Нелокальные краевые задачи для уравнений Соболевского типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Сафиуллова, Регина Рафаиловна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Стерлитамак
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2006
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Сафиуллова Регина Рафаилов на
Нелокальные краевые задачи для уравнений Соболевского типа
01.01.02 - дифференциальные уравнения
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук
Стсрлитамак - 2006
Работа выполнена на кафедре математического анализа Стерлитамак-ской государственной педагогической академии и в лаборатории дифференциальных уравнений Стерл итам а кско го филиала АН РБ
Научный руководитель: доктор физико-математических наук,
профессор Кожанов А.И,
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
Ведущая организация: Самарский государственный университет
Защита состоится 27 декабря 2006 г. в 16 часов 00 минут на заседании диссертационного совета К 212.315.01 при Стерлитамакской государственной педагогической академии по адресу: г. Стерлитамак, нр. Ленина, 37, ауд, 312.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Стерлитамакской государственной педагогической академии
Автореферат разослан 27 ноября 2006 г.
Ученый секретарь диссертационного совета
профессор Сакс P.C.,
кандидат физико-математических на
ук, доцент Абашеева H.JI.
доктор физ.-мат. наук, профессор
Кризский В.Н.
Общая характеристика работы
Актуальность темы. В настоящее время в связи с проблемами в области естествознания возникла необходимость обобщения классических задач математической физики, а также исследования новых задач, к которым можно отнести, в частности, нелокальные задачи для дифференциальных уравнения.
Нелокальные задачи для разного рода уравнений рассматривались рядом авторов, среди которых следует отметить в первую очередь A.B. Бицадзе, A.A. Самарского, В.А. Ильина, Е.И. Моисеева, Н.И. И он кипа, A.JI. Скубачевского, L. Byszewski, А.И. Кожанова, Л .С. Пулькину, И.С. Ломова, J. Chabrowski, F.M. Либермана, В.В. Шелухина.
Нелокальные условия могут возникать в случае, когда граница области недоступна для непосредственных измерений, однако информацию об изучаемом явлении во внутренних точках области получить можно.
Одними из первых работ, посвященных исследованию задач с интегральными условиями для уравнений в частных производных являются работы J.R. Cannon, который доказал существование и единственность классического решения одномерного уравнения теплопроводности, удовлетворяющего условиям an(t)
и(яг,0) = х > 0, u{x,t)dx = E(t), x(t) >0, t > 0.
В 1977 году Н.И. Ионкин рассмотрел задачу для уравнения теплопроводности с интегральным условием A.A. Самарского. Данное интегральное условие возникает в задачах, описывающих процессы диффузии частиц в турбулентной плазме, а также в задачах распространения тепла в тонком нагретом стержне.
Изучение процессов влаголереноса в капиллярно-пористой срсдс, их анализ привел к задачам с нелокальными интегральными условиями для уравнений гиперболического и составного типов. Исследованиями смешанных задач с интегральными условиями для гиперболических уравнений занимались А. Bouziani, S. Mcsloub, S.A. Mcssaoudi, Г.Д. Гордезиани, Г.А. Авалишвили, Л.С. Пулькина, С.А. Бейлин, А.И. Кожанов.
Краевые задачи с интегральными условиями для параболических и
о
з
гиперболических уравнений активно изучаются в последнее время, однако аналогичные задачи для тех или иных уравнений третьего порядка изучены сравнительно мало.
К необходимости изучения задач с нелокальными интегральными условиями, например, приводят коэффициентные обратные задачи. Обратные задачи возникают в самых различных областях человеческой деятельности: сейсмологии, разведке полезных ископаемых, биологии, медицине, контроле качества промышленных изделий и т.д., что ставит их в ряд актуальнейших проблем современной математики. Среди обратных задач для гиперболических уравнений выделим как наиболее близкие нам коэффициентные обратные задачи в цилиндрических областях. Подобные задачи исследованы сравнительно мало - можно отметить лишь А.Д. Искендсрова, который исследовал единственность решений, А.Х. Амирова, А.И. Кожанова и И,Р. Валитова, доказавших существование решений.
В настоящей диссертационной работе исследуются нелокальные краевые задачи, как но временной, так и но пространственной переменным, для уравнений составного типа, нелокальная по времени прямая, а также обратные задачи для гиперболических уравнений.
Целью работы является:
1) доказательство существования и единственности решения нелокальной по времени краевой задачи для невырождающихся и вырождающихся уравнений составного типа;
2) доказательство существования и единственности решения нелокальной по временной переменной задачи для гиперболических уравнений;
3) доказательство существования решения нелокальной по пространственным переменным задачи для уравнений составного типа с интегральными граничными условиями;
4) доказательство существования решения краевой задачи с интегральными условиями для дифференциального уравнения третьего порядка;
5) доказательство существования, единственности и устойчивости решения обратных задач с неизвестной правой частью для линейных ги-
псрболических уравнений второго порядка.
Методы исследования. При доказательстве существования искомого решения рассматриваемых начально-краевых задач используются метод продолжения по параметру, а также методы априорных оценок и регуляризации. Единственность решения устанавливается посредством априорных оценок. Разрешимость обратных задач с дополнительным переопределением решения на временных слоях (с интегральным переопределением) устанавливается с помощью сведения их к нелокальным (локальным) краевым задачам для "нагруженных"уравнений.
Научная новизна.
1. Доказано существование и единственность решений нелокальных по времени краевых задач для как невырождающихся, так и вырождающихся уравнений составного типа, а также гиперболических уравнений.
2. Доказано существование решения нелокальных по пространственным переменным задач для уравнений составного типа с интегральными условиями.
3. Доказано существование, единственность и устойчивость решения обратных задач с неизвестной правой частью для линейных гиперболических уравнений второго порядка.
Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты и методы исследования представляют научный интерес и могут быть использованы для дальнейшей разработки общей теории краевых задач с нелокальными условиями, а также обратных задач. Значение работы также определяется прикладной значимостью исследуемых задач для решения различных проблем современного естествознания.
Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на научном семинаре кафедры математического анализа (научные руководители - профессора К.Б. Сабитов, И.А. Калиев, 2003 - 2006 гг.), кафедры прикладной математики и механики (научный руководитель - профессор В.Ш. Шагалов, 2006 г.), кафедры теоретической физики (научный руководитель - профессор А.И. Филиппов, 2006 г.) Стерлитамакской государственной иедагогиче-
ской академии, на научном семинаре Института механики "УНЦ РАН (научные руководители - профессора С.В. Хабиров, Р.С. Сакс, Т.А. Ак-рамов, г. Уфа, 2006 г.), на научном семинаре Института Математики им. С.Л. Соболева СО РАН (научный руководитель - профессор А.И. Кожанов, г. Новосибирск, 2006 г.), а также на следующих научных конференциях: ^Современные проблемы физики и математики» (г. Стерлитамак, 2004г.), «Международная научная студенческая конференция» (г. Новосибирск, 2006 г.), «Современные проблемы диф. уравнений, теории операторов и космических технологий» (г. Алматы, 2006 г.), «International Conference Tikhonov and Contemporary Mathematics» (Moscow, 2006).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, список которых приведен в конце автореферата.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 147 страниц. Библиография 94 наименования.
Основное содержание работы
Во введении приведен краткий обзор литературы но теме диссертации, излагается краткое содержание работы, сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту.
В главе 1 исследуются некоторые нелокальные по временной переменной задачи для нестационарных уравнений второго порядка по времени - уравнений составного типа и уравнений гиперболического типа.
Пусть Q - цилиндр {(a;, i) : х € D = (0,1), t € (0,Т),'(0 < Т < +оо)}, а(х, i), ао(я, f), Ь(х, i), ba(x, i), f(x, t), щ(х), ui(^) - заданные в
Q функции. Определим операторы Л и В:
& &
Аи = — (a(a;,i)ui-) + а0(х,t)u, Ви ~ ~(b{x,t)ux) -I- Ьо(х,t)u.
Определим пространства:
. о 1
К = {ф, t) : к(®, 0 € 1^(0,Т; ИДО) П WS(D)), Vt(x,t) <= ¿^(0,Г;^(£»))ПЬ2(0,Т;(У|(1>)),г«(х,0 € £j(Q)>,
У0 = {г(г, I) : 1-(х, 0 € £зс(0, Г; И'|(/>) П 1Кз(£>)), М*,0 € Г; € ¿2(<?)}-
Пусть Ф, Ф„, Ф1 - линейные операторы, представимые в виде Ф = Ф1+Ф2, Фо = Фи + Фей. Ф1 = Фц + Ф12 такие, что выполняются условия:
9
$1 : Фц- = - НФи'Над» ^ «аНФ.ОПадв).
ПФо^Ц^д) < йз||г.'(х,0|Гьз(д), ЦФщ-Иад < а^И^ОН^од.
■ Ф^1 = ^^ - ^ «зП^ОНадо).
®« : Фиг- = - Фм»1. 1|Фо^1||аСО) <
^Фцг-^ФПО-ФЦГ,, _ НФпвНадв)^«*!!^®,«)!!!^)» Фг : Фа« = - Ф2ъ<х, (ЬЗД^о) < р2\\Ф,Щ1х{о,т-М(П)у
Г;£з(£)))) _ ЦФи^Ц|а{0) <
_ Ф2 : = £Ф3у - 1|Фгу111а(о) ^
Ф02 : Фо2« - - Фо2^, ||Ф021'Ц^(о) <
Ф12 : Ф121' = - Ф^г'х, 11*12^11^) < РШх,
В §1.1 в цилиндре О рассматривается нелокальная задача для нсвырож-дающегося уравнения составного тина. А именно, исследуется следующая краевая задача: найти в цилиндре <3 решение и{х^) уравнения
Ьи = щг — Ащ — Ви = /[х, Ь), (1)
удовлетворяющее следующим условиям:
и{х, 0) = Фи + «о (ж), х 6 Д (2)
и((х,0) = Ф0и + Ф1и( + и1(з;), Д (3)
и(0,0 = и(1,0 = 0, 0 <*<Т. (4)
В случае нулевых операторов Ф, Фо и Ф1, мы имеем обычную начально - краевую задачу для уравнения составного типа (1).
Положим = тах|Ьо(зс!0)11 = тах|Ь(х,0)|.
