Некоторые приложения нестандартного инфинитезимального анализа в теории вариационных сходимостей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ргб оа

2 {) && КЗ?

На правах рукописи

Гудименко Алексей Иванович

Некоторые приложения нестандартного инфинитезимального анализа в теории вариационных сходимостей

01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток - 1997

Работа выполнена в Тихоокеанском океанологическом институте Дальневосточного отделения РАН.

Начный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор С.С. Кутателадзе

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук, профессор С.К. Водопьянов

Ведущая организация — Северо-Осетинский государственный университет им. K.JI. Хетагурова

диссерационного совета К002.23.02 при Институте математики СО РАН по адресу: Новосибирск, Университетский пр., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИМ СО РАН

— кандидат физико-математических наук Ан.А. Рубан

Защита состоится f% июи S1

1997 г. в

/(>.00

на заседании

Автореферат разослан Зо QujttA $ 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Общая характеристика работы

Актуальность темы

В последние годы наблюдается значительный интерес к теории вариационных сходимостей, обусловленный главным образом ее успехами в приложении к задачам усреднения дифференциальных операторов Однако сложность основных понятий и конструкций теории затрудняет должное ее использование, а также ее разработку и изучение.

Один из путей преодоления этой трудности — использование нестандартного инфинитезимального анализа, известного своими эффективными упрощающими процедурами 2, основанными на технике элиминации кванторов и возможными благодаря привлечению специфических внешних понятий.

Анализ литературы показывает, что до сих пор приложение нестандартного инфинитезимального анализа в теории вариационных сходимостей было случайно и фрагментарно и никак не решало указанную проблему 3. Таким образом, представляется целесообразным проведение систематического анализа вариационных сходимостей методами и средствами нестандартного инфинитезимального анализа.

Цель работы

Цель работы состоит в получении и разработке характерных для области вариационных сходимостей нестандартных понятий, позволяющих сократить сложнбсть основных конструкций теории

'См. Attouh Н., Variational Convergence for Functions and Operators, Pitman, New York, 1984; Attouh H., Усреднение, Труды семинара H. Бурба-ки за 1988 г.: Сб. статей, Мир, М., 1990; Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А., Усреднение дифференциальных операторов, Физматлит, ГЛ., 1993.

2См. Нельсон Э., Радикально элементарная теория вероятностей, Изд-во ин-та математики СО РАН, Новосибирск, 1995; Кутателадзе С.С., Нестандартный анализ касательных конусов, Докл. АН СССР, 284, 525-527(1985).

3Более подробно об этом см. в предисловии к диссертации.

и, как следствие, упростить формулировки и доказательства ее утверждений. В качестве промежуточного этапа предполагается получение нестандартных критериев основных понятий теории.

Методика исследования

Методика исследования состоит в использовании характерных для инфинитезимального анализа техник и приемов (элиминация кванторов, актуализация, индивидуализация и пр.).

Научная новизна

1. Введено и исследовано понятие стандартизации и ассоциированной с ней сходимости, позволяющее в ряде случаев заменить классические сходимости их нестандартными аналогами — стандартизациями. На этом пути

(а) предложен нестандартный критерий псевдотопологии — одного из основных типов сходимости, и

(б) показано, что класс сходимостей, ассоциированных со всевозможными стандартизациями, совпадает с классом

~ 4

всех псевдотопологии.

2. Предложен аппарат вариационных стандартизации как исследовательский инструмент в теории вариационных сходимостей. В том числе

(а) Определен ряд стандартизации, естественно возникающих в теории вариационных сходимостей.

(б) Установлена связь вариационных сходимостей со сходи-мостями, ассоциированными с вариационными стандартизациями.

4 Этот результат проливает свет на кажущуюся необоснованность выделения псевдотопологии в олин из основных классов сходимости наряду с топологиями и предтопологиями.

(в) Исследованы свойства вариационных стандартизаций. Показано, что большинство известных свойств вариационных сходимостей являются их прямым следствием.

3. Дана нестандартная характеризация топологий вариационных сходимостей.

(а) Введено и исследовано понятие микрозамыкания относительно семейства подмножеств. В отдельных случаях установлена его связь со стандартным микрозамыканием.

(б) На основе этого понятия дана характеризация монад фильтров окрестностей точек гиперпространств, снабженных топологиями виеторисского типа.

(в) В отдельных случаях (топологии Моско и Фелла) эти топологии охарактеризованы в терминах стандартного микрозамыкания.

(г) Дана характеризация равномерных топологий: Аттуша-Ветса и хаусдорфовой метрики.

4. Выделен ряд утверждений, названных теоремами об инфи-нитезималъном продолжении аффинных функционалов. На их основе дано нестандартное доказательство теорем Вира о непрерывности преобразования Юнга-Фенхеля по отношению к топологиям Моско и Аттуша-Ветса.

