Устойчивость линейных периодических систем с постоянным запаздыванием тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи

РГБ ОД

НИКОЛАЕВ СЕРГЕИ ГЕННАДЬЕВИЧ

1 о (.'■*. 1 *■

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Специальность 01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико- математических наук

На правах рукописи

НИКОЛАЕВ СЕРГЕЙ ГЕННАДЬЕВИЧ

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Специальность 01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико- математических наук

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Уральского государственного университета им. A.M. Горького

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Долгий Ю.Ф.

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор Максимов В.И. канд. физ.-мат. наук, доцент Козлов Ю.Д.

Ведущая организация

Пермский государственный университет

Защита состоится « 7 » икну

2000 г. на заседании

диссертационного совета Д 002.07.01 Института математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, Екатеринбург, ГСП-384, ул. С.Ковалевской, 16., & '^ЧС ,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан «_»

2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Гусев М.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В самых разнообразных областях современной ауки и техники встречаются динамические системы, описываемые системами ифференциальных уравнений с последействием. Такие системы используются математических моделях механики сплошных сред со сложной реологией при писании необратимых термодинамических процессов, при учете конечности корости распространения электромагнитных взаимодействий, в (атематических моделях биологии, в системах автоматического управления, и, ;аконец, системами дифференциальных уравнений с последействием |Писываются некоторые технологические процессы.

На качественное поведение динамической системы влияет наличие юследействия в математической модели. Поэтому проблема изучения [ериодических колебаний в системах дифференциальных уравнений с госледействием всегда привлекала к себе большое внимание. Важным войством периодических движений является свойство устойчивости. В [астоящее время достаточно хорошо развита теория устойчивости линейных тационарных дифференциальных уравнений с последействием. Для линейных 1естационарных периодических систем с последействием рассматриваемая ими теория получила развитие только для отдельных классов уравнений. На :ложность этой проблемы указывают трудности, которые имеют место в теории остойчивости линейных периодических систем, описываемых обыкновенными шфференциальными уравнениями. В нашем случае эта проблема усложняется 5есконечномерностью объекта исследования.

В теории устойчивости линейных периодических дифференциальных /равнений с последействием развиваются несколько направлений, фундаментальные результаты в теории устойчивости линейных периодических ;истем дифференциальных уравнений получены в работах A.M. Зверкина, А. Каланая, Дж. Хейла, С.Н. Шиманова, А. Стокса и В. Хана. Применяемый в

работе подход к исследованию устойчивости является развитием первой метода Ляпунова. Центральным понятием в нем является операто} монодромии, спектр которого определяет устойчивость или неустойчивост] линейных периодических систем дифференциальных уравнений < последействием. Так, для асимптотической устойчивости указанны: динамических систем необходимо и достаточно, чтобы все собственные числ; оператора монодромии лежали на комплексной плоскости внутри единичноп круга с центром в начале координат. Настоящая работа посвящен; дальнейшему развитию первого метода Ляпунова для периодически: дифференциальных уравнений с последействием.

Цель работы. Развитие бифуркационного метода исследовани: устойчивости линейных периодических систем с запаздыванием. Нахождение эффективных признаков асимптотической устойчивости (устойчивости ] неустойчивости) для периодических систем дифференциальных уравнений I запаздыванием.

Методика исследования. Методы исследования данной работь основаны на результатах таких направлений науки, как теория устойчивост! движения, функционального анализа, теории функционально дифференциальных уравнений и теории обыкновенных дифференциальны: уравнений. При исследовании на устойчивость линейных периодически: систем дифференциальных уравнений с запаздыванием основным являете понятие оператора монодромии, спектр которого определяет устойчивость ил; неустойчивость таких систем. Задача нахождения собственных чисел оператор монодромии сводится к задаче нахождения собственных чисел краевой задач: для обыкновенных дифференциальных уравнений. Используются метод! теории возмущений самосопряженных и несамосопряженных краевых задач.

Научная новизна. Результаты, представленные в диссертации, являютс новыми и позволяют находить эффективные условия асимптотическо устойчивости (устойчивости и неустойчивости) исследуемых классо

периодических систем с запаздыванием. На защиту выносятся следующие результаты:

1. Установлена связь между асимптотической устойчивостью систем дифференциальных уравнений с вещественными «-периодическими коэффициентами и запаздыванием = Н,(/)х(/) + Н2(г)х(г - со) и сильной устойчивостью канонических уравнений с гамильтонианами Н^ ± Н2.

2. Получены эффективные признаки асимптотической устойчивости выделенного класса периодических систем дифференциальных уравнений уравнений с запаздыванием.

3. Установлена неустойчивость системы дифференциальных уравнений второго порядка с запаздыванием х(/) + Н(/)х(/ - со) = 0.

4. Найдены условия устойчивости периодического решения скалярного дифференциального уравнения с постоянным запаздыванием

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа шсит теоретический характер. Полученные результаты мо1уг быть использованы для дальнейшего развития качественной теории исследуемых задач. Практическая ценность результатов диссертации состоит в том, что они позволили исследовать задачи устойчивости для конкретных классов периодических дифференциальных уравнений с запаздыванием.

Апробация работы. Результаты, составляющие основу диссертации, были доложены на 27 и 28 Молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики», VII Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», VIII Понтрягинских чтениях «Современные методы в теории краевых задач», Международной конференции «Моделирование и исследование устойчивости систем» (Киев), V Международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления».

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы ] работах [1-10]. В работах, написанных в соавторстве с научным руководителем Ю.Ф. Долгому принадлежат постановка задач и общее руководств« исследованиями. Теоретическое обоснование научных результатов в указанны; работах получено автором самостоятельно.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения и трех глав которые содержат восемь параграфов. Общий объем диссертации составляв-106 страниц. В списке литературы приведено 98 наименований.

