Моделирование переходных процессов в течениях жидкости в рамках нелокальной гидродинамики тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ТЕЧЕНИЯХ ЖИДКОСТИ В РАМКАХ НЕЛОКАЛЬНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ

01 02 05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Никулин Илья Андреевич

С анкт-Петербург

2007 г

003160580

Работа выполнена на кафедре физической механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

доцент Хантулева Татьяна Александровна

Официальные оппоненты

- доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник Цибаров Валерий Афанасьевич

- кандидат технических наук,

старший научный сотрудник Скопин Николай Александрович

Ведущая организация - Балтийский государственный технический университет "Военмех" им Д Ф Устинова

Защита состоится <М_ иоя<Гря 2007 г в уГ ч оо мин на заседании диссертационного совета Д 212 232 30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр , д 28

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им М Горького Санкт Петербургского 'государствс-лого уз^верситета: по адресу 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб , 7/9

Автореферат разослан 03 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета

С А Зегжда

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена развитию нелокально-гидродинамического подхода к описанию неравновесных процессов переноса в области построения моделей пространственно-временных переходных процессов, характеризующихся изменением механизма переноса на различных этапах развития процесса

Актуальность проблемы Одной из основных проблем современной гидромеханики является проблема единообразного описания движения сплошной среды, связанная, прежде всего, с выбором замыкающих соотношений, дополняющих уравнения баланса Наиболее ярко эта проблема проявляется для задач, лежащих за границей применимости классических моделей, когда выбор тех или иных замыкающих уравнений является нетривиальной задачей Большинство имеющихся гидродинамических моделей неравновесных процессов справедливы только в достаточно узком диапазоне параметров, а попытки их обобщения на более широкие классы задач, как правило, приводят к весьма громоздким построениям, теряющим физическую наглядность В первую очередь, зто относится к переходным процессам, таким как ламинарно-турбулентный переход Эаи процессы характеризуются весьма сложным механизмом взаимодействия в среде, который существенно зависит от стадии процесса, от режима его протекания, от внешних условий нагружения Одним из путей решения данной проблемы является развитие нелокальной гидродинамики как фундаментальной теории, базирующейся на строгих результатах неравновесной статистической механики, и как гибкого аппарата решения задач, применимого в силу своей самосогласованности в тех случаях, когда строгая модель явления либо не известна, либо принципиально не может быть построена априори

В диссертации применяется нелокально-гидродинамический подход, предложенный на кафедре физической механики Санкт-Петербургского

государственного университета Основополагающими для данного научного направления стали результаты Филиппова Б В и Хантулевой Т А, которым удалось построить математическую модель интегральных ядер переноса в уравнениях обобщенной гидродинамики Зубарева Д Н Применение нелокально-гидродинамического подхода к описанию таких неравновесных процессов переноса как течения многофазных сред и сильноградиентные течения было проведено в работах Хантулевой Т А и Родионова А А При этом изучалось влияние нелокальных корреляций, возникающих в среде в неравновесных условиях, на механизм тепло-, массопереноса Следующим этапом развития нелокальной гидродинамики является разработка модели, учитывающая возможность изменения пространственно-временных корреляционных масштабов, другими словами, возможность изменения механизмов переноса на различных стадиях процесса

Цель работы Целью работы является построение нелокально-гидродинамических моделей пространственно-временных переходных процессов с учетом динамически меняющейся внутренней структуры течения Для достижения данной цели в ходе выполнения работы необходимо было решить следующие задачи, а именно, проанализировать современные методы описания переходных процессов, развить и уточнить методические основы построения нелокальных моделей переходных процессов, разработать соответствующую вычислительную процедуру решения задач нелокальной гидромеханики и решить ряд модельных тестовых задач гидродинамики (задача о плоской затопленной струе, задача Куэтта) с использованием развиваемого математического аппарата

Методы исследования В работе использовались методы математического анализа, математической физики, гидро- и термодинамики необратимых процессов переноса, математического моделирования для построения и уточнения вида зависимости параметров интегральных ядер переноса от распределений гидродинамических полей, методы теории адаптивного

управления для описания изменения структурных параметров на различных стадиях протекания переходного процесса

Научная новизна Новизна работы состоит в обосновании методических положений по построению моделей переходных процессов в рамках нелокальной гидродинамики Впервые в работе предложена и реализована вычислительная процедура с наличием обратных связей между разными масштабными уровнями описания на различных стадиях процесса Реализация методов управления по структурным параметрам позволяет описать многообразие сценариев эволюции гидродинамической системы в переходных режимах

Основные результаты работы, выносимые на защиту

1 Метод построения нелокально-гидродинамических моделей пространственно-временных переходных процессов

2 Итерационная самосогласованная вычислительная процедура решения задач нелокальной гидродинамики переходных процессов, реализованная для описания ламинарно-турбулентного перехода в плоской затопленной струе жидкости

3 Модель нестационарного течения Куэтта в нелокальной постановке с наличием динамически изменяющегося механизма взаимодействия потока с твердой границей

Практическое значение В качестве практического приложения результаты работы могут быть использованы для расчета реальных высокоскоростных течений сред в трубах, каналах и струйных потоках, а также для создания новых вычислительных комплексов, оперирующих современными достижениями нелокальной теории Результаты работы вошли в отчеты за 2005 и 2006 годы по НИР "Поисковые исследования и разработка новых методов управления гидродинамическими полями образцов ВВТ на основе использования эффекта вихре-волнового взаимодействия с жидкостью в целях улучшения их тактико-технических характеристик", выполняемой СПбНЦ РАН

Достоверность подученных результатов В основании нелокальной гидродинамики лежат строгие результаты неравновесной статистической механики, а использованное в работе модельное выражение для интегрального ядра переноса успешно применялось ранее при описании ряда неравновесных гидродинамических явлений Новый подход к постановке и решению задач нелокальной гидродинамики был апробирован на ряде традиционных тестовых задач, а именно, задаче о плоской струе жидкости и задаче о течении Куэтта Решения, полученные для этих задач, их анализ и качественное сравнение с известными экспериментальными результатами позволили сделать вывод о том, что развиваемый подход адекватно описывает течения в области ламинарно-турбулентного перехода

Публикации Основные результаты работы были опубликованы в ряде статей [1-5], в том числе в одном издании по перечню ВАК [5]

