Обратные и нелокальные задачи для вырожденных эволюционных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Иванова Наталья Дмитриевна

ОБРАТНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 7 ОКТ 2015

Челябинск — 2015

005563079

005563079

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Южно-Уральский государственный университет» (национальный исследовательский университет), на кафедре математического и функционального анализа. Научный руководитель: Федоров Владимир Евгеньевич,

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты: Пятков Сергей Григорьевич,

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Институт прикладной математики Дальневосточного отделения Российской академии наук

Защита диссертации состоится «28» октября 2015 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.01 на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики и механики им. Н.Н.Красовского Уральского отделения Российской академии наук по адресу: 620990, г. Екатеринбург, ул.Софьи Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте ИММ УрО РАН: ЬМр://игитт13.imm.uran.ru/C16/Diss/. Автореферат разослан » се^^^и^ 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико-математических наук, профессор, Югорский государственный университет, заведующий кафедрой высшей математики Тихонов Иван Владимирович, доктор физико-математических наук, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, профессор кафедры математической физики

доктор физ.-мат. наук

Е. К. Костоусова

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. В диссертационной работе представлены результаты исследования разрешимости обратных (линейных и нелинейных) и нелокальных по времени (на полуоси и отрезке) задач для вырожденных эволюционных уравнений. Под вырожденными эволюционными понимаются такие уравнения и системы уравнений, вообще говоря, в частных производных, которые, будучи формализованными в виде дифференциальных уравнений для функций одной выделенной (эволюционной) переменной со значениями в банаховом пространстве (пространстве функций остальных переменных), имеют оператор при старшей производной, обладающий нетривиальным ядром. Задачи такого типа встречаются во многих прикладных областях современной науки и техники, интенсивное исследование которых в значительной мере обусловлено проблемами практики. При этом хорошо известно о большой практической значимости обратных задач1, об их тесной связи с нелокальными задачами2,3. Тем самым, имеется необходимость в разработке математического аппарата для их исследования. Вопросы существования и единственности решения, которым посвящена данная работа, являются одними из главных вопросов теории диффереициальных уравнений, как правило, лежащими в основе любых других исследований, связанных с соответствующими задачами.

Степень разработанности темы исследования. Пусть X, % и U банаховы пространства, операторы L £ £(X;ÎQ) (линейный и непрерывный, действующий из X в 2)), kerL ф {0}, M 6 CZ(£;2)) (линейный и замкнутый, с плотной областью определения Dm в X, действующий в 2)), N : [О, Т] xXxil -> 2),фе £(£;Н), заданы Ф : [0,Т] И, х0 € X. Рассмотрим соотношения

Lx(t) = Mx(t) + N(t,x(t),u(t)), t e [0,T], (1)

*(0) = x0, (2)

Фх(*) = Ф(«), t € [0,Т]. (3)

Нелинейной эволюционной обратной задачей будем называть задачу отыскания из соотношений (1)-(3) пары функций х G С([0,Т];Х) и и 6 C([0,T];il) (обобщенное решение), либох £ СЧР.^^ПСЦО.Г]; Du) и u £ С^Т];!!) (классическое решение).

В случае N(t,x{t),u(t)) = B(t)u(t) + y(t), где В : [0,Т] £(il;2)), у : [0, Т] -> 2), имеем линейное вырожденное эволюционное уравнение

Lx(t) = Mx{t) + B{t)u{t) + y{t), t e [0,Т]. (4)

Задачу (2)-(4) будем называть линейной эволюционной обратной задачей.

Помимо условия Коши (2) в данной работе используется также обобщенное условие Шоуолтера Рх{0) = х0, где Р — проектор на фазовое пространство линейного однородного уравнения Lx(t) = Mx(t), ядро которого содержит в

'Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сиб. науч. изд-во, 2009.

2Прилепко А. И. Метод полугрупп решения обратных, нелокальных и неклассических задач. Прогноз-управление и прогноз-наблюдение эволюционных уравнений. I // Дифферекц. уравнения. 2005. Т. 41, № 11. С. 1560-1371.

3Кожанов А. И. О разрешимости некоторых нелокальных и связанных с ними обратных задач для параболических уравнений // Мат. заметки СВФУ. 2011. Т. 18, № 2. С. 64-78.

частности ядро кег Ь оператора Ь, но, вообще говоря, не совпадает с ним. Такое начальное условие позволяет избежать весьма обременительных условий согласования начального значения с другими данными задачи и в приложениях является более естественным.

Заметим, что уравнения вида (1), (4), не разрешимые относительно производной, являются абстрактной формой уравнений в частных производных, не разрешимых относительно производных по выделенной переменной, как правило, по времени, нередко встречающихся при математическом моделировании различных реальных процессов. Результаты исследований таких уравнений могут быть найдены в работах С. Л. Соболева, М. И. Вишика, И. Showalter, Г. В. Демиденко, А. Ра\чш, А. Yagi, И. А. Шишмарева, А. И. Кожанова, Г. А. Свиридюка, В. Е. Федорова, А. Г. Свешникова, М. О. Корпусова. Часто такие уравнения называются уравнениями соболевского типа (не обязательно в случае кегЬ / {0}, но даже в случае нелинейного оператора Ь).

Линейные обратные задачи (2)-(4) для вырожденных эволюционных уравнений с постоянным по времени неизвестным элементом ней рассматривались в работах В. Е. Федорова и А. В. Уразаевой, как и в случае переменного и(£) с переопределением на фазовом пространстве однородного вырожденного линейного уравнения. Отметим также близкие по предмету исследования работы А. И. Кожанова, касающиеся вырожденных эволюционных уравнений, а также уравнений составного типа, работы Н. Н. Абашеевой, охватывающие класс уравнений с переменным направлением времени, А. Раут, А. Ьогегш, М. А1 Ногаш, в которых рассматривается вырожденное эволюционное уравнение с минимальным подпространством вырождения, совпадающим с кег Ь, работы С. Г. Пяткова, А. Ш. Любановой с соавторами о различных обратных задачах для пседопараболических уравнений, как правило, не являющихся вырожденными в смысле нашего определения.

