Применение аксиоматического метода для исследования автономных систем на плоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Механико — математический факультет

На правах рукописи УДК 517.9

Сугаипова Лейла Супьяновна

ПРИМЕНЕНИЕ АКСИОМАТИЧЕСКОГО МЕТОДА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ НА ПЛОСКОСТИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Москва 2004

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико -математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор А.Ф. Филиппов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.В. Филиппов

кандидат физико-математических наук, доцент Е.Ю. Карданова

Ведущая организация:

Уральский государственный университет

Защита диссертации состоится " /3 " 2004 года в

16 часов 15 минут на заседании диссертационного 'совета Д. 501.001.85 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико -математический факультет, ауд. 16-24

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан

"/Г РМШи^И/

2004 года

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ, доктор физико - математических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В теории динамических систем, намеченной Пуанкаре и получившей широкое развитие в работах Биркгофа, уже изучались свойства решений дифференциальных уравнений при условии единственности решений без рассмотрения самих уравнений. М. Бебутов доказал существование локального сечения динамической системы в локально-компактном метрическом пространстве в окрестности нестационарной точки. В.В. Немыцкий рассматривал множества кривых с единственностью, но без дифференцируемости. А.Ф. Андреев и Ю.С. Богданов также рассматривали динамические системы с единственностью и показали для них, что из существования и единственности решений в предположении локальной компактности следует непрерывная зависимость решений от начальных данных. Их доказательство верно и для негладких динамических систем.

Польский математик Zaremba [1] рассмотрел еще более общие множества, кривых, для которых ни единственность, ни дифференцируемость не предполагаются. Он сформулировал в виде четырех аксиом наиболее общие свойства решений дифференциальных уравнений и включений и на их основе предложил новый подход к изучению дифференциальных уравнений и включений.

С иной точки зрения подошел к аксиоматической теории дифференциальных уравнений и включений Е.А. Барбашин. Он рассматривает' обобщенную динамическую систему, заданную в полном метрическом пространстве с помощью своих множеств достижимости f(t. А). Для такой системы он определяет множество кривых, играющих роль, аналогичную траекториям динамической системы Биркгофа.

В последние годы аксиоматическая теория активно разрабатывалась в МГУ В.В. Филипповым и и позволила получить ряд существенно новых результатов, в том числе существование решений для уравнений с особенностями, не удовлетворяющими условиям Каратеодори. Введенное В.В. Филипповым понятие «сходимости пространств решений» позволило

[1] Zaremba S.K. Sur certaines families de courbes en relations avec la teorie des equations differentielles.- Ann. Soc. polonaise de Mathem., 1936, v. 15, p. 83-100.

14 Филиппов В.В. Пространства решений обыкновенных дифференциальных уравнений. - М., 1993.

РОС. КАЦНПЯЛМИА* SК¿ЛПОТЕКА

C.lk»ef *— ОЭ МО

исследовать зависимость решений от параметра и асимптотические свойства решений в окрестности стационарной точки или при t —* со, включая теоремы устойчивости по первому приближению в более общих формулировках, чем классические результаты.

Для автономных систем дифференциальных уравнений с гладкими правыми частями на плоскости интенсивно развивалась качественная теория, позволившая получить многие свойства решений, не рассматривая самих уравнений ( Пуанкаре, Бендиксон, Андронов и другие ). По качественной теории дифференциальных включений на плоскости известны лишь отдельные результаты ( работы А. Г. Бутковского и сотрудников Института проблем управления, работы A.A. Давыдова и А.И. Панасюка ). А.Ф. Филиппов применил основные методы качественной теории к исследованию дифференциальных включений вида -

непустое, ограниченное, замкнутое, выпуклое множество и функция F полунепрерывна сверху относительно включения.

Ввиду наличия приложений дифференциальных включений к теории управления, исследование свойств дифференциальных включений является актуальной задачей. Аксиоматическая теория позволяет изучать общие свойства дифференциальных включений независимо от их вида.

Цель работы. В.В. Филиппов ^'распространил многие важные свойства автономных систем на плоскости на множества Z кривых, удовлетворяющих аксиомам Zaremba. В частности, он обобщил теорему Пуанкаре -Бендиксона, доказал, что предельное множество ограниченной полутраектории содержит стационарную точку или замкнутую траекторию, дал определение индекса стационарной точки на плоскости. В данной диссертации ставилась задача перенести на множества Z насколько возможно и другие свойства автономных систем на плоскости.

