Нелокальные по времени задачи для уравнений гидродинамики и вариационные принципы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6 оо

11 РЕВ 1093

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ II ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

НЕЛОКАЛЬНЫЕ ПО ВРЕМЕНИ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ И ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи

ШЕЛУХИН Владимир Валентинович

УДК 517.35

Новосибирск - 1992

Работа выполнена в М.Л.Лаврентьева СО РАН.

Институте гидродинамики им.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Т.И.Зелоняк

доктор физико-математических наук, профессор Ю.Я.Белов

доктор физико-математических наук, профессор В.М.Филиппов

Ведущая организация - Вычислительный центр СО РАН

Защита состоится 19 93г. в часов на

заседании специализированного совета Д 0639802 при

Новосибирском государственном ' университете (630090, Новосибирск, ул.Пирогова,2)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского госуниверситета.

Автореферат разослан " *//" 0Л 1993г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук /')

профессор / Л.В.Кажихов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Нелокальные задачи, альтернативные задаче Коши, стали предметом изучения в теории обыкновенных дифференциальных уравнений давно. К ним относятся прежде всего периодические, многоточечные и краевые задачи.

Исследование нелокальных по времени задач в теории эволюционных дифференциальных уравнений с частными производными било начато сравнительно недавно. Систематическому рассмотрению линейных нелокальных задач посвящены монографии Р.Латтеса, ЗК.-Л. Лионса (1970), А.А.Дезина (1980), Б.И.Птапшика (1984).

Современные проблемы гидродинамики породили потребность в изучении нелокальных по времени задач и для систем нелинейных эволюционных уравнений с частными производными. Так, в задачах долгосрочного прогноза и температурных аномалия океана, а также в задачах распространения радионуклидов зозникает необходимость задавать в качестве исходных не начальные, а средние по времени данные для прогнозируемых величин. Проблема перемешивания и другие вопросы турбулентности приводят к постановке таких задач, когда считаются заданными положения частиц жидкости в начальный и конечный моменты времени.

Различные математические аспекты теории уравнений океанологии и близких к ним уравнений метеорологии были разработаны в работах Г.В.Демидова, Г.И.Марчука, Л.В.Овсянникова, В.П.Кочергина, А.А.Кордзадзе, М.А.Бубнова,

A.В.Кажихова, Ю.Я.Белова, В.Ф.Рапуты, В.И.Сухоносова,

B.М.Тешукова. Как правило, все указанные работы посвящены начально-краевым задачам. Постановка новых нелокальных по времени задач для уравнений океанологии требует создания новых подходов в исследовании этих уравнений. Сказанное остается справедливым и для уравнений Навье-Стокса, современная теория которых сформирована работами О.А.Ладыженской, В.А.Солонникова, Ж.-Л.Лионса и др.

Математическое моделирование радиоэкологических процессов - новое формирующееся научное направление, которое развивается параллельно с совершенствованием средств

экологического контроля. Разработки в области измерения приращения мощности дозы облучения (пропорциональной суммарной по времени концентрации радионуклидов) делают актуальной проблему обоснования нелокальных по времени постановок задач для нелинейных параболических систем и, в частности, для моделей радиационного прогноза с недиагональной матрицей дисперсии.

Вариационные методы, позволяющие свести задачу интегрирования дифференциальных уравнений к эквивалентной вариационной задаче, известки давно, начиная с работы Д.Гильберта "О принципа Дирихле". Развитие вычислительной техники, возможности автоматизации вариационных методов, делают актуальными вопросы дальнейшего их совершенствования и конструктивного распространения на новые классы уравнений.

Принцип Дирихле в основном получил распространение на линейные уравнения в гильбертовом пространстве для симметричных и положительных операторов. В работах А.Е.Мартынюка, В.В.Петришина, В.М.Шалова этот приицип был распространен на несимметричные и неположительные в обычном смысле операторы, но которые обладают все же -этими свойствами относительно некоторого другого вспомогательного оператора.

