Применения метода усреднений и теории пространств Орлича к уравнениям вязкой жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ГАТАПОВ Баир Васильевич

ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА УСРЕДНЕНИЙ И ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВ ОРЛИЧА К УРАВНЕНИЯМ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

01.01.02- дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

НОВОСИБИРСК 2004

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор А. В. Кажихов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук А. А. Кашеваров

кандидат физико-математических наук, доцент О. Б. Бочаров

Ведущая организация:

Институт вычислительных технологий СО РАН (г. Новосибирск)

& /Ъ

Защита состоится "--"декабря 2004 г. в -часов на заседании

диссертационного совета Д 212.174.02 в Новосибирском государственном университете (630090, Новосибирск, ул Пирогова, 2).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь

диссертационного совета ■/{'((, <_. - д.ф.-м.н. Н.И. Макаренко

иъоъ

н/м

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы математической корректности уравнений вязкой жидкости обусловлена многочисленными приложениями в механике и других областях физики. Кроме того, задачи, связанные с этими уравнениями представляют самостоятельный интерес для математиков. Наконец, исследование корректности указанных задач способствует разработке новых численных методов их решения.

Целями работы являются:

1. Аппроксимация слабого предела в пространствах Орлича и применение, полученных результатов к уравнениям Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости.

2. Доказательство теорем существования и единственности энтропийного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка в пространствах Орлича.

3. Доказательство существования обобщенного решения краевой задачи для двумерных уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости в приближении мелкой воды.

Основные результаты.

1. Предложен метод аппроксимации слабого предела в пространствах Орлича. Доказано, что слабый предел некоторой последовательности функций в пространстве Орлича может быть аппроксимирован в сильном смысле подпоследовательностью усредненных функций с радиусом усреднения, стремящимся к нулю достаточно медленно. Аппроксимация такого рода может быть использована для усиления сходимости последовательности приближенных решений уравнений в частных производных. В частности, для доказательства существования решений уравнений Навье-Стокса в [1] строится слабо сходящаяся последовательность приближенных решений. Указано, в каком смысле решения удовлетворяют уравнениям после усреднения.

2. Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка в предположении, что начальные данные принадлежат некоторому пространству

Орлича Ьм, а рост функций /¿(£, х, и) ограничивается функцией порождающей это пространство. И, тем самым, получены достаточные для существования решения ограничения на рост функций

3. Доказана глобальная разрешимость начально-краевой задачи для модели двумерной вязкой сжимаемой жидкости, в приближении мелкой воды.

Все результаты являются новыми

Методика исследования. Доказательства базируются на теории выпуклых функций и пространств Орлича, получении априорных оценок и применении классических методов функционального анализа решения нелинейных краевых задач в пространствах Соболева и Орлича.

Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер. Они могут быть использованы для конструирования и обоснования численных методов решения задач механики вязкой жидкости. Апробация результатов. Результаты докладывались

— на семинаре под руководством академика РАН В.Н. Монахова и член-корреспондента РАН П. И. Плотникова в ИГиЛ СО РАН (г. Новосибирск).

— на семинаре кафедры дифференциальных уравнений ММФ НГУ под руководством профессора А. М. Блохина.

— на семинаре кафедры дифференциальных уравнений ММФ НГУ под руководством профессора А. В. Кажихова.

— на международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" ( Новосибирск, 2000 г.).

— на Всероссийской конференции "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение" ( Новосибирск, 2004 г.).

— на конференции "Фундаментальные и прикладные аспекты естественных наук в изучении, освоении и промышленном развитии северных регионов России"( Москва, 2003 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [4]-[8]. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литерату-

.иг/

I

> • -.С ..» - .«*'

ры. Главы дополнительно разбиты на разделы. Нумерация определений, формул, утверждений и т.п. ведется отдельно для каждой главы. Список литературы содержит 72 наименования. Диссертация изложена на 60 страницах машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В введении сделан обзор литературы по тематике исследований, и кратко описаны результаты работы.

В первой главе доказано, что слабый предел некоторой последовательности функций в пространстве Орлича может быть аппроксимирован в сильном смысле подпоследовательностью усредненных функций с радиусом усреднения, стремящимся к нулю достаточно медленно.

Пусть последовательность функций /„(я) (п = 1,2,...) из пространства Орлича Ьм{&) сходится слабо в Ьм(П) к функции /(х) при п оо. Для каждого элемента последовательности }п{х) построим семейство усредняющих функций (/„)л(х). Будем говорить, функция Юнга М{Ь) удовлетворяет Дг- условию, если существуют константы С > 0 и ¿о > 0 такие, что М(2<) < СМ(4) при * > подсказана, следующая

Теорема 1. Пусть функция М(4) удовлетворяет Дг- условию, тогда существует подпоследовательность (/т)дт такая, что II/- (/т)лЛх,м(п) -+0 прит^оо, Нт-Л 0.

