Расширение многомерных вариационных задач и смежные вопросы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

9

г ^ АКАДЕМИЯ НАУК СССР />

л V ОРДЕНА ЛЕНИНА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

^ Институт математики

о"' , •

О

V4'

На правах рукописи

ГУСЕЙНОВ Фархад Вели оглы

УДК 517,97

V

> !. . О

Л

1 * / ^

РАСШИРЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ВАРИАШОШ

ЗАДАЧ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЬ'^ ^ \\ '

юкК/ V "

у

V- у« ^

01.01.01 - математи^емсий анеишУ

. V ^ ?

Г Ч <

Л . Ч/ . ■„. 4

> «

'С' Ч,'-

А вфо р ¿еЧ^'е р а т. , • <«V V V , с диссертЫдеи ^Чюоискание ученой ст^Ггени

¿тора фи 6 и к о -м а т 6 м а т кч е с к их Цаук

г.\л

доктора фи^ико-матемаплес:.....

?Ч - 'Л"

' НовосибирскМ\Й89

г*. . » ■ V

<~У

л.^ иг * \ \ "

Работа выполнена в Институте кибернетики ЛН Аз. ССР

Официальные оппоненты: академик АН ГССР, доктор физико-

математических наук, профессор Г.Л.ХАРАТИЮТИ;

доктор физико-математических наук, профессор В.Ф.ДЕМЬЯНОВ;

доктор физико-математических наук, профессор Г.Ш.РУБИНШТЕЙН

Ведущая организация: Математический институт им. В.А.Стек-

лова АН СССР

Защита состоится "_"_1989 года в_ час.

на заседании специализированного совета Д 002.23.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Институте математики Сибирского отделения АН СССР по адресу: 630090, Новосибирск, Университетский пр., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР.

Автореферат разослан "_"_ 1989 года

Ученый секретарь специализированного совета

доктор физико-математических наук в/Г В.С.Белоносов

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕ,,Л*. Теория расширения вариациошп.-х задач возникла в св.из.ч с проблемой существования решения этих задач. Идея распирения вариационно? задачи (то есть перехода от исследуемой вариационной задачи к новой - расширенной и в- некоторое смысле эквивалентной ей) впервые била высказана ¿.Гильбертом и реализована ш в некоторых конкретных случаях. После основополагающих работ Гильберта появились работ» других авторов, в которых длз гех или иных целей были осуществлены расширения различных вари-щионнкх задач. При этом решения расширенной задачи интерпретируются как обобщенные решения первоначально поставленной задачи.

современной точки зрения, в знаменитом высказывании Гильберта (•том, ото "всякая задача вариационного исчисления .имеет решете, если только слову "решение" придать соответствующий смысл" тверждается возможность расширения всяко.1 вариационной задачи аким образом, чтобы это расширение имело решение. Эта программа ильберта отчасти выполнена в двадцатых годах в работах А.и.Раз-адзе. Он расширил класс допустимых кривых до класса кривых до-ускающих конечное число точек разрыва первого рода и построил ариационное исчисление для задач с этим классом допустимых кривое. Принципиально важный пример показывающий изменение значения эриационной задачи при переходе кз класса непрерывно дифферен-«руемых функция к классу абсолютно непрерывных функций построил .А.Лаврентьев. Им дано достаточное условие совпадения этих знаний.

В классической работе Н.Н.Боголюбова, относящейся к 1930 г., ^строено расширение основной одномерной задачи вариационного числения. При этоы класс допустимых кривых остается прежним, интегрант задачи заменяется некоторым квазирегулярным интег-нтом.

Б конце тридцатых годов американские математики Л.Янг и Е.л1ан-Шойн построили расширение простершей задачи в другой форме. Позже выяснилось, что теореми. Н.И.Боголюбова и Янга-ыак-Шейна по существу эквивалентны.

В начале шестидесятых годов в работах Р.В.Гамкреиидзе и дж. Варги осуществлен;:' рсекирсшш задач оптимального управления. В дальнейшем, Р.В.Гамкрелидзе развивал важную для оптимального управления теорию обобщенных управлений и скользящих режимов. Созданная им теория позволила по новому и в техническом отношении более просто построить основы теории оптимального управления.

В конце шестидесятых годов В.4.Тихомировым и А.Иоффе впервые определено понятие расширения вариационной задачи и изучены его основные свойства. Ими систематизированы й изложены с единой точки зрения известные к этому времени основные результаты о расширении вариационных задач. Доказаны теоремы о расширении для задач оптимального управления в довольно обдой постановке.

Хотя, исторически идея расширения возникла в связи с проблемой существования, в дальнейшем методы теории расширения оказались плодотворными и в других разделах вариационного-исчисления и оптимального управления. Кроме того, к восьмидесятым годам-стало ясно, что решение многих важных прикладных вопросов из теории эластичности, оптимизации конструкций и др. требуют применения результатов и методов теории расширения экстремальных задач (часто многомерных).

Исследование расширений многомерных вариационных задач начато в семидесятых годах французскими математиками И.Энландоы и Р.Теыаыом. Существенные результаты в этом направлении принадлежат Е.Асерби, Дд.Боллу, Б.Дакору, Л.«1арчеллши, В.И.а1атову, К.В. Морозову, Д.Серре, З.Ферро, Н.фуско и др.

ЦЕЛЬ РАБОТЕ». Построение расширений ¡лиогоиер:«« вариационна задач в различите постановках и применение этих расширений к задаче существования регулярных минимизирующих последовательностей и выводу необходимых условий экстремума. Установление существования решений многомэршлс экстремальных задач в общей постановке и применение этих результатов к различном конкретным экстремальным задачам, в частности,.к задачам оптимального управления, доказательство существования равновесия (возможности согласованного решения совокупности оптиынзацношялс задач) и исследование структуры множества равновесий в континуальных моделях экономики.