Для ряда задач математической физики такие вспомогательные симметризующие операторы удалось построить А.Е.Мартынюку, В.М.Шалову, К.-Л.Лионсу, В.М.Филиппову, А.Н.Скороходову, В.П.Диденко.

Первые результаты в области конструирования нелокальных вариационных принципов для параболических уравнений были получены В.М.Филипповым и А.Н.Скороходовым (1977). Ими были опиоаш Некоторые начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности, допускающие вариационную постановку. Следующий естественный шаг состоит в развитии этих результатов на случай более общих уравнений и систем, краевых условий, в том числе и на случай нелокальных по времени задач для линеаризованных эволюционных уравнений гидродинамики.

Другой нелокальной задачей, рассматриваемой в данной диссертации, является задача с закрепленными концами для

частиц сжимаемой жидкости, лежащая в основе фрактального подхода к турбулентности, который развит в работах

A.Н.Колмогорова и др. В случае идеальной сжимаемой жидкости такая задача привлекает механиков еще по одной причине: как показано в монографии Д.Серрина (1963), она является одним из немногих примеров эволюционных задач механики жидкости, допускающих вариационную формулировку. Возникающая при этом задача минимизации, несмотря на свою известность, так и на стала пока предметом сколь-нибудь глубокого анализа.

Цель работы:

- обоснование постановок задач со средними по времени данными для эволюционных систем уравнений гидродинамики типа Навье-Стокса;

- развитие вариационного метода решения задач со средними по времени данными для линейных эволюционных уравнений типа линеаризованной системы Навье-Стокса;

- исследование вопросов разрешимости в задачах с закрепленными концами для частиц сжимаемой жидкости..

Методика исследования. Задача с начальными данными для параболических уравнений и для систем, сводимых к абстрактным параболическим уравнениям, формально является частны.,1 случаем задачи со средними по времени данными при подходящем способе осреднения. Поэтому для исследования нелокальных задач были использованы приемы и методы, разработанные для задач с начальными данными, разрешимых в целом по времени. Здесь прежде всего следует выделить монографии О.А.Ладыженской, В.А.Солонникова, Н.Н.Уральцевой (1967), В.С.Белоносова, Т.И.Зеленяка (1975),

B.И.Юдовича (1984), Д.Хенри (1985).

При анализе гидродинаглмеских систем применялся математический аппарат, развитый в работах О.А.Ладыженской, Ж.-Л.Лионса, А.В.Кажнхова, С.Н.Анто?щева, В.Н.Монахова.

Решение вариационных задач основано на идеях и понятиях, сформулированных в работах Л.Янга, К.Фридрихов, В.М.Филиппова .

Научная новизна. Автором диссертации получены следующие результаты, которые выносятся на защиту:

1. Описаны некоторые классы нелинейных эволюционных уравнений, для которых задача со средними по времени данными разрешима в случае усреднения по конечному числу моментов времени. Для этого введены достаточные условия на параметры усреднения, гарантирующие существование решений, а для монотонных операторов - и единственность. Доказана применимость этих результатов к известным типам нелинейных параболических уравнений и для уравнений Навье-Стокса.

2. Выделен класс линейных уравнений, для которого теоремы существования справедливы и в случае интегрального усреднения. Показано, что под действие этих теорем подпадают линейные автономные параболические уравнения и линеаризованная система Навье-Стокса.

3. Сформулированы условия разрешимости и единственности в задаче с дискретным усреднением для уравнений Навье-Стокса в случае усреднения, неоднородного по пространственным переменным.

4. Для уравнений динамики баротропного и бароклинного океанов доказаны теоремы однозначной разрешимости в задаче о температурных аномалиях, допускающей нелокальную формулировку. ,

5. Получены условия обобщенной разрешимости системы уравнений, описывающей рапространение радионуклидов потоком стоксовой жидкости на основе средних по времени данных.

6. Найден класс линейных абстрактных параболических уравнений, для которого задачи со средними по времени данными допускают вариационную формулировку, аналогичную принципу Дирихле для уравнения Лапласа. 3 качестве приморов рассмотрены линеаризованная система Навье-Стокса и линейные параболические уравнения.