Апробация работы Основные результаты работы были представлены на ряде конференций Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики (СПб, СПбНЦ РАН, 2004), 14-ая Зимняя школа по механике сплошных сред (Пермь, ИМСС УрО РАН, 2005), Устойчивость и процессы управления (СПб, СПбГУ, 2005)

Структура работы Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, состоящего из 70 наименований Общий объем работы составляет 135 страниц текста и 13 иллюсграций

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе излагаются методические основы построения нелокальных моделей переходных процессов при наличии обратных связей между гидродинамическим и мезоскопическим структурным уровнями описания Для этого приводится краткое описание нелокально-гидродинамического подхода, а также основных путей к самосогласованному замыканию системы уравнений нелокальной гидромеханики Далее рассматривается возможность применения современных методов теории управления для описания эволюции структурных параметров и приводится разработанная итерационная процедура (рис 1) решения задач нелокальной гидромеханики, которая предназначается для описания процесса ламинарно-турбулентного перехода в течениях жидкости

Основные стадии предлагаемого метода заключаются в следующем необходимо оценить величину производства энтропии для начального и конечного (реального или гипотетического) состояния системы, и таким образом определить, является ли рассматриваемый процесс переходным,

построить механизм регуляции, переводящий систему из начального режима в конечный - наиболее выгодный с точки зрения минимизации интегрального производства энтропии,

определить основные закономерности влияния нелокальных корреляций в среде на распределения гидродинамических полей и уточнить, если требуется, конкретный вид модельного выражения для интегрального ядра переноса,

поставить начальные условия для системы интегро-дифференциальных нелокальной гидромеханики В большинстве случаев необходимо по известному распределению гидродинамических переменных, например по профилю скорости среды, согласованным образом подобрать начальные значения нелокальных параметров,

применить разработанную вычислительную процедуру и рассчитать изменение как макроскопических (гидродинамических), так и мезоскопических (структурных) переменных по времени или пространству

Рис I - Схема вычислительной процедуры

Существенную роль в построении нелокально-гидродинамических моделей переходных процессов играет механизм самосогласованного замыкания задачи, с помощью которого описывается зависимость модельных параметров нелокальности от распределения гидродинамических полей Замыкание задач в рамках нелокально-гидродинамического подхода должно производиться с учетом непрерывности гидродинамических полей вплоть до границ течения При этом выполнение граничных условий может быть реализовано только за счет наличия структурных параметров Оставшиеся мезоскопические степени свободы могут быть определены при помощи принципа минимизации величины производства энтропии в системе по

параметрам нелокальности Данный гипотетический принцип является обобщением теоремы Пригожина о стационарных неравновесных состояниях на нестационарные процессы Формализация принципа производится при помощи модифицированного метода скоростного градиента, который заключается в том, что скорость изменения управляющих параметров (параметры нелокальности) пропорциональна градиенту от минимизируемого функционала При этом граничные и интегральные условия, наложенные на систему, определяют траекторию движения в пространстве параметров нелокальности, а уравнения метода скоростного градиента задают скорость спуска по данной траектории по поверхности производства энтропии в сторону уменьшения данной величины

В свою очередь, изменение параметров нелокальности приводит к изменению механизма передачи импульса в среде (во всем диапазоне от диффузионного до волнового) Такой самосогласованный подход позволяет рассчитать эффекты, связанные с явлением структуризации (самоорганизации) среды в неравновесных условиях, и описать многообразие возможных вариантов эволюции гидродинамической системы

Во второй главе приведена постановка задачи об истечении плоской сгруи из щели конечного размера в рамках нелокальной гидродинамики Система уравнений, определяющих изменение гидродинамических и структурных параметров по продольной координате (х), включает в себя (в безразмерных переменных)

- уравнение неразрывности для продольной (и) и поперечной (у) компонент скорости несжимаемой среды (> — поперечная координата)

Э и Эу Эх ду

- уравнение баланса импульса

и

ди ди _ 1 Эх Эу Б-е

где фигурируют параметры нелокальности в (радиус нелокальных корреляций), У (параметр поляризации), 5 (нормировочный параметр, играющий роль эффективной вязкости), а также введено число Рейнольдса Яе, - уравнения модифицированного метода скоростного градиента, при помощи которых описывается закон внутреннего управления обеспечивающего обратную связь между двумя (макроскопическим и мезоскопическим) уровнями описания

£ = -<¥„0, у = -й?уУ,С>,

"(."(ау1 { п(у'-у-ч{у))2Хдиди

а = £ \ ¿у\ —-ехр —^-^-——-

Д, ь е ду ду

V /

Здесь символом V обозначен градиент по соответствующей переменной от величины интегрального производства энтропии СТ (минимизируемый функционал процесса), точкой сверху - полная производная по времени, а с1г и ¿у представляют собой эмпирические постоянные, задающие скорость протекания процессов в пространстве структурных (нелокальных) переменных

В предложенной модели учитываются наличие промежуточного (структурного) уровня описания, наличие согласованных взаимосвязей между гидродинамическими и нелокальными переменными, принципы теории адаптивного управления для описания изменения структурных параметров, параметров нелокальное™ Таким образом, модель позволяет учесть изменение механизма перераспределения напряжений поперек потока в зависимости от продольной координаты, связанное с зарождением и ростом нелокальных корреляций в среде, и описать струйное течение в области ламинарно-турбулеитного перехода Было проведено исследование основных закономерности влияния нелокальных корреляций на изменение профиля скорости в струе и получено численное решение задачи о течении в области перехода

В качестве критерия перехода был апробирован принцип, согласно которому предпочтительный режим течения (ламинарный или турбулентный)

характеризуется меньшим значением величины интегрального производства энтропии С, чем гипотетический противоположный режим Расчет изменения величины СГ по продольной координате (рис 2) для предельных режимов течения позволил выявить точку бифуркации, переключения с ламинарного режима на турбулентный, положение которой хорошо согласуется с экспериментальными данными

Рис 2 - График теоретической зависимости интегрального производствазшропии (7 от продольной координаты X, сплошная линия - ламинарный режим нггрих-пункгир - турбулентный режим

В третьей главе рассмотрен критерий ламинарно-турбулентного перехода применительно к сдвиговому течению жидкости (течение Куэтга) Показано, что при наличии дополнительных предположений относительно связи двух критериальных параметров (заданное сдвиговое напряжение и толщина ламинарного подслоя) теория позволяет рассчитать критическое число Рейнольдса

