Исследование устойчивости движений дискретных динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

ООЗОБЭ811

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

МИНАИЛО АЛЕКСАНДР ВАСИЛЬЕВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЙ ДИСКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

01 01 09 — дискретная математика и математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург — 2007

003069811

Работа выполнена на кафедре теории управления факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор

Александров Александр Юрьевич

доктор физико-математических наук, профессор

Камачкин Александр Михайлович (СПбГУ)

кандидат технических наук, доцент Шамберов Владимир Николаевич (СПбГМТУ)

Ведущая организация

Защита состоится седании

Самарский государственный технический университет

.М-Сс^Я. 2007 г в /£ ч 00 мин на за-диссертационного совета К-212 232.07 по защитам

диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 199034, Санкт-Петербург, В О , Средний пр , д 41/43, ауд

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им М Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб , 7/9

Автореферат разослан * /.3 >•> Схл

2007 :

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ -мат наук,

профессор ^ Л £ О ~~ Ногин В Д

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Системы разностных уравнений широко применяются в различных задачах теории управления, в частности, при описании управляемых систем с дискретными регуляторами, нелинейных импульсных систем, в задачах численного интегрирования дифференциальных уравнений и других областях математической кибернетики

Свойства решений разностных уравнений во многом аналогичны свойствам решений соответствующих дифференциальных уравнений Это обстоятельство позволяет использовать системы разностных уравнений в задачах моделирования и анализа динамики различных реальных объектов, там, где использование непрерывных систем либо не представляется возможным, либо приводит к значительному усложнению этих задач

В то же время переход от непрерывных уравнений к разностным может повлечь существенное изменение свойств решений системы При таком переходе нередко нарушается устойчивость

Устойчивость - важное свойство любого управляемого объекта. Устойчиво движущимся принято называть тот объект, движение которого слабо изменяется под воздействием возмущений. Так как в действительности возмущающие силы всегда неизбежно существуют, то задача устойчивости движения приобретает очень важное теоретическое и прикладное значение

Методологический аппарат исследования подобных проблем разрабатывается и совершенствуется уже достаточно давно Основополагающие результаты были получены еще в конце 19 века А М Ляпуновым Разработанный им прямой (второй) метод анализа устойчивости является весьма полезным при решении таких задач

Существенные результаты в исследовании устойчивости разностных систем были достигнуты в работах В И Зубова, М А Скал-киной, А На1апау, Б \Vexler, Л М Бапг-Бета, Н УойЫба и многих других авторов

Проблема эквивалентности преобразований в смысле сохранения устойчивости при переходе от дифференциальных уравнений к соответствующим разностным уравнениям может решаться за счет модификации последних

Существуют консервативные численные методы интегрирования дифференциальных уравнений, позволяющие учитывать специфи-

ку изучаемых систем и сохранять их качественные характеристики Использование некоторых из них позволяет решить указанную выше проблему эквивалентности преобразований К таким методам можно отнести метод В И Зубова построения консервативных разностных схем Построенные согласно методу управления используются для коррекции разностных систем, обеспечивая, тем самым, согласованность в смысле сохранения устойчивости решений при переходе от дифференциальных уравнений к разностным Но введение управления в систему может привести к значительному ее усложнению Поэтому важной задачей является определение классов систем, для которых коррекция не нужна, и систем, для которых она необходима

Во многих прикладных задачах для нормального функционирования материальной системы достаточно обеспечить устойчивость ее программного движения не по всем, а только в отношении некоторой части переменных Подобные задачи возникают при решении ряда механических и технических проблем, анализе биологических и экономических моделей, что обуславливает повышенный интерес к их изучению

Большое прикладное значение также имеют исследования устойчивости положения равновесия нелинейных колебательных систем. Широкий класс таких систем описывает уравнение Льенара Оно используется при моделировании различных процессов в биологии, химии, экономике и других отраслях науки

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию описанных выше задач и направлена на развитие известных математических методов их решения

Целью диссертационной работы является исследование устойчивости по всем и по части переменных положений равновесия нелинейных разностных систем В диссертации определяются классы систем, для которых имеет место эквивалентность преобразований в смысле сохранения устойчивости при переходе от дифференциальных уравнений к соответствующим разностным уравнениям

Методы исследования. При анализе устойчивости положений равновесия исследуемых систем используются методы теории управления и теории устойчивости движения Основной математический аппарат - метод функций Ляпунова

Научная новизна Проводится анализ устойчивости решений новых классов нелинейных разностных систем Основное внимание

в работе уделяется следующим направлениям исследований

1 Изучаются условия устойчивости разностных систем по нелинейному приближению

2 Разрабатываются новые способы построения функций Ляпунова для нелинейных разностных систем

3 Проводится анализ систем, подвергающихся внешним возмущениям с известными параметрами Устанавливаются области изменения этих параметров, при которых сохраняется устойчивость программных движений

4 Определяются новые условия асимптотической устойчивости по части переменных решений разностных систем

5 Исследуется устойчивость положения равновесия разностного аналога векторного уравнения Льенара

Теоретическая и практическая ценность. Работа, в основном, носит теоретический характер Ее результаты могут быть использованы для дальнейших исследований в области теории управления, а именно при анализе устойчивости движений нелинейных дискретных динамических систем, находящихся под воздействием внешних возмущений, а также при решении практических задач из области механики и техники, в частности, при построении управлений, стабилизирующих программные режимы управляемых систем.

