Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений с распределённым запаздыванием тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

4856159

Сабатулина Татьяна Леонидовна

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С РАСПРЕДЕЛЁННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

2 4 0?3 /011

Екатеринбург — 2011

4856159

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и механики ГОУ ВПО «Пермский государственный технический университет».

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент

Малыгина Вера Владимировна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Долгий Юрий Филиппович

Защита состоится 24 февраля 2011 г. в 13.00 на заседании диссертационного совета Д 004.006.01 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620990, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института математики и механики УрО РАН (г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16).

Автореферат разослан «•£/» января 2011 г.

Учёный секретарь диссертационного совета,

доктор физико-математических наук, профессор

Кипнис Михаил Маркович

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Пермский государственный

университет»

доктор физ.-мат. наук

Н.Ю. Лукоянов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Теория функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ), начало которой было положено в 50-х годах прошлого века работами А.Д. Мышкиса и H.H. Красовского, за последние 50 лет оформилась в самостоятельный, интенсивно развивающийся раздел теории'дифференциальных уравнений. Основы теории ФДУ излагаются, например, в монографиях Э. Пинни; Р. Беллмана и К. Кука; Л.Э. Эльсгольца и С.Б. Норкина; А.Д. Мышкиса; Дж. Хейла; Н.В. Азбе-лева, В.П. Максимова и Л.Ф. Рахматуллиной; В.Г. Пименова и A.B. Кима.

Если дифференциальное уравнение изучается на бесконечном промежутке, то для него определяющую роль играют вопросы устойчивости, и здесь ФДУ не составляют исключения. На них были перенесены классические понятия устойчивости, введённые A.M. Ляпуновым для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Для исследования устойчивости решений ФДУ наряду с модификациями классических методов (метод .D-разбиений, принцип аргумента, критерии Понтрягина, Эрмита-Билера, Чеботарёва-Меймана), возникли новые методы (метод функционалов Красовского, теоремы Разумихина, W-метод Азбелева). Вопросы устойчивости ФДУ изучались в десятках монографий и сотнях статей: полностью, либо в значительной своей части посвящены вопросам устойчивости ФДУ известные монографии Н.В. Азбелева и П.М. Симонова, Р. Беллмана и К. Кука, К. Гопалсами, В.Б. Колмановского и В.Р. Носова, H.H. Красовского,

A.Д. Мышкиса, B.C. Разумихина, В. Резвана, В.А. Тышкевича, А. Хала-ная, Дж. Хейла, а также циклы работ С.Н. Шиманова и A.M. Зверкина. Наиболее полная библиография (415 наименований) содержится в работе Н.В. Азбелева и Ü.M. Симонова

Доказательство фундаментальных теорем и разработка новых методов в теории устойчивости ФДУ всегда шла параллельно с получением эффективных признаков устойчивости для конкретных классов ФДУ. Наиболее интересны результаты, дающие возможно более точное описание области устойчивости, и многие авторы направляли свои усилия па получение именно таких признаков: A.A. Андронов, П.С. Громова, С.А. Гу-саренко, Ю.Ф. Долгий, A.M. Зверкин, А.И. Кирьянен, М.М. Кипнис,

B.В. Малыгина, Ю.М. Репин, З.И. Рехлицкий, С.Н. Шиманов, Т. Amemiya, L. Berezansky, Е. Braverman, Т. Burton, I. Györi, N. Hayes, Т. Krisztin, G. Ladas, E. Liz, X. Tang, T. Yoneyama и др.

Первые признаки устойчивости решений ФДУ были получены для уравнений с сосредоточенным запаздыванием, и в дальнейшем именно этим уравнениям посвящалось большинство исследований.

1Азбелеа Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. — Пермь: Изд-во Пермск. ун-та, 2001. — 230 с.

Уравнения с распределённым запаздыванием (для них также используются названия интегро-дифференциальные уравнения, уравнения с запаздывающим усреднением) исследованы гораздо меньше. Как правило, результаты для таких уравнений получают как следствия из теорем для уравнений общего вида. Полученные таким образом признаки устойчивости, как правило, далеки от точных. Исключение составляют работы М.М. Кипниса и М.Ю. Вагиной2'3; М. Funacubo, Т. Нага, S. Sakata4; S. Wu, S. Gan5; J.C.F. de Oliveira, L.A.V. Carvalho6, в которых целенаправленно изучались уравнения с распределённым запаздыванием и были установлены первые критерии асимптотической устойчивости. Результаты этих исследований сразу выявили существенные отличия областей устойчивости уравнений с сосредоточенным и распределённым запаздыванием; это указывает на необходимость продолжать изучать уравнения с распределённым запаздыванием как самостоятельный объект.

Рост количества работ, посвящённых эффективным признакам устойчивости ФДУ, в значительной степени определяется тем, что они приобретают всё большее прикладное значение. Наиболее интенсивно развивающейся областью приложений признаков устойчивости уравнений изучаемых нами классов является математическая биология, и особенно исследования динамики популяций.

Отметим, что первые математические модели динамики популяций были относительно простыми и отражали только наиболее грубые биологические законы. По мере того как исследователи стремились изучать модели, отражающие свойства системы всё более точно, модели усложнялись. В частности, гипотеза о том, что скорость роста популяции зависит от численности популяции в тот же момент времени, стала заменяться более гибкой: скорость изменения объекта зависит не только от его состояния в данный момент времени, но и от состояний в некоторые предыдущие моменты времени. Такое предположение привело к новым классам моделей: наряду с ОДУ стали использоваться уравнения с отклоняющимся аргументом, интегро-дифференциальные уравнения и другие виды ФДУ. Учёт запаздывания позволил описывать динамику популяций более глубоко и полно: вслед за известной моделью Хатчинсона (1948 г.) появились моде-

2Вагина М.Ю. Логистическая модель с запаздывающим усреднением // Автоматика и телемеханика. 20Ü3. №4. С. 167-173.

3Кипнис М.М., Вагина М.Ю. Устойчивость нулевого решения дифференциального уравнения с запаздываниями, Мат. заметки. 2003. Т. 74. Вып. 5. С. 786-789.

4Funacubo М., Нага Т., Sakata S. On the uniform asymptotic stability for a linear integro-differential equation of Volterra type // J. Math. Anal. Appl. 2006. V.324. pp. 1036-1049.

5Wu S., Gan S. Analytical and numerical stability of neutral delay integro-differential equations and neutral delay partial differential equations // Computers and Mathematics with Applications. 2008. № 56. pp.2426-2443.

6J.C.F. de Oliveira, L.A.V. Carvalho. A Lyapunov functional for a retarded differential equation // SIAM. J. Math. Anal. 1985. № 16. pp. 1295-1305.

ли Ласоты-Важевски (1976 г.), Мэкки-Гласса (1977 г.), Николсона (1980— 1983 гг.). Модель Хатчинсона описывает динамику популяции в условиях ограниченности ресурсов, модель Николсона — популяцию лабораторных мух, модели Ласоты-Важевски и Мэкки-Гласса — процессы кроветворения. Несмотря на то, что динамика популяции и кроветворение — это разные процессы, модели оказались сходными.

