Колебательные свойства решений разностных уравнения и их устойчивость тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

_ Г- П 1

V I О

3М»

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

Али Махмуд Хамад АТЕЙВИ

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата фиоико-математических наук

Киев — 1997

Диссертацией является рукопись.

Работа выполнена в отделе обыкновенных дифференциальных уравнений Института математики HAH Украины.

Научный руководитель

академик HAH Украины,

доктор физико-математических наук,

профессор САМОЙЛЕНКО А.М.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ТЕПЛИНСКИЙ Ю.В., кандидат фиаико-математических наук, доцент СТАНЖИЦКИЙ А.Н.

Ведущая организация:

Украинский государственный педагогический университет им. Драгоманова

Защита состоится иЛ0~п Май . 1997 г. в 1500 часов на заседании специализированного совета Д.01.66.02 в Институте математики НАН Украины по адресу: 252601 Киев-4, ГСП, ул. Терещенковская, 3.'

С диссертацией можно оонакомиться в библиотеке института.

Автореферат раоослан " ? " 'UfMeJß 1QQ7 г

Ученый секретарь специализированного

ЛУША А.Ю.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Развитие технических наук обусловило интерес к разностным уравнениям, которые оказались удобной моделью для описания импульсных и дискретных динамических систем, а также систем, в состав которых входят вычислительные устройства, что особенно актуально в связи с развитием электронной вычислительной аппаратуры/ Кроме того, разностные уравнения встречаются при численном решении различных классов дифференциальных уравнений с помощью метода конечных разностей.

Начало исследованиям разностных уравнений было положено в работах Лагранжа, Эйлера, Пуанкаре. Однако систематическое изучение разностных уравнений началось сравнительно недавно. Отметим в этой связи монографин Гельфон-да А.О., Быкова Я!В., Линенко В.Р., Мартынюка Д.И., Хала-ная А.И., Векслера Д., в которых детально изложены вопросы качественной теории таких уравнений.

В последнее время большое количество'исследований было посвящено вопросам существования периодических решений разностных уравнений. Следует в связи с этим отметить работы Митропольсхого Ю.А., Самойленко A.M., Мартынюка Д.И., Перестюка H.A. и их учеников, где исследовались вопросы существования периодических и квазипериодических режимов в разностных уравнениях. Однако, вместе с тем, есть много классов разностных уравнений, для которых вопрос существования периодических решений остается открытым.

Наряду с разностными уравнениями с фиксированным шагом h — 1 весьма важными являются уравнения, возникающие в разностных схемах, где шаг может меняться. Исследованию качественных свойств таких уравнений посвящены, например, работы Скалкиной М.А., Карасика Г.Я., где изучались свойства разностных уравнений при наличии таковых у

дифференциальных. Почти не изученной есть обратная задача — получение результатов по дифференциальным уравнениям, при наличии таковых у разностных, которые переходят в дифференциальные при к -» 0, что есть весьма важным с практической точки зрения (поскольку такие уравнения с помощью компьютеров довольно легко исследуются).

Перечисленные выше вопросы и рассмотрены в диссертации.

Цель работы — исследование периодических решений некоторых классов разностных уравнений, а также установление взаимосвязи между свойствами решений дифференциальных и разностных уравнений при уменьшении шага.

Общая методика исследований. В диссертационной работе использованы методы исследования периодических решений, методы теории устойчивости и колеблемости решений разностных уравнений.

Научная новиона диссертации заключается в:

• исследовании периодических решений разностных уравнений второго порядка;

• получении эффективных алгоритмов приближенного отыскания периодических решений некоторых классов разностных уравн-ний;

• исследовании устойчивости решений дифференциальных уравнений при наличии таковой у разностных уравнений;

• установлении условий колеблемости решений разностных. уравнений.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты, полученные в работе, можно использовать для отыскания периодических режимов в реальных задачах, которые сводятся

к системам разностных уравнений, а также в исследовании их устойчивости.

Апробация работы. Основные результаты данной работы докладывались и обсуждались:

• на заседании Республиканского семинара по обыкновенным дифференциальным уравнениям при Институте математики HAH Украины и кафедре интегральных и дифференциальных уравнений Киевского университета им. Тараса Шевченко (руководители: академик HAH Украины A.M. Самойленко, профессор H.A. Перестюк);

® на Всеухраинской научной конференции "Днференщаль-но-функд"юнальш ршняння та Тх застосування" (Черновцы, 15-18 мая, 1996 г.);

• на заседании математической школы нелинейных колебаний (Каменец-Подольский, 10-15 октября, 1996 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 4 работы, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 69 названий. Объем работы составляет 76 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель исследования, дается краткий анализ современного состояния изучаемых в диссертации проблем и проводится аннотация полученных результатов.