Рассмотрим уравнение

¿(4)= Аг(4)+ /(*), * > 0, (5)

где А — линейный оператор, порождающий в банаховом пространствеX сильно непрерывную полугруппу класса С0, / £ С([0, +оо); X). Классической задачей, рассматриваемой для такого уравнения, является задача Коших(О) = хо, которую можно назвать одноточечной задачей. Методами теории полугрупп операторов доказано существование и единственность решения однородной и неоднородной задачи Коши для уравнения (5). В работах Ю. С. Эйдельмана, а также В. К. Иванова, И. В. Мельниковой, А. И. Филинкова исследовалась двухточечная краевая задача ах(0) - х(Т) = х0. Естественным обобщением этих задач является нелокальная задача вида

г

! х(г)с^) = х0, (6)

о

где ц — функция ограниченной вариации. В случае, когда А порождает аналитическую полугруппу, задачу (6) исследовал Э. А. Штейнвиль.

Различные модификации условия (6), а также более сложные варианты нелокального по времени условия как для уравнения вида (5) и близких к нему эволюционных уравнений в абстрактных банаховых пространствах, так и

для соответствующих уравнений и систем уравнений в частных производных, рассматривались в работах А. А. Ксрсфова, В. В. Шелухина, А. И. Кожанова и других авторов: ,1. СЬаЬпжБЙ, Ь. Вувгt:\vski, V. ЬаккЬппкагПЬат, И. Р. Agaгwal, М. ВосЬпег, В. Б. Шахмуров, М. В. Уварова.

В работах И. В. Тихонова исчерпывающим образом исследована единственность решения задачи (5), (6), а также задачи (6) для уравнения Ы({) = Мх{1) при самых общих предположениях об операторах А, Ь, М. Также И. В. Тихоновым4'3 рассмотрена задача (6) для однородного уравнения (5) в случае, когда (¿/х(£) = ф)<И, Т = +оо, т. е. нелокальное условие имеет вид

ос

I хЦ)г]{г)(И = х0, (7)

0

где весовая функция считается измеримой и локально суммируемой на полупрямой [0,+оо). При различных условиях на функцию 17 в случае экспоненциального убывания порождаемой оператором А С0-непрерывной полугруппы получены необходимые и достаточные условия существования, единственности и устойчивости классического и обобщенного решения задачи (5), (7) при / = 0. При этом ключевым условием является отсутствие среди точек спектра а(А) оператора А нулей характеристической функции задачи (7). В случае периодической функции т] И. В. Тихоновым показано, что для однородного уравнения (5) задача с условием (7) эквивалентна задаче с условием

т

1 х{1)г]{1)(И = х0. (8)

Цели и задачи. Основная цель данной работы — исследование вопросов существования и единственности решения нелинейной обратной задачи (1)-(3), линейной обратной задачи (2)-(4) в случае, когда условие переопределения (3) задано па подпространстве вырождения уравнения (4), а также нелокальной по времени задачи на отрезке (8) для неоднородного линейного вырожденного эволюционного уравнения £±(г) = Мх{Ь) + ¡(£) и нелокальной на временной полуоси задачи (7) для соответствующего однородного линейного вырожденного эволюционного уравнения. Иначе говоря, работа посвящена получению необходимых, а для нелокальных задач — и достаточных условий существования решения и его единственности для перечисленных задач, а также, кроме случая нелинейной обратной задачи, — получению оценок устойчивости решений.

Полученные в данной работе условия однозначной разрешимости задач для уравнений в банаховых пространствах должны иметь достаточно простой вид для того, чтобы быть использованными при рассмотрении конкретных обратных и нелокальных задач для уравнений и систем уравнений, описывающих различные физические процессы. Общность результатов должна позво-

^Тихонов И. В. О разрешимости задачи с нелокальным интегральным условием для дифференциального уравнения в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 6. С. 841-843.

5Тихонов II. В. Нелокальная задача с «периодическим» интегральным условием для дифференциального уравнения в банаховом пространстве // Интегральные преобразования и специальные функции. 2004. Т. 4, № 1. С. 49-69.

лять их использовать для целых классов нелокальных по времени и обратных задач, в которых при этом искомая вектор-функция ы(г) может иметь различные интерпретации — числовая функция или вектор функция, зависящая только от временной переменной £ или от временной и пространственных переменных (¿, в) = (¿, 52,..., в,,); при этом условие переопределения может иметь вид интегрального по в = (вь в2,..., в„) или точечного в точке 5о = (5ю, ^20, • ■ ■, 5по) переопределения и др.

Научная новизна. Основными результатами данной диссертационной работы являются теоремы о разрешимости линейных и нелинейных обратных задач для вырожденных эволюционных уравнений (1) и (4) и нелокальных на отрезке или полуоси задач для уравнения

1х{{) = Мх(£) + /(¿) (9)

при кег Ь ф {0}. Для линейных задач полученные результаты сопровождены выведением оценок устойчивости решений. При этом предполагается выполнение условия сильной (¿,р)-радиальности оператора М.

Отметим, что обратные задачи для вырожденных эволюционных уравнений общего вида в банаховых пространствах ранее, по-видимому, рассматривались только в работах В. Е. Федорова и А. В. Уразаевой и в работах А. Еау1ш с соавторами. Однако в первом случае рассматривались линейные задачи либо с неизвестным элементом и, не зависящим от времени, либо предполагалось, что оператор переопределения Ф не зависит от элементов ядра проектора Р на фазовое пространство однородного уравнения (9). В работах А. Еауш1, А. Ьогегш, М. А1 Ногат рассматривались лишь некоторые задачи, в которых кег Р = кег Ь. В данной же работе неизвестный элемент и зависит от времени, в случае линейных задач оператор переопределения Ф не зависит от элементов ядра проектора I - Р, а условие сильной (¿,р)-радиальности оператора М допускает равенство кег Р = кег Ь лишь в частном случае р = 0, в общей же ситуации кег Р О кег Ь.

Все полученные результаты о нелокальных задачах для класса уравнений (9) с сильно (Ь,р)-радиальным оператором М являются новыми. Кроме того, новыми являются также аналогичные результаты для неоднородного невырожденного уравнения (5), полученные в данной работе.

Полученные абстрактные результаты позволяют исследовать не изученные ранее обратные и нелокальные задачи для различных уравнений и систем уравнений математической физики, не разрешимых относительно производной по выделенной переменной.