Если М(() произвольная функция Юнга, то существует подпоследовательность (/т)лт, сходящаяся к / в среднем, то есть

I М{|(/т)Лт («) - /(*)!) Ох = 0. п

Аппроксимация такого рода может быть использована для усиления сходимости последовательности приближенных решений уравнений в частных производных. В частности, для доказательства существования решений уравнений Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости в [1] строится последовательность приближенных решений ип, слабо сходящаяся в пространстве £2(0,Т;Ж1,2(П))П^(0,Т;!2(П)), где 1 < р < оо. Согласно теореме 1 можно выделить подпоследовательность (йт)ь.т усредненных функций так, что (Йт)^ -+Й сильно в Ь2(0,Т;1У1-а(ПЧ)П1?(0,Т;1а(П,))| {}ш)нт / сильно в ^(О.Г;!2^)), где Л' — строго внутренняя подобласть области П. Последовательность (ит)/,т (пг = 1,2,...) аппроксимирует решение предельных уравнений

ди

+ (й • У)и + Ур = Ми + /, <йки = О

в следующем смысле. Применим операцию усреднения к уравнениям системы с й = йт а получим систему для (ит)пт с правой частью, имеющей вид

/т = (/т)л„ + [((Ит)лт ' У)(ит),1т - ((ит • У)ит)Лт] =

= (/т)Лт + »го.

Имеет место

Теорема 2. Существует подпоследовательность (ит)нт такая, что разность гт стремится к нулю в норме пространства Ьр(О, Г; ЬЧ(П') ср 6 [1,2), де [!,§),

1 + 1>2.

V 2д

Следует отметить, что результаты первой главы являются обоснованием метода сглаживания, возникающего в вычислительной математике.

Вторая глава посвящена исследованию квазилинейного уравнения первого порядка. Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи

" d

Ut + £j-Mt,z,u) = 0 (1)

tidXi

4t=o=u°(x); (2)

^/¿(i.x.w) = fix, +fix,Ux.,X = (xu...,x„) e Rn,

В области ЖТ = [0,T] X = ПС0.3*:)»1* < оо.

1

Предполагается, что все функции периодические с периодом О, и что и°(х) € где главная часть функции М является максимальной

мажорантой функций /¿. Функции fi(t,x,u) определены и непрерывно дифференцируемы при (f, х) S пг и -оо < и < +оо.

Определение. Функция и € С([0,Г]; Ь1^)) ПЬ00^^]; на-

зывается обобщенным решением задачи (1)~(2), если

1) для любой неотрицательной функции <p(t,x) € Cq°(ht) и любой константы к выполняется неравенство

JJ{\u(t,x) - k\<pt + sgn(u(t,x) - k)[fi(t,x,u(t,x)) - fi(t,x,k)]<pXi -пт

- sgn(u(t,x) - k)fiXi(t,x,k)tp} dxdt > 0,

2) Существует множество E нулевой меры на [0,Г] такое, что при t G [0,Т] \ Е функция u(t,x) определена п.в. eil и

lim [ \u(t,x)-u°(x)\dx = 0. t-+o,te[o,T\\E J 1 v ' " n

Доказана

Теорема 1. Пусть для функций fc при любом i существуют константы их > 0, а > 0, с € {с 6 R+ | fM(^)dx < 00} такие, что

п

sup |/i(u)| < аМ(^) при |u| > ии и пусть производные fiXi(t,x,u)

lt,x)€7rr

неотрицательны. Тогда существует обобщенное решение задачи (1)-(2).

Также доказана устойчивость решений относительно изменения начальных данных в предположении, что функции /¿(i,x,u) непрерывно дифференцируемы в области {(t,x) € 7Г7,—00 < и < оо}, а 7Гт = [0,Т] х Rn, и функции fiXj{t,x,u) и fu(t,x,u) удовлетворяют условию Липшица по и на любом компакте.

Будем предполагать также, что для производных /,'(£, х, и) существуют константы U2 > 0, с > 0 такие, что

п

sup [V/!2(i,z,u)l* < cm(|u|) при |u| > U2, (t,i)e[o,T]xsB

где m(u) — правая производная N-функции A/(u), R — произвольное число большее нуля, Br — шар радиуса R. И пусть тп(и) является непрерывной.

Теорема 2. Пусть функции u(t,x) и v(t,x) являются обобщенными решениями задачи (1)-(2) с начальными функциями и0 (г) и v°(x) соответсвенно. Тогда для почти всех t 6 [0, То]

J |u(i,x) - v(t,x)\dx < J |«°(г) - u°(x)|cte.

