К теории тел и теории проективных плоскостей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Глава 0. ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. IPoVW-СИСТЕМЫ

§1.1. Левые (правые) IPoVW-системы

§ 1.2. О некоторых достаточных условиях альтернативности или лево-альтернативности IPoVW-систем

§ 1.3. Комментарии

Глава 2. IPoVW-ПЛОСКОСТИ

§2.1.0 конфигурационных свойствах IPoVW-плоскостей

П.2.1(1). Теоремы Dg, D9, Djo и Dn, их следствия и эквиваленты 58 П.2.1(2). Инцидентностные объединенной пересечение конфигураций 68 П.2.1(3). О конфигурационных свойствах левых (правых)

IPoVW-плоскостей Х\, / = 1,.,

§ 2.2. Преобразования в IPoVW-плоскостях X*

§ 2.3. Некоторые достаточные условия муфанговости

IPoVW-плоскости

§ 2.4. Преобразования операций тернарных колец

IPoVW-плоскостей

§ 2.5. Комментарии

Глава 3. О ПЛОСКОСТЯХ НАД НЕКОТОРЫМИ

СЛАБО-ДИСТРИБУТИВНЫМИ СИСТЕМАМИ

§3.1.0 некоторых слабо-дистрибутивных системах

П.3.1 (1). О некоторых недистрибутивных системах и правой почти-алгебре с левым слабым дистрибутивным законом

П.3.1 (2). О слабо-дистрибутивных алгебрах, почти-алгебрах, телах и IPoVW-системах

§ 3.2. О проективных плоскостях над слабо-дистрибутивными системами. ■/и

П. 3.2(1). Коллинеации в плоскостях над слабо-дистрибутивными системами' , j = 1,.,

П. 3.2(2). О конфигурационных свойствах плоскостей над слабо-дистрибутивными системами Вt, j -1,.:

П. 3.2(3). О преобразованиях операций слабодистрибутивных тел и IPoVW-систем

§ 3.3. О почти IPoVW-плоскостях

§ 3.4. Комментарии

Глава 4. О ДЕЗАРГОВОЙ ГЕОМЕТРИЗАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТЕЛА

§ 4.1. Дезарговы геометризации характеристик 5,7,11,. тел

§ 4.2. Дезаргова геометризация характеристики 3 тела 126 •

§ 4.3. Дезарговы геометризации характеристики 2 и их применение к описанию бесконечной плоскости Фано

§ 4.4. Комментарии •

ВЫВОДЫ

0.1. Актуальность темы. Теория проективных плоскостей и теория тел имеют многочисленные связи с такими областями математики, как геометрическая алгебра, алгебраическая геометрия, теория графов, комбинаторика и др. Описание проективной плоскости по известным ее конфигурационным свойствам или коллинеациям всегда сводится к изучению алгебраических свойств ее тернара. Описание же плоскости над заданным телом !Г(+,') сводится к изучению ее конфигурационных свойств и коллинеаций, опираясь на свойства тернара Т. Все аксиомы тела и много классических результатов теории тел имеют проективное истолкование и обратно. Развитие теории тел (проективных плоскостей) способствует развитию теории проективных плоскостей (тел).

Напомним теперь об основных известных методах, результатах и циклах исследований по теории проективных плоскостей и теории тел.

Основы теории проективных плоскостей были заложены Штаудтом, Понселе, Шалем, Штейнером, и др. Штаудту принадлежит идея исчисления отрезков, которая привела к координатизации проективной плоскости полем действительных чисел. Работы Эйлера и Штейнера выявили связи проблематики теории проективных плоскостей с проблемами комбинаторного анализа. Новые стимулы к развитию теории проективных плоскостей дал Гильберт. Он указал первый пример проективной плоскости, в которой не выполняется конфигурационная теорема Паппа П, но выполняется теорема Дезарга Dn и установил, что из универсального выполнения теоремы Dn (Паппа П) в плоскости следует выполнение всех аксиом ассоциативного тела (поля) в алгебраической системе, над которой построена плоскость. Гильберт доказал, что теория дезарговых (папповых) плоскостей строится на трех аксиомах инцидентности и теореме Dn (П), в виде четвертой аксиомы и, что плоскость над ассоциативным телом (полем) дезаргова (паппова).