Разработка ряда вопросов выпуклого анализа возникающих при доследовании расширений много:/,ерннх вариационных задач и сущест-зовакия решения экстремальных задач: описание замыкания класса функций многих переменных с градиентами из произвольного ограни-ганного шкжества, установление плотности множества бесконечно ¡.к^еренцируешос функций многих переменно з классе функций с радиентами из заданного выпуклого ограниченного тела* описание торого сопряженного по Юнгу-5енхела функции .многих перемени«» оказательство усиления теоремы о выпуклости для общего понятия инеЯ.чого среднего, исследование фундаментальных свойств квази--¿луклис функций.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. 3 работе получены следующие новые резуль-

1ты.

I. Построены расширения (б большинстве случаев полунелрерыв-'.е снизу) многомерных вариационных задач в наиболее общих пос-новках и с различными ограничениями. Зти результаты, раззиваю-е известную теорему Боголюбова о расширении, применены: а) к тановлению существования регулярных минимизирующих последова-льностсй вариационных задач, б) к выводу необходимого условия

- б -

экстремума, которое усиливает известное условие Бсйератрасса для основной многомерно:! вариационной задачи.

2. Доказана теорема об описании равномерного замыкания класса Липшице вкх функций определенных на произвольно;.! ограниченном открытом множестве и с градиентами из произвольного ограниченного подмножества конечномерного пространства.

3. доказана теорема о плотности бесконечно дифференцируемых функций в классе вектор-функций, определенных на произвольном ограниченном открытом множестве и с производными из ограниченного выцуклого тела.

4. Доказана теорема 6 представлении второго сопряженного по Юнгу~£енхелю функции многих переменных, а также ее обобщение на случай функции, зависящей от параметра.

5. Доказана теорема о выпуклости для общего понятия линейного среднего, которая, в частности, содержит усиления известной теоремы о выпуклости в конечномерном случае и интегрального неравенства Иенсена. Найдено необходимое и достаточное условие обращения неравенства Иенсена в равенство в бесконечномерном случае .

6. Доказана непрерывность локально ограниченной сверху квазивыпуклой функции, теорема о кваэившуклении локально ограниченной сверху функции и теорема дающая необходимое и достаточное условие квазивыпуклости функции, представленной в виде суммы функций от матриц-блоков-

Доказаны общие теоремы существования для многомерных экстремальных задач и даны их применения к различным экстремальным задачам, в частности, к задачам оптимального управления дифференциальным включением.

б. Для континуальных (расширенных) моделей обмена (модели

Эрроу-^ебре, Хильденбранда) доказано существование равновесных де.ч для всех состояния; доказана открытость и плотность множест-эа регулярных состояний и конечность (более того, нечетность чис-1а элементов) множества равновесных цен для всех состояний, за исключением замкнутого нигде не плотного множества.

МЕГЩЬД. В работе применяются методи выпуклого анализа, теории экстремальных зада«, функционального анализа, теории функций ,еГ:ствительного переменного и дифференциальной, топологии.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И НРАК'ШЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты и методы аботы могут найти применение в ра^личньк разделах теории экстре-альнь-х задач, таких как, теория существования решения экстре-альных задач, теория расширения экстремальных задач, теория не-5ходкш-пс условий экстремума и численные методы решения экстре-зльннх задач и др., б различна вопросах анализа, теории дкффе-гнциальных уравнений, математической экономики.

Ряд разделов диссертации могут быть включены в общие и стегальные курсм.

АНРОБА154Я РАБОТЫ. Результаты диссертации были доложены на нференции, лосвяцен.чой 25-лети» Института математики и механи-

А!! АзССР (Боку, 1984 г.), на 11 Уральской региональной конвенция по функционально-дифференциальншуравненилм (Челябинск, 87 г.), на, международноя конференции по топологии (Баку, 19?У7г.), 1У Новосибирской школе по математической экономике .(Новоси-рск, 1938 г.), на ряде семинаров в МГУ им.В.Ломоносова, на динарах в «ПАН СССР им.В.А. Стеклова, ЩаЙ АН СССР, Ш СО АН :?, ИК АН УССР, Ш ЛГУ ш.А.Н.Взкуа, Ш АН АзССР, ИлА АН . ЗСР, АГУ ш.С.^Кирова;

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в 1Тьях 1-14, перечисленных в конце автореферата.

0£Ъ&.1 И СТРУКТУРА лЛССКРТАЦИЯ. Диссертация содержит 254 страницу машинописного текста и состоит из введения, пятя глав и списка литературы, включающего 155 наименований.

. ОСНОВНОЕ СОдЕРНйШЕ'РЛЮТП ч

В первой главе рассмотрены некоторые вопросы выпуклого анализа, играющие важную роль при исследовании основных тем диссертации. Первым из них является вопрос о замыкании класса функций многих переменных с градиентами из заданного множества й равномерной метрике. Необходимость изучения этого вопроса вызвана" тем обстоятельством, что для широких классов задач вариационного исчисления и оптимального управления характерны нефункциональные ограничения вида У. <5 ^ , где Ц - градиент допустимых функций, а - подмножество в конечномерном пространстве, .множество , вообще говоря, произвольное,'например, око может быть дискретным. -

Введем некоторые обозначения. Пусть - произвольное ограниченное открытое множество в пространстве , пространство Соболева существенно ограниченных измеримых Ул -вектор-функций на , имеющих обобщенные первые частные производные, которые также существенно ограничены и измеримы и ■

~ подпространство в \ХЦО;Г) > состоящее из вектор-функций непрерывных вплоть до границы . Пусть

Пр0странств0 Ыатриц размерности Ш X 1П .

Для подмножества обозначим

ШЬ т ^ »* г ,

где "X,(_■(:) - матрица Якоби вектор-функции %(•") (в случае градиент функции ЭС,^ ) в точке

Теорема I. Если аффинная оболочка ограниченного множества

9 - .

в совпадает с ^ , то равномерное замыкание класса функций совпадает с

шьефл;).

Второй основной результат первой главы утверждает плотность в некоторой топологии бесконечно дифференцируемых вектор-функций в классе вектор-функций

Этот результат позволяет сформулировать многие результаты глав 2 и 3 о расширении в достаточно общих рамках. Его доказательство опирается на специальное разбиение единицы, построенное в работе*. ...

