Пространства непрерывных функций в множествено-открытых топологиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГВ 24

ОД

НОЯ <007

На правах рукописи УДК 515.12

Нохрин Сергей Эрнестович

ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ В МНОЖЕСТВЕННО-ОТКРЫТЫХ ТОПОЛОГИЯХ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискапие учёной степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург 1997

Работа выполнена в отделе алгебры и топологии Института математики и механики УрО РАН

Научные руководитель:

— доктор физико-математических наук, профессор Н. В. Величко

Официальные оппоненты:

— доктор физико-математических наук, профессор А. Г. Чепцов

— кандидат физико-математических наук, доцент М. О. Аса-нов

Ведущая организация: Удмуртский государственный университет.

Защита диссертации состоится_199 г. _ч.

_м. на заседании диссертационного Совета К 063.078.03 по

присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Уральском государственном университете им. A.M.Горького по адресу: 620083, г. Екатеринбург, проспект Ленина 51, комн. 248

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Уральского госуниверснтета

Автореферат разослан_ 1997 года

Ученый секретарь диссертационного совета К 063.078.03 кандидат фич.-мат. наук.

доцент Пименов В. Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В работе изучаются топологические свойства пространства С{Х) всех непрерывных вещественно-значных функций, наделенного множественно-открытой топологией. Пространства непрерывных отображений являются классическими объектами изучения в математике; на них рассматривались многие топологии, наиболее известными среди которых являются топология поточечной сходимости и компактно-открытая топология. Одним из естественных обобщений этих типов топологий является множественно-открытая топология, которая была впервые определена в 1956 году в работе Аренса и Дугунджи.1 Такой тип топологий впоследствии изучался многими математиками мира: А. В. Архангельским, М. О. Асановым, Р. А. МакКоем и другими.

Вопросы, рассматриваемые в настоящей диссертации, можно условно разделить на два типа. Первый: какими должны быть пространство X, семейство его подмножеств Л и семейство г открытых множеств числовой прямой, чтобы пространство С(X), наделенное А-т топологией, обладало тем или иным свойством? В случаях компактно-открытой топологии и топологии поточечной сходимости ответы на поставленные в диссертации вопросы хорошо известны, поэтому возникает второй тип вопросов: для каких семейств Лиг соответствующие теоремы останутся верными? Как следует изменить тот или иной критерий, чтобы он оказался справедливым в общем случае? и.т.п.

Цель работы. Работа посвящена изучению таких топологических свойств пространств непрерывных вещественнознач-ных функций с множественно-открытой топологией, как хаусдорфовость, регулярность, полная регулярность, локальная компактность и <г-компактность, а также вопросам сравннмо-

1 Arens R., Dugundji J. — Topologies for functions spices. — Pacific J. Math., 1951, v.l, p.5 — 31.

сти различных топологий на С(ЛЛ).

Основной метод исследования. В диссертации используются методы общей топологии и функционального анализа, развитые в работах отечественных и зарубежных математиков.

Научная новизна. В работе получены следующие результаты:

1) Найдены критерии совпадения А;- и Лг-топологий в некоторых частных случаях (теоремы 1.6, 1.7, и 2.1);

2) Найдено новое (более широкое) условие совпадения открыто-множественной топологии и топологии равномерной сходимости на элементах покрытия, а также необходимое и достаточное условие того, что топология равномерной сходимости сильнее множественно-открытой (теоремы 3.5 и 3.9);

3) Доказан критерий хаусдорфовости рассматриваемых пространств; найдены необходимые условия регулярности и полной регулярности (§§5 — 6)

4) Найден критерий локальной компактности пространства Сх(Х) (теорема 7.3);

5) Найден критерий <х-компактности пространства Сх(Х) (теорема 8.10);

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут найти применение при дальнейшем изучении функциональных пространств методами общей топологии и функционального анализа.

Апробация результатов работы. Результаты диссертации докладывались на Киевской (1990) и Московской (1996) международных топологических конференциях, на 4-ом русско-японском коллоквиуме (Москва, 1995), на городском топологическом семинаре (г.Екатеринбург), на семинарах памяти П. С. Александрова, и других.

Публикации. Основные результаты опубликованы в десяти работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из вве-

дения, восьми параграфов и списка литературы. Объем диссертации составляет 63 страницы машинописного текста и содержит 32 библиографические ссылки.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

На пространстве С(Х) рассматривается А-т-топология, т.е. топология, предбазу которой образует семейство {{Р, 6 А, и € г}, где F — произвольное семейство непустых подмножеств тихоновского пространства X, т — некоторое семейство открытых множеств числовой прямой, №,11} = {/ £ С(Х)| /(-О С и}. Такое пространство обозначается С^(Х) ; в случае, когда т — все открытые множества Я — просто Сх(Х) . Если на С(Х) рассматривается топология равномерной сходимости на элементах А, мы пишем согласно МакКою2, СА,„ДОили С\(Х).

