Некоторые вопросы качественной теории динамических систем с запаздыванием тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

г* <™

(•, и

о

белорусский государственный

УНИВЕРСИТЕТ

На права* рукописи УЛК 517.977

ТВДГОК ВЛАДИМИР НИКОЛАЕВИЧ

тютопя вопросы качествишои теории динамических СИОГЭ1 С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ лпссертацпи на соискание ученой степени кандидат Ф^зико-матгматичэских пвук

Минск - 1994

Ныаога иаигииваа в Бэлорусоссм государственном университете

ИщДй'Щд^уурщпм щ г**

Ни&шыЛ рршивад — доктор фшанко -матоматмчо шшх наук

профессор Ж.В. Ииячвнко ефщщкатпяшп сдпнипя - донор бааяво-ивтвматкчвских наук, профессор В.Н. Бдагодвтских - ювдид фвзшаьматвматяческях наук, «Ц9ВГ В.В. ЛШП.ЩПТ дцвдщим арсатцдцра — ЖжургспЯ государственны* университет

К ЙВЯлЛВ.ГО шш ц^ццадиняии учана! стйшнн кандидата <Дм пжст-мипгяиаддтаагжжг дадз; в ЕВЖДОССКОМ Государственном

Ш

дашиндшишн® шдшяа. Шю. щ>. Ф. Пдфааш. 4, комната 206)

1994 Г.

Швша Шйгдмщрь | ппн ^■иышлодктитпяттп окащяш дпцяит

...' *- . В-И.Кйшсы

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Изучение дифференциальных включений с запаздыванием представляется актуальным по следущим соображениям. Поскольку дифференциальные включения о запаздыванием являются обобщением диффэретиалыгех уравнений с -звпаздаввнием, имеющих широкий круг приложений на практике, исследование свойств дифференциальных включений с запаздыванием способствует построению обцей теории, распространяющейся как на тэ так и другие объекты. С другой стороны, с помощью дифференциальных включений с запаздыванием описываются управляемые системы с запаздыванием и областью управления, зависящей от фазового состояния, очень часто встречающиеся в задачах управления экономикой и производством. Такт образом, изучение дифференциальных включений с запаздыванием является достаточно актуальной задачей. Актуальным является и получение необходимых условий оптимальности динамических систем по параметрам, как основа для построения численных методов оптимизации параметров систем. К задаче оптимизации динамической системы по параметрам сводятся, в частности, проблемы понижения порядка системы дифференциальных уравнений, восстановления начального состояния система . Техника сведения задач наблюдения и идентификации динамической системы к задаче оптимизации по параметрам позволяет строить итеративный процесс уточнения исходных данных.

Цель работы - получение характеристик дифференциальной. зависимости решений дифференциальных включений о запаздыванием от начальных данных, получение достаточных условий

управляемости и лекальной управляемости дифференциальных включений о запаздыванием. Вывод необходимых условий оптимальности динамических систем по параметрам и начальным данным (условия первого и второго порядков).

Методы исследования. Работа основана на применения теории даийереяцаальжпс уравнений, теории оптимальных процессов, теории многозначных отображений и елементов выпуклого анализа.

Научная новизна работы заключается в постановка н исследовании задач дайеренцируемости по начальным датшм и локальной относительной управляемости дифференциальных включений с запаздыванием. Изучение поставленных задач приводит к новым результатам по даффоренцируемосги решениа дифференциальных включений с зашпдаввнивм относительно печальных данных, которые применимы и для случая систеы дифференциальных уравнений с запаздыванием. Получены тамга новые обобщения теорош Филиппова, что в свою очередь позволяло получить достаточные условия локальной относительной управляемости вдоль траекторий дифференциальных включений с запаздыванием. Эти достаточные условия содерзкат в себе .или обобщают известные ранее достаточные условия локальной' управляемости обычных дифференциальных включений, а таккэ систем управления с запаздыванием и без запаздывания.

Среди других результатов сформулирована и доказана теорема двойственности для линейных дифференциальных включений с запаздыванием, а такке изучены свойства функции оптимального значения в задаче управления дифференциальным включением с запаздыванием. Кроме ' того, получены необходимые условия оптимальности первого и второго порядков в задачах оптимального управления динамическими системами по параметрам

и начальным данным.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы могут быть использованы при локальном исследовании систем управления с запаздыванием, в том числе и с областью управления, зависящей от фазового оостояния, а также при оптимизации динамических систем по параметрам.

