Вариационная сходимость интегрантов с нестандартными условиями коэрцитивности и роста тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ХРИПУНОВА БАЛДЖЫ Анна Сергеевна

ВАРИАЦИОННАЯ СХОДИМОСТЬ ИНТЕГРАНТОВ С НЕСТАНДАРТНЫМИ УСЛОВИЯМИ КОЭРЦИТИВНОСТИ И РОСТА

Специальность 01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 Я НОЯ 2013

Владимир 2013 005541500

005541500

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»

Научный руководитель доктор физико-математических

наук, профессор Московского государственного технического университета радиотехники, электроники и автоматики

Пастухова Светлана Евгеньевна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова Шапошникова Татьяна Ардолионовна

кандидат физико-математических наук, профессор Ковровской государственной технологической академии им. В.А. Дегтярева Барабанов Олег Олегович

Ведущая организация Институт прикладной математики

им. М.В. Келдыша РАН

Защита диссертации состоится 23 декабря 2013 г. в 16 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.025.08 при Владимирском государственном университете по адресу: г. Владимир, пр-т Строителей, д. 11, ауд. 237.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Владимирского государственного университета.

Автореферат разослан «21» ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

Л/

У Наумова С.Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В задачах вариационного исчисления требуется найти наименьшее значение функционала, заданного на некотором множестве. Если задана последовательность вариационных задач, то возникает вопрос о корректном определении предельной задачи и предельного функционала. Наиболее естественным языком, описывающим асимптотическое поведение вариационных задач, является так называемая Г-сходимость. Главная особенность Г-сходимости состоит в том, что широкие классы интегрантов оказываются компактными относительно этой сходимости.

1. В рамках абстрактной теории вопросы Г-сходимости были изучены в работах итальянских математиков Э.Де Джорджи 1,2 и его коллег более тридцати лет назад. Л. Карбоне и К. Сбордоне 3 конкретизировали абстрактную теорию для интегральных функционалов вида

где ПсШ.** есть ограниченная липшицева область, а интегрант /(х,£) : П х Щ/* —► Ю.* предполагается каратеодориевой, выпуклой по £ функцией, для которой выполнены стандартные условия коэрцитивности и роста

В.В. Жиков в работах4,5 построил более общую теорию Г-сходимости интегральных функционалов с нестандартными условиями коэрцитив-ности и роста

-со + Cl|í|Q < f(x,0 < C2\íf + со, С! > О, со > о, 1<0<I3<00. (2)

Отметим важную особенность функционалов с нестандартными условиями коэрцитивности и роста (2): когда показатель нелинейности а. отвечающий за свойство коэрцитивности, строго меньше показателя ¡3, отвечающего за свойство ограниченности, возникает неединственность поста-?ювки вариационной задачи, или эффект Лаврентьева. Эффект Лаврентьева

lDe Gioigi Е., Franzoni T. Su uu tipo di convergema variazionale//Atti Accad.Naï.Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur.-197S.-58(8).—p.842-850.

2De Giorgi E., Letta G. Une notion generate de convergence bible des fonctions croissantes d'ensemble,'/Ann. Scuola Sup. Pisa.-1977.-.V>33.-p.61-99.

3Carbone L., Sbordone C. Some properties of Г-limits of intergral functionsls '/Ann. Mat. Pura Appl.-1979-T.122.-№4.P.l-60.

*Жпков В.В. Вопросы сходимости, двойственности и усреднения для функционалов вариационного исчислешш//Иэв.Ан СССР.Сер.матем.—1983.—Т.47.-ХВ5.-С.961—998.

5Жиков В.В., О переходе к пределу в нелинейных вариационныхзадаяах//Мат. сборник. -1992.-т.183 — №8.-С.47-84.

(1)

-со + Cifêr < f{x, О < С2ICI" + Со, Cl > 0, со > О, 1 < а < оо.

выражается в неравенстве

Ei = min f f(x,Vu)dx< inf [ f(x, Vu)dx = fy, (3)

из которого видно, что с одним и тем же функционалом F можно связать задачи двух типов - Е\ и Е?.. В связи с этим В.В. Жиковым было введено два типа Г-сходимости.

Отмеченные выше результаты относились к интегральным функционалам F вида (1), зависящим от градиента V«, но не от самой функции и. Представляет интерес рассмотреть функционалы, которые зависят не только от градиента Vu, но и невыпуклым образом от самой функции и. Последнее обстоятельство отмечалось в качестве нерешенной проблемы в работах A. Braides6 и В.В. Жикова5 более 20 лет назад. Рассмотрим интегральные функционалы вида

F(u) = J f(x, и, Vu)dx. Ja

Интегрантами являются каратеодориевы (с непрерывностью по s и £), выпуклые по f функции /(x,s,£) : fi х IR х UV* Ш,, для которых имеют место

• нестандартные условия коэрцитивности и роста

—eg + ci|£|™ < f(x,s,£) < Pali!'' + со ; ci > 0, cq > 0, 1 < а < ß < оо; (4)

• свойство непрерывности по второму аргументу:

f{x,s',0-f(x,s,0 <w(|s-s'|)/(z,s,£) (5)

для любых £€lR<i, s, s'eIR и п.в. х€0, где ui(t) : [0, оо) -> [0, тп] - непрерывная функция такая, что w(0) = 0.

Предполагается доказать теоремы компактности относительно Г-сходимости в классе (4)-(5) при некоторых дополнительных условиях на показатель а.

2. Много задач на усреднение связано со степенными интегрантами вида li-lpW

/(*,£) = ]SK-1 1 < а < р(х) < ß < оо. (6)

р{х)

Степенной интегрант (6) принадлежит классу (2), является строго выпуклым и дифференцируемым по аргументу Возникает вопрос, сохраняются ли

eBraides, A. Defranceschi,A. Homogenization of Multiple Integrals — Clarendon Press: Oxford Lecture Series in Mathematics and Its Applications, 12, 1998. — 298 p.

