Аттракторы уравнений Навье-Стокса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ В.А.СТЕКЛОВА

На правах рукописи

Ильин Алексей Андреевич Аттракторы уравнений Навье— Стокса

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва — 2005 г.

Работа выполнена в Институте прикладной математики им М.В. Келдыша

РАН

Официальные оппоненты: чл.-корр. РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Ю.Н. Субботин; доктор физико-математических наук, профессор A.B. Фурсиков; доктор физико-математических наук профессор И.Д. Чуешов.

Ведущая организация: Московский энергетический институт

Защита диссертации состоится " " 2006 года в час. на

заседании Диссертационного совета Д 002.022.02 в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН по адресу: Москва, ул. Губкина, д. 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан "

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 002.022.02 доктор физико-математических наук, профессор

2006 г.

Ю.Н. Дрожжинов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Двумерная система Навье-Стокса вероятно является наиболее известным и популярным примером дифференциального уравнения математической физики, обладающее аттрактором в подходящем фазовом пространстве. Более того, ббльшая часть теории аттракторов бесконечномерных динамических систем зародилась и получила свое развитие с исследования именно этой системы уравнений, математическая теория которой (глобальное существование, единственность, регулярность решений и т.д.) была к тому времени достаточно хорошо разработана в известных монографиях Ладыженской, Лионса, Вишика и Фурсикова, Темама и многих других.

Существование предельного инвариантного множества, характеризующего при больших значениях времени поведение всех решений системы Навье-Стокса в ограниченной двумерной области с гладкой границей было доказано Ладыженской. Затем Бабиным и Вишиком было замечено, что это множество при больших значениях времени является притягивающим. Это множество получило название аттрактора, причем Бабин и Вишик ввели термин максимальный аттрактор (подчеркивая этим, что оно максимально среди строго инвариантных компактных множеств). Ладыженская, напротив, назвала его минимальным .В-аттрактором (подчеркивая этим, что оно минимально среди строго инвариантных множеств, притягивающих в фазовом пространстве любые ограниченные множества). Использовались также названия универсальный, глобальный и т.д. Речь же шла об одном и том же объекте.

Пусть в гильбертовом пространстве Н действует полугруппа непрерывных операторов : Н —Н, t > 0, 5о = И, Б^т = ° Зт. Полугруппа Si, как правило, является семейством разрешающих операторов ¿¿гго = соответствующих автономному дифференциальному уравнению

д%и = Р(и), и(0) = и0£ Н.

Определение 1. Компактное множество Л (<= Н называется глобальным аттрактором полугруппы если оно

1. строго инвариантно: 8гЛ = А, t > О,

2. притягивает ограниченные множества в Н: Нт*_*оо сИэ^^В, Л) = 0, где

сИб^Х, У) := 8ир1бЛГ Ыуеу \\х - у\\н.

Доказательство существования аттрактора следует следующей схеме, которую приведем для компактных (или параболических) полугрупп, перево-

дящих ограниченные множества В в компактные: БгВ § Я,1 > 0. (Разрешающие операторы системы Навье-Стокса обладают этим свойством.) Сначала доказывается существование в Н поглощающего шара В (Л о):

$В(Я) С В (Я о), V* > Т(Д, До)-

Тогда множество Во = ^^(Ло) является компактным поглощающим множеством, и аттрактор Л есть ил-предельное множество компактного поглощающего множества Во:

л = п

т> 0

.t>T

Я

В работе Фояша и Темама было также установлено, что аттрактор системы Навье-Стокса имеет конечную хаусдорфову размерность. Эта важнейшая геометрическая характеристика аттрактора сразу привлекла к себе большое внимание.

Определение 2. Хаусдорфовой размерностью компактного множества X в Н называется число

сНтя X = inf{d| [¿н{Х, d) = 0},

где ¡щ (X, d) - lim^o +Hn{X>d,e), HH{X,d,e) = vaiXc.uVd{U). Инфимум здесь берется по всем покрытиям U множества X шарами B(xt,ri) с центрами в Xi и радиусами г* < ег, а

Определение 3. Фрактальной размерностью X в Н называется число

iog2№(£)) dim^A = limsup—;——.—

log2(l/e)

где Nx{e) есть минимальное число шаров радиуса е, необходимых для покрытия X.

Из этих определений следует, что всегда dim#X < dim^X, причем в бесконечномерном пространстве несложно построить пример множества X, для которого dim# X = 0, a dim^X = сю.

Первоначальные оценки размерности использовали технику работы Малле-Паре и были очень грубыми (экспоненциальными по параметру где и коэффициент вязкости). Затем в работах Дуади и Эстерле и Ильяшенко для оценки хаусдорфовой размерности была предложена техника, основанная на

анализе поведения d-мерных объемов переносимых уравнением, линеаризованном на решении, лежащем на аттракторе.

В основополагающих работах Бабина и Вишика, Ладыженской, Фояша и Темама, Константина и Фояша исследовался характер притяжения к аттрактору, его регулярность, и были получены оценки хаусдорфовой размерности аттрактора в терминах безразмерного числа

г 11/11

названного в работе Фояша, Темама, Мэнли и Трева числом Грасгофа (здесь /- правая часть, Ai - первое собственное число оператора Стокса). А именно, для системы в ограниченной области Q с условием прилипания было доказано, что

dimH < c(Q)G2.

Дальнейший прогресс в оценках хаусдорфовой размерности аттракторов уравнений Навье-Стокса связан с спектральными оценками и интегральными неравенствами Либа-Тирринга. Идея использования неравенств Либа-Тир-ринга для оценки размерности аттракторов уравнений Навье-Стокса была впервые высказана Рюэллем, а затем некоторые нестрогие утверждения физического характера из этой работы были строго обоснованы Либом. Используя эти идеи, Темам получил принципиальное улучшение оценки размерности аттрактора в задаче в ограниченной области с условием Дирихле:

dim HA<c(tt)G.

Для задачи с периодическими краевыми условиями (система Навье-Стокса на двумерном торе) в работе Константина, Фояша и Темама эта оценка была значительно улучшена:

< cG2/3(ln(G+1))1/3,

причем было также высказано утверждение, что эта оценка логарифмически точна. Строгое доказательство этого (т. е. оценка dim# Л > c'G2/3) было получено значительно позже в работе Лиу.

Техника получения оценок снизу размерности аттракторов основывается на следующей конструкции, предложенной Бабиным и Вишиком. Из строгой инвариантности аттрактора следует, что точка и принадлежит аттрактору тогда и только тогда, когда через нее проходит полная траектория, ограниченная при t —> —оо. Отсюда следует, что аттрактор содержит неустойчивое многообразие любого стационарного решения, т. е. многообразия, вдоль

которого решения экспоненциально стремятся к стационарным точкам при £ —> —со. Итак, с помощью теоремы об инвариантном многообразии задача об оценке снизу сводится к нахождению стационарного решения с неустойчивым многообразием максимально возможной размерности.

Заметим также, что конечномерность динамики на аттракторе характеризуется не только его размерностью. Оценки сверху для асимптотического числа степеней свободы, выраженного в терминах различных определяющих проекций были получены в работах Фояша, Проди, Ладыженской, Темама, Тити, Чуешова и др.

Работы упомянутых выше авторов, а также многих других были подытожены в известных монографиях и обзорных статьях Бабина и Вишика, Ладыженской, Вишика, Чуешова, Темама, Константина и Фояша, Константина, Фояша и Темама, Хейла, Доринга и Гиббона, Фояша, Роза, Мэнли и Темама, Робинсона, Селла и Ю, Бабина. Разумеется, эти монографии посвящены не только уравнениям Навье-Стокса, но во всех из них аттракторы уравнений Навьс-Стокса занимают центральное место. Любопытно отметить, что цитированную выше работу Темама (1985) и недавний обзор Бабина (2003) разделяет почти двадцать лет, а обе работы имеют одинаковое название, совпадающее с названием настоящей диссертации.

В связи с важными приложениями к геофизической гидродинамике зна.-чительное внимание было уделено уравнениям Навье-Стокса на двумерных римановых многообразиях, причем в центре внимания, конечно, было исследование аттракторов системы на двумерной вращающейся сфере. В работах Гидальи, Марион и Темама получена оценка

<Птя Д<с(М)<7

для системы на двумерном римановом многообразии.

Итак, в перечисленных выше работах была развита общая теория оценивания размерности аттракторов, одним из главных результатов которой было доказательство того, что хаусдорфора размерность строго инвариантного множества (аттрактора) полугруппы б"* непрерывных отображений оценивается сверху ляпуновской размерностью, вычисленной в терминах глобальных показателей Ляпунова, соответствующих ¿г. Вычисление (точнее оценка сверху) самих показателей Ляпунова является достаточно сложной аналитической задачей, требующей, конечно, учета специфики конкретного дифференциального уравнения.

Для фрактальной размерности был доказан более грубый результат, типичным следствием которого являются, например, следующие оценки раз-

мерности аттрактора системы Навье-Стокса в ограниченной области $1 (Темам):

с!ипя Л < <ИтЕ Л < 2с(П)С.

Это относится и ко всем приведенным выше примерам: оценка фрактальной размерности получается из оценки хаусдорфовой размерности умножением последней на коэффициент два. О величине постоянной с(Г2), зависящей от геометрии области, не было известно ничего, и в рамках имевшихся методов вывода этих оценок никакой информации об этих постоянных получить было нельзя. Это относится ко всем без исключения примерам оценок размерности аттракторов системы Навье-Стокса в различных постановках (да и других диссипативных параболических уравнений), включая и задачу Колмогорова о системе Навье-Стокса на двумерном вытянутом торе (принципиально новые результаты в которой были не так давно получены Зианом).

Поэтому весьма актуальной является во-первых задача об оценки фрактальной размерности аттрактора через ляпуновскую размерность, т. е. доказательство общих формул типа Каплана-Йорка для фрактальной размерности, а во-вторых задача о "вычислении" глобальных показателей Ляпунова.

Что касается первой проблемы, то частичные результаты в этом направлении имеются. В работе Ханта доказаны формулы типа Каплана-Йорка для фрактальной размерности в конечномерном случае. В работе Ильяшенко и Влинчевской соответствующий результат доказан для диффеоморфизма в бесконечномерном случае. Однако, для аттракторов уравнений с частными производными применение этих результатов весьма затруднительно. При выполнении одного (не очень ограничительного) условия выпуклости один результат (применимый для аттракторов уравнений с частными производными) доказан недавно Вишиком и Чепыжовым, а также Чепыжовым и автором.