Апробация работы. Основные результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались на заседаниях кафедры теории управления, на научной конференции "Процессы управления и устойчивость" факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета (апрель 2004, 2005 и 2006 гг), а также докладывались на Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи"(г Самара, 2006 г)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 печатных работах

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, 14 параграфов, заключения и списка литературы Объем работы составляет 110 страниц Список литературы включает 69 наименований

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведена содержательная постановка задачи, сделан обзор предшествующих исследований по данной проблематике,

а также описано краткое содержание работы по главам

Первая глава содержит 4 параграфа и посвящена анализу устойчивости разностных систем по нелинейному приближению

В первом параграфе приведены основные понятия и вспомогательные утверждения, используемые в дальнейшем при исследовании устойчивости решений разностных систем по нелинейному приближению

Во втором параграфе приводится постановка исследуемой задачи Рассматривается система дифференциальных уравнений

Здесь X - n-мерный вектор, компоненты вектора F(X) - функции — 1, п, определены и непрерывно дифференцируемы при всех X £ Еп и являются обобщенно-однородными функциями класса (тх, , тп) порядка ст + шг, где <г, тпг - такие рациональные числа, что а + тг > 0 Так как компоненты вектора F(X) - обобщенно-однородные функции порядка а + тг > 0, то уравнения (1) имеют нулевое решение Предположим, что нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво

Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений с обобщенно-однородными правыми частями была исследована в работах В И Зубова

Рассмотрим соответствующую (1) разностную систему

Теорема 1. Из асимптотической устойчивости нулевого решения системы (1) следует асимптотическая устойчивость пулевого решения системы (2)

Также в этом параграфе производится оценка скорости стремления решений к началу координат

В третьем параграфе рассматривается воздействие на систему (2) ограниченных и неограниченных возмущений Имеем

Здесь векторная функция Як(Х) определена и непрерывна на множестве г(Х) < II, к — 0,1, и удовлетворяет неравенствам 1) в случае ограниченных возмущений

X = F(X)

(1)

Xk+i — Хк + F(Xk)

(2)

Хк+1 = Хк + F{Xk) + Rk{Xk)

(3)

RUX) <сггт^(Х)

(4)

где сг > 0, 7 > О, тп1 > О, г = 1, п, г(Х) = £ \Хг:

4=1

2) в случае неограниченных возмущений

Ягк(Хк) | < сг(к + 1 )ат^+т'(хк), (5)

где сг > 0, а > 0, 7 > О, шг > 0, г = 1, п

Теорема 2. 7 > а, то пулевое решение системы (2) с еоз-

мущениями, удовлетворяющими оценке (4), асимптотически устойчиво

Теорема 3. При выполнении неравенства 7 > сг(а + 1) нулевое решение системы (2) с возмущениями, удовлетворяющими оценке(5), асимптотически устойчиво

В четвертом параграфе проводится уточнение условий асимптотической устойчивости нулевого решения возмущенной системы Доказано существование класса возмущающих воздействий, не нарушающих асимптотическую устойчивость нулевого решения системы, порядок которых может быть ниже порядка функций, стоящих в правой части ее первого приближения

Пусть компоненты вектора возмущений Як(Х) в системе (3) име-

г»

ют вид Ккз(Х) = X] ^кззЯз]{Х), где Ькзз - постоянные коэффициенты, цВ] (X) - непрерывно дифференцируемые обобщенно-однородные класса (т^ , тп) порядка 7 + т3 функции, в = 1 ,п, 13 - натуральные числа Тогда систему (3) можно записать в следующей форме

Хк+1 = Хк + F(Xfc) + ВкЯ(Хк) (3')

п

Здесь Вк — постоянная матрица размерности п х I, I — ^ элсмен-

г=1

в

ты которой Ькз] — Ькз при ] = , где = ^ Ь, 1о = О

г=0

и Ьказ — 0 при з ф , , Ъ}, то есть,

( Ьки Ък12 Ьк1к ООО 0 0 0 \

Вк

, (6)

0 0 О Ък21Ък22 Ьк21, ООО

V о 0 ООО 0 Ъкп 1 Ькп2 Ькп1п / а Я(Х) — вектор размерности I, следующего вида

Я(Х) = (<711,912, ,91 ¡1, 921» 922, , 92 г2> ,9п1,9п2, ,Чп1„У, (7)

где qSJ = qSJ(X) Предположим, что последовательность {B¡.} является ограниченной

Рассмотрим последовательность (n х I) матриц

к-1

С0=0, Ck = J2BJ> к=1'2>

3=0

Теорема 4. Если последовательность (8) ограничена, то при выполнении неравенства 7 > а/2 нулевое решение системы (3') асимптотически устойчиво

Предположим теперь, что последовательность (8) неограничена,

однако существует число ß, 0 < ß < 1, такое, что lim —-Сд. — О

к—»00 К™

Теорема 5. При выполнении неравенства 7 > — ( 1 + ß^j нулевое решение системы (3') асимптотически устойчиво

Вторая глава посвящепа изучению условий асимптотической устойчивости по части переменных решений разностных систем

Первый и второй параграф главы посят вспомогательный характер В первом приведены основные определения и утверждения, касающиеся устойчивости по части переменных, используемые в главе Во втором параграфе описан метод В И Зубова построения консервативных разностных схем

Далее в главе исследуются условия устойчивости разностных систем в критических случаях

Устойчивость систем дифференциальных уравнений в критическом случае одного нулевого корпя была исследована А М Ляпуновым. Известна теорема Ляпунова-Малкина об устойчивости в критических случаях нескольких пулевых корней Эта теорема получила развитие в работах В И Воротникова и ряда других авторов А Ю Александровым было получено обобщение теоремы Ляпунова-Малкина на случай, когда система первого приближения является существенно нелинейной В статье А Ю Александрова и А П Жабко данный результат был распространен на системы разностных уравнений

В третьем параграфе проводится развитие данных исследований Рассматривается система

