Компактные субдифференциалы в банаховых конусах и их приложения в вариационном исчислении тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В. И. ВЕРНАДСКОГО

ХАЛИЛОВА ЗАРЕМА ИСМЕТОВНА

УДК 517.98: 517.972

КОМПАКТНЫЕ СУБДИФФЕРЕНЦИАЛЫ В БАНАХОВЫХ КОНУСАХ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ

01.01.01 - Вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

6 НОЯ 2014

Симферополь — 2014

005554209

005554209

Диссертация является рукописью

Работа выполнена на кафедре алгебры и функционального анализа Таврического национального университета им. В.И. Вернадского в г. Симферополь.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор,

Орлов Игорь Владимирович, Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского, г. Симферополь, заведующий кафедрой алгебры и функционального анализа

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор,

Гольдман Михаил Львович Российский университет дружбы народов, г. Москва,

профессор кафедры нелинейного анализа и оптимизации

кандидат физико-математических наук, доцент Уксусов Сергей Николаевич Воронежский государственный университет, г. Воронеж,

доцент кафедры теории функций и геометрии

Защита состоится «28» ноября 2014 г. в 14.00 ч на заседании специализированного ученого совета К 52.051.10 в Таврическом национальном университете им. В. И. Вернадского по адресу: г. Симферополь, проспект Академика Вернадского, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Таврического национального университета им. В. И. Вернадского по адресу: г. Симферополь, проспект Академика Вернадского, 4,

на сайте Таврического национального университета им. В.И. Вернадского http:,! science.crimea.edu, z&shita/xalilova/index.htinl

Автореферат разослан « » октября 2014 г.

Ученый секретарь /П

// Ф. С. Стс

специализированного ученого совета К 52.051.10, / ' Ф- С. Стонякин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Вариационные задачи с негладким интегрантом составляют важную часть современного вариационного исчисления.

Так, например, введение модуля под знак классического вариационного функционала уже приводит к экстремальной задаче, которая не поддается исследованию классическими методами, ввиду нарушения гладкости интегранта.

В подобных ситуациях обычно применяются методы негладкого анализа, использующие различные типы субдифференциалов, каждый из которых имеет свои преимущества и свою разумную область применимости.

Субдифференцналы, как инструмент негладкого анализа, достаточно давно получили признание в математике. Начиная с классического субдифференциала выпуклого функционала появились и продолжают появляться новые определения субдифференциалов, рассчитанные на применение к различным классам экстремальных и других негладких задач (такие, как известный субдифференциал Ф. Кларка, субдифференцнал Б. Н. Пшеничного и многие другие). В большинстве своем эти определения с отображениями в евклидовы пространства, но

имеются и более общие.

Субдифференциалам и их приложениям посвящено большое количество современных работ. Среди авторов отметим Е. К. Басаева, В. Ф. Демьянова, А. Г. Кусраева, С. С. Кутателадзе, В. Л. Левина, А. Д. Иоффе, Ю. Э. Лин-ке, А. М. Рубинова, В. А. Рощину, а также Л. М. Вотет, В. Баожщпа, А. Уа. Кпщег.

При всем том, "больным местом" современного субдифференциального исчисления является отсутствие значимой теории субдифференциалов высших порядков.

Это ведет, например, к отсутствию достаточных условий экстремума вне рамок выпуклости (в той или иной форме). По существу, это ограничивает общую теорию экстремальных задач "прямыми методами" , восходящими к принципу Гильберта-Лебега.

Таким образом, назрела необходимость в построении развитого субдиффе-ренцналыюго исчисления, включающего исчисления первого и высших порядков, вплоть до формулы Тейлора и теории экстремумов, и имеющего широкую

область применимости.

В работах И. В. Орлова и Ф. С. Стонякина был введен и подробно исследован в случае скалярного аргумента так называемый компактный субдифференциал (К-субдифференциал) для отображений вещественного аргумента в ЛВП.

В случае пространств Фреше К-субдифференциал оказался адекватным инструментом и позволил найти топологическое решение проблемы Радона -

Никодима.

Естественным образом возник вопрос о переносе понятия К-субдифференциала на случай векторного аргумента. Вопрос диктуется не только внутренней логикой теории, но и соображением (возможно, более важным) о приложениях в вариационном исчислении.

В диссертации построено развитое Л'-субдифференциалыгое исчисление, включающее исчисления первого и высших порядков. Полученные результаты позволяют исследовать вариационные экстремальные задачи с негладким (так называемым субгладким) интегрантом, которые не могут быть исследованы классическими методами.

Связь работы с научными программами, планами, темами. Работа выполнялась в рамках госбюджетной темы кафедры алгебры и функционального анализа Таврического национального университета имени В.И. Вернадского "Проблемы функционального и бесконечномерного анализа"(2011-2015 гг., номер государственной регистрации 011Ш000916), в которой автор принимал участие в качестве исполнителя.

Цель и задачи исследования. Описание нормированных и банаховых конусов. Построение аппарата теории многозначных субаддитивных операторов с компактными выпуклыми значениями (Л"-операторов) в банаховых конусах.

Применение полученных результатов для построения, в основных чертах, развитой теории компактных субдифференциалов для отображений в банаховых конусах первого и высших порядков, вплоть до формулы Тейлора и теории экстремумов.