7. Введено понятие обобщенного решения "и доказана теорема его существования в вариационной задаче с закреплёнными концами для частиц идеальной сжимаемой жидкости.

8. Доказана разрешимость в классе сильных решений задачи с закрепленными концами для уравнений Бюргерса одномерного движения вязкого газа.

е

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты относятся как к давно поставленным проблемам (формулировка вариационного принципа для линейных параболических уравнений), так и к недавно возникшим задачам (обосновании постановок нелокальных по времени задач для эволюционных нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными). Решение принципиальных вопросов в постановке нелокальных по времени задач для эволюционных уравнений океанологии и радиоэкологии создает основу для разработки численных методов решения таких задач.

' Конструирование вариационных принципов в нелокальных по времени задачах для эволюционных уравнений дает возможность применения прямых вариационных методов их решения. Важным свойством предлагаемых вариационных методов является то, что (иинимизируемые функционалы не содержат старших производных исходных уравнений, что повышает устойчивость численных методов по сравнению с с^ьг-пшм методом наименьших квадратов .

Значение результатов, касающихся задач с закрепленными концами, обусловлено тесной связью таких задач с проблемами перемешивания и управляемости жидких потоков.

'пробация работы. Результаты диссертации докладывались

.на .семинарах.:.................... .................................

Института гидродинамики СО РАН (рук. - академик Л.В.Овсянников), Института математики СО РАН ( рук.- профессор Т.й.Зеленяк, рук.- профессор В.Н.Врагов), Новосибирского госуниверситета ( рук. - член-корреспондент РАН В.Н. Монахов, рук.- профессор А.М.Елохин), Математического института им. В.А.Стеклова РАН (рук.- профессор В.П.Михайлов), Вычислительного центра СО РАН (рук.- профессор В.В.Пененко), Московского госуниверситета (рук.- академик О.А.Олейник ), Московского энергетического института (рук.- профессор Ю.А.Дубинский ) а также на конференциях:

Республиканская конференция "Нелинейные задачи математической физики" (Донецк, 1937), Всесоюзная школа -семинар по качественной теории дифференциальных уравнений

гидродинамики (Кемерово, 1986; Барнаул, 1989; Красноярск, 1992), Всесоюзная конференция "Математические методы в механике" (Новосибирск, 1989), Третья Всесоюзная школа -семинар "Методы гидрофизических исследований" (Светлогорск, 19ВВ), Совместные заседания семинара им. И.Г.Петровского и Московского математического общества (Москва, 1990), Всесоюзная конференция "Методы математического

моделирования в задачах охраны окружащей среды (Новосибирск,

1991), Международная конференция "Дифференциальные уравнения с частными производными и механика сплошных сред" (Италия, Тренто, 1991), Советско-японский семинар "Обратные задачи математической физики" (Новосибирск, 1991)/ Всесоюзная конференция "Условно-корректные задачи математи^ёскоЯ физикй и анализа" (Новосибирск; 1932), Первая Всесибирская конфереНЦЙй "Математические проблемы экологии" (Новосибирск,

1992) .

Публикации. Основные результаты опубликованы в 11 работах.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех Лйав и списка литературы-. Текст раз бет на 14 йараграфов, некоторые параграфы - на пункты. Нумерация Теорем, лемм, следствий и формул ведется отдельно в каждом параграфе. При ссылке на утверждение или формулу из другого параграфа используется двойная нумерация. Так, запись (7.3) Означает формулу(3)из § 7. Общий объем диссертации ¡254 страницы, библиография - 130 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В § '1, который представляет собьй " введение, обосновывается актуальность теш, .формулируется цель исследования, дается обзор современного состояния изучаемых проблем и кратко изложено содержание диссертации.

Глава 1 посвящена обоснованию постановок задач со средними по времени данными для эволюционных систем дифференциальных уравнений о частными производными. Под

эволюционными понимаются системы, которые при надлежащем выборе функциональных пространств могут быть записаны в виде операторного уравнения

Kt *A(i)U 'F(t) , t*(0JT) = S. U)

Задание средних по времени данных означает, что выполнено одно из двух следующих условий:

Ги-,21 Y.u(tL) = <f\ (2)

t ° ИЛИ г .