Публикации и апробация работы. По теме диссертации написаны 10 паучник работ. Основные результата диссертации докладывались и обсувдались на III Северо-Кавказской конференции по фунюдаоналы1б-дифференциальным уравнениям (Махачкала, 1991), 6-ой конференции математиков Беларуси (Гродно, 1992), на конференции "Понтряпшскио чтения-IV" (Воронек, 1993), на межгосударственной научной конференции динамические система: устойчивость, управление, оптимизация (7-9 декабря 1993 г. Минск, Беларусь).

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 112 страницах машинописного текста и состоит из введения, двух глав и списка литературы из 139 наименований.

СОДЕИШШ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ Во введении дается краткий обзор полученных результатов в области теории дифференциальных включений и свойств их решений, излагаются идеи, реализованные в диссертации.

Рассматриваются дифГюренциалыме включения общаго вида

(1)

где F - некоторое многозначное отображение, ставящее в соответствие каждой точке {t,x) множество ?(t,x) в Л". В форме дифференциального включения (I) можно записать и управляемые системы с переменной областью управления

3? = f(t,x,u), mUit,x),

в также системы дифференциальных неравенств, управляемые системы, не разрешенные относительно производной и т, д.

В первой главе рассматриваются дифференциальные включения с запаздыванием

^¡¿^Ра.хЮ.яа-й)) геЗЫ^,^] (2)

с начальным условием

х<*)=с(П (3)

где . х - п-вэктор состояния, д - величина запаздывания (0<д<гг4С1), - заданная существенно ограниченная функция (со значением при *=£0). 1 - шюгозначное отобрааениэ с

непустыми кошактными значениями которое измеримо

по а также лигшшцаво по х,у и интегрально ограничено в окрестности некоторой траектории я? (•) дифференциального включения (2), (3).

В § 1.1 рассматриваются основные сведения о многозначных отображениях. Взо/ятся основ^е определения, необходимые для дальнейшего излокашш.

В 5 1.3 рассматривается дифференцируемость решений дифференциальных включений с запаздыванием (2) по начальным денным (3).

Поставим в соответствие каждой функции о(-)«Л£Г*0-А.*:0] (с(^)=с) множество решений х{ ) дифференциального ыключэния (2) на промежутке Т с начальным условием а:и)=сЦ) и

обозначим это множество Нг(с(-)). Рассмотрим многозначное отображение

ип ^ »

й. :!."(< -л,I, 1-» ,

К О О

где \1Г ((Т )~простршство п-векторных абсолютно непрерывных

функций с нормой )Jv=U(t0)l+/li(t)lcit.

Т •

Положим

tO°(i)-(X°(i ),X°it-h),X° (t))

и обозначим через

Da?{t,w°(,t);sx,sy), DnFtt,vP(.t);&x,6y) соответственно верхнюю и ишяв прямые производные отображения F(t, ) в точке vj°{t) по направлению (¿х,<5у)е!?хРГ. {прямыми нпгшей и верхней производными отображения G в точке {х,ц), где по направлэгаш зкХ будем называть

соответственно нияшиЯ и верхний топологические пределы: V G({x,у) ) =1 Imlnf[С? C^-i-fJ)-у3,

£ .О

((X, у): х)=ИлкирГ' IG № СХ) -у ] 1.

суэ J

Рассмотрим дифференциальные включения в вориациях:

<5i(t)sBBP(t,w0(t);aa;(t).«(t-A)) (4)

И

6i(i)eBItP(i,iy°(t);6x(i),^(t-A)) (б)

с начальными условиями fix(t)-h(t). i«ti0-&,t0l.

Множества решений дифференциальных включений (4) п (5) обозначим соответственно )) и if;(М- )).

Для доф$эренциального включения (4) и (Б) докознваотся следующая теорема.

ТЕОРЕМА I. Пусть h(-Справедливы слэдувдттэ включения:

1) f£mc ))сЗнЛг((с°(- ).х°(-));П( ■));

2) УвЛг((с°(- ).х"(- ));П(-))с )).

