К теории тел и теории проективных плоскостей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Академия наук РФ Уральское отделение Институт математики и механики

На правах рукописи УДК 512.552.32 +514.146.7

Исидор Антонович Хубежты К ТЕОРИИ ТЕЛ И ТЕОРИИ ПРОЕКТИВНЫХ ПЛОСКОСТЕП 01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

^^ертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Екатеринбург 2005

Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии Северо-Осетинского государственного университета им. К. Л. Хетагурова.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Зенков Виктор Иванович

доктор физико-математических наук, доцент Ильиных Анатолий Петрович

доктор физико-математических наук, профессор Никитин Александр Александювич

Ведущая организация: Московский государственный педагогический университет

Защита состоится 21 февраля 2000 г. в 15 часс^Ъ заседании лШртационного совета Д 004.006.03 в Институте математики и^геханики УрО РАН по адресу: 620219, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан 200{Гг.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук

В.В. Кабанов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

0.1. Актуальность темы. Теория проективных плоскостей и теория тел имеют многочисленные связи с такими областями как геометрическая алгебра, алгебраическая геометрия, теория графов, комбинаторика и др. Описание проективной плоскости по известным ее конфигурационным свойствам или коллинеациям, всегда сводится к изучению алгебраических свойств ее тернаров. Описание же плоскости над заданным телом Х(+, •) сводится к изучению ее конфигурационных свойств и коллинеаций, опираясь на свойства тернара . Все аксиомы тела и много классических результатов теории тел имеют проективное истолкование и обратно. Развитие теории тел (проективных плоскостей) способствует развитию теории проективных плоскостей (тел). Много нерешенных задач в указанных теориях, не смотря на наличие большого количества опубликованных работ. Наша работа относится к циклам нахождения^; изучения новых классов тел и \"\Л'-систем и описани^ проективных плоскостей.

Напомним теперь об основных известных результатах, методах и циклах исследований по теории проективных плоскостей и теории тел.

Основы теории проективных плоскостей были заложены Штаудтом, Понселе, Ша-лем, Штейнером и др. Штаудту [26] принадлежит идея исчисления отрезков, которая привела к координатизации проективной плоскости полем действительных чисел. Новые стимулы к развитию теории проективных плоскостей дал Гильберт [4|. Он указал первый пример проективной плоскости, в которой не выполняется конфигурационная теорема Паппа П (рис.ф), но выполняется теорема Дезарга £>ц и установил, что из универсального выполнения теоремы £>ц (Паппа П) в плоскости следует выполнение всех аксиом ассоциативного тела (поля) в алгебраической системе, над которой построена плоскость. Гильберт доказал, что теория дезарговых (папповых) плоскостей строится на трех аксиомах инцидентности и теореме £>ц (П), в виде четвертой аксиомы, что плоскость над ассоциативным телом (полем) дезарго-ва (паппова). Муфанг исследовала плоскости [22| над неассоциативными альтернативными телами. Она доказала проективную эквивалентность и Л?ю в плоскости характеристики р ф 2 и поставила проблему: "Эквивалентны ли £>9 и £>ю в плоскости характеристики 2?"

Холл [10] предложил новый метод координатизации проективной плоскости при учете свойств системы, над которой она построена. Этот метод упростил процесс

исследования теории проективных плоскостей над неальтернативными телами и их обобщениями. Метод Холла связан с тернарной операцией и поэтому он носит и алгебраический характер. В описании проективных плоскостей над неалиернативными телами наравне с конфигурационными теоремами Холлом н др. учеными использовались и используются центральные и нецентральные коллинеации.

Аргунов [1], опираясь на классические результаты, систематизировал проективные, аффинные и локальные связи между конфигурационными свойствами проективной плоскости (см. схему 0.1) характеристики 0. В этом цикле исследований Аргуновым были поставлены следующие проблемы: 1) Какие свойства тернара плоскости а распространяются и на другие тернары, координатизирующие эту плоскость? 2) Существует ли проективный алгебраический эквивалент для £>в? 3) Дать классификацию проективных плоскостей на базе классификации тернаров; 4) Дезаргова ли бесконечная плоскость Фано? и др.

В работах Рашевского (|8) и др.), Картеси [7], Фано [14], Цаппа, Ламбардо Родиче (см. в (7J) рассматривались конфигурационные теоремы 83, Тп, 73 (рис. 0.9, 0.11, 0.0) геометризирующие соответственно равенство 3 = 0, п = 0,2 = 0.

Скорняковым [9| было установлено, что из аффинного выполнения £>ю на двух прямых VW-плоскости следует ее проективное выполнение в этой плоскости. В работах Шаффера [25], Сан Суси ¡24], Клейнфелда, Брука, Пикерта |23| и других ученых было установлено, что проективное выполнение £>ю в проективной плоскости эквивалентно I - транзитивности этой плоскости, где / - любая прямая плоскости и, что все тернарные кольца такой плоскости не только изоморфны друг другу, но представляют одно и то же альтернативное тело (эти плоскости называются муфанговыми).

Вебленом и Веддербарном [27] были рассмотрены проективные плоскости (они называются VW-плоскостями), в которых теорема Dm выполняется аффинно на прямой loo. Холл и Скорняков доказали, что тернарные кольца бесконечной VW-плоскости не изоморфны друг другу (тогда как, для конечной VW-плоскости они изоморфны друг другу [21]) и, что VW-плоскость можно координатизировать неизоморфными VW- системами. В работах Андре [14] изучались плоскости над ассоциативными VW-системами (почти-телами). Он доказал, что изоморфным почти-телам соответствуют изоморфные же плоскости и, что левое почти-тело, в котором а(Ь + с — bc) = аЬ ас — abc, есть ассоциативное теле. Путем геометризации этой теоремы он нашел достаточные условия дезарговости плоскости над почти-телом.

С

Рис. 0.9(8,)

Я,

X

До

Схема 0.1.

А

тЛ,л а

тА,,

/7

"и

Рис.0.11 (Т.)

Идеями и методами Холла и Андре пользовался и Каллагер [18,19] при установлении достаточных условий альтернативности МУ\У-системы, а также ВУ\У-системы и достаточных условий муфанговости плоскостей над этими системами. В связи с этими результатами возникли вопросы существования других У\У-систем и, следовательно, новых классов У\У-плоскостей, плоскостей над различными неальтернативными телами и изучение этих плоскостей в духе Гильберта, Аргунова, Холла, Скорнякова, Каллагера и Андре.

Появление работ Бэра [3] и Артина [2| ознаменовало дальнейшее сближение идей теории проективных плоскостей и теории алгебр. Эти работы способствовали построению геометрий над различными телами, почти-алгебрамн с делением и их различными обобщениями.

Наряду с развитием теории бесконечных тел и теории проективных плоскостей над ними развивались и теории конечных алгебр и почти-алгебр с делением и проективных плоскостей над ними (Холл, Зингер, Тарри, Дембовскнй, Цассенхаус, Хыоз, Ломбардо-Радиче, Цаппа, Гонин, Глисон, Картеси и др.). Они используются для решения различных теоретико-числовых и комбинаторных задач и, следовательно, имеют прикладное значение. Много нерешенных проблем как в теории конечных геометрий, так и в теории конечных тел.

(Заметим, что в диссертации не изучались теории топологических, упорядоченных, свободных и ельмслевовых плоскостей. Не затрагивалась и новая общеалгебраическая теория проективных плоскостей, предложенная Ширшовым и развитая Никитиным и другими учеными [11]).