Во введении указаны области современной науки и техники, в которы; встречаются математические модели, описываемые дифференциальным! уравнениями с запаздыванием. Подчеркивется важное значение проблемь качественного исследования дифференциальных уравнений с запаздыванием I анализа решений рассматриваемых уравнений на устойчивость.

Первая глава содержит три параграфа. Глава носит вспомогательны! характер. В ней рассматривается линейная система периодически: дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием

где А,В - вещественные ихп-матрицы, периодические с периодом со>0 элементы матриц А и В суммируемы на отрезке [0,<у], запаздывание г положительная величина.

В параграфе 1 первой главы вводятся определения и формулируют^ теоремы, используемые при доказательстве основных результатов диссертации Вводится эволюционный оператор

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Л

(0.1

(0.2

действующий в пространстве с([- г,0]/Л"). Здесь <р,а(в)=(р(10+в), 0 е\- г,0], элемент начальной функции и х, = х,(?0,) = х,(в,t0,(p¡^- х{{ + в,?0,ср, ), в е [- г,0], / > /0 - элементы решения системы (0.1), соответствующие элементу начальной функции (р,а (в). Оператор

с/ = с/(/0)=г(?0+ш,/0),?0езг, (0.3)

называется оператором монодромии и является линейным непрерывным оператором. Более того, при тсо>т, где т - натуральное число, оператор 1/т((0) является вполне непрерывным. Спектр оператора монодромии состоит из его собственных чисел и нулевой точки. При этом собственные числа оператора монодромии не зависят от выбора начальной точки. Далее вводится определения устойчивости (асимптотической устойчивости) дифференциального уравнения (0.1) с запаздывающим аргументом. Приведен результат, являющийся ключевым для дальнейшего исследования.

Теорема 1.1.1. Для асимптотической устойчивости системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа оператора монодромии имели модули меньше единицы. Для устойчивости системы периодических дифференг^иальных уравнений с запаздывающим аргументом необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа оператора монодромии имели модули, не превосходягцие единицы, и для любого собственного числа с модулем, равным единице, собственное подпространство совпадало с корневым подпространством.

В параграфе 2 первой главы рассматривается уравнение (0.1), в котором запаздывание кратно периоду (о = Л^г ^ - натуральное число). Задача нахождения ненулевых собственных чисел оператора монодромии сведена к проблеме нахождения собственных чисел краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Уд = А, (0)у, + (5)у, 2 < д < Н, (0.4)

у, (- г) = ±ту „ (о), у, (- г) = *у (0), 2<,д < N.

Здесь А,(6') = А(/г + 19), В,(^)=В(гг + 5), при 1 < г < А'.. Обозначим через Ф(3,г), Ф(-т,г) = 1„л, (1,л,- единичная матрица размерности пАг х пМ) нормированную фундаментальную матрицу системы (0.4). Ненулевые собственные значения р оператора монодромии определяются с помощью

формулы р = ±г~п, в которой г является корнем характеристического уравнения

«к1[1^-г8Фа>,г)]=0. (0.5)

Здесь в^БрЦ, где 8,+1, =1„, 1 < / < N -1, 81Л- =±1„ (1„ - единичная матрица размерности п х п), остальные 8^ (1 < I, _/ < N) равны нулю.

л * >« ГТ » V /л ] >

1 со рема 1.1.1. Для асимптот и чески и устойчивости системы (0.1) с запаздыванием, соизмеримым с периодом (со = Мт), необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения (0.5) были по модулю меньше единицы. Если существует корень уравнения (0.5) с модулем, большим единицы, то система (0.1) неустойчива.

Выделяется класс периодических систем с запаздыванием, для которых краевая задача (0.4) может быть преобразована к виду

^*У = Н,(,9)у+2Н2(,9)у, у(-г)=г8у(0), (0.6)

где I

2 к

О

Л 0

. При этом должны выполняться следующие условия:

1).

2). Н, и Н2-симметрические матрицы-функции.

3). Матрицы Н2(0 неотрицательны почти при всех /е5Я, т.е. (Н2(г)с,с)> 0 для любого вектора с.

4). Система уравнений Лну-Н,(<9)у = 0, Н2(<9)у = 0 имеет лишь тривиальное решение у = 0.

Излагается идея бифуркационного метода исследования устойчивости. В том методе используется вспомогательная краевая задача

12^ = Н,(5)у + /вН2(9)у,у(-г) = г8у(0Х/1б[0,1]. ' (0.7) Три /I = 1 вспомогательная краевая задача (0.7) совпадает с основной краевой ;адачей (0.6). Изменяя параметр // на отрезке [0,1], можно проследить юведение собственных чисел краевой задачи (0.7) на комплексной плоскости. Собственные числа вспомогательной краевой задачи определяются из /равнения

с1еф24 - г8Ф(0, /с)] = 0 (0.8)

Здесь 12к- единичная матрица размерности 2кх2к, Ф(3, /с) -фундаментальная матрица системы из краевой задачи (0.7), Ф(-г, /с) = 124. Установлено важное свойство корней уравнения (0.8).

Теорема 1.2.3. На комплексной плоскости собственные числа краевой задачи (0.6) при изменении параметра /л на полуинтервале (0,1] могут приходить внутрь единичного круга с центром в нуле или уходить из него только через две точки на вещественной оси г = ±1.

Этот результат дает возможность применять методы возмущений при анализе поведения собственных чисел краевой задачи (0.6) вблизи единичной окружности и, следовательно, делать заключения об асимптотической устойчивости (устойчивости или неустойчивости) системы (0.1).

В параграфе 3 первой главы дан реферативный обзор результатов из теории гамильтоновых систем.