Г Xk+1=Xk + F(Xk) + Mk{Xk,Yk), \ Yfc+i - Pk(Yk) + Dk(Xk, Yk) W

Здесь X, Y — векторы размерности пх и п2, элементы вектора F(X), определеные для любого X € ЕП1, являются непрерывно дифференцируемыми обобщенно-однородными функциями класса (mi, , тп) порядка а + тг, и + тг > 0, г = 1, щ

Векторные функции Pk(Y), Dk(X,Y) и Mk(X,Y) определены и непрерывны на множестве к = 0,1, , r(X) < II, ||У|| < Н и удовлетворяют условиям

Рк(0) = 0, ||Dk(X, Y)\\ < с1Гх(Х), |Мкг(Х, У)| < -ф{Х, у)га+ГПг(X),

где ip(X, Y) -> 0 при грО + ||У|| —> 0, c"i > 0, А > 0, г — Н -положительная постоянная

Наряду с уравнениями (9) рассмотрим систему, состоящую из двух изолированных подсистем

Xk+1=Xk + F(Xk), (10)

Yk+1 = Pk(Yk), (И)

которую будем называть системой первого приближения для (9)

Пусть нулевое решение обобщенно-однородной системы дифференциальных уравнений X — F(X) асимптотически устойчиво В параграфе доказано существование таких функций Ляпунова, при которых нулевое решение уравнений (10) асимптотически устойчиво, а нулевое решение уравнений (11) является устойчивым

Заметим, что однородный случай функции F(X), используемой в системе (9), был рассмотрен в работах А Ю Александрова и А П Жабко

Теорема 6. При выполнении неравенства X > а нулевое решение системы (9) устойчиво по всем переменным и асимптотически Х-устойчиво

В четвертом параграфе определяются классы неавтономных возмущений, для которых условия теоремы 6 можно ослабить Рассматривается система

Г Xk+1=Xk + F(Xk) + Rk(Xk) + Mk(Xk,Yk), \ Yk+1 = Pk(Yk) + Dk(Xk, Yk)

Здесь функции Mk(X,Y), Pk(Y), Dk(X,Y) те же, что и в системе

I,

(9), компоненты вектора Rk(X) имеют вид Rks(X) — bk3jqsj, где

1>кзз — постоянные коэффициенты, дв] = (X) — непрерывно дифференцируемые обобщенно-однородные класса (тх, , тп) порядка /1 + т3 > 0 функции, я — 1, п1, 1Я — натуральные числа Тогда функцию П\:{Х) можно представить в виде Пк{Х) = ВкС?(Х) Здесь В^ —

п 1

постоянные матрицы размерности п\ х I, I = X) Ь, вида (6), а Я(Х)

г=1

— вектор размерности I вида (7)

Теорема 7. Если последовательность (8) ограничена, то при выполнении неравенств ц > а/2, А > а нулевое решение системы (12) устойчиво по всем переменным и асимптотически Х-устойчи-во

В §5 исследуется система дифференциальных уравнений специального вида В соответствии с теоремой В И Зубова о каноническом разложении силового поля предполагается, что правые части системы представляют собой сумму потенциальной и соленоидаль-ной составляющих поля Рассмотрим систему разностных уравнений, соответствующую указанной системе дифференциальных уравнений Имеем

гк+1 = гк + ь + ЭД^) (13)

Здесь ¿Г — п-мерный вектор с компонентами , ,гп, функция IV (2") определена и непрерывно дифференцируема при всех Z £ Еп, 5(^)

— заданная и непрерывная при 2 е Еп кососимметрическая матрица (Б* = -5)

Пусть IV = IV (X), где X — т-мерный вектор с компонентами ¿1, , ггп, т е [1, п) Будем считать, что IV(X) — отрицательно-определеная однородная порядка // + 1 функция, /I > 1

Нетрудно проверить, что соответствующие системе (13) дифференциальные уравнения имеют пулевое решение асимптотически устойчивое ПО ПврвМбННЫМ , , В параграфе приведен пример, который показывает, что разностная система (13) может иметь неустойчивое пулевое решение Для обеспечения согласованности в смысле сохранения устойчивости при переходе от дифференциальных уравнений к разностным в систему (13) вводится управление и = и (к, £), построенное по методу В И Зубова

гк+1 = гк + н (^Щр + + Ы(л, гк)гк (и)

Обозначим первые т компонент вектора S{Z)Z через векторную функцию

Теорема 8. Пусть в некоторой окрестности точки % — О верна оценка ||Ф(2/)|| < с||Х||, где с > 0 Тогда при достаточно малом к пулевое решение системы (14) устойчиво по всем переменным и асимптотически устойчиво по переменным , , гт

В шестом параграфе, на основе методов, используемых в §3 и §5, рассматривается задача гашения угловых движений твердого тела по одной и двум из трех главных центральных осей инерции.