Далее приведена постановка задачи о разгоне течения Куэтга под воздействием постоянного сдвигового напряжения на границе в рамках нелокальной гидродинамики Система уравнений, определяющих изменение гидродинамических и структурных параметров во времени t, включает в себя - уравнение баланса импульса для продольной скорости и

Э и д Э/ Эу

Л/2 , ,

5 Г ^ехр

р

-1,/2 е

^-■К-уЫ) |Эи |

ду; '

где параметры нелокальности, также зависящие от времени, имеют следующие размерности [е]==[у]=ь (длина), Р]=Ь2Т 1 (кинематическая вязкость), - одно (в силу симметрии задачи) условие на границе

' ж{Г-к12-у{к12)У е2

т

ау'

ехр

-v 2 £

Ч2 Л

Э и

где представляет собой напряжение сдвига, заданное на границах течения у = ±к/ 2,

- уравнения модифицированного метода скоростного градиента с одной эмпирической постоянной с/, в которых градиент от величины производства энтропии О1 вычисляется вдоль траектории в пространстве параметров нелокальности (е,у), что обозначено символом V'

о = 5 | ¿у | —ехр

-Л/2 -¡,/2 £

Эи ди ду'ду

Построенная модель ламинарно-турбулентного перехода в течении Куэтта описывает механизм изменения взаимодействия потока с твердой границей за счет возникновения и развития структур (слоев), наличие которых обуславливается нелокальными корреляциями в среде При этом при рассмотрении режима разгона жидкости из состояния покоя различные варианты эволюции системы в пространстве параметров нелокальности приводят к формированию существенно разных профилей скорости При отсутствии корреляций устанавливается классический линейный профиль скорости Изменение корреляционных характеристик в среде согласно принципу минимизации производства энтропии приводит к установлению нелинейных (близких к степенным) профилей Различный характер поведения структурных параметров в зависимости от текущего макроскопического состояния нроиллюстрирован на рис 3, где показаны поверхность производства энтропии и траектория движения системы в пространстве параметров нелокальное ш для различных профилей скорости среды и = и (у)

3 к-

РИС; 3 - Тра^КГОрКЦДиДОеННЯ СИСТЕМЫ /'. <* I н Г^'си:фа||стъ: нс.кчЗильнисти

¡0 Для (снкснчесмго нрофнич г I - I у Ь) дли начального профили | ■ | . у

Далее при помощи метода установления, учитывающего возможность подстройки структурных параметров под режим течения, было получено решение задачи о поиске стационарных некласснческнх решений задачи Куэтта в рамках нелокальной гидродинамики. Такой подход является упрощением предложенного в первой главе метода построения нелокальных моделей переходных процессов* позволяющим при этом качественно описать возможные сценарии перехода к стационарному неравновесному состоянию.

8 заключении работы сформулированы основные выводы диссертация.

В диссертации разработан новый метод построения нелокально-гидродинамических моделей, который предназначен для моделирования переходных процессов в течениях жидкости. Характерной особенностью метода является наличие двух уровней описания, поскольку помимо гидродинамического макроскопического уровня существенный вклад в поведение системы вносит структурный мегаскопический уровень описания. Наличие обратной связи, когда изменение гидродинамических и структурных переменных определятся друг через друга, предполагает возможность проявления эффектов самоорганизации и саморегуляции в ходе протекания неравновесного процесса, которые и являются признаками изменения режима течения Таким Образом, учет генерации и эволюции внутренней структуры

среды под воздействием сильно неравновесных условий протекания процесса переноса дает возможность применять разработанный метод для создания моделей течений, принципиально не описывающихся классической гидродинамической теорией При этом самосогласованный механизм взаимодействия структурного и гидродинамического уровней системы позволяет создавать "гибкие" модели переходных процессов и, следовательно, открывает возможность для единообразного описания широкого класса сложных гидродинамических явлений Для применения предложенного метода к решению конкретных задач гидродинамики, связанных с ламинарно-турбулентным переходом в течениях жидкости, была разработана самосогласованная итерационная процедура

Для описания явления ламинарно-турбулентного перехода в струйных и сдвиговых течениях в работе были построены модели плоского струйного течения и течения Куэтта, учитывающие изменение механизма взаимодействия внутри среды на разных стадиях процесса

Нелокально-гидродинамическая модель струйного течения описывает течение в области перехода, в которой происходит потеря устойчивости ламинарного режима течения (появление флуктуаций скорости) и зарождение корреляций в среде, определяющих турбулентный режим течения при удалении от источника струи Расчет поведения параметров нелокальности, характеризующих внутреннюю структуру среды, подтвердил предположение о возникновении и росте нелокальных корреляций в среде при переходе к турбулентности, а использование разработанной вычислительной процедуры позволило получить профили скорости среды в переходной области и провести качественное сравнение расчетных и экспериментальных данных

В задаче о течении Куэтта (в плоской геометрии) исследован критерий перехода, который предназначен для выявления предпочтительного (реализующегося) режима течения путем оценки величины интегрального производства в системе Предпочтительный режим характеризуется меньшим значением производства энтропии, чем нереализующийся режим,

гипотетически продолженный в область существования предпочтительного режима Полученное методом установления решение задачи о поиске стационарных состояний в течении Куэтта в рамках нелокальной гидродинамики позволило единообразно описать как ламинарные (линейный профиль скорости), так и турбулентные (профиль, близкий к степенному) состояния

Важную роль в развиваемом подходе играет анализ поведения величины производства энтропии в системе, который, во-первых, позволяет сформулировать критерия ламинарно-турбулентного перехода, во-вторых, определяет механизм регуляции (управления), переводящий систему из одного состояния в другое, и, наконец, путем применения современных методов теории адаптивного управления для минимизации производства энтропии дает возможность самосогласованно описать эволюцию внутренней структуры

Список основных публикаций по теме диссертационной работы 1 Хантулева Т А , Никулин И А Высокоскоростное движение пластины в рамках самосогласованного нелокально-гидродинамического подхода // Межвузовский сборник статей «Модели неоднородных сред» (Физическая механика 8), СПб , изд-во СПбГУ, 2004, с 196-218

В работе Хантулевой ТА принадлежит модель интегрального ядра переноса и постановка задачи о высокоскоростном движении тела в жидкости (стр 196-206), а частное решение задачи и его параметрический анализ (стр 197-218) - Никулину И А