Развитие этой идеи привело к возникновению моделей, в которых последействие учитывается более тонко. Например, запаздывание не всегда разумно считать сосредоточенным: даже когда сосредоточенное запаздывание достаточно хорошо описывает моделируемый процесс, на самом деле имеет место некоторое «размытие» запаздывания вблизи среднего значения. На сегодня количество работ, в которых исследуется устойчивость биологических моделей, использующих уравнения с сосредоточенным запаздыванием, стало настолько большим, что требуются обзорные статьи, в которых результаты систематизируются и упорядочиваются. Модели с распределённым запаздыванием признаются столь же содержательными, но на сегодняшний день они исследованы намного меньше7.

Таким образом, как с прикладной, так и с теоретической точки зрения изучение уравнения с распределённым запаздыванием оказывается актуальной задачей.

Цель работы — изучение асимптотических свойств решений дифференциальных уравнений с распределённым запаздыванием и получение для них признаков устойчивости и знакоопределённости. Такие признаки должны быть сформулированы количественно и быть эффективными, то есть явно указывать области изменения численных параметров уравнения, при которых решение обладает указанными свойствами.

Методика исследования. В работе используются как классические методы комплексного и вещественного анализа и теории дифференциальных уравнений, так и современные методы теории ФДУ. С помощью математического программного пакета Mathematica 7 компании Wolfram Research, Inc. проводились численные эксперименты и визуализация полученных результатов.

Научная новизна работы.

1. Получены новые необходимые и достаточные условия устойчивости и знакоопределённости решений линейного автономного дифференциального уравнения с распределённым запаздыванием, включающие в себя все предыдущие результаты такого рода из вышеназванных работ М.М. Кипниса и М.Ю. Вагиной; Funacubo М., Нага Т., Sakata S.; Wu S., Gan S.; J.С.F. de Oliveira, L.A.V. Carvalho как частные случаи.

2. Получены новые достаточные условия устойчивости и знакоопре-

7Вегегапзку L., Bmverman Е., Idels L. Nicholson's blowflies differential equations revisited: Main results and open problems // Appl. Math. Modelling. 2010. V.34. pp. 1405-1417.

делённости решений линейного неавтономного дифференциального уравнения с распределённым запаздыванием в виде областей на плоскости и в пространстве; показана точность их границ.

3. Для нелинейных ФДУ с распределённым запаздыванием, являющихся моделями динамики популяций (модели Хатчинсона и мух Никол-сона) и кроветворения (модели Ласоты-Важевски и Мэкки-Гласса), получены эффективные проверяемые условия, при которых соответственно численность популяции и численность кровяных клеток стабилизируется, приближаясь к равновесному состоянию. Теоретическая и практическая значимость. В процессе целенаправленного изучения свойств дифференциальных уравнений с распределённым запаздыванием было выявлено существенное отличие их областей устойчивости и знакоопределённости от соответствующих областей для дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием. Это прямо указывает на необходимость при учёте эффекта запаздывания разделять его дискретную и непрерывную составляющую. Вклад проведённых исследований в теорию ФДУ состоит в том, что они проясняют природу уравнений с распределённым запаздыванием и сокращают разрыв в степени изученности асимптотики разных видов ФДУ.

Практическая значимость исследований определяется возможностью применения полученных результатов при изучении природных и технических процессов. При этом все основные результаты диссертации приводятся в двух видах: в аналитической записи и в геометрической интерпретации, что существенно проясняет их смысл и упрощает практическое использование.

Проведённые исследования показали, что при моделировании динамики популяций и сходных с ней процессов уравнения с распределённым запаздыванием часто оказываются более тонким и точным инструментом, чем уравнения, изучавшиеся ранее. Результаты исследования существенно расширяют возможности применения теории ФДУ для изучения биологических процессов. Они могут быть применены также при изучении процессов в экономике, технике, иммунологии и в других областях, где для адекватного моделирования требуются дифференциальные уравнения с распределённым запаздыванием.

Достоверность результатов гарантируется строгостью доказательств. Области устойчивости и знакоопределённости решений, построенные компьютерными методами, полностью соответствуют аналитическим результатам.

Аппробация работы. Результаты исследований многократно докладывались и обсуждались на семинаре кафедры вычислительной математики и механики Пермского государственного технического университета, на Пермском городском семинаре по ФДУ (ноябрь 2008 г., март и октябрь 2009 г., май 2010 г.), на семинаре д.ф.-м.н., профессора М.М. Кипни-

са (ЧелГПУ, апрель 2009 г.), на семинаре в Институте механики сплошных сред УрО РАН (руководитель — академик РАН В.П. Матвеенко, декабрь, 2009 г.), а также на Всероссийской школе-конференции молодых учёных «Математическое моделирование в естественных науках» (2005, 2006 гг., Пермь), на научной конференции-семинаре «Теория управления и математическое моделирование» (2008 г., Ижевск), на шестой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (2009 г., Самара).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 14 работах, из них 4 статьи — в изданиях, включённых в перечень ВАК. Во всех работах, выполненных в соавторстве с научным руководителем, последнему принадлежит постановка задачи и общее руководство.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, приложения и списка литературы. Общий объём диссертации составляет 113 страниц, включая 18 рисунков. Библиографический список содержит 102 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актульность темы исследования, даётся описание предмета исследования и обзор литературы по теме диссертации, ставится задача исследования и анонсируются основные результаты работы.

В первой главе приводятся примеры уравнений с распределённым запаздыванием, используемые в качестве математических моделей, приводятся необходимые для исследования сведения из теории ФДУ, даётся описание основного объекта исследования и ставится задача устойчивости.

В § 1.1 приведены четыре уравнения с распределённым запаздыванием, используемые как математические модели биологических процессов.

Уравнение Хатчинсона, описывающее динамику популяции в условиях ограниченности ресурсов:

N{t) = r{t) (l - -i f T(' k(t,s)N{s)da]N(t), 0. \ ' л Jt-T(t)-h(t) /

Уравнение Нжолсона, описывающее популяцию лабораторных мух:

ft-тЦ)

N{t) = -5N{t) +р k{t, s)N{s)e~aN^ ds, t > 0. (1)

Jt-T(t)-h(t)

Уравнения, описывающие процесс кроветворения:

уравнение Ласоты-Важевски

N(t) = -nN(t) + р / k{t, s)e-lN{s) ds, t ^ 0,

Jt-T(t)-h(t)

и уравнение Мэкки-Гласса N{1) = -оЛГ(0 +- Г

Во всех уравнениях при £ < 0 начальное состояние системы предполагается известным.

В данном параграфе кратко излагается история возникновения и прослеживается эволюция указанных моделей.

Устойчивость этих нелинейных уравнений определяется устойчивостью их линейных приближений, которые принадлежат одному классу уравнений. Этот класс является основным объектом исследования.

В § 1.2 приводятся сведения из общей теории линейных ФДУ: условия однозначной разрешимости уравнения, интегральное представление решения, теоремы типа Боля-Перрона, теоремы о дифференциальном неравенстве, оценки решений.

В § 1.3 определён основной объект изучения — линейное дифференциальное уравнение с распределённым запаздыванием:

х{г) + а(4)х(4) + / к{г,8)х{в)й8 = /(<), í € (2)

Здесь к:Щ. К (С), т,Ь: К+ а: 4 К(С); функции к, г, к

измеримы по Лебегу; функции Щ, ■), а и / локально суммируемы; функция р{£) = + Ш^^И3 также локально суммируема. При отрицательных значениях аргумента функция х полагается равной нулю, начальные условия считаются включёнными в правую часть.

