Экстремальные задачи для эволюционных вариационных неравенств типа Навье-Стокса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

1 Эволюционные вариационные неравенства для операторов типа Навье-Стокса

1.1 Постановка задачи.

1.2 Разрешимость задачи (I) в слабом смысле.

1.3 Регулярные решения задачи (I).

1.4 Суперпозиция монотонных операторов.

2 Экстремальные задачи для эволюционных вариационных неравенств

2.1 Предварительные сведения, постановка задачи.

2.2 Разрешимость задачи (Р).

2.3 Регуляризованная экстремальная задача.

2.4 Система оптимальности для задачи (Ре).

2.5 Система оптимальности для задачи (Р).

2.6 Стартовое, граничное управления субдифференциальными системами.

3 Задачи гидродинамики с субдифференциальными условиями

3.1 Краевые задачи с нелинейными граничными условиями.

3.2 Экстремальные задачи гидродинамики с субдифференциальными условиями

3.3 Оптимальное стартовое управление.

В современной математической физике активно изучаются вопросы, касающиеся построения достаточно точных математических моделей природных процессов и возможности управления этими процессами. В таких исследованиях наиболее интересной является ситуация, когда величины, определяющие изучаемый процесс, удовлетворяют некоторым нелинейным условиям. Среди таких условий часто встречаются, например, ограничения типа неравенств на физические характеристики процесса, нелокальные краевые условия. Таким образом, возникает необходимость рассмотрения задач, решение которых должно удовлетворять не только соответствующему дифференциальному уравнению, но также некоторым дополнительным нелинейным ограничениям.

Решение подобных задач стало возможным, благодаря применению вариационных методов, которые начали активно разрабатываться в математической физике в 50-60 годы. Изучение задач на неравенства было начато в работах Г. Фикеры [42], Ж.-Л. Лионса [72] , Д. Киндерлерера, Т. Стампаккьи [14]. Независимо от перечисленных авторов, Г.Майер изучал задачи на неравенства в прикладной механике, используя методы оптимизации [74].

Вариационные методы предполагают, в частности, использование элементов выпуклого анализа (такой подход был предложен J.J. Moreau [75]-[76]): описанные выше нелинейные условия представляются в виде субдифференциала некоторой выпуклой полунепрерывной снизу функции. Такое представление позволяет исследовать целый класс задач с нелинейными ограничениями как одно вариационное неравенство. Поскольку суб дифференциал выпуклой функции является максимальным монотонным оператором, исследование вариационных неравенств тесно связано с теорией максимальных монотонных операторов.

Достаточно долгое время все задачи на неравенства относились к случаю выпуклых функций. Для того, чтобы преодолеть это ограничение, П. Панагио-топулос [30] предложил подход, не связанный с предположением выпуклости и основанный на использовании аппарата негладкого невыпуклого анализа, развитого Р.Т. Рокафелларом [36], Ф. Кларком [62]- [64], Дж. Варгой [83]. Позднее такой подход был применен V. Barbu [55] в исследовании задач оптимального управления вариационными неравенствами. Им были подробно изучены различные вариационные задачи для линейных уравнений. Следует отметить, что на сегодняшний день теория вариационных неравенств наиболее полно развита именно для линейных операторов.

Вариационные неравенства активно исследуются во многих областях механики - теории вязко-классических сред (П.П. Мосолов, В.П. Мясников [29]), теории упругости и упругопластических сред (J.J. Kalker, Y. Van Randen [71], Прагер В., Ходж Ф [32]), теории электромагнитного поля (Дюво Г., Лионе Ж.-JI. [7], [67]) и других.

