Нелокальные проблемы для трехмерных модифицированных уравнений Навье-Стокса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

.'1 У

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А.СТЕКЛСВА

(Ленинградское отделение)

ШАДИЕВ Ризамат Дазронович

НЕЛОКАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ДЛЯ ТРЕХМЕРНЫХ МОДИФИЦИРОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТрКСА (01.01.02 - дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи УДК 517.9

Ленинград

1991

Работа выполнена в Лаборатории математической физики Ленинградского отделения Математического института им.В.А.Стек-лова АН СССР

НАУЧНЫЕ РУКОВОДИТЕЛИ

доктор физико-математических наук, профессор А. П. Осколков

доктор технических наук, профессор Я.У.Саатов

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ : доктор физико-математических наук,

профессор Н.М.Ивочкина

кандидат физико-математических наук А.А.Зыков

ВЭДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Ленинградский государственный

университет

Защита диссертации состоится " <?/ "

!1Т /6~

б 1э часов на заседании специализированного

НОЯЪрЯ

1991 г.

совета

Л 002.38.04 при Ленинградском отделении ордена Ленина и ордена СктяЗрьской революции Математического института им.В.А.Стекло-ва АН СССР (адрес совета: 191С11, Ленинград, н.р.Фонтанки, 27).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЛОМИ. Автореферат разослан "_ Я " СХ/ЛЯУрЗ 1991 г,

Ученый секретарь специализированного совета, доктор флз.-матем.каук, профессор

А. П. Осколков

■.Ж":

' ~ -. о

эт ! *" "

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В докладе на Международном математическом конгрессе в Москве в ГЗоб г. академик О.АЛадыженская,в работах которой получены наиболее сильные я математически строгие результаты по теории уравнений Вавье-Стокса, предложила для детерминированного описания трехмерных нестационарных течений вязких несжимаемых жидкостей при больших градиентах скоростей ряд вариантов модифицированных уравнений Вавье-Стокса, которые должны регуляризовать уравнения Навье-Стонса в том смысле, что для них имеют место однозначная глобальная разрешимость основной начально-краевой задачи и другие глобальные результаты,которые до сих пор из доказаны для трехмерных уравнений Навье-Стокса. К числу таких систем относятся два варианта "модифицированных уравнений Навье-Стокса с нелинейной вязкостью"

^ л ^

в которых ^ .'Ул^ 0 » а также "система уравнений движения жидкостей Кельвина-2ойгта"

3)

Основная начально-краевая задача для систем (1)-(3) ставится также, как и для уравнений Швье-Стокса, и заключается в

решении систем (1)-(3) в ф ~Пх[0/Г] , £2 - ограниченная область из Е , 0<Т<оо , при начально-краевых условиях

£

- гл0(х) , Х£ Д; Гл| = о > 1 € [0,Т] . (4)

I)

О.А.Ладыженская. О некоторых нелинейных задачах теории, сп^ннх сред. Тезисы докл.по прлглаш.Лежд.катем.конгр. ,19'35,

2)

О.А.Ладыженская доказала , что начально-краеЕне задачи

(1),(4) и (2),(4) однозначно разрешимы в целом при УТ<00 ,и решения этих задач устойчивы на любом конечном интервале временя, а также исследовала разрешимость начально-краевой задачу

(2),(4) на полуоси К со свободным членом

Э = ОД ,2,..., построила для трехмерной системы (2) минимальный глобальный Ь -аттрактор ИТ, » изучила динамическую систему СШ; У^ , ), порождаемую начально-краевой задачей (2),(4), доказала конечномерность динамики У^. на аттракторе 7П и вычислила числовые характеристики аттрактора 'ТТЬ - число определяющих мод и хаусдорфову размерность аттрактора Ж'3)А)

Однозначная глобальная разрешимость при \/Т< оо

трехмерной начально-краевой задачи (3),(4) для уравнений движения

5),6)

жидкостей Кельвина-Фойгта доказана в работах А.Л.Осколкова

После указанных выше работ [й - б] встали вопросы об однозначной разрешимости в целом трехмерных начально-краевых задач (1),(4)-(3),(4) на полуоси с | Сх), , о существовании в целом периодических по Ь с периодом Сд решений трехмерных уравнений (1)-(3) с периодическими по с

2)

0.А.Лады:?-некая. О новых уравнениях дтя описания движения вязких несжимаемых жидкостей V разрешимости в целом для них краевых задач. То.г.ат.лн-та АН СССР, 1937, т.102,с. 85-104; ^п.научн.се^кнЛ1С:.!И, 1968, т.7, с. 12о--154.