Расмотркм гладкую систему управления

X(t)=f(t:,.T(t).X(t-A),U( t)), (С)

где и u(t )-измеридао г-Векторные Функций со зкочэнякми к

компактном каолвствв Vей1', /(4 ,г,у,и)-функция непрерывная по совокушости переменных вместе со своими частными производными

и ,х,у,и). В силу леммы Филиппова

система (6) равносильна дифференциальному включению (I), где

Тогда справедлива следующая

ТЕОРША 2. Для системы управления (6) многозначное отображение Нг дифференцируемо в точке (с°(),х° (■)).по любому направлению причем его производная

л

);Ы-)) совпадает с множеством решений дифференциального включения

&хЦ) < г) (¿-л)

при начальных условиях при 1.

Я^сопГ/и «д*1 (Г) ,г° (Г-А ) .^-х" (*) 3, / (4 (1) (t-¿), ц° (í)). 4 (1) (г-д), ц° (г)). где {-) траектория, соответствующая управлению и" (• ).

В § 1.3 рассматривается теорема двойственности и относительная управляемость линейных дифференциальных включений с запаздыванием, т.е. дифференциальных включений вида

¿(ПеЛ», 2Г(1),Х(г-Д)) (7)

с нулевым начальный условием г >=о

где дай", 0сл<1 -í0, л-запаэдиваияе, А- многозначное

Г»

отображение из в 2" .

Вудеи называть дукйеранциальноэ включение (7) лилейным, если при к&едш графиком многозначного отобрежения А

является замкнутый выпуклый конус • ) в пространства [Гх^ГхрГ, измеримо зависящий от t па Т.

Пусть (7) является линейным дифференциальным вклинением с запаздыванием. Рассмотрим конус Л* î t> » сопрязотшнй конусу Л(t).

Обозначим через. /¡t (Л f £ ) ) мноявсгво достигало ста t

дифференциального включения (7) в момент t=t4. Определим множество

({ (4(t))={r7«Ffri3p<- ) и q(-)eHCT[t0>t4] такие, что

p(i„>=-я. -(p(t),q(i-A),p(t)+q(t))eA*(t) п.в. на tto,itl и q(î)sO при tef^-â.tjJ.

ТЕОРША 3. Пусть dom4(i.-)=H%iT п.в. на T=Ct0,ttl и

)|se.(t)ebi[t0,t1]. Тогда

R* U(t))=Qt (A(tï), 1 1

ГД9

M(î,-)|èsupp(CM(t.z)).

1 "'Л

Линейное дифференциальное включение (7) Судом называть

относительно ^-управляемым, если для любой точют xt--FT

существует реиетю х{ - ) диффоренцпалъного включения (7)

такое, что x(t)s0 tefto-A,tn], x{tt)=xt.

ТЕОРЕМА 0.4. Пусть doni^(£,• )=РГх{Г и ¡4(f,• )it0,t, 1.

Для относительной tj-упрпвляемостя литйного дифференциального

включения (7) необходимо и достаточно, чтобы 0( (Л(£)Ы01,

t

т.е. не существует функций р( - ).<?(- Ы таких, что

p( )eI^Cto-A,iol, q(- )<MC"tÎo-A,to], q(t)=0 t-Ct.-A.Î,], p{tt)*О и п.в. на [t^.îj випожяэтея условие -'P(t),q(t--<0.p(i )+ii(t) (t).

Э § 1.4 доказываются теоремы, обобщающие теоремы Филиппова, Половинкина и Смирнова, Кларка и Уоткинса.

Рассмотрим дифференциальное включение с запаздыванием (2). ТЕОРЕМА 6. Пусть множества F(t,x,y) выпуклы при всех t,'v,y. Тогда для любого х(- существует решение х{■) дифференциального включения (2), удовлетворяющее условиям: 1) fix(-)-r°(-)||c<! , 2) x{t)=x(t) Ult0-A,t0), 3) lx(-)-s(-)ic<lx(-)-x(■ )).

Сверх того, существует непрерывное отображение

r:M ->Rf.(x°(.-)) такое, что ))=сг(- ), где

t

о

ТЕОРЕМА 6. Пусть:

1) многозначное отоСра&еше У интегрально ограничено в окрестности of (-);

2) подшюаэотво а из R (ха (-)) является компактом в пространстве и удовлетворяет условию

Тогда для любого л=(0,£) существует непрерывное отобраиение

r6:W—Rr(x°( •))

такое, что

||r6U<- ))-х(- )Цс<й, МГ. В § F.5 для дифференциального включения (2) с начальными условиями (3) доказывается прямое и двойственное достаточные

условия управляемости.

