Свойства оптимальных траекторий дифференциальных включений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. О ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИОНАЛАХ, ЗАДАННЫХ В

ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА

§ 1*1 Обозначения и постановка задачи.

§1.2 Связь, между F* ■ и F*

§ 1,3 О субдифференцируемости интегральных: функционалов.

§ 1.4 0. двойственности терминального функционала

§ 1.5 Об обобщенной задаче Больца.

§ 1.6 О необходимых и достаточных условиях минимума для дифференциальных включений.

ГЛАВА П. ВЫПУКЛАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ

ЗАДАЧА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ.

§ 2.1 О сопряженных отображениях.

§ 2.2 Выпуклая.динамическая экстремальная задача.

§ 2.3 0 некоторых-необходимых условиях минимума для дифференциальных включений.

ГЛАВА Ш. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ

ЭКСТРЕМУМА ДЛЯ . НЕГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ И ЕЕ

ПРИЛОЖВНШ.

§ 3.1 Об одном.обобщении.понятия.субдифференциала

§ 3.2 Необходимые и. достаточные условия экстремума для негладких функций.

§3.3 В невыпуклом случае о необходимых и достаточных. условиях минимума. для. дифференциальных включений.

§ 3.4 Задачи с бесконечным временем.

Побудительной причиной современного развития общей теории необходимых условий экстремума было создание математической теории оптимального управления, нашедшее свое первое законченное изложение в монографии ее создателей Л.С.Понтрягина, В.Г.Болтянского, Р.В.Гамкрелидзе, Е.Ф.Мшценко [47].

В настоящее время получено много общих схем получения необходимых условий экстремума. Различные общие схемы получения необходимых условий экстремума были развиты В.Г.Болтянским [в], Р.В.Гамкрелидзе и Л.В.Харатишвили[ю], А.Я.Дубовицким и А.А.Милютиным [20], Л.Нойштадтом [4б] и др.

В этой работе исследуется двойственность и субдифференци-руемость выпуклого функционала, заданного на пространстве Соболева, изучаются некоторые свойства выпуклых многозначных отображений, получены необходимые и достаточные условия экстремума для негладких функций. Полученные результаты применяются в экстремальных задачах для дифференциальных включений.

Экстремальные задачи для дифференциальных включений позволяют охватить многие из рассмотренных задач оптимального управления. Для этих задач получены глубокие результаты Б.Н.Пшеничным [51,5з] и Ф.Кларком [28,3l] .Эти задачи также рассмотрены в работах В.В.Береснева [4], В.И.Благодатских[б,6] , В.Г.Болтянского [б] , Р.П.Федоренко [бв] и др.

Основания общей теории выпуклых множеств и функций были заложены в начале века главным образом Минковским [41,42]. Теория выпуклых функций и множеств подробно описана в многочисленных публикациях. Сошлемся на книги Е.Г.Голыптейна[12], А.Д.Йоффе и

В. М. Тихомирова [2б], Р.Т.Рокафеллара[57], Б.Н.Пшеничного[53] .

Пусть X - вещественное локально-выпуклое отделимое пространство, X* - топологическое сопряженное пространство и выпуклая функция на X 00 значениями в (т.е. вещественная прямая с присоединенной точкой + 00 ).

Преобразованием Юнга-Фенхеля функции -f или функцией сопряженной с , называется функция на X* » определенная равенством f(X*)=bt4f (<XX*>-f(X)) . хеХ

Понятие выпуклой сопряженной функции восходит к Фенхелю [б9,7о] . Первоначально Фенхель изучал лишь конечные функции, определенные на подмножествах. Моро стал изучать функции, принимающие бесконечные значения и определенные на всем пространстве.

Субдифференциалом функции -f в точке называется множество

Начиная с работ Моро[43,44^ и Дубовицкого-Милютина [2о], в которых субдифференциалы впервые стали объектом систематического изучения, эта тематика интенсивно разрабатывалась многими авторами. Многие работы Рокафеллара (см.напр.[54,55,58]) посвящены субдифференцируемости выпуклых функций. Субдифференциру-емость и двойственность выпуклых функций хорошо отражены в монографиях Р.Т.Рокафеллара[57 ], А.Д.Иоффе и В.М.Тихомирова[2б] , И.Экланда и Р.Темажфг], Б.Н.Пшеничного[53] . О субдифференцируемости выпуклых функций и операторов посвящены также работы [22,23, 34-37] и др.