Что же касается второй задачи о вычислении показателей Ляпунова (точнее о нахождении их явных оценок сверху), то помимо проблем связанных со спецификой конкретного дифференциального уравнения (выбор фазового пространства, получение хороших апроирных оценок и т. д.) возникают сложные задачи о нахождении хороших мажорант (или даже точных значений) для использующихся и играющих ключевую роль различных постоянных в оценках для спектра оператора Стокса, в спектральных оценках и интегральных неравенствах Либа-Тирринга, а также в неравенствах для производных в многомерном случае. Решение этой задачи позволит также достичь значительного прогресса в оценивании асимптотического числа степеней свободы (определяющих мод, узлов и пр.), а также других задач, связанных с описанием качественного поведения решений.

В последнее время был проявлен значительный интерес к изучению аттракторов неавтономных диссипативных уравнений с частными производными. Более чем десятилетний цикл исследований Вишика и Чепыжова был подытожен в их монографии. Если аттракторы основных автономных уравнений математической физики (заданных в ограниченных областях, например, системы Иавье-Стокса) являются конечномерными, то с аттракторами неавтономных уравнений ситуация не является таковой, и в общем случае аттрактор неавтономного уравнения с почти периодической правой частью общего вида является бесконечномерным. Если к тому же явно зависящие от времени члены уравнения (нелинейные коэффициенты взаимодействия или правая часть) быстро осциллируют (с частотой ш), то естественным образом встает задача об аппроксимации при и> —оо возможно бесконечномерного аттрактора исходного уравнения конечномерным аттрактором автономного уравнения, т. е. задача глобального усреднения. Такого сорта результаты будут весьма интересным обобщением теорем Бабина, Вишика, Хейла, Рожель и других о полунепрерывной сверху зависимости глобальных аттракторов от параметра.

Цель работы. Развитие теории глобальных аттракторов бесконечномерных динамических систем, порожденных дифференциальными уравнениями с частными производными с уделением особого внимания уравнениям Навье-Стокса. Получение явных (и по возможности оптимальных) оценок фрактальной размерности аттракторов уравнений Навье-Стокса в различных постановках. Эта задача влечет за собой изучения ряда вопросов, связанных с нахождением точных постоянных (или их явных мажорант) в оценках спектра оператора Стокса, интегральных неравенствах Либа-Тирринга и их обобщений, а также неравенствах для производных (неравенства Соболева, Гальярдо-Ниренберга, Ладыженской).

Получение общих результатов о глобальном усреднении диссипативных уравнений с быстро осциллирующими членами с приложениями к уравнениям Навье-Стокса и другим основным диссипативным уравнениям математической физики.

Общие методы исследования. В работе используются методы теории нелинейных уравнений с частными производными, теории функциональных пространств и спектральной теории.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и получены автором.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальней-

цшх исследованиях глобального поведения решений диссипативных систем, в частности, в математической и геофизической гидродинамике.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах в Институте прикладной математики им М.В.Келдыша РАН в 1998-2004ГГ.;

в Московском государственном университете на механико-математическом факультете на семинаре под руководством проф. М.И. Вишика, на семинаре под руководством проф. В.М. Тихомирова и на семинаре под руководством чл.-корр. РАН B.C. Кашина в 1996-2005гг.;

в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН на семинаре под руководством академика С.М. Никольского и на семинаре под руководством академика Д.В.Аносова в 2005г.;

в Институте вычислительной математики РАН на семинаре под руководством академика В.П. Дымникова, проф. A.B. Фурсикова и проф. Г.М. Кобелькова в 2005г.;

в Институте проблем передачи информации РАН на семинаре под руководством проф. М.И. Вишика в 2004г.;

в Московском энергетическом институте на семинаре под руководством проф. К).А. Дубинского в 1998-2005гг.;

на семинарах математических факультетов различных университетов Великобритании (Imperial College London, Universities of Surrey, Sussex, Wales, Warwick) в 1995-2004ГГ.;

на семинарах в Калифорнийском университете (Ирвайн, США) и в Центре нелинейных исследований (Лос-Аламос, США) в 2002 и 2005гг.;

в университете Чикаго (США) на семинаре под руководством проф. П. Константина в 2005гг.;

в университете Южной Калифорнии (Лос Анджелес, США) на семинаре под руководством проф. И.Кукавицы в 2005гг.;

на семинаре университета г. Пуатье (Франция) в 2003г.;

на международной конференции "Нелинейный анализ, функциональные пространства и приложения" в Праге (Чехия) в 1994г.;

на международном семинаре "Физические свойства диссипативных уравнений с частными производными и функциональный анализ" в Гилфорде (Великобритания) в 1997г.;

на международных конференциях "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященных И.Г. Петровскому, в МГУ в 1998, 2001 и 2004гг.;

на международной конференции "Дифференциальные и функционально дифференциальные уравнения" в МАИ в 2002г.;

на международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященной столетию академика С.М.Никольского в Математическом институте им. В.А.Стеклова в 2005г.;

Публикации. Основные результаты автора по теме диссертации опубликованы в 20 статьях в рецензируемых журналах, 5 из которых написаны в соавторстве.

Личный вклад. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из пяти глав (первая из которых является введением), которые разбиты на 12 параграфов и содержат четыре рисунка. Диссертационная работа изложена на 23-4 страницах. Библиография включает 149 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Фрактальная размерность инвариантных множеств

В главе 2 доказывается общая теорема о фрактальной размерности компактных множеств X в гильбертовом пространстве Н, которые инвариантны относительно отображения S: SX = X, а также разрабатывается соответствующая техника, предназначенная для приложений этого абстрактного результата к аттракторам диссипативных уравнений с частными производными.

Пусть в Н действует непрерывное отображение S, и пусть множество X строго инвариантно: SX = X, X ш Н. Предположим, что отображение S равномерно квазидифференцируемо на X, что по определению означает, что для любого и Е X существует линейный оператор DS(u), такой что

\\S{u) - S(v) - DS(u)(и - и)|| < Л(г)||и ~v\\,

для всех u,v Е X, для которых ||и — г>|| < г, и где h(r) —0 при г 0.

Мы также предположим, что оператор L(u) = DS(u) компактный (это предположение выполняется для уравнений Навье-Стокса). Обозначим через С") > <*2(и) > ... s-числа оператора L — L(u), т. е. собственные значения компактного самосопряженного положительного оператора (L*Ly/2. Для каждого к определим числа и>к(и) и '•

и>к(и) = ai(u)a2(u) • • ■ сек(и), й>к = зиршк{и).

иеХ

Для d вида d = к + s, 0 < s < 1 полагаем

ujd(u) = a;fc(ii)1_sa;fc+i(w)s, üd = supcod(u),

иеХ

Теорема 1. Пусть отобрао/сение S равномерно квазидифференцируемо на X и .SX = X. Пусть d=n + s,0<s<l. Предположим, что квазидифференциал L{u) — DS(u) непрерывно зависит от и Е X:

||L(u) - Цщ)\\цн,н) 0 пР'и IIм - ио|| 0, и, щ Е X.

Предположим далее, что DS(u) сжимает d-мерные объёмы равномерно по и Е X, т. е. выполняется неравенство:

G)d = sup ojd(u) < 1. мел:

Тогда

dim.F X < d. 11

Наконец, если X связно и сЦгпр X <й<\, то сИт^Х = О,

X -— х, Зх == х,

т. е. множество X состоит из единственной точки.

Далее этот результат приводится в форме удобной для приложений к дифференциальным уравнениям, и вместо отображения Б рассматривается полугруппа непрерывных отображений 5* : Н —¥ Н, обладающая инвариантным множеством X: StX = X.

Пусть £ > 0 полугруппа, действующая в гильбертовом пространстве Н, Б^т = <5£ о 5Т, ¿о = Ы. Пусть X компактное строго инвариантное множество для БгХ = X, X <ш Н. Предположим, что отображение равномерно квазидифференцируемо на X для всех Другими словами, для и, V Е X

||ЗД - - £>&(«)(« - *7)|| < Л(г)||м - ь\\,

где ||и - и|| < г, Л(г) 0, г -> 0 и 8ир4€[0|1] вирибХ Ц^ЫУдя.я). < Дополнительно предположим, что для любого фиксированного ¿ линейный оператор (квазидифференциал) Ь — Ь(Ь,и) = DSt(u) непрерывен в смысле £(//, Н) по отношению к и (= X.

Собственные значения самосопряженного положительного (компактного) оператора (Ь*Ь)1/2 обозначим через а^^и) > о;2(^, и) > ..., и положим

<*>*(*,«) = £*!(*, и)а2(г,и) • •-а*^,«)' ¿>¿(0 = вир а;*(£, и).

иех

Тогда существует предел Ит^«, £-11п £>*(<) = д(к). Числа д(к) называются суммами первых к глобальных показателей Ляпунова.

Теорема 2. Пусть X (е Н компактное строго инвариантное множество полугруппы Пусть равномерно квазидифференцируема на X и квазидифференциал ОЭ^и) непрерывно зависит от и 6 X.

Предположим, что для целого п > 0 выполнены неравенства д(п) > 0 и д(п + 1) < 0. Тогда

(ИтРХ < ¿о = п+ ^П') .

Ч\*Ч -Я{п + 1)

Если д(1) < 0 и X связно, то сНт^-Х" = 0.

Число ¿о называется ляпуновской размерностью множества X. Таким образом, фрактальная размерность X не превосходит ляпуновской размерности, вычисленной в терминах глобальных показателей Ляпунова.

Приложения к аттракторам уравнений Навье—Стокса

В главе 3, занимающей центральное место в работе, получены явные верхние и нижние оценки фрактальной размерности глобального аттрактора двумерной системы Навье-Стокса в двух классических постановках (в ограниченной области с условием прилипания и для задачи Колмогорова), для системы на двумерной сфере (и на произвольном двумерном римановом многообразии), а также для вязкого возмущения двумерной системы Эйлера с трением.

Система Навье—Стокса в области с ограниченной мерой

В качестве первого приложения приведенной выше абстрактной теоремы 2 рассматривается наиболее известный пример, а именно, аттрактор уравнений Навье-Стокса в двумерной области с условием прилипания на границе:

2

дги + игдги — 1/Аи — "V р +

сНум = 0, «|ап = 0, м(0) = гг0) П <£ М2,

где и — (и1, и2) — вектор скорости, р — давление, V > 0 — вязкость, а / вынуждающая сила. Система рассматривается в произвольной связной двумерной области £2, с конечной мерой |Г2| < оо, причём на гладкость границы не накладывается никаких ограничений.