В третьей главе исследуется устойчивость положения равновесия разностной системы, соответствующей векторному уравнению Льенара Рассмотрим уравнение Льенара

дР 5(5 , ч

х + ахх + Ш-° (15)

Здесь X — п-мсрпый вектор неизвестных функций, скалярная функция С(Х') является дважды непрерывно дифференцируемой однородной функцией порядка т+1, а элементы тг-мерного вектора Р(Х) являются непрерывно дифференцируемыми однородными функциями порядка р + 1, где р — рациональное число с четным числителем и нечетным знаменателем, т — рациональное число с нечетным числителем и нечетным знаменателем, р > 1,т > 1

(<ЭС\ *

Будем полагать, что функции С{Х) и ( т^г \ Р(Х) положительно определены Тогда система (15) имеет асимптотически устойчивое нулевое решение Сделав замену переменных У = X + Г(Х), рассмотрим разностную систему, соответствующую (15)

В параграфе 1 показано, что нулевое решение разностной системы (16) может быть неустойчивым Для обеспечения согласованности в смысле сохранения устойчивости при переходе от дифференциальных уравнений к разностным в систему (16) вводится управление

Хк+1 = Хк + }г¥к - кР(Хк) + ик{1ь,Хк,Ук)дС^Хк)

Ук+Л = Ук- к^ф^ + ик(!г, Хк,Ук)Ук

дХк (17)

В §2 доказывается асимптотическая устойчивость скорректированной системы Проводится оценка скорости стремления решений к началу координат Исследуется воздействие возмущений па систему (17)

Теорема 9. При достаточно малом к пулевое решение системы (17) асимптотически устойчиво

Рассматривается возмущенная система вида

Хк+1 =Хк+ НУк - ИР{Хк) + ик(Ь, Хк, Ук)

ас(х ) (18)

П+1 = Ук- н К к) + ик(к,хк, Ук)Ук + Ик(Хк, Ук)

ОХк

Здесь функция Нк(Х, У) определена при к = 0,1, > 11^11 + 11^11 < непрерывна по переменным X, У и удовлетворяет неравенству

1№11<сатпг|| + цхг), (ю)

где с, а, г) — положительные постоянные

Теорема 10. При выполнении неравенств

Г , 1 (2р + т+1 \ а > тах {р,т — р — 1) , т) > тах < ---, тп >

пулевое решение системы (18) асимптотически устойчиво

В третьем параграфе определяются классы возмущений, для которых можно уточнить условия асимптотической устойчивости, полученные в предыдущем параграфе

Предположим, что возмущения в системе (18) представимы в виде

Нк(Хк, Ук) = В1кН{Хк) ( Ук - Р{Хк) ) + В2кР{Хк),

где элементы (к х тг)-матрицы Н(Х) и компоненты ш-мерного вектора Р(Х) являются непрерывно дифференцируемыми однородными функциями порядка а и г? соответственно, В\к — ограниченная последовательность (п х /с)-матриц, а Выс — ограниченная последовательность (п х т)-матриц

к — 1

Пусть Сгк = - ^ -011' °2к = ~ В2г при Л = 1> 2> ' С1° и С2°

г=0 1=0

— пулевые матрицы Будем полагать, что эти матричные последовательности ограничены

т+ р + I

Теорема 11. При выполнении неравенств г/ > ---, г/ >

г Г т — р — I р п 2р — т-\-\

> тах{ттг-р,р+1}, о > тах-<---, ~,т - 2р - 1,---

нулевое решение системы (18) асимптотически устойчиво

В §4 рассматривается иной подход к анализу разностного уравнения Льенара Использование других, нежели в §§1-3, условий на правые части системы, позволяет улучшить некоторые результаты, полученные ранее

Сделаем замену переменных У = X и рассмотрим разностную систему, соответствующую (15), а именно систему вида

Хк+1 = Хк + КУк,

V -V ьдс{Хк) ьдр{Хк)у

(9F

Пусть при всех X, У £ Еп имеет место неравенство У*—г!' > л оХ

> 6||Х||Р||У[|2, где Ъ > 0 По-прежнему предполагаем, что функция (1{Х) положительно определена

Доказано, что дифференциальная система, соответствующая системе (20), имеет асимптотически устойчивое пулевое решение

Теорема 12. При достаточно малом Ни р < т — 1 нулевое решение системы (20) асимптотически устойчиво

Далее в работе было доказано существование области неустойчивости в пространстве параметров р и тп для нулевого решения системы (20) В связи с чем в эту систему была введена коррекция, построенная методом В И Зубова

Хк+1 =Хк+ ПУк + и(И, Хк,Ук)-

V V ИдПХк)у\ „ (21)

Ук+1 — У к - 1г~ох~к--дхк *к)Ук

Теорема 13. При достаточно малом К пулевое решение системы (21) асимптотически устойчиво Рассмотрим возмущенную систему

Хк+1^Хк+ПУк+ик^^,

Ук+г = Ук- - И^Щ^Ук + икУк + Ик(Хк,Ук)

ОЛк ОЛк

Здесь Лк{Х,У) - возмущение вида (19)

Теорема 14. При выполнении неравенств

Г т + 2р + П а > р, г)> тах < т,--->

нулевое решение системы (22) асимптотически устойчиво

Отметим, что при выполнении неравенства ш > 2р+1 оценки на а и г], в сравнении с оценками из теоремы 10, являются лучшими в том смысле, что они определяют более широкое множество допустимых значений указанных параметров Однако существуют случаи, когда функции, стоящие в правых частях исследуемой системы, удовлетворяют условиям приведенным в параграфах 1-3 и не удовлетворяют условиям наложенным на функции в параграфе 4

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатами, которые получены в ходе диссертационного исследования и выносятся на защиту, являются следующие

1 Определены условия устойчивости решений разностных систем по обобщенно-однородному первому приближению

2 Получены новые условия устойчивости по всем переменным и асимптотической устойчивости по отношению к части переменных решений нелинейных разностных систем

3. Проведен анализ устойчивости нулевого решения системы разностных уравнений специального вида, правые части которой пред-ставимы в виде суммы потенциальной и соленоидальной составляющих поля

4. Установлены условия устойчивости положения равновесия разностного аналога векторного уравнения Льепара

5 Для изученных классов нелинейных разностных систем найдены оценки скорости стремления решений к началу координат

Следует отметить, что результаты, полученные в работе для разностных систем, согласуются с известными результатами для соответствующих систем дифференциальных уравнений Для одних классов систем это согласование обеспечивается автоматически, для других - за счет модификации разностных схем