Субдифференциалы играют важную роль в теории экстремальных задач; с их помощью наиболее естественно формулируются необходимые условия экстремума (Дубовицкий и Милютин [20], Пшеничный [48] и др.). Различные вопросы выпуклого программирования, в частности необходимые условия экстремума, содержатся в книгах В.М.Алексеева, В.М.Тихомирова и С.В.Фомина[1], И.В.Гирсанова[и] Е.Г.Гольштейна[12], В.Ф.Демьянова и Л.В.Васильева[1б], А.Д.Иоффе и В.М.Тихомирова[2б], Б.Н.Пшеничного[5з], Р.Т.Рокафеллара[57] и др. Много места проблемам двойственности в выпуклом программировании уделено в книгах: Е.Г.Гольштейна[12], Р.Т.Рокафеллара[57] и в статье А.Д.Иоффе и В.М.Тихомирова[25] .

Интенсивному исследованию были подвергнуты интегральные выпуклые функционалы, часто встречающиеся в бесконечномерных экстремальных задачах, в частности, в стохастических. Интегральный выпуклый функционал в пространстве Zp (i± ?*<*>) и С исследован в статье Рокафеллара[55,58,5э] и в статье А.Д.Иоффе и В.Л.Левина[24], также в книгах И.Экланд и Р.Темана[21], А.Д. Иоффе: и В.М.Тихомирова[2б] и др. ^

Известно, что пространства Соболева Ссм.[бз]) представляют более теоретический интерес. В § I.2-I.4 изучены двойственности и субдифференцируемости выпуклых функционалов в пространстве ^[оД.

Пусть F-^tOjT^R и Е=olomF=|эс£ [о,Т]: FM<+<»} .

Г71 I )

И / М \

Естественным образом определим сопряженную функцию F (Я ) на сад* положив xeE и определим функцию на /, [°,Т] следующим образом 1 исо) = ъир { эсеЕ 0 о Г-* г-*

В § 1.2 установлена связь между и Ft , В § 1.3 изучена субдифференцируемость интегрального функционала Т заданного на пространстве Т] , где ^ - выпуклый интегрант на [о,Т] X

В § 1.4 в пространстве Щ jI/^t] рассматривается функционал вида J(x) = Lj^(X(o)jOCCr)jt где Lj? - выпуклая функция на R^xR*1 и доказывается, что когда 3 (%*) конечен *

В § Г.5 рассматривается задача минимизации функционала Т

Фр( ОС ) = if ( Х(о) Xtrj) + f )} ЭС ft))*/1 в классе абсолютно непрерывных функций Х:[оуГ]—>Rtl, т.е. где

Эта задача называется обобщенной задачей Больца[з1,5б] . Эта задача, когда Lf> и ^ - выпуклы, рассмотрены Рокфеллером (см.напр.[5б]). Невыпуклый случай рассмотрен Кларком (см. напр.[з1]).

В § 1.5 рассматривается выпуклый случай. В отличии от названных авторов в данной работе рассматривается возмущенная задача. Возмущенные задачи в общем виде рассмотрены в книгах Эк-ланда и Темама[21], Иоффе и Тихомирова [2б] и др.

В других предположениях § 1.5 получены необходимые и достаточные условия для выпуклой обобщенной задачи Больца в виде принципа максимума. Для доказательства существенно используются результаты, полученные в §§ 1.3 и 1.4.

В книге И.Экланда и Р.Темама[21] приводится интересная теорема 1.6.2, при помощи которой удается охарактеризовать точки, близкие к экстремальным. В § 1.5 эта теорема применяется к обобщенной задаче Больца.

В § 1.6 результаты § 1.5 применяются к следующей задаче.