Научная новизна. Основные результаты работы заключаются в следующем:

1. Большинство результатов качественной теории дифференциальных уравнений на плоскости с необходимыми изменениями обобщаются на семейство Z кривых, удовлетворяющих аксиомам Zaremba;

2. Изучена структура окрестностей стационарной и нестационарной точек в терминах разбиения окрестности на секторы определенных типов;

131 Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. - М., 1985.

3. Пользуясь определением индекса, предложенным В.В. Филипповым, получены формулы для вычисления индекса изолированной особой точки на плоскости.

Эти результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. В работе выясняются минимальные предположения, при которых семейство кривых на плоскости обладает многими из тех свойств, которыми обладают решения дифференциальных уравнений и дифференциальных включений на плоскости. В частности, свойство единственности кривой, проходящей через данную точку, и свойство дифференцируемости кривых не являются обязательными.

Результаты работы дают также представление о том, как меняются свойства траекторий на плоскости при переходе от дифференциальных уравнений к дифференциальным включениям с замкнутым выпуклым множеством Г.

Апробация работы. Основные результаты доложены автором на кафедре дифференциальных уравнений (октябрь 2001), а также на:

- семинаре им. П.С. Александрова кафедры Общей Топологии и Геометрии под руководством профессоров В.В. Филиппова, В.В. Федорчука, Б.А. Пасынкова, В.И. Пономарева (май 2001);

- девятой международной конференции «Математика. Компьютер. Образование», г. Дубна (январь 2002).

Публикации.

По теме диссертации опубликованы 3 работы. Их список приведен в конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых на параграфы. Общий объем работы составляет 69 страниц. Список литературы включает 26 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В данной работе результаты Беидиксона о свойствах траекторий на плоскости и их предельных множеств обобщаются на автономные дифференциальные включения и на любые семейства Z кривых на плоскости, удовлетворяющие аксиомам /агетЬа и условию автономности - если г е для любого

В §1 главы I вводится аксиоматика S.K.Zaremba и В.В.Филиппова. Пусть Z - множество непрерывных функций, графики которых лежат в

некотором открытом подмножестве U С R"+'. Каждая из функций Z € Z определена на отрезке (или в точке) 7t(z) с R. Пусть Z удовлетворяет следующим аксиомам:

1. Если z eZ, отрезок или точка I с iz(z), то z // е Z;

2. Если Z[a,b] е Z, zp cj е Z, то Z(a.C] е Z;

3 . Д л я каждой т о ч[1о,Ш($ jetfi/e ствуют та к<5и>(0 и функция z eZ, что z(t0) - z0, ф) ~ [t0 - S, t0 + SJ;

4. Для любого компакта KcU множество (Z)r компактно.

Здесь (Z)k - множество тех функций из Z, графики которых содержатся в KcU.

Иногда будем требовать выполнения условия Кнезера: для любой точки (t, у) е U найдется такое число 5>0, что для любого s e[t- S,t + 6J множество {z(s) :z eZ, s,t e 7ü(z), z(t) = }')• связно.

Предполагаем, что точки, не удовлетворяющие условию Кнезера (назовем их некнезеровскими), изолированы.

Запись Z € А сек (W) означает, что Z автономно (т.е. если z е Z, то для любого а е R функция z(t+a) е Z), удовлетворяет аксиомам 1 - 4 и условию Кнезера, а значения функций z е Z лежат в открытом множестве W с Л".

Для Z с Actit (W) траектории, полутраектории, а> - и а - предельные точки и множества, стационарные точки, эллиптические, параболические и гиперболические дуги траекторий в окрестности некоторой точки определяются как для дифференциальных уравнений

В §2 главы I устанавливается связь между аксиоматиками Барбашина и Zaremba. Показано, что они определяют одни и те же траектории. Это позволяет перенести свойства обобщенных динамических систем, доказанные Барбашиным, и, в частности, относящиеся к минимальным множествам и рекуррентным траекториям, на множество Z при некоторых дополнительных условиях.