Si So

Из этой теоремы об устойчивости сразу следует теорема единственности.

Доказательства теорем данной главы базируются на технике, разработанной С.Н. Кружковым в ([2]), и применении теории пространств Орлича.

В третьей главе доказана глобальная разрешимость начально -краевой задачи для модели двумерной вязкой сжимаемой жидкости, в

приближении мелкой воды:

д- положительная константа. Эта модель получается из общей системы уравнений Навье-Стокса вязкой жидкости при помощи ассимптотиче-ского анализа в предположении, что в области течения глубина много меньше ширины.

Движение происходит в ограниченной области П = {(ж,у)|0 < х < 1,0 < у < Щ. Краевые условия на границе 0 выражаются соотношениями

Ч*=0 = и1х=* =

¿Йг^О = ду |у=А = (4)

^|у=о = 1>|у=Л = 0.

В начальный момент 4 = 0 распределение скорости и плотности предполагается известным:

u|t=o = «o(s>3/)>

p\t=o = ро(х,у),

(5)

причем ро(г,г/)-строго положительная и ограниченная функция: 0 < m < ро(х,у) < M <оо.

Во втором разделе показано, что разрешимость задачи (3)-(5) при р(р) = а2р (о- некоторая постоянная) эквивалентна разрешимости сле-

дующей задачи

,,ди ди ди. ас д2и д2и 1 = °-

Роль плотности играет а и и ш горизонтальная и вертикальная

составляющие вектора скорости. Область изменения х и г есть £1 = (0,1) х (0,Я). Систему (6) рассматриваем в области С} = Л х (0,Г). Граничные условия имеют вид

и|г=0 = «|х=1 = 0,

ди I _ 0и| _ п 371г=0 - вг\г=Н ~ '

Н*=0 = Н*=Я = 0.

(7)

Здесь Н— константа большая нуля, но меньшая единицы. Согласно (5) распределение скорости и плотности при 4 = 0:

(8)

Г и|{=0 = «0(2,2), I С|(=0 = Со(®),

причем Со(®)~строго положительная и ограниченная функция: О <т< Со(®) <М < оо.

Определение. Обобщенным решением задачи (6)-(8) называется совокупность функций (£,и,и>),

С € Ь°°(0,Т;\У}(0Ж ^ 6 Ь2(0,Т\1?(0,1)),

и е ь2(о,т-,иг1(С1))п\у}(о,т-,ь2(П)), 1» б ьг(о,т-,ь2т,

удовлетворяющих интегральному тождеству т

/1 (Си(Р1 + С"2 Ух + + (<рх)(1х(1гсИ =

00 т (9)

= - / / и^йхйхйь + / ио(о<ри=0(1хс12, 0 0 п

для произвольной функции у £ £2(0,Т;Со°(П)), 1=т = 0, § = П х (0,Т). Соотношения (7)-(8) выполняются в смысле следов функций из указанных классов.

Основным результатом главы три является следующая Теорема. Пусть начальные данные ((о,ио) обладают следующими свойствами

(Со, "о) 6 ^(П), и0|х=о = ио|х=1 = О, Тогда существует обобщенное решение задачи (6)-(8), причем С(х, £) строго положительная ограниченная функция.

Основным моментом доказательства теоремы является получение оценок для плотности ((х,<). С этой целью осредняются уравнения (6), полученная система формально не отличается от одномерной модели сжимаемой среды (см. [3]):

от

О

где £ играет роль плотности, й-скорости, а р = ((1+и2 - (и)2 )-давления. Особенность системы уравнений (10) в том, что давление зависит не только от плотности ^ но и от и2 и Я2.

Само же доказательство проводится с помощью теоремы Шаудера о неподвижной точке. Для этого горизонтальная компонента скорости ищется в виде суммы двух слагаемых, одно из которых есть осреднен-ная скорость й(я,£). Тогда система (6) распадается на две подсистемы.

Первая из них описывает эффекты сжимаемости, а вторая имеет вид модели несжимаемой жидкости. После чего теорема существования сводится к теореме о неподвижной точке.

Список литературы

[1] Ладыженская О. А Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. / / М., Наука, 1970, 288 с.

[2] С. Н. Кружков, Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными,/ / Матем. сб., нов. сер., 81, вып. 2 (1970), 228-255.

[3] Антпонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей./ / Новосибирск, Наука, Сиб. отд.,1983, 315 с.

[4] Гатапов Б. В. Усреднение уравнений Навье-Стокса. / / Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс" Новосибирск, 2000 г.