Теорема 3. Фрактальная размерность аттрактора А допускает следующие. оценки в терминах чисел С = ||/||/(А1^2) и С — ||/|||П|/^2:

где обозначает площадь области О, а Ах - первое собственное значение оператора Стокса. Кроме того, если

М < (3/2)3/V/2 = 3.2562 ... илиЩ[51 < (37г)3/22-1/2 = 20.4593... ,

А] V V1

то

сНт/г А = 0

и А ■— й, где й единственное глобально асимптотически устойчивое стационарное решение.

/ = /ко1ш = {/\ ñ = {' ~ Г ¿ ' Л €

Размерность аттрактора в задаче Колмогорова

Рассматривается система Навье-Стокса

2

dtu + ^^ u%diu — vА и — V р + /, div и = О i=i

на двумерном торе Т2 = (0,L/a) х (0,L), где 0 < а < 1 безразмерный (малый) параметр. Предполагается, что все функции имеют нулевое среднее. Специально выделяется случай, когда правая часть имеет вид

f1 = Ai/2 sin 27Г*2 f2 = О,

Эта правая часть называется колмогоровской, а соответствующие стационарные решения

JV^Ag^sm^,

U = «Kolm = < , п {и2 = О,

называются потоками Колмогорова.

Будем использовать разложение пространства Н периодических бездивергентных вектор-функций на подпространство функций МЯ, зависящих только от Xi ("длинная" координата), и ортогональное дополнение NЯ (это разложение подробно описано в главе 5):

я = няемя, , мя=Л° .

Введем безразмерное число

í/2 '

а также число

¿? = -s/olG,

которое "не зависит" от а. Действительно, если / = /(^г) не зависит от х\ (а именно этот случай нас интересует больше всего, имея в виду потоки Колмогорова), то ||/||2 = ||/||~ (-^/a)ll/lli2(o ьу Таким образом, в этом случае число

и2

действительно не зависит от а.

В следующей теореме получена явная оптимальная оценка фрактальной размерности аттрактора в зависимости от параметра а:

Теорема 4. Пусть в системе Навъе-Стокса на вытянутом торе Т2 правая часть f £ NН. Тогда справедлива ог^енка фрактальной размерности глобального аттрактора Л:

dim,¿<±»lnfl5+®G.I-i;Sy где G -

а \ 7т a V27r2 J

Если выполнено неравенство

G < 4тг2(тг/3)1/2а2,

то динамика тривиальна и dini^ Л = 0.

Для колмогоровской правой части / = /кыт чри А = Л(а) v/2(x")3, когда а —> 0 (это условие обеспечивает неустойчивость потока «Koim)> выполняется двусторонняя оценка

2 247

- < dirnp Лко1т ^- при а 0.

а а

Уравнения Навье—Стокса на сфере

Оценка сверху. Рассматриваются уравнения Навье-Стокса на двумерном римановом многообразии М:

+ Vuií — i/Au = —Vp + /, div u = 0.

Здесь и — иг - бездивергентное векторное поле, иг - контравариантные составляющие, р - давление, / - вынуждающая сила, Vut¿ - ковариантная производная поля и по и, а Аи оператор Лапласа-де Рама. Далее, если М = S2, то ф, X - сферические координаты: (географическая) широта ф, — тт/2 < ф < тх/2 и долгота Л, 0 < А < 2л-, п - единичная внешняя нормаль. Пусть также сфера вращается вокруг оси, проходящей через полюса ф — ±7г/2 с угловой скоростью üj. Тогда в левую часть следует добавить член ni х и, I = 2и> sin ф, учитывающий ускорение Кориолиса. .

Справедлива следующая оценка размерности аттрактора.

Теорема 5. Система Навье-Стокса на двумерном односвязном многообразии М обладает, глобальным аттрактором Л в фазовом пространстве Я1 (TAÍ). Фрактальная размерность аттрактора допускает оценку

dimF^ < c(M)G2¡3(ln(G + l))1/3, G =

где с(М) — с(ХМ) некоторая безразмерная постоянная, зависящая лишь от форм.ы М.

Для случая М — §2 для больших G выполняется следующая явная оценка:

сИт^И. < 4(37r)_1/'3G!2/'3(lnG — ^lnl)1/3 « 1.9 (In G - 0.22)1/3,

где G = ||/||/(Aii/2), Ai = 2R~2, a R - радиус сферы. Наконец, динамика тривиальна и dirnp«4 = 0, если

G<^(f' =2.78...,

Оценка снизу. Для получения оценки снизу рассматривается семейство fs колмогоровских правых частей /:

/, {ф) = u2A\s rot Vs (sin ф) ,

где s - целочисленный параметр. Здесь Xs = s(s + 1) • R~2 - собственное значение оператора — A, Vs ~ полином Лежандра степени s с нормализацией ||'Ps(sin(0))||£.2(52(1)) — 1, А — безразмерный параметр, и для скалярной функции (р по определению rot = —п х V<£>.

С привлечением вычислений получен следующий результат. При А — До — и достаточно больших s справедлива следующая оценка снизу размерности глобального аттрактора системы Навье-Стокса на сфере:

O.IG2/3 < dim^^Koim < l-9G2/3(lnG - 0.22)1/3.

Вычисления производились вплоть до s = 100; для соответствующего числа Грасгофа выполняется G ~ 107.

Точные двусторонние оценки размерности аттрактора уравнений Эйлера с трением и исчезающей вязкостью

Рассматривается следующая система уравнений: 2

dtu + u%diU + kixti = — ци + vA и — V р + /, div и = 0. »=1

Здесь к/ х и - ускорение Кориолиса: к - единичный вертикальный вектор, а I = Iq + (Зх2 - параметр Кориолиса в приближении /3-плоскости. Эта система с/л>0и1>>0 имеет важные приложения в геофизической гидродинамике. Диссипативный член — /ш в правой части, где ¡j, коэффициент релеевского трения (или коэффициент диссипации Экмана), моделирует трение о дно в

двумерных моделях океана (когда система рассматривается в ограниченной области) или релеевское трение в планетарном пограничном слое (для двумерных атмосферных моделей, когда система рассматривается на сфере или с периодическими краевыми условиями).

Получены явные оценки сверху фрактальной размерности глобального аттрактора системы с периодическими краевыми условиями х £ Т2 = [0,2nL]2, а также явные оценки снизу, когда / есть колмогоровская правая часть. Обе оценки порядка и~1 при и —> 0. Заметим, что для классических уравнений Навье-Стокса мы имеем оценку сверху порядка и~2 для краевого условия прилипания и оценку порядка i/_4/3(log(1/V))1/3 для периодических краевых условий. Таким образом, при ц > 0 даже для периодических краевых условий мы имеем улучшение оценки размерности до оценки порядка v~l при и —У 0. Более того, эта оценка, точная.

Теорема 6. При периодических краевых условиях для глобального аттрактора Л справедлива следующая явная оценка фрактальной размерности:

, ^ • fn {6\l/2 \\ rot f\\L 3 ||rot/||2>

dimF Л < min 2 - ü-, —ii-^IL

l \rr) vp, 2n uß6

Соответственно, для колмогоровской правой части справедлива точная двусторонняя оценка

3.2.10-< dim, _ДКо1га <2.8 11 ,

UfJ, Vfl

!.5 • Ю- < dim, < 0.48 .

V/J,6 и^6

Здесь колмогоровской правой частью (при L = 1)называется семейство

_ if = ^f2A.s2sinSi2l

где А = A(s) — Aq • s, a s = ß/v оо при v —0, и Ao явно вычисляемая абсолютная постоянная.

Также доказывается явная оценка порядка и'1 для системы на сфере и в ограниченной области с условием проскальзывания.

Глобальное усреднение

Основные результаты, полученные в этом направлении в главе 4, могут быть хорошо проиллюстрированы на примере глобального усреднения системы

Навье-Стокса (записанной в виде эволюционного уравнения) с быстро осциллирующей правой частью:

+ В(и, и) + иАи = /(и>£).

Здесь В - нелинейный член, А - оператор Стокса, а правая часть / почти периодическая функция иы>1. Правая часть / имеет среднее /о-.

I- Г+'

/(з)(18 ~ /о

< тт(М,^(£)), ¿¿(¿) 0 г оо,

и исходному уравнению естественным образом соответствует усредненное автономное уравнение

д^й + В(й, й) + иАй = /о-

Исходное и усредненное уравнения обладают глобальными аттракторами А(и>) и А, соответственно.

Теорема 7. Пусть в системе Навъе-Стокса в ограниченной области с уело- . вием прилипания на границе правая часть / почти периодическая в Н. Тогда

(А(со), А) —> 0 и) —>• оо .

Для системы Навье-Стокса с периодическими краевыми условиями (или ■ на двумерном замкнутом многообразии) с правой частью / почти перио- . дической в И^А1/2) выполняется

сИв^^Д^а;), А) —» 0 ш —оо .

Теорема о глобальном усреднении доказана также для гиперболического уравнения с диссипацией с быстро осциллирующей правой частью

д^и + 7 дги = Аи — и) +

и\дп = О, хеп^г, п<3, 7 > о,

где нелинейность Т € С2(М) удовлетворяет стандартным условиям, обеспечивающим диссипативность, и условию роста \Т'(и)\ < С (1 + М^), /3 < оо при п < 2 и /3 < 2 при тг = 3.

Теорема 8. Пусть правая часть </?(£) почти периодическая в То-

гда аттракторы А(и>) полунепрерывно сверху зависят от и> при и> —> оо и стремятся в норме фазового пространства

Е0 = {у=(и,дги)- иеН¿(12), дгиеЬ2(П)}, ||и,ЭД||0 = ||Уг*||2 + ||£И|2 к аттрактору Л усредненного уравнения

сШ^£0(.Д(и;), А) -> 0, из оо.

Аналогичные результаты доказаны и для системы реакции-диффузии с быстро осциллирующими правыми частями и нелинейными функциями взаимодействия.

Неравенства

Результаты, полученные в этой части работы в главе 5, с одной стороны, самым существенным образом используются в доказательстве явных оценок размерности аттракторов в главе 3, а с другой стороны, представляют и независимый интерес.

Оценки снизу для оператора Стокса

Рассмотрим задачу на собственные значения для оператора Стокса:

- Аик + Vрк = Лкик, Амин = 0, ик\дп — О,

где собственные значения упорядочены по возрастанию Ах < Лг < ... и для них справедлива следующая асимптотика при А; —V сю (Метивье, Бабенко):

4тг к п % /Зтг2£\2/3

А*~Ж при п = 2; при п==

Отсюда, конечно, следуют оценки для сумм первых N собственных значений. Например, в двумерном случае имеем

Дч Ы2

к—\

для некоторой безразмерной постоянной с(Г2), зависящей лишь от формы области П: с(АГ2) — с(Г2). Никакой оценки значения постоянной с(Г2) из приведенной выше асимптотики извлечь нельзя.