Во второй главе, содержащей три параграфа, развиваются бифуркационные методы исследования устойчивости линейных периодических систем дифференциальных уравнений с запаздыванием. Получены

эффективные достаточные условия асимптотической устойчивости да рассматриваемого класса систем.

В параграфе 1 второй главы сформулирован и доказан основно] результат диссертации. Здесь рассматривается система дифференциальны: уравнений с вещественными периодическими коэффициентами ] запаздыванием

32к ^ = Н, (/)*(*) + Н2(0х(/ - со), (0.9

т

где х :9! —> ,<у > 0; Н, и Н2 - со -периодические вещественны симметрические интегрируемые по Лебегу на отрезке [0,й>] матрицы-функции причем матрицы Н2(/) неотрицательны почти при всех /ей, а систем, уравнений ^х-Н,^)* =0 и Н2($)х = 0 имеет лишь тривиальное решени хнО.

В работах Ю.Ф. Долгого изучалась система (0.9) с параметром пр; матрице-функции Н2. Установлено наличие бифуркационного значена параметра, в окрестности которого меняется тип устойчивости системы (0.9). I этом параграфе получено описание областей асимптотической устойчивост] системы (0.9) в функциональном пространстве гамильтонианов Н,,Н2.

Теорема 2.1.1. Для асимптотической устойчивости системы (0.9 необходимо и достаточно, чтобы Н, ±Н2 е т.е. чтобы системъ

канонических обыкновенных дифференциальных уравнений с гамильтонианам, Н = Н, ± Н2 были сильно устойчивы и все их мультипликаторы < положительной мнимой частью были мультипликаторами второго рода.

При доказательстве теоремы рассматривается вспомогательная краева задача

^^ = (Н,(5) + аН2(6>))у, у(—со) = гу(0),0 < £ < 1. (0.10

я/

Собственные числа вспомогательной краевой задачи определяются из фавнения

ciet[l2(t - zY(0,¿z)] = 0. (0.11)

Здесь Y - фундаментальная матрица уравнения из краевой задачи (0:10), Y(-©,£z) = 12к. Установлен один вспомогательный результат, используемый три доказательстве теоремы 2.1.1.

Лемма 2.1.1. Пусть все собственные числа матрицы Y"'(0,0) по модулю равны единице и дефинитны. Тогда все собственные числа краевой задачи f0.l0) при малых £ > 0 расположены вне единичного круга, если все собственные числа матрицы Y"'(0,0) с отрицательной мнимой частью являются собственными числами второго рода. Если существует собственное тело матрицы Y"1 (0,0) первого рода с отрицательной мнимой частью, то при малых £>0 найдется собственное число краевой задачи (0.10), расположенное внутри единичного круга.

Согласно лемме, достаточные условия асимптотической устойчивости _арaiгтирутот, что все собственные числа краевой задачи (0.10) находятся вне единичного круга при малых £ > 0. В дальнейшем, при возрастании е, :обственное число краевой задачи (0.10) не может попасть внутрь единичного <руга, поскольку это входит в противоречие с условиями сильной устойчивости канонических систем с гамильтонианами Н = Н,±Н2. При доказательстве яеобходимости функциональное пространство Q всех гамильтонианов представляется в виде объединения множества всех сильно устойчивых гамильтонианов <7, множества всех сильно неустойчивых гамильтонианов Л и множества Г - их общей границы. Показано, что только принадлежность гамильтонианов Hj±H2 к одному множеству сильной устойчивости с мультипликаторным типом, состоящим из одних минусов, для которой все мультипликаторы с положительной мнимой частью являются

мультипликаторами второго рода, не приводит к противоречию с требованием асимптотической устойчивости системы (0.9).

В параграфе 2 второй главы сформулированы и доказаны признаю асимптотической устойчивости. В основе этих признаков лежат известны! признаки сильной устойчивости канонических систем, полученные М.Г Крейном. Использование их для получения условий асимптотически устойчивости потребовало, согласно условиям теоремы 2.1.1, выделени: областей сильной устойчивости канонических систем с мультипликаторньи типом, состоящим из одних минусов. Ниже приведены некоторые из признаков

Рассматривается система (0.9) с матрицами вид н,(0 = Л](')12*,Н2(0 = ¿2(0^24> А2(0>0,(бЫ,т.е.

•Ь* = + ¿2 СМ' - ©). (0.12

т

Признак 1. Система (0.12) асимптотически устойчива тогда и тольк тогда, когда при некотором целом п = 0,±1,±2,...

лг(2и +1 )/ю < (цр -¡гс2р)< (и? + ИС2Р)< 2х(п +1 )/со,

1 0 1 0 где кср = — ЬО? —— Г/г, СО Л.

со * ю

— О —03

Признак 2. Пусть матрицы Н2(<) определенно положительны пр 0<?<ю. Для асимптотической устойчивости системы (0.9) достаточнс чтобы нашлось такое целое п, п = 0,±1,±2,...,, что

л{2п +1) < }й£>(5)А < № < М" + О.

. -<0 -01

где '¡^¡п («) -наименьшее собственное число матрицы Н)(/)-Н2(0. /г^(/) наибольшее собственное число матрицы Н] (/) + Н2 (/).

Для формулировки следующего признака введем обозначения:

н,(о+н2(*) =

, н,(/)-н2(о =

'н^о н£>(0)

н£'(г).

(у,/г=1,2) - матрицы-функции порядка к х к,

Признак 5. Система (0.9), для матриц которой выполнены условия 12 (0 > О, Н! (/) + Н2 (/) < 0 , ? е [0, <у], асимптотически устойчива, если

со2яр(А„А22 - А22)<2, о2^р(впВ22 -В22)<2. ля четных матриц-функций Н,(г) и Н2(/) система (0.9) асимптотически :тойчива, если

<и2^(А,,А22 -А22)<4, <а25р(в,,в22 -В?2)<4.