Настоящая диссертация примыкает к направлению, связанному с описанием проективных плоскостей над алгебрами, почти-алгебрами с обратимым умножением и их обобщениями. Вопросы и методы, возникающие в настоящей работе естественно связаны с вышеперечисленными исследованиями.

0.2. Цель диссертационной работы - разработать теорию неальтернативных тел, У\У-систем и слабо-дистрибутивных систем путем доказательства их существования и изучения их свойств, и теорию проективных плоскостей над этими системами посредством конфигураций, коллинеаций и преобразований операций их тернаров, используя классические и новые подходы и, кроме того, дать описание бесконечной плоскости Фано.

0.3. Методика выполнения исследований. В работе использованы методы

теории тел и теории проективных плоскостей: методы Холла координатизации плоскости над телом н описания плоскости посредством коллинеаций и конфигураций: методы построения тел и У\У- систем посредством применения преобразований операций и ослабления аксиоматики тела (плоскости); результаты Каллагера о достаточных условиях альтернативности МУЛУ-системы и ВУ\\г-системы и муфанговости плоскостей над этими системами; метод геометризаций характеристики тела и их применение к описанию плоскости. Методика выполнения исследований проективной плоскости на класс основана на выявление аксиоматики ее тернара с помощью нахождения квазитождеств конфигурационных теорем и нахождения условий существования коллинеаций в плоскости.

0.4. Научная новизна. Все полученные результаты новые. Основными результатами работы являются:

* построены примеры более 15 новых классов алгебр и почти-алгебр с обратимым умножением и изучены плоскости над ними;

* существенно расширена известная система Аргунова папповых конфигурационных свойств проективной плоскости характеристики 0; и терминах Холлова исчисления доказано, что все аксиомы слабо- дистрибутивного тела с вполне обратимым умножением и характеристики р 2 суть квазитождества теоремы

* найдены условия, при которых /Ро^'^ -системд является альтернативным или лево-альтернативным телом; установлены достаточные условия муфанговости различных 1РаУЦГ-плоскостей в виде локальных выполнений теорем Ь\а и ¿9 или существования коллинеаций в плоскости или же наличия у них изотопных тернарных колец (эти результаты улучшают аналогичные результаты Холла, Андре, Каллагера и Скорнякова);

* доказано существование классических алгебраических систем, в которых операции сложения и умножения связаны лишь слабыми дистрибутивными законами (слабо-дистрибутивные алгебры, тела, почти-алгебры, /РоКИ^-системы) и изучены свойства проективных плоскостей над ними (тем самым найдена новая область исследований в теории алгебраических систем);

* решена проблема существования дезарговых геометризаций (Кр и £7) характеристик р > 3 тела; (при р > 3 только для папповой плоскости, а при р = 3 для любой плоскости) и дезарговых геометризаций {£>¿,¿1,115} характеристики 2 тела;

* установлено, что тернар плоскости Фано представляет, по меньшей мере, слабо-

дистрибутивное тело характеристики 2 с а"1 • ab = Ьа • а"1 = b, Va ф 0,6, что псе аксиомы тернара бесконечной плоскости Фано являются почти-ограниченными квазитождествами теоремы D\\

* установлено, что выполнение а(6 -Не) = аЬ + ас или (а + Ь)с = ас + Ьс или же а • bc = аЬ • с в тернаре плоскости Фано является некоторым достаточном условием дезарговости этой плоскости;

* расширен список требований к правилам вывода квазитождеств конфигурационной теоремы LJ, частично снимающих получение ложных квазитождеств

( поставлено несколько задач по теме диссертации^.

0.5. Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы в дальнейшем при описании проективных плоскостей, а также при решении некоторых задач из теории тел и теории проективных плоскостей и их обобщений.

0.6. Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на научных семинарах кафедр: геометрии МГПИ (1977), алгебры МГПИ (1993), информатики Смоленского пед. университета (2000), алгебры Молдавского университета (1986), алгебры и геометрии СОГУ (ежегодно), на научных семинарах: института математики с ВЦ АН Молдова (1993), института математики СО РАН (1992), НГУ (1992) и института математики и механики Уральского отделения РАН (2005) и докладывалась на международных научных конференциях в Свердловске (1973), Кишиневе (1986), Барнауле (1991), Красноярске (1993) и Екатеринбурге (2005).

0.7.' Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [29-47J, перечисленных в конце автореферата.

0.8. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов и списка литературы. Библиография содержит 183 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткое обоснование актуальности проблематики теории тел и теории проективных плоскостей; приводятся необходимые известные определения, обозначения и факты, перечень проблем, решению которых посвящена диссертация, а также краткое содержание каждой главы работы. Все 4 главы взаимосвязаны: (1) в главе 2 проективные плоскости строятся над системами из §1.1; (2) нахождение достаточных условий муфанговости VW-плоскостей опирается на результаты §1.2;

(3) материал из глав 1 и 2 послужил основанием для поисков слабо-дистрибутивных тел и VW-систем в 3 главе и для описания плоскостей над этими системами; (4) результаты (3) вызвали проблемы существования дезарговых геометрпзаций характеристик р тел, в том числе и характеристики 2 и нахождения аксиоматики тернара бесконечной плоскости Фано; (5) в главах 2,3 и 4 возникли естественные треГюннния к правилам вывода квазитождсств конфигурационной теоремы, образованию новых конфигураций и изучению взаимосвязей конфигурационных свойств проективной • плоскости характеристики р.

В главе 1 доказано существование различных алгебр и ночти-нлгебр с обратимым умножением и установлены достаточные условия альтернативности пли лево-альтерпативпости некоторых из этих систем.

В §1.1 рассматриваются левые (правые) VW-системы, в которых: t

aa~l = а~1а = 1, а ^ О,

названные автором левыми (правыми) /Ро^И^-системами Л'^Лг). При построении примеров различных тел и I PqVW-cuctgm мы пользовались теоремами Холла 0.9.8 и Хыоза-Цассенхауза 0.9.10. Приведем формулировки этих теорем.

Теорема 0.9.8 [10]. Пусть f{x) = х2 — тх — s нсприводим над нолем 1 чОТ »

тогда линейное пространство В = {а + Ьи, а,Ь является

левой VW- сисчиыой относительно обычных операций (+) и (■) и нового умножения: {c + dz)oz = ds + z(c + dr), z = Z\ +z2u € B\f^s,d,c,r 6 p , Теорема 0.9.10 [10,28], Пусть f(x) = x2 — rx — s нсприводим над полем F = GF(22t+1), тогда линейное пространство M = {Ла + 6, а, Ь € F, А ф F}, А 6 M\F, является правой VW-системой относительно обычных операций (+) и (•) и нового умножения (о):

(А а + Ь) о (Ас + d) = A {ad -Ъс + rc) + bd~ а~'с(62 -Ьт - s). Опираясь на теоремы 0.9.8 и 0.9.10 доказано:

что если в левой VVV-системе в теореме 0.9.8, s = —1 и —2 < г < 2, то в ней будут выполняться равенства: Ьа ■ а'1 = b,a~1a = 1, и поэтому она будет представлять IF-справа левую /PoVW-систему Xj (т.1.4);

что если в Хз заменить г на 0, то в пей будут выполняться: а = а-1 ап, abb = a-bb, и поэтому она будет представлять IP-справа левую /Р0УЧ'г-систему Л'4 (т.1.5);

что в условиях теоремы 0.9.10: /(г) = г2 + (7Р(2*) линейное пространство

М = {аи + € Р, и Р} с обычными операциями сложения (+) и умножения

(•) и новым умножением (о):

{аи + 6) о (си + £*) = и{аЛ -Ьс + гс)+М- а~'с(Ь2 + 1),

представляет 1Р-слева правую /Р0К1Уе-систему (т.1.6);

что йорданово преобразование операций (*): а © Ь = а + Ь, а * Ь = 2"'(аЬ + Ьа) тело кватернионов переводит в коммутативную алгебру X^ с единицей, в которой а * а-1 = а-1 * а = 1, а = а"1 * (а * а) = (а * а) * а-1, е{ * e¡ = 0, » ф ¿, и уравнение а*х = Ь при некоторых а и Ь не разрешимо относительно х или имеет много решений; построены еще примеры систем X), А'г и некоторых других систем (см.т.1.7 и т.1.8).