В следующей теореме доказаны явные оценки снизу.

Теорема 9. Пусть П открытая связная область в Ж", п — 2,3 с ограниченной п-мерной мерой < оо. Тогда для собственных значений оператора Стокса выполняются следующие оценки снизу. Для п = 2

тгЛГ'

Х>>

'

и, следовательно, поскольку последовательность Xj неубывающая,

Первое собственное значение удовлетворяет неравенству

2тг

А' 5 Щ|'

Для п — 3, соответственно,

к=1

и

, ^ 12 Г3п*\2/1 1

> —

5 V 4 ) |Г2|2/3 "

Точные постоянные в одном классе неравенств для производных

В этом разделе рассматриваются неравенства вида

г=1

где многообразие М есть либо Мп, либо п-мерная сфера Б1 = (—А)^2, где Л - классический оператор Лапласа, если М = Жп, либо оператор Лапласа-Бельтрами, если М = §". На, сфере предполагается, что /§п /¿5 = 0.

Наша цель - найти в этом неравенстве наилучшую постоянную см{9) I) ~ см(д 1, • - •, в к', ¿ъ • - • > 1к)- Доказывается теорема, в которой исходная задача сводится к конечномерной задаче, зависящей от А: —2 переменных в случае Ж" и к — 1 переменных в случае §п. Проиллюстрируем соответствующий результат для классических мультипликативных неравенств (к = 2) в одномерном (п = 1) и двумерном (п — 2) случаях.

Теорема 10. На окружности (т.е. для периодических функций) справедливо следующее неравенство:

\\fWc < ((21 - )1/2||/||СИ-1)/м||/«||1/2', где I > 1/2.

\ 81П(7Г ¡Щ)

Постоянная точная, экстремальной функции нет.

Заметим, что в аналогичном неравенстве на прямой (Тайков) точная постоянная такая же, но экстремальная функция существует и единственна.

Найдены примеры неравенств на S1, в которых наилучшая постоянная строго больше соответствующей постоянной на прямой. Следующий пример примечателен тем, что аналитически может быть разобран до конца.

Наилучшая постоянная в неравенстве

Wf'Wc < csi (1/4, з/4; —liyîl1/4iiyr,îi3/4-

есть

с*(1/4,3/4; -1,1)2 = (4/27) ^f_1 + cosM я 0.663145

\ sin<^* /

где tp* - это первый положительный корень уравнения chip cos ip = 1. Экстремальная функция /* существует и единственна:

л / л v~>> nsinnix — Xn) , ,, /-s

Мх) = ¿2-4 , 4 ' где = ¥>*/(*" V2) = 1.06463 ....

Ситуация в двумерном случае еще более интересна. Теорема 11. Точная постоянная см({1 — 1)Л, 1 //; 0, Z) в неравенстве

\\f\\c < см({1 - 1)//, 1//;о,0ll/ll(i-1)/'ll(-A)'/2/ll1/'

дается при I > 1 следующими выражениями: для M = Е2

чр((1 - l)/(,l/i;0,i)2 = i(( - ;

для M = S2

cs»((i - l)/i, 1/Z;0, Z)2 = - 1)0-0/'supЯ,g(9e

47Г о

Кроме того, Нш^.4оо Hi(n) = 7г/sin(7r/i); и поэтому

cs<(l~ 1)/1,1/1\ 0,1) > cjrj((Z — 1)/Z, 1/Z; 0, Z).

Анализ поведения функции облегчается следующей леммой.

Лемма 1. Для любого 1> 1 существует //¿е(0,оо) такое, что для всех ц € [/¿г, оо) выполняется Н^ц) < Щ{оо) — -к/ ь\Х).{тг/1).

Таким образом, функцию Н^ц) достаточно рассмотреть на конечном промежутке [0,щ1 и соответствующий анализ показывает, что при небольших значениях I справедливо равенство с§а(0,1) = <^(0,1), откуда следуют явные выражения для с§г(#; I), которые использовались при оценке размерности аттракторов системы Навье-Стокса на сфере (при 1 — 2).

Рис. 1: Поведение функции Н^ц)/Н^оо) для различных I.

На рис. 1 приведены графики функций Н^^/Н^оо), упорядоченные по I

2 61 по правилу 7 87 10 .

Теорема 12. Если I = 2,3,4,5,6,7, то

с< ±(,_1)(1-0/1. \4 81П

¡¿71у)1/2||/11('-1,/'11(-Д),/г/11,/'-

Постоянная точная, экстремальной функции пет, и для данных значений I справедливо равенство с§г((/ — 1)/1,1/1; 0,1) = — 1)/1,1/1; 0,/).

При больших значениях I справедливо строгое неравенство с§а (в, I) > с^ (9,1), и, кроме того, в соответствующем неравенстве на сфере существует экстремальная функция.

Неравенства Либа—Тирринга

Интегральные неравенства Либа-Тирринга играют ключевую роль при оценке т-мерных следов линеаризованных уравнений Навье-Стокса и дают явные выражения для чисел q{m) (сумм т глобальных показателей Ляпунова), н терминах которых сформулирована основная общая теорема 2.

В следующей теореме приведены три важнейших неравенства, систематически использующиеся при оценке размерности аттракторов уравнений Навье-Стокса в двумерной области на торе Т2, на двумерной сфере В2 и в задаче Колмогорова на торе Т2 = (0,Ь/а) х (О, Ь). Существенным является тот факт, что неравенства справедливы как для ортонормированных систем функций: (<¿>1, = = 1,..., ш, так и для более общего случая субор-

тонормированных систем, причем без увеличения соответствующей постоянной, Напомним, что система {у?г}™ 1 называется субортонормированной, если для любого £ Е Ет выполняется

т тп

»>¿=1 . ;'=! Теорема 13. Пусть М обозначает либо двумерную область С К2, либо двумерный тор Т2, либо двумерную сферу §2. Предположим, что семейство бездивергентных векторных полей {г^}^ принадлежит пространству

Соболева Н1{ТМ) ( в случае М = í2 предполагается, что Е Щ(С1)2, а для тора предполагается, что компоненты векторных полей имеют нулевое среднее). Пусть это семейство являются субортонормированным в Ь-2(ТМ). Положим

т 3 = 1

Аналогично, для семейства скалярных функций Е II1 (М), которое

субортонормированно в положим

т

рЛх) = XI ч>з(х)2-з=1

Тогда справедливы неравенства

~ т

/ ру(х)2(1М <Сиг{М)У]\\го^\\2, Jм >=1

« т

где постоянная си?(М) не зависит от т и справедливы следующие явные мажоранты соответствуюгцих постоянных:

сьт(^) = сьт(М2)<-, сьт(Т2)<-, см($2)<2.

7Г 7Г

Для вытянутого тора Т2 доказано следующее неравенство, играющее важную роль при оценки размерности аттрактора в задаче Колмогорова. Для получения неравенства с постоянной, независящей от а при а —» 0, необходимо потребовать, чтобы функции существенно зависели от х2. Точный смысл последнего условия таков. Спектр а = задачи —Д«^- = АjWj в про-

странстве И = £2(Т2) П {/ /йх = 0}:

сг = {а2к2 + к1 к = (ки к2) е 1?0 = Ъ2\Ъ

представим в виде .

сг = о-ми<7м,

где

сгм = {а2к\ + к%, к2ф 0, к = (кик2) <Е ам = {а2к2, кг е Ъо), = Ъ \ 0. Соответствующие спектральные проекторы обозначим через N и М. Итак, гильбертово пространство Н расщепляется на два ортогональных инвариантных подпространства:

н = ия е м н.

Заметим, что функции из МН зависят лишь от х\.

Теорема 14. Пусть семейство Е N.7/ субортонормировано в Ь2{Т2)

и divvj = 0. Тогда для р^у(х) — 1г,^'(:г)12 справедливо неравенство

I

Jт

12

рп,{х)2дМ < сьт(Т2) || го1и,||2, где сьТ(Т2)

<

т2 -Л к

« э — 1

Неравенства Либа-Тирринга при ш = 1 переходят в известные неравенства Ладыженской-Гальярдо-Ниренберга, и разработанные в этой главе методы дают в качестве следствия следующие неравенства с асимптотически точными постоянными (показатель 1/2 у д в приводимых ниже выражениях не может быть заменен на меньший).

Теорема 15. Пусть / 6 Яг(§2) и /(в^Б = 0. Тогда

( /к\{я~2)Пя

||/11м*)< V Я1/2т2/ЧЪ/Г-2/« д 6 [2, со).

В частности, в случае q = 4 константа в этом неравенстве может быть улучшена, и справедливо явное неравенство Ладыженской на сфере

ll/lk<s») < 21/4||/||1/2||V/|r.

Для, и £ H1(TS2), divti = 0 справедливы неравенства

( /ñ\i9~2)/2<1

IMk(TW) < (^J í^llttll^llrotull1-2/« q € [2, oo),

И^ ||£4(Т§2) <21/4||u||1/2||rotW||1/2.

Аналогичные неравенства справедливы для двумерного тора Т2 = [О, L]2. Пусть f е Н1{Т2). Тогда

/ о Л

H/lkfP) < {-i) ^ll/II^IIV/ll1-2/" q Е [2, oo).

В частности, в случае q = 4 константа в этом неравенстве может быть ■улучшена, и справедливо явное неравенство Ладыо/сенской на торе

H/lkfP) < (У ll/ll1/2||V/||1/2.

Наконец, для периодических функций f € í/1/'2(S1) и Jq* f(x)dx = 0 выполняются неравенства

11/111,(8») < (-) 91/2||/l|2/9ll/lll72 ? € [2,00).

Il/lk^) < 61/4||/||I/2||/|lI/2'

где для f — Xl^i ап cos пх + Ъп sin пх,

оо

1/2 = !>(«*+*£)• п=1

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Доказана общая теорема о том, что фрактальная размерность компактного множества, строго инвариантного относительно полугруппы непрерывных операторов, оценивается сверху ляпуновской размерностью,.вычисленной в терминах глобальных показателей Ляпунова. Развита соответствующая техника, предназначенная для приложений этого абстрактного результата к оценке фрактальной размерности аттракторов широкого класса диссипатив-ных уравнений с частными производными.