Дифференциальное включение (2) будем называть локально относительно I^управляемым вдоль рэвегатя х"(■), если

Х° (г 1

где ^-множество достижимости дифференциального включения (2) в момент t=tí,т.в.

о((1)=^г(«1)|Зх(-)е/сп(Т) такая, что

¿(t)eP(ít2:(t),J7(t-Д)) II.В. иТ,

ТЕОРЕМА 7. (Прямое достаточное условие управляемости).

Пусть при некотором допустимом выборе конуса ) имеет место

условие (Л({) )=/?". Тогда дифференциальное включение (2) 1

локально относительно ? -управляемо вдоль решения (•).

ТЕОРЕМА 8. (Двойственное достаточное условие управляемости). Пусть при некотором допустимом выборе конуса Л({) <31(14(1))={0}. Тогда дифференциальное включение (2)

локально относительно ^-управляемо вдоль решения х'{).

Рассмотри?.? гладкую систему управления о запаздыванием (б). Пусть решение ) соответствует управлению

Систему управления (6) будем называть локально' относительно *-управляемой вдоль решения ж°() и управления и°('). если дифференциальной включение •га^/и.ги ),г(*-л),[/). (8)

локально относительно ^-управляемо вдоль х°{). Следствием 'теорема В является следующая ТЕОРЕМА 9. Для локальной относительной ¿-управляемости системы (6) вдоль ротация х°[) и управления и°(-) достаточно, чтобы условие максимума Понтрягина

и

utäU

вдоль функции ч> (• ), являющейся решением сопряженной системы

j> (t )«-1 Vi ] V (t М 1 (t+A > ieT

|v(t;aO при t>tit выполнялось только в случае v(t)=0.

-В § 1.6 для дифференциального включения (2) с начальными условиями (3) ставится задача (Р0): на множестве всех допустимых решений (т.е. решений, удовлетворяющих (2)) дифференциального включения (2) минимизировать функционал

где р-гладкая функция.

Введем функцию оптимального значения в задаче (Ро):

где ueif. Будем говорить, что задача (Р0) инфимально устойчива, если |V(0)| <«> и функция оптимального значения 7 полунепрерывна снизу в точке О, т.е.

clV(Q)-V(0), tV(0)I<od, где clV(u)=l}m Inf 4(\S)

u —> u

Вместе с задачей (i0) будем рассматривать овыпукленную задачу

(WxU,)) -* Inf

x(f )«scoF(t,x(t),x(t~A)) iel\

Введем также функцию оптимального значения для задачи

О:

' TE0FRMA 10. clV-V"'. Задвчу (i' ) будем называть рвлаксационио устойчивой, если 7(0)i=ViO(0).

ТЕОРЕМА II. Задача (Р0) релвксационно устойчива тогда и только тогда, когда она инфимально устойчива.

В главе II доказываются необходимые условия оптимальности первого и второго порядков.

В § 2.1 доказываются необходимые условия первого порядка. Рассматривается задача минимизации функционала

J(u)=p(x(it)) (9)

на траекториях динамической системы

af(t)=/(t,z(t).x(i-A)fu) i^to-V (I0)

при начальных условиях

x{t) s a(.t) telt -A,t ) ,TT>

X(ta) = giv), 00 (n)

где дай", t*=v, д-величина запаздывания ( 0<A<ij-to ),

c(t)-задонная непрерывная функция, функции f(t,x,y,и) и g(v)

предполагаются непрерывными по совокупности переменных вместе

с частными производными

За-'Эу'Эи'Эи-

Обозначил

¡¡(t.x.y.v^fit.x.y.v), где штрих - символ транспонирования.

ТЕОРЕМА 12. Пусть функционал с вогнутый, а система (10) линейна по х и у, т.е.

f(t,x,y,v)=A(t te+A^t )yfb(t,u), где АЦ), ^Ш-матрицы порядка шп. Тогда для опткмалыюста параметра у° в задаче (9)-(II) необходимо, чтобы при всех i>sV вышшилось условие:

I

tJib'(ta),ii0)tJbvH(t,x0(t),xc'{t-b),v<,t).v0)dt<Q i V

В диосэртащш построен пример, показывающий, что для систем Солее общего вида результат такого типа нэ имеет места.