В §3 главы I исследуются свойства траекторных воронок в R". Для траекторией воронки V(Q, е) доказана полунепрерывная сверху зависимость от компакта и компактность воронки в пространстве Rn.

1' Немыцкий В.В. и Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. - М.; JL: Гостехиздат, 1949.

В §1 главы II описывается структура траекторных воронок на плоскости.

В §2 изучаются свойства предельных множеств траекторий на плоскости.

Пусть Z е Л„ц (W). Предельные множества траекторий в Асек обладают, в частности, теми же свойствами, что и предельные множества любых непрерывных кривых в R". Если траектория Т + ограничена и содержится в компакте D С W, ТО От непусто, ограничено, замкнуто, связно; через каждую точку а е От проходит целая траектория То с:От.

Пусть q - нестационарная точка и K(q, е) - ее замкнутая ^-окрестность, не содержащая стационарных точек и замкнутых траекторий, K(q, е) С W, С— граница множества K(q, s).

Следующая лемма играет в диссертации ту же роль, что и сечение в нестационарной точке в дифференциальных уравнениях.

Лемма 1. Существует такая окрестность Ki(q) cK(q, е) и такие дуги S * и s ~ окружности С, что S *П s' — 0 и все траектории, проходящие через Ki(q ), входят в K(q, с) в точках дуги s', а выходят из K(q, е) в точках дуги s* (следует из леммы Х.4.1[2]).

В дальнейшем предполагаем, что траектория L(x = z(t), -оо < t < «?, z € Z) не имеет самопересечений (т. е. z(ti) *z(t}), если f/ и лежит в ограниченной области G с W.

Для траектории L дается определение спиралевидного приближения к нестационарной точке q е Oi, обобщающее определение из

Лемма 2. Пусть множество Oi содержит нестационарную точку. Тогда множество Lr\ Oi пусто.

Лемма 3. Пусть q - нестационарная сопредельная точка для L Тогда L приближается к ней спиралевидно.

Лемма 4. Пусть множество Oi или Ai содержит нестационарную точку. Тогда Oir\Ai~0.

Теорема 1. Если О^ содержит как стационарные, так и нестационарные точки, то оно содержит не более чем счетное число дуг траекторий L'; каждая из них примыкает обоими концами к множеству Мстационарных точек множества Oi.

Далее в работе вводится определение спиралевидного приближения траектории L ко множеству Oi в целом так же, как ив'3'.

Теорема 2. Пусть множество Oi содержит хотя бы одну нестационарную точку. Тогда траектория L без самопересечений приближается к Oi спиралевидно.

Для 2 е А„к имеют место леммы о кольцевых областях, аналогичные И]

тем, что доказаны в 1

Лемма 5. Пусть Г-замкнутая кольцевая область, ограниченная двумя замкнутыми траекториями Л/ и Л; и не содержащая стационарных точек и замкнутых траекторий, кроме Л/ и ЛТогда все траектории, содержащиеся в Г, имеют своим со-предельным множеством Л;, а а-предельным множеством - Л; (или наоборот).

Лемма 6. Пусть имеется кольцевая область Г, ограниченная замкнутыми кривыми (нетраекториями) У1иУ2и не содержащая стационарных точек, в том числе и на границе. Пусть через У1 и ^ траектории только входят (или только выходят). Тогда в Г имеется замкнутая траектория.

В.В. Филиппов обобщил теорему Пуанкаре - Бендиксона на траекторию без самопересечений. Оказывается, она верна и для более общего случая, а точнее:

Теорема 3. Пусть ограниченная траектория Т, возможно, имеющая самопересечения, не имеет общих точек со своим СО-предельным множеством Их и От не содержит стационарных точек. Тогда От есть простая замкнутая траектория.

Для автономных систем с единственностью и дифференцируемостью Бендиксон доказал, что достаточно малую окрестность изолированной стационарной точки можно разбить на конечное число секторов параболического, гиперболического и эллиптического типов. Он также получил формулу, позволяющую вычислить индекс такой точки по числу гиперболических и эллиптических секторов. В главах III и IV эти результаты обобщаются на множество

В §1 главы III определения параболического, гиперболического и эллиптического секторов обобщаются на Аи.

Пусть р - стационарная точка множества - ее окрестность, не

содержащая особых точек (т.е. стационарных и некнезеровских), кроме точкир, С- граница окрестности.