Требуется найти необходимые и достаточные условия для решения включения DC(tj£a(t,XCt)) , где —, которое среди всех решений включения XCt)€OLCb X(t)) , удовлетворяющих условию Х(о) £ JU , минимизирует функционал ffC-tyXC*))dt +If(x(rj) •

В § 1.6 получены некоторые результаты, относящиеся к самому дифференциальному включению.

Многозначные отображения стали в последние годы предметом интенсивного изучения. Различные аналитические свойства многозначных отображений и их связь с теорией оптимизации рассмотрены в книгах Дж.Варга[9], А.Д.Иоффе и В.М.Тихомирова[2б], Б.Н. Пшеничного [53]. Там же имеются ссылки на многочисленные работы французских математиков, посвященные этим вопросам, в частности, на работы Валадье и Кастена. В связи с теорией экономических моделей многозначные отображения и связанные с ними экстремальные задачи исследовались в книгах В.Л.Макарова и А.М.Рубинова[зэ], А.М.Рубинова[б1] . В статье А.М.Рубинова[бо] рассмотрена связь многозначных отображений с различными вопросаш функционального анализа.

Рассмотрим банаховы пространства и Х2 и К0НУС (т.е. коническое выпуклое множество), лежащие в декартовом произведении X х X • Пусть К и - конусы в пространствах. X, 1 £ * 2» • и Хг

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.I.I. Конус 2. . лежащий в произведении Х1*Хг назовем двойственным к Z (по отношению к паре конусов К4 К,)

1, i если

Ххг

1—- многозначное суперлинейное отображение, т.е. графиком ^которого является конус Z , то отображение OL —* Z 1 графиком которого является X » называется двойственным к

0L (по отношению к паре К, Ц. >, обратное к OL f — 1 ' отображение (Л ) называется сопряженным к PL и обозначается символом ОС •

В случае, когда Ы={о} то получаем определение сопряженного отображения данное в книге Пшеничного[бз].

В книге Рубинова[бг| двойственный к Z конус Z (по отношению к паре К ) определяется следующим образом

S 2

Для наших целей определение 2.I.I более удобно. Несколько другим образом определено отображение, сопряженное к суперлинейному отображению в конечномерных пространствах, для случая, когда конусы f^ и |<( состоят лишь из нуля и подробно изучено Рокафелларом в [57].

Локальный вариант двойственности многозначных отображений, ориентированный на применение к теории экстремальных задач, в весьма общей ситуации изучался В.В.Бересневым[з] и Б.Н.Пшенич-ным [50,53] .

Из определения 2.1.1 сопряженного отображения следует, что справедливы следующие соотношения: iup{{(x) : DCC- 4: )} (f taCxj)

В § 2.1 доказано, когда здесь удовлетворяется равенство. Доказаны также леммы о сопряженности и двойственности композиции многозначных суперлинейных отображений. Далее, в § 2.1 определено и изучено локально сопряженное отображение в точке к вогнутому отображению 0L (т.е. CjZOL - выпукло) относительно пары конусов

X А).

В книге А.М.Рубинова[б1] определены динамические семейства отображений (д.с.о.), с помощью которых изучалась выпуклая динамическая экстремальная задача с терминальным линейным целевым функционалом.

Сформулируем некоторые факты данных этой книги.

Пусть задано множество £ вещественных чисел, содержащее свой наименьший элемент, равный нулю, и наибольший элемент Т>0-Рассмотрим семейство л.в.п. и семейство отображений t)(t,±€E ?>t) * ГДе ^tt'^t—' В Дальнейшем вместо aT,t)(Tt^Et>ty 1Фаткости рад0» будем писать i^t)^ •

Семейство (Di^^j^ назьшается динамическим семейством отображений (д.с.о.), если для всех: e,t)teE?0>t>t.

Семейство ). , ^называется траекторией д.с, о. , ч^Е v t если (Kt) при всех t,t€E t>t .

В § 2.2 рассматривается следующая задача.