[5] Гатапов Б. В. Об аппроксимации слабого предела в пространствах Орлича. / / Вестник НГУ, сер. "Математика, механика, информа-тика"Т.1, 2001 г., в.2, с.31-37.

[6] Гатапов Б.В. Задача Коши для квазилинейного уравнения первого порядка в пространствах Орлича. / / Вестник НГУ, сер. "Математика, механика , информатика"Т.2, 2002 г., в.З, с.3-10.

[7] Гатапов Б. В. О разрешимости задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка. / / Тезисы докладов конференции "Фундаментальные и прикладные аспекты естественных наук в изучении, освоении и промышленном развитии северных регионов России." Москва, 2003 г.

[8] Гатапов Б.В., Кажихов А.В. Модель сжимаемой вязкой жидкости в приближении мелкой воды. / / Тезисы докладов Всероссийской конференции "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение." Новосибирск, 2004 г.

Гатапов Баир Васильевич

Применения метода усреднений и теории пространств Орлича к уравнениям вязкой жидкости

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Формат бумаги 60 х 84 1/16 Заказ № 766

Тираж 100 экз. 19.10.2004

ЗАО "РИЦ "Прайс-Куьер", 630090, г.Новосибирск, пр. Акад. Лаврентьева, 6

1*2212 Т

РНБ Русский фонд

20054 21308

Введение

1 Аппроксимация слабого предела в пространствах Орлича и уравнения Навье-Стокса

1.1 Вспомогательные сведения из теории пространств Орлича.

1.2 Сильная аппроксимация слабых пределов.

1.3 Уравнения Навье-Стокса.

2 Задача Коши для квазилинейного уравнения первого порядка в пространствах Орлича

2.1 Существование обобщенного решения.

2.2 Единственность решения

3 Существование обобщенного решения краевой задачи для двумерных уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости в приближении мелкой воды.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Формулировка эквивалентной задачи.

3.3 Осреднения и лагранжевы координаты

3.4 Априорные оценки.

3.5 Оценки сверху и снизу для плотности.

3.6 Доказательство теоремы существования.

В диссертации излагается применение теории пространств Орлича и метода усреднений к решению краевых задач, возникающих в нелинейном движении вязких жидкостей. Рассматриваются следующие вопросы.

• Аппроксимация слабого предела в пространствах Орлича и уравнения Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости.

• Теорема существования и единственности энтропийного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка.

• Существование обобщенного решения краевой задачи для двумерных уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости в приближении мелкой воды.

1. Модель Навье-Стокса сплошной среды.

В механике сплошной среды одной из наиболее известных и интересных является модель Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости, которая имеет вид (см. [1],[2]): div(pu) = О, Pift +(u-V)u) = divP + pf. В системе (1) приняты следующие обозначения: р— плотность жидкости, й— скорость, /— заданные внешние массовые силы, Р— тензор напряжений, операторы div и V суть дивергенция и градиент по пространственным переменным х, a t— время. В декартовой системе координат г— я

П др компонента вектора divР равна где п— число пространственных j=i J переменных.

Исследование разрешимости системы (1) началось с результатов о локальном по времени существовании и единственности классических решений. Это работы J. Serrin'a [3] 1959 года и J. Nash'a [4] 1962 г. Первый поставил основные начально-краевые задачи для уравнений вязкой сжимаемой жидкости и доказал единственность их классических решений. Второй установил локальное существование классического решения задачи Коши. Несколько усовершенствовали эти результаты N. Itaya [5] в 1970 г. и Вольперт с Худяевым [6] в 1974 году. Для смешанных задач разрешимость в малом получена A. Tani [7] в 1972 году и В.А. Солонни-ковым [8] в 1976-м.

Первые результаты о глобальной разрешимости (1) появились на рубеже 1960-70-х годов и затрагивали одномерные движения с плоскими волнами (см. Я.И. Канель [9]), для более общей модели теплопроводной жидкости, это работы А.В. Кажихова, В.В. Шелухина, N. Itaya, В.А. Вайганта, и других авторов [9]-[20] (см. также книгу С.Н. Антонцева, А.В. Кажихова, В.Н.Монахова [21] и литературу, указанную в ней). Глобальная разрешимость многомерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды является на данный момент очень актуальной проблемой далекой от своего полного решения. Поэтому важное значение имеет каждый результат, касающийся того или иного подхода к многомерному случаю. Одним из подходов является изучение более простых моделей. Наиболее известные из них - это квазистационарная модель и модель в приближении Стокса. Эти приближения исследуются в публикациях С. Bernardi and O.Pironneau (1991 год) [22] , А.В. Кажихова [23], А.Е. Мамонтова [24], В.А. Вайганта [25], Lu Min, A.V. Kazhikhov and Seiji Ukai [26] и др.