¡0.1] 1 " [0,1] "
Теорема 1, Пусть выполняются условия
о(х,о,о еС3(ё),а0(х,()А(х,0 <= С(д),а(х,1) >а0> 0,(1,0 еф,
b(x, t) > fry > O, oo(x, t) < —55 < 0, 0 £ —< O, (x, í) e ot(»,í) <0, 6t(í,t) < 0, bot(x,t) > 0, (Xyt) <= Q, bo > 4/^62 + 4ai&T+ + max{[4(a3 + a2k¡) + 2a¡ibi]T - + 4#j + Í0ih + 4^,0}, 1 > 4Д, > 2оч, ¿o > 2Mi, ¡b(l - Wi) > Тогда для любой функции f(x,t) из пространства Ln{Q) и любых функ-
о 1 о 1
ций щ(х) и uj(x) из пространств \V2 (D) Л Wo{&) u соответ-
ственно краевая задача (1) - (4) имеет в пространстве V\ единственное решение и(х, í).
В §1.2 рассматривается нелокальная краевая задача для вырождающегося уравнения составного типа. Исследуется краевая задача: найти функцию u(x,í), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения (1) и удовлетворяющую условиям (2) — (4).
Теорема 2. Пусть выполняются условия
a(x,t),b(xft) € С2(3), oo(a,i).¡to(*.0 €
оо(х, t) < —Щ < 0, í) < —bo < 0, (х, t) е Q,
0) < Mb(x,t), al(x,t) < Mia(x,t)t b*(x,f) < M2b{x,t),
a(x,0) < Л/з<я(х, í),
a(x, i) > 0, b(x, t) > 0, a(x, t) + b(x, t)>a0> 0, (x, t) € Q,
at(x,t) <0, bt(x,t) < 0, aot(x(i) > 0, MM) >0, (ж,0 e Q, n T fí ^ m;rfl. 1 . 1-Л/4Г-Д/г(1+Т). 1-ЛЛГ-1 04I +p 1 < minlj, ш, ——• "ШТ'1
_а{Г + Pi + a2T + í¡k<\, 0\ + а4Т < Mi < 2, М2 < 2,
К > 4{<*2т + 02) + 4(а3Т + 03) + 26i(aiT + ft), 35 > сц + 1.
Тогда для любой функции /(x,í) из пространства Li{Q), такой, что
ft(x,t) € JV'j1«?), /(0, t) = /(l,í) = 0, 0 < t <T и любых функций
О 1
tío(x) u ui(x) из пространства краевая задача (1) - (4)
имеет единственное решение и(х, t), принадлежащее пространству Vi.
В §1.3 рассматривается следующая нелокальная краевая задача: найти функцию u(x,t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения
utt - Bu = f(x,t) (5)
и удовлетворяющую условиям (2) - (4).
Положим 63 =
Теорема 3. Пусть выполняются следующие условия:
ь(аг, о > Ьо > о, Ьо(х, *) < -5> < о, (ж, г) е 0 < о, ад®, о > о, (х, о е <?,
Ьо > 2Г(2а3 + 2Ьга2 + бцец) + 4(& + Ь2(Ь) + + 4Ь2(А + сцГ), 1 > 4(Д, + а4Т), | > ад + (Ьах + |) Г, /?4 + (а4 +Т < Тогда йдл любой функции /(х, из пространства ^(С?), такой, что € ¿2 {<5), « любых функций Ко (ж) и 1*1(3:) из пространства
о 1
\Щ{0) П IV2(О) краевая задача (5), (2) - (4) имеет решение и(х, Ь), принадлежащее пространству Уц , и это решение единственно.
Для рассмотренных уравнений приведены примеры нелокальных задач, для которых заведомо выполняются все условия доказанных теорем.
В главе 2 исследуются нелокальные но пространственным переменным краевые задачи для уравнений составного типа. Определим пространство V: у = () : () € Т> С0)),
В §2.1 рассматривается нелокальная краевая задача: найти функцию и(х, Ь), являющуюся в цилиндре С} решением уравнения (1), удовлетворяющую начальным условиям
и(х, 0) = и0(х), «е(х,0) -- и^а:), х € 7?, (6)
а также следующим граничным условиям
1
"(0,0= ! К($,у,ь)и{у,1)<1у, 0 < ( < Г, (7)
«(1,0-! К{\,у,1)ъ{уЛ)йу, 0<^Г. (8)
о
1
Определим оператор М : Ми — и(х, I) — J К(х,у, £)и{у,1)йу.
о
Теорема 4. Пусть для операторов Ь и М выполняются условия: а(х,1),Ь(х,1) е СНФКооОМЬММ) € С(Р),а(х,0 >а0> 0,(»,0 € <?,
Э&о > 0, kí > О, Ar0 J и2(х, t)dx < j (,Mufdx <kx j u2{x, t)dx, O <t<T,
oo o
и функция K(x,y,t) такая, что K(x,y,t) € 1] x Q),
Тогда для любой функции f(x,t) ш пространства L^Q) и любых функций « щ(х) из пространств W2(D) и Wl{D) соответственно краевая задача (1), (6) - (8) имеет решение и(х, i), принадлежащее пространству V.
В §2.2 исследуется краевая задача: найти функцию u(ar, t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения (1), и такую, что для нес
выполняются условия (6), а также интегральные условия вида i
J K-[(x,t)u(x,t)dx = 0, ге[0,г], (9)
УI<2(x,t)u{x,t)dx = 0, te [О,Г], (10)
о
где Ki(xtt) и IÍ2(x,t) суть заданные при х € D и t 6 [0,Т] функции. Положим
МО = «о* -1 J)I<JÁ3 - i,t). Ш = ьи -1 ,t)Kjx(j - i,f), j = 1,2, Si(x, i) = ~Кш - [Ь ■ Ки^-ЬоКи s2(x, t) - -2 К и - [а ■ A'i^ - а„Ки S3(x, t) = Кш + [6 • 1<2г\х + ЬоК2, Si(x, t) = 2K2f + [а ■ I<2r]x + aQK2,
o , 0 . ¿^í+ÍOC, i") (o(>+i)r ~ 0í+I(t))
02¡+l(X, T) — b(2i+2),. i---
= ¿ = 0,1, K{x,y,t)=xQ1(y,t) + (í~x)Q0(y,t),
N(x, y, í) = xP^y, t) + (1 - x)P„(y, t).
Определим оператор M:
i t. i
Mu = u{x,t) - J K(x,y,t)u{y,t)dy~ J J N{x,y,T)u{y,r)dydT.
o oo
to
1
!■
Для данной краевой задачи доказываются теоремы.
Теорема 5, Пусть выполняются условия теоремы 4, налагаемые на коэффициенты операторов А и В, а также следующие условия
Ki{x, t) € C^Q), ¿ = 1,2, К(х, у, i), N(x, у, t) 6 С3<10,1) х 1 1
J Ki(x,0)ui(x)dx + J Kit(x^O)uo(x)dx = О,
n n
1
s 0, г = 1,2,
о
Äi(l,t) = *Ti(0,i) = ATufl.O = Kiiht) = Л"а(0,t) = /iT2l(0,i) s 0,
при t e [0,71],
для любого is [0,T] ЭА'о > 0, к\ > 0, такие, что
t г t 1 f 1
k.Q J J u3(x,r)dxdr < J J (Mu)2 dxdr < ki J J u2(x, r)dxdr.
oo oo oo
Тогда для любой функции f{x, t) из пространства и любых функ-
ций щ(х) и Ui{,-r) из пространств Ж? (£>) и W%{D) краевая задача (1), (б), (9), (10) имеет решение и(х, t), принадлежащее пространству V.
Теорема в. Пусть выполняются условия теоремы 4, налагаемые на коэффициенты операторов А и В, условия гладкости и согласования теоремы 5 на функции Ki(x,t), Kz(x, i), а также условия
Ki(l,i) = K2(0,i) - tfutl, t) = = K2j(l,i) = K2;(0tt) = О,
^1(0,0^0, К2(1,г)^0 при t € [О, Г).
Тогда для любой функции f(x, t) из пространства L^iQ) и любых функций щ(х) и щ(х) иг пространств \V$(D) и И',1 (D) краевая задача (1), (б), (9), (10) имеет решение и (.г, i), принадлежащее пространству V.
В главе 3 исследуется разрешимость обратных задач с неизвестной правой частью составного вида для линейных гиперболических уравнений второго порядка. При этом используются результаты главы 1.
В §3.1 излагается следующее. Пусть П есть ограниченная область пространства Я'1 с гладкой (для простоты бесконечно дифференцируемой) границей Г, Q - цилиндр Ct х (0, Т) конечной высоты Т, х — (хь ...,х„) - точка области ft, t есть точка интервала (0, Т), S - боковая граница
цилиндра <3 : 3 = Г х (О, Г). Далее, пусть Но{х,1), £)»•■•> кт(х, I), ^г(х), ф{х)л (яг),..., «га(^) - заданные функции, определенные при х € П, t € [О,Г], ¿1,1т - фиксированные точки полуинтервала (О, Т] такие, что выполняются неравенства < Ьч < ... < < Т.
Обратная задача: найти функции и(х, Ь), д^х),..., дт(х), удовлетворяющие в цилиндре С? уравнению т
- Аи + Ь(х,1)щ +а{х,1)и - ^ Ь,к(х, г)дк(х) + ко(х, ¿) (11)
А--1
при выполнении для функции и(х, £) условий:
и(х, 0) = у>{х), щ(х, 0) = ф(х), х е О) (12)
«(х.г^О, (13)
«(х, = щ(х), к = 1,...,т, х 6 О. (14)
В рассматриваемой обратной задаче условия (12) и (13) суть условия обычной первой начально-краевой задачи, условия же (14) есть условия переопределения, необходимые для нахождения дополнительных неизвестных функций ^(х),..., дт(х). Уточним, что условия (14) предполагают, что известна информация о состоянии среды или же известна информация об иной характеристике, соответствующей процессу, описывав емому уравнением (11) - в т различных моментов времени. Определим пространства Но и
Н0 = Мх,0 е € ^(0,Г;^21(П)),г'«(х,() € £2(<Э)},
У0 = {г'(ж, 0 : г-(х, г) £ Нй,гг{х,1) € Я0}.
Рассмотрим следующую линейную алгебраическую относительно функций а^х), ,„, ат{х) систему
т
щ{х)Ы(х, 1к) - г>а(х,гк)+ь(х, tk)v|(x> гк)+а(х, 1к)щ(х)-Аик(х)-Ь<>(х,
1-1
где к ~ 1,..., т. Предполагая, что определитель с!о(х) этой системы не
обращается в нуль на множестве Й, найдем функции а*(х): т т
<=1 (=1 где функции А-;(х), 7(-;0>0, вполне конкретно вычисляются через
функции а(х, Ь{х, €), Ло(х, ¿)| £), щ(х), к = 1,...,т.
Положим m m
Si(x,t) = y^ihk(x,t)0ii(x), Pi(x,t) = ^2hk(x,t) 7(-i(i),
m
fo(x, i) = hk(x' + Ы>{х, i), g{x, t) = fot{x, t).