Гиперболическим сектором называется область, ограниченная одной входящей ар и одной выходящей рЪ параболическими дугами, а 9е Ь, точкой р и дугой и такая, что ее внутренняя часть не содержит

других параболических дуг, а замыкание - дуги, идущей от Ь к а.

Параболическим сектором называется область, ограниченная двумя входящими параболическими дугами и ( или двумя выходящими параболическими дугами ра и pb), точкой р и дугой ab, не содержащая

выходящих дуг ( или входящих дуг ), и не содержащаяся в большей области, обладающей указанными свойствами.

Эллиптическим сектором называется область, ограниченная эллиптической траекторией, доходящей до границы окрестности, и точкой р, и не содержащаяся в большей области, обладающей указанными свойствами.

Внутри каждого из секторов могут быть эллиптические траектории, не доходящие до границы окрестности.

В §2 описывается строение окрестностей нестационарной и стационарной точек.

Теорема 4. Пусть q - нестационарная точка, возможно, неудовлетворяющая условию Кнезера, K(q, s) - ее окрестность, K(q, е)\ q не содержит стационарных точек и точек, неудовлетворяющихусловию Кнезера. Тогда в окрестности K(q, е) входящие и выходящие воронки чередуются, а области между ними заполнены лишь гиперболическими траекториями. Число воронок конечно. В K(q, е) нет эллиптических траекторий.

Из этого утверждения следует, что если точка q удовлетворяет условию Кнезера, то окрестность K(q, s) состоит из двух траекторных воронок -одной входящей и одной выходящей, и двух областей между ними, заполненных гиперболическими кривыми.

Для стационарной точки имеет место следующее утверждение:

Теорема 5. Достаточно малую окрестность К(р, е) стационарной точки р можно разбить на конечное число секторов, каждый из которых может быть эллиптическим, параболическим или гиперболическим.

В работах Пуанкаре индекс определен для дифференцируемых траекторий. В.В. Филиппов распространил это понятие на множество Z.

В главе IV понятие индекса применено также и к нестационарной точке, не удовлетворяющей условию Кнезера.

В § 1 показано, что индекс простой замкнутой траектории множества Z равен 1.

В § 2 доказаны следующие теоремы:

Теорема 6. Пусть q - нестационарная точка, возможно, не удовлетворяющая условию Кнезера. Тогда ее индекс равен 1 -п, где п - число входящих (или выходящих) воронок в окрестности K(q, е).

Если нестационарная точка q удовлетворяет условию Кнезера, то, очевидно, ее индекс равен нулю, так как число входящих (или выходящих) воронок в ее окрестности равно 1. Теорема 7. Пусть р - стационарная точка множества Z, К(р, е) — окрестность, описанная выше. Тогда индекс точкир равен 1 + (п,— п\)12.

где пе - число эллиптических секторов, П/, - число гиперболических секторов в рассматриваемой окрестности.

Автор выражает свою искреннюю благодарность научному руководителю профессору А.Ф. Филиппову за постоянное внимание к работе.

Список работ автора по теме диссертации

1. Сугаипова Л.С. Исследование предельных множеств траекторий на плоскости аксиоматическим методом. - Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. 2003. № 4. С.13-16.

2. Сугаипова Л.С. Исследование особых точек аксиоматическим методом. - Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. 2004. № 5. С.3-7.

3. Сугаипова Л.С. Применение аксиоматического метода для исследования автономных систем на плоскости. - Математика. Компьютер. Образование. Сборник научных трудов. 2002. Вып. 9. Т.2. С.606-613.