В §1.2 найдены некоторые достаточные условия альтернативности (лево- альтернативности) IР0У\¥-систем характеристики р ф 2 (р = 2);

Теорема 1.10(2). Левая 1РУ\У- система, в которой а(Ь + 1) = аЬ + а, есть альтернативное тело.

Теорема 1.10(3). Левая I РаУ]У-система Х\ характеристики р ф 2, в которой а~х • аЬ = Ь п а{Ь + 1) = аЬ + а, \/а,6, является альтернативным телом.

Доказательство теоремы 1.10(3) сводится к доказательству следующих лемм:

1. а(-Ь) = (-а)Ь = -аЬ,

2. а(Ь — а-1) = аЬ — 1,

3. (У1 - (у + г"1)"') (у • гу + у) = 1, у ф 0, г"1,г ф 0,

4. (у ■ гу)у~1 = у г, Уу ф 0, г,

5. (у ■ гу)"1 = у"1 • г~1у~1, у, г, ф 0,

6. а(аЬ + а) = а-Ьа + аа,

7. (а + Ь) (а + Ь) = аа + аЬ + 6а + Ь6,

8. а(Ь + с) = аЫ- ас, Уа, Ь, с

Теорема 1.11. Левая I РцУУУ -система Х\ характеристики р ф 2, в которой выполняются условия:

1 +1 £ П К, а~1 • аЬ = 6, Уа ф 0,6, и

а-'(аЬ - а + 1) = Ь - 1 + о"1, Уа ф О, Ь, является альтернативным телом.

Теорема 1.12. Левая I-система. Х^ в которой

1 + 1 ф 0, = 1 + • • ■ + 1,

р = 1 + • • • + 1 6 ЛГт(Х,) П ЛГг(Х,),

а-1 • аЬ = Ъ, а~'(аЬ — ра + к) — Ь — р + ка~1 есть альтернативное тело.

Теорема 1.13. В левой I -системе Х1 характеристики 2 из условий: а-1 • аЬ = Ь и а(Ь+ 1) = аЬ + а следует а(Ь + с) = аЬ + ас,Уа,6,с, и, следовательно, левоальтернативность системы Х\, но не альтернативность XI.

Далее указываются на достаточные условия альтернативности (лепоальтернатнв-ности) правых 1РоУ Н'-систем характеристики р ф 2 (р = 2).

Теорема 1.20. /7р;шля IРаУ\¥-система Х2, в ктщюП:

1 + 1 ф 0, Ьа • а"1 = Ь, (1 + а) • Ь = Ь + аЬ,

есть альтернативное тело.

Теорема 1.21. Правая IР0УIV -система Хг, в которой: 1 + 1 = 0, Ьо .о"1 = Ь и (1 + а)Ь = Ь + аЬ, есть правоальтернативное, но не альтернативное тело.

Указано, что в системе Х(+, •) из условий (см. т. 1.22):

1) Л'(+) — абелева группа,

2) Л'( • )\{0} —/Р-слева (справа) лупа,

3) (а + Ь)с = ас + Ьс (а(6 + с) = аЬ + ас), Уа, Ь, с,

4) а(Ь+ 1) = аЬ + а ((1 + а)6 = 6 + аЬ), Ча,Ь, следует а[с + Ь) = ас + аЬ ((а + Ь)с = ас + Ьс), Уа, Ь, с.

Глава 2 посвящена теории проективных плоскостей над различными левыми (правыми) IP0VW- системами.

В §2.1 изучены конфигурационные свойства левых /РоУИ'-плоскостей характеристики р ф 2. Опираясь на свойства ядра N, правого ядра А'г и сердцевины К тернара Хь находятся некоторые достаточные условия локальных выполнений теоремы £>ц в левой I РоУ\У-плосммпи.

Теорема 2.3. Если а е Л^А^), Ь е М(Х1),с £ где Х1-тсрнарнос кольцо

левой /Р0 УIV-плоскости то пары трехвершинннков: {(о,, ¿¡), (а,, 6,а)}( ({(«Й Ь;), (аф, Ь<)}1, {(<2(, Ь(), (са^сб,)},) порождают замыкающуюся (0^, О^).

<-> ¿V

J к Г i к

п»

г

П7

59

«10 •S {о

£>9 Dil0

D>n

г т г

IT*"*1 I23..7

П Пп

Схема (+)

Доказаны в терминах холлова исчисления, что некоторыми квазитождествами теоремы Dg являются аксиомы слабо-дистрибутивного тела с вполне обратимым умножением. Но в этих терминах пока не доказано, что из Dg следуют общие дистрибутивные законы (см.т.2.6 и 2.6*)

Рассмотрены конфигурационные теоремы L-¡, Ls, П», Пт, П£— следствия теорем Паппа П, £)ц и Ь\й и найдены их некоторые квазитождества (см. 2.7-2.13).

Доказано, что теорема Паппа П, в которой выполняются инциденции обеих малых теорем Паппа, т.е. теорема Па проективно эквивалентна теореме Ls (т.2.9).

Рассмотрена теорема Ti = Dn(ABC; А'В'С'), в которой [А,С\г\[В',С']П[А', В] = Qi и которая задается образующими точками А, В, А', В', К общего положения, таблицей инциденций: S = [Л, А']П[В, В'], R = [А, В]Г\[А', В'), Qx = [А, К]П[А', В'], С' = [Q,, В'] П [А', К], Р = [К, R] П [В', С], С = [В, Р] П [S, С'] и замыкающей инциден-цией (А,С,К). Рассмотрены и другие аналогичные следствия D\\i Ti,T,,Ts, Те ■«=> L\a,Ti,P\,Pi,P3. Найдены нижеследующие ограниченные квазитождества теоремы Т, (Т.2.15(1),(2)):

(а - Ьа)а~1 = аЬ и (b~im)m ■ (¿"'m)-1 = b~lm • Ь.

Введены понятия специальных нетеоретико-множественных операций иицидентност-ных объединения (©) и пересечения (о) конфигураций.

