Устойчивость линейных дифференциально-разностных уравнений с периодическими коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Седова Светлана Михайловна

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь - 2000

Работа выполнена в Пермском государственном техническом университете

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук , доцент Симонов П.М. Официальные оппоненты :

доктор физико-математических наук , профессор Долгий Ю.Ф., кандидат физико-математических наук , доцент Гусаренко С.А.

Ведущая организация:

Удмуртский государственный университет

''г..

Защита состоится на' заседании диссертационного

совета К 063.66.09 в Пермском государственном техническом университете по адресу : 614600 , Пермь , ГСП , Комсомольский пр-т, 29а, ауд. 423 .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного технического университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь

диссертационного совета К 063.66.09 , к.ф.-м.н., доцент

Соколов В.А.

в-ге/.е-гу-уоз

7

В /<Г/. / 03

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В работе исследуются вопросы устойчивости линей-ешх дифференциально-разностных уравнений с периодическими коэффициентами

x(t)-a(t)x(t-a) = f(t), t> О, (1)

где a(t + та) = a(t) , m е jV ; x(t) е Rl , (ù = const > 0 , . ■

m

*(0" !>,(*)*('-»©) = ДО. t>0, (2)

7 = 0

где при i = 0,1,...,т - периодическая функция с периодом 1] = .

к, е {1,2,...,т}, т.е. периоды 1] рационально соизмеримы запаздыванию ш .

В настоящее время в теории устойчивости линейных периодических уравнений с запаздыванием существует неско'лько теорем, называемых критериями устойчивости. Отметим два из них , наиболее известных :

1) в монографии Дж.Хсйл приведен критерий устойчивости , основанный :ia свойствах мультипликаторов оператора монодромии . Теоремы такого типа усматривались А.Стоксом, С.Н.Шимановым . -

2) в работе З.И.Рехлицкого приведен критерий устойчивости , полученный ; помощью метода производящих функций (в данной работе это-теорема 1.3). В заботе В.В.Малыгиной этот критерий получает характерную для Пермского семинара формулировку - речь пойдет об условии существования экспоненциально й оценки функции Коши C(t,s) уравнения (1) - и новое доказательство (в панной работе это-теорема 1.4).

Отметим . что в работах В.А.Тышкевича, В.В.Малыгиной, В.А.Соколова, АИ.Башкирова получает развитие одно из направлений теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений , общие основы которой заложены в работах Н.В.Азбелева , Л.Ф.Рахматуллиной , В.П.Максимова .

Упомянутые критерии устойчивости объединяет одно обстоятельство : они не пригодны для практического использования . В настоящее время предпринимаются попытки вывести критерии устойчивости на более конструктивный уровень , т.е. пригодный для практического использования. В работах A.M. Зверки-на, Ю.Ф.Долгого развитие получает первый из упомянутых критериев : получены результаты о спектре оператора монодромии . Отметим, что в работах Ю.Ф.

Долгого об устойчивости уравнения (1) накладывается дополнительное ограничение на коэффициент уравнения a(t) : a(t) < 0 , / е [0,2ш].

Существующая форма условия устойчивости в критерии Рехлицкого-Малыгиной (второй из упомянутых критериев) также весьма сложна для применения . Проверка этого условия представляет самостоятельную и , в общем случае, трудно решаемую задачу : расположение нулей целой по z функции Am(z,G) , зависящей от параметра 0, 0 е [0,со] , относительно единичного круга на комплексной плоскости ; функция Дm(z,Q) задана в виде определителя , элементы которого ряды .

Цель работы. Автор предлагаемой работы , развивая идеи и результаты З.И.Рехлицкого, В.В.Малыгиной об устойчивости уравнения (1) , предпринимает попытки вывести второй из критериев устойчивости на более конструктивный уровень, не вводя ограничений на знак коэффициента a(t) .

г Методы, применяемые п работе : метод производящих функций, описанный в монографии Э.Пинни и получивший развитие в работах З.И. Рехлицкого, В.В.Малыгиной ; одним из основных вспомогательных средств является краевая задача для компонент производящей функции, построенной по функции Коши уравнений (1),(2) , а также методы математического анализа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории функций комплексного переменного, общей теории функционально-дифференциальных уравнений .

Научная новизна результатов. 1) Леммы 3.1 ,6.1 о краевой задаче для компонент производящей футпещш , построенной по функции Коши C(/,.v) уравнений (1) , (2) в данной работе впервые приведены в общей ситуации : те N, хотя краевая задача в связи с рассматриваемыми уравнениями давно и хорошо известна многим авторам : А.М.Зверкин, Ю.Ф.Долгий записывают краевую задачу для мультипликаторов оператора монодромии , в монографии Э. Пинни приведена краевая задача для производящей функции , построенной по решению уравнения (1) в стационарном случае : a{t) s const. Автору краевая задача для производящей функции , построенной по функции Коши C(t,s) уравнения (1), была показана В.В.Малыгиной для случая to - периодического коэффициента a(t) : a(t + со) = a(t) , т.е. для m = 1 .

2) "Теоремы о независимости" от параметра s определителя краевой задачи àm(z,s) , Д™ (z,s) -теоремы 3.1,6.1-сформулированы и доказаны впервые . Однако свойство , отмеченное в этих теоремах , есть проявление хорошо известного (см., например, работы Дж.Хейл, С.Н.Шиманова) свойства : спектр оператора монодромии а(С/(/0)) не зависит от начальной точки t0 .