Приложения к вариационным функционалам с субгладким интегрантом. Получение оценки К-субдифференциала первого и второго порядка вариационного функционала, получение компактного выпуклого аналога уравнения Эйлера-Лагранжа, необходимого условия Лежандра, достаточного условия Лежандра-Якоби: Рассмотрение конкретных примеров.

Объект исследования. Компактные субдифференциалы отображений в банаховых конусах, компактные субдифференциалы вариационных функционалов с субгладким интегрантом первого и второго порядка.

Предмет исследования. Основные аналитические свойства К -субдиффе-ренцируёмьгх отображений, основные аналитические свойства компактных субдифференциалов вариационных функционалов с субгладким интегрантом.

Методы исследования. В данной работе применяются методы негладкого анализа, функционального анализа, вариационного исчисления, дифференциальных уравнений и бесконечномерного математического анализа.

В частности, методы негладкого анализа и бесконечномерного дифференциального исчисления применяются при построении развитого исчисления компактных субдифференциалов отображений векторного аргумента.

Методы функционального анализа применяются при построении функциональной базы, которая включает в себя элементы теории абстрактных нормированных конусов, общей теории сублинейных операторов и функционалов, теории сублинейных К операторов и К функционалов.

Методы вариационного исчисления и теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах применяются при исследовании аналога уравнения Эйлера.-Лагранжа. — "включения Эйлера-Лагранжа" , а также получении аналогов необходимого условия Лежандра и условий Лежандра-Якоби.

Научная новизна полученных результатов.

1. Впервые исследованы абстрактные банаховы конуса (вообще говоря, не вложенные ни в одно банахово пространство). В частности, получен результат о квазиполноте абстрактных банаховых конусов.

2. Впервые изучены сублинейные К -операторы в банаховых конусах. В частности, получена теорема о квазиполноте банахова конуса ограниченных К операторов.

3. Впервые, на основе теории Л"-пределов и А' -операторов, построена теория А'-субдифференциалов первого порядка в банаховых конусах.

В частности, получены формула полного А"-субдифференциала, формула К субдифференциала композиции.

4. Впервые получены Л'-аналоги формулы конечных приращений и теоремы о среднем в банаховых конусах. В частности, эти результаты позволили показать, что в достаточно общей ситуации А-субдифференцируемость всюду на отрезке влечет почти всюду классическую дифференцируемость.

5. Впервые построена замкнутая теория К -субдифференциалов высших порядков в банаховых конусах.

В частности, получены А'-аналоги ряда основных результатов классического анализа Фреше, от теоремы Юнга до формулы Тейлора и теории экстремумов.

6. Впервые получена оценка компактных субднфференциалов первого и второго порядка вариационного функционала с субгладким интегрантом.

7. Впервые получены субгладкие аналоги основной вариационной леммы и уравнения Эйлера-Лагранжа для основного вариационного функционала.

8. Впервые получены субгладкие аналоги простого и усиленного условий Лежандра, а также условий Лежандра Якоби для основного вариационного функционала.

Практическое значение полученных результатов. Диссертация имеет в основном теоретическое значение. Результаты диссертации развивают теорию компактных субднфференциалов для случая векторного аргумента, позволяют исследовать экстремальные вариационные задачи с субгладким интегрантом.

Результаты исследований могут быть использованы в актуальных задачах

современного вариационного исчисления и оптимального управления, имеющих приложения в математической физике, в частности, для исследования субгладких задач механики и физики.

Личный вклад соискателя. Работы [1], [2], [5], [6] опубликованные по теме диссертации, не имеют соавторов. Работы [3], |4], [7] вышли в соавторстве с научным руководителем И. В. Орловым. Результаты, опубликованные в работах [1], [2], [5], [6], получены соискателем самостоятельно.

В работах [3], [4], [7] профессору И. В. Орлову принадлежит постановка задачи и общий план исследования, полученные результаты принадлежит соискателю.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации докладывались на Международной молодежной математической школе SOPAPH-2012 «SMOOTHNESS, OSCILLATIONS IN ANALYSIS WITH APPLICATIONS IN MATHEMATICALS PHYSICS» (Симферополь, Украина, 17-20 июня, 2012); Fourth International Conference for Young Mathematicians on Differential Equations and Applications dedicated to Ya. B. Lopatinskii, (Donetsk, Ukraine, November 14 - 17, 2012); VIII международной научной конференции для молодых ученых «Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях» (Харьков, Украина, 17-28 апреля, 2013); International Conference Analysis and mathematical physics (Kharkiv, Ukraine, 24-28 June, 2013); International Conference Nonlinear partial differential equations (Donetsk, Ukraine, September 9-14, 2013); XXII-XXIII, XXV Крымских осенних математических школах-симпозиумах: КРОМШ-2011, КРОМШ-2012, КРОМШ-2014 (Ласпи, Судак, Крым, 2011-2012, 2014 гг.); Крымской международной математической конференции (Судак, Украина, 22 сентября - 4 октября, 2013); XL-XLIII научных конференциях профессорско-преподавательского состава Таврического национального университета им. В.И. Вернадского (Симферополь, Крым, 2011-2014 гг.); семинарах кафедры алгебры и функционального анализа Таврического национального университета им. В. И. Вернадского.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов, выводов, списка использованной литературы. Полный объем работы - 164 страницы, в том числе основного текста - 135 страниц. Список использованной литературы насчитывает 184 названия.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 научных работах, 7 из которых в изданиях, входящих в список специализированных научных изданий МОНУ ([lj [7¡), 8 публикаций в сборниках тезисов конференций ([8] - [15]).