Решение уравнения (2) можно представить в виде:

х(г) = С{Ь, 0)а:(0) + Г С{1, а)/{а) йэ. (3)

Jo

Функция С называется функцией Коши, а сама формула (3) — формулой Коши.

Для линейных ФДУ все свойства решений можно формулировать как соответствующие свойства функции Коши. В частности, из представления (3) следует, что положительность функции Коши для однородного уравнения (2) означает знакоопределённость решения, для неоднородного — монотонность интегрального оператора. Свойство равномерной экспоненциальной устойчивости, которому уделяется основное внимание в диссертации, эквивалентно экспоненциальной оценке функции Коши.

Уравнение (2) называется равномерно экспоненциально устойчивым, если существуют такие М, 7 > 0, что при всех в) € Д справедлива

оценка

|C(i,s)| < Ме-^-^. (4)

В дальнейшем для краткости равномерная экспоненциальная устойчивость называется экспоненциальной устойчивостью.

Если положить h(t) = h — const, k(t,s) = ^ и перейти к пределу при h -» 0, то получается дифференциальное уравнение с сосредоточенным запаздыванием

x(t) + a(t)x(t) +p{t)x(t - т(<)) = /(i). (5)

Это уравнение часто используется в диссертации для сравнения полученных результатов с уже известными.

Вторая глава посвящена исследованию экспоненциальной устойчивости и положительности функции Коши автономного уравнения (2).

В § 2.1 рассматривается частный случай уравнения (2), в котором коэффициенты и запаздывание постоянны:

x{t) + ax(t)+k [ x(s) ds = f(t), t € R+. (6)

Jt-T-h

Предполагается, что а, к € R (С), r,h 6 R+.

Уравнение (6) интересно в прикладном отношении: существуют модели, в которых коэффициенты и запаздывания постоянны. С теоретической точки зрения это уравнение важно прежде всего потому, что для него удаётся получить необходимые и достаточные условия выполнения оценки (4) и положительности функции Коши.

Применением к уравнению (6) преобразования Лапласа задача устойчивости сводится к исследованию расположения относительно мнимой оси нулей характеристического квазиполинома.

В § 2.2 исследуется экспоненциальная устойчивость уравнения (6).

Пусть а = а + i/З, к = Множество параметров уравнения (6), при которых нули квазиполинома лежат на мнимой оси, можно интерпретировать как множество точек на поверхности

Г =

оЛ = sin6»cos (ф — 9 (2^ + l)) 0h = -2в-а£ sin в sin (ф-в (2\ + l))

Поверхность Г содержит 5 независимых параметров и имеет довольно сложную структуру. Для того чтобы найти и описать ту часть Г, которая ограничивает область устойчивости, в работе используются методы компьютерной графики. Сначала были изучены частные случаи поверхности Г, для которых возможно построение области устойчивости в трёхмерном пространстве.

Теорема 1. Пусть а = 0. Функция Коши уравнения (6) имеет оценку (4) тогда и только тогда, когда для коэффициента к = (к, ф € К) выполнены неравенства:

тг . тг п к/г2 /тт/2 _ 2 / . тг/2- ¡^[у1

~2 < 2 и °<^<{ТТ2ф) ГТТ2ф) '

Область устойчивости в системе координат {1т/с/г2,Т1е/с/г2,т//1} изображена на рис. 1.

Введём в системе координат Оиуъи поверхность

{и= -тв-2в2^в, у= -гу^ + 2<92, и)>-2}, А €(-60,0,,),

где в0 — наименьший положительный корень уравнения и> = — 26* 6*. Эта поверхность ограничивает «криволинейный конус» Г> (см. рис. 2).

Рис. 1.

Рис. 2.

Теорема 2. Пусть а £ М, к € С, т/к = 0. Функция Коши уравнения (6) имеет оценку (4) тогда и только тогда, когда точка (1ш А;/г2, Ие /с/г2, а/г) принадлежит В.

Введём в системе координат Оиуги поверхность и — д(г>, го), заданную параметрически

(ц= ■ Т. а , У=-20<Лъвю\, в е (О,-). (7)

[ втЯвтоти ] V го/

Теорема 3. Пусть а, к € Ж, т/Ь, ^ 0. Функция Коши уравнения (6) имеет оценку (4) тогда и только тогда, когда —а/г < /с/г2 < д (а/г, 1 + 2т//г).

Область устойчивости изображена на рис. 3.

Объединяя результаты теорем 1 и 2, рассмотрим четырёхмерный случай: а 6 R, fc € С, т/h ^ 0. Меняя параметр т/h от 0 до +оо, получаем, что вершина конуса D перемещается по прямой от точки {-2,2,0} к точке {0,0,0}, а сам конус непрерывно деформируется, асимптотически приближаясь к прямому круговому конусу. Совокупность всех таких конусов можно рассматривать как область устойчивости в четырёхмерном пространстве {Im kh2,Rekh2, ah, т/h}. Другое представление об этой области можно получить, проследив за трансформацией поверхности, изображённой на рис. 1, при изменении параметра ah € Ж. При увеличении ah от 0 до 1-оо область устойчивости неограниченно растёт, становясь всё более объёмной; при уменьшении ah от 0 до -2 область уменьшается, превращаясь из неограниченной в ограниченную; при ah = —2 она сжимается в точку.

Наконец, поверхность Г удалось представить как множество трёхмерных «сечений» при двух фиксированных параметрах: ¡/с/г2) и т/h.

Полученный результат включает в себя все известные результаты: критерии асимптотической устойчивости из работ J.C.F. de Oliveira, L.A.V. Carvalho (а = 0, к G Ж, т = 0) и М.М. Кипниса и М.Ю. Вагиной (а = 0, к S К, т ^ 0) являются следствиями теоремы 1; критерий асимптотической устойчивости из работ S. Wu, S. Gan и М. Funacubo, Т. Нага, S. Sakata (а € Ж, к 6 К, г = 0) является следствием теорем 2 и 3. Для автономного уравнения вида (5) известные критерии З.И. Рехлицкого, A.A. Андронова-А.Т. Майера, А.И. Кирьянена получаются из теорем 2 и 3 как предельные частные случаи, если положить в них к = ^ и перейти к пределу при h 0.

В § 2.3 получен критерий положительности функции Коши уравнения (6) в естественном предположении а, к 6 Ж.

Рассмотрим в декартовой системой координат Ouvw поверхность u = lo(v,w), заданную параметрически:

:С + _ CfceC,

v =

еС(С(ч» +1) - 1) + (1 - Сш)

_С2е-^_

ef(C(w + l)-l) + (l-Cw)

с 6 Ж, w ^ 0. (8)

Теорема 4. Для того чтобы функция Коши уравнения (6) была положительной, необходимо и достаточно, чтобы аЬ < ш (кЬ2,т/К).

Область положительности функции Коши уравнения (6) в параметрах (кЬ2, г/Л, аК) изображена на рис. 4.

Для частного случая а = г = 0 в работе В.В. Малыгиной был получен критерий положительности функции Коши, который является следствием теоремы 4, Предельным переходом из теоремы 4 получаются два известных

Рис. 3.

Рис. 4.

критерия положительности функции Коши уравнения вида (5) из работ А.Д. Мышкиса и С.А. Гусаренко.

Третья глава посвящена исследованию экспоненциальной устойчивости и положительности функции Коши неавтономного уравнения (2). Поскольку в этом случае получение эффективно проверяемых необходимых и достаточных условий представляется невыполнимой задачей, для данной ситуации ставилась задача установления неулучшаемых достаточных признаков.