3) Многие частные случаи "характеристических" функций Дm(z) , А™ (2) шервые приведены в этой работе ( §4 , §5 ', §6,п.З ), причем без ограничения на ¡нак коэффициента а([) в уравнении (1). Отметим, что приведенные характеристические функции совпадают с известными , полученными в работах A.M. Зверкина , Ю.Ф.Долгого .

4) Автор приводит новую формулировку критерия устойчивости для функции Коши - теорема 7.1 , которая позволяет сформулировать критерий устойчи-зости и для уравнения (2) - теорема 7.2 .

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы позволяют тридать известному критерию устойчивости Рехлицкого-Малыгиной более кон-лруктивную формулировку - теоремы 7.2, 7.3 . На основе этой формы критерия можно получать эффективные , т.е. выраженные через коэффициенты уравнений, признаки устойчивости , такая перспектива обозначена в работе : в ней приведен vom эффективный признак устойчивости - теорема 7.4 .

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на заседаниях Пермского семинара по функционально-дифференциальным уравнениям (ФДУ) 1986 - 1996 гг. , а также на П-й (Челябинск , 1987) , III-й (Пермь , 1988) , IV-й (Уфа , 1989) Уральских региональных конференциях "ФДУ и их приложения" , на XIV-й школе по теории операторов в функциональных про-:транствах (Новгород , 1989), на Весенней Воронежской математической школе 'Понтрягинские чтения - V" (Воронеж , апрель , 1994) , на Ш-й (Воронеж , 1995) , IV-й (Волгоград , 1996) , V-й (Ростов-на-Дону , 1997) Международных конференциях женщин - математиков , на Ижевском городском семинаре по дифференциальным уравнениям и теории управления (июнь , 2000).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1]-[11] .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения , семи параграфов и списка литературы . Объем диссертации 130 страниц . Библиографический список содержит 65 наименований .

Краткое содержание работы

Во введении описаны задачи и проблемы, которым посвящена диссертация, приведен обзор работ некоторых авторов , изучавших такие же задачи , кратко изложено содержание работы .

В §1 - Предварительные сведения - приведены используемые в работе и являющиеся для нее базисными сведения из общей теории линейных функционально-дифференциальных уравнений (см. работы Н.В.Азбелева, Л.Ф. Рахматул-

линой, В.П.Максимова, В.А.Тышкевича ), а также критерии устойчивости З.И. Рехлицкого , теорема 1.3 , и В.В.Малыгиной, теорема 1.4 .

Для решения задачи Коши уравнений (1),(2) с начальным условием х(0) = V имеет место формула Коши

= (3)

о

где V еЯ1, Х(Г) = С(/,0) - фундаментальное решение уравнений (1),(2) , - функция Коши уравнений (1),(2). В теории устойчивости самостоятельное значение приобрел вопрос о существовании экспоненциальной оценки функции Коши

|С(М); < ЛГехр(-а(г -.?)), / > я > 0, (4)

при некоторых положительных N,а , а нахождение эффективных (в терминах параметров а;(/),й>, , i = 0,1,...,«1, уравнений (1),(2)) признаков существования такой оценки стало целью некоторых исследователей (см.работы В.В. Малыгиной), и , в частности , автора данной работы .

Функция Коши уравнения (1) является решением задачи

а/

= а(1)С{1 - ш, л) , ( д ,

(5)

= 0, С(5,з) = I.

Теорема 1.4 (теорема Малыгиной) . Пусть а{1 + тсо) = а{1), ? > 0,

ае ¿^(0,/исо]. Для того чтобы функция Коши уравнения (1) удовлетво-

ряла оценке (4) , необходимо и достаточно , чтобы выполнялось неравенство г(в) > 1, в е [0, со) , где функция г(в) определена условиями

г(в) = гшгфкг , /г(Л^) = {г е С : (Е - гЯ^у-обратюл) ,

л=0

Е - единичная матрица т -го порядка,

'0 1 0 0 0 1

V:

000

1 о о

0Л о

к„{в) =

о о

о

р(2}т о

о о

(и) гт

С).

def

р^\в) = 1 , <9е[0,<у] , р£\в) = \а(ц+в + ка))с1ц ,

о

tû (О

p{£\e)=\a(Tx+e + kcù)dTi [я(г2 + 0+(л + l)â>yr2... o

Л)

... \a(T„+9 + (k + n-\)co)dTn , к = 1,2,... .

Условие Малыгиной эквивалентно следующему условию : наименьший по эдулю нуль Ту функции Ат{9,г) = с1е1(£ — удовлетворяет неравенст-

' Ы >! •

В §2 - Вывод "характеристической" функции Д2(г) - в приводимых :ммах и теоремах осуществлен переход от функции Л2(6,-), записанной из юремы Малыгиной 1.3, к функции Д2(г), вид которой,приведен в теореме 2.3

р-»(0 )z2k~l -z±pfk^)z2k

к=О

1

к=1

к= О

¿=1

Теорема 2.3. Пусть в уравнении (1) a(t + 2а>) = a{t) . Тогда функция .2(#,z) не зависит от в, в е [0,<и] , и имеет вид

def

п=1

2со

J-

О

A2(û,z) s Д2(0,-) = A2(z) = l-z2-fiK2n_lz2n , К,= \a(t)dt,

(О '1 '2 '3 '2п-2

:2п-\ = \a{t\)dt\ fa(t2 + a)dt2 ja(t3)dt3\a{t4 + co)dt4... fa(t2n_, )dtln^ +

w ч »z • .i '2/7-2

|a(i, + ûîJAj Jfl(i2)A2 Jo(i3 + â>)<3fr3 /a(/4)Л4... /a(/2n_i + o)<#2,

о

2n-l

В §3 - Краевая задача. "Теорема о независимости" - выделены три ункта. В п.1 в лемме 3.1 приведена краевая задача для компонент ^(г,у,5) ,

(О

О

i = 1,2,...,»! , производящей функции F(z,y,s) , построенной по функции Коши C(t,s) уравнения (1).