Теорема 2. Пусть ^ ограниченное выпуклое тело в Тогда для любой вектор-функции Си!*) Ь^О) существз'ет последовательность бесконечно дифференцируемых на

О вектор-функций

такая, что

при

■2) Ш /ЗД 4 ± для п.в. 1 6 О ,

3) сходится равномерно к 'Х('~) на ,

4) Х^-С] сходится к X[{) для п.в. -С-С О •

Третий рассмотренный здесь вопрос (5 3) относится к представлению овыпуклении функции нескольких поремонт/х с помощью значений самой функции. Основные результаты, полученные в 5 3, усили-

р

веют и обобщают ле:«лу И. Эк ленда о представлении второго сопряженного по Й1гу-'^енхеля (овыпукления) функции нескольких переменных.

Теорема 3. Пусть ^' -—$> полунепрерывная снизу (пн.сн.) функция, удовлетворяющая условию роста

[. Буренков В.И. О плотности бесконечно дифференцируемых функций в пространствах Соболева для произвольного открытого множества.- Труды «-МАП им ..В. А. Стеклова, 1974, «г .131, с.39-50.

I. Экланд И.. Темам Р. Выпуклы"! анализ и вариационные проблемы. -иЬ: шир, 1979, стр.278-281. -

_ /Ч£> (I)

ОС ИМ ~ Тогда для лабоП точки ^ ^

ЦхН^хЬг-^.....

где - стандартный симплекс в пространстве \\

Теорема 4, Цусть \ - топологическое пространство, X' —^ 11 функции (Т^у.^—ограничены снизу на любом компакте из {С и удовлетворяют условию роста (I) локально равномерно по X • Пусть, кроме того, функции •) пн.сн. для всех точекТеТ • Тогда, еслиТ^Т компактное подмножество, то для любого Т > О существует > 0 такое, что

а) для любых Т0 • Ч £ Ь ДО) существуют^, и ^ (р)

л \ ¿о 01 ^^ ^

Л,И1) такие, что

б) если хотя бы одна из точек ^ ({.^1, ке содержится

и соответствующая координата вектора положительна, то в точке Ц ~

^»^З^М^йО д-я 320601,0 '

Темой четвертого параграфа является теорема о выпуклости и ее аналитический вариант - неравенство Иенсена. Здесь эта тема исследована для достаточно широкого понятия линейного среднего, содержащего в себе, в частности, понятие интеграла по абстрактной мере. Приведем соответствующее определение.

Определение I. Цусть - действительное линейное пространство функций, определенных на некотором множестве ^ и принимающих значения из расширенной вещественной оси Пусть ^ линейный функционал, определенный на 1_ и обладающий

свойствами: ^ , если £ [_ О Для всехХе£ ,

то М| ^ ^ * ТогД3 число называется линейным средним функции ][.€ •

Определение 2. Подмножество ^ С Е. называется пренебрег««,1Ш относительно L и , если существует функция £ такая,

что^(х)>0 на £ •41Х)>ОнаЗ •

Следующая теорема усиливает соответствующий результат из работы^, в котором множество предполагалось замкнуты;.!.

Теорема Пусть - линейное среднее на удовлетворяющее условия: если подмножество ^ С £ пренебрежимо ^ произвольная функция, обращающаяся в !5уль на \ , то-|-£[_ и - 0 . Тогда, если - выпуклое подмножество в р^'1 и функции | € 1_ такие, что

Дляп.в.ХбЕ .

В частном случае, когда есть пространство функций, суммируемте на пространстве с вероятностной мерой, а ^ - интеграл функции | € [_ ,из теоремы 5 следует усиление известной теоремы о выпуклости'', в которой множество предполагалось замкнутым. Из теоремы 5 легко следует следуэдиГ" результат (неравенство

о

Яснсена), который усиливает соответствующий результат работы .

Теорема 5р. Пусть выполняются условия.теоремы 5у, - вы-т/клое подмножество в и - выпуклая функция на ("С, 1усть ^^ >.,) ^ ^ - функция из класса такие, что вектор

= (Цх), ЧУ., г^С*^« К *ля всех Х^Е й Функция

Ч^р^Х)') принадлежит классу . Тогда опреде-

1ен и

шсЗЬапе аепзеп'з 1печиа1иу.-иАМЗ, 1937, у.43, р.521-527. [. Бурбаки И. Интегрирование, ы.: Наука, 1977, стр.225.

- 12 -чдаи нчоп.

В «остчом с.л;,'чг,е, с-тмоиенном иное, из теорем?! 5-, следует усиление интегрального корйвнгстза Иенсена.

далее, в 0 4 р&ссиотрек бесконечномерны": случай и указана уолоинп, при которгтс и.ислл' место аналоги теорем 5_[ и Кроме того, найдена необходимое и достаточное условие,) при котором неравенство Ионсзна обращается в равенство.

Вторая глава посвящена построению расширений (часто полунепрерывных снизу). шюгемерштх вариационных задач в различно;! постановке, в случае, когда интегрант зависит от одной функции многих переменных. В качестве применения этих результатов доказано существование регулярной минимизирующей последовательности вариационных задач, при некоторых дополнительных предположениях. Кроме того, доказана теорема о существовании решения расширенной задачи и связи мекду решениями расширенной задачи и минимизирующими последовательностями первоначальной задачи.

Основные результаты второй главы (теоремы 5.1, 5.2, 5.2^, 6.1, 7.1, 7.3) в различных аспектах развивают теорему Боголюбова. Развитию идеи теоремы Боголюбова посвящены значительные части

О- • к

монографии И.Экланда и Р.Темама и работе В.И.к1атова . Отметим,

^ 2

что соответствующие результаты монографии установлена при весьма жестких ограничениях. Например, множеством допустимых функций является класс функций с градиентами из шара с центром й начале координат; в лемме, названной ключевой (глава X, § 3) существенно используется тот факт, что каждая граничная точка шара является крайней точкой, ¿ля сравнения отлетим, что в настоящей работе вместо шара рассматривается произвольное выпуклое тело. В моно-

5. ¿иатов В.И. Исследование одной задачи многомерного вариационного исчисления. Вестник пИУ, сер.матем., мех., № I, 1978, с.61~

Ь9.