J U d¿(t) = (з)

о 1 •

Здесь £¿ - известные моменты времени, 0=to< t1 <■■• <

У-i. - фиксированные числа, Уоф $ . Далее для простоты считается }fa - 1 .В условии (3) число t и функция так:ке считаются известными, у < t s Т В § 2 приводятся примеры некоторых задач гидродинамики, приводящих к нелокальным условиям (2), (3>.

Особенность задач (1), (2) и (1),(3) заключается в том, что они не всегда корректны. В частности, из результатов

§ 6, где рассмотрена линейная задача (1), (2) с постоянным по 1 и линейным по и секториальным оператором А, следует, что необходимое и достаточное условие корректности . имеет вид

Z Пе tl ¿о , XeA

а ь

где A - множество собственных чисел оператора А

В § 3 вводятся Д -условия для чисел . С помощью

этих условий в дальнейшем формулируются достаточные условия разрешимости нелинейных нелокальных задач с условиями (2). Вывод à -условий основан на некоторых обобщениях

леммы Гронуолла.

Пусть h 1 ,■■■ Ь m - числа из интервала (0,1). Лемма 1. Пусть абсолютно непрерывная на интервале S неотрицательная функция gît) удовлетворяет неравенствам . m .

гдо Ы, / е ¿>i(S) ,<o = corist . Еслц oi t j¡ , er неотрицательны и

os^sC'-OÍ'-'C*0^ ¿rexp^^s ,

то справедлива равномерная на оценка

y(t)<c(é + ll/i!1tS ) ,

где постоянная С зависит лишь от /л, с^ , <m

В дальнейшем совокупность строгих неравенств

будем записывать в виде символического включения Г^й^т, <Ai}d). Нестрогим неравенствам соответствует нестрогое включение.

Подобным же образом включение Г с ( 5) (fr>} o¿ г <J ) соответствует неравенствам

к).

Кроме описанных Д -условий, в § 3 вводятся и другие ¿S -условия, основанные на различных обобщениях леммы Гронуолла.

В § 4 задачи (1),(2) и (1),(3) рассматриваются для абстрактных параболически уравнений. Здесь A(t) ) -

- семейство заданных нелинейных операторов, Ait): •

V - башхово пространство, функция F:S-^>V и элемент

~1/~ также известш. Решение ZfltJ определяется как отображение из S в V" , удовлетворяющее уравнению (1) - и условию (2) (или (3)) в слабом смысле (Р.Темам, 1981).

Пусть У - сепарабельное рефлексивное банахово пространство, плотно и компактно вложенное в некоторое гильбертово пространство H со скалярным произведением {■ и нормой /•/ • '

Предположения 1 (об оператора Д ). 1.При

фиксированных е V" функция <A(t}V,V У переменного i ' измерив.

2.Для почти всех t е S при любых фиксированных и, W V1 >" vk функция </Ui К*/'f ••• ),-W > непрерывна в нуле по вектору (.if .■••,Л/С).

3.Для почти всех t-zS оператор Alt) монотонный.

4.Найдутся положительные числа , Эв , р I:? £ ) такие, что для любого 0 е!Г равномерно по £ е S

<ACt)v,v> f HA(t)DlV/l*ji(ltlv/l/>~i)

где //• S - норма в У .

Теорема 1. Пусть выполнены Предположения 1 и Га ^ (м,Л т), норма оператора вложения hf • Тогда

задача (1),(2) разрешила при любых /"<; Zo, (•?> V^ , fcH Если семейство Alt) сильно монотонно равномерно по t » т.е.