Пусть t>s, тогда можно записать t - s + псо + у при некоторых п е. N , у е[0,¿у] . Обозначим C(s + na> + y,s) = dn{y,s) , рассмотрим производящую

функцию для последовательности {dn (у,

n=О

mk+in-1

(6)

def

¿=0 /г=0 ¿=0

, г = 1,2,...,т , - компоненты производящей функции , г(у,$) - радиус сходимости ряда (6).

Лемма 3.1 . При фиксированных г и 5(геС,л> 0) функции ^ (г, у, 5) = у ¡(у) , / = 1,..., /и , удовлетворяют по у , у е [0, со] , системе обыкновенных дифференциальных уравнений

у'(г') = гА(а + у)у(у), у е(0,а),у{у) = со1{у1(у),...,ут{у)) (7)

с краевыми условиями

у{0) = zVy(co) + V , где л(0 = <*!(/), a(ffl + /) = a2(0.....а{{т- \)со +1) = ccm{t) ,

(П Го^

'О О

A(s + y) =

0 0 а,

О .0 ^«i О

771-1

О О

. о

• «2 . 0.

(s + y) , V=

О

И/

(8)

(9)

Решение краевой задачи (7),(8) :

y(z,y,s) = -Y(z,y,s)(zVY^co,s)-E)-lv = -ЕЫ^Ш^Ь (10)

B(z, s) - присоединенная матрица к матрице T(z,s) = (zVY(z, со, s)-E) ,

def

&m(z,s) = det T(z,s) , Из (10) получаем , что

OD

r(y,í)sr(0,j)npH se[0,T]

(12)

В п.2 сформулирована и доказана "теорема о независимости" от параметра s определителя Am(z,s) краевой задачи-теорема 3.1 . Предваряют теорему две леммы - 3.2 , 3.3 , утверждения которых использованы в доказательстве теоремы 3.1 .

Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений т- го порядка

y'(y) = zA(s + y)y(y), у(у) = со1{ух(у),...,ут(у)} , (13)

где

A(t) = Ц,(0}/™ = 1. aij 6 4о[0,со), 1 < Í,j < m , s, y e [0, oo) , z s С, s, z - фиксированные числа . Периодичность матрицы A(t) не предполагается . Нормированную фундаментальную матрицу Y(z,y,s) системы (13) можно представить в виде

Y{z,y,s)=E+flzHIn{s + y) ,

л=1

t 1 где /,(0 = J A(T)dr , l„(t) = J A{T)ln_x{r)dr, n > 1 .

i s

Лемма 3.2.

Y;(z,y,s) = z{A{s + y)' Y(z,y,s)- Y(z,y,s)-A(s)).

Лемма 3.3 . Пусть матрица A(t) в (13) имеет вид (9) , тогда

Ts'(z,s) = z(A(s)-T(z,s)-r(z,s)-A(s)) .

Теорема 3.1. 1) Функция A„,(z,s),m e N, (И) независитот j:

def

A„(z,s)s A„(z,0) - Am(z) ; 2) r(y,s) s r = |z0| , где z0-наименьший по модулю корень уравнения

Am(z)s&ç\{zVY{z,(ofi)-E) = Q . (14)

В §4 - Вид функции Am(z) при m = 2,3»4 - приведены из условия (14) георемы 3.1 вывод и представление функции Дm(z) в виде степенного ряда при m = 2,3,4- соответственно леммы 4.1 , 4.2 , 4.3 .

В §5 - Вид функции А,„(г) при »/ = 2,3,4 в случае кусочно-постоянного коэффициента а(с) - название параграфа полностью отражает его содержание.

ах{г),1 е[0,е»)

Случай m = 2 : ait + 2со) = a(t) , a(t) = ,

[a2(t),t e[&,2a>)

Лемма 4.1.

Cù Cù СО Cù

A2(z) = \-z2-z2(jal + ja2)-z4(jal21 + ja2U)-

0 0 0 0 со со СО (O

"Z6(i "[12]^. +i W2b--Z2"'2(ia[12f 1 + Ja[2lf2b- ■ 0, 0 0.0 Следствия 1-3 :

1.Пусть a2(t)sO (или ax(t) = 0 ), t e[0,<y) , тогда

со со

A2(z) = l-z2-z2\ax{t)dt ( Д2 (2) = 1 - z2 - z2 Ja2(t)dt) . о 0

f q(t), t e[0,<y)

2. Пусть a(t) = < , /¿^0, q e I^fO,©] ,тогда

[fjq(t), t &[û),2co)

1 + 10 A2(z) -l~z2--z sh{zq^[Ji) , где q = J q(t)dt .

•Jt* 0

3. Пусть a,(0 = cCj , 0 < t < a , ax Ф 0 , / = 1,2 , тогда

A?(z) = l-z2 ish(Jaxa2 coz)

Случай m = 3: a(t + 3a>) = a(t) , a{t)-

ax(t),t e[0,co) a2(t),t e[û),2(o) . a3{t),t e[2<y,3<y)

Лемма 4.2.