• ТЕОРЕМА 13. Пусть 1>°-оптимальное значение параметра в задаче (9)-(Н). Тогда яри всех <5уеТ(и°,7) справедливо условие

для всех бувТ(и0,7), где Т(ь°,7) касательный конус т.е. Г(и°,Р) Является множеством векторов <5иеЯг, для

каждого из которых найдется г-векторная функция о (¿) о„(«)

такая, что —---► О при £±0 и

V 4

при е>0.

• В § 2.2 получены необходимые условия оптимальности второго порядка в задаче СЭ)—(II) без запаздывания.

ТЕОРЕМА 14. Пусть и° оптимальное значение параметра в задача (9)-(II) (боз запаздывания). Тогда

г

(12)

*о

для всех буйТ(«°Д)п п(*>°). где

О (>={<51^ I (), V" .

0(^4 ^|(t,зí>(í),v(í),ll0)f[§^(í.xp(í),I^0)*(t)+

+ (í^'), t>° (í ))*(! )]F(Í ).

ТЕОРЕМА 16. Для оптимальности особого параметра v° в задаче (Э)-(Н) (без запаздывания) необходимо, чтобы при всех б2еТ(и°,V) выполнялось условие (12). (Параметр v°e V будем называть особым, если T(,v°,V)<&(v°)).

ТЕОРЕМА 16. Для оптимальности параметра v° в задаче (9)—(II) (без запаздывания) необходимо, чтобы

t±

С* (10), и„) +J (t, ти (t), y (i), v° )dt]'"din

{o

г 1

+a'nt(to)+J"G(t JdílasO

ío

при всех i>3>(u0) и всех ¿veT1 (v° ,V ,a), где r*(u°,V,a)-

мчожество векторов ¿ueíf, для каждого из которых существует

О, (е)

г-векторная функция о (.£) такая, что —---» 0 при « —» О

И U°+ca+í5Z<5w-0v(í2)eF при £>0.

В § 2.3 рассматривается дискретная система

^(tf1)-/(í,r(í),y), j(0)=g(y), (13)

где х е tf, t = 0,1,...Д-1 (У - фиксированное число), i*=Vc/f. Под траекторией Саг(О) систерлы (13) будем пошшать последовательность значений лг(0) ,х(1),... ,x(N),

удовлетворяющих (13) при некотором v е V.

Ставится задача минимизировать на траекториях систеРЯ! (13) функционал

J^(xVf))- (14)

При этом функции «>,/(í,-),g предполагаются непрерывными по совокупности переменных x,v вместе со своими первыми и вторыми

производными по x,v.

TEOREMA 17. Пусть v° оптимальное значение параметра в задаче (13), (14). Тогда

1) д£(И-1 ),y°)'5w-Vgf(t,xo(í),v(í),i'o)<5t«0

для всех óvgT(v°,V);

2) <st/ÍK(0)+VG(t)l<5itó0 L t=o J

Л

для всех ¿veT(v ,V)np(v°), где lv{t)) решения сопряженной системы

*(í-1)=^|(í,if>(í),v(t),u°) t=ff-1,...,0,

Ж0)4 )+ü§V)*H )•

C(t)4 (í),v(í),!J°)+

¿ 5D

+ §£( t ,3? (í), Жt (t,x° (í ), ) f-

{t),v° )* (t) [?(t ,-1 )Sg(i»° F(í (ft) .tf)]+'

I" к го

t .i" (t), V (í), i>°) [F (t-1 ,-1 )gS(v°)+

ksO J

0( vo )=[áüei?-1 gjfto (-1), vo )ÓW-Yg§ (t ,x° (t). V (t), vo )6y=oj. В § 2.4 рассматривается задача минимизации функционала

/(uWWJ) (15)

на траекториях система

^2^=/(t,x(t),r(í-A),u(t)), t6[io,ít] (16)

X(t)=C(t)- te[t0-A.t0). X(tohXD,

где l>(í )- кусочно-постоянный параметр с не болев чем т

точками переключения и со значениями во множестве 7<=Я',

л -величина запаздывания ( 0 < д < tl-ta ), c(t) - заданная непрерывная функция, хо~ фиксированный вектор, v(t) определяется моконтами переключения et,ex, • ( при этом

считаем to£» s.. и, что моменты переключения могут

совпадать) и значениями и(о.) t=0,1.....m, где для удобства

обозначено & =t .