0.А.Ладыженская. 0 предельных режимах для модифицированных уравнении Навье-Стокс.а" в трехмерном гго0странстве:5а1т.научн.семи н. Л О.лЯ, 1Э79, т.84, с. 131-14ь.

4)0.А.Ладыженская. 0 нахождении. минимальных глобальных аттракторов для уравнений Навье-Стокса и двугих уоавнений с частными производными. УлШ, 1987, т. 42, в. 6", с.25-60.

А. П.Соколков. Об одной нестационарной квазилинейной системе с калым параметром, регуляризуодеп Систему ушЕненлй Кавье-Стокса. проол.матем.анализа, изд-во ЛГУ, 1973,еып.4, с. 75-86. 6'А.Е. Осколков. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Слдройта. Тр../ат.ин-та

->пт>

19Б7, Т. 179, с. 12?-154.

периодом О) свободным членом ^ С*,» и об устойчивости решений трехмерных задач (1),(4) - (3),(4) при . в последние года в раде работ по теории обыкновениях .дифференциальных уравнений, теории функционально-дифференциальных уравнений и гидродинамики вязких ньютоновских и неньютоновских жидкостей

В.А.Шисс (1954), Т.Йопизава (1975),Дж.Хейл (1984), Пд.Сер-рин (1959), Дж.Хейвуд (1982). дя.Хейвуд и Р.Раннахер (1982, 1986), А.Валли (1983), К.Гийопе и Дж.Со (1987), А.П.Осколков (1990) было показано, что теоремы существования решений начально-краевых задач на полуоси К и теоремы об устойчивости решений этих задач при 'Ь-*-оо , взятие в совокупности, имеют многочисленные применения, например, позволяют доказать существование устойчивых периодических по Ь с периодом сд решений диссипативпых нелинейных уравнений с периодическим по ~Ь свободным членом , или получить равномерные на полуоси оценки скорости сходимости различных приближенных методов, а эти последние оценки, в свою очередь, как показали недавно Л.Б.Капитанский и И.Н.Костик (1990), необходимы при изучении связи между аттракторами 7ТС нелинейных диссипативных задач аттракторами ТТЬ^приближенных задач при /!/->-оо , поэтому тема диссертации является актуальной.

Цель работы состоит в том, чтобы:

доказать теоремы существования и единственности в целом на полуоси К гладких решений трехмерных начально-краевых задач (1),(4)-(3),(4) при различных предположениях о свободном члене и начальном условии Т/^ОО ;

доказать существование в целом гладких периодических по Ь с периодом сд решений трехмерных уравнений (1)-(3) с периодическим по "Ь с периодом Сд свободным членом ^ С

построить теорию устойчивости решений трехмерной начально-краевой задачи (3),(4) для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта (главным образом - обосновать принцип линеаризации, или первый метод Ляпунова, в теории устойчивости решений задачи (3),(4)), получить условия устойчивости и неустойчивости стационарного и периодического по решений задачи

(3),(4) и доказать существование. устойчивых и периодических по t с периодом ¿0 решений уравнений (3) с периодическим по Ъ с периодом сд свободным членом