2) Хантулева Т А, Никулин И А Структурная устойчивость высокоскоростного движения тела в жидкости // Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики Труды конф , СПб 2004 - с 269-273

В работе идея применения принципов теории управления для описания эволюции структурных нелокальных параметров принадлежит Хантулевой ТА, (стр 269-270), чисченный анализ возможных сценариев эволюции системы -Никулину И А (стр 271-273)

3) Хантулева Т А , Никулин И А Применение кибернетических методов в неравновесных задачах механики // 14-ая Зимняя школа по механике сплошных сред Тезисы конф, Пермь 2005 -с 235

В работе идея применения принципов теории управления для описания эвочюции структурных нелокальных параметров принадлежит Хантулевой ТА , метод постановки и решения задач в рамках нелокальной гидродинамики — Никулину И А

4) Хантулева Т А, Никулин И А Неравновесные процессы переноса с позиций теории управления // Устойчивость и процессы управления Труды конф, СПб 2005 -с 1212-1221

В работе обсуждение новых принципов замыкания задач нелокальной гидродинамики принадлежит Хантулевой ТА (1212-1217), численная реализация метода скоростного градиента для описания эволюции структурных параметров — Никулину И А (стр 1218-1221)

5) Никулин И А, Хантулева Т А Эволюция структурных параметров в рамках нелокально-гидродинамической теории // Вестник СПбГУ, СПб , изд-во СПбГУ, 2006, сер 1, вып 3, стр 102-108

В работе Хантулевой ТА принадлежит общее обсуждение результатов (стр 102-103), а метод построения нелокально-гидродинамических моделей на основе разработанной самосогласованной итерационной процедуры и модель нестационарного течения Куэтта — Никулину И А (стр 104-108)

Подписано к печати 19 09 07 Формат 60x90 Аб Бумага офсетная Гарнитура Тайме Печать ризографическая Печ л 1,0 _Тираж 100 экз Заказ 4048_

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр , 26 Тел (812)428-4043,428-6919

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОПИСАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАМКАХ НЕЛОКАЛЬНО-ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ.

1.1 Уравнения нелокально-гидродинамической теории.

1.2 Различные подходы к замыканию уравнений нелокальной гидромеханики.

1.3 Метод построения нелокальных моделей переходных гидродинамических процессов.

Выводы по 1-ой главе.

ГЛАВА 2. НЕЛОКАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ СТРУЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ.

2.1 Постановка задачи о плоской струе.

2.2 Основные закономерности развития струйного течения при наличии нелокальных корреляций в среде.

2.3 Ламинарно-турбулентный переход в струйном течении.

Выводы по 2-ой главе.

ГЛАВА 3. НЕЛОКАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ СДВИГОВЫХ ТЕЧЕНИЙ.

3.1 Ламинарно-турбулентный переход в течении Куэтта.

3.2 Постановка задачи о разгонном сдвиговом течении.

3.3 Решение задачи Куэтта в рамках нелокальной гидродинамики.

Выводы по 3-ей главе.

В настоящее время гидромеханика представляет собой обширную и хорошо развитую область научных знаний, в рамках которой разработано множество моделей, предназначенных для решения фундаментальных и прикладных задач. Для того, чтобы представить все многообразие аппарата современной гидромеханики достаточно упомянуть следующие модели: ньютоновскую модель среды и, более широко, уравнения Навье-Стокса, базовую модель механики вязкой жидкости; струйные и кавитационные модели, опирающиеся на модель идеальной жидкости; различные модели турбулентности, разработанные для описания реальных течений жидкости и газа; класс реологических моделей среды, предназначенных в основном для описания жидких сред, проявляющих упругие свойства. Эти и другие модели с успехом изучаются и применяются как в интересах развития науки как таковой, так и в интересах решения практических задач, развития новых технологий.

Тем не менее, проблема единообразного описания движения сплошной среды, заключающаяся прежде всего в выборе замыкающих соотношений, дополняющих уравнения баланса, не может считаться полностью решенной. Наиболее ярко эта проблема проявляется для задач, лежащих за границей применимости общеупотребительных моделей, когда выбор тех или иных замыкающих уравнений является весьма нетривиальной задачей, по сложности своей порой превосходящей трудности, связанные с непосредственным решением сформулированной математической задачи. В качестве характерного примера здесь можно привести ситуацию, сложившуюся в области вычислительной гидроаэромеханики. С одной стороны, наблюдается активное развитие численных методов и создание на их базе универсальных пакетов программ, использующих последние достижения в области компьютерных технологий для решения практических задач. Безусловно, это является существенным продвижением в развитии инструментария исследователя-гидромеханика. С другой стороны, проблема замыкания уравнений баланса в подобных пакетах программ по существу сведена к волюнтаристскому выбору той или иной встроенной в данный вычислительный комплекс модели. Таким образом, современная гидромеханика, и прежде всего гидромеханика вычислительная, предлагает исследователю достаточно широкий выбор моделей, но содержит очень мало указаний на то, при каких условиях следует применять ту или иную модель. Фактически все перечисленные выше модели справедливы только в достаточно узком диапазоне параметров, а попытки их обобщения на более широкие классы задач, как правило, приводят к весьма громоздким построениям, теряющим физическую наглядность, присущую базовым моделям. В первую очередь, это относится к реологическим моделям неньютоновских жидкостей [3, 43], большинство из которых привязаны к свойствам конкретного вещества, и к моделям турбулентности [31], в рамках которых, как правило, приходится выделять условные области течения с различными физическими свойствами (ламинарный подслой, сдвиговая пристеночная турбулентность, свободная турбулентность), либо принимать в рассмотрение большое количество корреляционных параметров, методы моделирования которых в значительной степени интуитивны.

Отдельно следует остановиться на проблеме описания переходных процессов, когда применение классических моделей невозможно в принципе. Переходные процессы, такие как трансзвуковые течения в следе за движущимся телом, упруго-вязко-пластические течения деформируемых твердых тел, течения с ламинарно-турбулентным переходом, характеризуются весьма сложным механизмом взаимодействия в среде, который может существенно зависеть от стадии процесса, от режима его протекания, от внешних условий нагружения. Известно, например, что спектр масштабов турбулентности в области чисел Рейнольдса близких к критическому в значительной степени определяется граничными условиями задачи, в то время как ламинарные потоки или развитые турбулентные течения при больших числах Рейнольдса часто обладают автомодельными свойствами [24]; механизм обмена импульсом в пристеночной области течения сильно отличается от механизма, характерного для свободных турбулентных потоков [62]; в области перехода могут сосуществовать участки течения как с ламинарными, так и турбулентными свойствами [6]. Очевидно, что подобные переходные явления не могут быть описаны в рамках моделей, разработанных для их предельных ситуаций. Поэтому задача определения границ применимости тех или иных подходов и развития более общего и универсального гидромеханического аппарата представляется в настоящее время весьма актуальной.