Для формулировки следующего признака рассмотрим систему ифференциальных уравнений с запаздыванием второго порядка

^^ + Р, (г)у(О + Р2 (0у(/ - о) = о, <1г

(0.13)

которой Р,т (г)=Р, (/) = Р, (/ н- о»), Р2Т (г) = Р2(?) = Р2 (' + «), Р,('ННС

Признак 7. Пусть выполняются условия: Р2(0 < 0, /е[о,й>], и для

юбого вектора с е У12к найдутся числа а и Ъ такие, что для всех С е [- й>,0] ыполняются неравенства:

([Р,(0 + Р2(0](с,С)) >а2(с,с), ([Р,(0 - Р2(0](с,С)) > Ь2(с,с),

71" 71

где 0 < а < —, 0 < Ъ < —, со со

гогда система (0.13) асимптотически устойчива, коль скоро

со /л^р, (*) + Р2 (в))ь < 4 + [к —2 о2,

-0) 4 л ;

со (5) - Р2 ($))& < 4 + С к - 4-У.

-со

П

В параграфе 3 второй главы рассматривается система дифференциальных уравнений с запаздыванием

+ = (0.14)

где х: ; со > 0; Н - со-периодическая симметрическая матрица-функция.

Систему (0.14) можно представить в виде (0.9) с матрицами-функциями

0 0

н,(0= Л т , н2(0=

ч° I»,

Н(/) о

о о

Поскольку теорема 2.2.1 не дает

достаточных условии неустойчивости, то исследование этой системы на неустойчивость представляет собой самостоятельную задачу. Показано, что при

1 0

условии ¿е! Н Ф 0, где Н = — [Н(/)Л, система (0.14) неустойчива.

со 1

~ £У

В качестве содержательного примера рассматривается задача исследования круговых движений материальной точки с массой т, движущейся в центральном силовом поле под действием притягивающей ньютоновской силы. Предполагается, что скорость распространения взаимодействий между материальными телами конечна. В.И. Зубов предложил учитывать запаздывание во взаимодействии, описывая динамику системы векторным уравнением

Л(0 гк-тЩ)) Л |г(/-т(|г(0&)

Здесь г- радиус-вёктор положения материальной точки, г(т!) = <5г -запаздывание, 3 > 0,%>0 - физические постоянные. В случае круговых

вижений запаздывание будет постоянным : т(г) = р, г = т(р) для всех /, а истема (0.15) станет линейной

= (0.16) м р

>.И. Зубов установил, если выполняется условие квантования

тРп

о система (0.16) будет иметь круговые периодические решения: г«(0 = Р„ соБву + —вта,/, п = 1,2,3,...,

«>п

де рп, У'„ - соответственно начальное положение и начальная скорость точки на екоторой орбите, при этом У„±рп, |у„! = ®л!р„|, |р„\-Р„- Естественно, озникает принципиальный вопрос об устойчивости движения по этим рбитам, который ранее не исследовался. Система линейного приближения озмущенного движения для круговых орбит после замены времени имеет вид

d4.it) _, Л

де матрица Н(/) =

:Н(/)х(?-2тш),

1 + 3 cos / ^sin2/ ¡1 1

, / ' ~ , Р, detH^, - - фО. Таким образом,

sin 2t -1 + 3sin i|i 4

становлена неустойчивость круговых движении.

В третьей главе, содержащей два параграфа, рассмотрен класс гелинейных скалярных дифференциальных уравнений с запаздыванием, [меющих периодические решения с периодом, кратным запаздыванию. Такие 'равнения изучались в работах J.L. Kaplan, J.A. Yorke, R. Grafton, R Nussbanm, j. Jones. В работе. J.L. Kaplan, J.A. Yorke установлены условия существования гериодических решений для рассматриваемого класса дифференциальных 'равнений с запаздыванием. Р. Dormayer получил условия устойчивости для гериодических решений с малой амплитудой.

В параграфе 1 третьей главы рассматривается скалярно дифференциальное уравнение с постоянным запаздыванием

ш

где а - положительный параметр, / - непрерывно дифференцируемая функци на интервале (-оо,+оо), являющаяся антисимметрической /(-*)= -/(х) удовлетворяющая условию /'(*)> 0, х е(-со,+оо). Построен антисимметрическое периодическое решение уравнения (0.17)

предложен метод исследования его на устойчивость.

Рассматривается известный подход, позволяющий сводить задач построения периодического решения для уравнения с запаздыванием периодом кратным запаздыванию к нахождению решения специальной краево задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Антисимметрическс периодическое решение х0 уравнения (0.17), период которого со =^ удовлетворяющее условию х(/ +2)=¿е(-со,+со), является решение краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

х1(1)=х2(0),х2(1) = -х1(0). Метод исследования на устойчивость построенного решения связан изучением спектра оператора монодромии для уравнения возмущенно! движения в линейном приближении:

Здесь

/г

<у(,Л=2Г РЩяаЪрйр ___

X

F(л') = |/(г)я!г, ц - положительный параметр. Оператор монодромии всег; о

имеет собственное число р = ~ 1, поэтому периодическое решение не мож

ыть асимптотически устойчиво, а может быть только устойчиво. Установлен бедующий результат.

Теорема 3.1.3. Пусть / - трижды непрерывно дифференцируемая ункция на интервале (-оо,+со), являющаяся антисимметрической "(--/(х) и удовлетворяющая условию /'(х)> 0 д:е(-со,+со\ Полагаем \акже, что а'(р)> 0 при /л> О и а > тг/(2/'(О)). Тогда для устойчивости нтисимметрического периодического решения уравнения (0.17) необходимо и остаточно, чтобы /"(0) < 0.