ЗАДАЧА А. Пусть С^хл)^ ~ Д.с.о. причем отображения

QL :Х —* вогнуты. Пусть, далее IP: X™—> R выпуклый функ-x,t t I ' ционал, множество С д0 и выпукло. Требуется найти необходимые и достаточные условия для траектории семейства которая среди всех траекторий * удовлетворяющих условию минимизирует величину ^(ОС^.

Для решения этой задачи используются следующие определения характеристик. ппр^ттошнив 2.2.1. Пусть - траектория д.с.о. ^ * r-fc^E * Семейство ) , где £ £ Х± называется харакlZ ^ теристикой траектории (Х^.^^, если при всех Е у T>t ? X^domOL 4€0L (X) выполняется неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2.3. Если £ где куХЬсо^-;*;^ то семейство (ft ^t^E ' УД°влетвоРЯ]МЧве условию определения 2.2.1, называется характеристикой траектории относительно множества (далее для шаткости назовем ~j - характеристикой) .

Виды изменений определения 2.2.1 имеются в книгах[39 , 6l]

Определение 2.2.3 новое.

В § 2.2, используя понятие характеристики, приводятся необходимые и достаточные условия для выпуклых, динамических экстремальных задач.

Пусть X банахово пространство. Решением включения 0C(t) £ Oi(t,ОС (^называется сильно абсолютно непрерывная функция ОС '-[OjT]—>Х, сильная производная X(t) которой почти всюду на [о?Т] удовлетворяет X(t)€0L(bX(t% Термин "сильная производная" означает, что цредел разностного отношения в оцределении производной берется в топологии пространства X .

В § 2.3 рассматривается следующая задача.

ЗАДАЧА В. Требуется найти необходимые условия для траектории включения которая среди всех траекторий X(t) , удовлетворяющих условию 0минимизирует где ^ - выпуклая функция, f - выпуклое множество.

В § 2.3, используя из §§ 2.1 и 2.2,для задачи В получены необходимые условия в виде теоремы о характеристике. Показано также, что при некоторых предположениях условие экстремума, полученное в терминах характеристики, можно сформулировать в виде принципа максимума.

Недифференцируемые функции прочно вошли в обиход современного анализа и их свойства широко используются в необходимых условиях экстремума.

Проблема минимизации недифференцируемых функций привлекает исследователей тем, что большинство встречающихся в природе функций негладкие. Экстремальные задачи с недифференцируемыми функциями встречаются во множестве важных приложений, например, при решении задач игрового типа, надежности, управления запасами, резервирования, в перспективном планировании экономических систем с учетом случайного разброса параметров.

Основная трудность при минимизации негладких функций связана с отсутствием градиентов функции цели и функций ограничений задачи, вследствие чего невозможно определить направление убывания функции.

Обзорная статья А.Г.Кусраева и С.С.Кутателадзе[зз] содержит большой список литературы, посвященной негладко^ анализу.

Свойства негладких: функций применительно к экстремальным задачам изучались в работах А.М.Гупала[13,14], В.Ф.Демьянова и Л.В.Васильева[1б], В.Ф.Демьянова и А.М.Рубинова[1э], А.Я.Дубо-вицкого и А.А.Милютина [20], А.Д.Иоффе и В.М.Тихомирова [26"J, Ф.Кларка[28-31^, Е.С.Левитана, А.А.Милютина и Н.П.Осмоловского [38^, Б.Н.Пшеничного [49,52,5з] , Н.З.Шора[73,74] и др.

В книге Б. Н. Пшеничного [49^ определены квазидифференцируемые фуюодии. Эта первая работа, в которой определена субдифференци-руемость для широкого класса функций, чем класс-выпуклые функции. Недавно это понятие удачно обобщено В.Ф.Демьяновым, Л.Н. Поляковой и А.М.Рубиновым[17] .

В ряде работ (в частности, CM.jWJ) Ф.Кларк ввел понятие субдифференциала для локально липшицевой в банаховом пространстве X Функции -р(ОС). Согласно работам Кларка [29]^для такой функции существует

F0(Xo<X) = km --LI 1 \\-fO jUo Я и F0 X) положительно-однородная, выпуклая, непрерывная по X в нуле функция. Множество IF/^O)называется субдифференциалом

Кларка функции -f(x) в точке Х0 .