Теоретическая и практическая значимость работы. Рассматриваемые в данной диссертационной работе абстрактные обратные и нелокальные задачи имеют модельные интерпретации, важные с практической точки зрения, описывающие ряд процессов и явлений в гидродинамике и теории фильтрации, теории фазового поля, встречающихся в медицине (какие-либо изменения внутренних органов), геофизике (исследование месторождений полезных ископаемых), неразрушающем контроле (скрытое нарушение структуры при дефектоскопии) и других практических областях естествознания. С математической точки зрения необходимо доказательство существования и единственности решений соответствующих начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных. Для задач, заданных на

временной полуоси, важна также оценка устойчивости их решений, позволяющая судить об их поведении на больших промежутках времени и соотносить его с наблюдаемыми измерениями. Тем самым, изначальная теоретическая значимость работы, имеющей теоретический характер, тесно переплетается с практической значимостью.

Методология и методы исследования. При исследовании обратных и нелокальных задач для вырожденных эволюционных уравнений (1) и (4) предполагается, что оператор А/ является сильно (¿,р)-радиальным, другими словами, пара операторов L, M порождает вырожденную сильно непрерывную полугруппу. Это позволяет методами теории вырожденных полугрупп операторов редуцировать исходную задачу к задаче для системы уравнений для двух проекций функции состояния, принимающих значения во взаимно дополнительных подпространствах X1 и первое из которых является фазовым пространством соответствующего линейного однородного уравнения и совпадает с образом единицы Р разрешающей полугруппы, а другое подпространство является ядром единицы и представляет собой подпространство вырождения уравнения — максимальное подпространство вХ, на котором исходное вырожденное эволюционное уравнение принципиально неразрешимо относительно производной Ht). Эта система уравнений имеет вид

v(t) = LïlMxv{t) + L^QN(t,v{t) +w{t),u(t)), Hw{t) = w(t) + MôHl - Q)N(t, v(t) + w(t),u(t)),

где v{t) = Px{t), w = {I - P)x{t), Lk = L\Xk, Mk = M|xlndomM, к = 0,1, H = M^Lq, Q — проектор на пространстве 2), также определяемый операторами L и М. При некоторых предположениях на оператор N и оператор переопределения Ф из условия (3) исходная обратная задача сводится к обратной задаче для одного из полученных уравнений и прямой задаче для другого уравнения, которую можно решить после разрешения обратной задачи. При этом существенную роль играет нильпотентность оператора H, а в нелинейном случае используются результаты монографии А. И. Прилепко и соавторов6 о разрешимости нелинейной обратной задачи для первого из уравнений, разрешенного относительно производной.

В случае нелокальной задачи каждое из получаемых таким образом уравнений v(t) = L\lMiv{t) + L^lQf(t), Hw{t) = w(t) + Mq1 (I — Q)f(t) решается отдельно. При этом в доказательствах существенными являются результаты и идеи работ И. В. Тихонова.

Результаты о разрешимости обратных и нелокальных задач для вырожденных эволюционных уравнений в банаховых пространствах в диссертационной работе используются для изучения обратных и нелокальных по времени задач для уравнений и систем уравнений, не разрешимых относительно производной по времени. Для этого строится редукция соответствующей начально-краевой задачи для уравнения или системы уравнений в частных производных к абстрактной задаче в банаховом пространстве. Преимущество такого подхода состоит в том, что всякая абстрактная задача со специальным образом подо-

6Prilcpko, A. I., Orlovsky D. G., Vasin I. A.. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics. New York, Basel: Marcel Dekker Inc., 2000.

бранными условиями на операторы Ь, М, М, Ф представляет собой абстрактную форму целого ряда начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных.

Положения, выносимые на защиту

1. Найдены условия однозначной разрешимости нелинейной обратной задачи для вырожденного эволюционного уравнения в банаховом пространстве. Результаты использованы при исследовании задач идентификации для уравнений с многочленами от эллиптических операторов, системы Соболева, уравнений динамики вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта.

2. Получены теоремы об однозначной разрешимости и оценках устойчивости решений линейной обратной задачи для вырожденного эволюционного уравнения с переопределением на подпространстве вырождения. Общие результаты использованы для исследования задач с неопределенными коэффициентами для квазистационарной системы уравнений фазового поля, для линеаризованной системы Осколкова.

3. Доказаны теоремы о существовании единственного решения нелокальной на временной полуоси задачи для линейного однородного вырожденного эволюционного уравнения, найдены оценки устойчивости решений. С помощью полученных результатов изучены нелокальные задачи для уравнений с многочленами от оператора Лапласа.

4. Получены условия однозначной разрешимости нелокальной на временном отрезке задачи для линейного неоднородного вырожденного эволюционного уравнения, выведены оценки устойчивости решений. Результаты использованы при исследовании нелокальных по времени задач для уравнения свободной поверхности фильтрующейся жидкости, для линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность и обоснованность полученных результатов обусловлены математической строгостью методов исследования, корректным использованием математического аппарата.

Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на международных научных конференциях [3, 5-11, 14, 16-18]. Обсуждение диссертации проводилось также на семинарах кафедры математического анализа Челябинского государственного университета (руководитель семинара — д.ф.-м.н., проф. В. Е. Федоров).

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [1, 2] в изданиях Перечня рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций, а также в работах [4, 12, 13, 15]. Все результаты, изложенные в диссертации, автор получил лично. В совместных работах с научным руководителем В. Е. Федорову принадлежат постановка задачи и общее руководство проводимыми исследованиями. К. М. Комаровой и Ю. Ю. Федоровой принадлежат частные результаты работ [13] и [1] соответственно, не включенные в данную диссертацию.

Основное содержание диссертационной работы

Объем диссертации составляет 130 страниц. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка обозначений и соглашений и списка литературы.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, показана степень разработанности выбранной тематики, сформулированы цели и задачи работы, показана научная новизна, приведены методология и методы исследования, сформулированы положения, выносимые на защиту, описаны степень достоверности и апробация результатов диссертационной работы.

В первой главе представлены результаты исследования нелинейных обратных задач для вырожденных эволюционных уравнений и систем таких уравнений. Первый и второй параграфы содержат в себе предварительные сведения, которые используются при доказательстве основных результатов диссертационной работы. В третьем и четвертом параграфах приведено доказательство теорем существования и единственности локальных обобщенных и классических решений соответственно — результатов, использованных далее при рассмотрении нелинейных обратных задач для некоторых уравнений и систем уравнений в частных производных. Параграфы с пятого по восьмой содержат теоремы об однозначной разрешимости различных нелинейных обратных задач: для уравнений с многочленами от эллиптических операторов, для системы Соболева, для линеаризованной системы Осколкова, моделирующей в линейном приближении течение вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта, для нелинейной системы уравнений Осколкова.