Муфанг исследовала плоскости [112-117] над неассоциативными альтернативными телами. Она доказала проективную эквивалентность D9 и Dio в плоскости характеристики р * 2 и поставила проблему: «Эквивалентны ли D9 и Dio в плоскости характеристики 2?»

Холл предложил новый метод координатизации проективной плоскости при учете свойств системы, над которой она построена. Этот метод упростил процесс исследования теории проективных плоскостей над неальтернативными телами и их обобщениями. Метод Холла связан с тернарной операцией и поэтому он носит и алгебраический характер.

Аргунов, опираясь на классические результаты систематизировал проективные, аффинные и локальные связи между конфигурационными свойствами проективной плоскости над телом характеристики 0. В [3,4] ставились проблемы:

1) Какие свойства тернара плоскости а распространяются на другие тернары, координатизирующие плоскость а? 2) Существует ли проективный алгебраический эквивалент для D ? 3)Дать классификацию проективных плоскостей на базе классификации тернаров. 4) Дезаргова ли бесконечная плоскость Фано?

В описании проективных плоскостей над неальтернативными телами наравне с конфигурационными теоремами использовались и используются центральные и нецентральные коллинеации (см. [29,89-95,120-124,127]).

Скорняковым было установлено, что из аффинного выполнения Dio на двух прямых VW-плоскости следует ее проективное выполнение в этой плоскости [39]. В работах Шаффера [133], Сан Суси [131], Клейнфелда [98], Брука [64-66], Пикерта и других ученых было установлено, что проективное выполнение Dio в проективной плоскости о) эквивалентно /-транзитивности этой плоскости, где / - любая прямая плоскости и, что все тернарные кольца такой плоскости не только изоморфны друг другу, но представляют одно и то же альтернативное тело (эти плоскости называются муфанговыми).

Вебленом и Ведцербарном [146] были рассмотрены проективные плоскости (они называются VW-плоскостями), в которых теорема Dio выполняется аффинно на прямой \ю- Холл и Скорняков доказали, что тернарные кольца бесконечной VW-плоскости не изоморфны друг другу (тогда как, для конечной VW-плоскости они изоморфны друг другу [110]) и, что VW-плоскость можно координатизировать неизоморфными VW-системами. В работах Андре [52-54] изучались плоскости над ассоциативными VW-системами (почти-телами). Он доказал, что изоморфным почти-телам соответствуют изоморфные же плоскости и, что левое почти-тело, в котором a(b + c-bc) = ab + ac-abc, есть ассоциативное тела Путем геометризации этой теоремы он нашел достаточные условия дезарговости плоскости над почти-телом. Идеями и методами Холла и Андре пользовался и Каллагер [8995] при установлении достаточных условий альтернативности MVW-системы, а также BVW-системы и достаточных условий муфанговости плоскостей над этими системами.

Появление работ Бэра [9] и Артина [6] ознаменовало дальнейшее сближение идей теории проективных плоскостей и теории алгебр. Эти работы способствовали построению геометрий над различными телами, почти-алгебрами с делением и их различными обобщениями.

Наряду с развитием теорий бесконечных тел и теорий проективных плоскостей над ними развивались и теории конечных алгебр и почти-алгебр с делением и проективных плоскостей над ними (Холл, Зингер, Тарри [141], Дембовский, Цассенхаус [156], Хьюз, Ломбардо-Радиче [107-108], Цаппа [155], Гонин [20], Глисон [78], Картеси [23], и др.). Они используются для решения различных теоретико-числовых и комбинаторных задач и, следовательно, имеют прикладное значение. Много нерешенных проблем как . в теории конечных геометрий, так и в теории конечных тел [5, 8, 23, 26, 28, 46, 68, 71, 128,134,142].