Первые необходимые условия в оптимальном управлении без предположений дафференцируемости или выпуклости были получены Кларком [28] в его докторской диссертации в 1973г. Кларком получены также необходимые условия экстремума для негладких дифференциальных включений (cM.Hanp.jj3l]).

В работе Б.Н.Пшеничного[52] введено понятие верхней выпуклой аппроксимации (в дальнейшем в.в.а): и весьма для широкого класса функций определена субдифференцируемость. Используя это, получены необходимые и достаточные условия экстремума для негладких функций и необходимое условие экстремума для негладких дифференциальных: включений. в[40] также введено понятие в.в.а., однако данное Пшеничным понятие в.в.а. более общее.

В § 3.1 дано определение внутренней, главной внутренней, локально главной внутренней, внешней и главно внешней выпуклой аппроксимации. Определена также внутренняя и внешняя вогнутая аппроксимация. Используя эти понятия, определен внутренний и внешний субдифференциал (суперсубдафференциал).

В § 3.2, используя эти определения, получены необходимые и достаточные условия экстремума для негладких функций.

В § 3.3 при помощи этих понятий получены необходимые и достаточные условия экстремума для невыпуклых дифференциальных включений.

В § 3.4 рассмотрена бесконечная временная экстремальная задача для дифференциальных: включений.

В работе получены следующие новые результаты: - изучены свойства функционала, сопряженного к функционалу, заданному на пространстве Соболева Vt^t0,^] I

- изучена субдифференцируемость интегрального функционала, заданного на пространстве W , Го т! ; lji / j

- получены необходимые и достаточные условия экстреы^рла для обобщенной задачи Больца;

- получено необходимое и достаточное условие экстремума для вогнутых дифференциальных включений с критериями Больца в виде принципа максимума;

- исследована двойственность многозначных суперлинейных отображений;

- получены необходимые и достаточные условия для выпуклых динамических экстремальных задач;

- получены необходимые условия экстремума для вогнутых дифференциальных включений с терминальными критериями в виде теоремы о характеристике;

- сравнено экстремальное условие, полученное в виде принципа максимума и в виде характеристики для дифференциального включения;

- определена внутренняя и внешняя выпуклая аппроксимация;

- определен внутренний и внешний субдифференциал;

- получены необходимые и достаточные условия экстреыума для негладких функций и невыпуклых дифференциальных включений;

- изучена бесконечная временная экстремальная задача для дифференциальных включений;

- получены некоторые результаты, относящиеся к самому дифференциальному включению.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [75-79] и докладывались на общеинститутском семинаре ИММ АН Азерб.ССР, руководимом акад.АН Азерб.ССР Ф.Г.Максудовым, на семинарах отдела операторно-дифференциальных уравнений ИММ АН Азерб.ССР, на семинарах отдела технико-экономических исследований СКБ при ИММ АН Азерб.ССР, на республиканской конференции молодых ученых по математике и механике, посвященной 60-летию образования СССР.

В заключение выражаю глубокую благодарность акад.АН Азерб. ССР Ф.Г.Максудову и старшему научному сотруднику А.М.Рубинову, под руководством которых выполнена настоящая работа.

1. АЛЕКСЕЕВ В.М., ТИХОМИРОВ В.М., ФОМИН С.В. Оптимальное управление. М., Наука, 1979, 429с.

2. ЕАРБАШИН Е.А., АЛИМОВ Ю.И. К теории релейных дифференциальных уравнений. Изв.высш.учебн.завед. (мат.) 16 I (26), 1962.

3. БЕРЕСНЕВ В.В. Об отображениях, сопряженных: к выпуклым многозначным отображениям. Кибернетика, 1973, № 5, с.79-83.

4. БЕРЕСНЕВ В.В. Условия экстремума для выпуклых интегральных включений и их приложения. Кибернетика, 1982, Л 2, с.69-73.