В первой главе представлены результаты исследования нелинейных обратных задач для вырожденных эволюционных уравнений.

Пусть операторы L £ — линейный непрерывный, kerL ф {0}, М £

С1(Х;Я)) — линейный, замкнутый, плотно определенный в X, область определения Ди оператора А/ G С1(Х;Я)) снабжена нормой его графика || • ||дд, =

IM|I + ||M-Ib,/(A/) = {/х£ с : (pL — M)~l £ £(2); X)}, aL(M) = С\/(М).

Оператор М называется сильно (L,p)-радиальным, если

(i) За G R (а, +оо) с р1{М);

(ii) ЗК > 0 Уц £ (а, +оо) Vn £ N

(iii) существует плотный в 2) линеал 2):

\\м(цЬ - лП-ЧЩАПГЧи < V/ ею

при любом р. € (а,+оо);

(iv) V/x € (а, +оо)

- мгЧсш) < {цКа)Р+2-

Теорема 1 [В. Е. Федоров). Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален. Тогда

(i) X = © X1, 2) = 2) © 2)1;

Р (Q) - проектор вдоль Х° на X1 (вдоль 2}° на 2}1), Р0 = I-P, Qq=I~Q\

(ii) Lk = L\xk £ £(Xk;Z)k), Л/jfc =_MbnoM e Cl(Xk-,<Qk), k = 0,1;

(iii) существуют операторы M0 1 e £(ф0; £°) и L11 £ Д2)1; X1);

(iv) оператор H = М0 1Lq нильпотентен степени не больше р;

(v) существует разрешающая полугруппа {^T(í) 6 С(Х) : t > 0} уравнения Lx(t) = Mx(t).

Если при этом д0 = Q0g е C+^fO, Г]; 2)), Qg е Сх([0, Т}; 2J), то

(vi) для любого начального значения хо е Дм, удовлетворяющего условию

Poxo = -j2HlM^g«\0), (10)

г=о

существует единственное решение х € С1([0,Г];£) nC([0,T];Dtí) задачи Lx(t) = Mx(t)+g(t), te[0,T], (И)

ar(0) = хо, (12)

причем

Г

x(t) = X(t)xо + X(t~ s)L?Qg{s)da - £ HlМ^1 g(¿}(t); (13) о ;=о

(vii) для любого начального значения хо 6 Dmí существует единственное решение хе Cl([0,T}; X) П С([0, Г]; DM) задачи

Рх{ 0) = х0 (14)

для уравнения (11), при этом оно имеет вид (13).

Для краткости изложения содержания первой главы диссертационной работы приведем результаты исследования однозначной локальной разрешимости в классическом смысле нелинейной обратной задачи для вырожденного эволюционного уравнения с обобщенным условием Шоуолтера (14). Помимо приведенных ниже результатов, в работе были получены теоремы существования и единственности классического и обобщенного решения данной задачи с условием Коши, а также обобщенного решения задачи с условием (14).

Пусть X, 2}, Ц. — банаховы пространства, L £ С(Х; 2)), ker L / {0}, оператор М е С1(Х; 2)) сильно (¿,р)-радиален, Ф е £(£;íl), Ф : [0, Т] И, N : [0,Т] х X х Д ->■ Ц). В задаче

Lx(t) = Mx(t) + N(t,x(t),u(t)), t e [0,T], (15)

Px(0) = x0, (16)

Фх(0 = Ф(г), te[o,T], (17)

неизвестными являются функции x : [0, T] —> X, и : [0, Т] —> И.

Далее предполагается, что отображение L^QN = G : [0, Т] х X1 x il -> X1 представимо в виде

G(t,x,u) = G1(t,x) + G2(t,x,u) V{t,x,u) 6 [0,Т] х X1 х Д. (18) При а € X , R,T > 0 введем обозначения

Sx¡(a,R) = {х€Х1: \\х - а||*. < R} , Sxí{a,R,T) = [0,Г] х S#{a,R). Считая функцию Ф дифференцируемой, определим значение

2/о = Ф'(0) - ФЬ^МгХо - ФС^О.хо),

где черта над обозначением оператора означает его замыкание, и потребуем выполнения условий:

(Л) уравнение ФС2(0, х0, и) = у0 относительно и имеет решение щ G Н, при этом оно единственно в пространстве И;

(В) существует отображение G3 : [0, Т] х Н х И Ü такое, что

ФС2(£,х,ы) = в3(1,Фх,и);

(С) существует число Я > О такое, что для любых £ 6 [О, Г] отображение у = С73(£, Ф(£),и) как функция от ы в шаре Зц(и0, Л) имеет обратное отображение и = у);

(О) существует число /2 > 0 такое, что отображение Г дифференцируемо по Фреше на множестве 5и(г/о, и его частные производные непрерывны на нем в операторной норме и удовлетворяют условию Липшица относительно у,

(Е) существует число В. > 0 такое, что обе функции Сг(1,х) и С2^,х,и) являются дифференцируемыми по Фреше на множестве Зэ^хи^о, ЗД), И, Т) и их частные производные Сих, С2х, й2и непрерывны на нем по операторной норме и удовлетворяют условию Липшица относительно (х, и).

Классическим решением задачи (15)-(17) на отрезке [0,ТХ] называется такая пара функций х £ ^([О.Тх]; 3£) П СЦО,^]; £>м), и £ С^&Т^И), для которой выполняется (16) и соотношения (15), (17) при всех£ £ [О,XI]. Теорема 2. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, ¡тЛГ С 2)\ х0 £ Д^, Ф £ £(Х;И), Ф^М 6 Х° С кегФ, Ф £ С2([0,Т];И), Фх0 = Ф(0), а

также выполняются условия (18), (А)-(Е).

Тогда при некотором Т\ £ (О, Г] существует единственное классическое решение х £ С1([0, Т1];ЗЕ) П С([0,Т!]; Ди), и £ С1 ([О, ТХ];И) обратной задачи (15)-(17) на отрезке [0, Тх].