эти свойства при Г-сходимости степенных интегрантов. Заметим, что сама степенная структура в пределе теряется.

3. Во многих вопросах важно выяснить, когда слабый предел произведения we • Vuc, где w£ - соленоидальный вектор, равен произведению слабых пределов w ■ Vu. По классической лемме о компенсированной компактности Тартара - Мюра,7 ws и Vt/£ должны быть ограничены во взаимно-сопряженных лебеговых пространствах. Предполагается сформулировать подобные условия ограниченности в более общих терминах, в которых участвует Г-сходимость интегрантов.

Цели работы. Настоящая работа посвящена Г-сходимости интегрантов с нестандартными условиями коэрцитивности и роста:

доказательству теоремы компактности относительно Г-сходимости класса интегрантов f{x,s,£), заданного условиями (4)-(5);

изучению свойств Г-пределов последовательностей степенных интегрантов;

получению новых вариантов леммы о компенсированной компактности.

Методы исследования. В диссертации используются методы математического анализа, функционального анализа, теории функций, вариационного исчисления, выпуклого анализа и теории усреднения.

Научная новизна. Перечислим основные результаты диссертации.

1. Доказана теорема компактности для нестандартного класса (4)-(5), если показатель а, отвечающий за свойство коэрцитивности, см.(З), строго больше размерности пространства d. Установлен достаточный признак сходимости энергий и минимизантов вариационных задач Дирихле;

2. Показано, что присущие степенным интегрантам свойства строгой выпуклости и дифференцируемое™ сохраняются при переходе к Г-пределу;

3. Получены новые варианты леммы о компенсированной компактности с условиями ограниченности в терминах Г-сходимости интегрантов с нестандартными условиями коэрцитивности и роста.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и могут быть использованы в различных областях теории дифференциальных уравнений в частных производных, вариационного исчисления, теории усреднения, теории монотонных операторов. Результаты диссертационной работы являются частью научно-исследовательских работ, проводимых при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты 11-01-00331,13-01-90700 и гранта-субсидии Мин. обр. и науки РФ Гк14.В37.21.0362.

7Mnrat, F. Compacité par compensation /Ann. Scuola norm, super. Pisa, Cl. Sei. Fis. Mat.-1978.-5:3.-p.89-107.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2010, 2012), обсуждались на научном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством профессора В.В. Жикова во Владимирском государственном университете имени А.Г. и Н.Г. Столетовых.

Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1—5. Из них работы 1, 2 опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов кандидатской диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы. Объем диссертации составляет страниц машинописного текста.

Краткое содержание работы

1. Приведем некоторые факты и определения из абстрактной теории Г-сходимости. Пусть X - метрическое пространство. Будем рассматривать

функции (функционалы)

" Определение 1. Функция F называется Т-пределом последовательности Fn, если

1) выполнено условие полунепрерывности снизу

lim inf F^Un) > F(u) как только un -> и;

п—Юо

2) для любого иеХ существует последовательность ип, такая что ип ->■ и, lim F„(u„) = F(u).

п—юо

Справедлив следующий принцип выбора: из каждой последовательности функций Fn, заданных на сепарабелъном метрическом пространстве X, можно извлечь Г-сходящуюся подпоследовательность.

2. Дадим абстрактное описание эффекта Лаврентьева, который играет существенную роль при изучении Г-сходимости интегрантов с нестандартными условиями коэрцитивности и роста. Пусть функционал F полунепрерывен снизу на X и 5 есть плотное в X множество. Определим релаксационный функционал равенством

F(u) = inf lim F(ti-n). u^es u„->u

Релаксационный функционал F также полунепрерывен снизу на X и F < F на X. Эффектом Лаврентьева называют не только неравенства вида Ei<E2,

см. (3), но и саму ситуацию, когда F ф Г. Если для допредельных функционалов ^ имеет место эффект Лаврентьева, то с последовательностью функционалов Рп можно связать два в общем случае не совпадающих предельных

объекта _

Г- Ига Гп и Г- 11т (7)

п-»оо п-юо

Первый из них далее обозначается как Гх-Пт Р„, а второй - Гг-Шп^.

3. Рассмотрим функционалы Р(и) на соболевском пространстве а > 1, для которых выполнено неравенство коэрцитивности

Г(и) > с||Уи||2„(11) - 1, с> 0. (8)

Для этого класса предпочтптельнее использовать определение Г-предела в терминах слабой сходимости в IV1 ""(й), подробное изложение приведено в §1 диссертации.

Определение 2. Функционал \ есть Г-предел последовательности Р„ на Мп'а{П), если

1) выполнено условие полунепрерывности снизу

ВтЫ Рп(ип) > х("). как только «„-»■« в ^'"(П);

п-+оо

2) для любого найдется последовательность ип такая, что

ип ШЕИ^'ЧП), Иш Рп(и„) = х(и).

п-»оо

Нетрудно показать, что оценка (8) сохраняется при переходе к Г-пределу. Применяя результаты абстрактной теории Г-сходимости, получаем следующий результат о компактности:

класс функционалов, подчиненных оценке (8), компактен относительно Г-сходимости, понимаемой в слшсле определения 2.

4. Начнем с определений Г-сходимости иктегрантов (функционалов) класса (2), введенных В.В. Жиковым в работах4,5.

Определение 3. Интегрант / есть Т\-предел последовательности /„, если

1) выполнено неравенство

1ш1 т£ [ /п(х,Уип)<£с > / ¡{х,Чи)<1х,

п-+оо Jn JS1

как только ил-Ч1В 1У1,0(П);

2) для любого ue Wlj3(i2) найдется последовательность ti„S W1,a(il) (называемая Ti-ревлизующей), такая что

и,, -ь и в и„ - ueWi'a(Cl),

lim / fn(x,Vun)dx= / f{x,Vu)dx.