Многие задачи динамики жидкости, изучаемые в настоящее время, интересные теоретически и важные с точки зрения приложений, также сводятся к исследованию вариационных неравенств для операторов гидродинамики. Одной из основных моделей, используемых для описания течения жидкости, является система уравнений Навье-Стокса. Корректность основных краевых задач для этой системы рассмотрена в книге O.A. Ладыженской [17]. Вариационные неравенства для таких уравнений, возникающие, например, при моделировании нелинейных краевых условий, начали исследоваться Ж.-Л. Лионсом [72], [20] и A.B. Кажиховым [10]. В работах Лионса рассмотрены задачи, интересные в теоретическом плане. A.B. Кажихов изучал задачи типа протекания жидкости в канале, имеющие ясную физическую интерпретацию. Необходимо отметить, что исследование вариационных неравенств для операторов типа Навье-Стокса значительно осложняется нелинейностью исходных уравнений: для таких уравнений, как правило, отсутствуют теоремы об однозначной разрешимости, множество их решений нелинейно и невыпукло. Стационарные вариационные неравенства для операторов типа Навье-Стокса исследованы в работах А.Ю. Чеботарева [48]-[50].

Естественным продолжением работы в этом направлении стали задачи оптимального управления системами, которые описываются с помощью вариационных неравенств. Экстремальные задачи для линейных систем, содержащих субдифференциальные ограничения, исследовал V. Barbu [56]. Задачи управления для нелинейных уравнений гидродинамики в отсутствии теорем об однозначной разрешимости рассматривали A.B. Фурсиков [44]-[45], H. Gunzburger, L. Hou, T. Svobodny [70], F. Abergel, R. Temam [52], Desai M., Ito K. [66]. В работах А.И. Прилепко, И.А. Васина [33], [34] рассмотрены некоторые задачи об определении, по дополнительной информации о решении, внешних условий, определяющих течение. По своему характеру эти задачи близки к задачам управления вариационными неравенствами. Некоторые задачи оптимизации для стационарных вариационных неравенств типа Навье-Стокса рассмотрены А.Ю. Чеботаревым [47]. Кроме того, вариационные неравенства и соответствующие экстремальные задачи для линейной системы Стокса изучены в работе Г.В. Алексеева, А.Ю. Чеботарева [53].

Основной целью данной диссертации является исследование класса задач оптимального управления нестационарными вариационными неравенствами для операторов типа Навье-Стокса. Как уже отмечалось, особенностью рассматриваемых задач является нелинейность как исходных уравнений, так и дополнительных (субдифференциальных) условий. Кроме того, в работе рассмотрен ряд близких вопросов, исследование которых необходимо для решения сформулированной задачи. Полученные в этом направлении результаты представляют самостоятельный интерес и могут быть использованы для исследования задач гидродинамики, содержащих нелинейные ограничения.

Исходной моделью для исследований данной работы служит система уравнений Навье-Стокса, описывающая течение вязкой однородной несжимаемой жидкости: с^уу = 0.

Здесь у = - вектор скорости течения {(I = 2.3), р - давление, / плотность внешних массовых сил, и - коэффициент кинематической вязкости, (у-У)у = Ук^У, I - переменная времени, х = {хг}^=1 - точка пространства В*.

Первое векторное уравнение этой модели часто удобно записывать в форме Лэмба: ду

- Ау + (го 1у ху) = -У/г + /. 2

Здесь К — р + ^— полный напор течения.

Изучаемые в работе вариационные неравенства, связанные с описанной системой, сформулированы в абстрактном виде, поэтому полученные результаты можно применить к целому классу задач гидродинамики с субдифференциальными ограничениями.

Первая глава работы посвящена исследованию класса субдифференциальных краевых задач гидродинамики. Рассматривается абстрактное нестационарное вариационное неравенство с нелинейным оператором типа Навье-Стокса. Доказана разрешимость данного неравенства (в слабом смысле) без ограничений типа малости. Получены достаточные условия, при которых его решение единственно и более регулярно. Эти условия представляют собой более сильные ограничения на квадратичный оператор уравнения, либо ограничения типа малости на исходные данные: начальное состояние, внешние силы или интервал времени.

Близкие вопросы для различных модификаций эволюционных неравенств для операторов Навье-Стокса рассматривали Н. Вгег1з [58]-[59], С. Ргоиэе [80],

M. Muller, J. Naumann [77]-[78]. Полученные этими авторами результаты не могут быть перенесены на исследуемые в данной работе неравенства, поскольку содержат более сильные ограничения на рассматриваемые операторы. Отметим также работу А.Ю. Чеботарева [50], в которой изучены стационарные вариационные неравенства в модели неоднородной несжимаемой жидкости.