В § 3.1 найден достаточный признак знакоопределённости решений уравнения (2) при а = 0.

Теорема 5. Если а — 0, k(t,s) ^ 0, p(t) > 0 и

Г{ 1

vrai sup / p(s) ds <

i Jt-T(t)-h(t) e

(9)

то функция Коши уравнения (2) является положительной.

Построен пример, показывающий, что константа | в оценке (9) пеулу чшаема.

В § 3.2 исследуется знакоопределённость решений уравнения (2) общего вида.

Для уравнения (2) с ограниченными параметрами получен результат, аналогичный теореме 4.

Обозначим а — вир4 я(£), к = вир4, к(Ь, в), т = эир4 т{{), К = эирг К{р).

Теорема б. Если а{Ь) ^ 0, в) ^ 0 и ак ^ из [кИ2, г/Л.), то функция Коши уравнения (2) является положительной.

В § 3.1-§ 3.2 также установлен ряд асимптотических свойств решений уравнения (2), вытекающих из знакоопределённости: монотонность, ограниченность, существование предела на бесконечности.

В § 3.3 исследуется устойчивость уравнения (2) при а = 0. На основе известного признака устойчивости (обобщение «3/2-теоремы» А.Д. Мыш-киса), полученного в работе В.В. Малыгиной, установлен следующий результат.

Теорема 7. Пусть а = 0, &(£, з) > 0. Если

то найдутся такие М, 7 > 0, что для функции Коши уравнения (2) справедлива оценка |С(М)| < Л/е^'^К

Построен пример, показывающий, что константа | является точной на классе уравнений с распределённым запаздыванием.

В § 3.4 исследуются полуавтономные уравнения, то есть уравнения, для которых выполнены следующие условия:

Полуавтономные уравнения являются практически важным классом уравнений с распределённым запаздыванием: как показано в четвёртой главе, линейные приближения обобщённых уравнений Николсона, Ласоты-Важевски и Мэкки-Гласса оказываются полуавтономными.

Для исследования полуавтономных уравнений применён метод уравнений. По заданным параметрам а, к строится вспомогательное уравнение ^еэ^уравнение) ¿г(£) + аг/(<) + ку(1 — и) = 0 с начальным условием у(£) = 1 при £ ^ 0, свойства решения которого определяют свойства решений целого класса уравнений вида (2).

Теорема 8. Пусть а + к > 0, I — точка первого минимума решения 1ез1-уравнения. Тогда если у{1) > — 1, то полуавтономное уравнение (2) экспоненциально устойчиво при всех запаздываниях, удовлетворяющих условию Кт8ир4_)ОС1(т(^) + < и.

Вопрос об оценке первого минимума решения 1еБ(>уравнения был решён В.В.Малыгиной8 при исследовании уравнений с сосредоточенным запаздыванием. Посредством применения результатов этой работы в § 3.4 диссертации получены признаки устойчивости для уравнения (2) в виде

>Малыгина В.В. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений о последействием. // Изв. вузов. Математика. 1993. №5. С.72-85.

а(Ь) = а = сопй£,

/ = к.

¿-г( г)-л(г)

области на плоскости в координатах {ш, кш} и показана точность её границ.

В четвёртой главе исследуются нелинейные уравнения Хатчинсона, Ласоты-Важевски, Николсона и Мэкки-Гласса на основе их линейных приближений.

В § 4.1 исследуется уравнение Хатчинсона с распределённым запаздыванием, для которого получены признаки локальной асимптотической устойчивости решений и условий, когда решение имеет предел на бесконечности. В § 4.2 получены признаки локальной экспоненциальной устойчивости решений для уравнения Ласоты-Важевски с распределённым запаздыванием, в § 4.3 — для обобщённого уравнения Мэкки-Гласса, в § 4.4 — для уравнения Николсона с распределённым запаздыванием (1), которые приведём здесь в качестве иллюстрации.

Пусть параметры уравнения (1) подчинены следующим требованиям: Jt!]7(t)-fc(i) k(t> s)ds — с = const. Тогда это уравнение будет иметь положительную точку равновесия N* — Обозначим q = 5 (ln^ — l).

Следующие две теоремы дают признаки локальной экспоненциальной устойчивости решений уравнения (1).

Теорема 9. Пусть ср > 5 > 0, limsup^^rCi) + h(t)) = ш и выполнено неравенство e~6uJ > |In ffijffi. Тогда при достаточно малых ||<р - iV*||c решение уравнения (1) имеет предел, причём |iV(t) - JV*| ^ Ме~

Если линейное приближение уравнения Николсона является автономным, то предыдущую теорему можно уточнить.

Теорема 10. Пусть ср > 5 > 0, k(t,s) s к, r(t) = т, h(t) = h и —5h < qh2 < где функция g определена равенствами (7). Тогда

при достаточно малых — iV*||c решение уравнения (1) имеет предел, причём |N(t) - N*I < Me'?*.

Выполнение условий теоремы 10 соответствует попаданию в область, изображённую на рис. 3 (при 5 = a, q = к).

В конце § 4.4 проводится сравнение с известными результатами, из которого следует, что теоремы 9 и 10 существенно усиливают известные признаки асимптотической устойчивости решений уравнения Николсона, приведённые в упомянутой выше г.тятьр Т. Rerezansky, Е. Bravcrnnxn, L. Idels.

В заключении подводятся итоги исследования и перечисляются основные результаты диссертации.

Автор выражает благодарность научному руководителю Вере Владимировне Малыгиной за помощь, оказанную при работе над диссертацией, а также участникам Пермского семинара по ФДУ за интерес, проявленный к работе, и плодотворное обсуждение её результатов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах,

определённых ВАК

1. Сабатулина Т.Л., Малыгина В.В. Некоторые признаки устойчивости линейного автономного дифференциального уравнения с распределённым запаздыванием // Изв. вузов. Математика. 2007. №6. С.55-63.

2. Малыгина В.В., Сабатулина Т.Л. Знакоопределённость решений и устойчивость линейных дифференциальных уравнений с переменным распределённым запаздыванием // Изв. вузов. Математика. 2008. №8. С. 73-77.

3. Сабатулина Т.Л. О положительности функции Коши одного интегро-дифференциального уравнения // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2008. Выпуск 2. С. 122-123.

4. Сабатулина Т.Л. Признаки положительности функции Коши дифференциального уравнения с распределённым запаздыванием // Изв. вузов. Математика. 2010. №11. С. 50-62.

Другие публикации

5. Сабатулина Т.Л., Малыгина В.В. Об асимптотической устойчивости одного класса уравнений с распределённым запаздыванием. // Вестник ПГТУ, Прикладная математика и механика. 2004. №1. С. 112118.

6. Сабатулина Т.Л. Об устойчивости одного класса уравнений с распределённым запаздыванием // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2005. Выпуск 2. С. 110-113.

7. Сабатулина Т.Л., Малыгина В.В. Об асимптотической устойчивости одного класса систем дифференциальных уравнений с распределённым запаздыванием. // Вестник ПГТУ. Вычислительная математика. 2006. №4. С. 27-34.

8. Сабатулина Т.Л., Малыгина В.В. Об условиях положительности функции Коши дифференциального уравнения с распределённым запаздыванием // Вестник ПГТУ. Вычислительная механика. 2006. №5. С. 71-75.