Ja J n

В определении Гг-сходимости требуется принадлежность аппроксимирующей последовательности ы„ пространству Два варианта Г-сходимости

интегрантов соответствуют двум абстрактным предельным объектам, см. (7). Известны примеры8 несовпадения и Г2-пределов.

Пример 1. Пусть f(y,£) - периодический по убШ.^ интегрант, □ = [0,l)d- ячейка периодичности. Положим /е(х,£) = /(§,£)> е > 0, и определим усредненные интегранты

/^(0= inf f f(x^ + 4u)dx,

uew&(D) Ja

/2hom(i)= f f(x,t + Vu)dx,

□) Ja

где □) - соболевское пространство периодических функций. Как известно, задача усреднения представляет собой частный случай нахождения Г-предела, при этом

Ti- lim /£ = ЛЬ°т. Г2- lim /е =

£-»0 £-»0

В работе8 построен пример интегранта, для которого выполнено строгое неравенство /1hom < /2Ьот.

Имеет место следующий принцип компактности, доказанный В.В. Жико-вым в работе5.

Принцип компактности. Для всякой последовательности /„ интегрантов из класса (2) найдется подпоследовательность /п> и интегрант f из класса (2) такие, что fn< Д / в любой липшицевой подобласти области П. Аналогичное утверждение верно для случая Т^-сходимости.

Далее, говоря о Г-сходимости /„ в области О, предполагаем, что /„ f в любой липшицевой подобласти области Q. В таком случае нетрудно показать единственность Tj- и Г2-предела. Именно это свойство единственности позволяет говорить о сходимости интегрантов, а не только о сходимости интегральных функционалов.

8Жиков В.В. Эффект Лаврентьева и усреднение нелинейных вариационных задач / Дифференциальные уравнения,- 1991.^r.27.-Nl.-c.42-50.

5. Перейдем к классу интегрантов (4)-(5). Соответствующий функционал F(u) считаем заданным на всем соболевском пространстве И/1'а(П), где он может принимать значение +оо. Имеет место вложение W^ilJcdomF, где domF = {ueW1'a(n), F(w) < оо}. Функционал F(u) слабо полунепрерывен снизу на W1'a(ri)1 сильно непрерывен на пространстве W^fi) и коэрцитивен на »'¿■"(П) .

Определение 4. Интегрантп f есть Ti-предел последовательности fn, если

1) выполнено неравенство

liminf / fn{x, ип, Vu„)dx > / f(x,u,Vu)dx, n"+0° Jn Jn

как только un и в 1У1,0Г(Я);

2) для любого ueW1-13(Q) найдется последовательность u„.eWl a{Q,) (называемая Г\-реализующей), такая что

ип и в W^iSl), ип - ие»$,а((1),

lim / f„(x,un, Vun)(£r = / f{x, и, Vu)dx. Jn Jn

В определении Гг-сходимости требуется принадлежность аппроксимирующей

последовательности ип пространству П).

6. Нашей целью является доказательство теоремы о компактности относительно Ti и Г2-сходимости для класса интегрантов (4)-(5). Основным вспомогательным средством будет Г-сходимость при "замороженном" параметре sGIR. которую будем далее называть Г(в)-сходимостью.

Определение 5. Интегрант f есть Ti{s)-npede.i последовательности /„, если

1) выполнено условие полунепрерывности снизу

liminf ( f„ix,s,Vun)dx > f f{x,s,Vu)dx, VselR, Jn Ja

как только un -i и в W1,c*(f2);

2) для любых u€W1,3(fi) и selR найдется поагедовательность ип€1У1,л(П) такая, что

ип —>■ и в

lim / fn{x,s% Vun)dx = f(x,s,Vu)dx.

n->°° J u J»

Определение Г2($)-предела отличается от определения Г1(з)-прсдсла тем, что в условиях 1) и 2) аппроксимирующая последовательность ип принадлежит пространству Wl'!1{£l) .

Для каждого фиксированного 5 по принципу компактности Жикова из последовательности интегрантов /„(-, s, •) можно извлечь ^-сходящуюся подпоследовательность. Используя диагональный процесс, найдем последовательность {п'}С{п} и интегрант /(x,s,£), такие что /„-(•,«,;) {(■'«'■) /и1Я любого рационального я £ Q. Предельный интегрант /(*,*, О наследует свойства (4), (5), в которых пока з <= Q. По непрерывности Г ^предельный интегрант продолжается на все множество s 6 И. Построенный таким образом предельный объект принадлежит классу (4)-(5). Доказан следующий результат о компактности: из каждой последовательности /„ интегрантов класса (4W5) можно извлечь Г»(а)- и Т2(В)-сходящуюся подпоследовательность.

Оказывается, что при условии на показатель a>d последовательность Г,(б)-сходящихся интегрантов класса (4)-(5) будет Ггсходящиейся в смысле определения 4. Аналогичное утверждение верно относительно Г2-сходимости.

Основной результат первой главы составляет Теорема 1.1 Рассмотрим класс каратеодориевых интегрантов f(x,s,i), для которых выполнены i) условие выпуклости по

И) нестандартные условия коэрцитивности и роста, см. (4); щ) свойство типа липшицевости по второму аргументу, см. (5): iv) дополнительное ограничение на показатель: а > d.

Тогда Т^-сходящаяся последовательность интегрантов является 1 х-сходящейся. Аналогичное утверждение справедливо и для Т2-сходимости

Следствием теоремы 1.1 является следующий принцип компактности. Теорема 1.2 Класс выпуклых по£ интегрантов, удовлетворяющих условиям (4)-(5) при a>d, компактен относительно 1> и Г2- сходимости.

Заметим, что условие a>d является существенным в наших рассмотрениях Оно позволяет эффективно использовать свойство непрерывности (5). Без условия a>d доказательство компактности остается открытой проблемой.