2. Впервые получены явные (т. е. не содержащие неопределенных констант) оценки сверху и снизу для фрактальной размерности аттрактора для системы Навье-Стокса в различных постановках. Получены наилучшие на сегодняшний день явные оценки фрактальной размерности аттрактора системы Навье-Стокса в двумерной области с ограниченной мерой с условием прилипания, причем на границу области не накладываются никаких условий гладкости. Для системы Навье-Стокса на сфере получены логарифмически точные оценки. Для задачи Колмогорова, а также вязкого возмущения уравнений Эйлера с диссипацией получены явные оптимальные оценки.

3. Доказана общая теорема о глобальном усреднении, а именно, установлена сходимость аттракторов уравнений с быстро осциллирующими по времени коэффициентами и правыми частями к глобальному аттрактору автономного усредненного уравнения. Эта абстрактная схема реализована для системы Навье-Стокса, гиперболического уравнения с диссипацией и системы реакции-диффузии. Ранее рассматривались лишь вопросы близости индивидуальных решений.

4. Доказаны явные оценки снизу типа Ли-Яу для спектра оператора Сток-са в двумерном и трехмерном случаях. Доказаны обобщения интегральных неравенств Либа-Тирринга, причем во многих случаях неравенства доказаны с наилучшими на сегодняшний день постоянными. Найдены точные постоянные в широком классе неравенств для производных, описывающих вложения пространств Соболева в пространство непрерывных функций. Найдены асимптотически точные постоянные в мультипликативных неравенствах, описывающих вложения пространств Соболева для предельного показателя.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ильин А.А. Уравнения Навье-Стокса и Эйлера на двумерных замкнутых многообразиях// Матем. сборник 181, №4 (1990), 521-539.

2. Ильин А.А. Уравнения Эйлера с диссипацией // Матем. сборник 182, №12 (1991), 1729-1739.

3. Ильин А. А. Частично диссипативные полугруппы, порождаемые системой Навье-Стокса на двумерных многообразиях, и их аттракторы // Матем. сборник 184, №1 (1993), 55-88.

4. Ильин А.А. Усреднение диссипативных динамических систем с быстро осциллирующими правыми частями// Матем. сборник 187, №5 (1996), 15-58.

5. Ильин А.А. Точные постоянные для одного класса полимультипликативных неравенств для производных // Матем. сборник 189, №9 (1998), 61-84.

6. Ильин А.А. Интегральные неравенства Либа-Тирринга и их приложения к аттракторам уравнений Навье-Стокса// Матем. сборник 196, №1 (2005), 33-66.

7. Ilyin A. A. Some dimensionless numbers and associated inequalities describing the asymptotic behaviour of the solutions of the barotropic vorticity equation // Russian J. Num. Anal. Math. Mod. 7 (1992), 45-54.

. 8. Ilyin A.A. On the dimension of attractors for Navier-Stokes equations on the two-dimensional compact manifolds// Differential and Integral Equations 6 (1993), 183-214.

9. Ilyin A.A. Lieb-Thirring inequalities on the N-sphere and in the plane and some applications// Proc. London Math. Soc. (3) 67 (1993), 159-182.

10. Ilyin A. A. Navier-Stokes equations on the rotating sphere. A simple proof of the attractor dimension estimate// Nonlinearity 7 (1994), 31-39.

11. Edmunds D.E., Ilyin A.A. On some multiplicative inequalities and approximation numbers// Quart. J. Math. Oxford (2), 45 (1994), 159-179.

12. Ilyin A.A. Attractors for Navier-Stokes equations in domains with finite measure// Nonlinear Analysis 27 (1996), 605-616.

13. Ilyin A.A. Best constants in multiplicative inequalities for sup-norms// J. • London Math. Soc,.(2) 58 (1998) 84-96.

14. Ilyin A.A. Global averaging of dissipative dynamical systems// Reridiconti Accademia Nazionale delle Scienze detta dei XL, Memorie di Matematica e Applicazioni 116 (1998) XXII 165-191. '

15. Ilyin A.A. Best constants in Sobolev inequalities on the sphere and in Euclidean space// J. London Math. Soc. (2) 59 (1999) 263-286.

16. Chepyzhov V.V., Ilyin A.A. A note on the fractal dimension of attractors of dissipative dynamical systems// Nonlinear Analysis 44 (2001), 811-819.

17. Ilyin A.A., Titi E.S. Attractors to the two-dimensional Navier-Stokes-a models: an a-dependence study// J. Dynam. Differential Équations 15 (2003), 751-778.

18. Chepyzhov V.V., Ilyin A. A. On the fractal dimension of invariant sets; applications to the Navier-Stokes equations// Discrete and Continuous Dynamical Systems 10 (2004), 117-135.

19. Ilyin A.A. Stability and instability of generalized Kolmogorov flows on the two-dimensional sphere// Advances in Differential Equations 9 (2004), 9791008.

20. Ilyin A.A., Miranville A., Titi E.S. A small viscosity sharp estimate for the global attractor for the 2D damped-driven Navier-Stokes equations// Communications in Mathematical Sciences 2 №3 (2004), 403-426.

H.n.M. a a k 'a 3 № 3. Tnpaw lOO sks.