Теоретическая и практическая значимость

Результаты автора представляют интерес для специалистов, использующих в своей работе вариационные сходимости, как альтернативный (более элементарный в сравнении с традиционным) подход к исследованию вариационных сходимостей и к изложению соответствующей теории.

Результаты, касающиеся связи стандартизаций и псевдотопологий, могут быть использованы в общей теории сходимости в качестве одного из исходных пунктов ее построения.

Подход автора к характеризации вариационных топологий (суть этого подхода — в выделении двух типов микрозамыкания: стандартного микрозамыкания и микрозамыкания относительно семейства подмножеств — с последующим установлением их взаимосвязи) может применяться в общей топологии и функциональном анализе в качестве методики исследования подходящих классических объектов. Отметим здесь же, что предложенные автором критерии гипертопологий могут одновременно служить и базой для их классификации. 5 (Поиску последней посвящено определенное число работ.)

Специалисты по функциональному анализу обратят также внимание на близкие по духу к классическим теоремам отделимости Хана-Банаха утверждения, названные автором теоремами об ин-финитезимальном продолжении аффинных функционалов.

Структура диссертации и публикации

Диссертация выполнена с использованием пакета программ ЩеХ, содержит 84 печатных страницы и состоит из предисловия, трех глав и библиографии. Последняя содержит 59 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1, 2, 3,4].

5В самом деле, в диссертации показано, что все рассматриваемые в ней гипертопологии (Фелла, Моско, Аттуша-Ветса и т.д.) разнятся по существу лишь типом точек, участвующих в их нестандартном определении (это соответственно компактные, слабо компактные, конечные и т.д. точки).

Основное содержание работы

Глава 1. Глава имеет вводный характер. В разделе 1.1 излагается предмет исследования, дается обзор основных идей, результатов и используемых методов. Раздел 1.2 содержит необходимые для понимания диссертации сведения из робинсоновского анализа.

Глава 2. Основное содержание этой главы — изучение предложенного автором понятия стандартизации и ассоциированной сходимости. При этом акцент делается на исследовании вариационных стандартизаций и их связи с вариационными сходимостями.

В разделе 2.1 вводится общее понятие стандартизации и устанавливается ее связь с одним из основных типов сходимости — псевдотопологией.

Всюду ниже V — стандартный универсум, X — его множество, *Х — нестандартное расширение X и П(Х) — совокупность всех фильтров на X.

Определение 1 (1). Стандартизацией на *X называется произвольное соответствие уз: *Х —>■ X.

(2). Сходимость а(<р) на X называется ассоциированной со стандартизацией у, если

х Е Пгп<7(¥)) Л р(Л) С ^(я)

для произвольных х € с!оту> и Л 6 И(Х).

Теорема 2 Если у — стандартизация ка *Х, то сг(у>) — псевдотопология. Если сг — псевдотопология, то <г(у>(<г)) = а. Следовательно, класс сходимостей, ассоциированных со всевозможными стандартизациями на *Х, совпадает с классом псевдотопологий на X.

Доказательство этой теоремы существенно опирается на

Предложение 3 (Нестандартный критерий псевдотопологии) Сходимость о — псевдотопология тогда и только тогда, когда для любых х € скипа и Л € И(Х)

___^х 6 Ищ, Л 1х{А) С ____

где та{х) есть объединение монад всех ультрафильтров из сг[х).

В разделе 2.2 определяются вариационные стандартизации. При этом основное внимание уделяется множественным стандар-тизациям: ерьстандартизации получаются из множественных через отождествление функций с их надграфиками, а С-стандарти-зации — через отождествление многозначных отображений с их графиками.

т-стандартизация по Куратовскому на *2Х. Определена для произвольного топологического пространства {X, т) и по определению ставит в соответствие каждому £) 6 *2Х его стандартное г-микрозамыкание Д.

сот,- - Эта стандартизация имеет ту же область определения и ставит в соответствие каждому В € ' 2х стандартное г-микрозамыкание множества сот,- (£>) всех т-компактных точек В.

Апт-8<,ст Определена, в частности, для банахова пространства (г := 5, с := IV, где я — сильная и го — слабая топологии на X) и ставит в соответствие каждому Б 6 *2Х стандартное сг-микрозамыкание множества йпт(£>) всех г-конечных точек !).

Дальнейшее деление связано с рассмотрением для каждой из указанных стандартизаций еще двух. Например, для — это и . Первая ставит в соответствие произвольному О 6 *2Х всевозможные подмножества Д вторая — всевозможнные надмножества. Ясно, что = Лв^. Аналогичным образом определяются стандартизации: сот,- - и сотТ - , а также йпт -и йпг - .