Как уже было сказано, исследование вариационных неравенств тесно связано с теорией монотонных операторов, поэтому в данной главе попутно были получены некоторые результаты, касающиеся монотонных и положительных операторов. Более точно: установлены условия, при которых суперпозиция монотонных (либо положительных) операторов, определенных и действующих в пространстве L2, также является монотонным (положительным) оператором.

Полученные в этой главе результаты о разрешимости и регулярности позволяют решать задачи гидродинамики с нелинейными ограничениями (некоторые из них рассмотрены в третьей главе работы) и, кроме того, используются в главе 2 при исследовании экстремальных задач.

Вторая глава работы посвящена исследованию задач оптимального управления вариационными неравенствами, изученными в первой главе. Рассматриваемая экстремальная задача также сформулирована в абстрактном виде и представляет собой, фактически, класс задач оптимизации для гидродинамических систем с субдифференциальными условиями. В этой главе доказана разрешимость поставленной задачи. В случае, когда решение управляемой системы достаточно регулярно (условия существования такого решения приведены в 1-й главе), получены необходимые условия оптимальности для решений экстремальной задачи. Установлены некоторые свойства, касающиеся структуры множества решений (замкнутость, компактность). Рассмотренная задача оптимизации связана с распределенным оптимальным управлением, однако полученные результаты почти дословно переносятся на случай стартового управления, а также применимы к классу задач оптимального граничного управления.

Односторонние экстремальные задачи, связанные с системой Стокса, рассмотрены А.Ю. Чеботаревым [47]. V. Barbu [56] изучены аналогичные исследуемым в данной главе задачи оптимизации для вариационных неравенств, связанных с абстрактными линейными уравнениями.

Третья глава работы целиком посвящена приложению полученных в главах 1, 2 результатов к решению задач гидродинамики, содержащих нелинейные ограничения. Рассмотренные задачи разбиваются на два класса - задачи, приводящие к решению вариационных неравенств, и задачи оптимального управления соответствующими вариационными неравенствами. Перечислим вкратце исследуемые в этой главе задачи.

1) Задача с односторонними граничными условиями. Рассматривается задача, в которой нормальная составляющая вектора скорости и полный напор связаны на границе области течения соотношениями типа неравенств;

2) Задача типа регулирования. В этой задаче граничные условия, которым должно удовлетворять искомое решение, также задаются в виде неравенств и, кроме того, нелокальны.

3) Задача с ограниченным полным напором. Требуется найти решение системы уравнений Навье-Стокса при условии, что полный напор течения ограничен.

Доказана разрешимость (в слабом смысле) перечисленных задач, установлены условия, при которых решение более регулярно.

Исследованы также следующие задачи оптимизации для эволюционных вариационных неравенств с оператором типа Навье-Стокса.

4) Задача минимизации вихря течения. Предполагается, что решение управляемой системы принадлежит множеству функций с ограниченным вихрем. Такие решения дает соответствующее вариационное неравенство. В задаче оптимизации требуется минимизировать завихренность течения. В качестве управления рассматриваются значения полного напора течения на границе.

5) Задача минимизации объема вихревой зоны. Рассматривается задача оптимального управления таким же, как и в предыдущем случае, вариационным неравенством. Требуется минимизировать объем тех подмножеств области течения, в которых величина модуля вихря максимальна. Управлением, как и в п.4, является полный напор течения.

Доказана разрешимость этих задач. В заключение данной главы, рассмотрена

6) Задача оптимального стартового управления. Эта задача не содержит субдифференциальных ограничений, что позволяет более подробно исследовать структуру множества решений экстремальной задачи. В дополнение к разрешимости задачи оптимизации и системе оптимальности, установлены ограничения, при выполнении которых множество решений содержит лишь конечное число элементов, или же решение единственно. Эти ограничения выполняются, в частности, если интервал времени достаточно мал. Система оптимальности в данной задаче получена без ограничений типа малости. Близкие вопросы для уравнения Бюргерса рассмотрены в работе Ь. ^УЪ^е'а [84].