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении раскрывается сущность и состояние научной проблемы и ее значимость. Проведен обзор полученных результатов, выделены положения, выносимые на защиту. Нумерация утверждений в диссертации и автореферате одна и та же.

В разделе 1 приводится краткая историческая справка о круге вопросов, имеющих отношение к теме работы. Приведен обзор литературы по теме диссертации и сформулированы основные результаты, достигнутые в зтом направлении.

Раздел 2 посвящен исследованию абстрактных нормированных конусов, сублинейных и К -сублинейных операторов в нормированных конусах. Раздел 2 состоит из введения и трех подразделов.

Подраздел 2.1 содержит общую теорию абстрактных нормированных конусов: вводится определение абстрактного и нормированного конусов, строится локально выпуклая конус-топология, доказана квазиполнота банаховых абстрактных конусов.

Определение 2.1.1. Конусом (выпуклым) назовем некоторое множество векторов X = {х}, снабженное операциями сложения векторов и умножения на неотрицательные скаляры.

Определение 2.1.3. Выпуклый конус X назовем нормированнъш, если для любого его элемента х G X определена неотрицательная величина (конус норма) ||х||, обладающая следующими свойствами: (i) (||х|| = 0) (х = 0); (и) ||х + 2/11 < IHI + Иг/11; (Ш) ||А • х|| = А • IMI (VA > 0).

Конус-норма индуцирует локально выпуклую конус-топологию в X.

Определение 2.1.6. Пусть (X, || • ||) — нормированный конус. Обозначим через Хк множество всех компактных выпуклых подмножеств X. Нетрудно проверить, что Хк образует выпуклый конус относительно поэлементного сложения множеств и умножения на неотрицательные скаляры.

Нулем в Хк является множество {0}.

Теорема 2.1.11. Если X — банахов конус, то нормированный конус Хк — также банахов.

В п. 2.2 строится теория сублинейных операторов в нормированных конусах, а также бисублинейных операторов. Исследуются основные свойства, в том числе получен аналог классической изометрин между пространством линейных и билинейных ограниченных операторов.

Определение 2.2.1. Пусть Е выпуклый конус, F индуктивно упорядоченный выпуклый конус. Оператор А: Е -* F назовем сублинейным, если:

(i) A(hx + h2) < Ahí + Ahr, (ü) A(Xh) = A ■ Ah- (VAb h2 e VA > 0).

Оператор А назовем надлинейным, если условие (i) заменить условием

(ш) А(НХ + Л2) АНх + Ак2.

Определение 2.2.2. Пусть Е — выпуклый конус. Р = К. Тогда сублинейный оператор / : Е —> К назовем сублинейным функционалом.

В этом случае условия (¡)- (и) перепишутся в виде: Цу) /(/»! + Ла) < /(АО + /(Ла); НЩ = Л • /(/г) (Л > 0).

Соответственно, для надлинейного функционала первое из неравенств (ги) заменяется неравенством: (г») /(/»! + /г2) > /(/ц) + /(Лг).

Далее, £иF - нормированные конусы, .Р индуктивно упорядочен (согласованно с нормой: (гл ^ у2) => (|Ы| ;< |Ы|))-

Определение 2.2.7. Пусть оператор А : Е Р — сублинейный. Положим (по аналогии с линейным случаем): ||.А|| := вир ||./4Л||. Если ЦАЦ < +оо,

М<1

назовем оператор А ограниченным.

Определение 2.2.17. Пусть Е\, Е2, Р — выпуклые конусы, Р индуктивно упорядочен. Оператор В : Е\ х Е2 —> Р назовем бисублинейным, если он сублинеен по каждой переменной в отдельности, т. е.

(0 В(к1 + к2,к)<В(кик) + В(к21к); В{И, кг + к2) < В(к, кг) + В{И, к2)\ (и) В(Хк, к) = А • В{И, к): В{к, цк) = ц ■ В(1г, к) (А, /г > 0).

Справедлив аналог классической изометрии между пространством линейных и билинейных ограниченных операторов.

Теорема 2.2.22. Если Е\, Е2\ F — нормированные конусы, Р индуктивно упорядочен, то имеет место изометрия: Ь8иь{Е1,Е2\Р) = Ь.ть(Е1\Ь8иь{Е2-,Р)), которая устанавливается с помощью биекции (В : Ег х £2 Р) 4—> (Ав : Е1 ЬзиЬ{Е2\Р)), {АвК)к = В(к, к).

В п 2.3 рассматривается частный случай сублинейных операторов — сублинейные /("-операторы. Построена теория сублинейных /("-операторов, а также Л"-функционалов и бисублинейных Л"-функционалов.