Материал диссертации разбит на 8 параграфов. В первом дается определение А-г-топологии и рассматриваются вопросы совпадения таких топологий при различных А (и фиксированном г) или при различных г (А в этом случае зафиксировано). Эти вопросы оказались весьма сложными, автору удалось найти критерии совпадения топологий лишь в некоторых частных случаях. Полезным оказалось введенное М.О.Асановым3 понятие базиса А. Выяснилось, что если семейства А1 и Аг состоят или только из нульмерных, или только из связных компактных подмножеств X, и А1 С Аг, то совпадение А^т-и А2-Т- топологий (независимо от семейства т) эквивалентно тому, что Ах является базисом для Аз (теоремы 1.6 и 1.7). В общем случае это неверно даже для семейств, состоящих из компактных подмножеств X.

'McCoy R. А. , Ntantu I. — Topological Properties of Spaces of Continuous Functions — Berlin: Springer-Verlag, Lecture Notes in Mathematics, 1315, 1988, 124pp.

аАсанов M. О. — Пространство непрерывных отображения. — диссертация на соискание ученой степени к.ф-м.н., Свердловск, 1980г.

Во втором параграфе доказывается критерий совпадения множественно-открытых топологий для случая, когда семейства Ai и Лг состоят из конечного числа компактов (теорема 2.1). К сожалению, полученный критерий, во-первых, весьма громоздок, а во-вторых, не переносится ни на случай бесконечных семейств А, ни на случай, когда семейства Л содержат некомпактные множества.

Кроме множественно-открытой топологии всякое семейство А задает на С(Х) еще и топологию равномерной сходимости на элементах А, причем если А — семейство всех конечных (компактных) подмножеств X, то такал топология будет поточечной (компактно-открытой), а значит совпадать с множественно-открытой. В общем случае, однако, множественно-открытая и равномерная топологии различаются, причем довольно сильно. На это указывали и А.В.Архангельский4, и Р.А.МакКой. В работе последнего5 приведены некоторые достаточные условия совпадения равномерной и множественно-открытой топологий; автору удалось несколько усилить эти результаты (теорема 3.4 и следствие 3.9), а также доказать теорему 3.5, гласящую, что топология равномерной сходимости на А сильнее А-открытой тогда и только тогда, когда семейство А состоит из Д-компактных множеств, т.е. когда для любой непрерывной вещественной функции / и любого элемента F из А множество f(F) является компактом (понятие введено М.О.Асановым). Эти результаты и составляют содержание третьего параграфа диссертации.

Четвертый параграф посвящен отображению вычисления. Это отображение, действующее из произведения С(Х) х X в числовую прямую, в зависимости от рассматриваемой на С(Х) топологии может или быть непрерывным, или не быть таковым. То же самое касается раздельной непрерывности. От-

4Архангельский A.B. — Пространства отображений я кольца непреывных функций. — Итоги науки и техники, фундаментальные направления, т.51, с.81 — 172.

'McCoy R. А. , Ntantu I. — Topological Properties of Spaces of Continuous Functions — Berlin: Springer-Verlag, Lecture Notes in Mathematics, 1315, 1988, 124pp.

метим, что вопросы непрерывности отображения вычисления изучались многими математиками, и даже было введено понятие допустимой топологии на С(Х), то есть топологии, для которой отображение вычисления непрерывно.

Автором получен критерий раздельной непрерывности отображения вычисления для случая, когда семейство А максимально по включению среди семейств, порождающих одну и ту же А-г топологию. Он выглядит так: отображение вычисления раздельно непрерывно тогда и только тогда, когда г — база R, а А — сеть для X. Что касается непрерывности отображения вычисления, то вопрос полностью решить не удалось, однако найдено некоторое достаточное условие (теорема 4.9), которое, во-первых, легко проверяется, а во-вторых является также и необходимым в случае, когда т — база из интервалов (теорема 4.11).

Пятый и шестой параграфы диссертации посвящены поиску условий, при которых пространство С?(Х) удовлетворяет тем или иным аксиомам отделимости. McCoy показал6, что в случае, когда А — сеть из компактных подмножеств X, а г — все открытые множества, пространство С?(Х) всегда вполне регулярно. В общем случае, однако, это не так; более того, рассматриваемое пространство может вообще не удовлетворять никаким аксиомам отделимости. Проще всего находится критерий хаусдорфовости С*{Х) — теорема 5.11, а вот с более слабыми аксиомами (именно им посвящен пятый параграф) дело обстоит сложнее. Аксиома Т\, как оказалось, совпадает с аксиомой Тг в случае пространства СД(Л') , но для произвольного семейства т это уже не так. Также пе удалось найти необходимое и достаточное условие того, что пространство С*(X) удовлетворяет То- аксиоме. Не ясно даже, какими свойствами должны обладать А и т, чтобы у каждой функции в С^{Х) нашлась окрестность, отличная от всего пространства. Наиболее важными результатами пятого параграфа являются

eMcCoy R. А. , Ntantu I. — Topological Properties of Spaces of Continuous Functions — Berlin: Springer-Verlag, Lecture Notes in Mathematics, 1315, 1988, 124pp.

теоремы 5.1 и 5.10.