< Alt)u-AU)v, u-V > ? УИи-VÎ/ t V'Const>oi

для любых U.V&V , ТО при Г Я Ал(м,Г,т ) , P = SL,

решение единственно, а при Г £ Un, Г,т), P=Z , F s ¿¿(SiW)

решение непрерывно зависит от F и / , т.е. если U^(t)

- решение при f = iv. , / = /£ (1=1,2) и

Д u*ut-uAI AF^,-^, Д/-/,-/^ , то

H^ILjS->H)nLAlS-JV') ¡scomt (uF/¿¿CijV'J Ц/ /Ц\ J

Предположения 2 (об операторе А ) 1. Л (О * Лт(t) t ^¿(t) и функции ^¿ifJZ/, t> у измеримы по t для любых U,Uc-J/ 2.Для почти всех ieS при любых фиксированных U, M,

- VKtV функции <Ai(t) ( U*A)V1r--hHKdK ) , w неирерыв1ш в нуле по Лк) .

3.Для почти всех ¿<=5 оператор /1,(0 - монотонный.

4.Существуют положительные числа с( г р., X , такие, что для любого 17€"V равномерно по

<А(О0,»> > ¡IV цр- зе., НА,«)» IVI *иь/'')^ II Ад«)»/У0 ^Ш**, <АлЮо,и> =0.

5.Существует канонический базис [ 10; | такой, что ^А,«)«,*^-. <АД <*■)», Ь)у> в «»'ф. если г/-и сильно в ¿^(.У;//) и слабо в

6.Существуют положительные числа С, (Л/)^ с^ (л/} такие, что равномерно по 1 е £

<А1а)и-А,Шо, и-у > г С^/уни-У/, \< Али)и-Ал(ф,и-у>1 £ сл(гг)1и-у/ ш-ьи (т*т)

для любых , _ где У^/ - подпространство,

порожденное элементами ^ •.

Теорема 2. Пусть выполнены Предположения 2,Гс-й^(т) • Тогда при любых V ) . /е А/

+ - з 1 ) задача (1),(2) разрешима в классе р %

Как следствие теорем 1 и 2 доказывается разрешимость нелокальных задач с условиями (2) для нелинейных параболических уравнений и для системы Навье-Стокса.

Пусть функция бИ) из условия (3) является абсолютно непрерывной и = *>(£) , о\о) = 0 , Где'М^,)

кусочно-постоянная функция, равная ¿ош^) при Ь^ЕЬ. (

о < £ , с < Ьт , •?>«=/, 1 4 с й /п .

Предположения 3 (об операторе А ). 1.Оператор А не зависит от Ь и как функция от и отображает V в 1//

линейно и непрерывно.

2.Существует положительное число oí такое, что

< Ли, и > ¿ оí ¡IV H¿ t v eV.

3.Множество Аъ е Н } - плотно в Y .

4. Если V слабо в ¿.¿(¿¡VJ , то flUn-*AU слабо в

(Условие 4 является лишним, если непрерывное вложение V"-* Н компактно) .

Обозначим через Нд гильбертово пространство, которое получается в результате замыкания X в норма

Теорема 3. Пусть выполнены Предположения 3 и числа = ) _ удовлетворяют условию Г с д (mt tu) . Тогда при любых F*La(S-,H) , /V НА задача (1),(3) однозначно разрешима в классе Уз ¿ (S; И) f) (S¡ У) и справедлива оценка

luüy < comí (И F! L¿ (S-И) II i!/1Д J .

Как следствие теоремы доказывается однозначная разрешимость нелокальных задач с условном (3) для линейных автономных параболических уравнений и для линеаризованной системы Навье-Стокса.

В § 5 рассматривается задача со средними по времени данными для уравнений Навье-Стокса в случае неоднородного усреднения. Ищется вектор-функция tí *$ —> ^ " и скалярная функция p;£l*S—* R. такие, что

ц.-м hu t¿ u.li u=-vf>i-F 5. Q=ü*S t ,

di* к =o в Q. , ^Ihsi =0

uíx,o) tf Yi C=c)u(xJ t¿ ) =f(x) a Q, 1

\

)

Здесь £2. - ограниченная область в Я , и ^ . функция Р определена в <3 , функции ^ ^ заданы в &

Обозначим через V и Н замыкания множества <5"^/гу <-$(&)•• си~\г и - о } в пространствах Ч

Теорема 4. Пусть ,/«//• . Пусть Л -

есть многообразие с краем 'ЪЛ, класса С60 .Пусть числа =• II 1 С (Л ) II удовлетворяют условию Г с&л{т >г, т ) > г* -£)/ & , где б - норма оператора вложения V"-» Н . Пусть ^г 6 ^ С&Л. Н > Л • Тогда слабое решение (в смысле Е.Хопфа, 1951 ) задачи (4) существует.