9. Сабатулина T.J1. Решение уравнений динамики популяций с распределённым последействием // Математическое моделирование в естественных науках. Тез. докл. 15 Всеросс. конф. молодых учёных. Пермь: ПГТУ. 2006. С. 79.

10. Сабатулина Т.Л. Об устойчивости одного класса дифференциальных уравнений с переменным распределённым запаздыванием // Вестник ПГТУ. Вычислительная механика. 2007. №6. С. 99-106.

11. Сабатулина Т. Л. Признахи положительности функции Коши уравнения с распределённым запаздыванием // Вестник ПГТУ. Вычислительная механика. 2008. № 7. С. 140-149.

12. Сабатулина Т.Л. Об автономном дифференциальном уравнении с сосредоточенным и распределённым запаздываниями // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды шестой Всеросс. науч. конф. с международным участием. Ч.З: Дифференциальные уравнения и краевые задачи. Самара: СамГТУ. 2009. С. 192-194.

13. Сабатулина Т.Л. Об устойчивости обобщённого уравнения Хатчинсона с распределённым переменным запаздыванием // Вестник ПГТУ. Механика. 2009. № 1. С. 46-56.

14. Sabatulina T.L. On the positiveness of the Cauchy function of integro-differential equations with bounded aftereffect // Functional differential equations. 2008. Vol. 3-4. pp. 273-282.

Подписано в печать 18.01.2011. Формат 60x90/16. Усл. печ.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 511/2011

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии центра «Издательство ПГТУ» 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, к.113 Тел.(342)2198-033

Обозначения

Введение

Глава I. Объект исследования и постановка задачи

§ 1.1 Примеры биологических моделей и их эволюция.

§ 1.2 Линейное функционально-дифференциальное уравнение

§ 1.3 Линейное дифференциальное уравнение с распределённым запаздыванием и его свойства.

Глава II. Линейные автономные уравнения с распределённым запаздыванием

§ 2.1 Автономные уравнения и их свойства.

§ 2.2 Устойчивость линейных автономных дифференциальных уравнений с распределённым запаздыванием.

§ 2.3 Устойчивость линейных автономных дифференциальных уравнений с распределённым запаздыванием. Общий случай

§ 2.4 Положительность функции Коши.

Глава III. Линейные неавтономные уравнения с распределённым запаздыванием

§ 3.1 Положительность функции Коши уравнения (1.23).

§ 3.2 Положительность функции Коши уравнения (1.24).

§ 3.3 Устойчивость уравнения (1.23).

§ 3.4 Устойчивость полуавтономных уравнений.

Глава IV. Приложение к моделям

§4.1 Обобщённая модель Хатчинсона.

§ 4.2 Модели кроветворения

4.2.1 Обобщённая модель Ласоты-Важевски.

4.2.2 Обобщённая модель Мэкки-Гласса.

§ 4.3 Обобщённая модель мясных мух Николсона.

Актуальность темы исследования. Теория функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ), начало которой было положено в 50-х годах прошлого века работами А.Д. Мышкиса [30] и H.H. Красовского [21], за последние 50 лет оформилась в самостоятельный, интенсивно развивающийся раздел теории дифференциальных уравнений. Ее основы излагаются, например, в монографиях Э. Пинни [33]; Р. Беллма-на и К. Кука [6]; Л.Э. Эльсгольца и С.Б. Норкина [61]; А.Д. Мышкиса [31]; Дж. Хейла [53]; Н.В. Азбелева, В.П. Максимова и Л.Ф. Рахматуллиной [1]; В.Г. Пименова и A.B. Кима [34]; циклах работ С.Н. Шиманова [55-59] и A.M. Зверкина [9,14-16]. Если дифференциальное уравнение изучается на бесконечном промежутке, то для него определяющую роль играют вопросы устойчивости, и здесь функционально-дифференциальные уравнения не составляют исключения. На них легко были перенесены классические понятия устойчивости, введённые A.M. Ляпуновым для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Для исследования устойчивости решений ФДУ наряду с модификациями классических методов (метод D-разбиений, принцип аргумента, критерии Понтрягина, Эрмита-Билера, Чеботарёва-Меймана), возникли новые методы (метод функционалов Красовского, теоремы Разумихина, W-метод Азбелева). Вопросы устойчивости ФДУ изучались в десятках монографий и сотнях статей; отметим лишь несколько монографий, либо полностью, либо в значительной своей части посвященных вопросам устойчивости ФДУ: [79], [6], [3], [53], [17], [21], [75], [31], [36], [35], [52]. Наиболее полная библиография (415 наименований) содержится в монографии Н.В. Азбелева и П.М. Симонова [3].

Доказательство фундаментальных теорем и разработка новых методов в теории устойчивости ФДУ всегда шла параллельно с получением эффективных признаков устойчивости для конкретных классов ФДУ. Особый интерес вызывали результаты, дающие возможно более точное описание области устойчивости, и многие авторы направляли свои усилия на получение именно таких признаков: A.A. Андронов [4], П.С. Громовой [9], С.А. Гусарепко [10], Ю.Ф. Долгий [12,13], A.M. Зверкин [15], А.И. Кирья-нен [19], М.М. Кипнис [18,83], В.В. Малыгина [25,26], Ю.М. Репин [38], З.И. Рехлицкий [37], С.Н. Шиманов [55-59], Т. Amemiya [63], L. Berezansky и Е. Braverman [64,67], Т. Burton [71,72], I. Györi [77,78], N. Hayes [80], Т. Krisztin [84], G. Ladas [86], E. Liz [85], X. Tang [96], T. Yoneyama [101], J.A. Yorke [102] и др.

Первые признаки устойчивости решений ФДУ были получены для уравнений с сосредоточенным запаздыванием, да и в дальнейшем этим уравнениям посвящалось большинство исследований. Уравнения с распределенным запаздыванием (в других терминах — интегро-дифференциальные уравнения, уравнения с запаздывающим усреднением) исследованы гораздо меньше. Как правило, результаты для таких уравнений получают как следствия из теорем для уравнений общего вида, потому эти признаки часто далеки от точных. Исключение составляют работы, в которых целенаправленно изучались ФДУ с распределенным запаздыванием; они появились относительно недавно, и их немного. Это работы S. Wu, S. Gan [100] и М. Funacubo, Т. Нага, S. Sakata [74], в которых для вещественных а и к получен критерий асимптотической устойчивости уравнения x(t) + ax(t) + к / x(s) ds — 0,

Jt-h а также работы М.М. Кипниса и М.Ю. Вагиной [7,18], в которых (для вещественного к) был найден критерий асимпототической устойчивости уравнения к Г x(t) — — — / x(s)ds. h Jt-t-h

Для частного случая этого уравнения (при г = 0) критерий асимптотической устойчивости был установлен в работе J.C.F. de Oliveira, L.A.V. Carvalho [93].

Результаты этих исследований сразу обращают внимание на существенные отличия областей устойчивости уравнений с сосредоточенным и распределённым запаздыванием; это указывает на необходимость продолжать изучать уравнения с распределённым запаздыванием как самостоятельный объект.

Математические модели в биологии. Одна из причин быстрого развития теории ФДУ — то, что эти уравнения с самых первых работ связывались с прикладными задачами. В частности, математическая биология, в особенности исследования динамики популяций, была и остается как источником новых задач, так и объектом приложения новых результатов. При этом особое внимание всегда уделялось задачам, требующим прогнозировать развитие популяции на достаточном большом временном промежутке.