Об1:;ая методика исследования, используются функциональные метод; решения начально-краевых задач математической физики, и гидродинамики, теорямы вложения функциональных пространств и теоремы о неподвижных точках компактных операторов; аналитическую основу диссертации составляют априорные оценки решений изучаемых задач.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты найдут применение при исследовании связи между аттракторами начально-краевых задач для модифицированных уравнений 1авье-Стокса (1)-(3) и найденным 0.А.Ладыженской аттрактором для уравнений Кр.вье-Стпкса при отрешении к нулк параметров регуляризации и 36. , при получении, равномерных на полуоси Ц<+ сценок скорости сходимости, различных приближенных методов решения начально-краевых задач (I),(4)-(3),(4),цри построения приближенных методов нахождения периодических по решений уравнении (1)-(3) с периодическим по Ь свободным чле ном|с*Д)и получении оценок скорости сходимости зтих приближенных методов, при исследовании устойчивости конкретных течений жидкостей Кельвпна-Фойгта.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре акад.0.А.Ладыженской в ЛО.ЛЛ им.В.А.Стеклова АК ССОР, на Всесоюзной конференции по нелинейным задачам математической физики (Ленинград, апрель 1991 г.), на 2-ой Советско-греческой конференции по математике (Тбилиси, ноябрь 1989 г.), на 27-ой Школе молодых математиков Уральского региона (Свердловск, январь 1990 г.), на ТУ-оу '¿коле молодых ученых Украины (Алушта, октябрь 1990 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-7] .

Объем :: структура работы. Диссертация состоит из Введения

- 7 -

трех глав и занимает 103 стр.машинописного текста. Библиография содер:хит 45 найме нош ни;:.

Содержащее работы

Во Введении приводятся постановки изучаемых в диссертсции задач, излагаются результаты предшествующих работ по теме диссертации и приводятся основные результаты диссертации.

Глава I посвящена доказательству теорем существования и единственности в целом на полуоси гладких решений трехмерных начально-краевых задач (1),(4) - (5),(4), решаемых в области £2, с границей £ С" , при различных предположениях о свободном члене ^ к начальном условии • В § I I прежде всего доказано (Теорема 1.1), что если

^^ДбБ/^Ь/О.)) Гло00€ УЛШИЩ/О начально-краевая задача (1),(4) имеет единственное сильное обобщенное решение "^Сх,!:) , обладающее свойствами:

и для него справедлива оценка:

В § 1.1 доказано далее (Теорема !.'/.), что если € : У^адкаь™ начально-краевая

задача (2), (4) имеет единственное решение '¿^(х,^)' обладать-щее свойствами: ,& & х € Ця)) &

ТГ I" Т-.1-1 . -^"Х ^

для него справеду:; ва оцелка:

^Напомним, что X) есть банахово пространство, пред-

ставляющее собою подпространство пространства Ь, ^.СК"*"' X) ,

для элементов которого конечна нос.п

и

(

- ^ \llflf с11 <

Легко видеть, что простряпствг. ЬгС^¡--Л®)) и вкладываются в пространство .

Основу доказательства теорем 1.1 - 1.3 составляют априорные оценки (б)-(8).. После этого существование решений доказывается, как и вработе 0.А.Ладыженской ^2^ , методом Галеркина с использованием метода монотонности Минти-Браудера.

В § 1.2 доказано презде всего (Теорема 1.6), что если

ЪтыХтт-, {€ {^¿/Х; ™

начально-краевая задача (3),(4) имеет единственное решение такое,

и для него имеет место оценка:

В § 1.2 доказано далее (основная Теооем? 1.7), что если ^ОО^/'ШЮ И(Ш; то задача (3),(4) тле-

ет единственное роиение р") такое, что:сл£ г^Д £ /^ОК*} Ьг(Й))и для него имеет место оценка (9) с^ по-стоянкой сГ , зависящей от ^ДШ^^я»* * .

В основе доказательства теорем 1.5 и 1.7 снова лежат априорные оцэ;--::и (9). После этого существование решения в теореме 1.6 доказывается методом Галеркина, а в условиях теоремы 1.7 задача (3),(4) сеодлтсл к опэратерному уравнении

¿(1)=¿V \е<1'5)А {Ыз- (р-ЛатШфо)

0 о

в котором А^- ">)(1- с£Л)й , Л - оператор Стокса, -^СЗ) = = (I- ЖЙ) -^СЭ) , К СО) = (I-»существование решения которого с о:тнсаш-:::ми в теореме 1.7 свойстве:.-: доказывается с г.о:.'0"!ь-з теоремы .¡■ерз-И'яудера о на подвижных точках компактных операторов.