7 В абстрактной теории устанавливается, что Г-сходимость функционалов при определенных условиях влечет сходимость минимумов и мини-мизантов (см., например, A. Braides9). Для изучаемых нами интегральных функционалов этот вопрос требует отдельного рассмотрения из-за эффекта Лаврентьева. Изучим эту ситуацию подробнее на примере задачи Дирихле. Рассмотрим вариационные задачи

Е\ — min f f{x,u,Vu)dx, ij{x,u,Vu)dx. (10)

»'¿■"(П) Jn с° (U) Ja

Отмстим одно различие задач Е1 и Е2. Минимум в задаче Ег достигается по теореме Вейерштрасса - Тонеллп, поскольку интегральный функционал

»Braides А. г-converseDce for Ъфапет. - Oxford University Press, 2002 - 218 p.

слабо полунепрерывен снизу и коэрцитивен на В задаче Е2 минимум

может не достигаться, но в этом случае по определению инфимума существуют так называемые ¿-минимизанты.

Для интегрантов /„ рассмотрим задачи двух типов

min [ fn{x,u,Vu)dx, = mf f fn(x,u,Wu)dx.

И^ "*(П) Jil W<II)./n

Если / = Гг lim/,!, то возникает вопрос о сходимости энергий Е{"]. Идеальным ответом была бы сходимость

Um Е\п) = Ег. (И)

п-юо

В ряде случаев указанная сходимость энергий, действительно, наблюдается. Однако, в общем случае можно говорить лишь о неравенствах

Ег = min F(u) < liminfß^ < limsup£[n) < inf F(u) = Eh- (12) wj'-ifi) "-+00 cUrl")

Из неравенств (12) следует, что для сходимости энергий Е[п) достаточно равенства энергий двух типов в задачах (10) с ^-предельным интегрантом /. Это приводит к следующему определению регулярного интегранта.

Определение 6. Назовем интегрантп f регулярным, если для любого и € Wq'"(Л), такого что F(u)<oo, существует последовательность и„еСо°(0), для которой

un^uBWt"(Cl), lim f f{x, un,Vun)dx = f f(x,и, Vu)dx. n " П-+00 Jq Jci

Из определения видно, что в случае регулярного интегранта задачи первого и второго типа в (10) совпадают, поэтому имеет место сходимость энергий

(И).

8. Глава 2 посвящена изучению Г-сходимости степенных интегрантов вида (6). Определим класс S(a,ß) как Г-замыкание множества степенных интегрантов вида (6). Заметим, что интегранты класса S(a,ß), вообще говоря, не обязательно сохраняют степенную структуру.

Пример 2. Рассмотрим задачу усреднения для последовательности интегрантов /(у„£) = где /(у, О периодическая по у функция с ячейкой периодичности □ = [0, l)d . Известно, что в одномерном случае (d = 1) имеет место представление

^hom = £ ^щ-dy, f"(x, Г]) = sup{£ • ч - /(*,£)}-

Возьмем кусочно-постоянный показатель р{у), принимающий значения Р1 и рг- Тогда интегрант (/Ьош)" (£) есть сумма степенных интегрантов с разными показателями р[ и р'2- Отсюда видно, что сам усредненный интегрант /Ъот(0 не является степенным.

Пример 3. Степенной интегрант очевидно изотропен, то есть зависит только от . Изотропия не сохраняется при переходе к Г-пределу, что показывают примеры усреднения в случае квадратичного интегранта. Действительно, при (I = 2 рассмотрим интегранты

где а(Vi) > 0 - непрерывная периодическая функция, (а) - среднее по пери-

откуда видно, что предельный интегрант не изотропен.

К важнейшим свойствам степенных интегрантов относятся

• Д2-условие: /(ж,±2£) < с/(х,£) + 1;

• строгая выпуклость по

• дифференцируемость по

Наша цель состоит в проверке этих свойств для интегрантов класса 5(а,уЗ). Сформулируем центральные результаты второй главы. Теорема 2.1 Интегранты }(х,£) класса Я(а, в) строго выпуклы по £ для п. в. то есть

Теорема 2.2 Интегранты Г(х,г}), сопряженные по Юнгу к интегрантам класса Б(а,0), строго выпуклы по у для п.в. х&О..

Из теорем 2.1 и 2.2, а также общих свойств выпуклых функций следует, что Г-предельный интегрант дифференцируем по Действительно, выпуклая функция /(£) не обязательно дифференцируема, можно говорить лишь о существовании субградиента в точке. Напомним, что вектор т?о€П1 называют субградиентом /(£) в точке ^оёГОЛ если

Из выпуклого анализа известно, что функция /(£) является дифференцируемой в точке, если ее субградиент единственен, что в свою очередь выполнено

10Жиков В.В., Козлов С.М., Олейшпс O.A. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Наука, 1993.

/.(*,£) = а lei2,

ДО-/(&)>»»-К-6)

в случае строгой выпуклости сопряженной функции /"(£). Из этих соображений и теоремы 2.2 следует

Теорема 2.3 Интеграпты f(x, £) класса S(ct,fl) и сопряженные к ним дифференцируемы по

Еще один результат, касающийся равномерной выпуклости, удалось получить только в случае а > 2 . Справедлива следующая теорема. "Утверждение 2.4 Для интегрантов класса S(ct,/3), 2 < а < р(х) < fi, выполнено свойство равномерной выпуклости

î (х, + / (*, < \(Нх, а+/(х, г,)).