*=1
Теорема 7. Пусть для функций ht(x, t), k = 0,1,..., m, <p{x) и -ф(х) выполняются включения hk(xtt) £ \V^,{Q) П hkt(x,t) € U^iQ),
hkil(x,t) € L2(Q), hk(x,ti) e И£(П),» = l,...,m, ^(x) 6 tt?(El)rwJ(il), ip{x) € W?(il) П ttfc(«) € lV23(fi) П И£(П) П g(x,t) e
о
71; & = 1, —t m, Й тажисе у слое ил
do(x) > ЗЬ > 0, хеП, а(х,¿),Ь(х,t) е C2(Q); bt(x, £) + а(ас, i) > 0, а(х, i) > О, 6(х, t)>bo>0, (ж, t) е Q.
Пусть 3$о > О, ¿1 > 0 такие, что выполняются следующие условия:
__1 Т2
Ьо = Ьо —(»« +1)^1 —— maxt(b((®,i) + a(x,i))£]- —smax«j(£,i) > 0;
I 1 Q ¿Oq ^
1 тгг(2тп + 1)________Гд2/д + r 2 .
—----vrai max (ж, u)J--^-t'ratmax t)J > (J;
1 min [i><(x,t) + a(x, t)I - m(2™+iK-rai max [p]{x, 0)1 -5 si
—Щщ-vrai max [p%(x, i)] > 0. Q
Тогда обратная задача (11) ~ (14) имеет решение [и(х, t), <ji(x), Чгп{х)} такое, что u(x,t) G Vq, git(x) € W2l(ii), k ~ 1,.„,т,
Имеет место также следующая теорема устойчивости и единственности.
Теорема 8. Пусть выполняются все условия теоремы 7. Тогда, если {u{x, « {«(SjOiSii®)»—|5т(;с)} есть два решения обратной задачи, отвечающие условиял* переопределения (14) с функциями гц(х), «ш(х) и mi(x), ..., ыш(х) соответственно и такие, что u(x,t) е Vo, ü(x,t) € Vo, и для некоторого г > 0 выполняются неравенства
¡jajt(x) - ujt(x)||tra(il) <е, k = 1,...,т,
то найдется не зависящее от £ число Л/о, определяющееся функциями /ifc(x,t), <р(х), ф(х), «ц(х), щ(х), k = 1 что будут справедливы
о^екк«
11«- «IU,(o,r;n'¿(n)) + ll"í" + I]"«™«« 11^(0,(ОД < л/о£,
|Ых) - ítí^jl^fd) < MQs, к = 1,m. Единственность следует из устойчивости.
В §3,2 рассматривается следующая задача. Пусть h(x, í), f(x, í), t'i(x) есть заданные функции, определенные при х € íí, t € [О, Т].
Обратная задача: найти функции u(x, í), q(x), удовлетворяющие в цилиндре Q уравнению
иц — Ли + Ь(х, Ь)щ + о(х, t)u = q(x)h(x, í) + f(x,t) (15)
при выполнении для функции «(я, í) условий (12) и (13), а также следующего интегрального условия т
J
о
K(t)u(x,t)dt = vi(x), xeü. (16)
Здесь (16) есть условие интегрального переопределения, необходимое для нахождения дополнительной неизвестной функции д(х). Положим ^ _ Мд> О
т
J K(t)h(x,t)dt о
Avi(x) + К(0)ф(х) + J K/dt
g(x,t) = f(ztt)-a(x,t)
о
Теорема 9, Пусть выполняются условия
1) h(x,t) е LX(Q), ht{x,t) € LX(Q); f(x,t) e ¿2(Q), Mx,t) e L2(Q),
/фЭеСЧо,?!,
2) a(x, t)> *>(:М) € Cl{Q), at(x,t) < 0,a(x,f) > О, Ь(М) > к > 0, (x,í) € Q,
S) 3¿o > 0,5i > > 0,¿3 > 0 такие, что
1 - 5\К\Т) > 0;
261 + + 2ó1¡
¿3
maxa3(x, í}+if max(bK-Kt)2+ó%T2 гаах(аЛ')2. $ 2 Л ü
>ко> 0, Ух € гг.
Г
о
Тогда обратная задача. (15), (1&), (13), (16) имеет решение {ы(а:,(),0(л:)} такое, что и(х, I) е На, я(х) £
В §3.3 рассматривается следующая обратная задача: найти функции и{х,1), (ж), д2(х), связанные в цилиндре С? уравнением
и« — Ди + Ь{х,г)1н + а(х,1)и = д1(х)Ь],(х, () + $з(®)Лг(®.0 +/(«,0. (17)
при выполнении для функции и(х, условий (12), (13), (16), а также
следующего условия _
Цх, = и^х), (18)
Положим Т
Ло(х) = Мя.ММхЭ-ММОМз), '&(«) = I Ы(х,1)К{1)(И, { =1,2,
К1[х>г) = К{1)Ь{х,г) - А',(г), = К(г)а(х, ь),
ап{х) = ац{х) = <хп(х)Ь(х,Ь), а^(х) = а,4{хЩГ),
= ¿у [(-1У+1ММ1)0(*) + (-1)'Мх)£(*)] , з - 1,2, 7((х, 0 = /ц(х, + Лг(«, (®)> * = 0,1, ...,4,
^(х, Ь) = 70 (х, г)+/(х, 0, Ых) = Д^(х)-Ь(х, О)0(х)-а(х, 0)^(х)+^(х, 0), £(х) = а(х,<1)и1(х) - Ди^х)
Т
=-Агч(х) - К(0)ф(х) - У /(х,1)КЦ)ги,
¿2 ( 0 2Т2 \
Ьо = Ьо - 35? - - Т2 (тах[(г>, + в),] + ~ таха*(х, ,
Т
= 3шах7^(«»0) + 2^шах7(2((х,0, г = 1,2,3,
1 Г Т ч
3] = Т тах Л|_3(х, I) —^ шах7^(х,() + Зтах 74 (х, 0) Я У ^
¿ = 4,5,
кх = ~ тт[Ь((х,*) + а(х, г)] - в2, = 2Га(з4 + 2Г2з5).
£ У
Теорема 10. Пусть выполняются условия 1) ММ) € С2(§), к = 1,2, а(*,<) € С1(Я), Ь{х,1) € С^(я) е (Р|(П) П 6 ИЦП) П щ(г) € П IV*. (П) Л
(ГК^). /М е ЛСМ) е ¿2(3), ^(м) е ь2(о,т;ж>(0)),
^ М^) > Йо > о, X € О, + о(а;,0 > 0, Ь{х,1) > Ьо > О,
(М)е<Э;
^ тт|&е(аг, <) + а(а\ 4)1 ~ шах |в2,з3 ^ + Ю } >
Тогда обратная задача (17), (12), (13), (16) имеет единственное решение {«(х, <), 91 (х), такое, что и(х, е РЬ, € И^П), ¿=1,2.
Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Ко-жанову Александру Ивановичу за предложенную тематику исследования, ценные советы, постоянное внимание к работе.
Публикации по теме диссертации
1. Сафиуллова, P.P. Нелокальные задачи для одного класса уравнений составного типа / P.P. Сафиуллова // Мат. заметки ЯГУ, 2004. - Т. 11, Л* 2. - С. 57-72.
2. Сафиуллова, P.P. О некоторых нелокальных задачах для нестационарных уравнений второго порядка / P.P. Сафиуллова // Информ. технологии и обрати, задачи рац. природонольз. - Ханты - Ман-сийск, 2005. - С. 67 - 70.
3. Сафиуллова, P.P. Краевая задача с интегральными условиями для одного класса уравнений сост. типа / P.P. Сафиуллова // Международная научная конференция "Тихонов и современная математика": Секция "Дифференциальные уравнения", - Москва, 2006. - С. 229 - 230.
4. Сафиуллова, P.P. Нелокальная краевая задача с интегральными условиями для одного класса уравнений составного типа / P.P. Сафиуллова // Международная научная конференция "Современные проблемы дифф. уравнений, теории операторов и космических технологий". - Ал маты, 2006. - С. 104 - 105.
5. Сафиуллова, P.P. Краевая задача с интегральными условиями для одного класса уравнений сост. типа / P.P. Сафиуллова // Труды Стерлитамакского филиала Академии наук Республики Башкортостан. Серия * Физико-математические и технические науки». Выпуск 3 / Отв. ред. К.Б. Сабитов. - Уфа: Гил см, 2006. - С.192 - 200.
6. Сафиуллова, P.P. Краевая задача с интегральными условиями дли одного класса уравнений сост. тина / P.P. Сафиуллова // Международная научная студенческая конференция. - Новосибирск, 2006. -С. 24.
7. Сафиуллова, P.P. Краевая задача с интегральными условиями для дифференциального уравнения третьего порядка / P.P. Сафиуллова // Вестник НГУ (принята в печать).
S. Safiullova, R.R. Inverse hyperbolic problem with unknown composite source / R.R. Safiullova // Inverse and I'll-Posed Problems (принята в печать).
Саф пул лова Регина Рафаил о в [1а
Нелокальные краевые задачи для уравнений Соболевского тина
АВТОРЕФЕРАТ
Подписано в печать .11.2006, Формат 60 х $4 Гарнитура «Times». Печать Оперативная, Усл. печ- л. 1,2$. Тираж №0 эхэ. Заказ А> / ♦
Отпечатало * типограф*1" Ст<?рлитама*ско& госуда рс т ее н «о й педагогической академии; 453103, г. Стерлнтамак* пр. Ленина, 49.
Введение
Глава 1. Нелокальные по времени краевые задачи
§1.1. Нелокальная но времени краевая задача для невырождающихся уравнении составного типа.
§1.2. Нелокальная по времени краевая задача для вырождающихся уравнений составного типа
§1.3. Нелокальная по времени задача для гиперболических уравнении
Глава 2. Нелокальные по пространственным переменным краевые задачи для уравнений составного типа
§2.1. Задача с нелокальными граничными условиями интегрального вида.
§2.2. Задача для уравнения третьего порядка с интегральными условиями
Глава 3. Обратные задачи для гиперболических уравнений
§3.1. Обратная задача с неизвестным составным внешним воздействием для гиперболических уравнений с условиями переопределения па временных слоях.
§3.2. Обратная задача с интегральным условием переопределении
§3.3. Обратная задача с неизвестным составным внешним воздействием и с составным условием переопределения.