Подписано о печать ОС. ¿ОО^г. Формат 60x84/16. Усл.печ.л.0,5" Тираж ЮО экз. Заказ Вв Отпечатано а Отделе печати МГУ

Vi" 1 523 à

введение з

I Свойства траекторных воронок

1. аксиоматический метод s.k. zaremba и в.в. филиппова

2. связь между аксиоматиками s.k. zaremba и е.а. барбашина

3. свойства траекторных воронок

II Свойства траекторий на плоскости

1. траекторные воронки на плоскости

2. предельные множества траекторий

III Строение окрестности особой точки

1. секторы

2. строение окрестностей нестационарной и стационарной точек

IV Индексы

1. определение и свойства индексов

2. отыскание индексов особых точек

В теории динамических систем, намеченной Пуанкаре и получившей широкое развитие в работах Биркгофа, уже изучались свойства решений дифференциальных уравнений при условии единственности решений без рассмотрения самих уравнений. М. Бебутов [17] доказал существование локального сечения динамической системы в локально-компактном метрическом пространстве в окрестности нестационарной точки. В.В. Немыцкий рассматривал множества кривых с единственностью, но без дифференцируемости. Он перенес на них ([8, 9]) многие свойства траекторий автономных систем дифференциальных уравнений. В частности, он доказал, что на плоскости предельное множество ограниченной траектории, не содержащее стационарных точек, является простой замкнутой кривой. В [9] на негладкие динамические системы обобщаются результаты Бендиксона о поведении траекторий в окрестности изолированной стационарной точки. Такая окрестность содержит лишь конечное число гиперболических и эллиптических областей. Также доказаны теоремы о существовании параболической кривой, в частности, вся плоскость не может состоять только из эллиптических и гиперболических кривых.

А.Ф. Андреев и Ю.С. Богданов в [7] рассматривали динамические системы с единственностью и показали для них, что из существования и единственности решений в предположении локальной компактности следует непрерывная зависимость решений от начальных данных. Их доказательство верно и для негладких динамических систем.

Польский математик Zaremba рассмотрел еще более общие множества кривых, для которых ни единственность, ни дифференцируемость не предполагаются [1]. Он сформулировал в виде четырех аксиом наиболее общие свойства решений дифференциальных уравнений и включений и на их основе предложил новый подход к изучению дифференциальных уравнений и включений. В [1] Zaremba исследовал свойства интегральной воронки V(A) в пространстве Rn+1, соответствующей компакту А. Для отрезка V(A;a,b) воронки он доказал, в частности, полунепрерывную сверху зависимость V(A;a,b) от компакта А и компактность воронки V(A; а, Ь) в пространстве Дп+1. Здесь предполагается, что любое решение, график которого имеет общую точку с множеством А, может быть продолжено на весь рассматриваемый промежуток времени [а,Ь]. Zaremba показал независимость свойства Кнезера (связность сечения воронки) от этих четырех аксиом. Kluczny [10] рассматривал семейства кривых, расположенных в данном компактном множестве W. В частности, он исследовал кривые, выходящие на границу, и указал условия, при которых воронка компактного множества компактна, связного — связна.

С иной точки зрения подошел к аксиоматической теории дифференциальных уравнений и включений Барабашин [3]. Он рассматривает обобщенную динамическую систему, заданную в полном метрическом пространстве с помощью своих множеств достижимости f(t,A). Для такой системы он определяет множество кривых, играющих роль, аналогичную траекториям динамической системы Биркгофа. Аксиоматики Zaremba и Барбашина определяют одни и те же траектории, что будет показано ниже (§2 гл. I). Это позволяет перенести свойства обобщенных динамических систем, доказанные в [3] и, в частности, относящиеся к минимальным множествам и рекуррентным траекториям, на множество кривых, удовлетворяющее аксиомам Zaremba.

В последние годы аксиоматическая теория дифференциальных уравнений и включений активно разрабатывалась в МГУ В.В. Филипповым ([2], [19-26]) и позволила получить ряд существенно новых результатов, в том числе существование решений для уравнений с особенностями, не удовлетворяющими условиям Каратеодори. Введенное В.В. Филипповым понятие "сходимости пространства решений" позволило исследовать зависимость решений от параметра и асимптотические свойства решений в окрестности стационарной точки или при t —> оо, включая теоремы устойчивости по первому приближению в более общих формулировках, чем классические результаты. В [5] и [11] аксиоматический метод применяется к доказательству теорем устойчивости в случае, когда уравнение первого приближения однородно любой степени.

Для автономных систем дифференциальных уравнений с гладкими правыми частями на плоскости интенсивно разрабатывалась качественная теория, позволившая получить многие свойства решений, не рассматривая самих уравнений (Пуанкаре [12], Бендиксон [13], Андронов [14] и другие). По качественной теории дифференциальных включений на плоскости известны лишь отдельные результаты (работы Бутковского А.Г. [15] и сотрудников Института проблем управления, работы А.А. Давыдова [16] и А.И. Панасюка [18]).