Определение 2.3.1. Пусть Е — выпуклый конус, F - нормированный конус, Рк --- нормированный упорядоченный конус выпуклых компактных подмножеств Р. Сублинейный оператор А : Е —> Рц назовем сублинейным К-оператором, или, коротко, К-оператором.

Сублинейный оператор /:£'-> К«- назовем сублинейным К -функционалом, или, коротко, К -функционалом.

В случае нормированного конуса Е, банахов конус сублинейных ограниченных К операторов Ьяиь(Е; Рк) будем более коротко обозначать Ьк(Е\Р)-, банахов конус сублинейных ограниченных А-функционалов Ьзиь(Е-,Шк) = X) более коротко обозначим Е*к.

Теорема 2.3.16. Пусть Е\, Е2 - выпуклые конусы, <р : Е\ х Е2 ®А'-Тогда •■р — бисублннейный К -функционал в том и только в том случае, если

<р(1г ь/г2) = [^(/11,/12);^(/гьЛ-2)],

где <р : х Е2 —> К — бинадлинейный функционал, : £1 х £2 —> Е — бисублинейный функционал, <¿>(/»11^2) <</5(/»ь^2)-

При этом, если Е2 — нормированные конусы, то А-функционал

с/? = ограничен в том и только в том случае, когда <£ полунепрерывен

снизу, ¡¡5 полунепрерывен сверху на Е\ х 252.

В разделе 3, помимо необходимого технического аппарата АГ-субдиффе-ренцналов отображений векторного аргумента, описан удобный для приложений новый класс субгладких отображений, которые заведомо А-субдиф-ференцируемы.

Примененный подход позволяет дать индуктивное определение А-субднф-ференциалов второго и высших порядков, что позволяет построить А-субдиф-ференциалыюе исчисление высшего порядка.

Глава состоит из введения н семи основных подразделов. В первом подразделе приведен краткий обзор теории К субдифференциалов отображений скалярного аргумента, которая была построена и подробно изучена в работах И. В. Орлова и Ф. С. Стонякина.

Далее / : I = [а;Ь] —> Е, где Е - пространство Фреше. Введем вспомогательное определение К - предела.

Определение З.1.1.1 Пусть {Д?}^ — убывающая по вложению при 5 \ +0 система замкнутых выпуклых подмножеств Е с непустым компактным пересечением В. Множество В назовем К -пределом системы {В$}з>о при +0 :

В = А-ИтД;,

если У£/(0) С Е 36и > 0 (0 < 6 < ди) (Вц С В+ 11).

Определение 3.1.2.2 К -субдифференциал отображения / в точке х € I есть А'-предел замкнутых выпуклых оболочек разностных отношений:

X «г г -Г/СЕ + Ц-Я*)

дкЦх) = А-1пп со <-г-

> л-и-о I /г

0 < |/г| < 6

1 И. В. Орлов, Ф. С. Стонякин, Компактные субдифференциалы: формула конечных приращений и смежные результаты, Современная математика. Фундаментальные направления, 34 (2<)09), 121 - 138.

2 Ф. С. Стонякин. Компактные характеристики отображений и их приложения к интегралу Бохнера в локально выпуклых пространствах, Дисс. к.ф.-м.н., Симферополь (2011).

Теорема 3.1.7.3 Пусть Е — пространство Фреше, / : / —>• Е. Если отображение / К-субдифференцируемо почти всюду на 7, и при этом / почти всюду сепарабелънозначно на / , то / дифференцируемо в обычном смысле почти всюду на I.

В частности, утверждение теоремы справедливо, если / непрерывно и почти всюду К субдифференцируемо на I (и тем более, если / всюду К субдиф-ференцируемо на /).

Во втором подразделе вводятся К -пределы (для нормированных конусов) убывающих систем замкнутых выпуклых подмножеств, посредством которых определяются в дальнейшем К-субдифференциалы. К известным свойствам добавлен новый "признак Вейерштрасса"для /('-пределов, фундаментальный для дальнейшего.

Теорема 3.2.6. Пусть Е — нормированный конус, {Д$},$>о — убывающая

по вложению при 6 \ +0 система замкнутых выпуклых подмножеств Е с

непустым компактным пересечением В. К -предел К-lim Bf, существует тогда

¿->+0

и только тогда, когда найдется такой выпуклый компакт В С Е, что Vi/(0) СЕ 36ц > 0 : (0 < 5 < 5и) => (Bs С В + С/(0)).

При этом К-lim Bs С В .

ä-++o

В п 3.3. переходим к определению К-субдифференциалов отображений в банаховых конусах, следуя классической схеме гладкого анализа Фреше.

Всюду далее Е, F — нормированные конусы, U(x) — окрестность точки х £ Е, h в Е - произвольное направление в Е, со замкнутая выпуклая оболочка множества в F.

Определение 3.3.1. Назовем К -субдифференциалом отображения / в точке х следующий К -предел (если он существует):

9sf(x,h)

дк/(х, К) = К-1\т со {У £ ^ | /(х + Ь • К) = /{х) +t■Y,0<t<S}.