Каждая задача математической физики ставится как задача решения некоторого уравнения при определенных дополнительных условиях, которые в большинстве случаев диктуются её физической постановкой |58|. Дифференциальные уравнения, содержащие частные производные искомой функции уравнения совершенно специального вида, возникающие из конкретных задач математической физики ¡54].
Многие прикладные задачи при исследовании сводятся к рассмотрению уравнений с частными производными высокого порядка. Так, вопросы фильтрации жидкости в средах с двойной пористостью [9], передачи тепла в гетерогенной среде [52], влагонереноса в почвогрунтах [00], приводит к модифицированным уравнениям диффузии, представляющим собой уравнения в частных производных третьего порядка. Исследованиями подобных краевых задач занимались Б. Сокоп [81], N. СаНвЪги [75], И.В. Сувейка |59|, М.Х. Шха-нуков [04], А.И. Кожанов [32] - [35] и другие. Разрешимость первой, второй и третьей краевых задач для одного уравнения второго порядка методом сведения краевых задач к операторным уравнениям в гильбертовом пространстве исследовал в работе И.В. Сувейка [59]. М.Х. Шхануковым [04] доказывались существование и единственность решений некоторых нелокальных краевых задач для уравнения третьего порядка. Систематическое исследование разрешимости краевых задач для уравнений третьего порядка было проведено А.И. Кожановым [82].
В настоящее время и связи с проблемами в области естествознания возникла необходимость обобщения классических задач математической физики, а также исследования новых задач. К качественно новым задачам можно отнести, в частности, нелокальные задачи для дифференциальных уравнении. Нелокальными задачами принято называть задачи, состоящие в отыскании решения дифференциального уравнения, значения которого заданы во внутренних точках области, либо значения на границе или ее части связаны со значениями во внутренних точках области. Нелокальные задачи для разного рода уравнении рассматривались многими авторами, среди которых следует отметить в первую очередь работы A.B. Бицадзе и A.A. Самарского |16|, В.А. Ильина и Е.И. Моисеева [25|, [26], Н.И. Ионкипа и Е.И. Моисеева [28|, И.С. Ломова [44], A.J1. Скубачевского [55], [5G], L. Byszcwski [74], А.И. Кожапова [31] - [34], Л.С. Пулькипой [49] - [51], J. Chabrowski [79], [80], Г.М. Либермана [43], В.В. Шелухина [Gl], [62].
Нелокальные условия могут возникать в случае, когда граница области недоступна для непосредственных измерении, однако информацию об изучаемом явлении во внутренних точках области получить можно.
В случае, когда нелокальные условия связывают значения искомой функции на концах интервала со значениями в его внутренних точках, нелокальные условия, как замечено в работе А.Л. Скубачевского и Г.М. Стеблова |57|, пред-ставимы в виде интеграла Стильтьеса, содержащего атомарную меру концов интервала [63], [83]. Когда границы области недоступны для непосредственных измерений, а информация об исследуемом явлении представляет собой некоторые средние значения искомого решения, при математическом моделировании она представляется в виде интегралов от искомого решения. Если интегральные условия представлены интегралами Римана или Лебега, не содержащими атомарную меру концов интервала, стандартные методы при исследовании такой задачи но применимы, так как область определения рассматриваемого дифференциального оператора не плотна в ¿2(0, Ь).
Первыми работами, посвященными исследованию задач с, интегральными условиями для уравнений в частных производных являются работы J.R. Cannon |76] и К. Rektorys |8С].
В частности, J.R. Cannon 15 статье |76] доказывает существование и единственность классического решения одномерного уравнения теплопроводности, удовлетворяющего условиям и(х, 0) = tp(x), х > 0,
J u(x,t)dx = E(t), x{t)> 0, ¿>0. о
В случае конечного проводника необходимо также задавать значение температуры па каком-либо его конце.
В 1964 году Л.И. Камынин в статье [30] исследовал задачу с интегральным условием для уравнения параболического типа. В 1977 году Н.И. Ионкин в работе [27| рассмотрел задачу для уравнения теплопроводности с условиями вида и(х, 0) = (р(х), 0 > х > 1, u{0,t) = v(t), 0 >i>T, а также интегральным условием, называемым условием A.A. Самарского 1
J и(х, t)dx = щ, 0 < t < Т. о
Дашюо интегралыюо условие возникает и задачах, описывающих процессы диффузии частиц в турбулентной плазме, а также в задачах распространения тепла 1? топком нагретом стержне |53]. Исследованиям задач для параболических уравнений посвящены работы С.М. Алексеевой и Н.И. Юрчука [2], А. Boiiziani и N-E. Benouar [72], |73], A. Boiiziani [GG], [G8], J.R. Сашюи и Van der Hook [77) ,[78|, А.И. Кожанова [3G], З.А. Нахушевой |45|, [46|.
Работа [1G| A.B. Бицадзе и A.A. Самарского повлекла за собой систематические исследования нелокальных начально-краевых задач для эллиптических уравнении. Вопросам разрешимости задач с нелокальными условиями для эллиптических уравнений посвящены работы A.JI. Скубачевского [55|, |5G), Е.М. Галахова и A.JI. Скубачевского [20], A.JI. Скубачевского и Г.М. Стеблова |57|.
Изучение процессов влагоисреноса в капиллярно-пористой среде, их анализ привел к задачам с нелокальными интегральными условиями для уравнений гиперболического и составного типов.
Нелокальные задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений можно разделить па два класса. Первый класс представляет собой задачи, нелокальные условия которых задаются в виде интегралов вдоль характеристик. Задачи этого класса рассмотрены, в часностн, в работе З.А. Нахушевой [45]. Второй класс представляет собой смешанные задачи с классическими начальными данными, граничные же условия в этих задачах заменены интегральными.
Среди работ, в которых исследованы смешанные задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений, можно отметить следующие статьи A. Boiiziani [G7j, S. Mcsloub и A. Boiiziani [84], S. Mcsloub и S.A. Messaoiidi [85|, Г.Д. Гордезиапи и Г.А. Авалишвили [21], JI.C. Пулькина [49], С.А. Бейлин |G5|, А.И. Кожанов и JI.C. Пулькина [40].
Следует отмстить, несмотря на то, что краевые задами с интегральными условиями для параболических и гиперболических уравнений активно изучаются в последнее время, аналогичные задачи для тех или иных уравнении третьего порядка изучены сравнительно мало - можно указать лишь работы [001 - [71|. В нашей работе мы постарались частично (в весьма незначительной степени) восполнить указанный пробел.
К необходимости изучения задач с нелокальными интегральными условиями, например, приводят коэффициентные обратные задачи. Прикладная важность обратных задач настолько велика (они возникают в самых различных областях человеческой деятельности: сейсмологии, разведке полезных ископаемых, биологии, медицине, контроле качества промышленных изделий и т.д.), что ставит их в ряд актуальнейших проблем современной математики.
Вопросы разрешимости тех или иных обратных задач для уравнений с частными производными изучались многими авторами. Прежде всего, можно отметить работы А.И. Прилепко |47], |48], Ю.Е. Аниконова |4] - [С], С.М. Алексеевой и Н.И. Юрчука [2], К. Rektorys [8G], Ю.Я. Белова [13|, |14], |15] Н.И. Иванчова [24], Б.А. Бубнова [17], Н.Я. Безнощепко 110] - [11], А.И. Кожапова [31], [32], [39], O.A. Колтуиовского [41[, [42] и других.
Среди обратных задач для гиперболических уравнений выделим как наиболее близкие нам коэффициентные обратные задачи в цилиндрических областях. Подобные задачи исследованы сравнительно мало - можно отметить лишь работы А.Д. Искендерова [29], в которой исследовалась единственность решений, А.Х. Амирова [3], А.И. Кожапова и И.Р. Валитова [19], И.Р. Вали-това |18], в которых доказывалось существование решений.
В нашей же работе исследование обратной задачи для гиперболических уравнений при наличии внешнего составного воздействия представляет собой дальнейшее развитие и обобщение работы А.Х. Амирова. Следует отметить, что применяемый нами метод отличается от метода, используемого и работе [3|. Задача рассматривается новая, а полученное решение обладает большей гладкостью. Отметим также, что обратная задача с неизвестной правой частью составного типа ранее изучалась лишь в случае параболических уравнений [31].
В настоящей диссертационной работе исследуются нелокальные краевые задачи, как ио временной, так и но пространственной переменным, для уравнений составного типа, нелокальная по времени задача для гиперболических уравнений, а также обратные задачи для гиперболических уравнении.
Целью данной работы является:
1) доказательство существования и единственности решения нелокальной по времени краевой задачи для невырождающихся уравнений составного типа.
2) доказательство существования и единственности решения нелокальной по времени краевой задачи в случае вырождающихся уравнений составного типа.
3) доказательство существования и единственности решения нелокальной но временной переменной задачи для гиперболических уравнений.
4) доказательство существования решения нелокальной но пространственным переменным задачи для уравнений составного типа с интегральными граничными условиями.
5) доказательство существования решения краевой задачи с интегральными условиями для дифференциального уравнения третьего порядка.
6) доказательство существования, единственности и устойчивости решения обратных задач с неизвестной правой частью для линейных гиперболических уравнений второго порядка.
Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из трех глав. В пределах каждой главы принята сквозная нумерация параграфов и формул. При одинаковом обозначении констант, пространств, в разных главах они имеют разный смысл, соответствующий конкретному разделу.
В главе 1 исследуются некоторые нелокальные по временной переменной задачи для нестационарных уравнений второго порядка по времени - уравнений составного типа и уравнений гиперболического типа.
Пусть ^ цилиндр {(х,Ь) : х £ И = {0,1),Ь е (0,Т),(0 < Т < +оо)}, а(х,Ь), ао(:г,£), Ь(х, £), /(#,£), щ{х), щ{х) - заданные при х 6 А
I £ [0,Т] функции.
Определим операторы А и В: д д Ли = — (а(х,1)их) +ао(х,Ь)щ Ви = — (Ъ(х,1)и?) + Ь0(х,Ь)и.
