К вопросу о классической разрешимости регулярных вариационных задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ПО ДЕЛАМ НАУКИ, ШСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РСФСР

НОЮСИШРСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ.ЛЕНИНСКОГО КОМСОМОЛА

К ВОПРОСУ О КЛАССИЧЕСКОЙ РАЗРЕШИМОСТИ РЕГУЛЯРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Сычев Михаил Андреевич

УДК 517.972/974

НОВО&ШИРСК - 1992

Работа выполнена в Новосибирском ордена Трудового Красного знамени государственном университете им. Ленинского комсомола.

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор Т.И.Зеленяк Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор В.Н.Михайлов 4 доктор физико-математических наук

„ В,А.Шарафутдинов

Ведущая организация - Институт гидродинамики СО РАН.

Защита состоится " " (Сс-Сс^ 1992 года в '/1

часов на заседании специализированного совета К 063.98.04 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Новосибирском ордена Трудового. Красного знамени государственном университете им.Ленинского комсомола по адресу: 630090, г.Новосибирск 90, ул.Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ново -сибирского ;^сударственного университета.

Автореферат разослан /<-С £( 1992 г.

Ученый секретарь . ' специализированного совета доктор физико-математических .

■ наук <ф. Б.В.Капитонов

'ЗГ

/

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В работе рассматривается классическая задача вариационного исчисления

^ дя

Вопрос о существовании и аналитичности решения такой

задачи в предположениях аналитичности и выполнения

л, ^

всвду неравенства /1. (х-,ии ^ составил

чь/ ' ^ >

суть 19-й и 20-й проблем Гильберта c.54-55J

Исследования одномерного аналога этой задачи били по -свящеяы работы Л.Тон.зллл первой половины ХХ-го века. Тонел-ли доказал теорему существования и частичкой регулярности решения задачи в класса абсолютно непрерывных функций£2] .

Принципиально ватаый пример, показывающий, что точная шш1яя грань функционала при таком расширении

его области определения'вообще говоря понижается, построил М.А.Лаврентьев£ 3 ] . Этот эффект получил в литературе на -звание эффекта Лаврентьева и изучался в работах Н.Н.Боголюбова и Н.М.Крылова £4, с.176] , а такяе современных работах

1. Проблемы Гильберта. Ы.:Наука, 1969, 240 с.

2. ТогиЫс V,. РопЛштшси <а СсЛсой) ск1Ы I/а^ьалиопс, 6суог.х-7Г -

3. Ьс^угяМхглг И. с^иЯ^ил^ ры-вЯиш^ сЫ. а>Ьм£. ьалш^хс.^ $ Лпп- /пси., рила. ссСар^.^ЗЯб, р

4. Бого.:;обов Н.Н.Избранные труды.К. :Наукова дугжа,1969,6'±7с.

Чезари, Эцджела, Лоуэна и других авторов.

Одномерным же задачам посвящены работы 80-х годов из -вестных современных аналитиков Дж.Волла, Ф.Кларка, а также работч Ф.Винтера, Ф.Лоуэна, Давие и др. В этих работах уси -ливаются результаты Тонелли, показывается,- что теорема о частичной ре17лярности обобщенного решения точна. Приводится также пример задачи, в которой производная гладкого внутри интервала обобщенного решения обращается в бесконечность в граничной точке интервала, а минимизирующие функционал по -следовательности ь'классе гладких функций сходятся равномерно к обобщенному решению £ 5-6 ] .

Изучению вопроса классической разрешимости многомерных задач посвящены работы многих авторов, в их числе: С.Н.Бернштейна, С.Л.Соболева, О.АЛадыженской и Н.Н.Ураль -цевой, Морри, Де Дгорджи, Стамппаккиа, а также недавние работы Джаквинга, Модики, Асерби, Фуско и др. Б этих работах результаты о классической разрешимости задачи при дополни -тельных ограничениях на лагранжиан /_, *5ыли получены пу -тем доказательства-регулярности обобщенных решений. Хорошо' известно также, что задача имеет обобщенное решение, если лагранжиан [а (ос., и,, V X) имеет более чем линейный рост и выпукл по ?и. ' .

5. &аМ О. М., М\г& Ш Опс - ¿¿те-пиоплС Ьоё-&гкх IМ'мм-ъеи: еСо нлЬ ЬКл. глш Вшаа^ХОП, // АгсА. 1АПоп., тлск. сииСамаС. <32^. V. 90. д/^.

р.гг5--зп. > о «

6. (£ал,и г. Н., УйсЬ&с Он 6и сомкЬюм имсЬл

Ыг. Виё&ь Еаиа&ои- аь Ыл, тс^сстсип, кь&С// А^е. таЛЛ. аа(С орЬ**. 49Щ . ¿/Л. р. 73- 9-9.

В то же время оставалось неизвестным даже в одномерном случае будет ли задача иметь решение в классе гладких функций лишь в предположениях теоремы существования обобщенного решения и ограничениях наложенных на лагранжиан // -при постановке 19-й проблемы Гильбертом. В случае невыполнения условий теоремы существования обобщенного решения примеры классически неразрешимых задач были построены еще в [ 7 , с.229] .

Цель работы. Получить ответ на вопрос о классической разрешимости регулярных по Гильберту вариационных задач (в том числе одномерных) при выполнении условий теоремы существования обобщенного решения.

Научная новизна. В работе получены следующие, новые результаты:

- для всех размерностей пространства независимых переменных в условиях теоремы существования обобщенного решения построены примеры регулярных по Гильберту вариационных за -дач, не имеющих классического решения;

- построены примеры одномерных задач, которые не имеют решения в классе гладких внутри интервала <$ункций для мно -

жества граничных данных, содержащего непустое открытое в К

■ /.