Накогеп, б ? Г.2 доказывается теорем» о разрешимости на-

- У -

чально-краевой задачи для возмущенного для системы 3) уравнения

при различных предположениях об основном течении При-

ведем один из результатов (Теорема 1.9): пусть#(хД)Ол^С^ЖШ) 11 6.ЖШ • Тогда начально-краевая задача (II) ,(4)

имеет единственное сильное обобщенное решение глКхЛ)£:

1 / + \ 00 х / НШ)) Н(Я.)) (решение в смысле О.А.Ладыженской), и

для него справедлива оценка:

Глава П посвяшена доказательству существования в целом гладких периодических по с периодом б) решений трекерных уравнений (!)-(£>) с периодическим по £ с периодом сОсво--бодным членом , ^ ) , решаемых в области О. с границей

, т.е. построению глобальной теории гладких вынужденных колебаний для трехмерных уравнений (1)-(3).

В § 2.1 прежде всего доказано (Теорема 2.1), что если М ^ ь/^^ЦШ)) ■ -/(хЯ) периодичен по 1 с периодом сО , 0> то Уравнения (I) имеют по крайней мере одно обобщенное решение '^(хД), периодическое по 1 с тем же периодом СО п удовлетворяющее граничному условию (4), гто решение обладает сеойстмгм: бД,,^),. ЦСЦ)). '¿^ЩС^, и для л:обого такого решения справедлива оценка:

[I п

Далее в § 2.1 доказано (Теорема 2.2), что если ?

£ 1г(Р,и);ЦЯ)) :: | (Х; Ь) периодичен по с периодом сОД/о}>0

то уравнения (2) имеют по крайней мере одно рошэнпе (;) ,

периодическое по £ с тем же периодо:.: о) :: удоялетворяшез граничному условию (4), это решение о Издаст свойствами:

Ц . и дяя лю-

боге такого решения справедлива оценка:

К<14)

При "малих данных задачи" описанное решение является единственным.

Основу доказательства теорем 2 Л и 2.2 снова составляют априорные оценки (15) и (14). После этого существование решений доказывается методом Галеркина в сочетании с методом монотонности Минти-Браудера [2] .

В § 2.2 доказано (Теорема 2.3), что если | Дё ^^Р/Ф^'Ш) и /сх, периодичен по 1 с периодом сО , \/о) >о . то уравнения (3) имеют по крайней мере одно решение (хД) , периодическое по Ъ с тем же периодом сО и удовлетворяющее граничному условию (4), это решение обладает свойствами: £ 6 ^((^(Шпи«!)), Ь2(й)) и для любого

такого решения справедлива оценка:

При "малых данных задачи" описанное решение является единственным.

В основе доказательства теоремы 2.3 по-прежнему лежит априорная оценка (15). После этого нахождение периодического по "Ь с периодом сО решения системы (3), удовлетворяющего граничному условию (4)^_сводится к операторному уравнению

(см. (10)), существование решения которого с описанными в теореме 2.3 свойствами также доказывается с помощью теоремы Лерэ-1Иаудера о неподвижных точках компактных операторов.

Глава 11' посвящена построение теории экспоненциальной устойчивости решений трехмерной начально-краевой задачи (3),(4) для уравнений .движения жидкостей Кельвина-Фойгта при "Ь-^" 00 в

- II -

пространстве VI(£-0(главным образом - обоснованию принципа линеаризации, пли первого метода Ляпунова, з теории устойчивости решений задачи (3),(4) при =>-оо , и теории устойчивости и неустойчивости стационарного и периодического по Ь решений задачи (3),(4) и доказательству существования устойчивых в

и периодических по Ь с периодом сО решении уравнений (3) с периодическим по Ь- с периодом с0 свободным членом .