Fell-str т-стандартизация по Феллу. Определена для произвольного топологического пространства (X, т) и есть точная нижняя грань st~ и com-st^".

Mosco -st Mosco-стандартизация. Определена для банахова пр-странства и есть точная нижняя грань s-st~ и comu,-st¿.

Соответствие между вариационными стандартизациями и вариационными сходимостями устанавливает следующая

Теорема 4 (1). Пусть (Х,т) — произвольное топологическое пространство. Тогда на 2х сходимость, ассоциированная с т-стандартизацией по Куратовскому, совпадает с т-сходимостью по Куратовскому.

(2). Пусть X — банахово пространство. Тогда на последоеа-тельностях элементов из Со[Х) seq -w-сходимость по Куратовскому влечет сходимость, ассоциированную со стандартизацией СОГПц, -stu,.

(3). Пусть {Х,т) — регулярное топологическое пространство. Тогда на С1(Х) сходимость, ассоциированная со стандартизацией Fell-stx, совпадает со сходимостью в топологии Фел-ла.

(4). Пусть X — банахово пространство. Тогда на последовательностях элементов из Со(Х) сходимость, ассоциированная с Mosco-стандартизацией, совпадает с Mosco-сходимостью.

Здесь были исползованы обозначения: Со(Х) для совокупности всех непустых замкнутых выпуклых подмножеств X и С1(Х) для совокупность всех замкнутых подмножеств X.

Аналогичные утверждения установлены для epi- и G- стандартизации

В разделе 2.3 обсуждаются свойства вариационных стандарти-заций. Здесь же на отдельных примерах показывается, что свойства epi- и множественной сходимостей есть прямое следствие соответствующих свойств epi- и множественной стандартизаций. Не-

которые результаты автора, касающиеся вариационных свойств ерьсходимости, дополняют известные.

Рассматриваются следующие свойства:

1) цолунепре£Ь1В1юсть снизу (замкнутость) значений ерьстан-дартизации;

2) устойчивость относительно непрерывных возмущений ерь стандартизации;

3) сравнение ер!-стандартизаций для разных топологий;

4) ерьстандартизация для бесконечно малых и бесконечно больших элементов из ее области определения;

5) вариационные свойства ерьстандартизации.

Глава 3. В этой главе предлагаются нестандартные критерии для большинства известных топологий вариационных сходимостей (в их числе топологии Виеториса, Фелла, Моско, Аттуша-Ветса и хаусдорфовой метрики) и дается ряд приложений новой харак-теризации, в том числе к задаче о непрерывности преобразования Юнга-Фенхеля по отношению к топологиям Моско и Аттуша-Ветса.

В разделе 3.1 вводится существенное для нестандартной харак-теризация топологий понятие микрозамыкания относительно семейства подмножеств и устанавливается его связь со стандартным микрозамыканием 6 в трех конкретных случаях выбора семейства, а именно НЕ^-случае выбора семейства всех открытых 0Т(-Х), компактных КГ[Х) и замкнутых С1Т(Х) подмножеств топологического пространства. {Х,т}.

6 Здесь автор несколько отклоняемся от принятой терминологии и называем микр озамыканием множества X? С 'X, где X — топологическое пространство, его микрозамыкание относительно семейства всех открытых подмножеств X, в то время как обычное микрозамыкание он называет стандартным микрозамыканием.

Определение 5 Пусть X £ V и Т(Х) — некоторое семейство подмножеств X. Для произвольного у 6 * X множество

называется монадой у относительно Т[Х).

Определение 6 Точка у Е *X называется Т(Х)-микропределъ-ной для D С *Х, если ЦТ{Х) {у) П D ф 0.

Определение 7 Присоединение к D всех ^"(Х)-микропредельных для него точек называется микрозамыканием D относительно 3-{Х) и обозначается clr(Jf) D.

Предложение 8 — оператор топологического замыкания

на *X. Таким образом, для любых D С *X и Е С *Х

1) DCc\,(x)D,

2) DcE=> clHX) D С сЦх) Е,

3) СЦх) сЦх> D ~ сЦх) А

и совокупность всех замкнутых относительно подмно-

жеств *X устойчива относительно конечных объединений.

Предложение 9 Пусть {X, т) — топологическое пространство. Тогда для любых Т(Х) и D С *Х справедливы включения:

stT D С stT D и stT D\rw CstTcl

Предложение 10 Пусть {Х,т) — произвольное топологическое пространство.

(1). Для произвольного внутреннего D С *Х

*(9tr D)Cc\0r{x)D.

(2). Для произвольного Б С *Х

с1ог(х) £> = В.