Одним из путей решения данной задачи является развитие нелокальной гидродинамики как фундаментальной теории, базирующейся на строгих результатах неравновесной статистической механики [17, 18], и как гибкого аппарата решения задач, который в силу своей самосогласованности применим и в тех случаях, когда строгая модель явления либо не известна, либо принципиально не может быть построена априори, а должна определяться непосредственно в ходе решения задачи. Фактически вычислительная гидромеханика развивается именно в этом направлении [7], поскольку на смену моделям, основанным на результатах статистической и феноменологической теорий турбулентности, приходят модели, в которых большое значение придается разделению масштабов описания, выделению промежуточных мезоскопических уровней, учету эволюции крупных структур. Таким образом, происходит постепенный отказ от "жестких" моделей, фиксированным способом определяющих турбулентную вязкость как локальную функцию гидродинамических переменных, в пользу моделей, обладающих более гибкими, и в частности, нелокальными свойствами. Однако в настоящее время подобные модели опираются все же на общие принципы навье-стоксовской гидромеханики, которая применима лишь для описания слабонеравновесных процессов. Применение таких моделей для описания переходных процессов, равно как и стремление описать турбулентность путем численного решения трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса, является, вообще говоря, необоснованным. Поэтому на основе неравновесной статистической механики необходимо развивать методы моделирования в гидромеханике с учетом нелокального взаимодействия, предполагающего возможность изменения механизмов обмена в среде. Выполненная работа направлена в целом на реализацию именно этого научного направления.

Наиболее распространенным подходом к введению пространственно-временного нелокального взаимодействия в уравнения гидромеханики является построение моделей с эффектами памяти [3, 20], когда поведение гидродинамической системы определяется не только ее текущим состоянием, но и всей предысторией процесса. Эффекты пространственных корреляций рассмотрены в работах [23, 42, 67], в которых предложены простейшие модельные выражения для интегральных ядер переноса, обобщающих коэффициенты переноса для неравновесных процессов. Однако подобные модели оказались непригодными для единообразного описания поведения среды во всей области течения при наличии твердых границ. Отправной точкой в развитии нелокально-гидродинамического подхода, учитывающего специфику постановки граничных задач гидродинамики, можно считать работу Филиппова Б.В., Хантулевой Т.А. [45], выполненную на математико-механическом факультете СПбГУ на кафедре физической механики. В данной работе были систематически изложены и обоснованы принципы замыкания уравнений баланса, построения нелокальных моделей гидромеханики, моделирования пространственных корреляций, а полученные результаты применены к решению ряда задач газовой динамики в переходных режимах и задач многофазной механики. Дальнейшее развитие нелокальной теории можно проследить по работам [40-41, 49-56]. В этот период были расширены границы применимости теории, простирающиеся от динамики газа [50] до высокоскоростных процессов в твердых телах [56], уточнен физический смысл модельных параметров, параметров нелокальности [52], разработаны методы решения стационарных задач на основе итерационных процедур специального вида [54]. Наиболее полное и последовательное изложение результатов данных исследований приведено в докторской диссертации Хантулевой Т.А. [55].

В настоящее время нелокальная гидромеханика представляет собой достаточно хорошо проработанный аппарат, с успехом применяемый к качественному анализу процессов, протекающих в условиях далеких от локального равновесия. Имеются методики построения замыкающих соотношений, в которых диссипативные термодинамические потоки связаны с обобщенными термодинамическими силами пространственно-нелокальными связями, выражающимися через интеграл по пространственной переменной с некоторой весовой функцией -интегральным ядром. Выявлен и изучен класс модельных выражений для интегральных ядер переноса, удовлетворяющий естественным требованиям единообразного описания течения вплоть до границы. Сформулированы основные принципы самосогласованного определения параметров нелокальных ядер, которые реализуют подстройку модели процесса под конкретные гидродинамические условия. Выявлено соответствие между параметрами нелокальности и внутренней структурой среды.

Основные результаты применения нелокальной теории к решению ряда задач массо- и теплопереноса, таких как проблема описания высокоскоростного обтекания тел жидкостью или газом, течений гетерогенных сред, высокоградиентных течений сред с внутренней структурой, формирования мезоструктуры в динамически деформируемых средах, были получены с учетом наличия в среде конечных постоянных пространственных корреляций. Следующим этапом развития нелокальной гидродинамики должна явиться разработка модели, учитывающая возможность изменения корреляционных масштабов, другими словами, возможность изменения механизмов переноса в ходе процесса. Подобная "гибкая" модель даст принципиальную возможность описания переходных процессов в неравновесных условиях и таким образом позволит избежать вышеупомянутой проблемы выбора одной из "жестких" моделей. Под переходными процессами в данном контексте следует понимать процессы, которые на разных своих стадиях характеризуются разными закономерностями протекания, что связано как с изменением характера взаимодействия в самой среде, так и изменением взаимодействия с твердой границей течения. Примером процесса такого рода является перемежающаяся турбулентность, при которой в разные моменты времени и в разных точках пространства происходит постоянное переключение режима течения с ламинарного на турбулентный и наоборот. Попытки описания данного явления в рамках классических подходов привели по существу лишь к введению некоторого эффективного параметра, обобщенно учитывающего долю жидкости, вовлеченной в турбулентное движение [61]. Результаты вычислительных экспериментов [6, 27] в свою очередь позволили достаточно хорошо описать динамику отдельного турбулентного пятна. Для дальнейшего изучения природы турбулентности и закономерностей ламинарно-турбулентного перехода необходимо связать эти два уровня описания. Это можно сделать в рамках нелокальной теории, в которой вводится промежуточный масштабный уровень - уровень структуры, а применение методов математического моделирования и теории управления позволяет проследить за эволюцией структур мезоскопического масштаба. Таким образом, в рамках весьма экономичного подхода можно самосогласованным образом описать и изменение свойств среды в неравновесных условиях перехода и изменение гидродинамического механизма распространения возмущений в среде.