графим* наложены условия на рост интегранта по второму и третьему аргументу, б то время, как здесь отсутствует т.'л:ип условнл.

р 5

Отмстим что п работах"* предполагается, что. область, па ■ которой рассматривается задача, является липзицевоЯ или кмезт кусочно-гладкую границу, тогда как здесь допускается произвольнее открытие ограниченные множества. Наконец, как отмечено в работе , техника, развитая там, довольно сложна и громоздка. Прямое обобщение теорем« Боголюбова на многомерны!! случай, сформу-

5

дировано в работе . Но доказательство, приведенное таи, требует дополнительных предположений. Например, в этом доказательстве предполагается, что овкпу/ленив непрергзнай функции, определенной на выпуклом тело, является »»прерии Ht:.«, что, воо&чо гоаоря, неверно, начиная с размерности три. Следует, однако, отметить, что к:т пользуемся нокотерцлк идеями отего доказательства.

Определение 3. Пусть - функционал, зздаиннй на топологическом пространстве X •(.X ; 1) назпвается вариационно:" парой, а задача об £ X t Д ^ вариационной задаче

Расширением вариационной пзрн ()( ) \) (задачи *, ^ £ Х\)

называется вариационная пара ^у ( (задача |j<£ Y ),

если существует непрерывное отображение (iX~>Y , такое, чм пгполн/лотся уолозия: 1} 1 (X ) плотно в У , 'Л) Л!-1'д-/) è. Кр6) для всех Х^Х « 3),для любого существует поелсдопа-

гельность ^^ X такая, что —к

~ ^¿УЛ 1(Х,) . Если функционал ^ полукэпперстск снизу, то iapa (у j называется полунепрерывным снизу расширением пары

(хД)'п

Пусть ьс - произвольное отнрнтое ограниченное, а \) - ог-заничеиное множества в и Q X—^^ - непрерывная функция. Пусть р - произвольное -подмножество границы области

- 14 - .

и fX-—~ фиксированная функция. Рассмотрим следующую задачу многомерного вариационного исчисления

.(2)

хШ е U для п.в. ÍC.Q, (з)

для л.в. "L 6. Г, (4)

где X^O^W^^Ol . В случае — , т.е. когда граничное условие (4) отсутствует, задачу обозначим (£} , а в случае 1J- ^, т.е. когда отсутствует ограничение на производные допустимых функций - .

множество всех допустимых в задаче (.с)) .(соотв. )

функций обозначим (соотв. Е(13) и )• Таким об-

разом

Наряду с задачей Q^j рассмотрим следующую, так называемую расширенную (релаксированную) задачу

Ч, (21)

для п.в.

UQ,

(34

Х^-^Й для всех (41)

да^й^^^^нгии))** . Здесь -

индикаторная функция множества ^ С ^ , а % У , как и раньше, обозначает операцию взятия второго сопряженного по Юнгу-5ен-хелю.

• Вместо ^о^О) часто будем пользоваться обозначением или .

Теорема 6. Пусть - выпуклое замкнутое ограниченное те-

ло в . Предположим, что существует допустимая в задаче (3) функция ^Д') такая, что

дляп.в. 1еО; (5)

где \|о С _ замкнутое множество. Тогда для любой до-

пустимой функции хОК Нил) существует последовательность бесконечно дифференцируемых на С^. допустимых функций ЭСуД-') £

ЕЮД) О-ёД/) > равномерно сходящаяся к Х(.') и такая, что

к-?-оо

В частности, когда отсутствует граничное условие (4), т.е. для задачи (с^) утверждение теорс-мы имеет место без ус ловил (5).

Теорема 7. Пусть У . - выпуклое замкнутое ограниченное тело в и выполняется условие (5) из формулировки теоремы 6. Тогда задача (^Я) является полунепрерывным снизу расширением задачи (£) • *

Из теоремы 7 можно вывести следующую теорему о расширении для задачи

(Л .

Теорема Задача (5 является расширением задачи .

Далее в § 5 при некоторых ограничениях на область О и ин-тегрант ^ доказана теорема о существовании решения расиирен-ноГ: задачи " связи ме:::ду решениями расширенной задачи

(ЭД и минимизирующими последовательностями первоначальной задачи

В § б построено расширение вариационной задачи с более

общими ограничениями вида (3) на производные допустимых функций. При этом существенную роль играет теорема I.

¿.алее во второй главе исследуются расширения основной многомерно!': задачи е случае, когда множество допустимых функций рассматривается .с топологией липаицевой сходимости. Оказывается, что в этоу. случае, в отличие от случая равномерной сходимости -(теорема 7°) требуется, чтобы интегрант ^ удовлетворял условию роста по третьему аргументу, традиционному в теории сущест-*

вования решения вариационных задач. Отметии, что в этой исследовании важную роль играют результаты § 3 о представлении овыпук-ления функции многих переменных. - >

Определение 4. Говорят, что последовательность функций

ХулЛ) (к€.|\/) липшицево сходится к функции СсЮ 5

» если "

1) сходится равномерно к ХО^

2) функции ЭС.^»") липшицевы с одной и той же константой.

Рассмотрим вариационную задачу ] и наряду с ней задачу

, которую далее мы обозначим как .

Теорема 8. Пусть интегрант ^ удовлетворяет условию роста (I) по третьему аргументу локально равномерно по ("Ь 1 Х~) и множество допустимых в задаче (,сП£ Функций Е.(Х) снабжено топологией липшицевой сходимости. Тогда задача Сс^Я) является пн.сн, расширением задачи .

Следствие I. Если задача (<) имеет решение, то задача (с)0) иыеет минимизирующую последовательность, липшицево сходя-

- 17 -

щуюся к реяенига задачи К,) •

далее ь § 7 указан способ установления существования регулярных минимизирующих последовательностей вариационных задач, основывающийся на результатах об их расширении в случае лигшицевой сходимости и на известных результатах о регулярности их решения. Доказано одна теорема реализующая этот способ. -

Перейдем к построению другого распирёния задачи , эк-

вивалентного построенному в теореме 8. Рассмотрим следую-дую задачу:

1 . .