Определение 2.25. Будем говорить, что конфигурация К есть инцидентностное объединение конфигураций К\ и Лг^если в ней выполняются все инциденции К\ и K-¿ и представляет расширение К\(К2) инциденциями К2(Ki) (К = Ki®Kt) и, что конфигурация К' есть инцидентностное пересечение К\ и если все ее инциденции выполняются в каждой из К\ и Кг-

С помощью неоднозначной операции (©) построены новые конфигурационные теоремы 7¡j, Tijt,..., Т12...7, Рц, Ри, /и, ■ • ■> Л234 и изучены связи некоторых из них с известными конфигурациями (см. 2.27 и 2.29).

В пункте 2.1.3 изучены конфигурационные свойства плоскостей , А'3", X¡, X¡ иХ5\

Доказано, что (т.2.30) в плоскости XJ выполняются все конфигурации Ds[N¡, l¡)', оси k = [у = хщ + q — gn¡] которых образуют пучок с центром в точке R(p,q), где a- (—b) = —ab, р, q 6 N(Xi), и которые имеют общий трехвершинник ABC, где Л(оо), В = (0,0), С(0) и R, не лежащая на прямых АВ, АС, ВС и отличная от А\, B¡,Ci

и что (2.31) в плоскости AJ характеристики 2 теорема Z?8 в условиях теоремы 2.30, свертывается в 73.

Существенно расширена система Аргунова папповых конфигурационных свойств плоскости характеристики 0 (см. схемы 0.1 и (*)). В §2.2 изучено существование коллинеашШ:

«1 :(*, у) (~х,УР), ("0 -+ (-тр), (ос) -+ (оо),

f»2 -(х,у) -+ (х + c,y + d), (m) -> (m),(оо) (оо),

аз "(х,у) {ха + с, yb + d), (m) -+ (a-1 -mb),a,b € N,

а4 :(х, у) <- ((у - fc)ar\ ха; + fc(), (m) (а( • т_1а¡), а,- е /V, Vfcj,

а5 :(х, у) —► (sxa + с, syb + d), (m) -> (а-1 • mb), (оо) —> (оо),

t»6 :(х, у) -> (st/6 + d, sxa + с), (от) -* (Ь~' • т~'а), (оо) <-> (0),

«в :(z, у) о (х"1, x~ly), (т) <-> (0, т), (оо) -+ (оо)

в проективных плоскостях над системами A'j из §1.1. Эти коллинеации исследованы

/

и на центральность.

Доказано, что в проективной плоскости над //'-справа левой /Р(,У1У-системой Л'я существует коллинеация 04 II порядка при любом к и a е jV(A'-i) (г.2.37);

установлено, что в плоскости XJ существуют (m, ¿оо)-элации и она обладает свойством ¿оо-транзитивности (т.2.33(5));

что в плоскости над почти-телом группа G коллинеации вида aj своей инвариантной подгруппой имеет группу коллинеации вида Ог (т.2.34).

что в проективной плоскости над левой /РоVW-системой Xi(+, •) преобразование о5 является коллинеацией, если s 6 K(Xi),a € N(Xi),b € Nr(X 1), (т.2.40) что в правой /PoVIV-плоскости преобразование

■ {х,У) (х,у + кх), (m) —У (то + fc), (00) -+ (00),

при любом к, является коллинеацией (т.2.41);

что плоскость над Х{+, *) с аа-1 = a~la — 1, в которой су щест вус?-корре л я ци я : (а, 6) [у = х(-а) + Ь], (оо) -+ (m) [1 = m], [1 = m] (-m), [y = xm + t] (m, t), и (2) коллинеация a2, представляет плоскость над коммутативной /Р„VW-системой (т. 2.36);

что проективная плоскость, в которой существуют коллинеации щ и (х,у) <-» (у, х), т <-» (т'1), (оо) «-» (0) является плоскостью Х£ (т.2.39);

что в плоскости Х£ существуют коллинеации вида а7 : (х, у) —» (х,у + хк),(т) —> (т + А:), т.е. ((оо),[г = 0])-элащш (т.2.41).

Заметим, что при доказательстве теорем 2.42 и 2.43 были использованы сноПстиа элементов сердцевины К(В) тернара. Доказана также теорема о существовании ко-линеации а3 в плоскости Х£.

В §2.3 найдены некоторые достаточные условия муфанговости //оУ1К-плоскости характеристики р ф 2 и тем самым были геометризовнны некоторые теоремы из §1-2. Приведем формулировки теорем 2.45, 2.47 и 2.48, гсоыстрнзующих алгебраические теоремы 1.10(3) и 1.12.

Теорема 2.45. Пусть в плоскости X' над 1Р-слева левой 1Р0УIV-системой ид<еет локальное нынилнение теорема 1/ю(АВР; А\В^Х), при {(3 = (с,с+са), Р — (1), X = (0), (¡1 = (с, са), вх = (1,а)}, тогда плоскость муфангова.

Теорема 2.47. Проективная плоскость над 1Р-слева левой IР0УМ'-снстемоП Х\ характеристики р ф 2, в которой & = 1 + ... + 1ир=1 + ... + 1б Л',„ (X)) П ^»(Хх) из двух локальных выполнении Ью с кваъггождестшши:

(/) а~'(ай — ак + р) = а'1(аЬ — ак) + а~'р и (//) а~1(аЬ — ак) =Ь-к) следует муфанговость плоскости X'.

Теорема 2.48. Плоскость характеристики ф 2 над 1Р-слева левой 1РоУ IV-системой, в которой существует коллннеация: (х, у) —» {х,у + х), (тп) —» (т + 1), муфангова.

В §2.4 изучены вопросы влияния преобразований Холла бинарных операций (т.2.49) тернарного кольца на свойства исходного тернара плоскости. Кроме того, доказано, что инверсия 1Р- справа левую IР0УIV,.- с и стему А"4(+, •) переводит в левую У\У-систему без единицы (т.2.50); что слабая изотопия Т(у>фх) немуфаиговую левую /РаКИ'-сттему X переводит в левую IРВУ\У-сш:гему без еднницы (т.2.51); что слабая изотопия 1Р-слева правую /РцКИ^-систсму АГ5 переводит в правую У\У-систему без единицы (т.2.52); что преобразования операций: афЬ = а+Ь, а*Ь = (а Ьи)и~1,и ф 0, где и Лг(А')-нокоторы(1 фиксированный элемент, левую IРУ\У-ситну ЛГ(+,-) переводит в 1Р-слева левую /РоИ^-систему, Хз, отличную от 1Р-справа левой IРаУ\\' -системы Хз и что инверсия систему Хь переводпт в неднетрибутивную систему без единицы (т.2.54).

О некотором достаточном условии муфанговости плоскости над 1Р-слева левой

/Р0У1У-системой гласит теорема 2.56: если Р\ и Р2 — тернарные кольца одной и той же 1Р-слева левой /РоУИ'-плоскости Р', причем тернар Р\ изотопен тернару Р2 и на соответствующие реперы ОХУЕ и ОХ'УЕ' наложено ограничение [Х,У] ф [Л'', >"], то плоскость Р' муфангова.

В главе 3 рассмотрены слабо-дистрибутивные алгебры, почти-алгебры, тела, 1РаУ\У-системы и их некоторые обобщения и изучаются плоскости над ними.

В п.3.1 (1) построены примеры слабо-дистрибутивных алгебр и почти-алгебр.

Определение 3.1. Алгебраическую систему В(+, •), в которой операции связаны двумя слабыми дистрибутивными законами вида а(Ь + 1) = аЬ + а и (а + 1)6 = аЬ + Ь, назовем слабо-дистрибутивным кольцом. Если же в Б(+, ■) операции (+) и (•) связаны лишь одним слабым дистрибутивным законом, то ее будем называть слабодистрибутивным почти-кольцом.