Целью данной работы является построение нелокально-гидродинамических моделей пространственно-временных переходных процессов с учетом динамически меняющейся внутренней структуры течения. Для достижения данной цели в ходе выполнения работы необходимо было решить следующие задачи, а именно, проанализировать современные методы описания переходных процессов, развить и уточнить методические основы построения нелокальных моделей переходных процессов, разработать соответствующую вычислительную процедуру решения задач нелокальной гидромеханики и решить ряд модельных тестовых задач гидродинамики (задача о плоской затопленной струе, задача Куэтта) с использованием развиваемого математического аппарата.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. В первой главе рассматриваются методические вопросы построения нелокальных моделей переходных процессов при наличии обратных связей между гидродинамическим и мезоскопическим, структурным, уровнями описания. Во второй главе полученные результаты применяются для анализа струйных течений жидкости, рассматривается проблема ламинарно-турбулентного перехода в струе. В третьей главе на примере задачи о течении Куэтта описывается механизм нелокального взаимодействия потока жидкости с твердой границей.

В начале работы (глава 1) описывается метод построения нелокально-гидродинамических моделей пространственно-временных переходных процессов в течениях жидкости и самосогласованная вычислительная процедура, предназначенная для решения интегро-дифференциальных уравнений нелокальной гидродинамики. Обсуждаются как вопросы физической интерпретации нелокальности, так и вопросы, связанные с реализацией конкретных численных методов для решения системы интегро-дифференциальных уравнений. На основе предложенного Хантулевой Т.А. метода управления, замыкающего постановку на мезомасштабном уровне, а именно, принципа минимизации интегрального производства энтропии в системе по параметрам нелокальности, рассматриваются основные закономерности формирования и эволюции внутренней структуры. Далее (глава 2) предложенная итерационная процедура применяется к решению двумерной стационарной задачи о ламинарно-турбулентном переходе в плоской струе. Выбор такой постановки объясняется относительной простотой (в силу отсутствия твердых границ) трактовки процессов, происходящих на структурном уровне, и наличием большого числа экспериментальных данных по струйным течениям жидкостей и газов. Нестационарная одномерная задача рассматривается (глава 3) на примере течения Куэтта, основной интерес в котором представляет проблема описания взаимодействия потока с твердой границей. Показано, что наличие нелокальности приводит к перераспределению напряжений по сечению течения, что в свою очередь может приводить к установлению различных (линейных - классических, нелинейных - турбулентных) профилей скорости среды в потоке.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту:

1. Метод построения нелокально-гидродинамических моделей пространственно-временных переходных процессов.

2. Итерационная самосогласованная вычислительная процедура решения задач нелокальной гидродинамики переходных процессов, реализованная для описания ламинарно-турбулентного перехода в плоской затопленной струе жидкости.

3. Модель нестационарного течения Куэтта в нелокальной постановке с наличием динамически изменяющегося механизма взаимодействия потока с твердой границей.

Новизна работы состоит в обосновании методических положений по построению моделей переходных процессов в рамках нелокальной гидродинамики. Впервые в работе предложена и реализована вычислительная процедура с наличием обратных связей между разными масштабными уровнями описания на различных стадиях процесса. Реализация методов управления по структурным параметрам позволяет описать многообразие сценариев эволюции гидродинамической системы в переходных режимах.

Результаты имеют следующее научное значение:

1. Развиваемая в работе методика решения задач нелокальной гидродинамики обладает универсальностью и гибкостью, что открывает возможность единообразного описания широкого класса течений в переходных режимах.

2. Рассмотренный подход может быть использован для обработки экспериментальных данных, связанных с проблемой ламинарно-турбулентного перехода.

3. Вычислительные методики, разработанные в рамках нелокальной гидромеханики, позволяют уточнить область применимости классических методов вычислительной гидромеханики и построить процедуры, применимые для адекватного описания переходных процессов в сложных течениях.

В качестве практического приложения результаты работы могут быть использованы для расчета реальных высокоскоростных течений сред в трубах, каналах и струйных потоках, а также для создания новых вычислительных комплексов, оперирующих современными достижениями нелокальной теории.

Материалы диссертации докладывались на семинаре кафедры физической механики математико-механического факультета СПбГУ, на конференциях 14-ая Зимняя школа по механике сплошных сред (Пермь, ИМСС, 2005), Устойчивость и процессы управления (СПб, СПбГУ, 2005). Основные результаты разработки нелокально-гидродинамических моделей среды с динамически меняющейся внутренней структурой представлены в работах [34, 57-60]. В работе [57] Хантулевой Т.А. принадлежит постановка задачи о высокоскоростном движении тела в жидкости, а диссертанту частное решение задачи и его параметрический анализ. В работах [58-60] модель интегрального ядра переноса и идея применения принципов теории управления для описания эволюции структурных нелокальных параметров принадлежит Хантулевой Т.А., а предварительная разработка методики и самосогласованной вычислительной процедуры для решения задач нелокальной гидродинамики (на примере течения Куэтта) - Никулину И.А.

Итак, основные результаты диссертации заключаются в следующем. В работе разработан новый метод построения нелокально-гидродинамических моделей, который предназначен для моделирования переходных процессов в течениях жидкости. Характерной особенностью метода является наличие двух уровней описания, поскольку помимо гидродинамического макроскопического уровня существенный вклад в поведение системы вносит структурный мезоскопический уровень описания. Наличие обратной связи, когда изменение гидродинамических и структурных переменных определятся друг через друга, предполагает возможность появления эффектов самоорганизации и саморегуляции в ходе протекания неравновесного процесса, которые и являются признаками изменения режима течения. Таким образом, учет генерации и эволюции внутренней структуры среды под воздействием сильно неравновесных условий протекания процесса переноса дает возможность применять разработанный метод для создания моделей течений, принципиально не описывающихся классической гидродинамической теорией. При этом самосогласованный механизм взаимодействия структурного и гидродинамического уровней системы позволяет создавать "гибкие" модели переходных процессов и, следовательно, открывет возможность для единообразного описания широкого класса сложных гидродинамических явлений. Основой для применения предложенного метода в целях решения конкретных задач гидродинамики является разработанная самосогласованная итерационная процедура решения задач нелокальной гидродинамики.