9. Часто требуется найти предел произведения we-Vu£ соленоидального вектора w, и градиента Vue, слабо сходящихся в L°(ïl)d и l/'(fl)d соответственно, при этом 1 < а < /3. В классической лемме о компенсированной компактности Тартара — Мюра установлена сходимость

lim / <pw€ ■ S7utdx = / ipwVudx V<p € C£°(iî), e->°Jn Jn

при условии a = /3. В Главе 3 диссертации доказаны новые варианты леммы о компенсированной компактности, в которых а < 0. Отправной точкой послужили недавние результаты В.В.Жикова и С.Е. Пастуховой11,12. В этих работах устанавливается слабая сходимость в смысле мер произведения w€ ■ Vuc к произведению слабых пределов w ■ Vu с точностью до сингулярной компоненты

we ■ Vuedx —k dp., dfi = w ■ Vudx + dps,

где ц* - сингулярная (относительно меры Лебега dx) мера. Примеры показывают, что сингулярная компонента может быть нетривиальной. Наша цель -найти такие случаи, когда сингулярная компонента отсутствует. Предположим, что

ие —^ и в W1,a(f2), we w в L3\Q)d, divw£ = 0. (13)

Имеющееся в лемме Тартара - Мюра условие ограниченности множителей Vu£, ws во взаимно сопряженных лебеговых пространствах заменим на более общее условие вида

f /£(х, Vuc)dx, [ /Е"(х, we)dx <С< ос, (14)

Jn Jn

"Жиков B.B. К технике предельного перехода в нелинейных эллиптических уравнениях, // функциональный анализ и его приложения. — 2009.—43.—2.—с.19-38.

12Жихов В.В., Пастухова С.Е. О принципе компенсированной компактности //Докл. РАН. — 2010. — 433. — 5. - с.590-595.

где интегранты fe удовлетворяют нестандартным условиям коэрцитивности и роста с показателями а, /3. такими, что

. f -т^-1 если а < d, /,с\

l<a</3<a =s dra ^ * (15)

— ^ +оо, если а > а.

Теорема 3.1 Пусть /£- интегранты класса (2), для которых требуем регулярность, равномерное по е А2-условие и сходимость fe —»■ /, где / -регулярен. Тогда, в предположениях (13)-(15) имеет место слабая сходимость мер

we ■ Vu£dx w • Vudx.

Приведем примеры, в которых предположения теоремы 3.1 выполнены. Пример 4. Пусть /£=/ и / = /(£) - выпуклый интегрант, удовлетворяющий Д2-условию и оценке (2). Тогда условие (14) принимает вид

[ f(\7ue)dx, [ f~(v>e)dx < С < оо. Ун Ун

Регулярность выпуклого интегранта /(4) хорошо известна13. В случае Д£) = получается классический результат Тартара - Мюра, Пример 5. Пусть /£(i,i)=|^|p*(l) - степенной интегрант, где р£(х)= р (f) и р(у) - периодическая функция на 1 <а<р(у)</?<£**, удовлетворяющая

логарифмическому условию X.Fan - Жикова14:

|p(x)-p(y)|<r-V", х,уеП,\х-у\<±.

Это условие обеспечивает регулярность интегранта /е. Предельный интегрант / является регулярным, так как не зависит от пространственной переменной: f{x,О = /ta"п(£), см. (9).

В работе 1 доказаны более общие результаты, в которых функционалы из условия (14) не являются регулярными.

В заключении автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору С.Е. Пастуховой за постановку задач, руководство и постоянное внимание к работе.

иЭклацз И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариапнониые проблемы. М.: Мир. 1979. "Жиков В.В. Об эффекте Лаврентьева / Докл. РАН.- 1995.- т.345.-Ы1.- с.10-14.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях из перечня ВАК

1. Пастухова С.Е., Хрипунова A.C. Некоторые варианты принципа компенсированной компактности // Математический сборник, 2011, т. 202, №9, с. 135-160.

2. Pastukhova S.E., Khripunova A.S. Gamma-closure of some classes of nonstandard convex integrands // Journal of Mathematical Sciences, 2011, Volume 177, Issue 1, p. 83-108.

Публикации в прочих изданиях

3. Пастухова С.Е., Хрипунова A.C. Некоторые варианты принципа компенсированной компактности // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов, 2010, с.63:

4. Хрипунова A.C. О равномерной выпуклости Г-предельного элемента дл последовательности степенных интегрантов //Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов, 2012, с.74.

5. Пастухова С.Е., Хрипунова A.C. О Гамма-компактности одного класса интегрантов с нестандартными условиями коэрцитивности и роста// Проблемы математического анализа, 2013, т.74, с.

Подписано в печать 15.11.13. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ ¿5£> Издательство Владимирского государственного университета имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых. 600000, Владимир, ул. Горького, 87.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВЛАДИМИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. А.Г.и Н.Г.СТОЛЕТОВЫХ

На правах рукописи

ХРИПУНОВА БАЛДЖЫ АННА СЕРГЕЕВНА

Вариационная сходимость интегрантов с нестандартными условиями коэрцитивности и

роста

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы

и оптимальное управление

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -доктор физико-математических наук, профессор Пастухова Светлана Евгеньевна

Владимир - 2013

Оглавление

Введение 2

1 О Г-компактности одного класса интегрантов с нестандартными условиями коэрцитивности и роста 14

§1 Основные положения теории Г-сходимости......................................14

§2 Г-сходимость интегрантов с нестандартными условиями коэрцитивности и

роста вида /(х, в, £)..................................................................22

§3 Теорема о Г($)-компактности........................................................26

§4 Теорема о Г-компактности..........................................................29

§5 Сходимость минимумов и минимизантов..........................................32

2 О переходе к пределу в классе степенных интегрантов 38

§6 О Г-замыкании класса степенных интегрантов..................................38

§7 Строгая выпуклость Г-предельного интегранта..................................46

§8 Строгая выпуклость сопряженных к Г-предельным интегрантам и её следствия ..................................................................................57

§9 Равномерная выпуклость и Г-сходимость..........................................63

3 Варианты леммы о компенсированной компактности 65

§10 Классическая лемма о компенсированной компактности и ее обобщения ... 65

§11 01у-сиг1 лемма с условиями в терминах Г-сходимости ..........................70

Литература 72

Введение

В задачах вариационного исчисления требуется найти наименьшее значение функционала, заданного на некотором множестве. Если задана последовательность вариационных задач, то возникает вопрос о корректном определении предельной задачи и предельного функционала. Наиболее естественным языком, описывающим асимптотическое поведение вариационных задач, является так называемая Г - сходимость. Главная особенность Г-сходимости состоит в том, что широкие классы интегрантов оказываются компактными относительно этой сходимости.