Определение 3.2. (3.5.) Лилейное пространство Л/(+, ■, о), оснащенное структурой слабо-дистрибутивного кольца (почти-кольца), назовем слабо-дистрибутивной алгеброй (почти-алгеброй). Слабо-дистрибутивную алгебру (почти-алгебру) с единицей, в которой уравнения: ах = Ь, уа = Ь, аг = Ьг + с, <а = <6 + с однозначно разрешимы относительно х, у, г, соответственно, назовем слабо-дистрибутивным телом (слабо-дистрибутивной I Р0У\У-системой).

Построены примеры специальных недистрибутивных систем без единицы А\ и Аг в теоремах 3.3 и 3.4, опираясь на холлово умножение в теореме 0.9.8. Построен пример правой почти-алгебры В}, в которой выполняется (1 + а)Ь — Ь + аЬ в теореме 3.^Указано на то, что кольцо целых чисел есть слабо-дистрнбутивное кольцо (т.3.5).

В п. 3.1(2) построены примеры слабо-дистрибутивных систем = 1,...,9 и для некоторых из них установлены условия, при которых они являются телами и /Ро^'И'-системами.

Теорема 3.8. Для = С^(2"+1), /(г) = г1 + г + 1, не приводимого над Р (см. Т.О. 9.8), линейное пространство М(+,-,о) образует левую -систему В5, в которой:

1. г о г"1 = г"1 о г = 1, Уг ф О,

2. г о (1 + г) = г + г о 4,

3. (о» о г) о г = и о (г о г),

4. (а! о г) о г~х = о», Уг ф 0, и,

5. г"1 о (г о г) = г, Уг ^ 0.

О существовании слабо-дистрибутивной системы Ве(+, -,0), симметричной системе В5, гласит следующая

Теорема 3.9. Если в 0.9.10: Г = СР(2"+1), я = г = 1, то система М(+, ■) представляетIР-слева правую 1Р0У1У-систсму В6(+, о), в которой (1+Ь)ос = с+Ьос. и а о {а о Ь) = (ао а)оЬ. Доказано:

что В5 х В« = В7 является слабо-дистрибутивным телом (3.12(1)); что ВбфДц, где Ак — алгебра Клейнермана, представляет левую /Яд^И'-систему В8, в которой: а(Ь + 1) = аЬ + а (3.12(2));

что В5 ф Л'б = Ву есть слабо-дистрибутивная правая /РоУ1У-система, в которой: аа ■ а-1 = а = а"1 • аа (т.3.12(3)); Х& - )

что система Х4ФВ6 есть слабо-дистрибутивная левая 1РаКИ^-система В4 (3.12(4)); что система Вз ф В5 = В1 есть слабо-дистрибутивная алгебра (3.12(5)); и что Вз ф Хз = В2 есть слабо-дистрибутивная левая^ почти-алгебра (3.12(6)). Построены и некоторые другие примеры.

§3.2 посвящен описанию плоскостей над слабо-дистрибутивными системами. В п. 3.2(1) найдены достаточные условия существования коллинеаций в плоскостях над слабо-дистрибутивными телами и /РоУИ'-системами. Исследованы эти коллинеаций на центральность. Изучены группы коллинеаций и свойства различных транзитивностей (§3.4) в некоторых плоскостях. Доказано, что в плоскости преобразования:

1. (а,с) (а + (т) (т), (оо) (оо),

2. (а, с) (о, с + о, (т) (т +1), (оо) -> (оо),

3. (а, с) <-> (с, а), (т) ++ (т-1), (оо) <-> (0),

4. (х,у) —> (эуЬ+Л, вха+с^уЬ+а)), (т) —> (6~1т~1а-|-1),в 6 N(3$), 6бЛГ(В5), я 6

5. (г, у) (уа-\ха), (т) ч-> (ат~1а), (оо) <-► (0 ),Уа /0, об ЛГ(В5). являются коллинеацйями (т. 3.17).

Далее, доказано, что в плоскости преобразование вида (х,у) -* ((х+р), р~[(у+ 1)) при € С(В8) П К(В8), является коллинеацией (см.т.3.21);

Здесь же доказана классификационная

Теорема 3.18. Плоскость В' характеристики 2, в которой существуют коллинеа-щш: (1) (х,у) -> {х+а,у+к),Ча,Ь, (2) (х,у) (х"1,*""1!/). (т) +-> (0,т),(оо) -> (оо), (3) (х,у) (у,х), (т) о (т'1), дезаргова.

О коллинеациях в плоскости доказана и следующая

Теорема 3.19 В плоскости (+, •) существуют коллинеации:

У) {х, У + хк), (т)-> (то + к), (оо) (оо),

(х, у) (ах, а_12/), (т) -> (а^а^т), а 6 Л^(56) П С(В6),

(х,у) (х,хк + у + ук), {т)^(т + к + тк),кф\,кеЩГ\К(В6),

(х, у) (х + 1, у + Ы), (т) -> (т), (оо) -> (оо).

О существовании коллинеаций в плоскостях В^, В?, и В1 доказаны теоремы: 3.20-3.25, 3.26(2),(3).

Заметим, что доказательства теорем 3.17-3.26 опираются на свойства слабо-дистрибутивных тел и УРУ-систем, обобщающих классические тела и КИ'-системы, и что теория автоморфизмов плоскостей над слабо-дистрибутивными системами обобщает теорию автоморфизмов плоскостей из гл.2.

В п.3.2(2) изучены конфигурационные свойства проективных плоскостей над некоторыми слабо-дистрибутивными телами и /Р01/И^-системами (т. 3.30, 3.31, 3.31(1)).

О достаточных условиях муфанговости или дезарговости плоскостей над слабодистрибутивными телами и КЖ-системами гласят следующие теоремы: 1) Пусть в плоскости вида имеет место локальное выполнение с квазитождеством Ъа ■ а~1 = Ь, тогда плоскость В1 дезаргова (т.3.28(2)); 2) Если в плоскости В} теорема Г>ц имеет локальное выполнение с квазитоджеством а • Ьс = аЬ • с, то она дезаргова (т.3.28(3)); 3) Если в плоскости вида В£ характеристики р ф 2 теорема Г>9 имеет локальные выполнения с квазитождествами а-1 ■ аЬ = 6 и (а + Ь)с = ас + Ьс, то она муфангова (т.3.28(4)). Доказательства этих теорем сводятся к теоремам о достаточных условиях альтернативности I Р0У\У-снстсм в §1.2 и теоремам Линника и Мальцева (0.9.3 и 0.9.4). Так(например, поскольку в условиях теоремы 3.28 (2) в системе -Вб(+. •, °) имеют место аксиомы 1Р-лупы, правой /Ро^Усистемы Х2 и (а + 1)4 = аЬ + Ь, то, в силу теоремы 1.19, тернар плоскости является альтернатив-

ным телом характеристики 2, плоскость над которым муфангова , и, следовательно, дезаргова, в силу ассоциативности его тернара (см. т.0.9.3, 0.9.4).

В п.3.2(3) изучено действие преобразований сопоставления, инверсии и слабой изотопии Холла соответственно:

(о©Ь=а+Ь I а о Ь = а(Ь + в) — ая, где 5 — фиксированный элемент тернара,

где ¡р, ф, х суть автоморфизмы, на свойства слабо-дистрибутивных тел и 1Р0УIV-систем.