В случае, когда F — нормированное пространство, выражение под знаком К-предела можно выразить в более привычной форме, через разностные отношения:

дк/(х,Н) = К- Ит со (/<* + '*>-/(*) о < 4 < Л

3 Ф. С. Стонякин, Аналог теоремы Данжуа-Юиг-Сакса о контингенции для отображений в пространства Фреше и одно его приложение в теории векторного интегрированияю, Труды ИПММ HAH Украины, 20 (2010), 16S - 176

Далее Е и F — нормированные конусы, U(x) — окрестность точки х € Е, f: ED U{X) F.

Определение 3.3.9. Будем говорить, что отображение / слабо К -суб-дифференцируемо в точке х, если / К субдифференцируемо в этой точке по любому направлению h € Е, и К-субдифференциал по направлению дк}{х, h) сублинеен по h. Примем в этом случае обозначение

dKf(x)h = dKf{x,h).

Здесь дк/(х) : Е —»■ Fx — сублинейный К -оператор.

Определение 3.3.10. Будем говорить, что отображение / К -субдифференцируемо по Гато в точке х, если / слабо К -субдифференцируемо в этой точке и слабый К субдифференциал дк/(х) ограничен (или, что равносильно, равномерно полунепрерывен сверху на Е).

В этом случае сублинейный ограниченный оператор дк/(х) назовем К -субдифференциалом Гато отображения / в точке х.

Определение 3.3.11. Будем говорить, что отображение / К-субдиффе-ренцируемо по Фреше (или сильно К субдифференцируемо) в точке х, если / К-субдифференцируемо по Гато в этой точке, и сходимость в А"-пределе

dKf(x)h = K-\imc5{Y е F\f(x + h) = f(x) +1 • У, 0 < t. < i}

¿->+0

равномерна по всем направлениям h, 0 < \\h\\ < 1.

В этом случае К оператор дц/(х) назовем К субдифференциалом Фреше (или сильньш К -субдифференциалом) отображения / в точке х.

В случае нормированного пространства F равенство выше принимает вид:

я (I \h w г - ff(x + th)-f(x) Л

дк1(хщ = ii-limсо {- 0 < t < о > .

iiJK 1 i->+о \ t )

Следующие три пункта посвящены аналогам классических результатов: получена теорема о среднем для А'-субдифференцпруемых отображений. Рассмотрена связь К субдифференцируемости на отрезке с обычной дифферен-цируемостью.

Теорема 3.4.4. Пусть Е и F — нормированные конусы, отображение / : Е d U([x; х + h}) —>■ F непрерывно на [а; Ь] и К-субдифференцируемо на (а; Ь). Справедливы представление и оценка:

f(x + h) = fix) + у, где 112/11 < sup \\dKf(x + вК)|| ■ \\h\\. (1)

O<0<1

Если, в частности, F — нормированное пространство, то оценку (1) можно записать в виде:

||/(® + h) - f(x)\\ < sup \\dKf(x + 0h)\\ • 0<9<1

Приведем определение С1-субгладкости для случая функционалов. Теорема 3.5.5. Пусть Е — нормированный конус, f : Е D U(x) R.

Тогда (/ € Cjnib(х)) <=> {^jjfo полУнепРеРывен снизу в точке х,

— полунепрерывен сверху в точке х

(/ А'-субдифференцируем в точке х).

Теорема 3.6.2. Пусть F — банахово пространство, F : R Э [о;Ь] —> F. Если отображение / непрерывно К -субдифференцируемо в некоторой точке х g [а; 6], то / дифференцируемо в точке х в обычном смысле.

Примененный подход позволяет без труда дать индуктивное определение А"-субдифференциалов второго и высших порядков.

Раздел 3.7 посвящен А"-субдифференциальному исчислению высшего порядка., Получены аналоги основных результатов классического анализа Фреше, от теоремы. Юнга до формулы Тейлора и теории экстремумов.

Всюду далее Е, F нормированные конусы, U(х) — окрестность х 6 Е, /:Еэ U(x) -> F.

Определение 3.7.1. Пусть отображение / (сильно) К субдифференцируемо на множестве U[x). Если отображение djif : Е Э U(х) —> Lk{E;F) AT-субдифференцируемо в точке х, то будем говорить, что / дважды К -субдифференцируемо в точке х, и введем К -субдифференциал второго порядка от / стандартным индуктивным образом: дУ(х)-.= дк(дкЛ(х).

Определение 3.7.4. Для фиксированных k,k 6 Е предположим, что существует следующий А"-предел :

= KA\mcd{z е F^f(x + th + sk) + f(x) =

= f {x + th) 4- f{x + sk) + (st)z\o <t.,s < <5 j,

который назовем бисимметрическглль вторым К -субдифференциалом / в точке х по паре направлений (h,k).

Теорема 3.7.6. Пусть Е и F — банаховы пространства. / : Е Э U(x) —> F. Если отображение / дважды А'-субдифференцируемо в точке х, то / также бисимметрически К субдифференцируемо в точке х, причем d2Kf(x)(h,k) = frKf(x)(h,k).

В частности, d2Kf(x)(h, к) = дЦ{х){к, h) (V/i, к G Е).