Теорема 5. Пусть £1> 6С . Пусть - измеримые

ограниченные функции и числа ^ удовлетворяют условиям теоремы 4. Пусть'/У) , V и нормы 11РЦЛ 70

а/1УЦ, II{¡И 0 удовлетворяют некоторым условиям малости. Тогда существует сильное решение задачи (4).

При П = <2 в условиях теоремы 4 имеет место единственность решения, если числа ^{ удовлетворяют условию Г«Д, (т, а, /и) , где «. - некоторая постоянная, определяемая нормами //Р//-^ ($1V)/' и II{IV II ■

Единственность имеет место и в условиях теоремы 5, если некоторые нормы функций Р и / достаточно малы, а числа удовлетворяют условию Р е (ет, /у «г, )

В § 6 методом теории полугрупп получены оценки в ^ >/, для решений нестационарной системы Стокса (т.е. для системы (4) с выброшенными нелинейными членами ) в нелокальной задаче с условием (2). Эти оценки играют существенную роль для получения априорных оценок нелинейных задач, рассматриваемых в §§ 7,8.

В § 7 рассматривается нелокальная задача с условием (2) для. уравнений баротропного океана. Пусть £2. - цилиндр в Й.3 ^

Л -{ж: ,0 <г<&} - *'=<*>.**)

где - ограниченная область в Я"*, ^ £ 6 С . Обозначим через бй ; <о^ основания цилиндра Л , лежащие в плоскостях г и г.- Ь . После некоторых преобразований исходная

задача сводится к краевой задаче

Здесь приняты обозначения

2

¿(М)-С(/л ,-«/,) , 1Г*(ииил,и>) , и):-и,'и к

О

к

¿V'и ,Я),;ги:!с1гУиЛа , ^(й^д^-Л.

о '

Ищется двумерная вектор-функция и (ос , ^") и скалярная функция ^Сзс/^-О.

Доказаны теоремы существования слабого и сильного решений, а также теорема единственности сильного решения. Получены оценки норм ( 0 = > 5 ^

11и,иг1¥Л/(0)!1) ¡1 , ^ 1^(0)1/

через нормы и полунормы функций Р и / : где

нижняя грань берется по всем у таким, что Го*/ и таким, что У'/^ -о, = й

для ¿ = 0 и 1)/-,^= 0 для / . Эти результаты установлены в предположении, что числа у^ удовлетворяют некоторым Д-условиям.

В § 8 аналогичные утверждения доказаны и в случае краевой задачи для уравнений динамики бароклинного океана

= -V'} ±1(и) + ч'Н * йи ¥ Р, 2>/"гг и -о,

Здесь к неизвестным It, j добавляются вектор-функция 9 , < а функции Н и V определены равенствами

2

В § 9 Изучается нелокальная задача с условием (2) для уравнений, описывающих распространение радионуклидов в стоксовой жидкости. Пусть а - ограниченная область в R3 , 'ЬЙ, . В области Q = iß»S рассматривается

краевая задача для трехмерной вектор-функции "U (я, t) и для скалярных функций $( x,t), ^С^) . >

\ f (u-v)l = с/лг (E (и) VI) + +

1st vy) ' <hs.