Замечено, что в плоскости В, справедливы все результаты Холла и Скорнякова о взаимосвязях тернаров левой КИ'-плоскости.

Доказано,что слабая изотопия, немуфангово слабо-дистрибутивное тело А'(+, ■) над полем Р с вполне обратимым умножением (из а-1 -аЬ = Ь = ¿а-а-' вообще говоря не следуют тождества Муфанг (см. [30])) переводит в неднстрибутивную систему -,о) (т.3.32) без единицы; что слабая изотопия систему В6(+, •) переводит в правую УТГ-систему без единицы(т.З.ЗЗ); что преобразование операций:

х Ф у = х + у, хоу = и-1(иг • у), и £ N. Ьи-и~*=Ь,

систему В6 переводит в правую IРцУIV-систему Л"2(+, о).

При изучении некоторых плоскостей применялись и преобразования операций (см.3.35):

симметричные холловым преобразованиям операций. Доказаны теоремы 3.36 и 3.37 о действии преобразований (I) и (II) на свойства слабо-дистрибутивных систем. (Заметим, что нами не изучались всевозможные взаимосвязи тернаров плоскостей над слабо-дистрибутивными системами).

а®Ь = а + Ь, (II) аоЬ = а"1 • 6,

. 0 о 6 = 0,

В §3.3 изучены некоторые вырожденные плоскости над недистрибутивными IP4VW-системами (почти /РоУИ^-плоскости) при допущении а-тоЬ = ато+Ь в их тернарах. Построены примеры различных конечных и бесконечных луп, в том числе и пример немуфанговой IP-лупы. В почти /Ро VW-плоскостях выяснены некоторые условия существования коллиниаций и конфигураций. Установлено, что каждая из них содержит 3-ткани и в каждой из них существуют непересекающиеся прямые и несо-единяемые точки (см. 3.38-3.43). (Заметим, что результаты §3.1 и §3.2 представляют начальные результаты новой области исследований теории алгебраических систем.)

Глава 4 посвящена решению проблемы нахождения дезарговых геометризаций характеристик 2,3,5,... тел и их приложению к описанию проективных плоскостей.

В §4.1 рассмотрены конфигурационные теоремы Кр, представляющие дезарговы геометризации характеристик р = 5,7,... тернарных колец плоскостей, отличающиеся от теорем 7$, Т7,___в работах Ломбардо Радиче и Цаппа своей дезарговостью

(см.[6, 22, 35| и рис.0.1).

Приведем формулировку теоремы Кр.

Конфигурационная теорема Кр 4.1. (рис.4.1) Пусть заданы точки 1,..., ¡5 общего положения, р-любое простое число, > 3, и выполняются следующие инци-денции: V = [2,р - 1J П [р.З], 2' = [1,4] П [р,3], (р - 1)' = [l.p-^] П [г,^7!!,

(р - 2)' = П Вр = [р, Г] П [2,р=1].

? = [i- l,i + 2]n[i-2,i+ 1], г = 3,..., р — 2;

Д = р,Г+1]п[1Г',т1, t = l,...,p-l, s = [I,f']n•••п[р,г/], i = [Bi,...,Bp.u 5],

тогда выполняется и инциденция (S, Bi,..., Вр)-

Теорема Кр состоит из пары р-вершинников с центром S и осью I перспективы, где Sil. Она представляет некоторый обобщенный аналог теоремы Lla. Об алгебраическом эквиваленте конфигурационной теоремы Кр гласит следующая

Теорема 4.2. Некоторым почти-ограниченным квазитождеством теоремы Кр является равенство 1 +----1-1 = р = О, где р есть любое простое число, > 3.

21

Рис. 4.2 (D¡)

Рис. 4 J (Ц)

Рис. 2.5 fT,)

Заметим, что теорема 4.2 была доказана для пашгавой плоскости, но не для У\У-плоскости. При этом были выбраны следующие координаты образующих точек Кр : р — г = (2(р — ¿), (г + 2)(г + 1) ■ 2-1), »' = 0,1,... ,р — 1. Кроме того, установлено при р = 5,...,13, что для Кр доказуемо соотношение: "р = 0 =>■ Кр"и при четырех ее известных точек:

Р = (оо), 7^1 = (0), Р^2 = (0,0), Р^з = (1,1)

и р — 4 неизвестных образующих точек (а,,!/,). (При р = 5,..., 23 подробнее доказательство приведено в |4С|).

Теорема 4.3(1). В папповоП плоскости характеристики р ф 2 точки и пересечения соответствующих диагоналей р-вершншшков А'р инцидентны их осп перспективы.

О дезартвом содержании теоремы Кр гласит следующая

Теорема 4.4(1). В муфанговой плоскости характеристики р проектов™ выполняется теорема Кр.

В §4.2 рассмотрено дезаргово истолкование характеристики 3 тела в виде конфигурации Ь-г II доказаны теоремы: "Л7 1 + 1 + 1 = 0"и "Ь7 <=> 83".

В §4.3 рассмотрены конфигурационные теоремы, представляющие дезарговы гео-метрнзации характеристики 2 тела. Приведем их формулировки.

К. Теорема £>;(8; 10,10) 4.9. (рис.4.2). Пусть для точек (3, Г, 6), 3 плоскости Фа по выполняются следующие ннциденции:

2 = [Г, 3] П [3,2'], 3"' = [6,2"] П [3,4], 5 = [2,3] П [!', 3'], 1=[1',3]П[2',3], 7 = [Г, 2'] П [1,2],

тогда будут выполняться н ннциденции (5, б, ?) и (4,3', 7).

К. Теорема ¿5(8; 10,10) 4.11 (А), рнс.4.3. Пусть и ¡¡¡юективноЯ плоскости Фя-но для точек 7,4,2', 3,1 общего положения выполняются ннциденции: 1' = [4,1] П [2',3], 3"' = [3,3]П[2',7], 5 = [1',2~']Л[4,7], 8 = [3,7] П [Г',3~], 2 = [3, ?] П [1,2'], тогда будут выполняться и следующие ннциденции (1,2,3') и (1,3, б).

Теореме можно дать и следующую формулировку (Л'):

"Если для точек (5,3,1'), 4,2 имеют место ннциденции: [5,3] П [4,2] = 2', [5,2] П [4, Г] = 1, [5,4] П [2,3] = 7, [2,7] Г) [4,3] = 3', [1,3] П [!', 3'] = 6, то будет иметь место и ннциденции (3,5,6) и (1,2,3')-"

К. Теорема П} 4.13. рис.4.4. Пусть в плоскости Фано заданы точки 1,3, (2,4,6) и выполняются инциденции: 7 = [1,6] П [3,4], 8 = [1,2] Л [3,6], 5 = [4,8] П [1,3], 9 = [5,6] Г) [2,3], 10 = [3,4] П (1,2], П = [2,3] П [4,5], 12 = [10, П] П [1,3], тогда будут выполняться и инциденции (8,7,9,12) и (10,11,12,6). Доказаны теоремы 4.10-4.12, 4.14, 4.15: "73 => "п; ц", «£>; п;\ "В плоскости Фано теорема £>8 свертывается в 7з". Опираясь же на теоремы 4.9-4.15, была доказана