ПРИМЕЧАНИЕ. В диссертации не затрагивались топологические, упорядоченные и свободные проективные плоскости, ельмслевовы плоскости, 6 исследования Кпингенберга [100], Сандлера [132], Лоримера, Емельченкова и др. Не затрагивался и новейший общеалгебраический подход к описанию проективных плоскостей, предложенный Ширшовым [48] и развитый Никитиным [33,34,50,51] и другими учеными.

Настоящая диссертация примыкает к направлению, связанному с описанием проективных плоскостей, построенных над алгебрами и почти-алгебрами с обратимым умножением. Вопросы и методы, возникающие в настоящей работе, оказываются естественно связанными с вышеперечисленными исследованиями.

0.2. Цель диссертационной работы — разработать теорию неальтернативных тел, FFF-систем и их некоторых обобщений путем доказательства их существования и изучения их свойств} и теорию проективных плоскостей над этими системами посредством конфигураций и коллинеаций, используя классические и новые подходы и, кроме того, дать описание бесконечной плоскости Фано.

0.3. Методика выполнения исследований. В работе используются: методы теории тел и теории проективных плоскостей, в том числе методы Холла координатизации плоскости над телом и описания плоскости посредством коллинеаций и конфигураций; методы построения тел и VW-систем, в том числе и метод применения преобразований операций и методы ослабления аксиоматики тела (плоскости); результаты Каллагера о достаточных условиях альтернативности MVW-системы и BVW-системы и муфанговости плоскостей над этими системами; метод геометризаций характеристики тела и их применение к описанию плоскости; методика выполнения исследований проективной плоскости на класс основана на выявление аксиоматики ее тернара с помощью правил вывода квазитождеств конфигурационных теорем и нахождения достаточных алгебраических условий существования коллинеаций в плоскости.

0.4. Научная новизна. Все полученные результаты новые. Основными результатами работы являются:

• построены примеры более 15 новых классов алгебр и почти-алгебр с обратимым умножением и изучены плоскости над ними;

• существенно расширена известная система Аргунова папповых конфигурационных свойств проективной плоскости характеристики 0; 7 в терминах холлова исчисления доказано, что все аксиомы слабодистрибутивного тела с а~х • ab = b = ba-а~] и характеристики р^2 суть квазитождества теоремы Z)g;

• найдены условия, при которых //^РЖ-система является альтернативным или лево-альтернативным телом; установлены достаточные условия муфанговости IP0VW-плоскости в виде локальных выполнений теорем /-ю и Lc, или существования коллинеаций или же наличия у нее изотопных тернарнов (тем самым улучшены аналогичные результаты Холла, Каллагера и Скорнякова);

• доказано существование классических алгебраических систем В{ (+,•), в которых операции сложения (+) и умножения (•) связаны лишь слабыми дистрибутивными законами (слабо-дистрибутивные алгебры, тела, IPoVW-системы и т.д.) и дано описание проективных плоскостей над ними (тем самым найдена новая область исследований в теории алгебраических систем);

• решена проблема существования дезарговых геометризаций (Кри L7) характеристик р> 3 тела и дезарговых геометризаций {D*, Ll, П]} характеристики 2 тела;

• установлено, что тернар плоскости Фано представляет, по меньшей мере, слабо-дистрибутивное тело характеристики 2 с ах -аЪ-Ъа- а'] = Ъ,\/аФ0,Ъ, что все аксиомы тернара бесконечной плоскости Фано G2 являются как квазитождествами теоремы 7з, так и почти-ограниченными квазитождествами теоремы D*s и, что выполнение a(b + c) = ab + ас или (а + Ъ)с-асл-be,Va,b,c в тернаре плоскости G2 является достаточным условием дезарговости этой плоскости (тем самым, дано описание плоскости Фано G2);

• расширен список требований к правилам вывода квазитождеств конфигурационных теорем, снимающий получение ложных квазитождеств; поставлено несколько задач^

0.5. Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы в дальнейшем при описании проективных плоскостей, а также 8 при решении задач из теории тел и теории проективных плоскостей и их обобщений.