Перечислим, в заключение, основные этапы работы и методы исследования.

1) Исследование разрешимости и корректности эволюционных вариационных неравенств для операторов типа Навье-Стокса.

2) Исследование задач оптимального управления вариационными неравенствами Навье-Стокса. Построение и обоснование системы оптимальности.

3) Применение полученных результатов для исследования эволюционных систем Навье-Стокса, содержащих субдифференциальные условия.

Результаты диссертации были получены с использованием методов теории вариационных неравенств; свойств решений параболических краевых задач; методов регуляризации; элементов негладкого выпуклого и невыпуклого анализа и теории монотонных операторов; методов галеркинских приближений и априорных оценок и методов теории оптимального управления.

Результаты работы были доложены или представлены на следующих конференциях и семинарах:

Pacific International Conference "Mathematical Modeling and Cryptography", Владивосток, 1995;

3-я Всероссийская школа-семинар "Аналитические методы оптимизации процессов в механике жидкости и газа", Москва, 1996;

11-я Всероссийская конференция памяти К.И.Бабенко "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики", Пущино, 1996;

22-я Дальневосточная математическая школа-семинар памяти акад. Е.В.Золо-това, Владивосток, 1997;

1-я Дальневосточная конференция студентов и аспирантов по математическому моделированию, Владивосток, 1997;

23-я Дальневосточная математическая школа-семинар памяти акад. Е.В.Золо-това, Владивосток, 1998;

2-я Дальневосточная конференция студентов и аспирантов по математическому моделированию, Владивосток, 1998;

Семинар по дифференциальным уравнениям Хабаровского государственного технического университета под рук. д.ф.-м.н. проф. А.Г. Зарубина; Общеинститутские семинары в Институте прикладной математики ДВО РАН.

Результаты диссертации опубликованы в работах [88]-[100], список которых приведен в конце работы.

Обозначения и символы

Rd - (¿-мерное евклидово пространство

R - числовая прямая (—оо, оо) R = (—оо; +оо] R+ = [0; +оо)

Q - открытое множество в Rd

Г = дП - граница П Q = Qx(0,T), где 0 < Т < оо ■ ||х - норма в линейном нормированном пространстве X

X' - сопряженное пространство, множество всех линейных непрерывных функционалов, определенных на X у, х >= (у, х) - значение функционала у € X' на элементе х G X df - субдифференциал / : X R, df(x) = {у £Х': /(а) - /(*) > (у, а- х) Va G X}

А* - оператор, сопряженный к оператору А

С - замыкание множества С meas С - мера Лебега множества С С Rd

Dau(x) = а = («ь«2,ad), |а| = ai + . + а^, «¿>0, г = 1, d

Ск(£1) - пространство вещественных функций, определенных на Çl, к раз непрерывно-дифференцируемых, 0 < к < оо о

Ск (П) - подпространство функций из Ck(fl) с компактным носителем в il

D(Sl) =С°°° (il)

D'(Û) - пространство распределений (обобщенных функций) на О

Lp((l) - пространство р-интегрируемых функций и : il —У R с нормой IMIp = (Sa \u{x)\4xf!p, 1 <р< оо, ЦиЦоо = sup^çQ ess|u(a:)| для р = оо

W™(ÎÏ) -пространство Соболева {м G Lp(n)]Dau G Lp(il), |а| < m},

1 < p < оо о

W™ (il) - замыкание D(iï) по норме пространства И7™(О)

Н'(П) = ИДО), Н-°(П) о

- пространство, сопряженное к (Г2), з > О

Ьр(а,Ь\Х) = Г/'(Х) - пространство р-интегрируемых функций : (а, Ъ) -> X, X - банахово пространство, 1 < р < оо, —оо < а < Ъ < оо пространство функций / : [О, Т] —X' с ограниченной на [0,Т] вариацией

Пространства вектор-функций обозначаются, если это не вызывает недоразумений, тем же символом, что и пространство, к которому принадлежат все компоненты вектор-функции, принадлежащей рассматриваемому пространству. При этом, если вектор-функция и = £ X, то, как правило, ||и||х = (Хл \Ы\х) 2) в том случае, когда пространство X - гильбертово, или для пространства Соболева.