В первой главе, состоящей из трех параграфов, рассмотрены вопросы существования и приближенного нахождения периодических решений систем разностных.уравнений с дискретным шагом Л = 1.

В первом параграфе изучена возможность применения численно-аналитического метода A.M. Самойленко к исследованию периодических решений разностных уравнений второго порядка вида

Д2 *„=/„(!„, хп+i), (1)

где Ахп = in+i - xn, a fn{x,y) — периодическая по п с периодом Р функция, т.е. /п+р (я, у) = /п (я, у). При этом, ради простоты изложения, все исследования проведены для одного скалярного уравнения.

Итак, считаем, что в уравнении (1) хп — скаляры н предполагаем функцию /п (я, у) определенной в области

ZxD = Zx Iх : neZ,

xe[a,b] = I\ (2)

непрерывной по переменным периодической по п с периодом Р и удовлетворяющей неравенствам

l/n(x,y)|<M,

(3)

|/п (я , у') - Л. (з, !/)| < Kt \х' -х\ + К2 \у[ - у\,

где М, К\, К2 — положительные постоянные.

Для уравнения (1) введен аналог Т-системы, определенной A.M. Самойленко. Для этого постоянные а,Ь, М,К\,Кч будем считать связанными неравенствами

Ь~а> -у-, (4)

¿(/С, + к2)<1. (5)

Рассмотрен оператор Ь, действующий на периодические с периодом Р последовательности /„ при п € [0,р— 1] по формуле

п-1

£/п = £(/.-/„), (6)

»"=0

где

7--;2 Л- (7)

и «"=0

Доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть уравнение (1) является Т-системой в области Б. Тогда, если оно имеет периодическое периода Р решение х = хП1 принимающее при п = 0 значение хо,

хо € /

1 _

р2М , р2М а + ——, Ь-

4

то хп = где ж°(хо) — предел последовательности

функций х™(хо), определяемых согласно

(*о) = «о + £2Л. (*Г1Ы, С-н (*о)) .

т = 0,1,2,...

Вопросы существования периодических решений уравнения (1) однозначно связаны с наличием нулей функции

ды = /«(*°ы,*2+1ы). (8)

Поскольку Д (хо) находится лишь приближенно, исходя из последовательности функций

ДтЫ = /п(^Ы,С+1Ы), (9)

то возникает задача, как по нулям функции Дт (хо) судить о нулях функции Д (го)-Обозначим

1 р2 M

v2 4

1 - j (Ki + K2)

Имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Пусть уравнение (1) является Т-системой в области (2). Предположим, что для некоторого т > О функция Ат(хо), определяемая согласно формуле (9), удовлетворяет неравенствам

шш Дт (х0) < -¿т (К1 + К3) ,

(10)

тах Дт (х0) > ¿т {Кг + К2).

юб/1

Тогда уравнение (1) имеет периодическое периода Р решение х — хп, для которого хп € Б при п 6 2, хо € I1.

Во втором параграфе схема численно-аналитического метода А.М. Самойленко применена к системе разностных уравнений вида

(Н)

Дх„ - Ахп + /п(а:п,Уп), А уп = дп (хп> уп),

где Л € Л, кроме Л = -2,-1,0.

Будем рассматривать систему (И) в области

хе[а,(3], у € R, nez,

где /п (х, у) и дп (х, у) — периодические попе периодом Р скалярные числовые последовательности, удовлетворяющие уело-

виям:

для

|/п(х,у)|<М, |5п(1,у)|<м,

|/п (*', у') - /п (X", у")| < Кг \х' - х»\ + К21у> - у"\, (12) \дп (*', 2/') - <7* (Л 2/")| < * 11®'" «"I + К21у' - л

I, а;', х" € [а, /3], у, у', у" € В., п€ 2.

Среднее по периоду периодической по п последовательности обозначим

_ 1

9п = - 2 9п '

п=0

_ д Р-1

А-ре+ЧГ^ЕО + Ч^-'Л.

(13)

Рассмотрим последовательность функций п-г

«?4:Г(»О,1Л)) = «О + 2(А + 1)П-,'Х

1=0

X [/,• («Г(*0,1Л>), УГ(®0, УЬ)) - /. (*Г(*О,!А>).УГ(*О,И>))].