Основная теорема 4.16. Некоторыми квазитождествами теоремы 7з являются:

1) а + (а + к) = к, д + (с +р) = с + (р + 9);

2) а + 6 = Ь + а,

2') а + (6 + с) = (а + Ь) + с,

3) а • ш о ат = ат + ат = 0,

4) а-тоЬ = с£ф>а-Ьос(=Ь, Уа,т,Ь,

5) д • т о д = дт + д, Уд, т,

6) а ■ т о (ат -I- (ат) • т) = (ат) • т, Уа, т

7) а(6+1) =аЬ+а, УаД

8) аа-1 = а_1о = 1,Уа Ф 0,

9)1-дос=1-Сод,

(1) ад • р о (ад + ас) = ад + ад • р о ас

10) (2)р./в(с./о«0 = с-/о(/,./о<0,

, (3) ад • к о (ад • д о ас) = ад • до (ад • Л о ас)

11) а • т о Ь = ат + Ь, Уа, т, &,

12) а(6 + а£>) = аЬ + а • аЬ, Уа, Ь,

13) (а + ат)т — ат + ат • т, Уа, т,

14) а • а-1с = с,Уа ^ 0,с,

15) са-а"1 =с,Уа^ 0,с,

16) (1 + й)-с = с + Ьс,У6,с.

Таким образом, тернарное кольцо бесконечной плоскости Фано является, по меньшей мере, слабо-дистрибутивным телом характеристики 2 с вполне обратимым умно-

жением. Опираясь на теоремы Мальцева [6]: "Кольцо с единицей, в котором а~1аЬ = Ь = Ьа- а-1, есть альтернативное тело", Линннка [4]: "Альтернативное тело характеристики 2 ассоциативно" и автора 1.13, найдены достаточные условия дезарговостн бесконечной плоскости Фано в виде выполнения (а+с)Ь = иЬ+сЬ или а(Ь+с) = аЬ+ас, Уа,Ь, с н тернаре плоскости (т.4.20). Указано на то, что все аксиомы тернара бесконечной плоскости Фано (т.4.16) являются квазитождестваын теоремы 73.

В 4.4(3) приведены примеры, расширяющие список требований к правилам вывода квазитождеств конфигурационной теоремы Так, во избежание получения ложных кназитождкстн конфигурационной теоремы Т, сначала нужно уточнить количество образующих точек теоремы Т, присвоить общие координаты ее образующим точкам {ЛД}, алгебраизировать все ее инцидеиции, найтн взаимосвязи /3, координат, уточнить количество фиксированных образующих точек и возможные изменения координат точек {Л/;}, согласованные с взаимосвязями р,, а потом уже прнснонть конкретные координаты образующим точкам. При этом замечено, что замепа.координат лишь одной точки из конфигурационной теоремы ¿¡, при наличии фиксированных точек: (оо), (0), (0,0), противоречащая взаимосвязям Д координат, приводит к ложному кназитождеству. В подтверждение сказаннот приведен пример. Ш выполнения теоремы £;{? = (0,0),4 = (оо),!7 = (0),2 = О.с),!? = (аЬ,аЬ ■ к)}, следуя таблице инциденций: 6 = [3,7] П [I7,37], I = [Г, 4] П [2,З7], 3 = [I,б] П [3,З7], 5 = [4,7] П [1,2], З7 = [4.2] Г~» [7.37] и замыкающим инциденциям (2,3, 7), (1', 2', 3,5), следуют взаимосвязи ((1) заданных координат: к = аЬ - с и тождественно верные равенства. При замене к на = <р(а, Ь, с) из ££ получим равенство (*): к1 = <р(а, Ь, с) = аЬ ■ с = к, левая часть которого никак не связана с алгебраизацией инциденций и поэтому равенство (*) не является квазнтождеством теоремы При к], = *р{а,Ь, с) = а • Ьс из (*) следует равенство (*.1): а • Ьс = аЬ ■ с; при Ь = 1 и кх = са из равенства (*) следует (*.2): ас = са, а при замене с на Ь + с, аЬ на а и к на ¿1 = (л, Ь, с) = аЬ + ас из (*) п<ь следует равенство (*.3): аЬ + ас = а(Ь + с). Причем ни одно из равенств (*.1), (*.2) и (*.3) не является квазитождеством теоремы Ь\ — следствия теоремы £10, они суть квазитождества теорем Паппа П и Дезарга Оп.

В работе поставлены нижеследующие задачи.

(1) Найтн аксиоматику тернара плоскости, в которой Кр,р ф 2,3, выполняется проективно.

(2) Исследовать структурную теорию слабо-дистрибутивных систем и применить

ее к описанию плоскостей.

(3) Построить примеры слабо-дистрибутивных тел с вполне обратимым, муфан-говым и боловым умножениями соответственно.

(4) Доказать существование слабо-дистрибутивных тел характеристики рф 2, не являющихся прямыми суммами тел.

(5) Имеет ли каждая из конфигурационных теорем Ti,i = l,--- ,5,7, проективный алгебраический эквивалент и каковы взаимосвязи конфигурационных теорем Т\2, ■ ■ ■ , T¡2-.-7 и их связи с известными конфигурационными теоремами?

(6) Построить пример немуфанговой (неболловой слева) левой (правой) IPVW-системы (левой /РоУРК-системы).

(7) Каковы взаимосвязи тернаров плоскости над слабо-дистрибутивпым телом?

(8) Изучить алгебру, элементами которой являются конфигурации, а операциями

— инциден гностные объединение и пересечение.

(9) Доказать теорему *КР р = 0" в VП'-плоскости.

В заключение приведем перечень основных результатов диссертационной работы.

1) Построены примеры нижеследующих систем.

(1) Хз — IP-справа левая /P0VIV-cii(neMa; (2) Х4 — /Р-с:права левая IP0VWr-снстема Хз; (3) А'5 — IP-слева правая /P0V^-система а-аЬ = аа-Ь; (4) А° — алгебра; (5) Х7 — алгебра, в которой ab = ha, aba = ab'a, аа-1 = а~'а = 1 и есть делители 0; (0) X, = /lfcO (Левая МКН^-система); (7) Х2 = АкФ (Правая A/VlK-система); (8) Ai и Л2

— недистрибутивные системы без единицы; (9) Вз — правая почти-алгебра со слабым дистрибутивным законом: (1 + а) о b = b -I- о о Ь; (10) Вь IP- справа левая 1 PaVW-система, в которой Ьа- а = Ь-аа и a(b + 1) = аЬ + а; (11) В6 — симметричная B¡, (12) В7 = В5®Вй; (13) Bs = ВъФАк; (14) Вд = В5©Х5; (15) В4 = Х4©Ве; (16) В, = B3®BS —слабо-дистрибутивная алгебра; (17) В2 = Вз © Хз — слабо-дистрибутивная левая почтн-алгебра; (18) немуфангова /Р-луна; (19) некоторые алгебры, порожденные преобразованиями операций тел.

2) Решена проблема существования слабо-днстрибутивпых систем (гл.З), изучены свойства плоскостей над ними (новое направление в теории алгебраических систем).

3) Улучшены результаты Калла1эра, Андре, Холла и Скорнякова о достаточных условиях альтернативности /PoVW-системы и муфанговостп /PoVIV-плоскости.

4) Найдены достаточные условия лево-альтернативности /РоК1Г-системы характеристики 2.