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Минайло А В Исследование устойчивости решений одного класса нелинейных разностных систем // В сб Процессы управления и устойчивость Труды 35-й научной конференции аспирантов и студентов СПб . Изд-во С -Петерб ун-та, 2004, С 239-243

2 Минайло ABO сохранении асимптотической устойчивости положения равновесия векторного уравнения Льенара при переходе от дифференциальных уравнений к разностным // В сб Процессы управления и устойчивость Труды Зб-й межвузовской научной конференции аспирантов и студентов СПб Изд-во С -Петерб ун-та, 2005, С 77-84

3 Минайло А В К вопросу об устойчивости разностных систем по нелинейному приближению // В сб Математическое моделирование и краевые задачи Труды 3-й Всероссийской научной конференции Самара Изд-во Сам гос техн ун-та, 2006, С 120-123

4 Минайло А В Об устойчивости по части переменных нелинейных разностных систем // В сб Процессы управления и устойчивость Труды 37-й международной научной конференции аспирантов и студентов СПб Изд-во С -Петерб ун-та, 2006, С 57-63

5 Минайло А В. Об устойчивости решений некоторых классов нелинейных разностных систем // Вестник Самарского гос техн ун-та Сер "Физ-мат науки", 2006 №43 С 37-44

U\

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14 05 03. Подписано в печать 11.04.07 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30\42/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз , Заказ № 518/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 929-43-00.

Введение

Глава I. УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ ПО НЕЛИНЕЙНОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ

§1. Обобщенно-однородные функции. Системы дифференциальных уравнений с обобщенно-однородными правыми частями.

§2. Сохранение устойчивости при переходе от дифференциальных систем к разностным.

§3. Условия асимптотической устойчивости по обобщенно-однородному приближению.

§4. Построение неавтономных функций Ляпунова.

Глава II. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ

§1. Постановка задачи.

§2. Метод В. И. Зубова построения консервативных разностных схем

§3. Исследование асимптотической устойчивости относительно части переменных но нелинейному приближению.

§4. Уточнение условий асимптотической устойчивости по части переменных

§5. Устойчивость решений одного класса нелинейных разностных систем

§6. Управление вращательным движением твердого тела

Глава III. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ВЕКТОРНОГО УРАВНЕНИЯ ЛЬЕНАРА

§1. Построение консервативной разностной схемы.

§2. Сохранение устойчивости при переходе от дифференциального уравнения Льенара к разностному.

§3. Исследование системы, находящейся под воздействием возмущений с нулевыми средними значениями.

§4. Другой способ анализа устойчивости уравнения Льенара.

Многие задачи математической кибернетики приводят к исследованию дискретных динамических систем. Для описания дискретных систем используются уравнения в конечных разностях.

Системы уравнений в конечных разностях изучаются уже давно в различных разделах математики. Вполне естественно, что обилие приложений конечнораз-ностных уравнений повысило к ним интерес.

Большое внимание к исследованию подобных уравнений уделяется в задачах теории управления. Разностные уравнения широко применяются при описании динамических систем с дискретными регуляторами [24], нелинейных импульсных систем [11, 58]. Кроме того, они широко используются при численном интегрировании дифференциальных уравнений различных типов ]17, 24, 57].

Свойства решений разностных уравнений во многом аналогичны свойствам решений соответствующих дифференциальных уравнений. Это обстоятельство позволяет использовать системы разностных уравнений в задачах моделирования и анализа динамики различных реальных объектов, там, где использование непрерывных систем либо не представляется возможным, либо приводит к значительному усложнению этих задач.

В то же время переход от непрерывных уравнений к разностным может повлечь существенное изменение свойств решений системы. При таком переходе нередко нарушается устойчивость.

Устойчивость - важное свойство любого управляемого объекта. Устойчиво движущимся принято называть тог объект, движение которого слабо изменяется под воздействием возмущений. И наоборот, говорят, что объект движется неустойчиво, если его движение сильно изменяется под действием возмущений. Так как в действительности возмущающие силы всегда неизбежно существуют, то задача устойчивости движения приобретает очень важное теоретическое и прикладное значение.

Существенные результаты в исследовании устойчивости разностных систем были достигнуты в работах В. И. Зубова, М. А. Скалкиной, A. Halanay, D. Wexler, J. М. Sanz-Serna, Н. Yoshida и многих других авторов [4, 5, 24, 35, 53, 54, 55, 58, 64, 67].

Проблема эквивалентности преобразований в смысле сохранения устойчивости при переходе от дифференциальных уравнений к соответствующим разностным уравнениям может решаться за счет модификации последних.

Существуют консервативные численные методы интегрирования дифференциальных уравнений, позволяющие учитывать специфику изучаемых систем и сохранять их качественные характеристики [6, 17, 23, 24, 60, 68]. Эти методы можно разделить на два следующих класса. К первому классу можно отнести консервативные методы, полученные из традиционных (неконсервативных) методов с помощью специальных процедур модификации, обеспечивающих выполнение свойства консервативности с заданной степенью точности. Второй класс методов состоит из специальным образом сформированных методов, в которых свойство консервативности заложено изначально.

Использование некоторых консервативных численных методов позволяет решить проблему эквивалентности преобразований в смысле сохранения устойчивости решений при переходе от дифференциальных систем уравнений к соответствующим разностным. К таким методам можно отнести метод В. И. Зубова сохранения интегралов [23, 24]. Построенное согласно методу управление используется в качестве коррекции разностных систем, обеспечивая, тем самым, указанную выше эквивалентность. Но введение управления в систему может привести к значительному ее усложнению. Поэтому важной задачей является определение классов систем, для которых коррекция не нужна и систем, которым она необходима.