п-1

1=0

(14)

X [<7; (агГ(*о, Уо), »Г(*0, Уо)) - (а;^(10, Уо), С(*о. Уо))]

Получена следующая теорема;

Теорема 3. Пусть система (11) такова, что: 1) имеют место неравенства (12) и

91 = 41 (А) < 1, Я2 < 1,

где

91 =

/Га + А'21| |А+1|- 1

|А + 1|"/2 + 1

|А + 1|р/2 - 1

N,

Я2 = [К1 + К2] а интервал [а,/?] такой, что

/3 - а

> ¿а;

2) для некоторого целого т система

Ат (*0,2/0) = 0.

Дт (Хо,уо) = 0

I

имеет изолированное решение (ж0, у0);

3) индекс особой точки (х°, у0) отображения, порождаемого Ат, отличен от нуля;

4) существует замкнутая выпуклая область Бо, принадлежащая области И:

А)={(®.У). а + {1\<х<0-(1х, -оо<у<оо} и имеющая точку (х°, единственным решением системы

Дт !/°) = 0,

(

ДЛ,(*°.у°) = о

такая, что на границе Гд, выполняются неравенства

го^обГд. I

> (лгига-лг^А+ада-®)-1^]^,

тГ |д^(*о,Уо)|>

го!!/обГв01 I

> [/(1 - Г1 с*л + К*® (1 - 92)-1 Сь] М . Тогда система (11) имеет Р-периодическое решение

X = Хп, у - уп,

для которого

(0),у(0>) € 2?о.

Третий параграф посвящен применению к нахождению периодических решений систем разностных уравнений вида

Ахп = дп(хп) (15)

метода, сочетающего в себе идеи численно-аналитического метода А.М. Самойленко и одного из вариантов проекционно-итерационного метода Н.С. Курпеля.

Построена последовательность периодических функций, доказана ее сходимость к периодическому решению уравнения (15).

Во второй главе изучаются разностные уравнения с нефиксированным шагом. Очевидно, что при уменьшении шага (Л -+ -» 0) система разностных уравнений переходит в систему дифференциальных уравнений, которую мы в дальнейшем будем называть соответствующей раоностной. А поэтому интересно было бы изучить условия, при которых свойства решений разностных уравнений сохраняются для соответствующих им дифференциальных.

В первом параграфе изучены условия сохранения устойчивости систем дифференциальных уравнений при наличии устойчивости у систем разностных уравнений.

Итак, рассмотрим разностное уравнение

ш = 0,1,2,...

Здесь Л > 0 — шаг разностного уравнения; х= х£, (<о + тпЛ), хл(*о) = Функция определена и непреры-

вна по I € 5 С Дп, И — область в пространстве Дп и по * > 0, причем х(*,0) = 0, т.е. х^ = 0 — решение уравнения (16). Очевидно, что система (16) при уменьшении шага к нулю переходит в систему дифференциальных уравнений вида

с/ X

— = Х(г,х1,...,хп), ** (17)

X (*о) = Хо .

Рассмотрим сначала случай, когда системы (16) и (17) являются системами линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Относительно этого случая имеет место теорема.

Теорема 4. Если существует Л > 0, такое, что система

(16) асимптотически устойчива, то и система (17) также асимптотически устойчива.

Из теоремы 4 можно получить следующее следствие об устойчивости по первому приближению.

Следствие. Если системы (16) и (17) нелинейные и автономные, причем при некотором Л > 0 система (16) асимпто• тически устойчива по первому приближению, то и система

(17) асимптотически устойчива по первому приближению.

Далее рассмотрим нелинейный случай. Будем дополнительно предполагать, чтобы функция X (1, х) и ее частные производные

ОХ. .

яГГ", 5 = 1,Я, .7 = 1,1»,

О X)

были ограничены при

дХ, Ы

х € Лп, г > 0; удовлетворяла условию Липшица по х € Л". Из этих

условии, очевидно, следует, что имеет место неравенство

<N\x\t (18)

дг

3=1

Эх]

где N — некоторая положительная постоянная. Имеет место следующая теорема.

Теорема 5. Если 3 ко > 0 такое, что при Л < Ло пулевое решение системы (16) асимптотически устойчиво равномерно по ¿о и Л, то тогда и нулевое решение системы (17) также равномерно устойчиво.