X

Замечание 3.1.4. Пусть и /2{х)-2/'{х)\/{у)Лу> 0 при х>0.

о

Ъгда а'(р)> 0 при ц > 0 и /™(0) < 0.

[оследнее утверждение дает эффективные достаточные условия устойчивости ассматриваемого периодического решения.

В параграфе 2 третьей главы рассматривается дифференциальное равнение с вещественным периодическим коэффициентом и запаздыванием

х(/)= -авюх(/-1),

оторое ранее изучалось Р. Боппауег и В. Ьат-\Уш<1а с помощью численных

[етодов. Уравнение при а > имеет периодическое решение,

довлетворяющее условию х(( + 2) = -х(с), /е(-со,+оо). Используя результаты редыдущего параграфа, показано, что при я/2 <а< к(Тз/2), где К(&) -лавное значение эллиптического интеграла первого рода и к — модуль этого ллиптического интеграла, периодическое решение устойчиво.

ПУБЛИКАЦИИ ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Николаев С.Г. Неустойчивость движения по круговым орбитам с учето! последействия. Молодежная конференция «Проблемы теоретической прикладной математики» № 27: Тезисы докладов. - Екатеринбург: Ур( РАН, 1996. с. 27.

2. Николаев С.Г. Неустойчивость одной периодической системы запаздыванием. Украинская конференция «Моделирование исследование устойчивости систем»: Тезисы докладов. - Киев, Киевски ун-т, 1996. с. 99.

3. Николаев С.Г. Об абсолютной устойчивости периодическог дифференциального уравнения с запаздыванием. Молодежна конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики» } 28: Тезисы докладов. - Екатеринбург: УрО РАН, 1997. с. 60.

4. Николаев С.Г. Устойчивость одной периодической системы запаздыванием. Воронежская зимняя математическая шко; «Современные методы теории функций и смежные проблемы»: Тезис докладов. - Воронеж, ВГУ, 1997. с.121.

5. Николаев С.Г. Критерии асимптотической устойчивости периодическс системы с запаздыванием: VII Четаевская конференция «Аналитическ; механика, устойчивость и управление движением»: Тезисы докладов. Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 1997. с. 20.

6. Долгий Ю.Ф, Николаев С.Г. Достаточные условия устойчивое! периодических ' систем дифференциальных уравнений с кусочн постоянными коэффициентами и запаздыванием. Понтрягинские чтени VIII «Современные методы в теории краевых задач»: Тезисы докладов, Воронеж, ВГУ, 1997. с.47.

Николаев С.Г. Критерии устойчивости периодического дифференциального уравнения с запаздыванием. Международная конференция «Моделирование и исследование устойчивости систем»: Тезисы докладов. - Киев, Киевский ун-т, 1997. с. 76. Долгий Ю.Ф, Николаев С.Г. Исследование устойчивости периодического решения нелинейного дифференциального уравнения с запаздыванием. V Международный семинар «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления»: Тезисы докладов. - Москва, ИЛУ, 1998. с.52. Долгий Ю.Ф, Николаев С.Г. Неустойчивость одной периодической системы с запаздыванием.// Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 4. с. 456-470.

Долгий Ю.Ф, Николаев С.Г. Об устойчивости периодической системы дифференциальных уравнений с запаздыванием.// Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, № 10. с. 1330-1336.

Отпечатано в типографии ООО "Издательство УМЦ УПИ" г. Екатеринбург, ул. Мира, 17, С-134. Заказ 90. Тираж /О О экз.

Введение

Глава I.

Глава II.

§2. §3

Глава III.

Оператор монодромии

Эволюционный оператор

Краевые задачи для периодических систем с постоянным запаздыванием, соизмеримым с периодом

Сильная устойчивость канонических уравнений Бифуркационные методы исследования устойчивости периодических систем с запаздыванием

Устойчивость периодической системы дифференциальных уравнений с запаздыванием Н^^хСО + Н2(0Х(7 -со) Признаки асимптотической устойчивости Неустойчивость периодической системы х(/) + Н(/)х(7 -со) = О

Устойчивость периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием

Устойчивость периодического решения нелинейного дифференциального уравнения

Об устойчивости периодического решения уравнения - -от. ят - 1)

1итература

В самых разнообразных областях современной науки и техники встречаются динамические системы, описываемые системами дифференциальных уравнений с последействием. Такие системы используются в математических моделях механики сплошных сред со сложной реологией [3, 60] при описании необратимых термодинамических процессов [21, 60], при учете конечности скорости распространения электромагнитных взаимодействий [16, 28], в математических моделях биологии [5, 11, 59], в системах автоматического управления [32], и, наконец, системами дифференциальных уравнений с последействием описываются некоторые технологические процессы [43, 74].

Актуальность темы. На качественное поведение динамической системы влияет наличие последействия в математической модели [1, 2, 8, 29, 30, 32, 35, 50, 63]. Поэтому проблема изучения периодических колебаний в системах дифференциальных уравнений с последействием всегда привлекала к себе большое внимание [4, 9, 26, 31, 32, 34, 45, 56-58, 63, 66]. Важным свойством периодических движений является свойство устойчивости. В настоящее время достаточно хорошо развита теория устойчивости линейных стационарных дифференциальных уравнений с последействием [8, 32, 42, 49, 51, 52, 55, 63, 65, 80, 84]. Для линейных нестационарных периодических систем с последействием рассматриваемая нами теория получила развитие только для отдельных классов уравнений [6, 7, 13, 14, 15, 18, 22, 23, 33, 37, 38, 39, 41, 44, 47, 68, 83]. На сложность этой проблемы указывают трудности, которые имеют место в теории устсйчьъост линейных периодических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями [40, 76]. В нашем случае эта проблема усложняется бесконечномерностью объекта исследования [35, 63].