Теорема 3. Пусть оператор М сильно (Ь,0)-радиален и выполняются следующие условия:

(О Уи) £ [О, Г] х X х И ЛГ(£,х,ц) = ЛГ(г,Рх,ы);

(¡¡) х0 £ Ду,, Ф £ £(3;и), ФТ^ЛЛ 6 С(Х1;И), Ф £ С2([0,Т];И), Фх0 = Ф(0), Xй СкегФ;

(ш) выполняются условия (18), (А)-(Е);

(Ь/) на $Схи((хо,«о), К,Т) отображение N : [0,Т] х X х И ->• и дифференцируемо по Фреше, и Щ, ЛГ„ непрерывны по совокупности переменных (£, х, и) б сильной топологии.

Тогда при некотором Т\ £ (0,Т] существует единственное классическое решение х £ С1([0,Т1];3£) П С([0,71]; Ди), и £ ^([О.Т^И) обратной задачи (15)—(17) на отрезке [0,7\].

Рассмотрим обратную задачу для системы уравнений Соболева

у1(х,1) = [у(х,€),Щ-г(х,1)+и(1)у(х,1), (х,£) £ П х [0,Т], (19)

У-и(х,0=0, (х,£) £^х [0,Т], (20)

«„(!,*)= 0, (яг,*) едП х [0,Т], (21)

и(х,0)=«в(х), х£П, (22)

' (К(х),у(х,г))кзС[х = ф(^, 4 6[0,Г]. (23)

Здесь Яс13- ограниченная область с границей Ш класса С00, вектор V = («х,г?2,г»з) _ скорость, г — градиент нестационарного давления, [-,«] — векторное произведение на вектора = (0,0,ш) £ К3, п = (п1,п2,пз) — вектор внешней нормали к границе области, уп = (и,п)кз. Неизвестными являются вектор-функции V, г и функция и, а вектор-функция К и функция ф заданы.

Обозначим £={»6 (С£°(П))3 : V • у = 0}. Замыкание линеала £ по норме пространства Ь2 = (Ь2(П))3 обозначим через Нст. Пусть Н^ — ортогональное дополнение к С помощью теоремы 2 получим следующее утверждение. Теорема 4. Пусть у0 в Иа, К е Ь2, ф 6 С2([0,Г];К), для всех < е [0,Г] ф(Ь) ^ 0, выполняется условие согласования {К,у0)1^ = ф(0). Тогда при некотором Т\ е (0, Т] существует единственное классическое решение V е

C^IO.TiIjH,,), r 6 CiQO.T^EU, и € С1([0,Г1];») обратной задачи (19)-(23)

на отрезке [0, Т1].

Обратную задачу для нелинейной системы уравнений Осколкова

(l-X&)vt{x,t) = i/Av{x,t)-(vV)v(x,t)-r(x,t)+u(x,t), (x,t) в Пх[0,Т], (24)

можно исследовать с помощью теоремы 3. Как и прежде, П С К3 — ограниченная область с гладкой границей Ш, Т > 0. Вектор-функции у = (г>ь г>2, г>3), г = (п,г2,г3) и и = {щ,и2,и3) = и(х, г) неизвестны. Заданы вектор-функция Ф = (ФиФ2,Фз) ■■ п х [0,71 -»■ ®3 и функция К € £2(П х П). Обозначим оператор 3, действующий по правилу (Л)(х) = / К(х,у)у(у)ду.

Замыкание С = {г; 6 (С^°(Г2))3 : V • г> = 0} по норме И1 обозначим через Будем использовать также обозначение Н2 = И* П Н2. Обозначим через Е : Ь2 Б,,, соответствующий ортопроектор. Определим оператор Л = £Д с областью определения Н2, действующий в пространстве Теорема 5. Пусть и,х + 0, х-1 £ г?0 е Н2, К е Х,2(П х П), оператор J \Ша непрерывно обратим, ф <Е С2([0,Т];Н2), выполняется условие

согласования / К(х,у)у0(у)ду = ф(х, 0). Тогда при некотором 71 е (0,Т]

классическое решение у е ^([О, 71]; И2), г е Сх([0, Г^НДиё С1([0, 71]; На) обратной задачи (24)-(28) на отрезке [0,71] существует и единственно.

Также в первой главе рассмотрены нелинейные обратные задачи для линеаризованной системы Осколкова и для уравнения с многочленами от эллиптических самосопряженных операторов высокого порядка.

Во второй главе методами теории вырожденных полугрупп операторов найдены условия однозначной разрешимости линейных обратных задач с условиями Коши и Шоуолтера для вырожденных эволюционных уравнений первого порядка. Для найденных решений получены оценки устойчивости. Особенностью рассмотренных обратных задач является то, что условие переопределения задано не на образе, как в некоторых работах предшественников, а на ядре оператора Р, что позволило исследовать новый класс обратных задач для систем уравнений в частных производных.

Во втором параграфе полученные в первом параграфе абстрактные результаты о разрешимости линейной обратной задачи для вырожденного эволюционного уравнения применяются при исследовании обратной задачи для лине-

V-v(x,t) = 0, (x,t) е П х [0,Т], t;(x,i) = 0, (x,t) 6 дП х [0,Т], v(x,0) =vo(x), ieil,

(25)

(26) (27)

(28)

n

аризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля, описывающей в линейном приближении фазовые переходы первого рода. При этом рамки задачи позволяют рассмотреть случай переопределения в такой задаче не на функции температуры, как это делалось ранее, а на фазовой функции. Третий параграф посвящен вопросам однозначной разрешимости линейной обратной задачи для линеаризованной системы уравнений Осколкова с переопределением на функции градиента давления (а не скорости).

Для краткости рассмотрим линейную эволюционную обратную задачу с условием Шоуолтера, условия ее однозначной разрешимости и устойчивости найденного решения. Теорема о существовании и единственности решения данной задачи с условием Коши отличается лишь наличием условия согласования данных задачи.