Для описания явления ламинарно-турбулентного перехода в струйных и сдвиговых течениях в работе были построены модели плоского струйного течения и течения Куэтта, учитывающие изменение механизма взаимодействия внутри среды на разных стадиях процесса. Нелокально-гидродинамическая модель струйного течения описывает течение в области перехода, в которой происходит потеря устойчивости ламинарного режима течения (появление флуктуаций скорости) и зарождение корреляций в среде, определяющих турбулентный режим течения при удалении от источника струи. Расчет поведения параметров нелокальности, характеризующих внутреннюю структуру среды, подтвердил предположение о возникновении и росте нелокальных корреляций в среде при переходе к турбулентности, а использование разработанной вычислительной процедуры позволило получить профили скорости среды в переходной области и провести качественное сравнение расчетных и экспериментальных данных. В задаче о течении Куэтта (в плоской геометрии) исследован критерий перехода, который предназначен для выявления предпочтительного (реализующегося) режима течения путем оценки величины интегрального производства в системе. Предпочтительный режим, характеризуется меньшим значением производства энтропии, чем нереализующийся режим, гипотетически продолженный в область существования предпочтительного режима. Полученное методом установления решение задачи о поиске стационарных состояний в течении Куэтта в рамках нелокальной гидродинамики позволило единообразно описать как ламинарные (линейный профиль скорости), так и турбулентные (профиль, близкий к степенному) состояния.

Важную роль в развиваемом подходе играет анализ поведения величины производства энтропии в системе, который, во-первых, позволяет сформулировать критерия ламинарно-турбулентного перехода, во-вторых, определяет механизм регуляции (управления), переводящий систему из одного состояния в другое, и, наконец, путем применения современных методов теории адаптивного управления для минимизации производства энтропии дает возможность самосогласованно описать эволюцию внутренней структуры.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассмотрен новый подход к построению нелокально-гидродинамических моделей пространственно-временных переходных процессов, имеющих место при реальных течениях жидкости. Сопоставление результатов, полученных в рамках нового подхода, с имеющимися теоретическими наработками и экспериментальными данными показывает, что в рамках развиваемой теории удается качественно верно описать основные закономерности, присущие переходным гидродинамическим процессам таким как ламинарно-турбулентный переход в течениях струй и сдвиговых течениях жидкости.

Предложенный метод построения гидродинамических моделей с учетом нелокального взаимодействия в среде применим для описания широкого класса течений жидкости, характеризующихся различным механизмом обмена импульсом на разных пространственно-временных стадиях процесса. При наличии дополнительной информации об "интегральном" поведении системы, возможно обобщение рассмотренного метода с целью построения моделей, обеспечивающих более точное количественное совпадение теоретических и экспериментальных данных.

1. Абрамович Г.Н. Теория турбулентных струй. М.: Физматгиз, 1960.-715 с.

2. Акатнов Н.И., Чумаков Ю.С. Теория струйных течений и ее применение в инженерных расчетах. JL: ЛИИ, 1989. 84 с.

3. Астарита Дж., Маруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. М.: Мир, 1978.-309 с.

4. Бай Ши-и. Теория струй. М.: Физматгиз., 1960. 326 с.

5. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1989. -199 с.

6. Белоцерковский О.М., Опарин А.М, Чечеткин В.М. Образование крупномасштабных структур в зазоре между вращающимися цилиндрами //ЖВМ и МФ, 2002, Т. 42,№11. с. 1727-1737.

7. Белоцерковский О.М., Опарин A.M. Численный эксперимент в турбулентности. От порядка к хаосу. 2-е издание, М.: Наука, 2000.-287 с.

8. Булеев Н.И. Пространственная модель турбулентного обмена. М.: Наука, 1989.-344 с.

9. Вавилов С.А. О разрешимости одного класса операторных уравнений II ДАН С ССР, 1991, Т. 316, №1. с. 22-26.

10. Ван Дайк М. Альбом течений жидкости и газа. М.: Мир, 1986.- 184 с.

11. Вулис Л.А. К расчету свободных турбулентных течений с помощью эквивалентной задачи теории теплопроводности //

12. Известия АН Казахской ССР, сер. энергетич., вып. 2(18), 1960. -с. 60-67.

13. Вулис JI.A., Кашкаров В.П. Теория струй вязкой жидкости. М.: Наука, 1965.

14. Гиневский A.C. Теория турбулентных струй и следов. М.: Машиностр., 1969.-328 с.

15. Глэнсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. М.: Мир, 1973.-280 с.

16. Гольдштик М.А. Вариационный анализ турбулентного вращающегося потока // Известия АН СССР, МЖГ, 1985, №3. -с. 24-31.

17. Грек Г.Р., Козлов В.В., Чернорай В.Г. Гидродинамическая неустойчивость пограничных слоев и отрывных течений (современное состояние исследований) // Успехи механики, 2005, №4. с. 3-40.

18. Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая термодинамика. М.: Наука, 1971. 416с.

19. Зубарев Д.Н. Статистический оператор для неравновесных систем II ДАН СССР, 1961,Т. 140,№ 1.-е. 92-95.

20. Зубарев Д.Н., Морозов В.Г., Трошин О.В. Бифуркационная модель турбулентного течения в канале // ДАН СССР, 1986, Т. 290.-с. 313-317.

21. Зубарев Д.Н., Тищенко C.B. Нелокальная гидродинамика с памятью // Известия Вузов, Физика, 1972, Т. 59, № 2, с. 285-304.

22. Келлер Н.Э., Трусов П.В. Подход к построению определяющих соотношений сверхпластичности // 14-ая Зимняяшкола по механике сплошных сред: Тезисы конф., Пермь, 2005. -с. 149.

23. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем. М.: ТОО «Янус», 1995. 624 с.

24. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. М: Наука, 1982.-608 с.

25. Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение и структура хаоса. М.: Наука, 1990.-320 с.

26. Климонтович Ю.Л. // Энтропия и производство энтропии при ламинарных и турбулентных течениях // Письма в ЖТФ, 1984, Т. 10, №2. с. 80-83.

27. Климонтович Ю.Л., Энгель-Херберт // Осредненные стационарные течения Куэтта и Пуазейля // ЖТФ, 1984, Т. 54, №3.-с. 440-449.

28. Козлов В.В., Рамазанов М.П. Образование трехмерных структур в течении Пуазейля // Известия АН СССР, МЖГ, 1985, №1. с. 43-47.

29. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, часть 2. М.: Физматгиз, 1963. 728 с.

30. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Гидродинамика, т.6. М.:Наука, 1986. 736 с.

31. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Изд. 5-е, переработ. М.: Наука, 1978. 736 с.

32. Методы расчета турбулентных течений: Пер. с англ. / Под ред. В.Колльмана. М.: Мир, 1984. 464 с.

33. Миллионщиков М.Д. Турбулентные течения в пограничном слое и в трубах. М.: Наука, 1969. 50 с.

34. Монин A.C., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. Теория турбулентности. СПб.: Гидрометеоиздат., 1992. 693 с.

35. Никулин И.А. О моделировании пространственных корреляций в рамках нелокально-гидродинамического подхода // Вестник СПбГУ, СПб.: Изд-во СПбГУ, 2007, сер.1, в печати (октябрь 2007, вып. 4).

36. Новожилов В.В. Теория плоского турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости. JL: Судостроение, 1977.- 165 с.

37. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов JI.A. Численное моделирование процессов тепло- и массопереноса. М.: Наука, 1984.-285 с.

38. Пригожин И. Неравновесная статистическая механика. М.: Мир, 1964.-314с.

39. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. М.: Прогресс, 1986.-431 с.

40. Проблемы турбулентности. Библиографический указатель. АН СССР, Координационный центр по проблеме «Турбулентность», 1982. 115 с.

41. Родионов A.A. Описание течений дисперсных сред в рамках нелокальной гидродинамики. Диссертация канд. ф.-м. наук. Л.: 1980.-133 с.

42. Родионов A.A., Хантулева Т.А. Нелокальная модель ламинарного течения суспензий // Вестн. Ленингр. ун-та, Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980, №13. с. 100-106.

43. Рудяк В.Я. Статистическая теория диссипативных процессов в газах и жидкостях. Новосибирск: Наука, 1987. -272с.

44. Скульский О.И., Аристов С.Н. Механика аномально вязких жидкостей. М.-Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003. 156 с.

45. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.-285 с.

46. Филиппов Б.В., Хантулева Т.А. Граничные задачи нелокальной гидродинамики. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1984. -88с.

47. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х томах. М.: Мир, 1991. 504 с.

48. Фрадков А. Л. Адаптивное управление в сложных системах. М.: Наука, 1990. 293 с.

49. Фрадков А.Л. Кибернетическая физика. СПб.: Наука, 2003. 208 с.

50. Хантулева Т.А. Исследование неравновесных процессов методами кибернетической физики // Управление в физико-технических системах, СПб: Наука, 2004. с. 246-264.

51. Хантулева Т.А. Моделирование быстрых высокоградиентных процессов на основе самосогласованной неравновесной функции распределения // Математическое моделирование, 1999, Т. 11, №6.-с. 17-24.

52. Хантулева Т.А. Нелокальная модель высокоскоростного обтекания тел в структурированнных средах // Прикладныетехнологии гидроакустики и гидрофизики: Труды конф., СПб.: 2002.-с. 14-17.

53. Хантулева Т.А. Нелокально-гидродинамический подход в задачах гидродинамики сред с внутренней структурой // Молекулярная гидродинамика и механика неоднородных сред, М.: Наука, 1990.-с. 157-162.

54. Хантулева Т.А. Неравновесная функция распределения по скоростям для быстрых высокоградиентных процессов // Межвузовский сборник статей «Модели неоднородных сред» (Физическая механика 7), СПб.: Изд-во СПбГУ, 1998. с. 167173.

55. Хантулева Т.А. Самосогласованная нелокально-гидродинамическая теория нерановесных процессов переноса. Диссертация докт. ф.-м. наук. СПб: 2005. 291 с.

56. Хантулева Т.А., Мещеряков Ю.И. Кинетика и нелокальная гидродинамика формирования мезоструктуры в динамически деформируемых средах // Физическая мезомеханика, 1999, Т. 2, №5.-с. 5-17.

57. Хантулева Т.А., Никулин И.А. Высокоскоростное движение пластины в рамках самосогласованного нелокально-гидродинамического подхода // Межвузовский сборник статей

58. Модели неоднородных сред» (Физическая механика 8), СПб.: Изд-во СПбГУ, 2004, с. 196-218.

59. Хантулева Т.А., Никулин И.А. Структурная устойчивость высокоскоростного движения тела в жидкости // Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики: Труды конф., СПб.: 2004.-с. 269-273.

60. Хантулева Т.А., Никулин И.А. Применение кибернетических методов в неравновесных задачах механики // 14-ая Зимняя школа по механике сплошных сред: Тезисы конф., Пермь: 2005. с. 235.

61. Хантулева Т.А., Никулин И.А. Эволюция структурных параметров в рамках нелокально-гидродинамической теории // Вестник СПбГУ, СПб.: Изд-во СПбГУ, 2006, сер.1, вып.З, стр. 102-108.

62. Шлихтинг Г. Возникновение турбулентности. М.: Ин.Лит., 1962.-203 с.

63. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. -711 с.

64. Andrade E.N. The velocity distribution in a liquid-into-liquid jets. The plane jet// Proc.Phys.Soc. Vol.51,1939. p. 784-789.

65. Bottin S., Chate H. Statistical analysis of the transition to turbulence in plane Couette flow // Eur. Phys. J., В 6, 1998. p. 143155.

66. Canuto V.M. Turbulence and laminar structures: can they coexists? // Mon. Not. R. Astron. Soc. Vol.317, 2000. p. 985-988.

67. Daviaud F., Hegseth. J., Berge P. Subcritical transition to turbulence in plane Couette flow // Phys. Rev. Letters, Vol. 69, №17, 1992.-p. 2511-2514.

68. Kadanoff L.P., Martin P.C. Hydrodynamic equations and correlation functions II Ann. Phys., V. 24, 1963. p. 419-460.

69. Sato H., Sakao F. An experimental investigation of instability of the two-dimensional jet at low Reynolds numbers // J. of Fl. Mech., Vol. 20, 1964.-p. 337-352.

70. Townsend A.A. The structure of turbulent shear flow. Cambridge: Univ. Press, 1956. 315 p.

71. Waleffe F. On a self-sustaining process in shear flows // Phys. Fluids, Vol. 9 (4), 1997. p. 883-900.