¿У] ХС^Ы, 'п.в. на О',

1~ ^

л , п.в. на О ,

мерщые огпаниченшй, вектор-функции.' '•'.••

Пусть на пространстве Е = Н

задана следующая топология:' последовательность (ЭС^И, ^(О) сходится к точке , £(•) ? ^1')) г есл11 последовательность функций ОС^) [к € д }/ равномерно сходится к функции Х-1.Л » Обозначил через 51 оператор проектирования из £ на первый сомножитель ^(О)>

Теорема 9. Пусть интегрант непрерывен к удовлетворяет условию роста (I) по последнему аргументу локально равномерно по О X^ . Тогда задача ХсГ 1\У"} является расширением

задачи . Кроме того, задача (c^R^) ^еет решение одно--

временно с задачей ; в этом случае

кш = = шщ)

и отображение Р переводит множество решений задачи (о^ Р^") во множество решений задачи (o>°RJ)

В главе Ш построены расширения многомерных вариационных задач в наиболее общой постановке, когда интегрант зависит от нескольких функций многих переменных. При отом важную роль играм"

л

квазивыпуклые функции, открытые С.Б.кЬрри при исследовании полунепрерывности снизу многомерных интегральных функционалов. Хотя с их открытия прошло уке несколько десятилетий, квазивыпуклые функции изучены сравнительно мало. В главе Ш "рассмотрены некоторые вопросы теории квазивыпуклых функций. Здесь показана непрерывность локально ограниченной сверху квазивыпуклой функции и существование квазиовыпуклении произвольной локально ограниченной сверху функции. Показаны некоторые способы построения квазивыпуклых функций с помощью выпуклых функций. .В конце третьей главы выявлена, связь между теорией расширения вариационных задач и теорией необходимых условий. Здесь из результатов этой главы о расширении, выводится новое необходимое условие типа ВеПерштрасса, со-деркащее в себе известное условие Beiiepnrrpaqca для многомерных вариационных задач.

Пусть в - пространстве матриц, порядка Уп X Л , зада-

на норма llpil-^- VYiax , где - ^ -ая строка мат-

рицы. Ip £ ) а - евклидова норма вектора •

Пусть произвольная область в ^ . Обозначиm^^C)

6. Llorrey C.B. Quaaiconvexity and the iower semicontinuity of multiple integrals. Pacific J.I,wth., 195*, n2, р.25-эЗ.

подпространство в > ) , состоящее из вектор-функций,

обращающихся в нуль на границе области . Пусть пространство бесконечно дифференцируемых вектор-функций 4,1;)'. От —> , а его подпространство, состоя-

щее из вектор-функций, обращающихся в нуль на границе От . Обозначим через лебеговуи меру множества £)

Определение 5. функция _^ ^ называется квазивыпук-

лой, если

• <б>

для любой точки 1р £ и для любой вектор-функции (•) £

^смо^'^) таких, что функция ^(^^(О] измерима и интеграл в правой части неравенства (б) имеет смысл (т.е. принимает

определенное значение из Рч )•

Определение б. Пусть \\ произвольная функция, функ-

ция ^ называется квазиовыпуклением функция J^ , если

она квазивыпуклэ и не меньше любой квазивыпуклой функции, не превосходящей ij. .

Следующая теорема усиливает теорему 5 из работы^ и показыза-ет, что для произвольной локально ограниченной сверху функции

квазиовыпукление существует и непрерывно. Отметим, что доказа-

7 1

тельство теоремы 5 приведенное в работе содержит существенные

пробелы.

Теорема 10. Пусть '—.произвольная локально ограниченная сверху функция, С ^ куб со сторонами параллельными координатным осям. Для точки € ^Д^1^ положи.:

7- Dacorobna В. Quasiconvexity and relaxation for nonconvex

problems in thy calculus or variations. - о.Func.Anal.. 1982, v..;o,J5i, p-,10^-118.

... - 20 - Ч

функция (хц^. нс .зависит, от .куба , непрерывна и является квазиовыпуклением функции ^ " . ' '

¿.алее, в 5 8 дано определение слабо квазивыпуклой функции и доказано, что если слабо квазивыпуклая функция ограничена сверху в некоторой окрестности точки , то она непрерывна в этоЯ точке (теорема 8.2).

В § 9 построено расширение основной многомерной задачи вариационного исчисления при ограничении на производные доцустишзх вектор-функций и без такого ограничения. В специальном случае, когда градиенты компонент допустимых вектор-функций принадлежат единичному шару в '.'■ . расширение основной многомерной зада-, чи исследовано в работе®; а в случае отсутствия ограничений на производные и когда интегрант зависит только от производньк допустимых вектор-функций. и со специальной сходимостью ка мнокест- .

: . .. п п о

ве допустимых вектор-функций в' работе,.. В отличие от работ, ' - ' . здесь не предполагается липаицевость области определения допустимых вектор-функций. Считается, что оно произвольное ограниченное открытое множество, ... "'-''• "'

Пусть, как и, прежде,, произвольное ограниченное откры- .

тое шокество , [" .некоторое подмножество в ЪОХ . • Пусть

IО х РГ X -* Я некоторая функция, ^ СГ\П'М и ^

V"—^ К.П ~ произвольная вектор-функция. Рассмотрим вариационную о а дачу , ■ ; .■.'■; ^ .'..'" . ..Г.:-". •/''■ '. ■, ' -:,

±{{) € и ДЛЯ п>в. { ,

8. Морозов К.В. О полунепрерывном снизу расширении многомерных .вариационных;задач.-Математические заметки, т.33, вып.1985,

где ЗМ/) € (Q, Rm) , a x(l) - матрица Якоби отоб-

ражения XlO в точке "t .

Определение 7. Квазиовылуклением функции А', —?

! / . . Л ЛЛ " V

на множестве У С. называется квазиовыпукление функции

v«= Iлри У;

V [_ ос при

Наряду с задачей . будем рассматривать следую-дую вариационную задачу

■т j • ^ [

где - квазиовыпукление функции на множестве \J по последнему аргументу.