Определение 3.7.8. Пусть отображение / К субдпфференцируемо (п—1) раз в и(х). Если отображение:

с>Г7 : Е э Щх) —► ¿/ЛЕ^^Е; Л =: Ьпкг\Е-Т)

п-1

Л'-субдифференцируемо в точке х, то мы будем говорить, что / п раз К-суб-дифференцируемо в точке х и введем К субдифференциал п го порядка от / обычным индуктивным образом:

дМ(х)--=дк(д1-1Л(х).

Теорема 3.7.10. Пусть Е, ^^ нормированные пространства. Если отображение / : Е Э и(х) —» Р п раз К -субдпфференцируемо в точке х, то / дифференцируемо (п — 1) раз в обычном смысле в этой точке.

В частности, если / п раз К субдпфференцируемо в II(х), то д£/(х) = дк (х).

Приведем определение С" субгладкости для функционалов. Теорема 3.7.23. Пусть / : Э 1Г(х) -> К. Тогда

( д ( О"'1/ \ д~ ( 5""7 \ (/ 6 ад) все — .....) и

полунепрерывны в точке х, соответственно, снизу и сверху^ ■<=>■ .

Рассмотрим формулу Тейлора в форме Пеано лишь в случае отображений в нормированных пространствах.

Теорема 3.7.26. Пусть Е, Е нормированные пространства, / : Е Э и(х) —> F. Если / А'-субдпфференцируемо п раз в точке х, то:

"-1 1 1

к=О

,ду(х) ■ (л)" = отп

п\

Если при этом / К субдпфференцируемо п раз в окрестности х, то предыдущее равенство принимает вид:

/(* + /.)-£• (Л)ь1 - ¿За-(/("-1,(-)(Л)п-1)(®)Л = о(1|Л|Г).

к=о "

Теорема 3.7.32. Пусть Е - нормированное пространство, / : Е Э и(х) —» К, функционал / дважды Л' -субдифференцпруем в

точке х, причем f'(x) = 0. Если выполнено условие: d%f(x) » 0, то / достигает строгого локального минимума в точке х.

Раздел 4 посвящен детальному рассмотрению приложения if-субдифференциального исчисления к исследованию экстремальных вариационных задач с негладким (а именно субгладким) интегрантом (одномерный случай).

Глава состоит из введения и двух подразделов.

Первый подраздел содержит вариационные приложения теории К-субдифференциалов первого порядка к экстремальным задачам с субгладким интегрантом. Приведем оценку к субдифференциала основного вариационного функционала с субгладким интегрантом.

Теорема 4.1.1. Пусть для вариационного функционала ъ

= J f(x,у,y')dx (у € Cl[a-b]J е С1(Ш3),и = f(x,y,z)),

а

интегрант / является С1 -субгладким: f 6 С,1 6(К3).

Тогда Ф сильно АГ-субдифференцируем всюду в С1 [а; 6], причём Vft 6 С1 [а; 6] справедлива оценка:

дкФ(у) ft С

• ь

/ (1+

ь ___

dx

Приведем /¿"-аналог основной вариационной леммы. Теорема 4.1.7. Пусть (ри<р2 € Ь2[а;Ь]. Если

0 6

то 0 6 [tpi\ <р2] ■

l> ь

J ip1(x)h(x)dx\ J (p2(x)h(x)di

(Vft € C[a; 6]) ,

Перейдем теперь к субгладкому аналогу уравнения Эйлера-Лагранжа. Теорема 4.1.8. Пусть

ь

Чу) = J /(*, у, y')dx (/ € CUR3), у € С1 [а; ъ], у (а) = уа, у(ь) = уь).

Тогда условие 0 £ дк${у) равносильно выполнению "включения Эйлера Лаг-

рапжа":

о е

д/. • а /а/ ,Л д} й /э/ , л

(2)

почти всюду на [а; Ь].

В частности, если Ф достигает локального экстремума в точке у, то включение для у выполнено почти всюду на [а; 6].

На базе теории К -субдифференциалов высших порядков в п. 4.2 получена оценка второй вариации К -субдифференциала вариационного функционала. Теорема 4.2.1. Рассмотрим вариационный функционал

ъ

Ф(у) = / /(*. У, у')<1х (/ € у 6 су, Ъ}).

а

Функционал Ф(у) дважды Л'-субдифферешщруем всюду в С1 [а; 6], причём справедлива оценка:

ь

з]мут2 с

д2/ ду2

ду2

(:х,у,у')1г2 + —±.{х,у,т/)1М ) сЬс;

дуд г

{х, у, у')}12 + у, у')АЛ' ) йх

+

ь

[ / {Ш~у{х'у' у')нн'+Ш{х'уу,)н12)

а ^ '

Сформулируем необходимое условие второго порядка для минимума вариационного функционала с интегрантом из класса С^ц6(М3).

Теорема 4.2.6. ("Верхнее" условие Лежандра ) Рассмотрим вариационный функционал ь

Чу) = / Я*.у.(/ е О®3).у е с1!«;Ч,уЫ = у«,у(Ь) = уь).

то

Если функционал Ф(у) достигает локального минимума в точке у & С1 [о; Ь],

- 0 всюду на [а;Ь].

Центральным результатом является субгладкий аналог условий Лежандра-Якоби.

Теорема 4.2.12. Рассмотрим вариационный функционал ь

Ш = У /(X, У, у')йх (/ е у € С1 [о; Ь], у(а) = уа, у(Ь) = уь).