Второй параграф диссертационной работы посвящен вопросам сохранения колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка при наличии таковой у соответствующего разностного уравнения второго порядка вида

Уг»+2 + Рп Уп+1 + Яп Уп = о. (19)

Коэффициенты р„ и qn связаны с соответствующими коэффициентами рх (*) и (*) уравнения

у" + Р1 (0 у' + ?1 (О У = 0 (20)

формулами

Р(*п) = р(«0 + Лп) = ЛР1 (<„)-2,

9(<п) = д(*о + Л п) = 1 + Л2 9х («„) - Ар, (<„).

Будем говорить, что уп имеет перемену знака при * = <„, если выполнено одно ио условий:

1) Уп < О

или

2) Уп — 0, а Уп—1 Уп+1 < О.

Если на интервале (а,Ь) у„ имеет не менее двух перемен знаков, то уп называется колеблющимся на этом интервале. Доказана следующая теорема.

Теорема 6. Если при некотором достаточно малом Л = = ко на интервале (а,Ь) уравнение (19) имеет колеблюще-еся решение, то и уравнение (20) также имеет на интервале (а, Ь) колеблющееся решение.

Замечание. Из доказательства теоремы следует, что величину малости /»о, которое фигурирует в условии, можно явно оценить. А именно, достаточно, чтобы Ло было таким, что выполняется неравенство

hN{eь-a-l)<S, (21)

т.е.

-В' <*>

где 6 и N выписываются по коэффициентам p{t)nq (<), а также по колеблющемуся решению у£° конечно-разностного уравнения (19).

Учитывая вышесказанное, а также доказательство теоремы, можно получить, что достаточно требования, чтобы

• " 1Й?1 V--!) ' ( }

где

к = (1 + шах |91 (01 + шах |р(<)|)

и максимум берется по интервалу

^io + "о ho, t0 + (m0 +

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

• В диссертационной работе с помощью численно-аналитического метода A.M. Самойленко исследованы периодические решения разностных уравнений второго порядка.

• Получены эффективные алгоритмы приближенного отыскания периодических решений некоторых классов раз-ностпых уравнений.

в Докапана теорема об устойчивости решений дифференциальных уравнений при условии, что система раяност-ных уравнений (соответствующая) устойчива.

• Изучены условия колеблемости решений дифференциальных уравнений, если решения разностного уравнения колеблющиеся.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Атейви A.M. О численно-аналитическом методе для разностных уравнений второго порядка // Укр. мат. журн. — 1996.

— 48, N-7. — С.920-924.

2. Ametieu A.M. Построение периодических решений одного класса систем разностных уравнений // Нелинейные краевые (задачи математической физики и их приложения: Сб. науч. тр.

— Киев: Ин-т математики ПАИ Украины, 1996. — С.18-22.

3. Игцук В.В., AtneHeu A.M. Численно-аналитический метод в разностных уравнениях второго порядка // ВсеукраУнська конф. "Диференщально-функцюнальш ртняння та Ух оасто-сування" (Чернтф, 15-18 трав. 1996 p.): Tea. доп. — К.: 1н-т математики НАН УкраУни, 1996. — С.77.

4. Aleiwi A.M. То the problem on periodic solutions of one class of systems of difference equations // Укр. Мат. жури. — 1097. — 49, №-2. — С.309-314.

Алн Махмуд Хамад АТЕЙВИ. Колебательные свойства решений разностных уравнений и их устойчивость.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 — дифференциальные уравнения. Институт математики НАН Украины, Киев, 1997.

Защищается диссертация, посвященная исследованию разностных уравнений. С помощью численно-аналитического метода A.M. Самойлеико изучены периодические решения некоторых классов разностных уравнений. Установлены условия сохранения устойчивости и колеблемости при переходе от разностных уравнений к дифференциальным.

Ali Mahmud Hamad ATEIWI. Oscillation properties and stability of solutions of difference equations.

Thesis for a degree of Candidate of a Sciences in Physics and Mathematics, specialization — 01.01.02 — differential equations. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine, Kiev, 1997.

The thesis is devoted to a study of difference equations with the use of A.M. Samoilenko's numerical-analytical method. Periodic solutions of certain classes of difference equations have been studied. Conditions, implying that the stability and oscillatory character of solutions is preserved under a transition from difference to differential equations, were obtained.

• Ключевые слова: разностное уравнение, последовательные приближения, периодическое решение, асимптотическая устойчивость, колеблемость.