Теорема 10. Пусть в задаче множество допустимых вектор-

функций рассматривается с метрикой равномерной сходимости, интег-рант ij. непрерывен и множество ÍJ такое, что существуют невырожденные матрицы Д , Ь , размерности и \V\XVH соответственно, такие, что . . •

где ),..,строго выпуклые тела в пространствах ' ^.,

, соответственно. Здесь kj> О ,Ц=1,,..Д) и kj+.'.+l^: - yv\ . Предположим, кроме того, что существует вектор-функция (такая, ...

Дляп.в.-téQ ,

где \}0 замкнутое подмножество, содержащееся внутри тела \) .Тогда полунепрерывный снизу расширением задачи (с)) является задача {У^О , в которой интегрант j^y - квазиовыпукление функции по последнему аргументу на множестве \J .

Рассмотри теперь многомерную вариационную задачу без ограничения на производные допустимых вектор-функций:

( У ВДсН ■

I

О . Г • ( » ^ те же что и в задаче 6) •

Наряду с задачей (с) ) будем рассматривать задачу

I

где ^ - квазиовыпукление функции по последнему аргументу.

Теорема 10°. Пусть в задаче множество допустимых функ-

ций *|) рассматривается с метрикой равномерной сходимости. Тогда задача 1?) 5ч) является расширением задачи .

В §• 10 из результатов § 9 о расширении многомерных вариационных задач получены новые необходимые условия экстремума типа условия Вейерштрасса.

Определение В. Пусть ^ - произвольная функция

и ^ - ее квазиовыпукление. Множество точек ^ € м , в которых ^¡Ц*}^^!^) • назовеы квазивнггукльм остовом- .(в случае )у\~1 или 1 , выпуклым остовом) функции ^ . Обозначим это множестВ° V

Теорема II. (геометрическая форма теоремы Вейерштрасса). Пусть функция ^ХИ*'^ непрерывна и ее квазиовыпук-

ление не принимает значение -ОО . Тогда, если является

сильным локальти минимумом задачи , го точка 'X ({) при-

надлежит квазивыпуклому остову ^ ГЦ ^,(<4 ■> функции 1(1,

для д.в.

ио ■

Теорему II можно переформулировать следующим образом. Теорема II*. При выполнении условий теоремы II, если является сильным локальным минимумом задачи , то

к

для любой функции С^р (К) Ín^1 ) и для n.b,{eQ .

Определение 9. функция называется - выпук-

лой (или выпуклой ранга 1 ), если для любых двух матриц ^ , ^ таких, что m^t < i. и чисел dL)d,>0 .

извольной функции —? , ее Д_ - квазиовыпуклением

называется наибольшая Д_ - выпуклая функция ^; , не

превосходящая ^ • - выпуклым остовом функции ^ называется множество точек Ipt^0^1 , в которых ^.Üf) ~

Теорема (лОрри^). Произвольная непрерывная кзазивыпуклая функция является J\ - выпуклой.

Из теоремы II и теоремы «¿орри следует утверждение: Следствие 2. При выполнение условий теоремы II точка принадлежит А^

Из этого следствия легко выводится известное в много мерном вариационном исчислении необходимое условие Еейерштрасса, уста-

Q

новленное Л.^.Грейвсомл

9. Gravea L.M. The Weierstrass condition for multiple integral variation problems. Duks Math.J. 1939, v.5, p.656-660.

- 24 -

Следствие 3. Лри выполнении условии теоремы II для любой точки ({ ■30,1-1')/.'^К)) такой, что функция ^хА^),') дифференцируема в точке » функция Вейерытрасса принимает неотрицательные значения:

С} «

Г1*-

Отмстим, что в работе^ предполагается непрерывная дкфференци-¡7уе.-.!0сть интогранта ^ по перементы ^(Д-111 > 1,,..)п} . 0т..;ет11.| такко, что и при выводе классического условия Вейеритрас-,са .обычно предполагается непрерывная дирференцмруемость по третьей группе переменных. Таким образом, теорема II (II*) и следствие 2 являются видоизменениями теоремы ВзГ;ерштрасса для недиф-ференцируеуого случая, а следствие 3 несколько усиливает теорему Грейвса.

В 5 12 указаны способы, построения квазивкпуклых функций с помощью квазивкпуклых функций от аргументов меньшей размерности и выпуклых функций. ■ ;

В частности, здесь приведена известная теорема «юррк, позволяющая выделить обшисщ-к; класс квазиныгг/клых функции, называема поливыпуклши функциями (определение см.стр. 149). Дано новое краткое доказательство этой теоремы, основанное на теореме Сток-са.

В главе 1У рассмотрен вопрос о существовании решения иного- -мерных экстремальных задач, доказанные здесь теоремы о существовании применены к различным конкретные вариационным задачам и за-

- 25 -

дачам оптимального управления дифференциальным включением.

Существенной составной частью проведенных здесь исследований является установление коэрцитивное?!! интегральных функционалов на иекоторих неограниченных подмножествах пространства допустимых вектор-функций. Исследование коэрцитивности интегральна функционалов, в свою очередь, опирается на специальном хэрактери-зационном свойстве конечномерных подпространств в пространстве непрерывных вектор-функций и на том, что этим свойством обладают такке некоторые подмножества более общей природы. § 12 посвящен доказательству этого свойства, а такие аналогичной теоремы характеризующей конечномерные подпространства в пространстве измеримых ограниченных вектор-функций.

Пусть О произвольная компактная область в ^ и функция определенная и непрерывная на прямом произведении X ((л . Пусть "]) - некоторое подмножество непрерывных вектор-функций, определенных на области и принимающих значения в пространстве ^ " ¡смотрим следующую многомерную экстремальную задачу:

Множество называется множеством допустимых вектор-функций для задачи , а каядая £7) допустимой вектор-функцией.

Определение 10. Подмножество вида /{^Х€1 ;X)^

где X - конечномерное подпространство в нормированном пространстве , а % - положительное число, называется конечнопорожденной трубкой.