СО Cù СО Cù Cù (ù

0 0 0 0 0 0

A3(z) = -l+z3 +z3(fa]+ja2 + \a2 + Ja13 + j a2l + Ja32)-

+ j «1231 ~ J «2312 ~ f «3123 + J «13213 + f «21321 + j «32132 )+•■•■

0 0 0 0 o o

Следствия 1, 2 :

1. Пусть a3 (í) = 0, te [О, со) , тогда

ft) (U CO

лзоо = + z3 + z3(jщ + j«2 + j«21) • ООО

2. Пусть ar, (г) = «, , 0 < í < to, a¡ * 0 , / = 1,2,3 , тогда

4,(r) = -1 +z3 +z2 «1 + «2 + «3 z(oq) + , «1«2 + «1«3 + «2«3 ръ{z(üq)

j 3 j 3

PÍW = tI^Í expU,/) > P2C) = r 2>/2 exP(fiO , J/=l 1

1 3

Л3(0 = - Z «P(E,0 , £, = VT, / = 1,2,3 , 0 = ^/a1a2«3

гим , что ;ких функций

Этметим , что функции p¡ (t) , г = 1,2,3 , являются обобщением гиперболиче-

ch(t) = |(ехрг + exp(-r)) = ^(exp(£iO + exp(e2í)) = pj(t),

1 1 , s/í(í) = -(expí-exp(-f)) = -(e1exp(e,0 + £2 ехр(в2/))=Л (О ,

e, = 1 ,e2 =-1 .

Случай m- 4: a(t + Acó) = a(t) .

СО (O СО со

Лемма 4.3 . Д4(z) = 1 -z4 -z4(J aj + Ja2 + J«3 + { «4 +

0000

ft) гу (у íu ft) ft) ft) ft)

+ j«21 +j«13+j«31 + j"«32+j«14+j«24+j'«42+,f«43 + 00000000 ft) ft) су ft)

+ {«321+j «214+} «143+j «432)--0 0 0 0 Частный случай :

a / \ 1 4 3 «1 + «2 + «3 + «4 4 /

_ . «1^2 + + «2^3 + + 2а,а3 + 2а2а4 _ ^^. sjn(_

2 Q2

<23 1 "

где

__j 4 j

g-Цаха2агал , P3(0 = t2>í ехр(е,г) = -(лАг+ sin/) ,

4¡=i 2

1 4 1 r

/?|4(0 = exp(s,Y) = -{sht - sin?) , б,- = Vi , / = 1,2,3,4 .

4 i=i 2

Функции pf{t) , / = 1,2,3,4 , также являются обобщением гиперболических функций на случай 8,

= 3/1,/=1,2,3,4 .

В §6 - Уравнение с т запаздываниями - выделено три пункта . В и.1 содержание параграфа построено по схеме §3 , а именно : сначала в лемме 6.1 приведена краевая задача , которой удовлетворяют компоненты F¡ (г, у, s) , /' = 1,2,..., т , производящей функции F(z,y,s) , построенной по функции Коши C(/,s) уравнения (2) , затем формулируется "теорема о независимости" от параметра s определителя А™ (г, s) краевой задачи - теорема 6.1 . В п.2,п.З для частных случаев уравнения (2) приведено представление характеристической функции A™ (z) .

т

x(í) - (0*С -/со) = f(t),t> 0, (2)

/=0

*(4) = 0, 4<0; *(0) = v.

для каждого i, i — 0,1,...,/« , a¡(t) - периодическая функция с периодом 7¡ = ktco , к, е (1,2,..., т) ; Т = meo , me N , - наибольший период коэффициентов а, , a, (t) - суммируемая функция на [0,7] ; функция / суммируема на каждом конечном отрезке [0, b], b > 0 .

Функция Коши С(М) уравнения (2) является решением задачи

I = 2>,- (0C(t -КО, 5), />4,

tit 1=0

ca,s) = 0, C(s,j) = 1.

По функции Коши определяем последовательность {¿/„(у,и производящую функцию F(z,y,s) с компонентами F¡(z,y,s) , / - 1,2,...,/я :

/7=0

тк+т-1

/=1 /=и=0

Лемма 6Л . Функции , /' = 1,2,...,от ,при фиксированных

5 > 0 удовлетворяют по у системе т - го порядка обыкновенных дифференш-

шьных уравнений

у\у) = А{г,з + у)у(у), уе(0,а>), (15)

\ краевым условиям

у(0) = гУу(а>) + у , (16)

-де у(у) = со1{У1{у),...,ут{у)} = .

Решение краевой задачи (15),(16) :

¿СМ

-де 5) -фундаментальная матрица системы (15), - присоедннен-

\зл матрица к матрице Т(г, л) = са^)-Е , Д" (г,л) - (1е1 5) .

Теорема 6Л.1) Функция Д™,(г,л) не зависит от 5 :

с/е/

>) г(/, 5) = г = |г0 (,где 20 -наименьший по модулю корень уравнения Д™ (г) = 0. Частные случаи уравнения (2):

¿(0 = в1(0*(*-ю) + в2(0*(*-2ю) + /(0. (1?)

*(£) = 0, £ < 0,

Г = 2<у - наибольший период коэффициентов а, (/), У = 1,2, Т = со - наимень-иий период.

Лемма 6.2 . Пусть в уравнении (17)

*,(,) = , а'к-соп* , (18)

[«2 . ' б [<Э,2Й>)

о

гогда А 2 (г) ■

где q = —{а2 - af)2 + а{а\ .

2 \2 , 11

Рассмотрим уравнение

x(t) = a0(t)x(t) + al(t)x(t-co) + f(í), t> 0, лс(£) = 0, £ < 0,

(19)

T = 2a> - наибольший период коэффициентов a¡(t), i = 0,1 , T =.ú) - наименьший период.