В теории устойчивости линейных периодических дифференциальных уравнений с последействием развиваются несколько направлений. Фундаментальные результаты в теории устойчивости линейных периодических систем дифференциальных уравнений получены в работах A.M. Зверкина [22], А. Халаная [61, 62], Дж. Хейла [63], С.Н. Шиманова [69, 70], А. Стокса [88] и В. Хана [82]. Применяемый в работе подход к исследованию устойчивости является развитием первого метода Ляпунова. Центральным понятием в нем является оператор монодромии, спектр которого определяет устойчивость или неустойчивость линейных периодических систем дифференциальных уравнений с последействием. Так, для асимптотической устойчивости указанных динамических систем необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа оператора монодромии лежали на комплексной плоскости внутри единичного круга с центром в начале координат. Настоящая работа посвящена дальнейшему развитию первого метода Ляпунова для периодических дифференциальных уравнений с последействием.

Цель работы. Развитие бифуркационного метода исследования устойчивости линейных периодических систем с запаздыванием. Нахождение эффективных признаков асимптотической устойчивости (устойчивости и неустойчивости) для периодических систем дифференциальных уравнений с запаздыванием.

Методика исследования. Методы исследования данной работы основаны на результатах таких направлений науки, как теория устойчивости движения, функционального анализа, теории функционально-дифференциальных уравнений и теории обыкновенных дифференциальных уравнений. При исследовании на устойчивость линейных периодических систем дифференциальных уравнений с запаздыванием основным является понятие оператора монодромии, спектр которого определяет устойчивость или неустойчивость таких систем. Задача нахождения собственных чисел оператора монодромии сводится к задаче нахождения собственных чисел краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Используются методы теории возмущений самосопряженных и несамосопряженных краевых задач.

Научная новизна и практическая ценность работы. Результаты, представленные в диссертации, являются новыми и позволяют находить эффективные условия асимптотической устойчивости (устойчивости и неустойчивости) исследуемых классов периодических систем с запаздыванием. На защиту выносятся следующие результаты:

1. Установлена связь между асимптотической устойчивостью систем дифференциальных уравнений с вещественными со -периодическими коэффициентами и запаздыванием = Н^Ох^) + Н2(*)х(* - ¿у) и сильной устойчивостью канонических уравнений с гамильтонианами Н1 ±Н2.

2. Получены эффективные признаки асимптотической устойчивости выделенного класса периодических систем дифференциальных уравнений уравнений с запаздыванием.

3. Установлена неустойчивость системы дифференциальных уравнений второго порядка с запаздыванием х(7) + Н(0х(/ -со) = 0.

4. Найдены условия устойчивости периодического решения скалярного дифференциального уравнения с постоянным запаздыванием

-»/(*(/-1)).

Содержание работы. Перейдем к изложению содержания диссертации. Работа состоит из введения и трех глав, которые содержат восемь параграфов. В списке литературы приведено 98 наименований.

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1991. 280с.

2. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом// Изв. вузов. Математика. 1997. № 6. С.3-16.

3. Арутюнян Н.Х., Колмановский В.Б. Теория ползучести неоднородных тел. М.: Наука. 1983. 336с.

4. Ахмеров P.P., Каменский Н.И., Потапов A.C. Меры некомпактности и уплотняющие операторы. Новосибирск: Наука. 1986. 266с.

5. Бабский В.Г., Мышкис А.Д. Математические модели в биологии, связанные с учетом последействия. В кн.: Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир. 1983. С.383-394.

6. Башкиров А.И. К вопросу об устойчивости уравнения нейтрального типа// Краевые задачи. Пермь. 1983. С.34-38.

7. Башкиров А.И. Признак экспоненциальной устойчивости уравнения с последействием и с периодическими параметрами// Дифференц. уравнения. 1986. Т.22, № 11. С. 1994-1997.

8. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир. 1967. 548с.

9. Борисович Ю.Г., Субботин В.Ф. Оператор сдвига по траекториям эволюционных уравнений и периодические решения// ДАН СССР. 1967. Т.175. С.9-12.

10. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М., 1969, 528 с.

11. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука. 1976. 288с.

12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука. 1967. 576с.

13. Гасилов Г.Л. О характеристическом уравнении системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием// Изв. вузов. Математика. 1972. № 4. С.60-66.

14. Германович О.П. Достаточные условия существования решений Флоке уравнений нейтрального типа// Сиб. мат. журнал. 1986. Т.27, № 3. С.42-46.

15. Германович О.П. Линейные периодические уравнения нейтрального типа и их приложения. Л. 1986. 108 с.

16. Григорьев Е.В., Кащенко С.А. Релаксационные колебания в системе уравнений, описывающих работу твердотельного лазера с нелинейным элементом запаздывающего действия// Дифференц. уравнения. 1991. Т.27, № 5. С.752-758.

17. Долгий Ю.Ф. Неустойчивость аналога уравнения Хилла с запаздыванием//Устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск. 1984. С.30-36.

18. Долгий Ю.Ф. Неустойчивость аналога гамильтоновой системы с запаздыванием//Устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск. 1986. С.13-21.

19. Долгий Ю.Ф. Об устойчивости одной периодической системы с запаздыванием// Краевые задачи. Пермь. 1989. С. 16-21.

20. Долгий Ю.Ф. Устойчивость периодических дифференциально-разностных уравнений. Екатеринбург: УрГУ, 1996. 84с.

21. Дэй У.А. Термодинамика простых сред с памятью. М.: Мир. 1974. 190с.