5. БЛАГОДАТСКИХ В.И. Достаточные условия оптимальности для дифференциальных включений. Изв.АН СССР, сер.матем., 1974, 33, 3, с.615-624.

6. БЛАГОДАТСКИХ В.И. Некоторые результаты по теории дифференциаль

7. БЛАГОДАТСКИХ В.И. Теория дифференциальных включений. М., 1979, том I.

8. БОЛТЯНСКИЙ В.Г. Метод шатров в теории экстремальных задач. УМН, 1975, 30, 3, с.1-55.

9. ВАРГА Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М., Мир, 1977.

10. ГАМКРАЛИДЗЕ Р.В. ,ХАРАТШВИЛИ Г.Л. Экстремальные задачи в линейных топологических: пространствах. Изв.АН СССР, сер.матем., 1969, 33, 4, с.781-839.

11. ГИРСАНОВ И.В. Математическая теория экстремальных задач. М., Изд-во МГУ, 1970.bcj^odiorib ,btno} Pout i , m5 , с Zd-M ■

12. ГОЛШТЕЙИ. Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании. М., Наука, 1971.

13. ГУЛА! A.M. Об одном методе минимизации почти дифференцируемых функций. Кибернетика, 1977, & I, II4-II6.

14. ГУПАЛ A.M. Стохастические методы решения негладких экстремальных задач. Киев, Наука думка, 1979.

15. ДАНФОРД Н., ШВАРЦ Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. М., ИЛ, 1962.

16. ДЕМЬЯНОВ В.Ф., ВАСИЛЬЕВ Л.В. Не дифференцируемая оптимизация. М., Наука, 1981.

17. ДЕМЬЯНОВ В.Ф., ПОЛЯКОВА Л.Н., РУБИНОВ A.M. Об одном обобщении понятия субдифференциала В кн.: Всесоюзн.конф. "Динамическое управление": Тезисы докладов. Свердловск, 1979,с.79-84.

18. ДЕМЬЯНОВ В.Ф., РУБИНОВ A.M. Приближенные методы решения экстремальных задач. Л, Изд-во ЛГУ, 1968.

19. ДЕМЬЯНОВ В.Ф., РУБИНОВ A.M. О квазидифференцируемыж функционалах. Докл.АН СССР, 1980, 250, J6 I, с.21-25.

20. ДУБОВИЦКИЙ А.Я., МИЛЮТИН А.А. Задачи на экстремум при наличии ограничений. ЖВМиШ, 1965, т.5, № 3, с.395-453.

21. ЭКЛАНД И., ТЕМАМ Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М., Мир, 1979.

22. ИОФФЕ А.Д. В-пространства, порождаемые выпуклыми интегран-тами и многомерные вариационные задачи. ДАН СССР, 1970, 195, & 5.

23. ИОФФЕ, А.Д. Субдифференциалы ограничений выпуклых: функций. УЖ, 1970, 25, вып.4, с.181-182.

24. ИОФФЕ А.Д., ЛЕВИН В.Л. Субдифференциалы выпуклых: функций. Труды ММО, 1972, 26, с.3-73.

25. ИОФФЕ А.Д., ТИХОМИРОВ В.М. Двойственность выпуклых функций и экстремальные задачи. УМН, 1968, 23, 6, с.51-116.

26. ИОФФЕ А.Д., ТИХОМИРОВ В.М. Теория экстремальных, задач. М., Наука, 1974.

27. ИОСИДА К. Функциональный анализ. М., Мир, 1967.

28. GtatKt F-H -XtcebSOLZLj cotulitLonb foz noribmootk. рго&Ьть lit optimal conttol cwoL the mlcuiub Of miuriicnz^ Doc-toiat olis$e>ltodioft T llnimibitij Of WabkLn^ton., •

29. GlctbKt F-H• Guuiulited ^zaollmts &rul apptIcationb-Tzms dniez ■ Uodk- bot-^mS, V-X.05, Р-Щ-т •

30. Qluuit F-H- Jf nw (ippioach to L&ojtafije multiplittb -Mcdktrrurilcb of 0рп-Яеь№гск^ди,У-1у№1уР-и5-1Ц

31. КЛАРК Ф. Экстремальные 1фивые и обобщенные гамильтоновы системы. Дифференц.ур-ия, 1977, $ 3, с.427-442.