5) Расширена система Аргунова взаимосвязей конфигурационных свойств проективных плоскостей с помощью введенной автором операции инцидентностпого объединения конфигураций и классических методов.

6) Решена проблема существования дезарговых геоыетрпзациП характеристик тел, тх) есть доказаны теоремы: "Кр о р = 0",р > 5, "/,9 Кр",р / 2; "£9 => ¿7","£7 83","Х,7 => 1 + 1 + 1 = 0".

7) Получено описание бесконечной плоскости Фапо.

8) Расширен список требований к правилам вывода квазитождеств конфигурационной теоремы снимающих частично получение ложных кназитождеств.

(Поставлено несколько задач по теме диссертации).

ЛИТЕРАТУРА

1. Аргунов Б.И. Конфигурационные постулаты и их алгебраические эквиваленты // Мат. сб. 26 (1950), 425-456.

2. Артин З.Г. Геометрическая алгебра. М.,"Мир" 1969.

3. Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. М.,"Мир", 1955.

4. Гильберт Д. Основания геометрии. М. "Мир", 1948.

5. Лпнннк Ю.В. Кватернионы и числа Кэлли.// УМН, 4, вып.5(1949), 49-65.

6. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М. Наука, 1970.

7. Картсси Ф. Введение в конечные геометрии. М., "Наука", 1980.

8. Рашевский П.К. Проективная геометрия с новыми конфигурационными теоремами // Мат. сб., т. 8(50): 2, 1940.

9. Скорняков Л.А. Проективные плоскости. // УМН, т. VI, вып. 6, (1951), 112-154.

10. Холл М. Теория групп. М., "Мир", 1962.

11. Ширшов А.И., Никитин А.А. Алгебраическая теория проективных плоскостей (Учебное пособие). Новосибирск. 1987.

12. Фоменко А.Т., Дубровин Б.А., Новиков С.П. Современная геометрия. М. "Наука", 1979.

13. Andre J. Uber nicht-Desargueschen Ebenen mit transitiver Translationsgruppe. // Math. Z. 60, 156-186 (1954).

14. Fano G. Sui postulati fundamental! della gcometria procctiva. // Giorn. Math. 30, (1942), 106-112.

15. Gleason A.M. Finite Fano planes. // Amer. J. Math., 78,(195G), 797-807.

16. Hessenberg G. Beweis des Desargueschen Satzes aus dein Pascalschen. // Math. Ann. Vol. 61, (1905), 161-172.

17. Hughes D.R. Piper F. Projective planes. N.Y.:Springer Verlag, 1982.

18. Kallaher M. Projektive planes over Bol Quesi-Fields. // Math. 109, (1969), 53-65.

19. Kallaher M. MVW-system. // Math. Z. 105. (1968), 114-127.

20. Kleinfeld E. Projektive und affune Ebenen mit Nachbarclemeut // Mat.Z.60, (1954).

21. Maduram D.M. Transposed translation planes. // Proc. of. the Aincr. Math. Soc. Vol. 53, 2, (1975), 265-270.

22. Moufang R. Die Schnittpunktsatze des proektiven speziellen Funfeckchetzes in ihrer Anhandigkeit voneinander. // Math. Ann. IOC, (1935), 755-795.

23. Pickert G. Projective Ebenen. Berlin, 1955.

24. San Soucie R.L. Right alternative division rings of characteristic two. // Proc. Amer. Math. Soc. 6, (1955), 291-296.

25. Schaffer R.D. Generalized Standard algebras. // J. Algebra 12 (1969), 386-417.

26. Vehlen O., Wedderbum I. Non-Desaguesian and non-Pascalien Geometries. // Trans. Am. Soc. 8, (1907), 379-388.

27. Vehlen O. and lung. Projective Geometry. Vot II, Boston, 1918.

28. Zassenhaus H. Uber endlisclie Fastkorper. // Abh. Math. Sem. Hamburg, 11, (1936), 187-220.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ:

29. Хубежты И.А. Веблен-веддербарновы системы с обратимыми элементами (/P0V\V-системы). // 12 Всесоюзный алгебраический коллоквиум, тез. сообщ., тетр. 2, Свердловск, 1973, 1с.

30. Хубежты И.А. Почти веблен-ведцербановы плоскости порядка 9. // Сб. тр. "Геометрия однородных пространств", МГПИ им. В.И.Ленипа, Москва, 1973. С.147-156.

31. Хубежты И.А. /Р-веблен-веддербарновы системы и им соответствующие структуры пнциденций. // Сб. тр. "Геометрия однородных пространств", МГПП им. В.И.Ленина, Москва, 1973. С.157-189.

32. Хубежты И.А. Конфигурация L?. // В сб. труд. "Геометрия инцидентностных структур и дифференциальных уравнений", Смоленск, 1981. С.92-96.

33. Хубежты И.А. О некоторых связях между различными правыми дистрибутивными законами в VlV-системе. // Межвуз. мат. сб. "Структурные свойства алгебраических систем", Нальчик, 1981. С.122-128.

34. Хубежты И.А. О следствиях теоремы Паппа. // Деп. в ВИНИТИ, №В250-В87, 39 с.

35. Хубежты И.А. О некоторых обобщениях проективной плоскости Ленца-Барлоттн. //Деп. в ВИНИТИ, №2057-В91, 15 с.

30. Хубежты И.А. О некоторых классах алгебр п инцидентнопных структур. // Изд-во СОГУ, г. Владикавказ (Дзауджикау), 1994, 392 с.

37. Хубежты И.А. О некоторых преобразованиях операций тернарного кольца I PoVH' - плоскости. // Деп. в ВИНИТИ, №1922-В9С, 15 с.

38. Хубежты И.А. О плоскостях над алгебрами со слабыми дистрибутивными законами. //Деп. в ВИНИТИ, №1509-В89, 33 с.

39. Хубежты И.А. О дезарговой геометризации характеристики тела. //Владикавк. мат. журн. РАН, 2001. T.III, выпуск 3, с. 52-С2.

40. Хубежты И.А, Моноассоциативные почти-/Р0У1У-плоскости. // // Сб. тр. "Геометрия однородных пространств", МГПИ им. В.И.Ленина, Москва, 1973. С.138-146.

41. Хубежты И.А. Геометризация теоремы об альтернативности /Р-слева левой УЖ-системы. // Деп. в ВИНИТИ №3719-1187, 9с.

42. Хубежты И.А. О некоторых классах У\У-плоскостей // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Приложение. 2003. №9. С.21-27.

43. Хубежты И.А. Геометрические эквиваленты характеристик полей. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Приложение. 2003. №11. С.3-8.

44. Хубежты И.А. Некоторое ослабление условий муфанговости /РоУН'-плоскости // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Приложение. 2003. №11. С.9-13.

45. Хубежты И.А. Некоторое ослабление условий альтернативности 1Р0\'\У-системы // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2004. №4. С.13-17.

46. Хубежты И.А. О некоторых классах алгебр и плоскостей. (Монография). Изд-во СОГУ. Владикавказ (Дзауджнкау). 2005. 302с.

47. Хубежты И.А. О выводе квазитождеств конфигурационных теорем // Международная алгебраическая конференция, г. Екатеринбург. Тезисы докладов. 2005. С.144-145.

48. Хубежты И.А. О бесконечной плоскости Фано // Изв.вуз. Сев.-Кав. регион. Естеств.науки. Приложение 2005. №11.