0.6. Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на научных семинарах кафедр: геометрии МГПИ (1977), алгебры Ml НИ (1993), информатики Смоленского пед. университета (2000), алгебры Молдовского университета (1986), алгебры и геометрии СОГУ (ежегодно), на научных семинарах: института математики с ВЦ АН Молдова (1993), института математики СО РАН (1992), НГУ (1992) и института математики и механики Уральского отделения РАН (2005) и докладывалась на международных научных конференциях в Свердловске (1973), Кишиневе (1986), Барнауле (1991), Красноярске (1993) и Екатеринбурге (2005).

0.7. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [158-181].

0.8. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов и списка литературы. Библиография содержит 184 наименования.

выводы

В работе получены следующие результаты.

1) Доказано существование: 1) левой VW-системы, в которой: а-а'] =а']а = 1, аФ О (левая IPoVW-система X ); 2) левой IPoVW-системы, в которой ba-a'] = Ь, \/афО,Ь (IP-справа левая IPoVW-система X 3) 1Р-справа левой IPoVW-системы, в которой а = а']-аа, ba-a = b-aa (IP-справа левая IPoVWr-система X ); 4) IP-слева правой IPoVW-системы, в которой: a-ab = aa-b (IP-слева правая IP0VW/-система Х)\ 5) правой IPoVW-системы X,; 6) IP-слева правой IPoVWf-системы, в которой a(b + \) = ab + a (слабодистрибутивное неальтернативное левое тело BJ; 7) IP-слева правой IP0VW/системы, в которой a-ab = aa-b, (b + l)a = ba + a и а = ал • аа = аа• я"1 (слабодистрибутивное неальтернативное правое тело В ); 8) слабо-дистрибутивных алгебр, почти-алгебр, тел (В ,/=/:,.,9); 9) немуфанговой IP-лупы и др.

2) Найдены достаточные алгебраические условия существования коллинеаций в плоскостях над системами 1)-5) из (1). Причем коллинеации исследовались на центральность. Изучалась и их групповая структура для некоторых плоскостей. Получены некоторые классификационные теоремы. Дано описание этих плоскостей и посредством конфигурационных теорем.

Найдены новые следствия теорем Дезарга и Паппа с помощью операции нетеоретико-множественного инцидентностного объединения конфигураций. Установлены взаимосвязи некоторых новых и известных конфигурационных теорем и тем самым несколько расширена система Аргунова конфигурационных свойств проективной плоскости.

3) Изучены конфигурационные свойства плоскостей над слабодистрибутивными телами и 1РоVW-системами 6)-8) из (1). Исследованы и условия существования коллинеаций (тем самым найдена новая область исследования в теории алгебраических систем).

4) Найдены некоторые достаточные условия альтернативности (левой (правой) альтерантивности) IP-слева левой (правой) 1Р0 VW-системы характеристики р* 2 (р = 2) в виде различных слабых дистрибутивных законов, и условия муфанговости IPoVW-плоскости в виде некоторых v локальных выполнений и L10 или существования некоторых коллинеаций или наличия изотопных тернаров (Тем самым улучшены аналогичные результаты Холла, Скорнякова и Каллагера).

5) Найдены дезарговы геометризации: K^L^ и {VZ,D*% и Я7} характеристик р>3,р = 3ир = 2 соответственно, установив справедливость соотношений: «Z10 => К р», «110 L-j», «Ь9 => Ь\» и «Д, => D[», и доказав теоремы:

17 83 о 3 = 0», «D* о 2 = 0» и «АГ о/7 = 0», причем последняя теорема была доказана лишь в папповой плоскости характеристики р. Тем самым решена проблема существования дезарговой геометризации характеристики р.

6) С помощью доказательства теорем: «D* <=> Z,*», «73=>1)8*» и «D* => Я*» и нахождения квазитождеств конфигурационных теорем 7 ,D*X и

8 7 3 8 8.

Я* было установлено, что тернар плоскости Фано' G2 представляет, по крайней мере, слабо-дистрибутивное тело характеристики 2 с вполне обратимым умножением. Установлено, что аксиомы тернара плоскости Фано являются как квазитождествами 7з, так и почти-ограниченными квазитождествами D*%. Найдено достаточное условие дезарговости бесконечной плоскости Фано в виде выполнения одного общего дистрибутивного закона в ее тернаре. Тем самым получено описание плоскости Фано G2.