32. КОЛМОГОРОВ А.Н., ФОМИН С.В. Элементы теории функций и функциональный анализ. М., Наука, 1981.

33. КУСРАЕВ А.Г., КУТАТЕЛАДЗЕ С.С. Локальный выпуклый анализ. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. 1982, т.19.

34. КУТАТЕЛАДЗЕ С.С. Субдифференциалы выпуклых операторов. Сиб.мат.ж., 1977, 5, с.1057-1064.

35. КУТАТЕЛАДЗЕ С. С. Формулы для вычисления субдифференциалов. Докл.АН СССР, 1977, 232, № 4, 770-772.

36. КУТАТЕЛАДЗЕ С.С. Выпуклые операторы. УМН, 1979, 34, № I, 167-196.

37. ЛЕВИН В.Л. О субдифференциалах выпуклых.функционалов. УМН, Г970, т.25, вып.4 (154), о.183-184.

38. ЛЕВИТИН Е.С., МИЛЮТИН А.А., ОСМОЛОВСКИЙ Н.П. Об условиях локального минимума в задачах с ограничениями. В кн.: Математическая экономика и функциональный анализ. М., Наука, 1974, с.139-202.

39. МАКАРОВ В.Л., РУБИНОВ A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М,, Наука, 1973.

40. МИЛЮТИН А.А. Теория условий экстремума высших порядков для задачи на экстремум при наличии ограничений. Материалы Всесоюзн.симпозиума по оптимальному управлению и дифференциальным играм. Тбилиси, 1977.

41. JUinKOWbKi H Geomctzie del lahtm•

42. MimtoWbKi Н Т/ге-ош dti Kmvexw ttczpn, Inskbondezt btbiinJurui dues OHet^lciclimie^tL^b } GesomundteMkoubdltmywi, II, Lup%i<! , 1Ш •

43. Могши J--J-Fo net Lone ties bons-dl^pezetttictKib-- C-RhЬи-Рлгиь- , iMbyV-Z5t,Mm-4№ •

44. Могши 3--J- Convexity and duality-I n * FunctLcnctt OlfUthjblc oubd OptimizodLvn/Eol-E-R-Caiancdlo• -Heifi Voгк icaAtmii Ргеьь,19М y P-M5-1G9

45. МУХСИНОВ A.M. О дифференциальных включениях, в банаховых пространствах. ДАН СССР, 1974, т.217, В 4.

46. НОЙШТАДГ Л. Абстрактная вариационная задача с приложениями к широкому классу задач оптимального управления. Общая теория, I, Кибернетика № I, 1967, с.77-91.

47. ПОНТРЯГИН Л.С., БОЛТЯНСКИЙ В.Г., ГАМКРАЛИДЗЕ Р.В., МИЩЕНКО Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., Физ-матгиз, 1961.

48. ПШЕНИЧНЫЙ Б.Н. Выпуклое программирование в нормированном пространстве. Кибернетика, 1965, № 5, с.46-54.

49. ПШЕНИЧНЫЙ Б.Н. Необходимые условия экстремума. М., Наука, 1969.

50. ПШЕНИЧНЫЙ Б.Н. Выпуклые многозначные отображения и им сопряженные. Кибернетика, 1972, № 3, 94-102.

51. ПШЕНИЧНЫЙ Б.Н. Необходимые условия экстремума для дифференциальных включений. Кибернетика, 1976, № 6, с.60-73.

52. ПШЕНИЧНЫЙ Б.Н. О необходимых условиях экстремума для негладких функций. Кибернетика, 1977, № 6, с.92-96.

53. ПШЕНИЧНЫЙ Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М., Наука, 1980.