Если биологическая система существует в неизменном виде достаточно долгое время, то она обладает способностью противостоять возмущениям со стороны окружающей среды. Эту способность системы естественно назвать устойчивостью. Описать границы области устойчивости — значит указать те условия существования системы, выход за которые может привести к её разрушению. Чтобы их описание было содержательным, оно должно быть количественным, то есть математическим.

Кроме того, изучение многих биологических процессов в принципе невозможно иными методами, кроме построения адекватной математической модели: в живой природе опасны эксперименты с необратимыми (или непредсказуемыми) последствиями, а наблюдение за развитием живых организмов на небольшом промежутке времени не всегда даёт основания для надёжной экстраполяции.

Для математического моделирования динамически развивающихся систем используется производная (имеющая значение скорости изменения изучаемого объекта), а значит, дифференциальные уравнения и системы. Довольно долго исследователи динамики популяций ограничивались моделями, представляющими собой обыкновенные дифференциальные уравнения. Такие модели характеризуются предположением, что скорость изменения изучаемого объекта (численности популяции) в любой момент времени зависит только от состояния объекта в тот же момент времени. Однако желание описать процесс точнее привело к тому, что эта гипотеза стала заменяться более гибкой: скорость изменения объекта зависит не только от его состояния в данный момент времени, но и от «предыстории», то есть от состояний в некоторые предыдущие моменты времени.

Одна из самых известных биологических моделей, в которой учитывается эффект запаздывания по времени — уравнение Хатчинсона [82,99], описывающее динамику популяций при условии ограниченности ресурсов: где АГ(^) — величина популяции в момент времени К — максимальное число особей, способных прокормиться при заданном количестве пищи, г — коэффициент прироста популяции, к — запаздывание по времени. Наличие запаздывания 1г > 0 привело к появлению немонотонных решений, оцилля-ции решения около положения равновесия, существованию точек бифуркации и периодических режимов. Всё это богатство свойств решений, каждое из которых легко интерпретировать как некоторое свойство популяции, показывает, что уравнение Хатчинсона является более адекватной моделью, чем логистическое уравнение, которое соответствует случаю /1 = 0.

Учёт запаздывания позволил описывать динамику популяций более глубоко и полно: вслед за моделью Хатчинсона (1948 г.) появились модель Ласоты-Важевски (1976 г.), модель Мэкки-Гласса (1977 г.), модель Никол-сона (1980-1983 гг.). Модель Николсона описывает динамику популяции лабораторных мух, модели Ласоты-Важевски и Мэкки-Гласса — процессы кроветворения. Несмотря на то, что динамика популяции и кроветворение — это разные процессы, модели оказались сходными.

Устойчивость численности популяции, то есть способность популяции возвращаться к равновесному состоянию, математически описывается как устойчивость решений выбранного в качестве модели уравнения. Математические определения устойчивости даются в рамках теории дифференциальных уравнений соответствующего класса. Все перечисленные модели динамики популяций являются нелинейными функционально-дифференциальными уравнениями. Исследование асимптотических свойств их решений в большинстве случаев проводится по следующей схеме: изучаются свойства линейного приближения (как можно точнее) и на их основе делаются выводы о поведении решения нелинейного уравнения. Если исходная модель учитывала эффект последействия, то его линейное приближение попадает в класс линейных функционально-дифференциальных уравнений. Поэтому с прикладной точки зрения наиболее интересными являются результаты, дающие эффективное (и возможно более точное) описание области устойчивости конкретных классов таких уравнений.

Развитие идеи запаздывания привело к возникновению моделей, в которых последействие учитывается более тонко: вместо одного запаздывания появилось несколько, запаздывание и коэффициенты начали зависеть от времени, наконец, наряду с сосредоточенным стали рассматривать распределённое запаздывание.

Интересно отметить, что первая модель динамики популяции, в которой учитывался эффект последействия, была как раз уравнением с распределённым запаздыванием: В. Вольтерра в работах 1926-28 годов рассматривал интегро-дифференциальное уравнение [97] m = Ht) (l - ^jïï I jT fit - s)N(s) ds^j N(t), t > 0, (0.1) моделирующее влияние на смертность ухудшения условий окружающей среды, вызванного накоплением отходов и умерших организмов. Вводя в логистическое уравнение интегральное слагаемое, Вольтерра стремился учесть всю историю процесса от начального момента до текущего. К сожалению, эти работы не были замечены и оценены другими исследователями и потому не оказали существенного влияния на развитие теории таких уравнений. Однако на фоне успешного использования моделей с запаздыванием (поначалу только сосредоточенным и даже постоянным) идея распределённого запаздывания не могла не возникнуть снова. Очевидно, что есть ситуации, где введение сосредоточенного запаздывания не имеет смысла (как в приведённой выше модели Вольтерра — загрязнение окружающей среды, носит, очевидно, кумулятивный характер). Однако даже когда сосредоточенное запаздывание достаточно хорошо описывает моделируемый процесс, на самом деле имеет место некоторое «размытие» запаздывания вблизи некоторого среднего значения. В этом случае использование распределённого запаздывания позволяет учитывать вероятностные эффекты в моделях, которые в противном случае были бы детерминированными. Единственное (но существенное) отличие современных моделей с распределённым запаздыванием от модели Вольтерра состоит в том, что длина промежутка интегрирования, как правило, предполагается ограниченной — учитывать всю историю процесса «от начала времён» вряд ли необходимо. Например, уравнение Хатчинсона с распределённым запаздыванием, которое является обобщением уравнения (0.1), выглядит так:

N(t) = r(t) (l - 1 jT J N(s) ds^j N{t), t ^ 0.

На сегодня количество работ, в которых исследуется устойчивость биологических моделей, использующих уравнения с сосредоточенным запаздыванием, стало настолько большим, что требуются обзорные статьи, в которых результаты систематизируются и упорядочиваются (см. например, недавний обзор [70] об уравнении Николсона). С другой стороны, модели с распределённым запаздыванием признаются столь же содержательными, но оказывается, что для них признаков устойчивости мало, а те, что получаются как следствие из теорем общего вида — далеки от точных.

Таким образом, как с теоретической, так и с прикладной точки зрения изучение уравнения с распределённым запаздыванием оказывается актуальной задачей.

Основной объект изучения — линейное дифференциальное уравнение с распределённым запаздыванием: rt-r(t) x(t) + a(t)x(t) + / k(t, s)x(s) ds = f(t), t <E R+. (0.2)

J t—r(t)—h(t)

Наибольшее внимание в работе уделяется интегральному слагаемому, которое является определяющим при изучении асимптотических свойств решения. Добавление слагаемого a{t)x(t) продиктовано желанием применить полученные для линейного уравнения результаты к исследованию биологических моделей, в которых это слагаемое обоснованно присутствует.

Цели и задачи исследования. Цель настоящей диссертации — изучение асимптотических свойств решений линейных дифференциальных уравнений (0.2), при этом основное внимание уделяется признакам устойчивости и знакоопределенности.

Такие признаки должны быть:

- эффективными, то есть давать результат в терминах параметров исходного уравнения;

- точными, то есть должна быть показана либо необходимость, либо существенность всех предположений;

- наглядными, то есть представленными в виде области на плоскости или в пространстве параметров уравнения.