Лемма 6.3 . Пусть в уравнении (19) коэффициенты a,(/),' = ОД , определены в (18), тогда

В §7 - Заключение. Критерий устойчивости - выделено три пункта . В п.1 приведена одна из возможных модификаций критерия устойчивости Малыгиной , доказательство которой полностью перенесено из самого критерия Малыгиной с учетом утверждения /-(у,.у) г г теоремы о независимости 6.1 - теорема 7.1 . Далее сформулированы критерии о существовании экспоненциальной оценки для функции Коши уравнений (2) - теорема 7.2 - и (1) - теорема

7.3 . В п.З приведен без вывода один эффективный признак устойчивости уравнения (1) при т — 2 в случае кусочно-постоянного коэффициента а{1) - теорема

7.4 . Получен этот признак совместно с В.В.Малыгиной методом О -разбиений .

1. О критерии Малыгиной .

Теорема 7.1 . Пусть в уравнении (2) а, е ¿х[0,7'], / = 0,1,..., т . Функция Коши С(?,5) уравнения (2) имеет экспоненциальную оценку (4) при некоторых N > 0, а > 0 тогда и только тогда, когда г > 1 .

Согласно теореме 6.1 : г , где —наименьший по модулю корень

уравнения А™ (г) = &£\.(гУУ{г,со,0)- Е) - 0. Поэтому теореме 7.1 можно придать следующую форму

А22(z) = 1 - z2 • ехр((а,° + a¡)co) - г

а>)- sh(a>yfq) ,

Теорема 7.2. Пусть е £^[0,7], / = 0,1,...,/я . Функция Коши С(/,5) уравнения (2) имеет оценку (4) тогда и только тогда , когда наименьший по мо-

I |

дулю корень 20 уравнения Ат(г) = 0 лежит вне единичного крута : |г0| > 1 .

2 . О критерии устойчивости Рехлицкого-Малыгиной . Для уравнения (1) теорема 7.2 принимает вид

Теорема 7.3 . Пусть а е ¿х[0,тсо],а(/+ т(о) = . Функция Коши уравнения (1) имеет оценку (4) тогда и только тогда , когда наименьший по модулю корень г0 уравнения Л„,(г) = 0 лежит вне единичного круга :р0| > 1.

3 . Об одном эффективном признаке .

Теорема 7.4 . Пусть А - ^ + ^ , Г = | . Функция Коши С(г,л)

уравнения (1) при т = 2, а, (/) = а,, 0 < ? < со, / = 1,2, имеет оценку (4) тогда и только тогда , когда А и Г удовлетворяют условиям

1) в случае а1а2 = 0 : Г = 0, - — < А <0 ,

со

л Г

2) в случае а]аг > 0 : 0 < Г со < —, А < -Г ,А> —

3) в случае аха2 < 0 :

А <0

27гп < Гсо <к + 2жп А> Г

зИ(Га))

2 зт(Г<у)

А> 0

л + 2лп < Гсо <2л + 2кп , п = 0,1,2,...

г4\-{тг! Гсо)2 А < ■ -

/Гсо?)

Основные результаты работы отражены в следующих публикациях :

1. Седова С.М. Об экспоненциальной оценке функции Коши уравнений с постоянным запаздыванием - Рук. деп. в ВИНИТИ 9.12.86 - № 8393-В86 - 57 с.

2. Седова С.М. Об устойчивости одного класса уравнений с постоянным запаздыванием // Сб.науч.трудов ППИ "Функц.-дифференц.уравнения" - Пермь , 1987 -С. 44-47.

3. Седова С.М. Об устойчивости одного скалярного уравнения с постоянным запаздыванием и периодическим коэффициентом // Тезисы докладов - Весенняя Воронежская математическая школа "Понтрягинские чтения - V" - Воронеж , 1994-С. 125 .

4. Седова С.М. Об устойчивости одного скалярного уравнения с постоянным запаздыванием и периодическим коэффициентом // Тезисы докладов - III Международная конференция женщин-математиков - Воронеж , 1995 - С. 39 .

5. Седова С.М. О критерии устойчивости одного скалярного уравнения с постоянным запаздыванием и периодическим коэффициентом // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика - Пермь , 1996 - №1 - С. 34-39 .

6. Седова С.М. Об устойчивости решения одного скалярного уравнения с постоянным запаздыванием и периодическим коэффициентом // Труды III Международной конференции женщин-математиков (Воронеж , май 1995 ) - Вып.2 -Нижний Новгород , 1996 - С. 42-52 .

7. Седова С.М. О краевой задаче для компонент одной производящей функции // Тезисы докладов - IV Международная конференция женщин-математиков -1996 .

8. Седова С.М. О критерии устойчивости одного скалярного уравнения с постоянным запаздыванием и периодическим коэффициентом // Изв.вузов. Математика - 1997 -№ 11 - С. 61-71 .

9. Седова С.М. О свойстве независимости от параметра характеристической функции одного скалярного уравнения с постоянным запаздыванием и периодическим коэффициентом // Тезисы докладов - V Международная конференция женщин-математиков - Ростов-на-Дону , 1997 .

10. Седова С.М. Об одном свойстве функции Копш скалярного уравнения с постоянным запаздыванием и периодическим коэффициентом // Тезисы докладов - Международная конференция "Моделирование и исследование устойчивости систем" - Киев , 1997 - С. 99 .

11. Седова С.М. О свойстве постоянства радиуса сходимости одной производящей функции // Вестник ПГТУ. Вычислительная математика и механика -Пермь , 1998 - С. 66-72 .

Сдано в печать 16.10.00. Форма? 60x64/16. Объем I п.л. Тираж 100. Заказ 1177. Ротапринт ПГТУ.

Содержание.

Введение.