Определим пространства:
V! = {ь(х, I) : у(х, I) £ 1оо(0, Т; УГ^И) П И^Р)),
У0 = ММ) = «ОМ) € ^оо(0,Т; И^22(£») П Ж2(£>)),
О 1
Пус'п, Ф, Ф0, ~ линейные операторы, представимые в виде Ф = Ф1 + Ф2, Ф0 = Ф01 + ф02, Ф1 = Фп + Ф12, и для операторов Фь Ф2, Ф(И, Ф02, Фп, Ф12 5 Ы110 Л Н Я ЮТСЯ у С Л 015 И Я
Ьу\\1лв) < аМх,Щ1ш \\фМ\1Лп) < РМхМь^огмщ)' <Т>! : Фгу = —Ф^ - Ф^*, ||(М112(Д) < а2Мх,Щ2Ш), ||Фо1 А\12{о) < азН^МН^ю), 1|ФпН1!2ф) < <*4\\ФМш)> <Т>1 Г Ф1?; = ф^ ||<М|£2(д) < 52||У{х,1)\\1т,
Фп : = m^uv ~ Фи«®, НФпИР^)
Ф2 : Ф2« = &>2V ~ Ф2Ух, \\^2V\\12(D) < ||Ф(»2^П1Ф1< №М||LWMD))> 1(D) < Ш*М1„{0,Т;М))>
Ф2 : Ф2« - - Ф2УХ, \\ФМ\12{1)) < MvfrMLw-MD))'
Ф02 : Ф02^ = ¿Фо2« - Фо2^, \\%У2У\\12{0) < Д3| W*,
Ф12 : $12« = &Ф12« - 1|Ф12«||12(/;) < ft|KM)lliv(0J.;MD,).
0.1)
В §1.1 15 цилиндре Q рассматривается нелокальная задача для певырождаю-щегося уравнения составного типа.
А именно, исследуется следующая краевая задача: найти в цилиндре Q решение уравнения ии — Ащ — Ви = f(x, t)} (0.2) удовлетворяющее условиям и(х, 0) = Фи + щ(х), х е D, (0.3) щ(х,0) = Ъ0и + 4>1щ + щ(х), X е D, (0.4) и(0,t) = u(l,t) = 0, 0 <t<T. (0.5)
В случае нулевых операторов Ф, Фо и Ф1 мы имеем обычную начально краевую задачу для уравнения составного типа (0.2). Начально краевые задачи для уравнения (0.2) рассматривались многими авторами. В достаточно общем виде теория уравнений составного типа изложена в монографии А.И.
Кожанова |82|. Речь в ней идет именно о начально краевых задачах. Здесь рассматривается нелокальная задача.
Положим &1 = max \Ьо(х, 0)1, bo = maxb(x, 0). [0,1] [0,1]
Для поставленной задачи доказана следующая теорема.
Теорема 0.1. Пусть выполняются условия а(М),&0М) € С2(0), ао(М)АОМ) е С(5); а(х, I) > а0 > 0, Ь(х,{) > 6о > 0, ао(ж,£) < -ао < 0, (х, £) £
6„(аг,0 < -6о < 0, а,(я,*) < 0, (ж,*) < 0, 60г(М) > 0, (х,Ь) £
Ь0>ЩЬ2 + 4аф2Т+ шах{[4(а3 + а2Ь2) + 2а{Ь{]Т - Ь~0 + 4/?3 + 4/?^ + 4/?2/>2,0};
1>4/?4, Щ>2а.и &о>2Мь Ц1 - 2/34) > 2^. Тогда для любой функции f(x,t) из пространства Ь2{0) и любых функций о 1 о 1 щ(х) из пространства \У2(В)П\У2(П) и щ(х) из пространства IV-¿(Щ краевая задача (0.2) - (0.5) имеет решение и(х, ¿), принадлежащее пространству VI, и это решение единственно.
В §1.2 рассматривается нелокальная краевая задача для вырождающегося уравнения составного типа. Исследуется краевая задача: найти функцию и{х,1), являющуюся в цилиндре ф решением уравнения (0.2) и удовлетворяющую условиям (0.3) — (0.5). Доказана следующая теорема существования и единственности.
Теорема 0.2. Пусть выполняются условия е С2(д), ао(МШМ) € С1(@); а{х, ¿) > 0, Ь(х, £) > 0, а(х, I) + Ь(х, ¿) > а(, > 0, (ж, £) £ ф; ао(ж, 0 < -ао < 0, Ьо(х, ¿) < -Ь0 < 0, (х, £) £ Ь(х,0) < МЬ(х,$, а2х{х,$ < М\а(х, ¿), < М2Ь{х,Ь); а(х, 0) < М3а(х,г), < М46(ж,г); 0, ЬДж,*) < 0, а0<ОМ) > 0, 60<(М) > 0, (х,Ь) п/ТЛ-Д ^ »П?«/1- 1 . 1-М4Т-Д/2(1+Г). 1-Л/|Г-|. сцТ + А+скгТ+ &<;[, + М\ < 2, М2 < 2; > 4(а2Т + /Щ + 4(а3Т + А) + 2Ь1(а1Т + А), «о > «-1 + 1-Тогда для любой функции из пространства -£2(ф), такой, что /¿(.т, £) £
И^ЧФ), /(О»0 = /(1)0 — О, 0 < £ < Т, и любых функций Щ){х) и щ(х) из о 1 пространства \У2(2?) П \У2Ф) краевая задача (0.2) (0.5) имеет решение £), принадлежащее пространству У\ , и это решение единствен,но. В §1.3 рассматривается нелокальная по времени задача для гиперболических уравнений. А именно, исследуется следующая краевая задача: найти функцию и(х,Ь), являющуюся в цилиндре ф решением уравнения ии-Ви = /(х,1), (0.0) и удовлетворяющую условиям (0.3) - (0.5).
Положим 63 = щах\Ьх(х,1)\. Доказана следующая теорема. Я
Теорема 0.3. Пусть выполняются условия е с2(^), ь0(х,1)еС(ЯУ, ь{х, г) > б0 > о, ь0(х, 0 < -¥0 < о, 0 < о, ьш(х, ¿) > о, (х, г) е Я; 60 > 2Г(2а3 + 2Ъ2а2 + МО + 4(А + Ш) + + 462(А + «1Т); 1 > 4(А + щГ), | > ВД + (Ьг«! + Г, А + + |) Т <
Тогда для любой функции /(ж, ¿) ш пространства Ь2((3), такой, что /¿(ж, ¿) Е о 1
Ь2{0) и любых функций Щ)(х) и и\(х) 'из пространства \У2(/)) П КР(,~ свая задача (0.6), (0.3) - (0.5) имеет решение и(ж,£), принадлежащее пространству Уд, и это решение единственно.
Для рассмотренных уравнений приведены примеры нелокальных задач, для которых заведомо выполняются все условия доказанных теорем.
В Главе 2 исследуются нелокальные но пространственным неременным краевые задачи для уравнений составного типа. Отметим, что в рассматриваемых задачах нелокальность носит интегральный характер. Определим пространство V:
V = {ф, £) : у{х, г) е МО, Г; 1У22(£)),
В §2.1 рассматривается задача для одного класса уравнении составного типа с нелокальными граничными условиями интегрального вида.
Пусть £ цилиндр {(х,г) : ж е Я = (0,1),* е (0,Т),(0 < Т < +оо)}, ¿), аоОМ)> щ(х), щ(х), К(х,у,£) заданные при ж 6 Д у 6 -О, £ £ [0, Т] функции. Исследуется следующая краевая задача: найти функцию и(х,Ь), являющуюся в цилиндре (5 решением уравнения (0.2), удовлетворяющую начальным условиям и(х,0) = и0(х), х £ И, (0.7) щ(х,0) = щ(х), же А (0.8) а также следующим граничным условиям 1
0,0 = I К(0, у, 1)и(у, 1)с1у, 0 < I < Т, (0.9) о 1
1,0 - I К{1,у^)и(у^)<1у, 0 <КТ. (0.10) о
Определим оператор М 1
Ми = и(х,Ь) — ! К(х,у^)и(у,Ь)(1у, о и пусть он будет однозначно обратим для любого t из отрезка [0, Т]. Для поставленной задачи доказана следующая теорема.
Теорема 0.4. Пусть для оператора Ь выполняются условия а(М)Л'М) е а0(м)Л(М) е С(Я)-, а(ж^) > ао > 0,
Далее пусть для оператора М выполняется условие
1 1 1
3&о > ОД'1 > 0, ко I и\х^)йх < I (Ми)Чх < к\ J и2(х,^х, О <КТ\
00 о функция К(х,у,1) такая, что К(х,у, £) € С3([0,1] X ).
7огс7а для любой функции ф(х, ¿) из пространства и любых (функций щ(х) и щ(х) из пространств И722(1)) и XV\(И) соответственно, краевая задача (0.2), (0.7) - (0.10) имеет решение и(х, ¿), принадлежащее пространству V.
В §2.2 рассматривается задача для дифференциального уравнения третьего порядка с интегральными условиями. Пусть К\(х,£) и /^(¿М) суть заданные при х Е И п t £[0 , Т] функции.
Исследуется краевая задача: найти функцию являющуюся в цилиндре ф решением уравнения (0.2), и такую, что для нее выполняются условия (0.7), (0.8), а также интегральные условия вида 1
1 К1(х,г)и(х,Ь)йх = 0, ¿6 (0,Т), (0.11) о 1
У к2(х,г)и(х^)(1х = о, ге(о,т). (0.12) о
Положим
-(*) = а(з - 1, -1,1), = ьу - 1, *)Я,хС/ - 1, о, 1 = 1,2,
51 (ж, 0 = - [Ь • #1*]* " 0 = -2/Гн - [а • Ки]х - аоКи
5з(х, 0 = Я2и + [ь • + 54(®, о = 2К2< + [а • ^лг]^ + а()К2,
15 i f i!i+iül(/f r <T> i i+iW X
- 5(2г+2)г + i+l)7- ~ A+lH) Ofi+i(r) г+ЦС) iV(z, y, t) = хРг(у, t) + { 1 - x)Po(</,
Определим оператор M: l i Л/и = и(х, t)- J К(х, у, t)u(y, г) dy- j J N(x, у, т)и(у, т) dy dr. 0 0 0 Для данной краевой задачи доказываются теоремы.
Теорема 0.5. Пусть выполняются условия предыдущей теоремы, налагаемые па коэффициенты операторов А и В, а таксисе следующие условия C\Q), K(x,y,t),N(x,y,t) € С3([0,1] х Q); i i i
J Ki(x, 0)uo(x)dx = 0, J Kj(x, 0)щ(x)dx+J Кц(х, 0)uo(x)dx = 0, i =1,2; 0 0 0 tfi(U) = ATi(0,i) = = ÄT2(1,0 = K2(0,t) = = 0;
1,(0,0^0, K2x(l, t) npu i E [0,T].
Далее пусть для оператора М для любого t £ [0, Т] выполняется условие Зкц > 0, к\ >0 такие что t 1 t i
2/ \ jj ^ / / / л //-.\2 i 1
Ло J у u2(x,т)dxdт < у у (Mu)¿dxdт<kl ^ J и2(х,т^Шт. оо оо оо
Тогда для любой (функции /(ж, из пространства Ь2((Э) и любых фгунки;и.й ио(х) из пространства IV$ (О) и щ(х) из пространства И^-О) краевая задача (0.2), (0.7), (0.8), (0.11), (0.12) имеет решение и(х,Ь), прииадлеэ/салцее пространству V.