1 Введение

2 Размерность инвариантных множеств

2.1 Оценки фрактальной размерности инвариантных множеств

Двумерная система Навье-Стокса вероятно является наиболее известным ипопулярным примером дифференциального уравнения математической физикИ; обладающее аттрактором в подходящем фазовом пространстве. Болеетого, большая часть теории аттракторов бесконечномерных динамическихсистем зародилась и получила свое развитие с исследования именно этой системы уравнений, математическая теория которой (глобальное существование, единственность, регулярность решений и т.д.) была к тому времени достаточно хорошо разработана в известных монографиях Ладыженской [28],Лионса [36], Бишика и Фурсикова [11], Темама [51] и многих других.Существование предельного инвариантного множества, характеризующего нри больших значениях времени поведение всех решений системы НавьеСтокса в ограниченной двумерной области с гладкой границей было доказано Ладыженской [29]. Затем Бабиным и Бишиком было замечено, что этомножество при больших значениях времени является притягивающим. Этомножество получило название аттрактора, нричем Бабин и Бишик [4] ввелитермин максимальный аттрактор (нодчеркивая этим, что оно максимальносреди строго инвариантных компактных множеств). Ладыженская, напротив, назвала его минимальным В-аттрактором (подчеркивая этим, что ономинимально среди строго инвариантных множеств, притягивающих в фазовом пространстве любые ограниченные множества). Использовались такжеэнитеты универсальный, глобальный и т. д. Речь же шла об одном и том жеобъекте.Нусть в гильбертовом пространстве Я действует нолугрунна непрерывных операторов St : Н —^ Н, t > Q, So = Id, St+r = St о Sr. Нолугрупна St.,как правило, является семейством разрешающих операторов StUQ = u{t), соответствующих автономному дифференциальному уравнению= F{u), и{0) =иоеН. Доказательство существования аттрактора следует следующей схеме, которую приведем для компактных (или параболических) полугрупп: StB ШН. t > 0. (Разреп1ающие операторы системы Навье-Стокса обладают этимсвойством.) Сначала доказывается существование в Н поглощающего шараStB{R) С В{Яо), Ш > Т{Я,Тогда множество Во = SIB{RQ) является компактным поглощающим множеством, и аттрактор Л есть w-предбльное множество компактного поглощающего множества BQ:г>0[jStBot>T нВ работе Фояша и Темама [91] было также установлено, что аттракторсистемы Навье-Стокса имеет конечную хаусдорфову размерность. Эта важнейшая геометрическая характеристика аттрактора сразу привлекла к себебольшое внимание.Определение 2. Хаусдорфовой размерностью компактного множества X вН называется число= inf {ti| /^я(Х, ^) = 0},где iiH{X,d) = Пт,^о+mix,d,6), fiH{X,d,e) = infxcuVdiU). Инфимумздесь берется по по всем покрытиям U множества X шарами B{xi,ri) с центрами в Xi и радиусами г, < е, аОпределение 3. Фрактальной размерностью X в Н называется числоl0dim_p А = lim sup —Iгде Nxis) есть минимальное число шаров радиуса е, необходимых для покрытия X.Из этих определений следует, что всегда dimH X < dim^X, причем вбесконечномерном пространстве несложно построить пример множества X.для которого dimя X = 0. а dimp X = оо.Первоначальные оценки размерности использовали технику работы МаллеПаре [129] и были очень грубыми (экспоненциальными по параметру V^. гдер коэффициент вязкости). Затем в работах Дуади и Эстерле [82] и Ильякгенко [24], [25] для оценки хаусдорфовой размерности была предложена техника,основанная на анализе поведения ^-мерных объемов переносимых уравнением, линеаризованном на решении., лежаньем на аттракторе.В основополагаюш,их работах Бабина и Вишика [4]. Ладыженской [30]. [31].,Фояша и Темама [91], Константина и Фояша [77] исследовался характер притяжения к аттрактору, его регулярность, и были получены оценки хаусдорфовой размерности аттрактора в терминах безразмерного числаназванного в работе Фояша, Темама, Мэнли и Трева [88] числом Грасгофа(здесь / - правая часть, Ai - первое собственное число оператора Стокса). Аименно, для системы в ограниченной области п с условием прилипания былодоказано, чтоДальнейший прогресс в оценках хаусдорфовой размерности аттракторовуравнений Навье-Стокса связан с спектральными оценками и интегральныминеравенствами Либа-Тирринга [124]. Идея использования неравенств ЛибаТирринга для оценки размерности аттракторов уравнений Навье-Стокса была впервые высказана Рюэллем [137], а затем некоторые нестрогие утверждения физического характера из этой работы были строго обоснованы Либом [125]. Используя эти идеи. Темам [143] получил принципиальное улучшение оценки размерности аттрактора в задаче в ограниченной области сусловием Дирихле:Для задачи с периодическими краевыми условиями (система Навье-Стоксана двумерном торе) в работе Константина, Фояша и Темама [79] эта оценкабыла значительно улучшена:нричем было также высказано утверждение, что эта оценка логарифмически точна. Строгое доказательство этого (т.е. оценка (ИтнЛ > dG'^''^) былонолучено значительно позже в работе Лиу [127].Техника получения оценок снизу размерности аттракторов основывается па следуюш;ей конструкции, предложенной Бабиным и Бишиком [4]. Изстрогой инвариантности аттрактора следует, что точка и принадлежит аттрактору тогда и только тогда, когда через нее проходит полная траектория, ограниченная при t -^ — оо. Отсюда следует, что аттрактор содержитнеустойчивое многообразие любого стационарного решения, т. е. многообразия, вдоль которого решения экспоненциально стремятся к стационарнымточкам при t -^ —оо. Итак, с помоп];ью теоремы об инвариантном многообразии задача сводится к нахождению стационарного решения с неустойчивыммногообразием максимально возможной размерности.Заметим также, что конечномерность динамики на аттракторе характеризуется не только его размерностью. Оценки сверху для асимптотическогочисла степеней свободы, выраженного в терминах различных определяюш,ихпроекций были получены в работах Фояша, Проди, Ладыженской, Тити иЧуешова.Работы упомянутых выше авторов, а также многих других были подытожены в известных монографиях и обзорных статьях Бабина и Бишика [5],Ладыженской [32], [120], Бишика [145], Чуешова [58], Темама [144], [142], Константина и Фояша [80], Константина, Фояша и Темама [78], Хейла [96], Доринга и Гиббона [81], Фояша, Роза, Мэнли и Темама [90], Робинсона [136],Селла и Ю [139], Бабина [64]. Разумеется, эти монографии носвяш,ены нетолько уравнениям Навье-Стокса, но во всех из них аттракторы уравненийНавье-Стокса занимают центральное место. Любопытно отметить, что цитированную выше работу Темама [143] и недавний обзор Бабина [64] разделяетпочти двадцать лет, а обе работы имеют одинаковое название, совпадаюш,еес назвапием настояш,ей диссертации.В связи с важными приложениями к геофизической гидродинамике значительное внимание было уделено уравнениям Навье-Стокса на двумерныхримановых многообразиях, нричем в центре внимания, конечно, было исследование аттракторов системы на двумерной вращающейся сфере. В работахГидальИ; Марион и Темама [92], [93], [144] нолучена оценкаdimn Л <c{M)Gдля системы на двумерном римановом многообразии.Итак, в перечисленных выше работах была развита общая теория оценивания размерности аттракторов, одним из главных результатов которой было доказательство того, что хаусдорфора размерность строго инвариантногомножества (аттрактора) полугруппы St ненрерывных отображений оценивается сверху ляпуновской размерностью, вычисленной в терминах глобальных показателей Ляпунова, соответствующих St- Вычисление (точнее оценкасверху) самих ноказателей Ляпунова является достаточно сложной аналитической задачей, требующей, конечно, учета специфики конкретного дифференциального уравнения.Для фрактальной размерности был доказан более грубый результат, типичным следствием которого являются, например, следующие оценки размерности аттрактора системы Навье-Стокса в ограниченной области О (Темам [144]):сИшя Л < c{U)G, dimiP Л < 2c{u)G.Это относится и ко всем приведенным выше примерам: оценка фрактальнойразмерности нолучается из оценки хаусдорфовой размерности умножениемпоследней на коэффициент два. О величине постоянной с(П). зависящей отгеометрии области, не было известно ничего, и в рамках имевшихся методоввывода этих оценок никакой информации об этих ностоянных получить былонельзя. Это относится ко всем без исключения примерам оценок размерностиаттракторов системы Навье-Стокса в различных постановках (да и другихдиссииативных параболических уравнений), включая и задачу Колмогорова осистеме Навье-Стокса на двумерном вытянутом торе (принциниально новыерезультаты в которой были не так давно получены Зианом [149]).Поэтому весьма актуальной является во-первых задача об оценки фрактальной размерности аттрактора через ляпуновскую размерность, т. е. доказательство общих формул типа Каплана-Йорка для фрактальной размерности, а во-вторых задача о "вычислении" глобальных показателей Лянунова.Что касается первой проблемы, то частичные результаты в этом направлении имеются. В работе Ханта [101] доказаны формулы типа Каплана-Йоркадля фрактальной размерности в конечномерном случае. В работе Ильяшенкои Блинчевской [70] соответствующий результат доказан для диффеоморфизма в бесконечномерном случае. Однако, для аттракторов уравнений с частными производными применение этих результатов весьма затруднительно. Привыполнении одного (не очень ограничительного) условия выпуклости одинрезультат (применимый для аттракторов уравнений с частными нроизводными) доказан недавно Вишиком и Чепыжовым [76]. а также Чепыжовым иавтором [113].Что же касается второй задачи о вычислении показателей Лянунова (точнее о нахождении их явных оценок сверху), то помимо проблем связанныхсо спецификой конкретного дифференциального уравнения (выбор фазовогопространства, получение хорогаих анроирных оценок и т. д.) возникают сложные задачи о нахождении хороших мажорант (или даже точных значений)для использующихся и играющих ключевую роль различных постоянных воценках для спектра оператора Стокса, в спектральных оценках и интегральных неравенствах Либа-Тирринга, а также в неравенствах для нроизводныхв многомерном случае. Решение этой задачи позволит также достичь значительного прогресса в оценивании асимптотического числа степеней свободы(определяющих мод, узлов и пр.), а также других задач, связанных описанием качественного новедения решений.В последнее время был проявлен значительный интерес к изучению аттракторов неавтономных диссипативных уравнений с частными производными. Волее чем десятилетний цикл исследований Вишика и Ченыжова былподытожен в монографии [76]. Если аттракторы основных автономных уравнений математической физики (заданных в ограниченных областях; нанример. системы Навье-Стокса) являются конечномерными, то с аттрактораминеавтономных уравнений ситуация не является таковой, и в общем случаеаттрактор неавтономного уравнения с ночти периодической правой частьюобщего вида является бесконечномерным. Если к тому же явно зависящие отвремени члены уравнения (нелинейные коэффициенты взаимодействия илиправая часть) быстро осциллируют (с частотой и), то естественным образомвстает задача об аппроксимации при w —;> оо возможно бесконечномерногоаттрактора исходного уравнения конечномерным аттрактором автономногоуравнения, т. е. задача глобального усреднения. Такого сорта результаты будут весьма интересным обобщением теорем Вабина, Вишика, Хейла, Рожельи других о полунепрерывной сверху зависимости глобальных аттракторов отпараметра.Целью работы является развитие теории глобальных аттракторов бесконечномерных динамических систем, порожденных дифференциальными уравнениями с частными производными с уделением особого внимания уравнениям Навье-Стокса. Получение явных (и но возможности онтимальных) оценокфрактальной размерности аттракторов уравнений Навье-Стокса в различных постановках. Эта задача влечет за собой изучения ряда вопросов, связапных с нахождением точных ностоянных (или их явных мажорант) в оценкахспектра оператора Стокса, интегральных неравенств Либа-Тирринга и ихобобщений, а также неравенствах для производных (неравенства Соболева.Гальярдо-Ниренберга, Ладыженской).Получение общих результатов о глобальном усреднении диссипативныхуравнений с быстро осциллирующими членами с приложениями к уравнениям Навье-Стокса и другим основным диссинативным уравнениям математической физики.Все результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельпо с использованием методов теории нелинейных уравнений с частными производными, теории функциональных пространств и спектральнойтеории. Они состоят в следующем.1. Доказана общая теорема о том, что фрактальная размерность комнактного множества., строго инвариантного относительно полугруппы непрерывных операторов, оценивается сверху лянуновской размерностью, вычисленной в терминах глобальных ноказателей Лянунова. Развита соответствующаятехника, предназначенная для нриложений этого абстрактного результата каттракторам диссипативных уравнений с частными производными.2. Впервые получены явпые (т.е. не содержащие пеопределепных констант) оценки сверху и снизу для фрактальной размерности аттрактора длясистемы Навье-Стокса в различных ностановках. Получены наилучшие насегодняшний день явные оценки фрактальной размерности аттрактора системы Навье-Стокса в двумерной области с ограниченной мерой с условиемприлипапия. Для системы Навье-Стокса па сфере получены логарифмически точные оценки. Для задачи Колмогорова, а также вязкого возмущенияуравнений Эйлера с диссинацией получены явные оптимальпые оценки.3. Доказана общая теорема о глобальном усреднении, а именно, установлена сходимость аттракторов уравнений с быстро осциллирующими по вре10мени коэффициентами и правыми частями к глобальному аттрактору автономного усредненного уравнения. Эта абстрактная схема реализована для системы Навье-Стокса, гинерболического уравнения с диссинацией и системыреакции-диффузии. Ранее рассматривались ляшъ вопросы близости индивидуальных решений.4. Разработаны методы получения явных и в некоторых случаях точныхпостоянных в интегральных неравенствах (обобщенных неравенствах ЛибаТирринга. мультинликативных неравенств для производных), причем особоевнимание уделено неравенствам для функций и векторных нолей, заданныхна сфере. Доказаны оценки снизу типа Ли-Яу для спектра оператора Стоксав двумерном и трехмерном случаях.Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут бытьиспользованы в дальнейших исследованиях глобального поведения решенийдиссипативных систем, в частности., в математической п геофизической гидродинамике.Результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах в Институте прикладной математики им М.В.Келдыша РАН в 1998-2004гг.:в Московском государственном университете на механико-математическомфакультете на семинаре нод руководством проф. М.И. Вишика, на семинарепод руководством проф. В.М. Тихомирова и на семинаре нод руководствомчлен-корр. РАН B.C. Кашина в 1996-2005гг.;в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН на семинаре под руководством академика М.Никольского и на семинаре под руководством академика Д.В. Аносова в 2005г.;в Институте вычислительной математики РАН на семинаре нод руководствомакададемика В.