Предположим, что у - субэкстремаль функционала Ф(у), т. е. почти всюду удовлетворяет уравнению Эйлера-Лагранжа.. Пусть вдоль субэкстремали у выполнены следующие условия:

а2/

(О (Х>У>У') > 0 при а < х < Ь ("нижнее" усиленное условие Лежандра);

(11) для каждого из четырёх уравнений Якоби,

соответствующих вершинам

двумерного матричного отрезка [¡7: /{х); 3 f{x)]:

йх

Л йх

А.

¿X

д2/ Эг2

д2/

йх

д2/ дг2

д2/ д?2

(х,у,у')-Н'

{х,у,у')-Ы

дгду

у- у- у')) у, у')

•Л = 0;

•/г = 0;

■Л = 0; ■Д = 0;

Л / д2/

(/г(а) = 0, /г'(а) = 1)

выполнено условие Якоби отсутствия сопряжённых точек.

Тогда функционал Ф(у) достигает строгого локального минимума в точке у.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В диссертации построена, в основных чертах, замкнутая теория А"-субдиф-ференциального исчисления первого и высших порядков и исследованы ее приложения к вариационным экстремальным задачам. Получены следующие основные результаты.

1. Введены и исследованы нормированные и банаховы выпуклые конусы. Исследованы общие свойства сублинейных и бисублннейных операторов, действующих в нормированных конусах.

2. Введены и исследованы сублинейные и бисублинейные К-операторы, действующие в банаховых конусах. В частности, исследованы сублинейные и бисублинейные АГ-функционалы.

3. Для отображений в банаховых конусах построено развитое А'-субдиф-ференциалыюе исчисление первого порядка. В частности, получен А"-аналог теоремы о среднем и установлена связь АГ-субдифференциала и субгладкости.

4. Построено замкнутое А'-субдифференциальное исчисление высших порядков. В частности, получены А-аналоги теоремы Юнга, формулы Тейлора, построена К теория экстремумов.

5. Для вариационных функционалов с субгладким интегрантом первого порядка получены А"-аналоги основной вариационной леммы и уравнения Эплера-Лагранжа. Рассмотрены примеры.

6. Для вариационных функционалов с субгладкнм интегрантом второго порядка получены А'-аналоги условия Лежандра и условий Лежандра-Якоби. Рассмотрены примеры.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Халилова 3. II. К -сублинейные многозначные операторы и их свойства / 3. И. Халилова // Ученые записки ТНУ им. В.И. Вернадского. Серия "Физико-математические науки". - 2011. Т. 24(63), № 3. - С. 110-122.

2. Халилова 3. И. Применение компактных субдифференциалов в банаховых пространствах к вариационным функционалам / 3. И. Халилова ,. Ученые заппски ТНУ им. В.И. Вернадского. Серия "Физико-математические науки". — 2012. Т. 25(64), № 2. - С. 140-160.

3. Орлов И. В. Компактные субдифференциалы в банаховых пространствах и их применение к вариационным функционалам / И. В. Орлов, 3. И. Халилова // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2013. -Т. 49. - С. 99-131.

4. Орлов И. В. Компактные субдифференциалы в банаховых конусах / И. В. Орлов, 3. И. Халилова // Украинский математический вестник. - 2013 -Т. 10, № 4. - С. 532-558.

5. Халилова 3. И. Компактные субдифференциалы высших порядков и их применение к вариационным задачам / 3. И. Халилова / / Динамические системы. - 2013. - Т. 3(31), № 1-2. - С. 115 - 134.

6. Халилова 3. И. Экстремальные вариационные задачи с субгладким ин-тегрантом. / 3. И. Халилова // Ученые записки ТНУ им. В.И. Вернадского. Серия "Физико-математические науки". - 2014. - Т. 27(66), № 1. - С. 125-153.

7. Orlov I. V. Compact Subdifferentials in Banach Cones / I. V. Orlov, Z. I. Khalilova // Journal of Mathematical Sciences. — 2014. - Volume 198, Issue 4 -P. 438-456.

8. Орлов И. В. Компактные субдифференциалы в банаховых пространствах: очерк общей теории , И. В. Орлов, 3. И. Халилова // XXII международная научная конференция KROMSH-2011 (Крым, Ласпи-Батилиман. 17-29 сентября 2011 г.): тез. докл. - 2011. - С. 40-41.

9. Халилова 3. И. Применение компактных субдифференциалов в банаховых пространствах к вариационным функционалам / 3. И. Халилова // XXIII международная научная конференция KROMSH-2012 (Крым, Ласпи-Батилиман, 17-29 сентября 2012 г.): тез. докл. - 2012. — С. 70.

10. Халилова 3. И. Компактные субдифференциалы в банаховых пространствах и их применение к вариационным функционалам / 3. И. Халилова // Fourth International Conference for Young Mathematicians on Differential Equations and Applications dedicated to Ya. B. Lopatinskii (November 14 17, 2012, Donetsk, Ukraine): book of abstract. - 2012. - P. 87.