В § 3.1 прежде всего доказано (Теорема 3.1), что сильное решение Т>ОсД) задачи (3),(4) из класса \л/со Н(Я.1)экспо-ненциально устойчиво тогда и только тогда, если существуют числа ,Т > 0 такие, что каждое релекие "йг(хД) возмущенного уравнения (II), удовлетворяющее начальному условии = ^0Сх) € Н (Щ 0 Удовлетворяет условию

||{, /10€ Г . <

.Лдлее в § 3.1 дзно обоснование принципа линеаризации в теории экспоненциальной устойчивости рогений задачи (3),(4) (Теорема 3.2): сильное решение ^(кД) задачи (о),(4) из класса ) Жй)) экспоненциально устойчиво в НС^-) тогда

и только тогда, когда существуют числа оС , А >( 0 такие, что любое скль»ое решение ^(.хД') из класса W00 (К ) Н(Ш)линеаризованного возмущенного ураснония

Ш' * ¡1

на любом интервале ^ о) и при любом удовлетворяет неравенству 0

Лалее в § 3.1 указами условия устойчивости и неустойчню-сти стационарного и периодического по Ь ро_:он:1/ задачи (3),(4)

(Теоремы 3.3 - 3.5) и показано (Теоремы 3.6 и 3.7), что на устойчивость решений начально-краевых задач (2),(4) и (3),(4) в НСШ при Ь—не влияют возмущения бесконечно малой структуры.

В § 3.2 (Теоремы 3.8 и 3.9) исследуется поведение при Ъ-*-00 в норме Н (Ш "малых" гладких решений трехмерных начально-краевых задач (2),(4) и (3),(4).

В § 3.3 доказано прежде всего (Теорема 3.11), чтр если сильное решение задачи (3),(4) из класса с начальным условием и периодическим по 1 с

периодом сО свободным членом ^СхД) € Ь^Ш^^СФ)) , и это

решение экспоненциально устойчиво в Н(Д при , то либо

это решение #(х,1.)само является периодическим по "Ь с периодом с*) , либо существует периодическое по "Ь с периодом сО решение 'О- (Х,1) задачи (3),(4) из класса (Ш;1КЯ))с тем

жг свободным членом § и начальным условием £ Н(Й-), к

которому репение "£л(хД) стремится экспоненциально в

при

оо , и это периодическое по Ь решение 1) является

экспоненциально устойчивым в Н (Й) .

Далее ь § 3.3 доказано (Теорема 3.12) существование экспоненциально устойчивого в НШ) периодического по "Ь с периодом СО решения "б-СхД) уравнений (3) из класса \л/ю(1гГ;НШ))

с периодическим по с периодом сО свободным членом ^(хД) с "достаточно малой нормой" !|£|!

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

. Котсиолио A.A., Осколков А.П., Шадиев Р.Д. Глобальные априорные оценки на полуоси t > О , асимптотическая устойчивость и периодичность по времени "малых" решений уравнений движения жидкостей Олдройта и жидкостей Кельвина-Фойгта,-Препринт ЛОМИ. Р-10-8Э, Л., 1989, 65 с.

. Котсиолио A.A.,. Осколков А.П., Шадиев Р.Д. Асимптотическая устойчивость и периодичность по времени "малых" решений уравнений движения жидкостей Олдройта и жидкостей Кельвина-Фойгта. - Зап.научи.семин.ЛОЖ, 198Э. т.180, с. 137 - 150.

. Котсиолис A.A., Соколков А.П., Шадиев Р.Д. Априорные оценки на полуоси для решений уравнений движения линейных

вязкоупругих жидкостей с бесконечным интегралом Дирихле и их приложения. - Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1990, т.182, с. 86101.

. Осколков А.П., Шадиев Р.Д. Нелокальные пробле-ш .для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта. 1,2. - Зап.научн. семин. ЛОМИ, 1990, т. 181, с. 122 ~ 163; 1990, т. 185, с. 134 - 148.

. Шадиев Р.Д. Некоторые нелокальные проблемы для модифицированных в смысле О.А.Лалыженской уравнений Кавье-Стокса. -Препринт ЛО.® P-G-90, Л., 1990, 30 с.

. Шадяев Р.Д. Некоторые нелокальные проблемы для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта. - Изв. АН Узб.ССР, сер. физ.-мат.наук, 1991, вып. 3., с.

. Осколков А.П., Шадиев Р.Д. Некоторые нелокальные, проблемы для модифицированных уравнений ¡йвье-Стокса.- Зап.научн. семин.ЛОШ, 1991, т,188, с. 105 - 127. ' '

PTII Л'ЯФ, за к. 808, тир. ТОО, уч.-изд. л. 0,6 ; I6/IX—1591г. Бесплатно