§ 1. Предварительные сведения.

§2. Вывод "характеристической" функции Д2 (z). nl. Вид функции A2(0,z). п2. Свойства интегралов р^п\в), р21\в). пЗ. Свойства функций K2nx(t),K2n(t),02n{t). п4. Теорема 2.1. п5. Теорема 2.2. пб. Окончательный вид функции A2(0,z).

§3. Краевая задача. "Теорема о независимости". nl. Краевая задача. п2. "Теорема о независимости". пЗ. К вопросу о представлении определителя т-то порядка m(Z).

§4. Вид функции Аm(z) при m <2,3,4. nl. А2(z). п2. A3(z). пЗ. A4(z).

§5. Вид функции Аm(z) при m - 2,3,4в случае кусочно-постоянного коэффициента a(t).

§6. Уравнение с m запаздываниями. nl. Краевая задача. п2. "Теорема о независимости". пЗ. Вид функции A^(z) для некоторых частных случаев уравнения.

В работе исследуются вопросы устойчивости линейных дифференциально-разностных уравнений с периодическими коэффициентами х(0 - a(t)x(t - ю) = /(0 , t > 0 , (0.1) х(& = 0, < 0 , где a(t + т<х>) = a(t) , т е N ; е R1 , со = const > 0 . т x(t) - £ я* - "») = ЛО > ^ 0» (°-2)

1=0 $) = 0 Д<0 , где при z = ОД,.,т (О - периодическая функция с периодом 7} = &гсо, kt е {1,2,., ш}, т.е. периоды 7] рационально соизмеримы запаздыванию .

Актуальность темы. В настоящее время в теории устойчивости линейных периодических уравнений с запаздыванием существует несколько теорем, называемых критериями устойчивости. Отметим два из них , наиболее известных :

1) в монографии Дж.Хейл [62] приведен критерий устойчивости , основанный на свойствах мультипликаторов оператора монодромии. Теоремы такого типа рассматривались А.Стоксом, С.Н.Шимановым [63].

2) в работе З.И.Рехлицкого [38] приведен критерий устойчивости , полученный с помощью метода производящих функций (в данной работе это-теорема 1.3) . В работе В.В.Малыгиной [28] этот критерий получает характерную для Пермского семинара формулировку (речь пойдет об условии существования экспоненциальной оценки функции Коши C(t,s) уравнения (0.1)) и новое доказательство (в данной работе это-теорема 1.4) .

Отметим , что в работах В.А.Тышкевича [61], В.В.Малыгиной [28],[29], В.А.Соколова [59], А.И.Башкирова [9] получает развитие одно из направлений теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений , общие основы которой заложены в работах Н.В.Азбелева , Л.Ф.Рахматуллиной , В.П.Максимова [3] .

Упомянутые критерии устойчивости объединяет одно обстоятельство : они не пригодны для практического использования . В настоящее время предпринимаются попытки вывести критерии устойчивости на более конструктивный уровень , т.е. пригодный для практического использования. В работах А.М.Зверкина [20], Ю.Ф.Долгого [19] развитие получает первый из упомянутых критериев : получены результаты о спектре оператора монодромии. Отметим, что в работах Ю.Ф.Долгого об устойчивости уравнения (0.1) накладывается дополнительное ограничение на коэффициент уравнения ait) : a(t) <0 te [0,2ш].

Существующая форма условия устойчивости в критерии Рехлицкого-Малыгиной (второй из упомянутых критериев) также весьма сложна для применения . Проверка этого условия представляет самостоятельную и , в общем случае, трудно решаемую задачу : расположение нулей целой по z функции Am(z,9) , зависящей от параметра 9, 6 g [0, со] , относительно единичного круга на комплексной плоскости ; функция Am(z,9) задана в виде определителя , элементы которого ряды .

Цель работы. Автор предлагаемой работы , развивая идеи и результаты З.И.Рехлицкого, В.В.Малыгиной об устойчивости уравнения (0.1) , предпринимает попытки вывести второй из критериев устойчивости на более конструктивный уровень, не вводя ограничений на знак коэффициента a(t) .

Методы, применяемые в работе: метод производящих функций, описанный в монографии Э.Пинни [35] и получивший развитие в работах З.И.Рехлицкого, В.В.Малыгиной ; одним из основных вспомогательных средств является краевая задача для компонент производящей функции, построенной по функции Коши уравнений (1),(2), а также методы математического анализа , теории обыкновенных дифференциальных уравнений , теории функций комплексного переменного , общей теории функционально-дифференциальных уравнений .

Научная новизна результатов. 1) Леммы 3.1 , 6.1 о краевой задаче для компонент производящей функции, построенной по функции Коши C(t, s) уравнений (0.1),(0.2) , в данной работе впервые приведены в общей ситуации : те N, хотя краевая задача в связи с рассматриваемыми уравнениями давно и хорошо известна многим авторам : А.М.Зверкин, Ю.Ф.Долгий записывают краевую задачу для мультипликаторов оператора монодромии , в монографии Э.Пинни приведена краевая задача для производящей функции , построенной по решению уравнения (0.1) в стационарном случае : a(t) = const. Автору краевая задача для производящей функции , построенной по функции Коши C(t,s) уравнения (0.1) , была показана В.В.Малыгиной для случая со-периодического коэффициента a(t) : a(t + со) = a(t) , т.е. для m = 1 .

2) "Теоремы о независимости" от параметра s определителя краевой задачи Am(z,s) , Л"¡n(z,s) - теоремы 3.1,6.1 - сформулированы и доказаны впервые . Однако свойство , отмеченное в этих теоремах , есть проявление хорошо известного (см., например , Дж.Хейл [62] , С.Н.Шиманов [63] ) свойства : спектр оператора монодромии <5(U(¿о)) не зависит от начальной точки /0 .