Теорема 0.6. Пусть выполняются условия теоремы 0-4, налагаемые на коэффициенты операторов А и В, условия гладкости и согласования теоремы 0.5 па функции K\(x,t), K2(x,t), а такжх условия tfi(M) = K2(0,t) = Klx(l,t) = Klx(0,t) = K2x(l,t) = K2x(Q,t) = 0; що, t) ф о, к2(l, t) ф о, при t e [о, т].
Тогда для любой функции f(x,t) из пространства L2(Q) и любых функций uq(x) из пространства W2{D) и щ(х) из пространства \V2(D) краевая задача (0.2), (0.7), (0.8), (0.11), (0.12) 'имеет решение u(x,t), принадлежащее пространству V.
Глава 3 посвящена исследованию разрешимости обратных задач с неизвестной правой частью составного вида для линейных гиперболических уравнений второго порядка.
В §3.1 рассматривается задача, суть которой состоит в том, что требуется вместе с решением определить неизвестную правую часть, при этом задача рассматривается в цилиндрической области, задаются условия обычной па-чал!,но краевой задачи и условия переопределения, заданные на некоторых сечениях t — const.
Пусть Q есть ограниченная область пространства Rn с гладкой (для простоты бесконечно дифференцируемой) границей Г, Q есть цилиндр Q х (0,Т) конечной высоты Г, х = (х\, .,хп) есть точка области fi, t есть точка интервала (0, Т), S есть боковая граница цилиндра Q : S = Г X (0, Т). Далее, пусть h(x,t), hi(x,t),., hm(x, £), <р(х), ф(х), щ(х),., ит{х) есть заданные функции, определенные при х £ Q, t 6 [0,Т], t\,.,tm - фиксированные точки полуинтервала (0, Т] такие, что выполняются неравенства t\ < t2 < . < tm < Т.
Обратная задача: найти функции u(x,t), qi(x),., qm(x), связанные в цилиндре Q уравнением та lift - Аи + b(x, t)ut + а(х,£)?/ = ^ /¿¿(ж, ¿^.(ж) + /¿o(z, t), (0.13) к=1 при выполнении для функции u(x,t) условий и(х,0) = <р(х), хеп, (0.14) щ(х, 0)=ф(х), ar G П, (0.15) и(ж,0|5 = 0, (0.1G) и(х, tk) = щ(х), к = 1,., т, X G Q. (0.17)
В рассматриваемой обратной задаче условия (0.14) - (0.1С) суть условия обычной первой начально-краевой задачи, условия же (0.17) есть условия переопределения, необходимые для нахождения дополнительных неизвестных функций qi(x),., qm{x). Уточним, что условия (0.17) предполагают, что известна информация о состоянии среды или же известна информация об иной характеристике, соответствующей процессу, описываемому уравнением (0.13) в т различных моментов времени.
Ранее подобные задачи в случае, когда неизвестной была лишь одна компонента q\(x), исследовались А.Х. Амировым [3]. У нас здесь и ниже рассматривается другая по сравнению с предложенной в работе [3] задача. Определим пространства Но и Vo:
Я„ = {v(x,t) G 6 Loo(0,Т; ^(ft)), %(М) е Ш)},
V0 = {v(x, t) : v{x, t) <E Ho, vt{x, t) G H{)}.
Рассмотрим следующую линейную алгебраическую относительно функций (х) систему т ai(x)hi(x, tk) = vtt(x, tk)+b(x, tk)vt{x, tk)+a(x, tk)uk(x)-Auk(x)-ho{x, tk), i=i где к = 1 ,.,m. Предполагая, что определитель (1q(x) этой системы не обращается в нуль на множестве Q, найдем функции ак(х): тп
771, ак{Х) = + ^2'укг(х)ь1(х,и) + Цк(х), к = 1,., г=1 г=1 где функции /Зм(х), Цк{х) виолпе конкретно вычисляются через функции а(х,(), Ь(х,Ь), /¿оОМ), ММ), ик(х), к= 1 Положим ni
Si(x, t) = Y^ h{x, t)Pki(x), Pi(x, *) = £ t)lli(x), k=l k=1 m к=1
Для поставленной обратной задачи доказана теорема.
Теорема 0.7. Пусть для функций Нк(х, £), А; = 0,1, .,ш, и ф(х) выполняются включения Нк(х,{) 6 ^'¿((^ПИ7'! И^х^) Е И^ф), 1гш{х,£) 6
Ю), ЫМ») е » = 1,.,ш, ф) е Ж22(П) П ^(а:) е
1^1(0)пц^),«ьМ е адпСйпжМ, е ¿2(о,т;и°^)),
А; = 1,., т. Кроме того, пусть выполняются условия с?о(я) > ¿¿о > 0, ж 6 а(х,Ь),Ь{х,$ £ С2(5), Цж^ + с^М) > 0, а(ж,0>0, Ь(ж, ¿) > Ь0 > 0, Пусть З^о >0, > 0 такие, что выполняются следующие условия — 82 1 Т2
Ь0 = Ь() - (т+ 1)<*1 - - - тах [(&,(#, ¿) +а(М)М - таха^г, £) > 0; ^ с? ^о ^
1 т(2т +1) . г 2, Тт(т + 1) . г2, ,м ^ п ----угагтах --—з-шаг тах [8и{х,г)\ > 0;
2 2 ^ 2д1 ф тт[&,М +а(®,0] - ^^^«гмтах [р?М)] --^р-угм тах > 0.
Тогда обратная задача (0.1S) - (0.17) имеет решение {u(x,t),qi(x), .,qm(x)} такое, что u(x,t) G Vo, qk{x) G ^(fi), k = 1, .,m.
Имеет место также следующая теорема устойчивости и единственности.
Теорема 0.8. Пусть выполняются все условия теоремы 0.7. Тогда, сели {u(x,t),qi(x), .,qm(x)} и {и(х, t), qi(x),., qm(x)} есть два решения обратной задач,и, отвечают/не условиям переопределения (0.17) с функциями, щ(х), ., ит(х) и щ(х),., ит(х) соответственно и такие, что и(х, t) G И), I) G Ко, и для, некоторого е > 0 выполняются неравенства
IK(z) - Uk(x)\\wm <£> k= m> то найдется не зависягцее от г ч,исло Mq, определяющееся функциями hk(x,t), <р(х), ф(х), щ(х), щ(х), к = 1, .,т, что будут справедливы оценки
11« - «11^(0,7:1^(0)) + IIut ~ «Лмо.г.-иЭД) + II"« - Utt\\L^r-i,2m ^ Мое, Ifc-M ~ Ых)\\ь-2(П) < М0е, к = 1, .,т.
Единственность следует из устойчивости.
В §3.2 })ассматривается задача, суть которой состоит в том, что требуется вместе с решением определить неизвестную правую часть, при этом задача рассматривается в цилиндрической области, задаются условия обычной начально - краевой задачи и условия переопределения, представленные в интегральном виде. Пусть h(x,t), f(x,t) и vi(x) есть заданные функции, определенные при х G t G [0,Т].
Обратная задача: найти функции u(x,t), q(x), связанные в цилиндре Q уравнением ии - Аи + Ь(х, {]щ -f а(х, t)u = q(x)h(x, t) + f(x, £), (0.18) при выполнении для функции u(x,t) условий (0.14) - (0.10), а также еледующего интегрального условия т
J K(t)u(x, t)dt = V\(x), x E Г2.
0.19)
В рассматриваемой обратной задаче условия (0.14) - (0.10) суть условия обычной первой начально-краевой задачи, условие же (0.19) есть условие интегрального переопределения, необходимое для нахождения дополнительной неизвестной функции (¡(х).
Положим ж, £) Y
J К[t)h(x,t)dt
9{x,t) = f(x,t) -a{x,t)
Avi(x) + K(W(x) + J K(t)f(x,t)dt о
Для поставленной обратной задачи доказана теорема. Теорема 0.9. Пусть для функций h(x, t), f(x,t), v\(x), <p(x), ф(х) и K(t) выполняются включения h(x,t) Е L^Q), ht(x,t) E Loo(Q), f(x,t) E LiiQ), e L2(Q), Vl(x) E Wi(Q) n Wl2(n), ф) E W'i(V) П l^J(fi), ф(х) E
Vi{Q)nw\{Q),K{t)eC%T\.
Кроме того, пусть выполняются условия a(x,t),b(x,t)eCl(Q), K(t)EC{([0,T})-, а(х, t) > 0, b(x, t) > b0 > 0, at(x, t) < 0, (x, t) E Q; 3J0 > 0, ¿i > 0,82 > 0, S3 > 0 такие, что 1 - 8\K2{T) > 0; ¿о bo> ^ +
1 1 Г
28\ 281 28\ т Q
8J 2 Т max а2 {х, + 1Щх{Ы( - Ktf + 8\Т2 та х{аК)2; Q
K{t)h(x,t)dt ко >0, VxE
Тогда обратная задача (0.18), (О.Ц) ~ (0.16), (0.19) имеет решение {и(х, t),q(x)} такое, что u{x,t) € Щ, q(x) € L2(Q).
В §3.3 рассматривается обратная задача с неизвестным составным внешним воздействием и с составным условием переопределения.
Обратная задача: найти функции u(x,t), qi(x), q2{x), связанные в цилин-дро Q уравнением utt - Аи + b(x,t)ut+a(x,t)u = q\{x)h\(x,t) + q2(x)h2(x,t) + f(x,t), (0.20) при выполнении для функции u(x,t) условий (0.14) -- (0.1G), (0.19), а также; следующего условия u(x,ti) = щ(х), х е П. (0.21)
Положим т ho(x) = hi(x, ti)h2(x) - h2(x, t{)hi(x), 7ц(х) = J h¡(x, t)K(t)dt, i - 1,2, o
Ki(x,t) = K(t)b(x,t) - Kt(t), K2(x,t) = K(t)a(x, t), aji(x) = = aji(x)Kx> ajÁx) = ajA{x)K(T),
1щх)
Ых) = -Щ [И^Ч^ + , j = 1,2,
7¿(M) = hi(x,t)a2i(x) + h2(x,t)aii(x), i = 0,1,., 4, F(x,t) = то (M)+/M. = A(f(x) — b(x, 0)ф(х) — а(х, 0)ip(x)-\-F(x, 0), a(x, h)ui(x) - Ащ(х) - f(x, ¿i), T ф{х) = -Av^x) - K(ОЩх) - j f{x,t)K(t)dt, o / от2 N - T¿ max[(6t + a)t] + maxaf(x, t)
2 V Q °í Q т я,- = Згпах7|(ж,0) + шах7/5(ж, г = 1,2,3, Т тах 3(х, 1) Т
ТГс2 тах742((.т:, ¿) + 3 тах742(ж, 0) <1 « .7 — 4,5, ^ пшЩх, 0 + ф, 0] - 52, «6 = 2Т2(б'4 + 2Т2бь).