Предложение 11 (1). Пусть {Х,т) — регулярное топологическое пространство. Тогда для любого О С *Л' имеют место равенства:

(2). Пусть (Х,т) — произвольное топологическое пространство. Тогда для любого £> С *Х

В разделе 3.2 предлагаются нестандартные критерии основных топологий вариационных сходимостей. Автор рассматривает отдельно топологии виеторисского типа и равномерные топологии.

Определение 12 Пусть {X, т) — топологическое пространство, Нур(Х) и Т{Х) — некоторые семейства его подмножеств.

Предбаза топологии виеторисского типа т;г(х) на Нур(Х) состоит из всех множеств вида

гжЯеОт(х)

Удобно представлять тт(Х) как супремум двух топологий: т~ и т+ на Нур(Х), порожденных соответственно всеми множествами

' (л )

вида (1) и (2).

с1Жг(х) 0\клх) = вЬт £>|Кг(Л, и

С^КГ(Х) ®\кт{х) С С^КГ(Х) * -^1кг(Х) •

{СеНурро |Спд^0} и {сеНур(х) I СП5=0},

(1)

42)

Теорема 13 Если семейство Т{Х) замкнуто относительно конечных пересечений, то для произвольных D и Е из* Нур(Х) справедливы тождества:

Е е fiK{D) &с\Т D С clTE и Евц + (D)*clT{x)E\

Используя результаты раздела 3.1, получаем

Следствие 14 (1). Пусть (Х,т) — регулярное топологическое пространство. Тогда для любых С € Clr(X) u D 6 * С1Г(Х)

D € /лТ- (С) «> С С stT D и D€^rW(C)^stTD\f<rix)cC,

то есть

D G Htf (С) <=> Fell - str D, где fiTF (С) — монада С в топологии Фелла.

(2). Пусть X — банахово пространство. Тогда для любых С <Е Со(Х) и De* Со{Х)

D € цТ- (С) о С С stT D и

то есть

D £ Итм (С) & Mosco -st D, где f.iTM (С) — монада С в топологии Моско.

Сформулируем основной результат, касающийся равномерных гипертопологий.

Предложение 15 Пусть {Х,р) — метрическое пространство и D и Е — произвольные элементы * С1ДХ). Тогда

ин

Е £ D el, Е = с\р D и

UAW

Е * D&c\pE\BoW=c\pD\BAxy

Здесь 14,-, — равномерность Хаусдорфа, ¿/ди, — равномерность Аттуша^Ветса,и ВР(Х) — совокупность всех ограниченых подмножеств X.

Диссертация заканчивается рассмотрением ряда приложений полученных характеризаций. Отметим здесь лишь приложение (раздел 3.3), касающееся свойств непрерывности преобразования Юнга-Фенхеля по отношению к топологиям Моско и Аттуша-Ветса. Основной результат автора в этом направлении состоит в выделении специального вида утверждений, названных им теоремами об цнфинитезимальном продолжении аффинных функционалов, и доказательстве с их помощью известных теорем Вира, констатирующих упомянутую непрерывность.

Сформулируем одно из таких утверждений. Для этого обозначим через Г(Х) совокупность всех выпуклых замкнутых собственных функций из линейного нормированного пространства X в ] — оо, + оо] гчерез -Ай-(X) — совокупность всех непрерывных-аффинных функционалов на X и через йп(*Х) — совокупности всех конечных точек *Х. При этом будем говорить, что функционал с € * Ай почти минорирует функцию С 6 'Г в точке у £ *Х, если с(у) меньше или бесконечно близко к (7(у).

Предложение 16 Пусть С 6 *Г(Х) — функция, принимающая конечное значение в некоторой точке у € йп(*Х), и конечный по норме в Х'хЯ функционал с б * ААГ(Х) почти минорирует С на Тогда найдется функционал Ь £ * АЯ(Х), минорирующий С всюду на *Х, и бесконечно близкий к с в каждой точке йп(Х).

Читатель должен заметить, что по духу эти утверждения родственны классическим теоремам отделимости Хана-Банаха, и не случайно, что они «Грают определяющую роль в нестандартных доказательствах теорем Вира.

Работы, опубликованные по теме диссертации

1. Гудименко А. И., Нестандартный анализ топологических свойств многозначных отображений, Препринт, ИПМ, Владивосток, 1992.

2. Гудименко А. И., Приложение нестандартной характери-зации топологий на пространствах подмножеств к задаче о непрерывности преобразования Юнга-Фенхеля, Дальневосточный мат. сб., 1, 28-36 (1995).

3. Gudimenko A., Variational convergences in the context of nonstandard analysis, Pacific Conference on Mathematical Modeling and Cryptography, 1995.

4. Гудименко А. И., Множественные и epi- стандартизации, их связь с одноименными сходимостями, Сиб. мат. журнал., 38, 78-89 (1997).