Ut = - vp + AU t F , cliv U = 0 (fj

Ъ£Ь\ v = o , V =0. Vs = °

' Tu

Tru-fCx\ rg$=Hx),

Здесь f - .матрица 3*3 - тензор дисперсии жидкости, удовлетворяющая равномерным оценкам Ei-J ///* -ёУ(И) I ¿.<¿1 lU-Ы . Заданные функции Q ($)

QK (0считаются ограниченными. Для фиксированного набора чисел й- > Щ itn, равенство Г^и* £ означает

1 + Z Qi )=/ С-х).

7

Результат состоит в описании некоторых Л-условий, при которых имеет место теорема существования слабого решения задачи (5) в классе

г/ tWA/(Q) ; ^ (&) ) /7 ¿JSi ^ (Si)) ;

1 с ^Ы;//"'2'

где Л - некоторое число из интервала (1,2).

Глава 2 посвящена вариационному методу решения нелокальных задач с условиями (2),(3) для линейных эволюционных уравнений.

В § Ю описана общая схема формулировки вариационного принципа.

Пусть в уравнении (1) оператор Aft) является линейным и действует из банахова пространства X, в сопряженное Х^ . Будем считать. Что sCf вложено плотно и непрерывно в гильбертово пространство X со скалярным произведением t'l'J и нормой /'/ .

Предположений 4 (об операторе А ). 1.Для почти всех Существует обратный оператор ¡\i(i) : Х~*%- • который является самосопряженным и неотрицательным.

2.Существуют линейное многообразие cjb с Х? и положительная константа V такие, что ДЮР^Х, У /IЫ! ^С

для всех и для п.в. t^S,

3.Для п.в. t^-S операторы ^(.t) ограничены равномерно по t . _

4.Существует множество Y отображений V-S — ^ • являющееся подпространс!вом в C'fS ; X) такие, что A(i)T)(t}t

A1(t)% (t), JC(t)vit) с La(S:X) при vef ,

где КШ* A'^ltVLft) > Lit)U = Ut /■ A(t)U.

Рассмотрим сначала задачу (1),(2) в Предположениях 4. Лемма 2. При /^S Л ¿(M.Z^Jl) Форма

Cu.v]* / ( Ktt)uit).IC(t)v(t) )Jt+ (Гг/.rv)

S

является скалярным произведением на

У.

Пусть U^ - гильбертово пространство, являющееся пополнением У в норме '■// , порожденной скалярным произведением J

Теорема б. При й вложение V-+C(S;X)

непрерывно и справедлива оценка

1 (\КУ\ Лм^/И^с/*« ^ /М*

3

Пусть - оператор задачи (1), (2), Си-{¿и, Ги]

Здесь 0 - гильбертово пространство 3;Х)'Х Справедливо тождество

где оператор действует по правилу = } Ги].

Это тоиедество позволяет назвать элемент и <г "Ц7" обобщенным решением задачи (1),(2), если для любого и € ~цг справедливо равенство

Си.и]

Теорема 7. При

обобщенное решение

задачи (1),{2) существует, единственно и совпадает с единственной точкой минимума функционала Х-» , который на множестве имеет вид J(b) - ¡Си]!*-^!}, /5 V

Теорема 8. Если ) и множество £ ={В>ТЗ>

} плотно в О , то существует расширение Се по Фридриусу оператора С , для которого уравнение Ср и = является уравнением Эйлера функционала J .

В случае, когда Х1 - гильбертово пространство, приводится критерий плотности множества Е в О .

Аналогичные результаты получены и для задачи (1),(3) при условии, что линейный оператор А не зависит от t и удовлетворяет Предположениям 4.

В § 11 общая схема, предложенная в 5 ю, применяется к нелокальным задачам вида (2),(3) для эволюционной системы Стокса.

В § 12 вариационный принцип формулируется для нелокальных задач вида (2),(3) применительно к линейным параболическим уравнениям. При этом вместо условия (2)

рассматривается его обобщенно на случай, когда ^ считаются функциями от х.

Здесь же, в § 12, рассмотрен вопрос о гельдвровских решениях нелокальной задачи с условием (2) для параболических уравнений. В частности, для уравнения с одной пространственной переменной установлена шаудеровская оценка решения вплоть до границы. Это потребовало рассмотрения проблемы условий согласования граничных и нелокальных данных. Указанная оценка применяется в главе 3 при изучении задачи с закрепленными концами для уравнений Бюргерса вязкого газа.