1. В рамках абстрактной теории вопросы Г-сходи мости были изучены в работах итальянских математиков Э.Де Джорджи [7], [8] и его коллег более тридцати лет назад. Л. Карбоне и К. Сбордоне [3) конкретизировали абстрактную теорию для интегральных функционалов вида

где ПсК* есть ограниченная липшицева область, а интегрант /(х, £) : О х ГО/*—предполагается каратеодориевой, выпуклой по £ функцией, для которой выполнены стандартные условия коэрцитивности и роста: < /(х, £) < с(|£1а + 1), 1 < а < оо.

Жиков В.В. в работах [15], [18] построил более общую теорию Г-сходимости интегральных функционалов с нестандартными условиями коэрцитивности и роста

В работе [18] установлено, что класс (0.2) компактен относительно Т-сходимости. Отметим важную особенность функционалов с нестандартными условиями коэрцитивности и роста (0.2): когда показатель нелинейности а, отвечающий за свойство коэрцитивности, строго меньше показателя /?, отвечающего за свойство ограниченности, воз-

(0.1)

-са + С1 < /(¡с, 0 < с2[£|" + о, , сь с2 > 0, О) > 0, 1 < а < /? < оо. (0.2)

никает неединственность постановки вариационной задачи, или эффект Лаврентьева. Эффект Лаврентьева выражается в неравенстве

Ri= min I f(x7Vu)dx< inf [ f(x,Vu)dx = (0.3)

^»'¿'"(fi) Jn vecf(ü) Jn

из которого видно, что с одним и тем же функционалом F можно связать задачи двух типов - Ei и Е2. В связи с этим В,В. Жиковым было введено два типа Г-сходимости.

Отмеченные выше результаты относились к интегральным функционалам F вида (0.1), зависящим от градиента Vu, но не от самой функции и. Представляет интерес рассмотреть функционалы, которые зависят не только от градиента Vu, но и невыпуклым образом от самой функции и. Последнее обстоятельство отмечалось в качестве нерешенной проблемы в работах А. Braides [1] и В.В. Жикова [18] более 20 лет назад. Рассмотрим интегральные функционалы вида

F(u) = I f(x, и, Vu)dx. Jn

Интегрантами являются каратеодориевы (с непрерывностью по з и £), выпуклые по £ функции f(x, s, £): fi х ГО. х IRd —>■ IR, для которых имеют место

• нестандартные условия коэрцитивности и роста

-Co + Cj^l* <f(x,s,0 < Qt\S\ß + Cf>, d, 02 >0,Cv>0, \<a<ß<oo] (0.4)

• свойство непрерывности по второму аргументу:

/(*, У, £) - f(x, s, £) < ш(\s - s, О (0.5)

для любых СеШ^, $, s'elR и п.в. где w(t) : [0,оо) —^ [0, ш] — непрерывная функция

такая, что w(0) = 0.

Предполагается доказать теоремы компактности относительно Г-сходимости в классе (0.4)-(0-5) при некоторых дополнительных условиях на показатель.

2. Приведем некоторые факты и определения из абстрактной теории Г-сходимости. Пусть X - метрическое пространство. Будем рассматривать функции (функционалы) F, Fn : X ^ [-оо,+оо].

Определение 0.1 Функция F называется Г-пределом последовательности Fn, если 1) выполнено условие полунепрерывности снизу

lim inf F(un) > F(u) как только tin —Щ

П-+00

2) для любого и € X существует последовательность ип, такая что

ип и, lim iv(un) = F(u).

n-ioo

Справедлив следующий принцип выбора: из каждой последовательности функций Fnf заданных на сепарабелъном метрическом пространстве X, можно извлечь Г-сходящуюся подпоследовательность.

3. Дадим абстрактное описание эффекта Лаврентьева, который играет существенную роль при изучении Г-сходимости интегрантов с нестандартными условиями коэрцитивно-сти и роста. Пусть функционал F полунепрерывен снизу на X и S есть плотное в X множество. Определим релаксационный функционал равенством

F(u) = inf lim F(«n). (0.6)

t(n€S«n-Ml

Релаксационный функционал F также полунепрерывен снизу на X и F < F на X. Эффектом Лаврентьева называют не только неравенства вида Е\<Е2, см. (0.3), но и саму ситуацию, когда F ф F. Если для допредельных функционалов Fn имеет место эффект Лаврентьева, то с последовательностью функционалов Fn можно связать два в общем случае не совпадающих предельных объекта

Г- lim Fn и Г- lim Fn. (0.7)

II-+00 n-юо

Первый из них далее обозначается как IVlim Fn, а второй - r2-lim Fn.

3. Рассмотрим функционалы F(u) на соболевском пространстве И/1,о(0), а > 1, для которых выполнено неравенство коэрцитивности

F(u) > c||Vu||£e(n) - 1, о 0.

(0.8)

Для этого класса предпочтительнее использовать определение Г-предела в терминах слабой сходимости в W1,a(£i), подробное изложение приведено в §1 диссертации.

Определение 0.2 Функция % есть Г-предел последовательности Fn на если

1) выполнено условие полунепрерывности снизу

liminf> как только ип -1- и в W1,a{ti)\

2) для любого u€W1,a (fi) найдется последовательность ип такая, что

ип u€Wha(Q), lim Fn(un) = *(«).

пчоо

Нетрудно показать, что оценка (0.8) сохраняется при переходе к Г-пределу. Применяя результаты абстрактной теории Г-сходимости, получаем следующий результат о компактности: класс функционалов, подчиненных оценке (0.8), компактен относительно Г-сходимости, понимаемой в смысле определения 3.

4. Начнем с определений Г-сходимости интегрантов (функционалов) класса (0.2), введенных В.В. Жиковым в работах [15], [18].