Методологический аппарат исследования подобных проблем разрабатывается и совершенствуется уже достаточно давно. Основополагающие результаты были получены еще в конце 19 века А. М. Ляпуновым. Разработанный им прямой (второй) метод анализа устойчивости [32] является весьма полезным при исследовании приведенных выше задач. Метод заключается в построении некоторых вспомогательных функций, обладающих специальными свойствами. Эти функции называют функциями Ляпунова. Прямой метод Ляпунова является основным методом исследования нелинейных систем. Он получил глубокое развитие в трудах Н. Г. Четаева, И. В. Малкина, К. П. Персидского, Е. А. Барбашина, Н. Н. Красовского, В. И. Зубова, В. В. Румянцева, С. Лефшеца, Т. Йошизавы и многих других ученых [8, 19, 26, 28, 29, 33, 50, 51, 59, 69]. Результаты, полученные для непрерывных систем, в дальнейшем получили распространение и на системы разностных уравнений [11, 24, 58].

Устойчивость динамических систем, правые части которых, представленные в виде ряда по степеням искомых функций, не содержат в указанном разложении линейных членов относительно этих функций, исследуется по нелинейному приближению [12, 26, 33, 66]. Теоремы об устойчивости систем дифференциальных уравнений по нелинейному приближению были доказаны в работах И. Г. Малки-на, Н. Н. Красовского и В. И. Зубова [19, 27, 33]. При этом в качестве первого приближения рассматривались системы с однородными и обобщенно-однородными правыми частями. Для таких систем были определены условия существования однородных (и обобщенно-однородных) функций Ляпунова, с помощью которых удалось установить критерии устойчивости по нелинейному приближению.

Во многих прикладных задачах для нормального функционирования материальной системы достаточно обеспечить устойчивость ее движения не но всем, а только в отношении некоторой части ее переменных. Такие задачи естественным образом возникают при решении ряда механических и технических проблем [13, 22, 50], анализе биологических и экономических моделей [15,61]. Основополагающие результаты в этой области были получены В. В. Румянцевым [14, 48, 50]. В его работах был доказан ряд теорем об устойчивости по части переменных, обобщающих теоремы второго метода Ляпунова, и указаны примеры их приложения в задачах механики. Результаты В. В. Румянцева получили глубокое развитие в трудах К. Кордуняну, В. И. Зубова, В. И. Воротникова, К. Пейффе-ра, А. Хатвани и многих других ученых [13, 18, 34, 62, 63, 65].

Теоремы об устойчивости по части переменных, доказанные для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, естественным образом распространяются и на случай разностных систем.

Большое прикладное значение также имеют исследования устойчивости положения равновесия нелинейных колебательных систем [9, 10, 56]. Широкий класс таких систем описывает уравнение Льенара. Оно используется при моделировании различных процессов в механике, биологии, химии, экономике и других отраслях науки [15, 51, 61].

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию описанных выше задач для систем разностных уравнений и направлена на развитие известных математических методов их решения. Основной математический аппарат - метод функций Ляпунова. Работа состоит из трех глав.

В первой главе исследовала устойчивость решений разностных систем по нелинейному приближению, где в качестве первого приближения рассматриваются системы с обобщенно-однородными правыми частями.

В первом параграфе приведены основные понятия и вспомогательные утверждения, применяемые в дальнейшем при исследовании устойчивости решений разностных систем по нелинейному приближению.

Во втором параграфе приводится постановка исследуемой задачи. Рассмотрены системы дифференциальных уравнений с обобщенно-однородными правыми частями и соответствующие им разностные системы; Определены условия сохранения асимптотической устойчивости нулевого решения при переходе от дифференциальных уравнений к разностным. В том же ключе приведены условия сохранения неустойчивости нулевого решения системы. Получена оценка скорости стремления решений разностной системы к началу координат. Отметим, что порядок полученной оценки совпадает с порядком аналогичной оценки, установленной В. И. Зубовым для дифференциальных уравнений [18].

В третьем и четвертом параграфах исследовано воздействие на систему ограниченных и неограниченных возмущений. Определены классы возмущений, не нарушающих асимптотическую устойчивость нулевого решения системы. В том числе установлен класс возмущений, для которых асимптотическая устойчивость сохраняется и в случае, когда порядок возмущений может быть ниже порядка функций, стоящих в правых частях системы первого приближения.

Вторая глава посвящена изучению условий асимптотической устойчивости по части переменных решений разностных систем.

Первый и второй параграф носят вспомогательный характер. В первом приведены основные определения и утверждения, касающиеся устойчивости но части переменных, используемые в главе. Во втором параграфе описан метод В. И. Зубова построения консервативных разностных схем [18].

Далее в главе исследуются условия устойчивости разностных систем в критических случаях. Здесь развивается теорема Ляпунова-Малкина об устойчивости в критических случаях нескольких нулевых корней [33] для систем, первое приближение которых является существенно нелинейным. В третьем параграфе наряду с исследуемой системой разностных уравнений рассматривается ее первое приближение, которое можно разделить на две изолированные подсистемы: асимптотически устойчивую подсистему с обобщенно-однородными правыми частями и подсистему, имеющую устойчивое нулевое решение. С помощью метода функций Ляпунова найдены достаточные условия устойчивости но всем переменным и асимптотической устойчивости по отношению к части переменных решений нелинейных разностных систем по первому приближению указанного вида.

В §4 определен класс неавтономных возмущений, для которых можно ослабить условия устойчивости, нолученные в предыдущем параграфе. Доказано, что порядок этих возмущений может быть меньше порядка функций, входящих в правые части первого приближения исходной системы.