В качестве реализации полученных результатов ставится задача описания свойств биологических моделей, которые обеспечивают устойчивость численности биологического сообщества (для уравнений динамики популяций Хатчинсона и Николсона) или численность эритроцитов (в моделях кроветворения Мэкки-Гласса и Ласоты-Важевски).

Теоретические основы и методы исследования. Методы современной теории ФДУ предполагают применение, с одной стороны, методов классических комплексного и вещественного анализа, с другой стороны, специфических методов, разработанных за полвека развития теории ФДУ. В вопросах теории ФДУ мы в основном опираемся на результаты и следуем традициям научной школы проф. Н.В. Азбелева.

Не менее важным основанием проведённых исследований послужили стремительно развивающиеся возможности программного обеспечения. С помощью программного пакета Mathematica 7 компании Wolfram Research, Inc. признаки устойчивости и положительности решений исследуемых моделей удалось представить в наглядном и удобном для практического использования виде.

Научная новизна и практическая значимость результатов. Основными результатами диссертации являются следующие. Впервые получены необходимые и достаточные условия устойчивости и положительности решений автономного уравнения (0.2), которые включают все предыдущие результаты такого рода как частные случаи (см. работы М.М. Кип-ниса и М.Ю. Вагиной [7,18]; М. Funacubo, Т. Нага, S. Sakata [74]; S. Wu, S. Gan [100]; J.C.F. de Oliveira, L.A.V. Carvalho [93]). Получены точные достаточные условия устойчивости и положительности решений неавтономного уравнения (0.2). Удалось получить наглядную геометрическую интерпретацию результатов, прргчём даже в случаях четырёх- и пятимерного пространств параметров. Для нелинейных ФДУ с распределённым запаздыванием, являющихся моделями динамики популяций (Хатчинсона, мух Николсона) и кроветворения (Ласоты-Важевски, Мэкки-Гласса), получены эффективные проверяемые условия, при которых численность популяции (численность кровяных клеток) стабилизируется, приближаясь к равновесному состоянию.

Представление в пригодном для непосредственного практического использования виде полагалось в работе не менее важным, чем аналитическое описание. С этой целью каждый существенный результат диссертации приводится в двух видах: в аналитической записи и в геометрической интерпретации.

Проведённые в работе исследования показали, что уравнения с распределённым запаздыванием часто оказываются более тонким и точным инструментом при моделировании динамики популяций и сходных с ней процессов. Это определяет практическую значимость результатов данной работы, которые существенно расширяют наши возможности при выборе биологических моделей и изучении их свойств.

Результаты работы можно использовать также при исследовании моделей, возникающих в экономике, технике, иммунологии и других моделей, для описания которых требуются дифференциальные уравнения с распределенным запаздыванием.

Структура и основные результаты работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Общий объём диссертации составляет 113 страниц, включая 18 рисунков. Библиографический список содержит 102 наименования.

Основные результаты работы:

1. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости и знакоопределенности решений линейного автономного дифференциального уравнения с распределённым запаздыванием, включающие в себя все предыдущие результаты такого рода как частные случаи.

2. Получены достаточные условия устойчивости и знакоопределенности решений линейного неавтономного дифференциального уравнения с распределённым запаздыванием, а также показана их точность.

3. С помощью математического программного пакета Mathematica 7 компании Wolfram Research, Inc. указанные признаки удалось представить в наглядном и удобном для практического применения виде.

4. Для нелинейных ФДУ с распределённым запаздыванием, являющихся моделями динамики популяций и кроветворения получены эффективные проверяемые условия, при которых численность популяции (численность кровяных клеток) стабилизируется, приближаясь к равновесному состоянию.

Заключение

Целенаправленное изучение дифференциальных уравнений с распределённым запаздыванием позволило найти для них области устойчивости и знакоопределенности. Существенное отличие их от соответствующих результатов для дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием прямо указывает на необходимость при учете эффекта запаздывания разделять его дискретную и непрерывную составляющую. Проведённые в работе исследования показали, что уравнения с распределённым запаздыванием оказываются тонким и точным инструментом при моделировании динамики популяций и сходных с ней процессов, расширив тем самым наши возможности при выборе биологических моделей и изучении их свойств.

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

2. Азбелев Н.В., Малыгина В.В. Об устойчивости тривиального решения нелинейных уравнений с последействием // Известия вузов. Математика. 1994. № 6. С. 20-27.

3. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь: Изд-во Пермск. ун-та, 2001. 230 с.

4. Андронов A.A., Майер А.Т. Простейшие линейные системы с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1946. Т. 7. № 2, 3. С. 95-106.

5. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000. 368 с.

6. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.

7. Вагина М.Ю. Логистическая модель с запаздывающим усреднением // Автоматика и телемеханика. 2003. № 4. С. 167-173.

8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 552 с.

9. Громова П.С., Зверкин A.M. О тригонометрических рядах, суммой которых является непрерывная и неограниченная на числовой оси функция-решение уравнения с отклоняюпщмея аргументом / / Дифферент уравнения. 1968. Т. 4, № 10. С. 1774-1784.

10. Гусаренко С.А., Домошницкий А.И. Об асимптотических и осцил-ляционных свойствах линейных скалярных функционально-дифференциальных уравнений первого порядка // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25. № 12. С. 2090-2103.

11. Гусарепко С.А., Жуковский Е.С., Максимов В.П. К теории функционально-дифференциальных уравнений с локально вольтерровыми операторами // ДАН СССР. 1986. Т. 287. №2. С. 268-272.

12. Долгий Ю.Ф. Устойчивость периодических дифференциально-разностных уравнений. Екатеринбург: УрГУ, 1996. 84 с.

13. Долгий Ю.Ф. Использование самосопряженных краевых задач при исследовании устойчивости периодических систем с запаздыванием // Труды ИММ УрО РАН. 2006. Т. 12. № 2. С. 78-87.

14. Зверкин A.M. Исследование линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Научн. докл. высшей школы. Физ.-матем. науки. 1959. №1. С. 30-37.

15. Зверкин A.M. К теории дифференциально-разностных уравнений с запаздываниями, соизмеримыми с периодом коэффициентов // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 9. С. 1481-1492.

16. Зверкин A.M. К теории линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и периодическими коэффициентами // Докл. АН СССР. 1959. Т. 128. № 5. С. 882-885.

17. Колмановский В.В., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. 448 с.

18. Кипнис М.М., Вагина М.Ю. Устойчивость нулевого решения дифференциального уравнения с запаздываниями // Мат. заметки. 2003. Т. 74. Вып. 5. С. 786-789.

19. Киръянен А.И. Устойчивость систем с последействием и их приложения. СПб.: Издательство Санкт-Петербургск. ун-та, 1994. 240 с.

20. Коплатадзе P.P., Чантурия Т.А. О колеблющихся и монотонных решениях дифференциального уравнения первого порядка с отклоняющимся аргументом // Дифференц. уравнения. 1982. № 8. С. 1463-1465.

21. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 212 с.

22. Лаврентьев М.А., Шабат В.В. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.

23. Максимов В. П. Вопросы общей теории функционально-дифференциальных уравнений. Избранные труды. Пермь: ПГУ, ПСИ, ПССГК, 2003. 306 с.

24. Малыгина В. В. О положительности функции Коши линейного уравнения с распределённым запаздыванием // Вестник ПГТУ. 2006. № 2. С. 80-84.