Для уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой баротропной жидкости (газа), без каких-либо упрощений, вопрос о глобальной разрешимости рассматривался в работах М. Padula [27], P.L. Lions [28],[29], В.А. Вайганта и А.В. Кажихова [30], Е. Feireisl [31] и некоторых других.

В океанографии используется приближение уравнений Навье - Стокса, называемое приближением мелкой воды. Оно получается из общей системы при помощи ассимптотического анализа в предположении, что в области течения глубина много меньше ширины. Подробнее о таком анализе можно прочитать, например, в [32]. Приближение мелкой воды в нашем случае заключается в замене уравнения для вертикальной составляющей скорости на уравнение гидростатики. Первым кто предложил этот приём был, по-видимому, Н.Е. Кочин [33].

В трехмерном случае, когда по одной из координат закон сохранения импульса имеет гидростатический вид, а давление постоянно, разрешимость этой задачи была исследована В.И. Сухоносовым [34]. В случае несжимаемой жидкости задача корректности модели мелкой воды рассматривалось в работах [35]-[37]. Несмотря на успехи описанные выше для общей системы уравнений Навье-Стокса сжимаемой среды, разрешимость уравнений приближения мелкой воды в этом случае пока изучена мало.

Что касается проблемы разрешимости уравнений вязкой несжимаемой однородной жидкости, которые получаются из (1) в предположении р = const, то этой модели посвящено большое число работ. Одни из первых были работы J. Leray [38]-[40], о существовании классических решений (опубликованы в 1933-34 годах). Е. Hopf [41] в 1950 установил существование в целом по времени слабого решения, но класс, в котором были построены решения, оказался слишком широким , чтобы показать единственность. Указать классы, в которых имеется единственность, удалось О.А. Ладыженской. В начале 1960-х гг. В.А. Солонников и К.К. Головкин усовершенствовали результаты Е. Hopf'а (см. [42]-[43]). О.А. Ладыженская доказала существование и единственность в.целом по времени решений краевых задач для двумерной системы уравнений вязкой несжимаемой жидкости [44]-[45], трехмерной с осевой симметрией [46] и глобальную разрешимость трехмерной системы общего вида с вязкостью , являющейся растущей функцией от инвариантов тензора скоростей деформаций [47]. Эти результаты изложены в монографии О.А. Ладыженской [48].

2. Квазилинейное гиперболическое уравнение первого порядка.

Многочисленные применения в математической физике имеет скалярный закон сохранеия

Изучению этого квазилинейного уравнения первого порядка посвящено множество работ (см. например, [49]-[52]). О результатах для систем таких уравнений можно ознакомиться в [54]-[56].

Кружковым С.Н. в [49] была построена нелокальная теория обобщенных решений задачи Коши для уравнения (2) в классе ограниче-ных измеримых функций. От функций /г требовалось, чтобы они были непрерывны вместе с производными /w, ftuXj, flXiXj, а функции /ш(£, х, и) и /гхг(^,х,и) ограничены в области определения. В работе [50] изучена задача Коши для (2) в классе локально - суммируемых функций в предположении, что /г(и) не зависят явно от ж и являются равномерно непрерывными в R. Что существенно ограничивает рост рассматриваемых нелинейностей.

Математические проблемы механики сплошных сред всегда сопряжены с задачами математического анализа, общей теорией дифференциальных уравнений и другими разделами математики. Теория пространств Орлича также имеет применение в задачах механики см. [20], [24], [57].

Пространства Орлича-это нормированные пространства, частным случаем которых являются пространства Лебега Lp. Впервые были введены В. Орличем в [58]. В настоящее время они применяются в различных разделах математики. Наиболее подробно и систематически пространства Орлича были впервые описаны в [59] Красносельским М.А. и Ру-тицким Я.Б. Ими же были доказаны многие основные положения общей теории данных пространств. Выяснилось, что пространства Орлича во многих отношениях подобны пространствам Лебега. В этой же книге авторы показали преимущество использования этих пространств при изучении некоторых нелинейных уравнений. О современном положении теории пространств Орлича можно судить по работам С.И. Похожаева [60], A. Cianchi [61], Б.В. Трушина [62].

Диссертация состоит из трех глав, каждая из которых разбита на разделы. Нумерация определений, формул, утверждений и т.п.- своя в каждой главе.