Пусть X, 2), И — банаховы пространства, Ф € £(Х;11), заданы отображения В : [О,Т] -4 £(И;2)), у : [0,Т] -> 2), Ф : [О, Г] -+ 11, вектор х0 € X. Рассмотрим линейную эволюционную обратную задачу

Ьх(1) = А/х(£) + Я(£)и(£) + у(£), £ е [О,Т], (29)

Рх( 0) = х0, (30)

Фх(£) = Ф(£), £ € [0,Т] (31)

Ее решением будем называть пару х е С1([0, Т]; П С([0,Т]; Ду), и € С1 ([0,Т];П), для которой выполняются равенства (29)-(31). Теорема 6. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, х0 е Д\/,, <5Я £ ЯоВ е С^([о,Т}-, £(*,%)), Яу е сЧвад), <2оу е С2р+1([0,Т];2)), Ф е С{Х-,а), X1 С кегФ, Ф € Ср+1([0,Т];и), существует обратный оператор (ФЛ/0"1(?оВ(*))"1 = Л(£) при всех £ е [0,Т], Л € СР+1([0,Т];£(И)), ФНЧГй^оВЦ) = 0 при всех £ € [0,Т], к = 1,2,...,р. Тогда существует единственное решение х £ ^([О, Т\,Х) П С([0,Т]; Ди), и 6 С1 ([0, Т];И) задачи (29) (31), при этом оно имеет вид

х(£) = Х(£)х0 + /Л-(£- 5)£Г1(Э(£(«М8) + у{з))(1з-о

- Е НкМд1 (<ЭоВ(£)и(£) + д0р(ф(к>,

к=О

«(«) = -(Ф Мо^оВ^У'Ф Е Я*М0"1(<?оу)(*)(0 - (ФЛ/о-1доВ(0)"1Ф№

к=0

и удовлетворяет условиям

1М1сч[о,г];2) <

< с(||Рх0||ол, + ||<?2/||сЧ[0,Г]:2)) + 11<Эоу||с^и([о,П;«д) + ЦФЦс+Ч'ДГ)«)' ||и||сЧ[0,Г]Д) < с(||(?0У||с>'+1([0,Г];2)) + IIФ||сЧ[0,Г]й!)) , где с> 0 не зависит от хо, у, Ф.

Замечание 1. Условия ФЯ*Л/о'(ЗоЯЖО = 0 ПРИ всех 1 е [°'Г]' 1 = 0,1,...,к, к =1,2,... ,р заведомо выполняются в следующих случаях: (¡) оператор А/ сильно (Ь, 0)-радиален, тогда Я = 0; (п) ФЯ = 0;

(ш) ЯЛ1(71С?ПВ({) = 0 при всех £ 6 [0,Т], которое влечет равенства НкМог{С}0В)М№=Опрн всех £ е [0,Т], I = 0,1,..., к, к = 1,2,... ,р.

Рассмотрим обратную задачу для системы уравнений Осколкова в линейном приближении в окрестности v = О

(l-X&)vt{s,t) = isAv(s,t)-r{s,t) + b(s,t)u(t), (s,t) eiîx [0,Т], (32)

V-w(a,i) = 0, (s,£) Gfix[0,T], (33)

v(s, t) = 0, (s, i) G öfi x [0, T], (34

t v(s,0) = u0(s), s£fi, (35)

J (K(0,r(t,t))RndÇ = Ф(t), t G [0,T], (36)

(i

Здесь fi С R" — ограниченная область с границей ôfi класса Сх. Вектор-функции V = (vi,v2,...,vn), г = (rbr2,... ,гп) и функция и неизвестны.

В случае, когда х-1 £ о {А), получаем ситуацию (i) из замечания 1. Из теоремы 6 при р = 0 следует утверждение.

Теорема 7. Пусть х-1 £ v(A), Ъ G C^O.T];!^), v0 ei I, К е L2,

К ± ПД[Н2], (K,Ub{-,t))h2 ф 0 при всех t е [0,Т], Ф G C^fO.T];®). Тогда существует единственное решение v G С1 (f0, Т"]; Ш^), г G С1 ([0, Т] ; И^), и G CH^TJjR) задачи (32)-(36), при этом оно удовлетворяет условиям

1М1сЧ[0,Т]«) < cflMnrç + ||Ф||с1([0,Т];Н)) , lkllc4[0,rj;H.) < с(||г>о||щ + ||Ф||сЧ[0,Г];К)) , ||и||с'([0,Г|;К) < с||Ф||(7Ч[0,Г1;К), где с > 0 не зависит от vq, Ф.

При х~1 £ <7(А) условие Шоуолтера необходимо модифицировать к виду (1 - хД)(«(а, 0) - Vq(s)) = 0, s G fi. (37)

В этом случае реализуется ситуация (ii) из замечания 0.0.1 и теорема 6 при р = 1 дает следующий результат.

Теорема 8. Пусть и,хф0, X'1 е <т{А), Ъ G СР([0,Т\;Шх), v0 G H2, (щ,фк) = 0 при к G М0, К G L2, К ± ПД[Н2], (K,b(-,t)) ф 0 при всех t G [0,Т], Ф G C2([0,T];R). Тогда задача (32)-(34), (36), (37) имеет единственное решение v G C^QO.T];!!2), г G ^([О.Т];^), и G ^([О, T];R), при этом оно удовлетворяет условиям

IMb([0,T];lEg) < С (IIuoIIhJ + ||Ф|Ь([0171;К)) , 1И|с'([0,Г];И.) < с(||го||щ + ||Ф||с2([0,Г];Н)) , ||w||c4[0,T];R) < с||Ф||С>([0,Т];К), где с > 0 не зависит от vq, Ф.

В третьей главе приведены новые результаты исследования нелокальных на временном отрезке задач для линейных неоднородных эволюционных уравнений, разрешенных относительно производной и вырожденных, а также нелокальных на временной полуоси задач для линейных однородных вырожденных эволюционных уравнений. Получены оценки устойчивости решений.

Представленные в первом параграфе результаты И. В. Тихонова используются в дальнейших рассуждениях. Во втором параграфе доказана разрешимость нелокальной по времени задачи на отрезке для неоднородного уравнения, разрешенного относительно производной. В третьем параграфе доказана разрешимость нелокальной по времени задачи на отрезке для неоднородного вырожденного уравнения. Четвертый параграф посвящен примеру использования абстрактных результатов при исследовании однозначной разрешимости нелокальной по времени задачи для уравнения, описывающего эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости. В пятом параграфе показана

редукция к общим результатам и однозначная разрешимость нелокальной по времени задачи для линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля, в которой для двухфазной среды связываются температура относительно температуры равновесия между фазами и фазовая функция.

Далее приведены условия однозначной разрешимости нелокальной задачи на полуоси для однородного вырожденного уравнения. Они проиллюстрированы на примере задачи для уравнения с многочленами от оператора Лапласа.