о о

ТЕОРЕМА 18. Пусть функционал р вогнутый, а система (10) линейна по х и у, т.е.

J{t,x,y,v)=A(t)x^Ai(t)y^b{t,v), где A(t) и At(t ) матрицы порядка п*п. Тогда для оптимальности параметра y°(t) в задача (15>—(16) необходимо, чтобы впполнялось условие

в?

v+i

ù° t

для всех тУ, 1=0,1.....п+1, где обозначено

Сверх того, функция-

H{t,x°(t),x°(t-&),>?{t),v0(t)) должна быть непрерывной на прсмэуутке [t ,t 3.

ТЕОРЕМА 19. Пусть u°(t) оптимальное значение параметра в задаче (16), (16). Тогда

1) (i).ip(t-A),y(i).fo(t))£ii<swi0

е° 1

для всех буеУ(и°(в°),7) i=0,1,...(здесь 0°=to, e^t,);

2) функция B(t,a?{t),zp (t-b),Y{t),v0(t})- непрерывно на отрезке '-t0,tj.

На защиту выносятся следующие результаты:

- теоремы о дифференцируемое™ решений дифференциальных включений с запаздыванием относительно начальных данных, включая теоремы о дифференцируемости решений систем управления с вапаздыванием относительно начальных данных;

- теорема двойственности для линейных дифференциальных включений с запаздыванием и условия относительной управляемости для данных дифференциальных включений;

понятие локальной относительной управляемости дифференциальных включений о запаздыванием вдоль заданной траектории;

- обобщение теорем Филиппова, ПГоловинкина и Смирнова, Кларка и Уоткинса о существовании решений дифференциальных включений;

- достаточные условия (прямые и двойственные) локальной относительной управляемости дифференциального включения с запаздыванием;

- условия полунепрерывности снизу функции оптимального значения в задаче оптимального управления дифференциальными включениями с запаздыванием;

- необходимые условия оптимальности первого и второго порядков для динамических систем с параметрами.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах: I. Борисенко О.Ф., Минчэнко Л.И., Теслкк В.Н. Диффэренцируемость по начальным данным решений дифференциальных включений с запаздываниями /Тез. докл. Третьей ' Северо-Кавказской региональной конференции по фуншщонально-дифЕервнциальным уравнениям и их приложениям. -Махачкала. -19Э1. -С.32.

2. Борисенко О.Ф., Минченко Л.И., Теслюк В.Н. О зависимости шоаества решений управляемой системы о запаздыванием от начальных данных /Тез. докл. весенней воронежской математ. школы г-Понтрягинские чтения-ГУ". -Воронеж. -1993. -О.ЗБ.

3. Минченко 1.11., Теслюк В.Н. Дифференцируемость по начальным данным решений дифференциальных включений о запаздыванием /Редкол. ж. Дифференц, уравнения.-Мн., 1992. -13с. -Деп. в ВИНИТИ' 27.10.92. Н 3078-В92.

4. Минченко Л.И., Теслюк В.Н. К условиям оптимальности

. динамических систем по параметрам //Дифференц. уравнеш!Я. -1992.-Т.28,N11.-С.1969-1976.

б. Минченко Л.И., Теслюк В.Н. Дифференцируемость по начальным данным решений дифференциальных включений с запаздыванием //Дифференц. уравнения. -1993. -т.29,N4. -С.719-720.

6. Теслюк В.Н. О характера зависимости шоаества решений управляемой системы с запаздыванием от начальных данных. /Тез. докл. 6-ой конференции математиков Беларуси. -Гродно.-1992.-С.149.

7. Минченко Л.И., Теслюк В.Н. Достаточные условия локальной управляемости дифференциальных включений с запаздыванием //Докл. АН Беларуси, в печати.

8. Минченко Л.¡f., Теслвк В.Н. К. локедыюй управляемости дифференциальных включений с запаздыванием //Дифференц. уравнения, в печати.

9. Теслюк В.Н. О касательном конусе множества решений гладкой системы управления /Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация. (Материалы

межгосударственной научной конференции (7-9 декабря 1993 г.)). -Мн.: ЕГУ.-1ЭЭЗ.-С. 74.

10. Минченко Л.И., Тесллк В.Н. О локальной управляемости дифференциальных включений с запаздыванием /Научная конференция БГУИР (Минск, 1994).