Заключение

В данной работе рассмотрены эволюционные вариационные неравенства для операторов типа Навье-Стокса и задачи оптимального управления такими неравенствами.

Первая глава посвящена теоретическому исследованию класса эволюционных вариационных неравенств для уравнений Навье-Стокса.

Во второй главе проведено исследование экстремальных задач для вариационных неравенств, изученных в первой главе.

Третья глава посвящена приложению результатов первых глав к конкретным гидродинамическим задачам с субдифференциальными ограничениями.

Таким образом, в работе получены следующие основные результаты:

- Доказана разрешимость класса вариационных неравенств для эволюционных уравнений Навье-Стокса.

- Установлены условия, при которых решения исследуемых вариационных неравенств единственно и более регулярно.

- Изучен класс задач оптимального управления вариационными неравенствами типа Навье-Стокса, доказана разрешимость рассматриваемых экстремальных задач.

- Для регулярных решений рассматриваемых вариационных неравенств получены необходимые условия оптимальности для решений соответствующей задачи оптимизации.

- Рассмотрены приложения полученных результатов к конкретным задачам гидродинамики, приводящим к решению вариационых неравенств, а также некоторые задачи оптимального управления гидродинамическими системами, содержащими нелинейные ограничения.

Полученные теоретические результаты, конечно же, можно применять и в других, возможно, более интересных случаях моделирования нелинейных краевых условий для уравнений Навье-Стокса. Полученные системы оптимальности могут использоваться для разработки алгоритмов численного моделирования оптимальных течений со сложной структурой.

1. Антониев С.Н., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983. 343 с.

2. Байоки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. М.: Мир. 1988. 546 с.

3. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М: Наука, 1965.

4. Быховский Э.Б., Смирнов Н.В. Об ортогональных разложениях пространства вектор-функций, квадратично суммируемых по заданной области // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР. 1960. Т. 59. С. 5-36.

5. Варга Дою. Оптимальное управление дифференциальными и интегральными уравнениями. М.: Наука, 1977.

6. Васин И.А. О некоторых обратных задачах динамики вязкой несжимаемой жидкости в случае интегрального переопределения. // Журн. вы-числ. матем. и матем. физики (1989), 32, с. 1071-1079.

7. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука. 1980.

8. Ильин В.П. К теоремам "вложения". Тр. Мат. ин-та АН СССР, 1959, т. 53, с. 359-386.

9. Кажихов A.B. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнений движения неоднородной вязкой несжимаемой жидкости. Докл. АН СССР, 1974, т. 216, №5, с. 1008-1010.

10. Кажихов A.B. Разрешимость некоторых односторонних краевых задач для уравнений Навье-Стокса. Динамика сплошной среды: Нестационарные проблемы гидродинамики / Ин-т гидродинамики СО АН ССР, Новосибирск, 1974, вып. 16, с. 5-34.

11. Кажихов A.B. К теории краевых задач для уравнений неоднородной вязкой несжимаемой жидкости. В кн.: Тр. V Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости. Ч. II. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1975, с. 65-76.

12. Капитонов Б.В. Теоремы единственности и точное граничное управление для эволюционных систем // Сиб. мат. журнал.1993. Т.34, N5. С.67-84.

13. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ // М: "Наука", 1988.

14. Киндерлерер Д., Стампаккъя Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. М: Мир, 1983.

15. Котляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970.

16. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М. 1988.

17. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1970, 288 с.

18. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.-407 с.

19. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уралъцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

20. Лионе Ж,-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 587 с.

21. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 414 с.

22. Лионе Ж.-Л. Некоторые вопросы оптимального управления распределенными системами // УМН. 1985. т. 40. № 2(244). с. 55-68.