Вопрос регулярности и полной регулярности пространства Сх(Х) рассматривался только для случаев, когда т либо все открытые множества, либо все интервалы. Не удалось ни доказать, ни опровергнуть гипотезу, что для регулярности Сх(Х) необходимым условием является Л-компактность всех элементов А. Для семейств А, состоящих их компактных множеств, получено легко проверяемое достаточное условие (не являющееся необходимым) полной регулярности пространства СД(Х) (теорема 6.5). Также доказано некоторое необходимое условие для регулярности пространства Сх(Х) в точке /о = 0 (ввиду неоднородности Сх(Х) регулярность в одной точке не гарантирует регулярности всего пространства — со-' ответствующпй пример приведен в тексте диссертации). Если г состоит из всевозможных интервалов, то имеется удобный критерий регулярности в точке /о (теорема 6.11).

Основные результаты диссертации отражены в седьмом и восьмом параграфах. Это есть критерии локальной компактности и а-компактности пространства Сх(Х) (теоремы 7.3 и 8.10). В этих параграфах иа А налагается дополнительное условие быть тг-сетью (это необходимо для хаусдорфовости Сх(Х) ). Критерий локальной компактности выглядит следующим образом:

7.3. ТЕОРЕМА. Пусть А— ж-сеть. Тогда следующие условия эквивалентны:

а) Сх(Х) локально компактно;

б) точка /о — точка локальной компактности Сх(Х) ;

в) X конечно.

Обсуждая этот результат, обратим внимание на два момента. Первое: в случае топологии поточечной сходимости и в случае компактно-открытой топологии соответствующий факт хорошо известен; теорема 7.3 является наиболее полным его обобщением на сегодняшний день. Второе: в пункте б) теремы 7.3 функцию /0 можно заменить, конечно, на любую постоянную функцию, а вот можно ли ее заменить на

произвольную функцию из С(Х) — неизвестно, т.е. неичнсст-но, могут ли существовать точки локальной компактности в Сх(Х) для бесконечного X. Пока удалось лишь установить отсутствие в таких пространствах изолированных точек (теорема 7.5).

Хорошо известно, что для компактно-открытой топологии и топологии поточечной сходимости а-ко.мнактность пространства С{Х) также эквивалентна конечности Л*. Оказалось, что в отличие от локальной компактности этот результат на случай произвольной множественно-открытой топологии не переносится. Так, если мы возьмем в качество Л' Стоун-Чеховскую компактпфикацию произвольного дискрета, а в качестве семейства Л — все конечные подмножества этого дискрета, то СЛ(Х) будет сг-компактным (а X бесконечным). Однако, как выяснилось, приведенный пример едва ли не единственный пример ст-компактного СЛ(А') для бесконечного X. Точнее, имеет место

8.10. ТЕОРЕМА. СА(ЛГ) а-компактно тогда и только тогда, когда X псевдокомпактно, содержит всюду плотное в X Множество изолированных точек О(Х), которое С'-вложено в X, а X состоит, из всевозможных конечных подмножеств 0{Х).

Эта теорема является основным результатом параграфа и вторым основным результатом диссертации.

РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1) Альперин М. И. , Нохрин С. Э. Топологии на пространствах непрерывных функций и вложения // Труды ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 1995. Т.З. С.65 — 73.

2) Нохрин С. Э. О совпадении А-топологий // Сб. науч. тр. УрГУ. Свердловск, 1990. С.86 — 90.

3) Нохрин С. Э. О некоторых топологиях на простран-

стве непрерывных функций // Тез. докл. молодеж. конф. "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург, 1993. С.5 — G.

4) Нохрин С. Э. Об аксиомах отделимости в функциональных пространствах //Тез. докл. IX междунар. конф. по топологии и ее прнл. Киев, 1992. С.11

5) Нохрин С. Э. Аксиомы отделимости в функциональных пространствах // Труды ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 1995. Т.2. С.66

6) Нохрин С. Э. Аксиомы отделимости в множественно-открытой топологии // тез. докл. конф. "Проблемы теоретической и прикладной математики" N25 — 26. Екатеринбург, 1995. С.7 — 8.

7) Нохрин С. Э. ст-компактность и А-топология // Тез. докл. конф. "Проблемы теорет. и прикл. математики" N28. Екатеринбург. 1997. С.13.

8) Нохрин С. Э. Локальная компактность функциональных пространств в множественно-открытой топологии // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 1996. Т.2. С. 124 — 126.

9) Nokhrin S. Е. Set-open topologies on function spaces // Colloquium on topology: Abstracts, Hungary, 1993. Szekszard, 1993. P.41.

10) Nokhrin S. E. Set-open topology and separation axioms // Fourth Russian-Japanese Colloquium on General Topology, 22-28 May, 1995. Moscow: Moscow State University, 1995. P. 19-20.

Подписано в печ._ 11). -Ц в К I. Формат 60x 84 1/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная. Объем 1,0 Тир. 100 Зак. № 320 Екатеринбург, К-83, пр. Ленина, 51 Типолаборатория УрГУ.