В пятом параграфе рассматривается система дифференциальных уравнений специального вида. В соответствии с теоремой В. И. Зубова о каноническом разложении силового поля [22] предполагается, что правые части системы представляют собой сумму потенциальной и соленоидальной составляющих поля. Указанная системы имеет нулевое решение устойчивое по всем и асимптотически устойчивое по части переменных. Доказано, что разностная система, соответствующая исходной системе дифференциальных уравнений, может иметь неустойчивое но части переменных нулевое решение. Для сохранения устойчивости в разностную систему вводится управление. Управление строится методом В. И. Зубова сохранения интегралов. Доказательство устойчивости по всем переменным и асимптотической устойчивости по отношению к части переменных нулевого решения скорректированной системы проводится с использованием дискретного аналога теоремы В. В. Румянцева об асимптотической устойчивости.

В шестом параграфе, на основе методов, используемых в §3 и §5, рассматривается задача гашения угловых движений твердого тела но одной и двум из трех главных центральных осей инерции.

В третьей главе приведено исследование векторного уравнения Льенара, широко использующегося при моделировании различных реальных систем и процессов.

В §1 рассматривается система дифференциальных уравнений Льенара с асимптотически устойчивым нулевым решением. Доказано, что нулевое решение разностных уравнений, соответствующих исходной дифференциальной системе, может быть неустойчивым. Согласованность, в смысле сохранения устойчивости нулевого решения, достигается за счет введения в разностную систему управления. Управления строится методом В. И. Зубова.

Во втором параграфе доказывается асимптотическая устойчивость нулевого решения скорректированной системы. Проводится оценка скорости стремления решений к началу координат. Исследуется воздействие на систему ограниченных возмущений. Определен класс возмущающих сил, которые не нарушают асимптотическую устойчивость нулевого решения системы.

В третьем параграфе исследуются условия сохранения асимптотической устойчивости нулевого решения при возмущениях, порядок которых может быть ниже порядка функций входящих, в правые части рассматриваемой системы.

В §4 рассматривается иной подход к анализу разностного уравнения Льенара. Использование других, нежели в §§1-3, условий на правые части системы, позволяет ослабить ограничения на параметры системы, полученные ранее. Однако, отметим, что результаты параграфа 4 распространяются не на весь класс систем, рассмотренный в §§1-3.

В заключении формулируются основные положения диссертации, выносимые на защиту.

Настоящая работа основана на результатах автора, опубликованных в статьях [37]-[42].

Параграфы каждой из трех глав имеют свою нумерацию. Утверждения, замечания и формулы внутри каждой главы также имеют свою нумерацию.

Заключение

Основные положения диссертации, выносимые на защиту, состоят в следующем.

1. Установлены критерии устойчивости решений разностных систем по обобщенно-однородному первому приближению.

2. Получены новые условия устойчивости по всем переменным и асимптотической устойчивости по отношению к части переменных решений разностных систем в критических случаях.

3. Разработан метод анализа устойчивости системы разностных уравнений специального вида, правые части которой иредставимы в виде суммы потенциальной и соленоидальной составляющих поля.

4. Найдены условия устойчивости положения равновесия разностного аналога векторного уравнения Льенара.

5. Для изученных классов нелинейных разностных систем найдены оценки скорости стремления решений к началу координат.

Следует отметить, что результаты, полученные в работе для разностных систем, согласуются с известными результатами для соответствующих систем дифференциальных уравнений. Для одних классов систем это согласование обеспечивается за счет модификации разностных схем, для других модификация не требуется.

1. Александров А. Ю. К вопросу об устойчивости по нелинейному приближению // Сибирский мат. журнал. 1997. Т. 38. № б. С. 1203-1210.

2. Александров А. Ю. Об устойчивости векторного уравнения Льенара с нестационарными возмущениями // Сибирский математический журнал. 1999. Т. 40. № 5. С. 977-986.

3. Александров А. Ю. Устойчивость движений неавтономных динамических систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004. 186 с.

4. Александров А. Ю., Жабко А. П. Устойчивость разностных систем. СПб.: НИИ Химии С.-Петерб. ун-та, 2003. 112 с.

5. Александров А. Ю., Жабко А. П. Об устойчивости решений нелинейных разностных систем // Известия вузов. Математика. 2005. С. 3-12.

6. Андрианов С. Н., Едамепко Н. С. Моделирование динамических систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2005. 169 с.

7. Анчев А. А., Румянцев В. В. О динамике и устойчивости гиростатов // Успехи механики. Т. 2. Вып. 3. 1979. С. 3-45.

8. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.

9. Блакъер О. Анализ нелинейных систем. М.: Мир, 1969. 400 с.

10. Боголюбов Н. Н., Митрополъский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1963. 412 с.

11. Бромберг П. В. Матричные методы в теории релейного и импульсного регулирования. М.: Наука, 1967. 323 с.

12. Веретенников В. Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1984. 320 с.

13. Воротников В. И. Устойчивость динамических систем но отношению к части переменных. М.: Наука, 1991. 284 с.

14. Воротников В. И., Румянцев В. В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем: Теория, методы и приложения. М.: Научный мир, 2001. 320 с.

15. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. 286 с.

16. Жуковский Н. Е. Теоретическая механика. Изд. 2-е. М.; Л.: ГИТТЛ, 1952. 811 с.

17. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1988. 332 с.

18. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Суднромгиз, 1959. 324 с.

19. Зубов В. И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973. 272 с.

20. Зубов В. И. Лекции но теории управления. М.: Наука, 1975. 495с.

21. Зубов В. И. Динамика управляемых систем. М.: Высшая школа, 1982. 285с.

22. Зубов В. И. Аналитическая динамика системы тел. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. 344 с.