22. Зверкин A.M. Дифференциально-разностные уравнения с периодическими коэффициентами. В кн: Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир. 1967. С.498-535.

23. Зверкин A.M. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. В кн: Пятая математическая школа. Киев: Изд-во института математики АН УССР. 1968. С.307-399.

24. Зверкин A.M. Некоторые вопросы теории линейных дифференциально-функциональных уравнений// Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Киев. 1977. С. 127-139.

25. Зверкин A.M. К теории дифференциально-разностных уравнений с запаздываниями соизмеримыми с периодом коэффициентов// Дифференц. уравнения. 1988. Т.24, № 9. С.1481-1492.

26. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. М.: Судпромгиз. 1959. 324с.

27. Зубов В.И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Ленинград. Судпромиздат. 1962. 628 с.

28. Зубов В.И. Аналитическая динамика системы тел. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та. 1983. 344с.

29. Ким A.B. Ко второму методу Ляпунова для систем с последействием// Дифференц. уравнения . 1985. Т.21, № 3. С.385-391.

30. Козлов Ю.Д. О принципе сведения для дифференциального уравнения с последействием в банаховом пространстве// Устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск. 1979. С.51-58.

31. Колесов Ю.С., Швитра Д.И. Автоколебания в системах с запаздыванием. Вильнюс: Мокслас. 1979. 147с.

32. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука. 1981. 448с. ,

33. Комленко Ю.Ф. Достаточные условия существования представления Флоке для одного класса дифференциальных уравнений// Проблемы современной теории периодических движений. Ижевск. 1982. № 6. С.5-10.

34. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Стрыгин В.В. Об одном новом методе в задаче о периодических решениях уравнений с отклоняющимся аргументом// Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М. 1967. Т.5. С.116-121.

35. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз. 1959. 221с.

36. Крейн М.Г. О признаках устойчивой ограниченности решений периодических канонических систем// ПММ. 1955. Т. 19, с. 641-680.

37. Кучмент П. А. К теории Флоке для периодических линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом// Успехи математических наук. 1979. Т.34, № 3. С.201-202.

38. Лебедева Э.Б., Шиманов С.Н. Об устойчивости квазигармонических систем с запаздыванием медленно меняющимся во времени// Изв. вузов. Математика. 1968. № 12. С.53-61.

39. Любич Ю.И., Ткаченко В.А. К теории Флоке для уравнений с запаздывающим аргументом// Дифференц. уравнения. 1969. Т.5, № 4. С.648-656.

40. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Л.-М.: ОНТИ. 1935.386с.

41. Малыгина В.В. Об устойчивости уравнений с периодическими параметрами// Функционально-дифференциальные уравнения. Пермь. 1987. С.41-43.

42. Маркушин Е.М. Оптимальные системы автоматического регулирования с запаздыванием по времени. Куйбышев: Изд-во Саратовского университета. 1971. 92с.

43. Матвеев В.Н. Исследование колебаний резца при обработке металлов в рамках одной математической модели// Исследования по устойчивости и колебаниям. Ярославль. 1979. С.41-62.

44. Мельников А.И. Об устойчивости периодических систем с запаздыванием по времени в одном критическом случае// Устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск. 1980. С.55-63.

45. Митропольский Ю.А., Мартынюк Д.И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием. Киев: В ища школа. 1979. 247с.

46. Митропольский Ю.А., Щвец А.Ю. О влиянии запаздывания на устойчивость маятника с вибрирующей точкой подвеса// Аналитические методы исследования нелинейных колебаний. Киев. 1980. С. 115-120.

47. Моллова К.Г. Нахождение характеристических показателей уравнения Матье с демпфинированием при наличии запаздывания// Год. ВУЗ. Прилож. мат. 1982-1983. Т. 18, № 1. С.75-84.

48. Мышкис А.Д., Шиманов С.Н., Эльсгольц Л.Э. Колебания и устойчивость систем с запаздыванием// Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Т.2. Киев. 1963. С.241-267.

49. Неймарк Ю.И. Э-разбиение пространства квазиполиномов (к устойчивости линеаризованных распределенных систем)// Прикл. мат. и мех. 1949. Т.13. С.349-380.

50. Норкин С.Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. М.: Наука. 1972. 287с.

51. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: Изд-во иност. лит-ры. 1961. 248с.

52. Понтрягин Л.С. О нулях некоторых трансцендентных функций// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1942. Т.6, вып.З. С. 115-134.

53. Прокопьев В.П., Шиманов С.Н. Об устойчивости в критическом случае двойного нулевого корня для систем с последействием// Дифференц. уравнения. 1966. Т.2, № 4. С.453-462.

54. Репин Ю.М. Об устойчивости решений уравнений с запаздывающим аргументом// Прикл. мат. и мех. 1957. Т.21, вып.2. С.253-261.

55. Репин Ю.М. Об условиях устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений при любых запаздываниях// Ученые записки Уральского университета. Свердловск. 1960. Вып.23. С.34-42.

56. Рожков В.И. Асимптотическое периодическое решение системы уравнений нейтрального типа в некритическом случае// Дифференциальные уравнения и обратные задачи динамики. М., 1983. С.40-43.

57. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука. 1969. 287с.

58. Рябов Ю.А. Применение метода малого параметра Ляпунова-Пуанкаре в теории систем с запаздыванием// Инженерный журнал АН СССР. 1961. Т.1, вып.2. С.3-21.

59. Свирежев Ю.М., Пасеков В.П. Основы математической генетики. М.: Наука. 1982. 512с.

60. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир. 1975. 592с.

61. Халанай А. Теория устойчивости линейных периодических систем с запаздыванием// Rev. Math. Pures et Appl. Acad. R.P.R. 1961. T.4, № 4. С.633-653.