Теорема 12. Пусть функция (Зс) , определенная и непрерывная на X ^ , обладает свойством

й-?» -ио

Пусть, кроме того, множество допустимых вектор-функций 1) замкнуто, содержится в некоторой конечно-порожденной трубке и ограниченно компактно. Тогда задача (.с)^) имеет решение.

Уточняя множество допустимых вектор-функций , можно получить конкретные теоремы существования. В § 13 приведены такие теоремы.

Несмотря на то, что в задаче интегрант Р не зависит

от производи;тх вектор-функций XI/) , тем не менее из теоремы 12 слегают соответствующие результаты и для задач с интегрантом, зарпслцих: от производных. В 5 13 приведены такие примеры (теоремы ¡3.3 и 13.3). ' .

В § 14 доказаны две обилие теоремы существования для многомерных экстремальных задач (теоремы 14.1 и 14.2), являющиеся дальнейшими обобщениями и усилениями теоремы 12. Выделение этого частного случая (теоремы 12) результатов § 14 вызвано, во-первых, келанкем лучшего объяснения идеи, лежащей в основе этих теорем и во-вторых, ввиду наличия его достаточно содержательных следствий. •

В § 15 пркведе!п.1 примеры применения теорем 14.1 и 14.2 к задачам оптимального управления дифференциальным включением. Отметим, что в этих задачах стартовое и терминальное множества могут быть■неограниченными.

В пятой главе рассмотрены модели математической экономики, а именно, математические модели чистого обмена. Как известно, целью этих моделей является согласованное решение совокупности оптимизационных задач участников обмена. Хотя, как видно, здесь объект исследования отличен от ранее рассматриваемых, идея, ле-

жащая в основе континуальных (неатомических) моделей родственна с идеей расширения вариационных задач. Подобно тому, как расширение вариационных задач приводит к задачам, в которых .решение существует с большей вероятность» (в идеальном случае решение существует) при расширении конечных моделей экономики, для неблоии-руемого распределения с большей вероятностью существует вектор равновесных цен, т.е. такой вектор цен,, что набор товароэ, доставшийся каждому участнику при этих ценах максимизирует предпочтение этого участника в его бюджетном множестве.

Известны два подхода к расширении конечных моделей экономики; первый подход Я.Дебре и Скарфа^, основанный на рассмотрении кратной реплики рассматриваемой модели, второй - Н.Обена^1, основанный на понятии нечеткой коалиции расширяющей понятие коалиции.

т ?

С другой стороны Р.Ауман в работе предложил континуальную (неатомическую) модель экономики, не исходящую от какой-нибудь конечной экономики. Отметим, что экономическая интерпретация нечет®

ких коалиций Сбена вызывает определенную трудность и до настоящего времени делаются попытки их удовлетворительной интерпретации.

В пятой главе дана (в § 17) новая интерпретация нечетких коалиций, основанная на сопоставлении каждой конечной модели некоторой неатомической модели. При этом нечеткие коалиции Обена, естественным образом, изображаются как коалиции (обычные) в этой не-атомичёской модели. Соответственно, нечеткое ядро Обена отождествляется с ядром неатомической модели (теоремы 17.I, 17.2). Пользуясь этими результатами показано, что в выпуклых моделях для

Ю. Debren G., Scarf Н., The'Limit Theorem on the core of an economy.- International Economic Review, v.4, p.235--46.

11. К.-Л.Обен. Нелинейный анализ и его экономические приложения. Изд. Мир", 1988.

12. Aumunn R.J. Marketa with a continuum' of traders. - Econometrics, 1964, v.32, К t-2, p.39-50.

кзудого распределения из нечеткого ядра Сбена существует вектор равновесных цен. Однако, для невыпуклых моделей это утверждение не ыеет места. Те»; не ¡¿енее, если идти дальше по пути намеченной Обсно;.: - диверсификации к коалиции, ыокно добиться, чтобы и в этом случае, неблокируе:.Гг.-е (в смысле этого расширенного множества коалиций) распределения были равновесными, т.е. для них существовал вектор равновесных цен.

далее в этой главе рассмотрены континуальные «одели чистого об.лена с гладкими функциями спроса. Исследовано существование вектора равновесных цен, структура множества равновеснкэс.состоя-нк;': и регулярные состояния. С экономической точки зрения идеально;1 является ситуация, когда существует единственный вектор равновесных пен. Хотя в райках многообразия рассматриваемых здесь , математических моделей экономики ота цель'недостижима, тем не менее, удается показать, что "вообще говоря", для кавдого состояния существует конечное число векторов равновесных цен. Основополагающей в этом направлении является известная работа* К.Деб-. pe. Существенные достижения в этом направлении принадлежат Е.ди-. ркеру, Х.диркеру, К.Хильдебранду и др.

Зо вводное параграфе (§ 16) дано описание основшгх моделей чистого обмена и приведены формулировки некоторых фундаментальных фактов, относящихся к этим моделям.

В § 18 доказано одно видоизменение теоремы-СиеПла о регуляр- ' ных значениях гладких отображений банаховых многообразий, которое вместе с некоторши другими фактами дифференциальной топологии играет роль основного рабочего инструмента при исследовании-структуры множества равновесий в дальнейшем.•

13. Dsbren G. Econirp.ics 'with a finite eet of equilibria, - icono-, métrica, 1970, v.3a, p.369-39«:.

Б § 19 исследована структура множества равновесий в континуальных моделях чистого обмена с гладкими функциями спроса. Пусть

конус строго положительных вектор-функцкй из знабкенный топологией, как это указано в § 19.^Таким образом,

является [^(Д^ ~ многообразием, а ~ ег0 от~

врытым подмножеством.

^ Теорема 13. Пусть в описанной модели чистого обмена функция измерила по ^ при любом фиксированном (р, и выполнено условие ненасьгдаемости (см.стр.208). Тог-

№

а) для любого состояния ) множество (екторов равновесных цен непусто и компактно.