23. Зубов В. И. Консервативные численные методы интегрирования дифферен-. циальных уравнений в нелинейной механике // Докл. РАН. 1997. Т. 354. JYS4.1. С. 446-448.

24. Зубов В. И. Проблема устойчивости процессов управления. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2001. 353 с.

25. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа Часть 1. М.: Наука, 1982. 616 с.

26. Каменков Г. В. Избранные труды: В 2 т. М.: Наука, 1971. Т. 1. 260 с.

27. Красовский Я. Я. Об устойчивости но первому приближению // Прикл. математика и механика. 1955. Т. 19. № 5. С. 516-530.

28. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 212 с.

29. JIa Саллъ Дж. П., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964. 168 с.

30. Ленерт Б. Динамика заряженных частиц. М.: Атомиздат, 1967. 351 с.

31. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. 824 с.

32. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л.: ОНТИ, 1935. 386 с.

33. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.; Л.: Гостехиздат, 1952. 432 с.

34. Мартынюк А. А. Устойчивость движения сложных систем. Киев: Наукова думка, 1975. 352 с.

35. Мартынюк Д. И. Лекции по качественной теории разностных уравнений. Киев: Наукова думка, 1972. 252 с.

36. Матросова Н. И. Вектор-функции Ляпунова в изучении критических случаев // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1988. С. 195-203.

37. Минайло А. В. Исследование устойчивости решений одного класса нелинейных разностных систем // В сб. Процессы управления и устойчивость: Труды 35-й научной конференции аспирантов и студентов. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004. С. 239-243.

38. Минайло А. В. К вопросу об устойчивости разностных систем по нелинейному приближению // В сб. Математическое моделирование и краевые задачи:

39. Труды 3-й Всероссийской научной конференции. Самара.: Изд-во Сам. гос. техн. ун-та, 2006. С. 120-123.

40. Минайло А. В. Об устойчивости по части переменных нелинейных разностных систем // В сб. Процессы управления и устойчивость: Труды 37-й международной научной конференции аспирантов и студентов. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006. С. 57-63.

41. Минайло А. В. Об устойчивости решений некоторых классов нелинейных разностных систем // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер.: "Физ.-мат. науки". 2006. № 43. С. 37-44.

42. Минайло А. В. Исследование устойчивости положения равновесия некоторых классов нелинейных разностных систем // Вестник С.-Петерб. унта. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2007. Вып. 2. С. 97-107.

43. Моисеев Н. Н., Румянцев В. В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука, 1965. 439 с.

44. Набиуллин М. К. Стационарные движения и устойчивость упругих спутников. Новосибирск: Наука, 1990. 216 с.

45. Озиранер А. С. Об устойчивости движения в критических случаях // Прикл. математика и механика. 1975. Т. 39. № 3. С. 415-421.

46. Платонов А. В. Исследование устойчивости движений неавтономных динамических систем: Автореф. канд. дис., 2001. 15 с.

47. Рубановский В. Н., Румянцев В. В. Об устойчивости движения сложных механических систем // Успехи механики. Т. 2. Вып. 2. 1979. С. 53-79.

48. Румянцев В. В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных // Вестник МГУ. Сер. мат., механ., физ., астрон., хим. 1957. №4. С. 9-16.

49. Румянцев В. В. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости движения по отноше- отношению к части переменных // Прикл. математика и механика. Т. 35. Вып. 1. 1971. С. 147-152.

50. Румянцев В. В., Озираиер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987. 253 с.

51. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. 300 с.

52. Савченко А. Я., Игнатьев А. О. Некоторые задачи устойчивости неавтономных динамических систем. Киев: Наукова думка, 1989. 208 с.

53. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. 314 с.

54. Скалкина М. А. О сохранении асимптотической устойчивости при переходе от дифференциальных уравнений к соответствующим разностным // ДАН СССР. Т. 104, №4. 1955.

55. Скалкина М. А. О связи между устойчивостью решений дифференциальных и конечно-разностных уравнений // Прикл. математика и механика. Т. 19. т. 1955. С. 287-294.

56. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электромеханических системах. М.: ИЛ, 1953. 256 с.

57. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.

58. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971. 312 с.

59. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965. 208 с.

60. Шмыров А. С. Устойчивость в гамильтоновых системах. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1995. 128 с.

61. Эрроусмит Д. К., Плейс К. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Качественная теория с приложениями. М.: Мир, 1986. 243 с.

62. Corduneanu С. Some problems conserning partial stability // Symp. math. V. 6. Meccanica non-lineare e stabilita. 23-26 Febbrario, 1970. London-New York: Acad. Press, 1971. P. 141-154.

63. Hatvani L. On partial asymptotic stability by the method of limiting equation 11 Ann. Mat. Рига Appl. 1985. V. 99. P. 65-82.

64. Kinoshita H., Yoshida II., Nakai II. Syinplectic integrators and their application in dynamical astronomy // Cel. Mech. Dyn. Ast. 1991. P. 59-71.

65. Peiffer K., Rouche N. Liapunov's second methods applied to a partial stability // J. de mecanique. 1969. V. 8. N 2. P. 323-334.

66. Salvadori L. Oil the stability of equilibrium in critical cases // Meccaiiica. 1967. V. 2. N 2. P. 82-94.

67. Sanz-Serna J. M., Calvo M. P. Numerical Hamiltonian problems. London. 1994.

68. Wisdom J., Holrnan M. Syinplectic Maps for the N-Body Problem // Astron. J. 1991. P. 1520-1538.

69. Yoshizawa T. Stability theory by Liapunov's second method. Tokyo: The Math. Soc. of Japan, 1966. 223 p.