Теорема 0.10. Пусть для функций Н^х, к = 1,2, а(.т, £), ¿), /(я, £), и ф(х) выполняются включения £ С2(<У), а(х, £) £ С1^),
Ь(аг,0 е С2((Д, е и^п) п ф(х) € и/|(П) п е
Кроме того, пусть выполняются условия о(я) >/*о > 0, жбП, + а(ж,£) > 0, > 60 > 0, (х,Ь) 1шп[ЬДж, + а(я, £)] - тах я3 ^ + ^ | > 0.
ТогЛ/ обратная задача (0.20), (0.14) ~ (0-16), (0.19) имеет решение {и(х, ¿), 91 42{х)} такое, что г¿(x,í) € Уо, дь(х) £ И^1^), ^ — 1,2, причем в указанном классе это решение единственно.
Основные результаты по томе диссертации опубликованы 15 работах |87| |04|.
Заключение
В работе полумены новые результаты о существовании и единственности решения нелокальных по времени краевых задач в случае как вырождающихся, так и невырождающихся уравнении составного типа, а также гиперболических уравнений.
Исследованы нелокальные по пространственным переменным краевые задачи. Получены результаты о существовании и единственности подобного рода задач для уравнений составного типа.
В работе также получены новые результаты о существовании и единственности регулярных решений линейных обратных задач для гиперболических уравнений в ограниченной области:
- обратной задачи нахождения решения и неизвестной правой части в случае, когда некоторые условия переопределения заданы по сечениям t = const; обратной задачи нахождении решения и неизвестной правой части г. случае задания условия интегрального переопределения;
- обратной задачи нахождения решения и неизвестной правой части в случае задания двух условий переопределения: интегрального и условия, заданного на некотором временном слое; t = t\.
Заметим, что аналогичным образом рассматривается обратная задача нахождения решения и неизвестной правой части в случае задания т условий переопределения: одно из которых интегральное, а остальные т — 1 - это условия, заданные на некоторых временных слоях.
Методы исследования основаны на применении техники априорных оценок и техники, связанной с методом продолжения по параметру.
Методы исследования обратных задач основаны на переходе к специальным |,пагруженным,,уравпс11иям с частными производными, доказательстве разрешимости возникающих прямых локальных и нелокальных краевых задач и построении с помощью решения вспомогательных задач решения исходной обратной задачи.
Полученные новые результаты свидетельствуют об эффективности используемой методики и о возможности использования ее при исследовании других нелокальных и обратных задач.
Вспомогательные результаты о разрешимости тех или иных краевых задач для "нагружеииых"уравнепий имеют и самостоятельное значение - "нагру-жснные,,уршшения представляют сравнительно малоизученный математический объект; в то же время подобные уравнения возникают при математическом моделировании ряда процессов механики, физики и биологии.
1. Абдииазаров, С. Краевые задачи для уравнения с кратными характеристиками: дисс. . докт. физ.-мат. наук: 01.02.02 / С. Абдииазаров. Ташкент, 1998. с. 27.
2. Алексеева, С.М. Метод квазиобращения для задачи управления начальным условием для уравнения теплопроводности с интегральным краевым условием / С.М. Алексеева, Н.И. Юрчук // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 4. С. 495 - 502.
3. Амиров, А.Х. К вопросу о разрешимости обратных задач / А.Х. Амиров // Сибирский мат. жури., 1987. Т. 28, Xo- С. С. 3 12.
4. Аиикоиов, Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. / Ю.Е. Аиикоиов Новосибирск: Наука, Сиб. отд-пие, 1983.
5. Аиикоиов, Ю.Е. Об однозначности решения обратной задачи для квантового кинетического уравнения / Ю.Е. Аиикоиов // Мат. сб. 1991. Т. 181, № 1. С. G8 - 74.
6. G. Аиикоиов, Ю.Е. Обратные задачи математической физики и биологии / Ю.Е. Аиикоиов // Докл. АН СССР. 1991. Т. 318, № 6. С. 1350 1354.
7. Аиикоиов, Ю.Е. Об однозначной разрешимости одной обратной задачи для параболического уравнения / Ю.Е. Аиикоиов, Ю.Я. Белов // Докл. АН СССР. 1989. Т. 306. № 6. С. 1289 1293.
8. Auv,конов, 10.Е. Существование и единственность решения обратной задами для параболического уравнения / 10.Е. Аникопов, Б.А. Бубнов // Докл. АН СССР. 1988. Т. 298, № 4. С. 777 779.
9. Бареиблатт, ГЛ. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиповых породах / Г.И. Бареиблатт, 10.П. Жеглов, И.Н. Кочина // Прикл. мат. и мех., i960. Т. 25, К0- 5. С. 8528G4.
10. Безнощенко, II.Я. Об определении коэффициентов при младших членах в параболическом уравнении / Н.Я. Безпощенко // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 1С, № 3. - С. 473 482.
11. Безпощенко, Н.Я. Об определении коэффициентов при старших производных в параболическом уравнении / Н.Я. Безнощенко // Дифференц. уравнения. 1975. - Т. 11, № 4. С. 19 - 2G.
12. Бейлпп, С.А. Смешанные задачи с интегральными условиями для волнового уравнения: дисс. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / С.А. БеПлин. Казань, 2005. с. 127.
13. Белов, 10.Я. О расщеплении одной обратной задачи для многомерного параболического уравнения / 10.Я. Белов // Докл. АН СССР. 1995. -Т. 345, № 4. С. 441 - 444.
14. Белов, К).Я. Об одной задаче определения функции источника / 10.Я. Белов, Т.Н. Шишша // Тез. докл. Между нар. конф. "Обратные задачи математической физики". Новосибирск. 1998. - С. 18.
15. Бубнов, Б.А. К вопросу о разрешимости многомерных обратных задач для параболических уравнений. / Б.А. Бубнов // Новосибирск, Препринт/ АН СССР. Сиб. отд-ние. Выч. центр. 1989. , № 87. С. 714.
16. Валитов, И.Р. Обратные задачи для гиперболических уравнений: случай неизвестных коэффициентов, зависящих от времени. / И.Р. Валитов, А.И. Кожанов // Вестник НГУ. Серия Математика, механика, информатика. 2000. Т. 0, Вып.1. С.З 18.
17. Галахов, Е.И. Об одной нелокальной спектральной задаче; / E.H. Галахов, A.JI. Скубачевский // Диффоренц. уравнения. 1997. Т. 33, № 1. • С. 25 32.
18. Гордсзиани, Д.Р. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды / Д.Г. Гордезиани. Г.А. Авалишвили // Матем. моделир. ~ 2000. Т. 12, № 1. С. 94 103.
19. Джураев, Т.Д. О классификации и приведении к каноническому виду уравнений с частными производными третьего порядка / Т.Д. Джураев, Я. Попёлок // Диффоренц. .уравнения. 1991. - Т. 27, № К). - С. 1734 1745.
20. Джурасв, Т.Д. О некоторых краевых задачах для уравнений о частными производными третьего порядка / Т.Д. Джураев, Я.С. Шарифбаев // Краев.задачи для диф. ур.-Ташкепт: Фан 1972. С. 80 90.
21. Иоаннов, Н.И. Об обратной задаче одновременного определения коэффициентов теплопроводности и теплоемкости / II.И. Иванчов // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 3. С. G12 021.
22. Ильин, В.А. Нелокальная краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Докл. АН СССР. 1980. Т. 291, № 3. С. 534 - 539.
23. Ильин, В.А. Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Дифферепц. уравнения. 1987. - Т. 23, № 8. - С. 1422 - 1431.
24. Ионкии, И.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с пеклассическим краевым условием Н.И. Ионкин // Дифферепц. уравнения. 1977. Т. 13, .V" 2. С. 294 304.
25. Ионкии, Н.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двуточечными краевыми условиями Н.И. Ионкин, Е.И. Моисеев // Дифферепц. уравнения. 1979. Т. 15, .Y« 7. С. 1284 • 1295.
26. Искандеров, А.Д. Некоторые обратные задачи об определении правых частей дифференциальных уравнений / А.Д. Искендеров // Изв. АН Аз-ССР., Сер. физ.-техн. и мат. наук, 1970, № 2. С. 58 03.
27. Камынин, Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями / Л.И. Камынин // ЖВ-МиМФ. 1904. Т. 4, № 0. С. 1000 • 1024.
28. Кожанов, А.И. Задача определении решения и правой части специального вида в параболическом уравнении / А.И. Кожанов // Обратные задачи и информационные технологии. Югорский НИИ ипф. технологий, 2002.- Т. 1, № 3. С. 13 41.
29. Kooicauoe, А.II. Краевые задачи для уравнения математической физики нечетного порядка / А.И. Кожанов Новосибирск: Изд. НГУ, 1990. 132 с.
30. Кожанов, А.II. Краевые задачи и свойства решений уравнений третьего порядка / А.И. Кожанов / / Диффереиц. уравнения. • 1989. Т. 25, JY2 25.- С. 2143 2153.
31. Kooicauoe, А.И. О квазилинейных гиперболических и исевдогипсрболиче-ских уравнениях, описывающих движение электронов в сверхпроводниках / А.И. Кожанов // Краевые задачи для неклассических уравнений мат. физики. Новосибирск. 1989. С. 37 47.
32. Kooicauoe, А.И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи / А.И. Кожанов // Жури, выч.мат. и мат.физ. 2004. Т. 44, № 4. С. G94 - 71G.
33. Кожанов, A.II. Об одном нелинейном параболическом уравнении и связанной с ним обратной задаче / А.И. Кожанов // Мат. заметки. 2004. Т. 76, вып. G. С. 840 853.
34. KoDicauoe, A.II. О некоторых обратных задачах для параболического уравнения четвертого порядка / А.И. Кожанов, Г.А. Кирилова // Мат. заметки ЯГУ. 2000. Т. 7. выи. 1. С. 35 49.
35. Кож.апоа, А.И. Краевые задачи с интегральным граничным условием для многомерных гиперболических уравнений / А.И. Кожанов, JI.C. Пульки-на // Докл. РАН. 2005. Т. 401. № 5. С. 589 592.