23. Лионе Ж.Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука,1987. 412 с.

24. Лионе Ж., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

25. Люетерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. -2-е изд., перераб. М.: Наука, 1965. 519 с.

26. Марчук Г.И. Численное решение задачи динамики атмосферы и океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1974. 303 с.

27. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977.

28. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968. 575 с.

29. Мосолов П.П., Мясников В.П. Вариационные методы в теории течения вязко-пластических сред // ПММ, 1965. Т. 29. С. 468-492.

30. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения. Выпуклые и невыпуклые функции энергии. М.: Мир. 1989.

31. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1964. 272 с.

32. Прагер В., Ходж Ф. Теория идеально пластических тел. М.: ИЛ, 1963.

33. Прилепко А.И., Васин И.А. Некоторые обратные начально краевые задачи для нестационарных линейных уравнений Навье - Стокса / / Дифференциальные уравнения, 1989. Т. 25. С. 106-117.

34. Прилепко А.И., Васин И.А. Постановка и исследование нелинейной обратной задачи управления движением вязкой несжимаемой жидкости / / Дифференциальные уравнения, 1992. Т. 28. С. 697-705.

35. Рагулин В. В. К задаче о протекании вязкой жидкости сквозь ограниченную область при заданном перепаде давления или напораю //Динамика неоднородной жидкости, 1976. Вып. XXVII.

36. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 469 с.

37. Cea Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973.

38. Слободецкий JT.H. Пространства Соболева дробного порядка и их приложения к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных. // ДАН СССР, 118, N2 (1958), сс. 243-246.

39. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. 408 с.

40. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1966. 724 с.

41. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука. 1980. 497 с.

42. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974.

43. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. 427 с.

44. Фурсиков A.B. Задачи управления и теоремы,касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных уравнений Навье-Стокса и Эйлера. // Мат.сб. 1981. Т.115, N 2. С.281-306.

45. Фурсиков A.B. Свойства решений некоторых экстремальных задач, связанных с системой Навье-Стокса. // Мат.сб. 1982. Т.118, N 3. С.323-349.

46. Фурсиков A.B., Эмануилов О.Ю. Точная локальная управляемость двумерных уравнений Навье-Стокса // Мат. сборник, 1996, т. 187, № 9, с. 103-138.

47. Чеботарев А.Ю. Об односторонних экстремальных задачах, связанных с системой Стокса // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР. 1991. Вып. 102. С. 133-147.

48. Чеботарев А.Ю. Субдифференциальные краевые задачи для стационарных уравнений Навье-Стокса // Дифференциальные уравнения. 1992. т.28. N 8. С. 1443-1450.

49. Чеботарев А.Ю. Граничные обратные задачи для уравнений Навье-Стокса с субдифференциальным переопределением // Дифференциальные уравнения. 1995. Т.31. N 5.

50. Чеботарев А.Ю. Стационарные вариационные неравенства в модели неоднородной несжимаемой жидкости // Сибирский математический журнал. 1997. Т.38. N 5, с. 1184-1193.

51. Abergel F. and Casas F. Some optimal control problems of multistate equations appearing in fluid mechanics // Math. Modelling Numer. Anal. 1993. V 27. P. 223-247.

52. Abergel F., Temam R. On some control problems in fluid mechanics // Theoret. Comput. Fluid Mech. 1990. V.l. P. 303-325.

53. Alekseev G.V., Chebotarev A.Yu. Some extremum and unilateral boundary value problems in viscous hydrodynamics // International Series of Numerical Mathematics. 1992. V. 106. Birkhauser Verlag Basel. P. 1-11.

54. Aubin J.P. Optimal and Equilibria. Springer-Verlag. 1993.

55. Barbu V. Necessary Conditions for Non-Convex Distributed Control Problems Governed by Elliptic Variational Inequalities.// J. Math. Anal. Appl., v.80, p. 566-597, 1981.