При Т\ > Т > 0 рассмотрим нелокальную задачу

т

х(1)ф)И = х0, (38)

I-

о

для неоднородного вырожденного эволюционного уравнения

LxQt) = Mx(t) + /(í), t G [0,Tí], (39)

где L G £(;Я)), M G Cl(X; 2)), / : [0, Tí] -> 2), X и 2) - банаховы пространства.

Учитывая теорему 1, в случае сильно (L, р)-радиальпого оператора М обобщенным решением уравнения (39) будем называть функцию t р

x(t) = X(t)v+ f X(s)L^1Qf(t-s)ds-J2HkMó1(Qof)ík){t) (40)

Q fc=0

при V eX,Qf G C([0,Ti];íg), Qof G Cp([0,Ti];2)).

Функция x G C1 ([0,7í];£) называется классическим решением уравнения (39), если для нее равенство (39) выполняется непосредственно. Всякое классическое решение уравнения (39) является обобщенным по теореме 1. Теорема 9. Пусть выполняются следующие условия-.

(i) оператор М сильно (Ь,р)-радиалеп и непрерывно обратим;

(ii) 7) е Сп[0,Г], п G N, ЧЮ(0) = г]{к){Т) = 0 для к = 0,...,п - 2,

т

(iii) ни один нуль характеристической функциихт{г) = / eztr](t)dt не при-

о

надлежит L-спектру crL(M) оператора М;

(iv) L?Qf G С ([0,711 Qof e СЧ&ПШ ;

t p

(v) F0x0 = - Í52HkMñ\Q0fykHt)ri№.

o *=°

Тогда

(i) если Pxo € D(L-iMi)«, то существует единственное обобщенное решение х G С([0, Tí]; X) задачи (38), (39), при этом

||х||с([0,Г,];Х) <

С ^(¿Г1М1)п^хо||зс+ ll^'Q/llc^r,];^,-,^,.) + WWc^WKm) .

где константа С не зависит от хо и /;

(ii) если Px о G Xх \ D(L-ia/i)», то не существует обобщенного решения

задачи (38), (39);

(ш) при ¿Г1^/ € с([0,7!];/?(хг1Л/1)„+1), С?0/ 6 С*1 «О, Я];?)),

7/ 6 С"+1[0,Т] обобщенное решение задачи (38), (39) является классическим тогда и только тогда, когда Рхо €.

В ограниченной области О. С К™ с гладкой границей рассмотрим задачу для линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля

^(х,£) + = кАь{х,£) +9г(х,Ь), (ж, 4) е П х [0,71], (41)

Аи>(х,Ь)+аш{х,г) + 13у{х^)+до(х^) = 0, (х, г) е П х [0, 71], (42)

[ у(х,^ф)<а = у0(х), [ ш(х,г)т](г)<и = ш0{х), хеп, (43)

ду ЭШ

¿)+(1-0Мх, г) = ¿)+(1~0)ш(х, *) = 0, (х, 4) € дПх [0, 71]. (44)

Обозначим оператор Ау = Ду, БА = Я|(П) С Ь2(Г1), где Н?(П) = € Н2к(П) : 4) + (1 - в) А1у(х, 4) = 0,1 = 0,..., к - 1} .

Из теоремы 9 получим следующий результат. Теорема 10. Пусть выполняются следующие условия: (¡) 0, -а, -а + /31<£ а(А), к > 0;

(И) V € С1 [0,71,^(0)^0;

(IV) 31, «70 еС([0,71]; Я|(П));

(у) 0щ(х) + (а + А)иф) = - /0Гу0(х, 4)Ч(4)Л. Тогда

(¡) при у0 + 1ги0 6 Я|(Г2)

существует единственное обобщенное решение

задачи (41)-(44), при этом

11и1!с([0,Г,];£2(П)) + 1М1с([0,7!];£,(12)) ^ < С (||г>0 + ^оПя^П) + ||91|1с([0,Т,]:Я2(П)) + 115о|1с([0,Г,1;№(П))) , где С не зависит от г»о, Щ, 9ъ 9о\

(11) если Уо + 1и>о £ Я|(^), то не существует обобщенного решения задачи (41)-(44);

(ш) при е С([0,71]; Нд(П)), д0 е С([0,71]; ЯЙ4(П)), г, е С2[0,Т], обобщенное решение задачи (41)-(44) является классическим тогда и только тогда, когда ио + Ыо € Я^(Я).

Теорема 11. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален с константами К > 0, а < 0, функция г] : (0,оо) ->• К неотрицательная и нее взрастающая, не равная тождественно нулю. Тогда

(¡) для х0 € Дм, существует единственное обобщенное решение х 6 С([0,+оо);ЗГ) задачи

ос

У х{{)ф)<и = х0, Ьх{1) = Л/х(4), I > О, (45)

о

при этом для всех * > 0 ||х(£)||х < Се-1а1(||А/«о|[2ь где константа С не зависит от Хо «

(¡1) если хобЭ^Ду/,, то не существует обобщенного решения задачи (45); (ш) обобщенное решение задачи (45) является классическим тогда и только тогда, когда хо €

Показано, что условиям теоремы 11 удовлетворяет, например, задача

В диссертационной работе проведено качественное исследование нелинейных обратных задач для вырожденных эволюционных уравнений, линейных обратных задач для вырожденных эволюционных уравнений с условием переопределения на вырожденной части уравнения, а также нелокальных по времени на отрезке задач для неоднородных невырожденных и вырожденных уравнений и нелокальных на полуоси задач для однородных вырожденных уравнений. Методами теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории вырожденных полугрупп операторов доказана однозначная разрешимость задач: для нелинейных задач — необходимые условия существования и единственности локальных обобщенных и классических решений, для линейных — необходимые условия существования единственного классического решения, для нелокальных задач — необходимые и достаточные условия существования и единственности обобщенного и классического решения. Для линейных задач найдены оценки устойчивости решений.

Результаты, полученные в ходе исследования, важны не только с теоретической, но и с практической точки зрения, поскольку они имеют ряд, представленных в диссертационной работе, приложений к некоторым задачам гидродинамики, теории фильтрации, теории фазовых переходов.

Полученные результаты могут лечь в основу дальнейших исследований, например, нелинейных обратных задач с переопределением на подпространстве вырождения или нелокальных задач для нелинейных вырожденных эволюционных уравнений.

