов. Математика, 1977, Ш7, 21-31.

15. Геометрические свойства банаховых пространств измеримых вектор-функций.- ДАН СССР, 1978, 239, №6, 1279-1282.

16. Пространства измеримых вектор-функций как банаховы пространства. -Тезисы докладов в Школе по теории операторов в функциональных пространствах (3-9 июля 1978г.). Белорусский Гос. Ун-<р -Институт математики СО АН СССР, Минск, 1978, 28-29.

17. Дополнения к статье "О двойственности функторов, порождаемых пространствами вектор-функций".-Известия АН СССР. сер. матем., 1978, 42, №5, 923-927.

18. Непрерывность операторов в пространствах измеримых вектор-функций с приложениями к исследованию пространств Соболева и аналитических функций в векторнозначном случае.-ДАН СССР, 1979, 246, №3, 524-528.

19. Обобщение теоремы Колмогорова Нагумо на тензорные произведения.- В сб."Качеств. и прибл. методы исслед. операторных уравнений". Ярославль, вып.4, 1979, 48-65.

20. Свойство Радона Никодима в банаховых пространствах измеримых вектор-функций.-Матем. заметки, 1979 , 26, $6, 875-884.

21. Банаховы пространства измеримых векторнозначных функций. -УМН, 1980, 35, Ж, 235.

22. О связи симметричных пространств на квадрате с пространствами со смешанной нормой.-Тезисы конф. ТартГУ, 1980, 100-102.

23. Комплексный метод интерполяции в пространствах вектор-функций и обобщённые пространства Бесова.-ДАН СССР, 1981, 260, JS2, 265269.

24. Банаховы решётки и их приложения.-УМН, 1982 , 37, Ш, 179-180.

25. Интерполяция линейных операторов в пространствах векторнознач-ных функций.-Тезисы докладов. Школа по теории операторов в функциональных пространствах (4-II июля 1982г.). Белорусский Гос.Ун-^г Институт математики СО АН СССР, Минск, 1982, с.30.

26. Факторизация линейных операторов в банаховых решётках и пространствах вектор-функций.-В сб."Качеств, и прибл. методы исслед. операторных уравнений". Ярославль, 1982, 34-46.

27. Интерполяция линейных операторов в пространствах Бесова.-Тезисы докладов. Школа по теории операторов в функциональных пространствах (27окт.-4ноября 1983г.). Латвийский Гос. Ун-кг -Институт математики СО АН СССР, Рига, 1983, 38-39.