56. Barbu V. Analysis and control of nonlinear infinite dimensional systems. Academic Press, San Diego, 1993.

57. Biroli M. Sur la solution faible des inequations d'évolution du type de Navier-Stokes avec convexe dependant du temps. // Boll. Unione Mat. ital., 1975, v. 11, N 4, p. 309-321.

58. Brezis H. Inequations variationnelles relatives a l'operateur de Navier-Stokes. J. Math. Analysis and Applic, 1972, c. 39, N 1, p. 159-165.

59. Brezis H. Problèmes unilatéraux.//J. Math, pures et appl., 1972, t. 51, fs. 1, p. 1-116.

60. Chebotarev A.Yu. Subdifferential inverse problems for stationary systems of Navier-Stokes type // J.Inverse and 111 Posed Problems. 1995. V.3. N 4. P. 268-279.

61. Chebotarev A.Yu. Subdifferential inverse problems for evolution Navier-Stokes systems //J. Inverse and 111 Posed Problems. 1999. V. 7.

62. Clarke F. H. Generalized Gradients and Applications.// Trans. A.M.S., v. 205, 1975, p. 247-262.

63. Clarke F. H. Generalized Gradients of Lipschitz Functional.// Advances in Math., v. 40, 1981, p. 52-67.

64. Clarke F. H. Optimization and Nonsmooth Analysis. Wiley, New York, 1983.

65. Constantin P. A Few Results and Open Problems Regarding Incompressible Fluid. Notice of AMS. 1995. V. 42. N 6. P. 658-663.

66. Desai M., Ito K. Optimal control of Navier-Stokes equations // SIAM J. Contr. Optim. 1994. V.32. N 5. P. 1428-1446.

67. Duvaut G., Lions J.-L. Inequations en Thermoelasticite et Magnetohydrodinamique.// Arch. Rat. Mech. Anal., v.46, 1972, 241-279.

68. Fuchs M. Variational models for quasi-static non- newtonian fluids // Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 27. Записки научных семинаров ПОМИ. Т.233. СПб. 1996. С.55-62.

69. Fursikov А.V., Imanuilov O.Yu. Local exact controllability of the Navier-Stokes equations // C.R. Acad. Sci. Paris, 1996. V. 323. Serie 1. P. 275-280.

70. Gunzburger M.D., Hou L., Svobodny T.P. Boundary velocity control of incompressible flow application to viscous drag reduction // SIAM J. Contr. Optim. 1992. V.30. N1. P. 167-182.

71. Kalker J. J., Randen Y. A Minimum Principle for Fristionless Elastic Contact with Application to Non-Hertzian Half-Space Contact Problems.// J. Eng. Math., v.6, 1972, p. 193 206.

72. Lions J.-L. Sur quelques propriétés des solutions d'inéquations variationnelles. C. R. Acad. Sci Paris, Ser. A., 1968, t. 267, N 11, p. 631-633.

73. Maksimov V. Approximation of an inverse problem for variational inequalities.// Diff. and Integ. Eq., Nov. 1995, pp. 2189-2196.

74. Maier G. Mathematical Programming Methods in Structural Analysis. In: Variational Methods in Engineering, v. II Southampton Univ. Press, Southampton, 1973.

75. Moreau J. J. On Unilateral Constrains, Friction and Plasticity. In: New Variational Techniiques in Mathematical Physics, C.I.M.E. Edizioni Cremonese, Roma 1974.

76. Moreau J. J. Evolution Problem Associatedwith a Moving Convex Set in a Hilbert Space.// J. Diff. Eqs., v. 26, p. 347-374., 1977.

77. Müller M., Naumann J. On evolution inequalities of a modified Navier-Stokes type. I, II, III // Aplikace Matematiky. 1978. V.24. N 2.P.174-184; N 6.P.397-407; 1979.V.24.N 2. P. 81-91.

78. Naumann J. Periodic solutions to evolution inequalities of a modified Navier-Stokes type. //Boll. Unione mat. ital., 1978, v. 15, N5, p. 351-369.

79. Pironneau 0. Conditions aux limites sur la pression pour les equations de Stokes et Navier-Stokes// C.R. Acad. Sei. Paris, Serie I. 1986. V. 303, N 9 P. 403-406.