В главе 3 рассматривается задача с закрепленными концами для частиц сжимаемой жидкости. Она состоит в следующем. Пусть 1) - закон движения (потек) частиц

с лагранжевыми координатами }

Ь = и(у Л)

где и(Х, 1) - поле скорости в эйлеровых координатах. Требуется найти такой поток, что ^(0,} О -

= ут// ) , где Т (> О) _ заданный момент времени, Уо.Уг

- заданные гомеоморфизмы ограниченной области О, , в которой происходит течение.

В 5 13 рассматривается задача с закрепленными концами, когда поле скорости управляется уравнениями идеальной сжимаемой жидкости. Известно (Д.Серрин, 1963), что такая задача допускает вариационную формулировку. Основное содержание § 13 состоит в решении вариационной задачи. С этой целью вводится понятие обобщенного (по Л.Янгу, 1974) решения вариационной задачи и доказывается теорема существования в классе мерозначных отображений.

В § 14 задача с закрепленными концами исследуется для модели Бюргерса вязкого газа в случае одномерного движения. При этом для неизвестных функций уИ^), £), р(X, ¿) ( р - плотность) получается краевая задача

00c<lt S J 0*141 I

S )c/*= / 0 ■>

Переход к лагранжевым координатам ¡цседдляеу «дести задачу

(6) к нелокальной задаче вида (2). Теорема .судаоствоЕ^ДОЗ

доказывается в классе сильных решений.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1.Шелухин В.В. Об одном классе обобщенных по Янгу решений уравнений идеальной сжимаемой жидкости //Динамика сплошной среды. - Новосибирск: ИГиЛ СО АН СССР. - 1987. - Вып. 80. - С. 160-163.

2-Шелухин В.В. Задача о перемещении частиц для модельной системы Бюргерса вязкого газа //Динамика сплошной среды. -Новосибирск: ИГиЛ СО АН СССР. - 1988. - Вып. 87. -С.136-154.

3.Shelukhin V.V. Existence theorem in the variational problem for corapressiblc inviscid fluid //Manuscripta Mathema-

tica. -1988. - v. 61. - pp. 495 -509. *

4.Шолухин В.В. Задача со средними по времени данными для уравнений Навье-Стокса //Динамика сплошной среды. -Новосибирск: ИГиЛ СО АН СССР. - Вып. 91. - С. 149 -167.-Ш9.

Б.Шелухин В.В. Задача со средними по времени данными для монотонных параболических уравнений //Динамика сплошной среды. - Новосибирск: ИГиЛ СО АН СССР. - 1989. Вып. 93,94. - С. 186-189.

6.Шелухин В.В. Вариационный принцип в нелокальной по времени задаче для линейного параболического уравнения. I //Краевые задачи для уравнений с частными производными. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, - 1990 - H 1, - С. 112-123.

7.Шелухин В.В. Вариационный принцип в нелокальной по времени

0*UL.o.x,t ■

задаче для линейного параболического уравнения. 11 //Некоторые приложения функционального анализа к задачам математической физики. - Новосибирск: ИМ СО АН СССР. 1990. - Н 2. - С. 121-126.

8.Нолухин В.В. Задача со средними по времени данными для нелинейных параболических уравнеий. //Сиб. матем. журнал. - 1991. - Т. 32, Н 2. - С. 154-165.

9.Иолухин В.В. О квадратичном функционале в нелокальной краевой задаче для уравнения теплопроводности. //Математические заметки. - 1991. - Т. 49, Вып. 1.

С.135-143.

Ю.Шелухин В.В. О решении линейных эволюционных уравнений вариационным методом. // Докл. АН СССР. - 1991. - Т. 318, Н 3. - С. 545-547. И.Шелухин В.В. Задача о прогнозе температуры океана по средним данным за предшествующий период //Дркл. РАН. 1992. - Т. 324, Н 4 -С. 760-765.