7) Был- изучен процесс нахождения квазитождеств конфигурационной ! теоремы К и расширен список требований к этому процессу, исключающ$ частично получение ложных квазитождеств.

8) Изучено влияние некоторых преобразований бинарных операций на свойства неальтернативных тел, слабо-дистрибутивных тел и IPoVW-систем.

9) Поставлены нижеследующие задачи:

9.1)Найти аксиоматику тернара плоскости, в которой К ,рф2,3, р выполняется проективно.

F.2) Доказать «К <z> р = 0» в недезарговых плоскостях. р

9.3) Исследовать структурную теорию слабо-дистрибутивных систем В. и применить ее к описанию плоскостей.

4) Построить пример слабо-дистрибутивного тела с вполне обратимым умножением.

5) Доказать существование слабо-дистрибутивного тела с боловым умножением и слабо-дистрибутивных тел характеристики рФ 2, не являющихся прямыми суммами тел.

9.6) Имеет ли каждая из конфигурационных теорем Г,/ = 1,.:,5,7 проективный алгебраический эквивалент?

3.7) Каковы взаимосвязи конфигурационных теорем и их связи с известными конфигурационными теоремами?

9.8) Построить пример немуфанговой левой (правой) IPVW -системы.

3.9) Каковы взаимосвязи тернаров одной и той же правой IPoVWплоскости?

7.10) Какова структурная теория вырожденных плоскостей над алгебрами и почти-алгебрами?

5.11) Изучить теорию алгебр, элементами которых являются конфигурации, а операциями - инцидентностные объединение и пересечение.

9.12) Нуждаются в исследовании свойства (К,1)- и-11 - транзитивности плоскостей над слабо-дистрибутивными системами.

13) Доказать теорему (*) «р = 0=>Кр» по четырем известным образующим точкам и таблице всех инциденций конфигурационной теоремы Кр (для р = 5,.,13 теорема (*) доказана в [176] .) t1&£])■

1. Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии. М., "Наука", 1968.

2. Андрунакевич В. А., Рябухин Ю. М. Прямые суммы алгебр с делением // ДАН СССР, 189 (1969), №5

3. Аргунов Б. И. Конфигурационные постулаты и их алгебраические эквиваленты // Мат. сб. 26 (1950), 425-456.4

4. Аргунов Б. И., Емельченков Е.П. Проективные и аффинные плоскости и их обобщения // Сб. научн. тр. "Геометрии инцидентностных структур и дифференциальных уравнений", Смоленск, 1981, 3-30.

5. Айгнер М. Комбинаторная теория. М., "Мир", 1989.

6. Артин 3. Геометрическая алгебра, М., "Мир", 1969.

7. Белоусов В.Д. Основы теории квазигрупп и луп, Кишинев, "Штийнца", 1971.

8. Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия, М., «Мир», 1955.

9. Бакельман И. Я. Высшая геометрия. М., "Просвещение", 1967.

10. Биргкоф Г. Теория структур. М., "Наука", 1983.

11. Бахман Б. Построение геометрии на основе понятия симметрии. М., "Наука", 1969.

12. Вольберг О. А. Основные идеи проективной геометрии. М.-Л., 1935.

13. Васильева М. В. Лекции по проективной геометрии. М., 1973, Изд.-во МГПИ им. В. И. Ленина.

14. Ван дер Варден Б. Алгебра, М., "Наука", 1979.

15. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия, "Наука", 1981.

16. Гильберт Д. Основания геометрии. М., "Мир", 1948.

17. Глухов М.М., Стелецкий И.В., Фофанова Т.С. Структуры. // Итоги науки. Алгебра, геометрия, топология, 1970, М., 101-105.

18. Глаголев Н. А. Проективная геометрия. М., 1936.

19. Гуревич Г.Б. Проективная геометрия. М., "Мир", 1962.1'49