В первой главе доказано, что слабый предел некоторой последовательности функций в пространстве Орлича может быть аппроксимирован в сильном смысле подпоследовательностью усредненных функций с радиусом усреднения, стремящимся к нулю достаточно медленно. Аппроксимация такого рода может быть использована для усиления сходимости последовательности приближенных решений уравнений в частных производных. В частности, для доказательства существования решений уравнений Навье-Стокса в [48] строится слабо сходящаяся последовательность решений. Указано, в каком смысле решения удовлетворяют уравнениям после усреднения. Следует отметить, что результаты этой главы являются обоснованием метода сглаживания, возникающего в вычислительной математике.

Глава два посвящена исследованию квазилинейного уравнения первого порядка. Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Коши для (2) в предположении, что начальные данные принадлежат некоторому пространству ОрличаДм, а рост функций /г(£, х, и) ограничивается функцией порождающей это пространство. И, тем саз) мым, получены достаточные для существования решения ограничения на рост функций /г(£,:с,у).

В третьей главе доказана глобальная разрешимость начально - краевой задачи для модели двумерной вязкой сжимаемой жидкости, в приближении мелкой воды: др д , , д , ч ди ди дич др . др ду р = р{р), д- положительная константа. Движение происходит в ограниченной области Q = {(ж,у)|0 < х < 1,0 < у < h}. Краевые условия на границе О, выражаются соотношениями и\х=о = и\х=1 = О, — — I — п v\y=0 = v\y=h = 0.

В начальный момент t = 0 распределение горизонтальной составляющей скорости и плотности предполагается известным: u|t=o = щ(х,у), причем ро(х, у)~строго положительная и ограниченная функция:

0 < т < р0(х, у) < М < оо.

Все результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинаре академика РАН В.Н. Монахова и член - корреспондента РАН П.И. Плотникова, на семинаре профессора А.В. Кажихова, на

5) и

Международной научной студенческой конференции в 2000 г., на Всероссийской конференции "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение" Новосибирск, в 2004 г. и опубликованы в работах [69]-[73].

Автор искренне благодарен своему научному руководителю профессору А.В. Кажихову за ценные советы и поддержку в работе.

1. Седов Л. И. Механика сплошной среды / / т.1, М., Наука, 1970, 492 с.

2. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа / / М., Наука, 1970, 904 с.

3. Serrin J. On the Uniquiness of Compressible Fluid Motion / / Arch. Rational.Mech. Anal. 1959 v.3 №3 p.271-299

4. Nash J. Le problem de Cauchy pour les equations differentielles d'un fluide general / / Bull.Soc. Math/ France 1962 v90 №4 p.487-491

5. Itaya N. The Existence and Uniquiness of the Solution of the Equations Describing Compressible Viscous Fluid Flow./ / Proc. Jap. Acad. 1970, v46 № p.379-382.

6. ВоАъперт А. И., Худяев С.И. О задаче Коши для составных систем нелинейных дифференциальных уравнений./ / Мат. Сб. 1972 Т.87 №4 с.504-528.

7. Tani A. On the first initial-boundary value problem of compressible viscous fluid motion/ / Publ. Res. Inst. Math. Sci. 1977. V.13 №1. p.193-253.

8. Капель Я. И. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения газа./ / Дифф. уравнения, 1968. №4, с.721-734.

9. Itaya N. On the temporally global problem of the generalized Burgers equation/ / J. Math. Kyoto Univ. 1974. v.14, №1, p.129-177.

10. Кажихов А.В. О глобальной разрешимости одномерных краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа./ / Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1976, Вып. 24,с.45-61.

11. Кажихов А.В., Шелухин В.В. Однозначная разрешимость "в целом" по времени начально-краевых задач для одномерных уравнений вязкого газа./ / Прикл. математика и механика. 1977. т.41, №2, с.282-291.

12. Белов С.Я. Разрешимость "в целом" по времени задачи протекания для уравнений Бюргерса сжимаемой жидкости./ / Краевые задачидля уравн. гидродинамики. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1981, с.З-14(Дин. сплош. среды, вып.50).

13. Шелухин В.В. Периодические течения вязкого газа./ / дин. неод. жидк. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР,1979. с.80-102(Дин. сплош. среды, вып.42).

14. Вайгант В.А. Неоднородные граничные задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа. / / Матем. проблемы мех-ки сплош. сред. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР,1990. с.3-21 (Дин. сплош. среды, вып.97).

15. Вайгант В.А. Стабилизация решений неоднородной краевой задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа./ / Задачи механики сплош. среды со своб. границами. Новосибирск:Ин-т гидродинамики СО АН СССР,1991. с.31-52 (Дин. сплош. среды;Вып.Ю1)

16. Веггао da Veiga Н. The stability of one-dimentional stationary flows of compressible viscous fluids/ / Ann. Inst. Henri Poincare, Anal. Non lineare, 1990, v.7, №4,p.259-268.