Определение 0.3 Интегрант f есть Fi-предел последовательности /„, если 1) выполнено неравенство

liminf / fn(x, VunWx > f f(x,Vu)dx, Ja Jа

как только «„-'ив

2) для любого найдется последовательность ипеИ^1,а(П) (называемая Г1-

реализующей), такая что

ип и в wl,e(fi), ип - uew01,e(n), lim / /п(х, Vun)dx = I f(x, Vu)dx.

Jn Jii

В определении Гг-сходимости требуется принадлежность аппроксимирующей последовательности и-п пространству Два варианта Г-сходимости интегрантов соответствуют двум абстрактным предельным объектам, см. (0.7). Известны примеры [17] несовпадения Г] и Гг-пределов,

Пример 1. Пусть /(у, £) - периодический по уёИ** интегрант, □ = [0,ячейка

периодичности. Положим — / (|,£), £ > 0, и определим усредненные интегранты

и Jо

$от(() = [ ¡{Х,£ + Чи)с1,х,

где Ир^(О) - соболевское пространство периодических функций. Как известно, задача усреднения представляет собой частный случай нахождения Г-предела, при этом

Г1-Шп Д = ЛЬот> Г2- Ит Л = УГ".

В работе [17} построен пример интегранта, для которого выполнено строгое неравенство /1Ьот < /2Ьот.

Имеет место следующий принцип компактности, доказанный В.В. Жиковым в работе 118].

Принцип компактности. Для всякой последовательности /„ интегрантов из класса (0.2) найдется подпоследовательность /„/ и интегрант / из класса (0.2) такие, что /„» / в любой липшицевой подобласти области П.

Аналогичное утверждение верно для случая Г2-сходимости.

г

Далее, говоря о Г-сходимости /„ в области Г!, предполагаем, что /„ —> / в любой липшицевой подобласти области П. В таком случае нетрудно показать единственность Г1- и Гг-предела. Именно это свойство единственности позволяет говорить о сходимости интегрантов, а не только о сходимости интегральных функционалов.

5. Перейдем к классу интегрантов (0.4)-(0.5). Соответствующий функционал Р(и) считаем заданным на всем соболевском пространстве Ил1,С1(!Г2), где он может принимать значение +оо. Имеет место вложение где

¿от*" = Р{и) < оо}.

Функционал Г (и) слабо полунепрерывен снизу на сильно непрерывен на про-

странстве VI/*1"5 (¡7) и коэрцитивен на .

Определение 0.4 Интегрант / есть Г 1-предел последовательности /п, если

0.9

1) выполнено неравенство

liminf I fn{x,UntVun)dx > I J(x,u,Vu)dx, Jn in

как только un —1 « в (О);

2) для любого uGVl/1'ß(f2) найдется последовательность UnG^'^ffi) (называемая Г\-реализующеÜ), такая что

Un^UB ип - tiGM^fi),

lim / fn(x,un, Vun)dx = / /(x,u,Vu)<fe. Jo Jfi

В определении ^-сходимости требуется принадлежность аппроксимирующей последоваг тельности ип пространству H/1*-t'(Q).

6. Нашей целью является доказательство теоремы о компактности относительно Ti и Г2-сходимости для класса интегрантов (0.4)-(0.5). Основным вспомогательным средством будет Г-сходимость при "замороженном" параметре s€lR. Обозначим этот промежуточный тип сходимости через Г(з).

Определение 0-5 Интегрант f есть Г ^s)-предел последовательности fn, если 1) выполнено условие полунепрерывности снизу

liminf / fn(xy s, Vun)dx > / f(x, Vu)dx, VsSlR, in Jn

как только u„ —1 u в W1,a(fi); 2) для любых и s€lR найдется последовательность Un€Wl'a(U) такая, что

ип^и в И^П), u„ - u€W01,e(il),

lim I fn(x, st Vun)dx = I J(x, s, Vu)dx. Jn Jn

Определение Г2(5)-предела отличается от определения Г^^-предела тем, что в условиях 1) и 2) аппроксимирующая последовательность ип принадлежит пространству (П).

Для каждого фиксированного э по принципу компактности Жикова из последовательности интегрантов /„(•, 5, *) можно извлечь Г\-сходящуюся подпоследовательность. Используя диагональный процесс, найдем последовательность {га'}с{п} и интегрант /(х,з,£), такие что /А; з,0 ^ /(■>«» О для любого рационального 5 € <0>. Предельный

интегрант /(х, наследует свойства (0.4), (0.5), в которых пока 5 € О- По непрерывности Г!-предельный интегрант продолжается на все множество 5 € Ш,. Построенный таким образом предельный объект принадлежит классу (0.4)-(0.5). Доказан следующий результат о компактности: из каждой последовательности /п интегрантпов класса (0.4)-(0.5) можно извлечь Г^)- и Го (я)-сходящуюся подпоследовательность.

Оказывается, что при условии на показатель а>с1 последовательность Г^)-сходящихся интегрантов класса (0.4)-(0.5) будет Г^сходящиейся в смысле определения 4. Аналогичное утверждение верно относительно Гг-сходимости.

Основной результат первой главы составляет Теорема 1,1 Рассмотрим класс каратеодориевых интегрантов /(х, £), для которых выполнены

г) условие выпуклости по

И) нестандартные условия коэрцит.ивности и роста, см. (0.4); Ш) свойство типа липшицевости по второму аргументу, см. (0.5); п>) дополнительное ограничение на показатель: а > ё.

Тогда Г1 (в)-сходящаяся последовательность интегрантов является Т х-сходящейся. Аналогичное утверждение справедливо и для Го - сходимости

Следствием теоремы 1.1 является следующий принцип компактности.

Теорема 1,2 Класс выпуклых по £ интегрантов, удовлетворяющих условиям (0.4)-(0.5) при а>й, компактен относительно Г!- и Г2- сходимости.

Теоремы 1.1 и 1.2 доказаны в работе [10]. Заметим, что условие а><1 является существенным в наших рассмотрениях. Оно позволяет эффективно использовать свойство непрерывности (0.5). Без условия а>д доказательство компактности остается открытой проблемой.