Н. Дымникова, проф. А.В. Фурсикова и проф. Г.М. Кобельковав 2005г.;в Институте проблем передачи информации РАН на семинаре под руководством проф. М.И. Вишика в 2004г.;в Московском энергетическом институте на семинаре под руководством проф.Ю.А. Дубинского в 1998-2005ГГ.;на семинарах математических факультетов различных университетов Великобритании (Imperial College London, Universities of Surrey, Sussex, Wales,Warwick) в 1995-2004гг.;11на семинарах в Калифорнийском университете (Ирвайн, США) и в Центренелинейных исследований (Лос-Аламос, США) в 2002 и 2005гг.;в университете Чикаго (США) на семинаре нод руководством нроф. П. Константина в 2005гг.:в университете Южной Калифорнии (Лос Анджелес, США) на семинаре нодруководством нроф. И. Кукавицы в 2005гг.;на семинаре университета г. Пуатье (Франция) в 2003г.;на международной конференции "Нелинейный анализ, функциональные нространства и приложения" в Праге (Чехия) в 1994г.;на международном семинаре "Физические свойства диссинативных уравнений с частными производными и функциональный анализ" в Гилфорде (Великобритания) в 1997г.;на международных конференциях "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященных И.Г. Петровскому, в МГУ в 1998, 2001 и 2004гг.;на международной конференции "Дифференциальные и функционально дифференциальные уравнения" в МАИ в 2002г.;на международной конференции "Функциональные пространства, теория нриближений, нелинейный анализ", посвященной столетию СМ. Никольского вМатематическом институте им. В.А. Стеклова в 2005г.;Основные результаты автора по теме диссертации опубликованы в 20 статьях в рецензируемых журналах, 5 из которых написаны в соавторстве.Диссертация состоит из няти глав (первая из которых является введением), которые разбиты на 12 параграфов и содержат четыре рисунка. Диссертационная работа изложена на 234 страницах. Библиография включает 149наименований.Краткое содержание работы. В главе 2 доказывается общая теоремао фрактальной размерности комнактных множеств X в гильбертовом пространстве Н. которые инвариантны относительно отображения (S*: SX = X.и развивается соответствующая техника, предназначенная для нриложепийэтого абстрактного результата к аттракторам диссинативных уравнений счастными производными.12Пусть в Н действует непрерывное отображение S, и пусть множество Xстрого инвариантно: SX = X, X (Ш Н. Предположим, что отображение Sравномерно квазидифференцируемо на X, что по определению означает, чтодля любого и Е X существует линейный оператор DS{u). такой что\\S{u) - S{v) - DS{u){u - ^)|1 < h{r)\\u - vlдля всех u^v Е X. для которых ||и — v\\ < г, и где h{r) -^ О при г -^ 0.Предположим, далее, что DS{u) еснсим,ает d-мерные объёмы равномерно пои Е X, т. е. выполняет,ся неравенство:ujd = swpujdiu) < 1.u€XТогдаdimp X < d.Наконец, если X связно и dimp'X < d < 1, шо (Ишр X = О,-А. — Х^ ОХ — Xjт. е. мнооюеетво X состоит из единственной точки.13Далее этот результат приводится в форме, удобной для приложений к дифференциальным уравнениям, и вместо отображения S рассматривается полугруппа непрерывных отображений St • Н ^ Н, обладающая инвариантныммножеством X: StX = X.Дополнительно предноложим, что для любого фиксированного t линейныйоператор (квазидифференциал) L = L(t,u) = DSt{u) непрерывен в смысле£(Я,Н) по отношению ки Е X.Теорема 2. Пусть X <Ш Н компактное строго инвариантное мнооюествополугруппы St- Пусть St равномерно квазидифферепцируемд на X и квазидифференциал DSt{u) непрерывно зависит от и Е X.Предположим,, что для целого п > О выполнены неравенства q{n) > О иq{n + l) <0. ТогдаX <do = ^''^^q{n) — q[n -\-1)Если g(l) <0 и X связно, то бшхрХ = 0.Число do называется ляпуновской размерностью множества X. Таким образом, фрактальная размерность X не превосходит ляпуновской размерности, вычисленной в терминах глобальных показателей Ляпунова.В главе 3, занимающей центральное место в работе, получены явные верхние и нижние оценки фрактальной размерности глобального аттрактора дву14мерной системы Навье-Стокса в двух классических постановках (в ограниченной области с условием прилипания и для задачи Колмогорова), для системы на двумерной сфере (и на произвольном двумерном римановом многообразии), а также для вязкого возмущения двумерной системы Эйлера стрением.Система Навье-Стокса в области с ограниченной меройВ качестве первого приложения приведенной выше абстрактной теоремы 2рассматривается наиболее известный пример, а именно, аттрактор уравненийНавье-Стокса в двумерной области с условием нрилипания на границе:2г = 1divu = О, и\д[1 = О, и{0) = Wo, О (Е Ж^,где и — (u\u^) — вектор скорости, р — давление, z/ > О — вязкость, а / вынуждающая сила. Система рассматривается в двумерной области П, с конечной мерой 1^ 1 < 00, причём на гладкость границы не накладывается никакихограничений.Теорема 3. Фрактальная размерность аттрактора Л допускает следую'ш;ие оценки в терминах чисел G = ||/||/(Aiz/^) и С =<где \Щ обозначает, площадь области О., а Ai - первое собственное значениеоператора Стокса.15Размерность аттрактора в задаче КолмогороваРассматривается система Навье-Стокса2dtu + 2J"^^diU = uAu — Vр-\- f^ divм = Ог = 1на двумерном торе Т^ = (O,L/Q;) Х {O,L). где О < a < 1 безразмерный(малый) нараметр. Преднолагается. что все функции имеют нулевое среднее.Специально выделяется случай, когда правая часть имеет видЭта правая часть называется колмогоровской. а соответствуюш,ий стационарные решения называются потоками Колмогорова.Будем использовать разложение пространства Н периодических бездивергентных вектор-функций на подпространство функций МЯ, зависящих только от XI ("длинная" координата), и ортогональное дополнениеВведем безразмерное числоGа также число G = -/aG. которое "не зависит" от а. Действительно, еслиf = /(0:2) не зависит от xi (а именно этот случай нас интересует больше всего,имея в виду потоки Колмогорова), то \\ff = 1I/I1L2(T2) = LТаким образом, в этом случае числодействительно не зависит от а.В следуюш,ей теореме получена явная оптимальная оценка фрактальнойразмерности аттрактора в зависимости от параметра а.Снраведлива следующая оценка размерности аттрактора.Теорема 5. Сист.ема Навье-Стокса на двумерном, односвязном многообразии М обладает, глобальным аттрактором Л в фазовом, пространствеН^ [ТМ). фрактальная размерность аттрактора допускает оценку17где с{М) = с{ХМ) некоторая безразмерная постоянная, зависящая лишь отформы М. Здесь А,5 — s{s +1) • R'^ - собственное значение оператора —А, Vs -^ нолиномЛежандра стененн s с нормализацией ||Ps(sin(0))||2^2(5'2(i)) = 1-, Л - безразмерный параметр, и для скалярной функции (/? но определению rot (р — —п х V(/9.С привлечением вычислений нолучен следуюш;ий результат. При Л = Лд =8\/47г и достаточно больн1их s справедлива следующая оценка снизу размерности глобального аттрактора системы Навье-Стокса на сфере:Вычисления производились вплоть до s = 100; для соответствующего числа Грасгофа выполняется G ^ 10''.18Диссннативный член -fj/a в правой части, где /х коэффициент релеевскоготрения (или коэффициент диссинации Экмана), моделирует трение о дно вдвумерных моделях океана (когда система рассматривается в ограниченнойобласти) или релеевское трение в планетарном пограничном слое (для двумерных атмосферных моделей, когда система рассматривается на сфере илис периодическими краевыми условиями).Более того, эта оценка точная.Теорема 6. При периодических краевых условиях для глобального аттрактора Л справедлива следующая явная оценка фрактальной размерности:minСоответственно, для колмогоровской правой части справедлива точная двуст,оронняя оценка3.2-10-^" ^ " < d i m f ^ < 2.8Также доказывается явная оценка порядка и^ для системы на сфере и вограниченной области с условием проскальзывания.Глава 4 посвящена глобальному усреднению и основные результаты, полученные в этом направлении, могут быть хорошо проиллюстрированы напримере глобального усреднения системы Навье-Стокса (записанной в видеэволюционного уравнения) с быстро осциллирующей правой частью:+ В [и, и) -Ь и Аи — f{ujt).Исходное и усредненное уравнения обладают глобальными аттракторами Л{ши Л, соответственно.Для системы Навье-Стокса с периодическими краевыми условиями [илина двумерном замкнутом многообразии) с правой частью f почти периодической в D{A^^^') выполняетсяdist]j^A){A{uj),A) —> О а; ^ оо .Теорема 8. Пусть правая часть ip{t) почти периодическая в Щ{0). Тогда атт/ракторы А{и}) полунепрерывно сверху зависят от ш при со -^ со истремятся в норме фазового пространства% = \\Vu\\4\\dtu\к аттрактору Л усредненного уравненияdistЕо{А{ш), А)-^ О, а; —> оо.20Аналогичные результаты доказаны и для системы реакции-диффузии сбыстро осциллирующими правыми частями и нелинейными функциями взаимодействия.Результаты главы 5, с одной стороны, самым существенным образом используются в доказательстве явных оценок размерности аттракторов в главе 3, а с другой стороны, представляют и независимый интерес.Оценки снизу для оператора СтоксаРассмотрим задачу на собственные значения для оператора Стокса:- А М/с + Vpk = ХкЩ,divuk - О, Uk\dn = О,где собственные значения унорядочены по возрастанию Ai < Аг < ... и дляних справедлива следующая асимптотика [131], [3]:п р и п = 2; Х к ^ [ -гт^гт- при п = 3.Отсюда, конечно, следуют оценки для сумм первых А^ собственных значений.Например, в двумерном случае имеемА.>С(П)для некоторой безразмерной постоянной с(Г2), зависящей лишь от формы области Г2; с(АП) = с(Г2). Никакой оценки значения постоянной с(0) из приведенной выше асимптотики извлечь нельзя.В следующей теореме доказаны явные оценки снизу.Теорема 9. Пуст/ь п открытая связная область в R"^ п = 2,3 с ограниченной п-мерной мерой \Щ < оо. Тогда для собственных значений оператораС'т,окса выполняются следующие оценки снизу.Наша цель - найти в этом неравенстве наилучшую постоянную см{0] I) =см{д\-, • • • -lOk'J'ii- • • ih)- Доказывается теорема, в которой исходная задачасводится к конечномерной задаче, зависяш,ей от к —2 переменных в случае IR"я к-1 неременных в случае S". Проиллюстрируем соответствуюш,ий результат для классических мультипликативных неравенств {к = 2) в двумерномслучае (п = 2).Теорема 11. Если I = 2,3,4,5,6,7, тоПостоянная точная, экстремальной функции нет, и для данных значений Iсправедливо равенство Cg2[[l — 1)/1,1/1;0,1) = с^^2{{1 — 1)/1,1/1;0,1).При больших значениях / справедливо строгое неравенство с§2(^, I) > Ci2(6', I),и. кроме того, в соответствуюш,ем неравенстве на сфере суш,ествует экстремальная функция.Неравенства Либа-ТиррингаИнтегральные неравенства Либа-Тирринга играют ключевую роль при оценке то-мерных следов линеаризованных уравнений Навье-Стокса и дают явныевыражения для чисел q{'m) (сумм т глобальных ноказателей Ляпунова), втерминах которых сформулирована основная обитая теорема 2.7Г 7Г24Для вытянутого тора Т^ доказано следующее неравенство, играющее важную роль при оценки размерности аттрактора в задаче Колмогорова. Дляполучения неравенства с постоянной, независящей от а, необходимо потребовать, чтобы функции существенно зависели от Ж2, то есть принадлежалиТеорема 13. Пустъ семействои divvj = О, Тогда для рш{'^) —субортонормировано в Lсправедливо неравенствот/ / где127ГНеравенства Либа-Тирринга при т — 1 переходят в известные неравенства Ладыженской-Гальярдо-Ниренберга, и разработанные в этой главе методы дают в качестве следствия следующие неравенства с асимптотическиточными постоянными (показатель 1/2 у g в приводимых ниже выраженияхне может быть заменен на меньший).2. Ильин А.А. Уравнения Эйлера с диссипацией // Матем. сборник 182.,№12 (1991), 1729-1739.3. Ильин А.А. Частично диссипативные нолугрунпы, порождаемые системой Навье-Стокса на двумерных многообразиях и их аттракторы // Матем. сборник 184, №1 (1993), 55-88.4. Ильин А.А. Усреднение диссипативных динамических систем с быстроосциллирующими правыми частями// Матем. сборник 187, №5 (1996),15-58.5. Ильин А.А. Точные постоянные для одного класса полимультипликативных неравенств для производных // Матем. сборник 189, №9 (1998),61-84.6. Ильин А.А. Интегральные неравенства Либа-Тиррипга н их приложения к аттракторам уравнений Навье-Стокса// Матем. сборник 196, JY^ l(2005), 33-66.267. Ilyin A.A. Some dimensionless numbers and associated inequahties describingthe asymptotic behaviour of the solutions of the barotropic vorticity equation/ / Russian J. Num. Anal. Math. Mod. 7 (1992), 45-54.8. Ilyin A.A. On the dimension of attractors for Navier-Stokes equations on thetwo-dimensional compact manifolds// Differential and Integral Equations 6(1993), 183-214.9. Ilyin A.A. Lieb-Thirring inequalities on the N-sphere and in the plain andsome applications// Proc. London Math. Soc. (3) 67 (1993), 159-182.10. Ilyin A.A. Navier-Stokes equations on the rotating sphere. A simple proof ofthe attractor dimension estimate// Nonhnearity 7 (1994), 31-39.11. Edmunds D.E., Ilyin A.A. On some multiphcative inequalities and approximation numbers// Quart. J. Math. Oxford (2), 45 (1994), 159-179.12. Ilyin A.A. Attractors for Navier-Stokes equations in domains with finitemeasure// Nonhnear Analysis 27 (1996), 605-616.13. Ilyin A.A. Best constants in multiphcative inequalities for sup-norms// J.London Math. Soc.(2) 58 (1998), 84-96.14. Ilyin A.A. Global averaging of dissipative dynamical systems// RendicontiAccademia Nazionale delle Scienze detta dei XL, Memorie di Matematica eApphcazioni 116 (1998) XXII, 165-191.15. Ilyin A.A. Best constants in Sobolev inequalities on the sphere and in Euclidean space// J. London Math. Soc. (2) 59 (1999), 263-^16. Chepyzhov V.V., Ilyin A.A. A note on the fractal dimension of attractors ofdissipative dynamical systems// Nonlinear Analysis 44 (2001), 811-819.17. Ilyin A.A., Titi E.S. Attractors to the two-dimensional Navier-Stokes-a models: an a-dependence study// J. Dynam. Differential Equations 15 (2003),751-778.18. Chepyzhov V.V., Ilyin A.A. On the fractal dimension of invariant sets; applications to the Navier-Stokes equations// Discrete and Continuous DynamicalSystems 10 (2004), 117-135.2719. Ilyin A.A. Stability and instability of generalized Kolmogorov flows on thetwo-dimensional sphere// Advances in Differential Equations 9 (2004). 9791008.20. Ilyin A.A., Miranville A., Titi E.S. A small viscosity sharp estimate forthe global attractor for the 2D damped-driven Navier-Stokes equations//Communications in Mathematical Sciences 2 №3 (2004), 403-426.28Глава 2Размерность инвариантных множествв этой главе доказывается общая теорема об оценке фрактальной размерности комнактных множеств X в гнльбертовом пространстве Н. инвариантныхотносительно ненрерывного (и дифференцируемого на X) отображения S:SX = Х.,Х<ё Н. Доказывается, что если дифференциал DS равномерно сжимает о?-мерныеобъемы на X. то< d.Для нолугрунп St непрерывных онераторов в гильбертовом пространствеН и компактного строго инвариантного множества X [X Ш Н, StX — X) изэтого результата следует, что фрактальная размерность X допускает ту жеоценку, что и хаусдорфова размерность, а именно, обе ограничены сверху ляпуновской размерностью, вычисленной в терминах глобальных показателейЛяпунова.