17. Secchi P. On the stationary motion of compressible viscous fluids./ /Universita di Trento. Dipartamento di matematica 1991 (preprint 354)

18. Valli A., Zajaczkowski Ж.Л/.Navier-Stokes equations for compressible fluids: global existense and qualitative properties of the solutions in the general case./ /Comm. Math. Phys.,1986, vl03, p.259-296.

19. Padula M. Existence and uniquiness for viscous steady compressible motions/ / Arch. Rat, Mech. Anal.,1987,v97, №2, p.89-102.

20. Антонцев C.H., Кажихов А.В., Монахов B.H. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей./ / Новосибирск, Наука, Сиб. отд.,1983, 315 с.

21. Bernardi СPironneau О. On the shallow water equation at low Reynolds number./ /Comm. Partial. Differential Equations, 1991. v.16,№1, p.59-104.

22. Кажихов А.В. Уравнения потенциальных течений сжимаемой вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса. Существование, единственность и стабилизация решений./ / Сиб. мат. журн. 1993. Т.34. №3. с.70-80.

23. Мамонтов А.Е. Пространства Орлича в проблеме существования глобальных решений многомерных уравнений вязкой сжимаемой нелинейной жидкости./ / Диссертация на соискание ученой степени кандидата наук. Новосибирск. 1997. 78с.

24. Вайгант В.А., Кажихов А.В. Глобальные решения уравнений потенциальных течений сжимаемой вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса. / / Дифферен. уравнения. 1994. Т.ЗО. №6. С.1010-1022.

25. Ьи Мгп, A.V. Kazhikhov, Seiji Ukai Global solutions to the Cauchy problem of the Stokes approximation equations for two-dimensionalcompressible flow. / / Science Bull, of Josai Univ. Sp. Issue. 1998. №5. p.155-174

26. Padula M. Existece of global solutions for two-dimentional viscous compressible flows./ / J. Func. Anal. v.69. №1. p.1-20

27. Lions P.L. Existence globale de solutions pour les equations de Navier-Stokes compressible isentropiques./ / C.R. Acad. Sci. Paris. 1993 v.316. p.1335-1340.

28. Lions P.L. Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Compressible Models, (v.2) / / Oxford, 1998, 349p.

29. Вайгант В.А., Кажихов А.В. О существовании глобальных решений двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости./ / Докл. РАН. 1997, т.357, №4, с.445-448.

30. Feireisl Е. On the data dependence of solutions to the Navier-Stokes equations of compressible flow./ / Inst. Math. Czech. Acad. 1998.

31. Lewandowski R. Analyse Mathematique et Oceanographie./ / Massone. 1997.

32. Кочин H.E. Об упрощении уравнений гидромеханики для случая общей циркуляции атмосферы. / / Труды ГГО, вып. 4, 1936.

33. Сухоносов В.И. О разрешимости в целом трехмерной задачи динамики атмосферы. / / В сб.: Численные методы механики сплошной среды, т. 11, №4, Новосибирск, 1980.

34. Brech D., Gullen-Gonzales F., Masmoudi N., Rodrigues-Bellido M.A. On the uniquiness for the two-dimensional primitive equation. / / Adv. Diff. Eqs. 2001.

35. Bresch D., Kazhikhov A., Lemoine J. On the two-dimensional hydrostatic Navier-Stokes equations./ / Universite Blaise Pascal, preprint.

36. Gullen-Gonzales F., Masmoudi N., Rodrigues-Bellido M.A. Anisotropic estimates and strong solutions of the primitive equations./ / Diff. Int. Eq. 14. 11(2001),1381-1408.

37. Leray J. Etude de diverses equations integrales non lineaires et de quelque problemes que pose l'hydrodynamique/ / J. Math. Pures Appl., serie 9, 12 (1933), p.1-82.

38. Leray J. Essai sur les mouvements plans d'un liquide visqueux que limitent des parois/ / J. Math. Pures Appl., serie 9, 13(1934), p.331-418.

39. Leray J. Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace/ / Acta Math.63(1934), p. 193-248 .

40. Hopf E. Uber die Anfagswertaufgabe fur die hydrodynamischen Grundgleichungen/ / Math. Nachrichten, 4,(1950-51), p.213-231.

41. Головкин К.К. О решениях нестационарной краевой задачи для уравнений Навье-Стокса./ / Тр. МИАН СССР, 59(1960),100-114.

42. Солонников В.А. Оценки решений нестационарной линеаризованной системы уравнений Навье-Стокса./ / Тр. МИАН СССР,70 (1964),213-317.

43. Ладыженская О.А. Решение "в целом"краевой задачи для уравнений Навье-Стокса в случае двух пространственных переменных./ / ДАН СССР, 123 (1958),427-428.