подмножестве. При этом графики обобщенных решений не явля -ются аналитическими кривыми;

- построены примеры неразрешимых в классическом смысле 1 регулярных задач, в которых ЬеС /£Ь(^а/Уи^^Ш^

7 Еешштейн С.II. Собпо.ние сочинений.Т.3.Изд.!С1 СССР.Москва.

1550. ~ .

Основная методика исследования. В работе используются метода теории экстремальных задач, теории дифференциальных уравнений, теории функций действительного переменного.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты носят теоретический характер и могут быть использованы в качественной теории дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах: ИГЛ СО РАН по качественной теории дифференци -альных уравнений под руководством проф.Т.И.Зеленяка, на семинаре отдела анализа под руководством акад.Ю.Г.Решетня-ка, на семинаре ИМ им.В.А.Стоклова под руководством проф. В.П.Михайлова, на семинара ИГ СО РАН под руководством-, чл.-корр.П.И.Плотникова, на заседании Сибирского математического общества в феврале 1992 года.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 работы.

Структура и объем диссертации. Диссертация объемом 68 стра>нтц состоит из введены, трех параграфов и за -ключения. Список литературы содержит 50 наименований.,

2. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении содержится краткий исторический вопросу-разрешимости одномерных регулярных задач

а.

6

обзор по

(1)

где под регулярностью подразумевается выполнение следующая условий: L( Ь

ФСЖ1,

>JlU>Ot Lj > jMr .

Первый параграф содержит некоторые предварительные сведения, используемые в дальнейшем в диссертации. Здесь формулируются хорошо известные теоремы о полунепрерывности регулярных интегральных функционалов в классе функций, имеющих обобщенные производные, а такте теорема существования обобщенного решения задачи (1)-(2) и ее многомерного аналога.

Ьо втором параграфе для всех размерностей простран -ства независимых переменных в условиях теоремы, оущоотвова -ния обобщенного решения строятся прпшры регулярных по Гильберту вариационных задач не имеющих решения в классе гладких внутри области функций, В этих примерах Lifx.UjVu)

* 'Лг %

аналитична, L Z JU- |VO|, ¿_ {_, (х.и,.^*. Z ■ is/lt/v/

для всех у е. ^ (fir>Q) • Минш.тазкрукцке последовательности в классе допустимых гладких функций сходятся к обобщенным решен иям.

В построенных одномерных примерах задача (1)-(2) не имеет решения в кяассо гладких внутри интервала функций д.;1я множества граничных данных (2), содержащего непустое открытое в Ш подмножество, а графики обобщенных решений для некоторых из таких данных (2) не являзтся аналитически.^ КРИВЫМИ.

Следует отметить, что в построенных многомерных примерах граничные данные - негладкие функции.

3 третьем параграфа строятся примеры классически не -

разрешимых регулярных задач, в которых лагранжианы имеют

квадратичный рост по VIL, т.е. ta £ С

л • х. *

»V

х ___., л,

jM^I - 2- L, ,,Хх->и'>Уг)5с1)* J*-M для всех

С,j=t /J

В этих примерах обобщенные решения непрерывны, но úe -гладкие внутри области функции, а минимизирующие функционал в классе допустимых гладких функций последовательности сходятся ж обобщенным решен шил. Показано также, что обобщенные решения одномерной задачи могут совпадать на целом интервале не совпадая тоадественно;

Регулярным вариационным задачам, в которых лагранжиан L имеет квадратичный рост по , уделялось наибольшее внимание в литературе. Начиная с работы де Джорджи [sj и по настоящий момент авторами ослаблялись дополнительные условия на [_, , при которых обобщенное решении является классическим (см. [_9-10"] и имеющуюся там литературу).

Приведенные здесь примеры впервые показывают, что без дополнительных предположений и такие задачи могут не иметь решений в классе гладких внутри области функций.

О Джорджи Э. О дифференцируемости и аналитичности гкетре -малей кратных регулярных иптегралов/Д1атематшса.1960. И 6. с 23-39

s G¡aoaürvtcuM.MuX¿¿pk ¿tv tRe, aJbSus cf

VQtáx&oM (Хлеб rwrdíúwwb tííífitic svsbuns. /W. of МоЛк. JtuxOes. /9ÍS. t/40s. piCMietok. UnXfr. Pu.ss. 1С Mt*"fvtd¿fl. 11гаи£ахсЫ'йуь MCninui. of Fu+ctLbnbXs wit*L f> - fitina // d¿ff3u¿~C, -(SU. i/.W. t/2. p.zo 1-213.

Заключение представляет собой обзор известных на на -стоящий момент результатов по вопросу о классической разрешимости регулярных по Гильберту вариационных задач. "

Автор выражает глубокую благодарность проф.'Т.Н.Зеле -няку за оказанную в работе помощь и подцержку.

Результаты, вклиненные в диссертацию, публиковались з следующих работах.

1. Т.И.Зеленях, М.М.Лаврентьев, М.А.Сычев. Эффект Лаврентьева и проблема регулярности решений вариационных задач// Бюлл. Сиб. мат. общ., & 2, 1990 г., с.36-39.

2. М.А.Сычев. К вопросу о регулярности решений простейших вариационных задач. Препринт 4 ИМ СО РАН, 1991 г., 48с.

3. М.А.Сычев. О регулярности решений некоторых вариационных задач//ДАН СССР 1991, т.316, 6, с.1326-1330.