Список работ автора по теме диссертации, в журналах, входящих в Перечень ведущих периодических изданий

1. Федоров, В.Е. Нелокальная по времени задача для неоднородных эволюционных уравнений / В. Е. Федоров, Н. Д. Иванова, Ю. Ю. Федорова // Сиб. мат. журн. - 2014. - Т. 55, № 4. - С. 882-897.

2. Ivanova, N. D. Inverse problem for a linearized quasi-stationary phase field model with the degeneracy / N. D. Ivanova // Вестник Южно-Уральск. гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование и программирование. — 2013. — Т. 6, № 2. — С. 128-132.

при этом для ее решения |[л(-,£)||я4(П) £ Се з ||г0||н4(О)-

Заключение

Другие публикации автора

3. Иванова, Н. Д. Нелинейная задача идентификации для вырожденного эволюционного уравнения / Н. Д. Иванова // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам: тез. докл. 4-9 июля 2014 г. - М. : МИАН. - 2014. - С. 70-71.

4. Иванова, Н. Д. Нелинейная обратная задача для одного класса вырожденных эволюционных уравнений / Н. Д. Иванова // Физико-математические науки и образование: материалы Всероссийской научно-практической конференции 7-8 ноября 2012. — Магнитогорск: МаГУ. — 2012. — С. 81-83.

5. Иванова, Н. Д. Нелинейная обратная задача для системы уравнений Соболева / Н. Д. Иванова // Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании: тез. докл. Междунар. шк.-конф. для студентов, аспирантов и молодых ученых. Уфа: РИЦ БашГУ. — 2012. — С.212.

6. Иванова, Н. Д. Обратная задача для линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля с вырождением / Н. Д. Иванова // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений [Текст] : междунар. конф., посвящ. 105-летию со дня рождения С. J1. Соболева, Новосибирск, 18-24 авг. 2013 г.: тез. докл. — Новосибирск: Институт математики им. С. Л. Соболева. — 2013. — С. 143.

7. Иванова, Н. Д. Обратная задача для сильно вырожденного эволюционного уравнения / Н. Д. Иванова // Дифференциальные уравнения и их приложения: сб. материалов Междунар. науч. конф., Белгород, 26-31 мая 2013 г — Белгород: ИПК НИУ «БелГУ». - 2013. - С. 86-87.

8. Иванова, Н. Д. Устойчивость решения одной обратной задачи для вырожденного эволюционного уравнения / Н. Д. Иванова // Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования: тез. докл. Четвертой Междунар. конф., посвящ. 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева. Москва, РУДН, 25-29 марта 2013 г. -М. : РУДН. - 2013. - С. 419.

9. Иванова, Н. Д. Эволюционная обратная задача для уравнений соболевского типа с переопределением на ядре оператора при производной / Н. Д. Иванова // Обратные и некорректные задачи математической физики: тез. докл. Межд. конф., посвящ. 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева. Новосибирск: Сибирское научное издательство. — 2012. — С. 374-375.

10. Иванова, Н. Д. Nonlinear inverse problem for a linearized Oskolkov system / H. Д. Иванова // Нелинейные уравнения и комплексный анализ [Текст]: тез. докл. Междунар. конф. Уфа, 18-22 марта 2013 г. - Уфа: РАН, Ин-т математики с вычислит, центром УНЦ РАН. - 2013. — С. 26.

11. Иванова, Н. Д. Нелинейная обратная задача для вырожденного эволюционного уравнения / Н. Д. Иванова, В. Е. Федоров // VII Международная конференция по математическому моделированию: тез.докл. Якутск: СевероВосточный федеральный университет. — 2014. — С. 42-43.

12. Иванова, Н. Д. Один класс обратных задач для вырожденного эволюционного уравнения с переопределением на ядре разрешающей полугруппы / Н. Д. Иванова, В. Е. Федоров // Воронежская зимняя математиче-

екая школа С.Г. Крейна: материалы междунар. конф. Воронеж: Издательско-полиграфический центр «Научная книга». — 2014. — С. 150-153.

13. Иванова, Н. Д. Нелинейная обратная задача для системы Осколко-ва, линеаризованной в окрестности стационарного решения / Н. Д. Иванова, В. Е. Федоров, К. М. Комарова // Вестник Челяб. гос. ун-та. Математика. Механика. Информатика. - 2012. - Вып. 13, № 26 (280). - С. 50-71.

14. Федоров, В. Е. Нелинейная обратная задача для системы Осколкова / В. Е. Федоров, Н. Д. Иванова // Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач: тез. Третьей междунар. молодежной науч. шк.-конф. Новосибирск: Сибирское научное издательство. — 2012. — С. 72.

15. Федоров, В. Е. Нелинейная эволюционная обратная задача для некоторых уравнений соболевского типа / В. Е. Федоров, Н. Д. Иванова // Сибирские электронные мат. известия. Т. 8. Труды второй международной школы-конференции. Ч. I. «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач». — 2011. — С. 363-378.

(http: //semr.math.nsc.ru/v8/cl82-410.pdf)

16. Ivanova, N. D. Inverse problem for a degenerate evolution equation / N. D. Ivanova // Semigroups of Operators: Theory and Applications. Book of abstracts. Bedlewo, Poland, October 6-11. - IMPAN. - 2013. - P. 49-50. (http://bcc.impan.pl/13Semigroups/uploads/news/SOTA-abstracts.pdf)

17. Ivanova, N. D. Nonlinear inverse problem for a class of partial differential equations / N. D. Ivanova // Нелинейные уравнения и комплексный анализ: тез. докл. Междунар. конф. памяти A.M. Ильина, Банное, Россия, 17-21 марта 2014 г. — Челябинск: Изд-во Челяб. гос. ун-та. — 2014. — С. 23-25.

18. Ivanova, N. D. Nonlinear Inverse Problem for Sobolev Type Equations / N. D. Ivanova // Abstracts of 5th International Conference on Nonlinear Science and Complexity (Academic Exchange Center, Nan-Yang Hotel, Xi'an Jiaotong University, Xi'an, China, August 4-9, 2014). — Xi'an Jiaotong University. - 2014. — P. 54.

Отпечатано в типографии «Абсолют». г.Челябинск, ул.Сони Кривой, д. 58 а. Заказ №1 от 17.09.2015 г. Тираж 120 экз. Отпечатано с оригинального макета заказчика.