7. В абстрактной теории устанавливается, что Г-сходимость функционалов при определенных условиях влечет сходимость минимумов и минимизантов (см., например, А. Вгалёез [1]). Для изучаемых нами интегральных функционалов этот вопрос требует отдельного рассмотрения из-за эффекта Лаврентьева. Изучим эту ситуацию подробнее на примере задачи Дирихле. Рассмотрим вариационные задачи

(0.10)

Отметим одно различие задач Ei и Е?. Минимум в задаче Ei достигается по теореме Вейерштрасса - Тонелли, поскольку интегральный функционал слабо полунепрерывен снизу и коэрцитивен на ^'"(fl), В задаче Ei минимум может не достигаться, но в этом случае по определению инфимума существуют так называемые г-минимизанты. Для интегрантов /„ рассмотрим задачи двух типов

= min / fn(x,u,Vu)dx, Е^ = inf / fn(x,u,Vu)dx. Jn Jn

Если f = Гг lim /„, то возникает вопрос о сходимости энергий i?}"'. Идеальным ответом была бы сходимость

lim Е[п) = Ег. (0.11)

п-юо

В ряде случаев указанная сходимость энергий, действительно, наблюдается. Однако, в общем случае можно говорить лишь о неравенствах

El = min Fi и) < lim inf < limsupEjn) < inf F(u) = E2. (0.12)

n-too

Из неравенств (0.12) следует, что для сходимости энергий Е[п^ достаточно равенства энергий двух типов в задачах (0.10) с Гi-предельным интегрантом /. Это приводит к следующему определению регулярного интегранта. Определение 0.6 Назовем интегрант / регулярным, если для любого и € И^1'™^), такого что F(u)<oo, существует последовательность un€Co°(fi), для которой

и в W01,o,(ii), lim / f{x,vtn, Vu„)dx = / f(x,u,Vu)dx. "-*00 Jn J n

Из определения видно, что в случае регулярного интегранта задачи первого и второго типа в (0.10) совпадают, поэтому имеет место сходимость энергий (0.11). 8. Много задач на усреднение связано со степенными интегрантами вида

Степенной интегрант (0.13) принадлежит классу (0.2), является строго выпуклым и дифференцируемым по аргументу Возникает вопрос, сохраняются ли эти свойства при Г-

сходимости степенных интегрантов. Заметим, что сама степенная структура в пределе теряется.

Пример 2. Рассмотрим задачу усреднения для последовательности интегрантов f(y,0 ~ ^ф/с) ' где /(У'О периодическая по у функция с ячейкой периодичности □ = [0, l)<i . Известно, что в одномерном случае (d = 1) имеет место представление

где </*(£) = sup{£ * т} — g(v)} - это сопряженная по Юнгу - Фенхелю функция. Возьмем кусочно-постоянный показатель р{у), принимающий значения р\ и р2* Тогда интегрант (/hom)*(f) есть сумма степенных интегрантов с разными показателями р\ и р'2. Отсюда видно, что сам усредненный интегрант /hom(£) не является степенным. Это следует из свойств операции сопряжения, приведенных в главе 2 (см. свойства i),ii) в §6).

Пример 3. Степенной интегрант очевидно изотропен, то есть зависит только от Изотропия не сохраняется при переходе к Г-пределу, что показывают примеры усреднения в случае квадратичного интегранта. Действительно, при d = 2 рассмотрим интегранты

где а(у\) > 0 - непрерывная, периодическая функция, (о) - среднее по периоду. Из теории усреднения известно, см.[19] стр.12, что

Y-Ximh = {a)g + (a-lrltl

откуда видно, что предельный интегрант не изотропен.

К важнейшим свойствам степенных интегрантов относятся

• Д2-условие: }{х, ±Ц) < c(f(x, £) + 1);

• строгая выпуклость по

• дифференцируемость по

Наша цель состоит в проверке этих свойств для интегрантов класса S(a, ß). Сформулируем центральные результаты второй главы.

Теорема 2.1 Интегранты f(x,£) класса S(a, ß) строго выпуклы по £ для п.в. x€ii, то

есть

Теорема 2.2 Интегранты /*(х,7}), сопряженные по Юнгу к интегрантам класса в (а, р), строго выпуклы по 17 для п.в. х&Л.

Из теорем 2.1 и 2.2, а также общих свойств выпуклых функций следует, что Г-предельный интегрант дифференцируем по С Действительно, выпуклая функция /(£) не обязательно дифференцируема, можно говорить лишь о существовании субградиента в точке. Напомним, что вектор т^еШ^ называют субградиентом /(£) в точке ^оёП^, если

Из выпуклого анализа известно, что функция /(£) является дифференцируемой в точке, если ее субградиент единственен, что в свою очередь выполнено в случае строгой выпуклости сопряженной функции /*(£). Из этих соображений и теоремы 2.2 следует Теорема 2.3 Интегранты /(х, £) класса в (а, /5) и сопряженные к ним дифференцируемы по

Теоремы 2.1, 2.2, 2.3 доказаны в работе [10].

Еще один результат, касающийся равномерной выпуклости, удалось получить только в случае а > 2 . Справедлива следующая теорема.

Утверждение 2.4 Для интегрантов класса 5(а, /?), 2 < а < р(х) < /?, выполнено свойство равномерной выпуклости

9, Во многих вопросах важно выяснить, когда слабый предел произведения го£-где ь)е - соленоидальный вектор, равен произведению слабых пределов ш* Уи. В классической лемме о компенсированной компактности Тартара - Мюра [12] установлена сходимость

при условии а — р. В Главе 3 диссертации доказаны новые варианты леммы о компенсированной компактности, в которых а < ¡3. Отправной точкой послужили недавние ре-

ДО-/(&)>»*■ К^еи«.

/ (*, + / (х, < \{Цх, 0 + /(х,,)).

(0.14)

зультаты В.В.Жико