36. Колтуновский, O.A. О разрешимости обратной задачи для параболического уравнения с финальным условием переопределения / O.A. Колтуновский // Матем. заметки ЯГУ. 2003. - Т. 10, вып. 1. С. 45 72.
37. Колтуновский, O.A. Обратная задача для параболического уравнения с интегральным условием переопределения / O.A. Колтуновский // Дальневосточная матем. школа-семинар н.м. акад. Е.В. Золотова: Те:;, докл. Владивосток. 2003. С. 31.
38. Либсрмаи, Г.М. Нелокальные задачи для квазилинейных параболических уравнений / Г.М. Либсрмаи , / Нелинейные задачи математической физики и смежные вопросы: В честь акад. O.A. Ладыженской, Новосибирск. 2002. Т. 1, С. 233 - 254.
39. Ломов, U.C. Равномерная сходимость биортогопалыюго ряда для оператора Шредиигсра с многоточечными краевыми условиями / И.С. Ломов // Дифферепц. уравнения. 2002. Т. 38, № 7. С. 890 - 896.
40. Нахушева, З.А. Об одной нелокальной задаче для уравнении в частных производных / З.А. Нахушева / Дифферепц. уравнения. 198G. Т. 22, № 1. С. 171.
41. Нахушсва, З.А. Первая и вторая краевые задачи для параболического уравнения второго порядка / З.А. Нахушева // Дифферепц. уравнения. 1990. Т. 20, № 11. С. 1982 1992.
42. Прилспко, А.И. О некоторых обратных задачах для параболических уравнении с финальным и интегральным переопределением / А.И. Прилспко, A.B. Костин // Мат. сб. 1992. Т. 183, № 1. С. 49 08.
43. Прилспко А.И. Свойства, решении параболических уравнении и единственность решении обратной задачи об источнике с интегральным переопределением / А.И. Прилспко, Д.С. Ткачеико // Жури, вычисл. матем. и матем. физики. 2003. - Т. 43, № 4. - С. 502 - 570.
44. Пулькииа, Л.С. Нелокальные задачи для гиперболических уравнений: дисс. докт. физ.-мат. наук: 01.01.02/ Л.С. Пулькииа Москва, 2003. с. 57.
45. Пулькииа, Л.С. Смешанная задача с нелокальным условием для гиперболического уравнения / Л.С. Пулькииа // Неклассич. ур-ия матем. физики. Новосибирск. Ин-т мат-ки 2002. С. 170 184.
46. Пулькииа, Л.С. Нелокальная задача с интегральным условием для гиперболических уравнений / Л.С. Пулькииа // Дифферепц. уравнения. 2004. Т. 40, № 7.-С. 887 892.
47. Рубинштейн, Л.И. К вопросу о процессе распространения тепла в гетерогенных средах / Л.И. Рубинштейн /,/ Изв. АН СССР. 1918. Т. 12, К0- 1. С. 27 - 45.
48. Самарский, А.А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнении / А.А. Самарский // Диффереиц. уравнении. -- 1980. T. 1G, № 11. С. 1925 1935.
49. Смирнов, В.И. Курс высшей математики. Т. 4. / В.И. Смирнов Москва: Гос.изд.техн.-теор.лит., 1951. 804 с.
50. Скубачсвский, А.Л. О спектре дифференциальных операторов м областью определения, не плотной в Ь2{0,1) ,/ А.Л. Скубачсвский, Г.М. Стеб-лов // Докл. АН СССР. 1991. Т. 321, № G. С. 1158 - 11G3.
51. Соболев, С.Л. Уравнения математической физики / С.Л. Соболев М.: Наука, 19GG. 413 с:.
52. Су вейка, И.В. О разрешимости смешанных задач для одного нестационарного уравнения / И.В. Сувейка // Мат. исслед. Кишинёв. 1980., № 58. С. 124 144.
53. G0. Чудновский, А.Ф. Теплофизика, почвы / А.Ф. Чудновский М.: Наука, 197G. 352 с.
54. G1. Шелухии, В.В. Задача со средними по времени данными для нелинейных параболических уравнений / 13.В. Шелухии // Сиб. мат. жури. 1991. -Т. 32, № 2. С. 154 - 1G5.
55. Шелуши, В.В. Нелокальные но времени задачи для уравнении гидродинамики и вариационные принципы: дна*. . докт. физ.-мат. паук: 01.01.02 / В.В. Шелухин Новосибирск, 1992.
56. Шкаликов, А.А. О базиспости собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов с интегральными краевыми условиями / А.А. Шкаликов // Вестник МГУ сер. 1 мат., мех. 1982., № 6. С. 12 21.
57. Шхапуков, М.Х. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений третьего порядка: дисс. . докт. физ.-мат. наук: 01.01.02 / М.Х. Шхапуков Нальчик, 1985. с. 225.
58. Beilin, S. Existence of solutions for one-dimensional wave equations with non local conditions / S. Beilin // Electronic Journal of Differential Equations. 2001., No. 76. P. 1 - 8.
59. Bouziani, A. Strong solution for a mixed problem with non local condition for certain pluriparabolie equation ' A. Bouziani // Hiroshima Mathematical Journal. 1997. V. 27, No. 3.
60. Bouziani, A. Solution forte d'un problem mixte; avec conditions lion locales pour une classe d'équations hyperboliques. / A. Bouziani // Bulletin de la Classe des Sciences. Academic Royale de; Belgique. 1997. V. 8, P. 53 70.
61. Bouziani, A. Oil a class of parabolic equations with non local condition / A. Bouziani // Bulletin de la Classe» ele;s Sciences. Academic; Royale de; Belgique. 1999. V. 10, No. 6. P. 61 77.
62. Bouziani, A. On a third order parabolic equation with a nonlocal boundary condition / A. Bouziani // J. Appl. Math. Stoc:hactic Anal. 2000. V. 13.1. P. 181 195.
63. Bouziani, A. Solvability of nonlinear pseudoparabolic equation with a nonlocal boundary condition / A. Bouziani // Nonlinear Analysis. 2003.1. V. 55. P. 883 904.
64. Douziani, A. Initial boundary value problems for a class of pseudoparabolic equations with integral boundary conditions / A. Bouziani // J. Math. Anal. Appl. 2004. V. 291. P. 371 38G.
65. Bouziani, A. Probleme mixte avee conditions integrales pour une classe d'cquations paraboliques / A. Bouziani. N-E. Benouar // C.R. Acad.Sci.Paris. -- 1995. V. 321, No. 1. P. 1177 1182.
66. Bouziani, A. Mixed problem with integral conditions for a third order parabolic equation / A. Bouziani. N-E. Benouar // Kobe Journal of Mathematics. -- 1998. V. 15. No. 1. P. 47 - 58.
67. ByszeAuski, L. Theorem about existence and uniqueness of continuous solution of nonlocal problem for nonlinear hyperbolic equation / L. Byszewski // Applicable Analysis. 1991. V. 10. P. 173 180.
68. Calistru, N. An Sti./ N. Calistru ' Univ. .Tasi. Sec. 1978, la, 24, No. 1.
69. Cannon, J.II. The Solution of the Heat Equation Subject to the Specification of Energy / J.R. Cannon // Quart. Appl. Math. 19G3. V. 21. P. 155 1G0.
70. Cannon J.B. The classical solution of the one-dimentional two-phase Stefan problem with energy spesification / J.R. Cannon, Van der Hoek // Ann. Math.Pura ed Appl. 1982. V. 130. P. 385 - 398.
71. Cannon J.R. The one-phase; Stefan problem subject to the spesification of energy / J.R. Cannon, Van der Hoek // J. Math.Anal, and Appl. 1982. V. 8G, No. 1. - P. 281 291.
72. Chabrvwski, J. On nonlocal problems for parabolic equation / J. Chabrowski // Nagoya Math. Л. 1984, No. 93. P. 109 131.
73. Chabrowski, J. On the nonlocal problem with a functional for parabolic; equation / J. Chabrowski // Funkcial. Ekvac. Ser. Intern. 1984, No. 27.1. P. 101 123.
74. Cotton, D. D. Colton.J.// Differential Equations, 1978. V. 27, No. 1.
75. Kozhanov, A.I. Composote Type Equations and Inverse Problems / A.I. Kozhanov VSR Utrecht, 1999.
76. Krall, A.M. The development- of general differential operators and general differential boundary systems ■ A.M. Krall /7 Rochy Mountain J. Math. -1975, No. 4. P. 493 542.
77. Mesloub, S. On a class of singular hyperbolic equation with a weighted integral condition / S. Mesloub, A. Bouziani '/ Internat,. J. Math. 1999. V. 22, No. 3. P. 511 519.
78. Mesloub, S. a three-point boundary value problem with a nonlocal condition for a hyperbolic equation / S. Mesloub. S.A. Messaoudi // Electronic .Journal of Differential Equations. 2002. No. 02. P. 1 13.
79. Rektorys, K. Die Losung der gemischten Randwertaufgabe und des Problems mit einer Integralbedingung "im Ganzeil11 fur eine nichtlineare parabolische Gleichung mit der Nctzinethode / K. Rektorys // Чехосл. метем, жури. 1903, No. 2. P. 189 208.
80. Сафиуллова, P.P. Нелокальные задачи для одного класса уравнений составного типа / P.P. Сафиуллова // Мат. заметки ЯГУ, 2004. Т. 11, № 2. - С. 57 - 72.
81. Сафиуллова, P.P. О некоторых нелокальных задачах для нестационарных уравнений второго порядка . P.P. Сафиуллова // Информ. техн. и обрати, задачи ран,, природопольз. Ханты Мансийск, -- 2005. С. 07 - 70.
82. Сафиуллова, P.P. Краевая задача с интегральными условиями для одного класса уравнений сост. тина / P.P. Сафиуллова // Материалы международной конференции. "Тихонов и современная математика": секция "Дифференциальные уравнения". Москва, 2000. С. 229.
83. Сафиуллова, P.P. Нелокальная краевая задача с интегральными условиями для одного класса, уравнении составного типа / P.P. Сафиуллова // "Современные проблемы дифф. уравнений, теории операторов и космических технологий". Казахстан, 2000. С. 104 105.
84. Сафиуллова, P.P. Краевая задача с интегральными условиями для одного класса уравнений сост. типа / P.P. Сафиуллова // Международная научная студенческая конференция. Новосибирск., 2000. С. 24.
85. Сафиуллова, P.P. Краевая задача с интегральными условиями для дифференциального уравнения третьего порядка / P.P. Сафиуллова // Вест-пик НГУ (принята в печать).
86. Safiullova, R.R. The boundary value problem for one class of composite type equations / R.R. Safiullova // Inverse1 and I'll Pexseul Problems (принята в печать).