А.Ф. Филиппов [4] применил основные методы качественной теории к исследованию дифференциальных включений вида х G F(x), где F(x) — непустое, ограниченное, замкнутое, выпуклое множество и функция F полунепрерывна сверху относительно включения. На дифференциальные включения указанного вида обобщаются следующие важные результаты: предельное множество ограниченной полутраектории содержит стационарную точку или замкнутую траекторию; в замкнутой области, ограниченной замкнутой траекторией, содержится стационарная точка. Для нестационарной точки в [4] строится сечение и с его помощью исследуются многие свойства траекторий и их предельных множеств.

Ввиду наличия приложений дифференциальных включений к теории управления, исследование свойств дифференциальных включений является актуальной задачей. Аксиоматическая теория позволяет изучать общие свойства дифференциальных включений независимо от их вида.

В [2], [20] В.В. Филиппов распространил некоторые результаты качественной теории дифференциальных уравнений в R2 на пространства решений, удовлетворяющие аксиоматике Zaremba. В частности, он обобщил теорему Пуанкаре-Бендиксона, доказал, что предельное множество ограниченной полутраектории содержит стационарную точку или замкнутую траекторию, дал определение индекса стационарной точки на плоскости. В.В. Филиппов доказал лемму о строении окрестности нестационарной точки. Эта лемма в дальнейшем играет ту же роль, что и сечение нестационарной точки в качественной теории дифференциальных уравнений.

В данной работе результаты Бендиксона о свойствах траекторий на плоскости и их предельных множеств обобщаются на автономные дифференциальные включения и на любые семейства Z кривых на плоскости, удовлетворяющие аксиомам Zaremba и условию автономности: если z € ^,то z(t -f-a) Е Z для любого а Е R.

В главе I исследуются свойства траекторных воронок в Rn. Для траек-торной воронки V(Q,e) доказана полунепрерывная сверху зависимость V(Q,e) от компакта Q и компактность воронки V(Q,e) в пространстве Rn. Устанавливается связь между аксиоматиками Zaremba и Барбаши-на, позволяющая перенести многие свойства, полученные Барбашиным для обобщенных динамических систем, на семейство Z при некоторых . дополнительных условиях.

В главе II изучаются свойства предельных множеств на плоскости. Определения спиралевидного приближения траектории к своему предельному множеству, данные в [6] и [4], обобщаются на семейство Z. Основные утверждения получены для траектории L без самопересечений и ее предельных множеств. Пусть ^-предельное множество fix траектории L без самопересечений содержит нестационарную точку. Тогда L не имеет общих точек с fix, и приближается к нему спиралевидно. Если в fix, имеются и стационарные и нестационарные точки, то оно состоит из не более чем счетного числа дуг траекторий, каждая из которых примыкает обоими концами к множеству М2 стационарных точек, М2 С fix- Также доказаны утверждения, аналогичные леммам о кольцевых областях из и.

В главе III исследуется строение окрестности изолированной особой точки. Определения параболических, гиперболических и эллиптических секторов, данные Бендиксоном для гладких динамических систем с единственностью, обобщаются на рассматриваемые негладкие семейства траекторий без единственности. Оказывается, что для изолированной стационарной точки существует окрестность, состоящая из конечного числа секторов указанного типа. Окрестность нестационарной точки (возможно, не удовлетворяющей условию Кнезера) состоит из конечного числа входящих и выходящих траекторных воронок, чередующихся между собой; в областях между ними могут содержаться только гиперболические траектории. Такая окрестность не может содержать эллиптических траекторий.

В главе IV понятие индекса, введенное в [2] для стационарной точки, распространяется на нестационарную точку, не удовлетворяющую условию Кнезера. Показывается, что индекс простой замкнутой траектории, принадлежащей множеству Z, равен 1. Как и в работах Бендиксона, индекс особой точки подсчитывается по числу эллиптических, гиперболических и параболических секторов, на которые разбита окрестность рассматриваемой точки. Сначала найден индекс нестационарной (и, возможно, некнезеровской) точки. Он равен 1 — п, где п — число входящих (или выходящих) воронок, соответствующих данной точке. Затем, с помощью этого утверждения и одной вспомогательной леммы, вычисляется индекс изолированной стационарной точки. Он равен 1 + где пе — число эллиптических секторов, п^ — число гиперболических секторов в рассматриваемой окрестности стационарной точки.