62. Халанай А. Системы с запаздыванием. Результаты и проблемы// Математика. Сб.переводов. 1966. Т.10, № 5. С.85-102.

63. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир. 1984. 421с.

64. Хусаинов Д.Я. Исследование устойчивости линейных систем с запаздыванием методом векторных функций Ляпунова// Приближенные и качественные методы теории дифференциально-функциональных уравнений. Киев. 1983. С.110-121.

65. Шавохина Н.С. Система уравнений с отклоняющимся аргументом в релятивисткой задаче двух тел// Гравитация и теория относительности.Казань. 1984. №21. С. 140-154.

66. Шиманов С.Н. К теории колебаний квазилинейных систем с запаздыванием// Прикл. мат. и мех. 1959. Т.23, вып.5. С.836-844.

67. Шиманов С.H. О неустойчивости движения систем с запаздыванием по времени // ПММ. 1960. Т. 24, №1.с. 55-63.

68. Шиманов С.Н. Об устойчивости квазигармонических систем с запаздыванием// Прикл. мат. и мех. 1961. Т.25, вып.6. С.992-1002.

69. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием времени // ПММ. 1963. Т. 27, №3. с. 450-458.

70. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с последействием// Дифференц. уравнения. 1965. Т.1, № 1. С. 102-116.

71. Шиманов С.Н. Некоторые вопросы теории колебаний систем с запаздыванием. В кн: Пятая Летняя математическая школа. Киев: Ин-т математики АН УССР. 1968. С.473-549.

72. Шиманов С.Н. Устойчивость линейных систем с периодическими коэффициентами и запаздыванием. Свердловск: Изд-во Уральского университета. 1983. 64с.

73. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука. 1971. 296 с.

74. Эльясберг М.Е. Об устойчивости процесса резания металлов// Изв. АН СССР. ОТН. 1958. № 9. С.37-52.

75. Энгельсон Л.Э. Об одном подходе к исследованию устойчивости дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа// Топологические пространства и их отображения. Рига. 1981. С.154-158.

76. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука. 1972. 720с.

77. Dormayer P. The stability of spécial symmetric solutions of x(i) = af(x{t -1)) with small amplitudes// Nonlinear Analysis, Methods & Applications, 1990. V.14, № 8. P.701-715.

78. Dormayer P., Lani-Waida В. Numerical observations and analytical results for *(/) = -a sinx(f-l). //Тез. докл. Международной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям. Москва, 1994, с. 25-26.

79. Cooke К., Ferreira J. Stability conditions for linear retarded functional differential equations// J. Math. Anal, and Appl. 1983. V.96, № 2. P.480-504.

80. Cooke K., Wiener J. Neutral differential equations with piecewice constant arguments// Boll. Unione Math. Ital. 1987. V.1B, № 2. P.321-346.

81. Grafton R.B. Periodic solutions of certain lienard equations with delay// J. Diff. Equation. 1972. V.ll, № 3. P.519-527.

82. Hahn W. On difference differential equations with periodic coefficients// J. Math. Anal, and Appl. 1961. № 3. P.70-101.

83. Hale J.K., Meyer K.R. A class of functional equations of neutral type// Mem. Amer. Math. Soc. 1967. R.2, № 76. P.l-65.

84. Hohn R.E., Long G.W., Sridhar R. A general formulation of the milling process equation. Contribution to machine tool chatter research. 5// J. Engineering Industry Trans. ASME. Ser.B. 1968. V.90, № 2. P.102-110.

85. Jones G.S. The existence of periodic solutions of f'{x) = -af{x l)(l + /(x)}// J. Math. Anal, and Appl. 1962. V. 5, № 3. P. 435-450.

86. Kaplan J.L., Yorke J.A. Ordinary differential equations which yield periodic solutions of differential delay equations// J. Math. Anal, and Appl. 1974., V. 48., №2, P. 317-324.

87. Nussbaum R.D. Periodic solutions of somes nonlinear autonomous functional equations// Annals matematica pura ed applicata., 1974., V. 10, Ser. 4, P. 263306.

88. Stokes B.A. A Floquet theory for functional differential equations// Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1962. V.48, № 8. P.1330-1334.

89. Николаев С.Г. Неустойчивость движения по круговым орбитам с учетом последействия. Молодежная конференция «Проблемы теоретической иприкладной математики» № 27: Тезисы докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 1996. с. 27.

90. Николаев С.Г. Неустойчивость одной периодической системы с запаздыванием. Украинская конференция «Моделирование и исследование устойчивости систем»: Тезисы докладов. Киев, Киевский ун-т, 1996. с. 99.

91. Николаев С.Г. Об абсолютной устойчивости периодического дифференциального уравнения с запаздыванием. Молодежная конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики» № 28: Тезисы докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 1997. с. 60.

92. Николаев С.Г. Устойчивость одной периодической системы с запаздыванием. Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы»: Тезисы докладов. Воронеж, ВГУ, 1997. с. 121.

93. Николаев С.Г. Критерии асимптотической устойчивости периодической системы с запаздыванием: VII Четаевская конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением»: Тезисы докладов. -Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 1997. с. 20.

94. Николаев С.Г. Критерии устойчивости периодического дифференциального уравнения с запаздыванием. Международная конференция «Моделирование и исследование устойчивости систем»: Тезисы докладов. Киев, Киевский ун-т, 1997. с. 76.

95. Долгий Ю.Ф, Николаев С.Г. Неустойчивость одной периодической системы с запаздыванием.// Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 4. с. 456-470.

96. Долгий Ю.Ф, Николаев С.Г. Об устойчивости периодической системы дифференциальных уравнений с запаздыванием.// Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, № 10. с. 1330-1336.