54. RowoLfdUi R-T- Ckcczmteiiiation of ike biddiffzuntictU of convex fMbdtms- Pacific 3-Moitli-•

55. RocKoufdlar R-T-Infacjzodb which яге convex functional*. Pacific ■ J-Math • Ш , U , 525-539 •

56. Rotuxfellaz R-T- foxibtence owol duality ikeozms fct convexрtolUm Of bo(za-Tt(?Ln.sJMez^<rfk>Soc-,im,tfdfl,p.i-4C.

57. РОКАФЕЛЛАР P.Т. Выпуклый анализ. М., Мир, 1973.

58. РОКАФЕЛЛАР Р.Т. Интегралы, являющиеся выпуклыми функционалами, П. В кн.: Математическая экономика. М., Мир, 1974.

59. РОКАФЕЛЛАР Р.Т. Выпуклые интегральные функционалы и двойственность. В кн.: Математическая экономика. М., Мир, 1974.

60. РУБИНОВ A.M. Сублинейные операторы и их приложения. УМН, 1977, т.33, вып. 4 (196), с.ПЗ-174.

61. РУБИНОВ A.M. Суперлинейные многозначные отображения и их приложения к экономико-математическим задачам. Л., Наука, 1980, 167с.

62. РУДИН У. Основы математического анализа. М., Мир, 1X6.

63. СОЕЕЛЕВ С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л., Изд-во ЛГУ, 1950.

64. ТИХОМИРОВ В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М., Изд-во МГУ, 1976.

65. Т0ЛСТ0Н0Г0В А.А. К теоремам сравнения для дифференциальных включений в локально выпуклом пространстве. I. Существование решений. Дифференц.ур-ия, 1981, т.12, В 4.

66. Т0ЛСТ0Н0Г0В А*А. К теоремам сравнения для дифференциальных включений в локально выпуклом пространстве, П. Свойства решений. Дифференц.ур-ия, 1981, т. 12, № 6.

67. ТОЛСТОНОГОВ А.А. О дифференциальных: включениях: в банаховом пространстве с невыпуклой правой частью. Существование решений. Сибирский матем.журн., 1981, т.12, № 4.

68. ФЕДОРЕНКО Р.П. Принцип максимума для дифференциальных: включений. ЖВМиМФ, 1971, 11,4, с.885-893.

69. Fenchd W- On ccttju^ate convex ^uticticnb-Coinacl- J-Jlodh-, 1649 y V I,

70. Fenchel W• Convex Conn , beib citid Functions. Jfrtes de Соигь polytcpietb , Princeton llniwibity ,1951 •

71. ФИЛИППОВ А.Ф. Дифференциальные уравнения с многозначной разрывной правой частью. ДАН СССР, 1963, 151, I, с.65-68.

72. ФИЛИППОВ А.Ф. Классические решения дифференциальных: уравнений с многозначной правой частью. Вестник МГУ, сер.матем., мех., 1967, №3, с.16-26.

73. ШОР Е.З. 0 классе почти дифференциальных, функций и одном методе минимизации функций этого класса. Кибернетика, 1972, № 4, с.67-70.

74. ШОР Й.З. Методы минимизации недифференцируемых: функций и их приложения. Киев, Наукова думка, 1979.

75. САДЫГОВ М.А. О необходимых условиях экстремума в одном классе негладких функций. Изв.АН Азерб.ССР, сер.физ-техн. и матем.наук, 1980, № 4, с.118-124.

76. САДЫГОВ М.А. О некоторых необходимых и достаточных условиях минимимума для дифференциальных включений. Деп.в ВИНИТИ13 января 1982г., В 201-82 Деп.

77. САДЫГОВ М.А. Необходимые и достаточные условия оптимальности для дифференциальных включений. Деп.в ВИНИТИ 15 июля 1982г., № 3786-82 Деп.

78. САДЫГОВ М.А. Необходимые условия экстремума для негладких функций. Труды 1У Республиканской научной конференции молодых ученых: по математики и механики, посвященной 60-летию образования СССР (Математика), Баку, 1983.

79. МАКСУДОВ Ф.Г., РУБИНОВ A.M., САДЫГОВ М.А. Выпуклая динамическая экстремальная задача и ее приложения. Изв.АН Азерб. ССР, сер.физ-техн. и матем.наук, № k , 1983г.