Если, кроме того, все функции спроса непрерывно

тфференцируемк и их частные производные удовлетворяют некоторым граничениям (см.стр.209), то

б) за исключением некоторого замкнутого, нигде не плотного нокества ^ в для всех состояний Эг(-) множество

1х\-) конечно>

В § 20 исследованы структура регулярных состояний в моделях гладкими.функциями спроса. Определение II. Состояние ЗС.1-)6. модели чистого об-

ена называется регулярным состоянием, если ранг функции избыточ-ого спроса 3 —' определяемой формулой

У'Л*«^)

каждой точке равен .

Е.Диркер в работе^ используя результаты М.иЮрса и С.Кернса

1. В1егкег Е. Т4ро1оц1оа1 те-ЬЬойз 1п даа1гаа1ап есопотХез. -ЬесЬ.по^ев 1п есоп. апй таЪЬ. з,у^етэ, 9^» 1931, ВегИп, Зрг1пзег.

кз теории критичссигх точек установил, что в конечных моделях чистого обмена с гладкими функциями спроса, за исключением некоторого замкнутого множества нулевой лебеговой меры в пространстве состояний, любое состояние является рзгулярнг'м.

3§ 20 получены аналогичже результаты для континуальных моде ле Г; чистого обмена, ари этом мы не пользуемся какими-нибудь вариантами результатов .иорса и Кернса. Отметим, что и в случае колечной модели'схема доказательства, предложенная здесь позволяет установить результаты й.Диркера без использова--::- г.--з> льтатов.

Теорема И. ;1ри выполнении условий теоремы 13 множество ре-гулярн'-'х состояний модели чистого обмена .содержит открытое всюду плотное множество в L^CT)'- многообразия .

Следствие 4. 3 условиях тооремь: 20.1 существует замкнутое нигде не плотнее множество в íl^CT) ~ многообразии' ^Т) такое, что для любого состояния "Х^") ё К £ число точек в множестве равновесных цен Пзд) нечетно. •

Топология L^úqÍJT) ~ многообразия L^lT) очень сильная; если и X¿V") принадлежат раэты компонентом, связности

многообразия + • то индуцированная топология, на отрезке

является дискретной. Поэтому, желательно уста- • ловить открытость множества регулярных состояний при более слабых топологиях, заданных на jj^ (Т ) . В следующей теореме считается, что iiw(T) рассматривается как подмножество банахов ого пространства •

Теорема 15. При выполнении условий теоремы Í3 и некоторых условий (стр.23) на частные производные функций спроса ^(-í. é. 'Y), множество регулярных состояний модели чистого обмена открыто и всюду плотно в пространстве состояний

- 31 -

Эта теорема имеет следствие аналогичное следствию 4.

§ 21 посвящен исследованию структуры регулярных состоянии и

множества равновесных цен в моделях типа предложенных К.Хильден-15

брандом в работе . В рассмотренных здесь моделях допускаются

15

участники с более разнообразными характеристиками, чем з работе в то время, как в^ "универсум" характеристик участников ограничивается некоторым компактом, здесь допускаются, во-перв;пс, произвольные суммируемые совокупности начальных ресурсов, во-вторых, предпочтения участников (функции спроса) меняются в произвольном сепарабельном подпространстве метрического пространства предпочтений. С другой стороны, полученные в § 21 результаты усиливают результат К.Хильденбранда о структуре регулярных состояний. Отметим, что эти результаты выводятся из результатов, предыдущего параграфа, относящихся к моделям чистого обмена, введенных в § 16. Главную роль при установлении этой связи между моделями

ТА

двух разных типов играет теорема А.В.Скорохода о представлении абстрактных мер, как образа одномерной лебеговой меры. Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1. Гусейнов Усиление теоремы К.Хильденбранда, ДАН АзССР, т.35, 2, 1979, с.3-6.

2. Гусейнов Ф.В. О континуальных моделях чистого обмена. ¿АН АзССР, т.35, » 12, 1979, с.13-16.

3. Гусейнов Ф.З. К вопросу о расширении многомерных вариационных задач. Успехи матем.наук, т.39, вып.2 (236),1984, с.149-150.

4. Гусейнов 5.В. Общая теорема существования для многомерных экстремальных задач. Математический сборник, т. 129, № 3, 1986,

15. Гильдебранд В. Ядро и равновесие в большой экономике, т.: Наука, 1986.

16. Скороход A.B. Исследования по теории случайных процессов. Киев, Изд-во Киевского ун-та, 1961.

с.440-446.

5. Гусейнов <5.В. Равновесия в моделях с континуумом участников, Труд?' ИК АН АзССР, математическая кибернетика и прикладная математика, вып.7, I9Í36, с.87-105.

6. Гусейнов Í.B. К вопросу о расширении многомерных вариационных задач. Известия АН СССР, сер.матем., т.50, I, 1986,д. 3-21.

7. Гусейнов Ф.В. Характеризоция конечномерных подпространств ггостранств непрерывных и измеримых ограниченных вектор-функций. Известия АН АзССР, т.7, .'Í б, 1986, с.

6. Гусейпоз Í'.B. О неравенстве Иенсена. ^¿атематические заметки, т.41, 3, 19о7, с.793-606.

9. Гусейнов '¿.3. Применение теоремы Смейла о регулярных значениях к исследованию равновесий в континуальных моделях экономики. Тезисы трудов международной конференции по топологии, Баку, 1967, с.94.

10. Гусейнов 5.В. Расширение многомерных вариациокнъ?х_ задач

и регулярные минимизирующие последовательности. Известия АН АзССР, т.9, № I, 1985, с.17-19.

П. Гусейнов i.В. Непрерывность квазивыпуклых функций и теорема о квазиовкпуклен'лй. Известия АН АзССР, т.Э,.',< 2, 1988, с.20-25.

12. Гусейнов '5.3. Леша Экланда и существование регулярных миш&.изируюаих последовательностей. Препринт Р 274, Институт физики Ai-i АзССР, Баку, 1988, 29с.

13. Гусейнов 5.В. Расширение вариационных задач и необходимые условия экстремума. Известия АН АзССР, т.9, }i> 5,1983,с.15-18.

14. ГЧ'сейнов О.В. О полунепрерывном снизу, расширении основной задачи вариационного исчисления, математические заметки, т.44,

В 4, 1989, с. ñlnl