3) Многие частные случаи "характеристических" функций Лm(z) , A^(z) впервые приведены в этой работе ( §4 , §5 , §6,п.З ) , причем без ограничения на знак коэффициента a(t) в уравнении (0.1) . Отметим, что приведенные характеристические функции совпадают с известными , полученными в работах A.M. Зверкина, Ю.Ф.Долгого .

4) Автор приводит новую формулировку критерия устойчивости для функции Коши - теорема 7.1 , которая позволяет сформулировать критерий устойчивости и для уравнения (0.2) - теорема 7.2 .

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы позволяют придать известному критерию устойчивости Рехлицкого-Малыгиной более конструктивную формулировку - теоремы 7.2, 7.3 . На основе этой формы критерия можно получать эффективные , т.е. выраженные через коэффициенты уравнений , признаки устойчивости , такая перспектива обозначена в работе : в ней приведен один эффективный признак устойчивости - теорема 7.4 .

Краткое содержание работы. Диссертация состоит из введения , семи параграфов и списка литературы . Библиографический список содержит 65 наименований .

1. Азбелев Н.В. Матрица Коши // Сб.науч.трудов ППИ "Краевые задачи" -Пермь, 1981 - С. 67-70 .

2. Азбелев Н.В., Березаиский Л.М. Устойчивость решений уравнений с последействием // Сб.науч.трудов ППИ "Функц.-дифф.уравн." -Пермь, 1989-С. 3-5.

3. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений М.: Наука, 1991 - 280 с.

4. Азбелев Н.В., Сулавко Т.С. К вопросу об устойчивости решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференц.уравнения 1974 - Т.10 - № 12 - С. 2091-2100 .

5. Азбелев Н.В. О роли некоторых традиций в развитии учения о дифференциальных уравнениях // Сб.науч.трудов ПГТУ "ФДУ" Пермь, 1991 - С. 3-10 .

6. Азбелев Н.В. Современное состояние и тенденции развития теории функционально-дифференциальных уравнений // Изв.вузов.Математика 1994 - № 6 - С.8-19 .

7. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения М.: Наука , 1984-272 с.

8. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости М.: Наука , 1967 - 224 с.

9. Башкиров А.И. Устойчивость решений периодических систем с последействием Канд.дисс. - Пермь , 1986 -101 с.

10. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения М.: Мир , 1967-548 с.

11. Бибиков Ю.Н. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравнений -Л.: Изд.Ленингр.ун-та ,1981 -232 с.

12. Гусаренко С.А. Признаки устойчивости одного линейного функционально-дифференциального уравнения // Сб.науч.трудов ППИ "Краевые задачи" -Пермь,1987-С. 41-45 .126 —

13. Гусаренко С.А. Об устойчивости системы двух линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Сб.науч.трудов ППИ "Краевые задачи" Пермь, 1989 - С. 3-9 .

14. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве М.: Наука, 1970 - 536 с.

15. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости М.: Наука , 1967 - 472 с.

16. Долгий Ю.Ф. Устойчивость одной периодической системы с постоянным запаздыванием // Сб.науч.трудов ППИ "ФДУ" Пермь , 1988 - С. 131-136 .

17. Долгий Ю.Ф., Шиманов С.Н. О существовании зоны устойчивости для одного уравнения с запаздыванием // Сб. "Устойчивость и нелинейные колебания" Свердловск : Изд. УрГУ , 1988 - С. 11-18 .

18. Долгий Ю.Ф. Об устойчивости одной периодической системы с запаздыванием // Сб.науч.трудов ППИ "Краевые задачи" Пермь , 1989 - С. 16-21 .

19. Долгий Ю.Ф. Устойчивость периодических дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом Докт. дисс. : Екатеринбург , 1994 -296 с.

20. Зверкин А.М. К теории дифференциально-разностных уравнений с запаздыванием, соизмеримым с периодом коэффициентов // Дифференц.уравнения -1988 Т.24 - № 9 - С. 1481-1492 .

21. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием М.: Наука , 1981 - 448 с.

22. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве М.: Наука , 1971 - 104 с.

23. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ М.: Высшая школа , 1970 - Т.1 -590 с.

24. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ М.: Высшая школа , 1973 - Т.2 -470 с.

25. Максимов В.П. Линейное функционально-дифференциальное уравнение -Канд. дисс.: Тамбов , 1974 120 с.127 —

26. Максимов В.П. О формуле Коши для функционально-дифференциального уравнения // Дифференц.уравнения 1977 - Т. 13 - № 4 - С. 601-606 .

27. Максимов В.П. Вопросы общей теории функционально-дифференциальных уравнений Докт. дисс.: Киев , 1985 .

28. Малыгина В.В. Оценки оператор-функции Коши и устойчивость дифференциально-разностных уравнений Рук. деп. в ВИНИТИ 1.08.85 , № 6128-85 -41 с.

29. Малыгина В.В. Об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений Канд. дисс.: Пермь , 1983 - 101 с.

30. Малыгина В.В. Из истории развития теории устойчивости уравнений с постоянным запаздыванием // Сб.науч.трудов ППИ "ФДУ" Пермь , 1991 - С. 70-78 .

31. Массера X., Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства М.: Мир , 1980 - 456 с.

32. Математическая энциклопедия М.: Советская энциклопедия , 1984 - Т.4 -691 стб.

33. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения М.: Наука, 1987304 с.

34. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом М.: Наука, 1972 - 352 с.

35. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения М.: Изд.иностр.литер., 1961 - 248 с.

36. Рахматуллина Л.Ф. Линейные функционально-дифференциальные уравнения Докт. дисс.: Киев , 1982 - 280 с.

37. Рахматуллина Л.Ф. Об определении решения уравнения с отклоняющимся аргументом // Сб.науч.трудов ППИ "ФДУ" Пермь , 1985 - С. 13-19 .

38. Рехлицкий З.И. Об устойчивости решений дифференциально-разностных уравнений с периодическими коэффициентами // Изв. АН СССР 1966 - Т.30 -Вып.5-С.971-974.128 —

39. Самойленко A.M., Кривошея С.А., Перестюк H.A. Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи Киев : Вища школа, 1984 - 408 с.

40. Седова С.М. Об экспоненциальной оценке функции Коши уравнений с постоянным запаздыванием Рук. деп. в ВИНИТИ 9.12.86 - № 8393-В86 - 57 с.

41. Седова С.М. Об устойчивости одного класса уравнений с постоянным запаздыванием // Сб.науч.трудов ППИ "ФДУ" Пермь , 1987 - С. 44-47 .

42. Седова С.М. Об асимптотическом поведении решения одного скалярного уравнения с постоянным запаздыванием // Тезисы докладов III Уральская региональная конференция "ФДУ и их приложения" - Пермь , 1988 - С. 137 .

43. Седова С.М. Теорема о разложении функции Коши скалярного уравнения с постоянным запаздыванием и периодическим коэффициентом Рук. деп. в ВИНИТИ 14.06.89 , № 3962 В89 - 74 с.

44. Седова С.М. Применение метода производящих функций к исследованию устойчивости уравнения с запаздыванием // Сб.науч.трудов ППИ "Краевые задачи" Пермь , 1989 - С. 21-25 .

45. Седова С.М. Об устойчивости одного скалярного уравнения с постоянным запаздыванием и периодическим коэффициентом // Тезисы докладов Весенняя Воронежская математическая школа "Понтрягинские чтения - V" -Воронеж, 1994-С. 125 .

46. Седова С.М. Об устойчивости одного скалярного уравнения с постоянным запаздыванием и периодическим коэффициентом // Тезисы докладов III Международная конференция женщин-математиков - Воронеж , 1995- С. 39.

47. Седова С.М. О критерии устойчивости одного скалярного уравнения с постоянным запаздыванием и периодическим коэффициентом // Вестник ПГТУ Пермь , 1996 - С. 34-39 .

48. Седова С.М. Об устойчивости решения одного скалярного уравнения с постоянным запаздыванием и периодическим коэффициентом // Труды III Международной конференции женщин-математиков (Воронеж , май 1995 ) -Вып.2 Нижний Нов-город , 1996 - С. 42-52 .129 —

49. Седова С.М. О краевой задаче для компонент одной производящей функции // Тезисы докладов IV Международная конференция женщин-математиков -1996 .

50. Седова С.М. О критерии устойчивости одного скалярного уравнения с постоянным запаздыванием и периодическим коэффициентом // Изв.вузов. Математика 1997 - № 11 - С. 61-71 .

51. Седова С.М. Об одном свойстве функции Коши скалярного уравнения с постоянным запаздыванием и периодическим коэффициентом // Тезисы докладов -Международная конференция "Моделирование и исследование устойчивости систем" Киев , 1997 - С. 99 .

52. Седова С.М. О свойстве постоянства радиуса сходимости одной производящей функции // Вестник ПГТУ Пермь , 1998 - С. 66-72 .

53. Седова С.М. О разложении одного фундаментального решения // Тезисы докладов Научно-техн.конференция ПГТУ - Пермь , 1998 - С. 24-25 .

54. Седова С.М. Рекуррентная формула для функции Коши одного скалярного уравнения с запаздыванием // Тезисы докладов VII Международная конференция женщин-математиков - Ростов-на-Дону , 1999 - С.36-37 .

55. Седова С.М. Рекуррентная формула для функции Коши одного скалярного уравнения с запаздыванием // Готовится к печати в Вестнике ПГТУ .

56. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного М.: Наука , 1976 - 408 с.

57. Симонов П.М., Чистяков A.B. Теоремы о равномерной экспоненциальной устойчивости уравнений с последействием // Сб.науч.трудов ПГТУ "ФДУ" -Пермь, 1991 С. 83-95 .130 —

58. Соколов В.А. Матрица Коши и устойчивость линейных функционально-дифференциальных уравнений Канд.дисс.: Пермь , 1986 - 127 с.

59. Тонков Е.Л., Юткин Г.И. Периодические решения и устойчивость линейного дифференциального уравнения с периодическимИкоэффициентами // Дифферент уравнения 1969 - Т.5 - № 11 - С. 1990-2001 .

60. Тышкевич В.А. Некоторые вопросы теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений Киев : Наукова думка, 1981 - 80 с.

61. Хейл Д. Теория функционально- дифференциальных уравнений М.: Мир , 1984-422 с.

62. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием времени // Прикл.матем.и мех. 1963 - Т.27 - Вып.З - С. 450 - 458 .

63. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом М.: Наука, 1971 - 296 с.

64. Якубович В.А., Старжинскйй В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения М.:Наука ,1972-720 с.

65. Виз1о^уюг М. Азутр1;о1ус2па 81аЫ1позс ёупагтсгпусЬ ик1ас1од¥ Нпюлуус11 81ас.'опагпус11 ъ орогшетет ВЫуБШк, 1987 - 186 с.