1. Арестов В. В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи// УМН 51, №6 (1996), 89-124.

2. Афендиков A.JL, Бабенко К.И. Бифуркации при наличии группы симметрии и потеря устойчивости некоторых плоских течений вязкой жидкости// ДАН СССР 288 (1986), 783-788.

3. Бабенко К.И. Об асимптотике собственных значений линеаризованных уравнений Навье-Стокса// ДАН СССР 263, №3 (1982), 521-525.

4. Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы уравнений с частными производными и оценки их размерности// УМН. 38, №4 (1983), 133-187.

5. Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. Москва, Наука, 1988.

6. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. Москва, Наука, 1975.

7. Бирман М.Ш., Борзов В.В. Об асимптотике дискретного спектра некоторых сингулярных дифференциальных операторов // Проблемы математической физики, выпуск 5, Ленинградский государственный университет, 1971, 24-38.

8. Боголюбов Н.Н. О некоторых статистических методах в математической физике. Киев, Изд. АН УССР, 1945.

9. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Москва, Физматгиз, 1963.

10. Буслаев А. П. Тихомиров В. М. О неравенствах для производных в многомерном случае// Матем. заметки. 25 (1979), 59-73.

11. Вишик М.И., Фурсиков А.В. Математические задачи статистической гидромеханики. Москва, Наука, 1980.

12. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Москва, Наука, 1965.

13. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г., Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Москва, Наука, 1970.

14. Джоунс У., Трон В., Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения. Москва, Мир, 1982.

15. Дубровин В.А., Новиков С.П., Фоменко А.Е. Современная геометрия. Методы и приложения. Москва, Наука, 1986.

16. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. Москва, Наука, 1981.

17. Гилл А. Динамика атмосферы и океана. Т.1 и 2. Москва. Мир. 1986.

18. Ильин А.А. Уравнения Навье-Стокса и Эйлера на двумерных замкнутых многообразиях// Матем. сб. 181, №4 (1990), 521-539.

19. Ильин А.А. Уравнения Эйлера с диссипацией// Матем. сб. 182, №12 (1991), 1729-1739.

20. Ильин А.А. Частично диссипативные полугруппы, порождаемые системой Навье-Стокса на двумерных многообразиях, и их аттракторы // Матем. сб. 184, №1 (1993), 55-88.

21. Ильин А.А. Усреднение диссипативных динамических систем с быстро осциллирующими правыми частями// Матем. сб. 187, №5 (1996), 15-58.

22. Ильин А.А. Точные постоянные для одного класса полимультипликативных неравенств для производных // Матем. сб. 189, №9 (1998), 6184.

23. Ильин А.А. Интегральные неравенства Либа-Тирринга и их приложения к аттракторам уравнений Навье-Стокса// Матем. сб. 196, №1 (2005), 33-66.

24. Ильяшенко Ю.С. Слабо сжимающие системы и аттракторы галеркин-ских приближений уравнений Навье-Стокса на двумерном торе// Успехи механики 5, М (1982), 31-63.

25. Ильяшенко Ю.С. О размерности аттракторов к-сжимающих систем в бесконечномерном пространстве// Вестник МГУ. Сер. Матем. мех. №3 (1983), 52-59.

26. Кобояси HI, Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 2. Москва. Наука, 1981.

27. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. Москва, ГИФМЛ, 1959.

28. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. Москва, Наука, 1970.

29. Ладыженская О.А. О динамической системе, порождаемой уравнениями Навье-Стокса// Зап. научных семинаров ЛОМИ. Т. 27 (1972), 90114.

30. Ладыженская О.А. О конечномерности ограниченных инвариантных множеств для системы Навье-Стокса и других диссипативных систем// Зап. научных семинаров ЛОМИ. Т.115. (1982), 137-155.

31. Ладыженская О.А. Об аттракторах нелинейных эволюционных задач с диссипацией// Зап. научных семинаров ЛОМИ. Т.152 (1986), 72-85.

32. Ладыженская О.А. О нахождении минимальных глобальных аттракторов для уравнений Навье-Стокса и других уравнений с частными производными// УМН. 42, №6 (1987), 25-60.

33. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. Москва, Изд. МГУ, 1978.

34. Леонов Г.А. Формулы ляпуновской размерности аттракторов Хенона и Лоренца// Алгебра и анализ 13, JYfi3 (1987), 155-170.

35. Леонов Г.А. Странные аттракторы и классическая теория устойчивости движения// Успехи механики 1, №3 (2002), 3-43.

36. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. Москва. Мир, 1972.

37. Магарил-Ильяев Г. Г. Задача о промежуточной производной// Матем. заметки. 25 (1979), 81-96.

38. Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В.М. О неравенствах для производных колмогоровского типа// Матем. сб. 188, №12 (1997), 73-106.

39. Мешалкин Л.Д., Синай Я.Г. Исследование устойчивости стационарного решения одной системы уравнений плоского движения несжимаемой вязкой жидкости // Прикладная мат. мех. 25 (1961), 1140-1143.

40. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев, Наукова думка, 1971.

41. Насибов Ш.М. Наилучшие постоянные в некоторых неравенствах Соболева и их приложения к нелинейному уравнению Шрёдингера// ДАН СССР. 307 (1989), 538-542.

42. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика. Т.1 и 2. Москва. Мир, 1984.

43. Похожаев С.И. О теореме вложения С.Л. Соболева в случае pi = п, с.158-170// Труды научно-технической конференции МЭИ, Москва, Изд-во МЭИ, 1965.

44. Рид М. Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.4 Москва, Мир (1982).

45. Симоненко И.Б. Обоснование метода усреднения для абстрактных параболических уравнений// Матем. сб. 81(123), №1 (1970), 53-61.

46. Скиба Ю.Н., Математические вопросы вязкой баротропной жидкости на вращающейся сфере. Отдел вычислительной математики АН СССР, Москва, 1989.

47. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. Москва, Мир, 1974.

48. Тайков Л. В. Неравенства типа Колмогорова и наилучшие формулы численного дифференцирования// Матем. заметки. 4, №2 (1968), 233-238.49 5051