1. Zaremba S.K. Sur certaines families de courbes en relations avec la theorie des equations differentielles. — Ann. Soc. polonaise de Mathem., 1936, t. 15.

2. Филиппов В.В. Пространства решений обыкновенных дифференциальных уравнений. — М., 1993.

3. Барбашин Е.А. К теории обобщенных динамических систем. — Учен, записки МГУ, матем., 1949, 2, вып. 135, с. 110-133.

4. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М., 1985.

5. Филиппов А.Ф. Об устойчивости и неустойчивости по первому приближению. — ДУ. 2000. Т. 36, N 4, с. 475-485.

6. Немыцкий В.В. и Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. — М.; Л.: Гостехиздат, 1949.

7. Андреев А.Ф. и Богданов Ю.С. О непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных данных. — Успехи матем. наук, 1958, т. 13, вып. 3, с. 165-166.

8. Немыцкий В.В. Структура одномерных предельных интегральных многообразий на плоскости и в трехмерном пространстве. — Вестник МГУ, сер. матем., 1948, N 10, с. 49-61.

9. Немыцкий В.В. Некоторые общие теоремы о расположении интегральных кривых на плоскости. — Вестник МГУ, сер. матем., 1960, N 6, с. 3-10.

10. Kluczny Cz. Sur certaines families de courbes en relation aves la theorie des equations differentielles ordinaires. — Ann. Univ. M. Curie-Sklodovska. Sec. A. Math. 1961, v. 15, p. 13-40; 1962, v. 16, p. 5-18.

11. Филиппов А.Ф. Применение аксиоматического метода для исследования дифференциальных уравнений с особенностями. — ДУ., 1996, т. 32, N 2, с. 205-215.

12. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. — ГТТИ, М.—Л., 1947.

13. Bendixon I. Sur les courbes definies par les equations differentielles. — Acta Math., 1901, v. 24, p. 1-88. Перевод первой главы: О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. — Успехи матем. наук, 1941, вып. 9, с. 191-211.

14. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем. — М., Наука, 1966.

15. Бутковский А.Г. Дифференциально-геометрический метод конструктивного решения задач управляемости и финитного управления. — Автоматика и телемеханика, 1982, N 1, с. 5-18.

16. Давыдов А.А. Особенности полей предельных направлений двумерных управляемых систем. — Матем. сб., 1988, т. 136, вып. 4, с. 478-499.

17. Бебутов М. Об отображении траекторий динамической системы на семейство параллельных прямых. — Бюллетень МГУ, 1939, т. 2, вып. 3.

18. Панасюк А.И. Качественная динамика множеств, определяемых дифференциальными включениями. — Матем. заметки, 1989, т. 45, N 1, с. 80-88.

19. Филиппов В.В. Об асимптотическом интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывами в правой части. — ДАН СССР, 1991, т. 321, N 3, с. 482-485.

20. Филиппов В.В. О стационарных точках и некоторых геометрических свойствах решений обыкновенных дифференциальных уравнений. — Докл. РАН, 1992, т. 323, N 6, с. 1043-1047.

21. Филиппов В.В. Об асимптотике решений квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. — ДУ, 1992, т. 28, N 10, с. 17471751.

22. Филиппов В.В. Об исследовании обыкновенных дифференциальныхуравнений "по первому приближению". — ДУ, 1992, т. 28, N 8, с.1351-1355.

23. Филиппов В.В. О теории задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с разрывами по пространственным переменным. — ДУ, 1997, т. 33, N 7, с. 885-891.

24. Филиппов В.В. О теории задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с разрывной правой частью. — Матем. сб., 1994, т. 185, N 11, с. 95-118.

25. Филиппов В.В. О существовании и свойствах решений обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. — Докл. РАН, 1995, т. 343, N 2, с. 160-162.

26. Филиппов В.В. О топологических свойствах пространств решений обыкновенных дифференциальных уравнений. — Докл. РАН, 1997, т. 352, N 6, с. 735-738.