11. Халилова 3. И. Компактные субдифференциалы и их применение к вариационным задачам / 3. И. Халилова // VIII международная научная конференция для молодых ученых «Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях» (Харьков, 17-28 апреля 2013 г.): тез. докл. - 2013. - С. 77.

12. Халилова 3. И. Компактные субдифференциалы и их приложения / 3. И. Халилова // XLII научная конференция профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов ТНУ им. В. И. Вернадского (Симферополь, 2013 г.): материалы конференции. - 2013. - С. 299 — 300.

13. Khalilova Z. The second order К -subdifferentials and their application to variational extreme problems / Z. Khalilova // International Conference Analysis and mathematical physics (24-28 June, Kharkiv): book of abstracts — 2013. - P. 25.

14. Orlov Г V. К subdifferentials theory and its application to variational problems / I. V. Orlov, Z. I. Khalilova // International Conference Nonlinear partial differential equations (September 9-14, Donetsk): book of abstracts — 2013. -

Р. 48 - 49.

15. Халилова 3. И. Теория .К"-субдифференциалов второго порядка и ее применение к вариационным задачам / 3. И. Халилова // Крымская международная математическая конференция (Крым, Судак. 22 сентября - 4 октября 2013г.): тез. докл. - 2013. - С. 16-17.

АННОТАЦИЯ

Халилова 3. И. Компактные субдифференциалы в банаховых пространствах и их приложения в вариационном исчислении. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ. - Таврический национальный университет имени В. И. Вернадского, Симферополь, 2014.

Субдифференциалы, как инструмент негладкого анализа, достаточно давно получили признание в математике. Исходя из определения компактного субдифференциала (или К-субднфференциала) для отображений скалярного аргумента в вещественном ЛВП, введенного в работах И. В. Орлова и Ф. С. Стонякина с целью исследования проблем векторного интегрирования, К-субдифференциал есть некоторое компактное выпуклое множество.

Данное понятие было перенесено в диссертации на случай векторного аргумента. Такой переход к бесконечномерной области определения позволяет исследовать, в частности, вариационные задачи с негладким интегрантом. Данный подход оказался нетривиальным и потребовал на первом этапе работы исследовать новый тип многозначных операторов (К-операторов), служащих далее значениями К-субдифференциалов.

При этом происходит еще один важный переход - от банахова пространства линейных ограниченных операторов в классическом исчислении Гато - Фреше к банахову конусу ограниченных К-операторов.

Настоящая работа посвящена детальном}' построению А'-субдифферен-циального исчисления в банаховых конусах и его исследованию приложений к экстремальным вариационным задачам с субгладким интегрантом. Получены негладкие аналоги основной вариационной леммы, уравнения Эйлера-Лагранжа, простого и усиленного условий Лежандра.

Получена оценка второго К-субдифференциала основного вариационного функционала. Получены аналоги классических условий Лежандра, а также центральный результат - это условия Лежандра - Якоби. Рассмотрены примеры.

Ключевые слова: субгладкий интегрант, компактный субдифференциал, включение Эйлера - Лагранжа. обобщенные условия Лежандра - Якоби

ABSTRACT

Khalilova Z. I. Compact subdifferentials in Banach cones and their applications in calculus of variations. — Manuscript.

The thesis for obtaining scientific degree of candidate of physical aud mathematical sciences by speciality 01.01.01 - real, complex and functional analysis. Taurida National V.I.Vernadsky University. Simferopol. 2014.

Subdifferentials as a tool of subsmooth analysis, have been recognized for a. long time in mathematics. We start from the definition of compact subdifferential (or A-subdifferential) for maps of the real scalar argument introduced in the works of Orlov I.V. and Stonyakin F.S. This concept was applied to investigate the problems of vector integration, here A'-subdifferential is a compact convex set.

This concept is generalized to the case of vector argument in the thesis. The transit the infinite-dimensional case enable us to investigate, in particular, the variational problems with nonsinooth integrand. This approach is nontrivial and requires in the first step of the work to research a new type of multi-valued operators (K-operators), because the A'-subdifferentials, in the case under consideration, are AT-operators precisely.

Here there is another important transition to a new object: from the Banach space of bounded linear operators in classical Gateaux Frechet. calculus to the Banach cone of bounded K operators.

The present work is devoted to detail construction of A-subdifferential calculus in the Banach cones and to research of its applications to the extremal variational problems with subsmooth integrand. The nonsinooth analogs of the main variational lemma, Euler-Lagrange equations, simple and strengthened Legendre conditions are obtained. The estimate of the second A'-subdifferential of the basic variational functional are obtained. The analogs of classical Legendre conditions and the Legendre - Jacobi conditions are obtained. The examples are considered.

Keywords: subsmooth integrand, compact subdifferential, the Euler - Lagrange inclusion, the generalized Legendre Jacobi conditions.

Подписано к печати 15.10.2014 г. Формат 60x84/16 Бумага офсетная. Гарнитура Times New Roman. Печать на ризографе. Усл. печ. л. 0,9. Тираж 100 экз. Зак. № 148.

Отпечатано с оригиналов автора в СПД-ФЛ Куртбединова Д.А. Свидетельство о госрегистрации ААВ № 632373 от 22.01.2013 г. 95000, Республика Крым, г. Симферополь, пер. Производственный , 11