80. Prouse G. On a unilateral problem for the Navier-Stokes equation, I, II. // Atti Accad. Naz. Lincei, Rendiconti, cl. sc. fis., mat, natur., 1972, v. 52, N 3, p. 337-342; N 4, p. 467-478.

81. Stampacchia G. Equations elliptiques du second ordre a coefficients discontinus.// Presses de l'universite de Montreal de Paris-Sud, 1972.

82. Vasin I. A. Inverse boundary value problems in viscous fluid dynamics // III-Posed Problems in Natural Sciences. Proc. Intern. Conf. Moscow. August, 19-25, 1991. VSP. Moscow. 1992. P. 423-430.

83. Warga J. Necessary Conditions without Differentiability Assumptions in Unilateral Control Problems.// J. Diff. Equations v. 21, 1976, p.25-38.

84. White L. W. A Study of Uniqueness for the Initialization Problem for Burgers Equation // Math. Analysis and Applications 172, 1993. P. 412-431.

85. Wolibner W. Un theorem sur l'existence du mouvement plan d'un fluide parfait, homogene, incompressible, pendant, un temps infiniment long. // Math. Z., 1933, Bd 37, p. 698-726.

86. Yao Jen-Chin Applications of variational inequalities to nonlinear analysis.// Appl. Math. Lett., 1991, N4, p. 89-92.

87. Yosida K. Functional Analysis. Springer-Verlag, 1966.

88. A.Yu.Chebotarev, D.S.Konovalova. Starting Optimal Problem for Incompressible Navier-Stokes Equations.//Abstacts/ Pacific International Conference on Mathematical Modeling and Cryptography, Vladivostok, 1995.

89. Коновалова Д.С., Чеботарев А.Ю. Оптимальное стартовое управление течением вязкой жидкости // Дальневосточный математический сборник. 1996. Вып. 2. С 110-119.

90. D.S.Konovalova. Controllability for Navier-Stokes Equations.// Preprint of IAM, Vladivostok, N08-1996, 9 p.

91. Д.С.Коновалова. Управляемость по начальным данным системы Навье-Стокса. //Тезисы 11-й Всероссийской конференции " Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики", Пущино, 1996.

92. Д.С.Коновалова. Нелинейные краевые задачи в динамике вязкой несжимаемой жидкости.// Тезисы 22-й Дальневосточной математической школы-семи-нара, посвященной памяти акад. Е.В.Золотова, Владивосток, 1997.

93. Д.С.Коновалова. Нелинейные граничные условия для системы Навье-Стокса.// Тезисы 1-й Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию, Владивосток, 1997.

94. Д.С.Коновалова. Исследование регулярности решений нестационарных субдифференциальных задач гидродинамики. // Тезисы 23-й Дальневосточной математической школы-семи-нара, посвященной памяти акад. Е.В.Золотова, Владивосток, 1997.

95. Е.В. Лукина, Д.С.Коновалова. Исследование задачи оптимального управления течениями вязкого газа. // Тезисы 23-й Дальневосточной математической школы-семи-нара, посвященной памяти акад. Е.В.Золотова, Владивосток, 1997.

96. Д.С.Коновалова. Исследование свойств монотонности и положительности суперпозиции операторов в пространстве Ь2.// Тезисы Н-й Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию, Владивосток, 1997.

97. Д.С.Коновалова. Нестационарные вариационные неравенства для операторов типа Навье-Стокса.// Препринт ИПМ ДВО РАН, N18-1997, 13 с.

98. Д.С.Коновалова. Субдифференциальные краевые задачи для эволюционных уравнений Навье-Стокса.// Дифференциальные уравнения, т. 35, 1999.

99. Д.С.Коновалова, О регулярных решениях эволюционных вариационных неравенств типа Навье-Стокса.// Препринт ИПМ ДВО РАН, N05-1999, 13 с.

100. Д.С.Коновалова. Оптимальное управление нестационарными вариационными неравенствами типа Навье-Стокса.// Препринт ИПМ ДВО РАН, 1999.