44. Ладыженская О.А. О единственности и гладкости обобщенных решений уравнений Навье-Стокса./ / Зап. науч. сем. ЛОМИ 5(1967), 169-185.

45. Ладыженская О.А. Об однозначной разрешимости в целом трехмерной задачи Коши для уравнений Навье-Стокса при наличии осевой симметрии./ / Зап. науч. сем. ЛОМИ, 7(1968), 155-177.

46. Ладыженская О.А. О модификациях уравнений Навье-Стокса для больших градиентов скоростей./ / Зап. Науч. Сем. ЛОМИ, 1968, 7, с.126-154.

47. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. / / М., Наука, 1970, 288 с.

48. С. Н. Кружков, Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными,/ / Матем. сб., нов. сер., 81, вып. 2 (1970), 228-255.

49. Е. Ю. Панов, О задаче Коши для квазилинейного уравнения первого порядка в классе локально-суммируемых функций,/ / Успехи мат. наук, 220, № 1 (1988), 205-206.

50. П. А. Андреянов, Задача Коши для квазилинейного уравнения первого порядка в классе локально-суммируемых функций,/ / Вестник МГУ, № 6, 1971, 42-47.

51. С. Н. Кружков, П. А. Андреянов, К нелокальной теории задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка в классе локально-суммируемых функций,/ / ДАН СССР, 220, № 1 (1975), 23-26.

52. A. Meirmanov, The Stefan problem, / / Berlin-New York, Walter De Gruyter, 1992.

53. Bressan A. Hyperbolic systems of conservation laws- the one-dimensional Cauchy problem./ /Oxford: Oxford Univ. Press, 2000.

54. De-Xing Kong. Formation and propagation of singularities for 2*2 quasilinear hyperbolic systems./ / Trans. Amer. Soc. 2002. v.354, N8. p.3155-3179.

55. Похожаев С.И. О многомерных скалярных законах сохраненияю./ / Мат. Сб. 2003, т. 194. №1, с.147-160.

56. Кажихов А.В., Шелухин В.В. Метод верификационной компактности./ / Актуальные проблемы современной математики. Т.2, 1996, изд-во НГУ, с.51-60.

57. Orlicz W. Uber eine gewisse Klasse von Raumen vom typus B, / / "Bull, intern. Acad. Pol. Ser. A"Cracovie, 1933

58. Красносельский M.A. Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича./ / М. Физматгиз, 1958, 272 с.

59. Похожаев С.И. О теореме вложения Соболева в случае pl=n./ / Докл. научн. техн. конф. МЭИ. Секц матем. М: Изд. МЭИ. 1965, с.158-170.

60. Cianchi A. A sharp embedding theorem for Orlicz-Sobolev spaces. / /Indiana Univ. Math. J. 1996. V.45. p.39-65.

61. Трушин Б. В. Вложение пространства Соболева в пространство Орлича для области с нерегулярной границей./ / Мат. заметки.

62. Kazhikhov А. V. Approximation of Weak Limits via Method of Averaging with Applications to Navier-Stokes Equations./ / The Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Methods, Varenna, 2001 pp. 197-204.

63. R.J. DiPerna and P.-L. Lions Ordinary differential equations, Sobolev spaces and transport theory./ / Invent. Math., 98(1989), p. 511-547.

64. Смирнов В.И. Курс высшей математики т5. / / Москва 1959г.

65. Matsumura A., Nishida Т. The initial value problem for the equation of motion of viscous and heat-conductive gases. / / J. Math. Kyoto Univ., 1980, v. 20, №1, p.67-104.

66. Ладыженская О.А. Уралъцева H.H.Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа./ / М. Наука, 1973, 576 с.

67. Didier Brech, Alexandre Kazhikhov, Jerome Lemoine On the two-dimensional hydrostatic Navier-Stokes equations. / / Univ.B.Pascal, preprint.

68. Гатапов Б.В. Усреднение уравнений Навье-Стокса. / / Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс" Новосибирск, 2000 г.

69. Гатапов Б. В. Об аппроксимации слабого предела в пространствах Орлича. / / Вестник НГУ, сер. "Математика, механика , информа-тика"Т.1, 2001 г., в.2, с.31-37.

70. Гатапов Б. В. Задача Коши для квазилинейного уравнения первого порядка в пространствах Орлича. / / Вестник НГУ, сер. "Математика, механика , информатика"Т.2, 2002 г., в.З, с.3-10.

71. Гатапов Б.В., Кажихов А.В. Модель сжимаемой вязкой жидкости в приближении мелкой воды. / / Тезисы докладов Всероссийской конференции "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение." Новосибирск, 2004 г.