25. Малыгина В. В. Некоторые признаки устойчивости функционально-дифференциальных уравнений, разрешённых относительно производной // Изв. вузов. Математика. 1992. №7. С. 46-53.

26. Малыгина В. В. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с последействием // Изв. вузов. Математика. 1993. № 5. С. 72-85.

27. Малыгина В.В., Куликов А.Ю., Чудинов K.M. Неулучшаемые достаточные условия устойчивости скалярных уравнений с несколькими запаздываниями // Вычислительная механика. 2008. №7. С. 106-119.

28. Малыгина В.В., Сабатулина Т.Д. Знакоопределённость решений и устойчивость линейных дифференциальных уравнений с переменным распределённым запаздыванием // Изв. вузов. Математика. 2008. № 8. С. 73-77.

29. Мартынюк A.A., Гутовски Р. Интегральные неравенства и устойчивость движения. Киев: Наукова думка, 1979. 272 с.

30. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.-Л.: Гостехиздат, 1951. 256 с.

31. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. 352 с.

32. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480 с.

33. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: ИЛ, 1961. 248 с.

34. Пименов В.Г., Ким A.B. г-гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. 256 с.

35. Разумихин B.C. Устойчивость эредитарных систем. М.: Наука, 1986. 109 с.

36. Резван В. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием. М.: Наука, 1983. 360 с.

37. Рехлицкий З.И. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом в банаховом пространстве // ДАН СССР. 1956. Т. 111. № 1. С. 29-32.

38. Репин Ю.М. Об условиях устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений при любых запаздываниях // Учён. зап. Урал, ун-та. Свердловск, 1960. Вып. 23. С. 34-42.

39. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 360 с.

40. Сабатулина Т.Д. Об устойчивости одного класса уравнений с распределённым запаздыванием // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2005. Выпуск 2. С. 110-113.

41. Сабатулина Т.Д. Решение уравнений динамики популяций с распределённым последействием // Математическое моделирование в естественных науках. Тез. докл. 15 Всеросс. конф. молодых учёных. Пермь: ПГТУ. 2006. С. 79.

42. Сабатулина Т.Д. Об устойчивости одного класса дифференциальных уравнений с переменным распределённым запаздыванием // Вестник ПГТУ. Вычислительная механика. 2007. № 6. С. 99-106.

43. Сабатулина Т. Л. О положительности функции Коши одного интегро-дифференциального уравнения // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2008. Выпуск 2. С.122-123.

44. Сабатулина Т.Л. Признаки положительности функции Коши уравнения с распределённым запаздыванием // Вестник ПГТУ. Вычислительная механика. 2008. № 7. С. 140-149.

45. Сабатулина Т.Л. Об устойчивости обобщённого уравнения Хатчинсона с распределённым переменным запаздыванием // Вестник ПГТУ. Механика. 2009. № 1. С. 46-56.

46. Сабатулина Т.Л. Признаки положительности функции Коши дифференциального уравнения с распределённым запаздыванием // Изв. вузов. Математика. 2010. №11. С. 50-62.

47. Сабатулина Т.Л., Малыгина В.В. Об асимптотической устойчивости одного класса уравнений с распределённым запаздыванием // Вестник ПГТУ, Прикладная математика и механика, 2004. № 1. С. 112-118.

48. Сабатулина Т.Л., Малыгина В.В. Об асимптотической устойчивости одного класса систем дифференциальных уравнений с распределённым запаздыванием // Вестник ПГТУ, Прикладная математика и механика, 2006. №4. С. 27-34.

49. Сабатулина Т.Л., Малыгина В.В. Об условиях положительности функции Коши дифференциального уравнения с распределённым запаздыванием // Вычислительная механика. 2006. №5. С. 71-75.

50. Сабатулина Т.Л., Малыгина В.В. Некоторые признаки устойчивости линейного автономного дифференциального уравнения с распределённым запаздыванием // Изв. вузов. Математика. 2007. № 6. С. 5563.

51. Тышкевич В. А. Некоторые вопросы теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений. Киев: Наукова думка, 1981. 80 с.

52. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 424 с.

53. Хэссард В., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир, 1985. 280 с.

54. Шиманов С.Н. К теории колебаний квазилинейных систем с запаздыванием // Прикладн. математика и механика. 1959. Т. 23. Вып. 5. С. 836-844.

55. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием времени // Прикладн. математика и механика. 1963. Т. 27. Вып. 3. С. 450-458.

56. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с последействием // Дифференц. уравнения. 1965. Т. 1. № 1. С. 102-116.

57. Шиманов С.Н. О неустойчивости движения системы с запаздыванием по времени // Прикладн. математика и механика. 1960. Т. 24. Вып. 1. С. 55-63.

58. Шиманов С.Н. Об устойчивости в критическом случае одного нулевого корня для систем с последействием // Прикладн. математика и механика. 1960. Т. 24. Вып. 3. С. 447-457.

59. Щеглов В.А. Устойчивость линейного дифференциального уравнения с распределённым запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32. № 12. С. 1665-1669.

60. Элъсголъц Н.Э., Норкин C.B. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.

61. Agarwal R. P., Domoshnitsky A. Nonoscillation of the first order differential equations with unbounded memory for stabilization by control signal // Appl. Math. Computat. 2006. Vol. 173. № 1. P. 177-195.

62. Amemiya T. On the Delay-Independent Stability of Delayed Differential Equations of the 1st Order // J. Math. Anal. Appl. 1989. V. 142. №1. P. 13-25.

63. Berezansky l, Braverman E. On stability of some linear and nonlinear delay differential equations// J. Math. Anal. Appl. 2006. V.314. №2. P. 391-411.

64. Berezansky L., Braverman E. On non-oscillation of a scalar delay differential equation // Dynam. Systems Appl. 1997. V. 6. P. 567-580.

65. Berezansky L., Braverman E. On oscillation of equations with distributed delay // Z. Anal. Anwendungen. 2001. V.20. №2. P. 567-580.

66. Berezansky L., Braverman E. On exponential stability of linear differential equations with several delays //J. Math. Anal. Appl. 2006. V. 324. P. 1336-1355.

67. Berezansky L., Braverman E. Linearized oscillation theory for nonlinear equation with a distributed delay // Appl. Math, and Comp. Model. 2008. V. 48. P. 287-304.

68. Berezansky L., Braverman E.} Domoshnitsky A. First order functional differential equations: nonoscillation and positivity of Green's functions // Functional different, equat. 2008. № 1-2. P. 57-94.

69. Berezansky L., Braverman E., Idels L. Nicholson's blowflies differential equations revisited: Main results and open problems // Appl. Math. Model. 2010. V. 34. №6. P. 1405-1417.

70. Burton T.A. Liapunov's direct method for delay equations // Proc. 11th Internat. Conf. nonlinear oscillations. Budapest, 1987. P. 26-33.

71. Burton T.A., Hatvani L. On nonuniform asymptotic stability for non-autonomous functional differential equations // Differential and Integral Equations. 1990. V. 3. P. 285-293.

72. Erbe L. H., Kong Q., Zhang B. Oscillation theory for functional differential equations. New York: Marcel Dekker, 1995.

73. Funacubo M., Hara T., Sakata S. On the uniform asymptotic stability for a linear integro-differential equation of Volterra type //J. Math. Anal. Appl. 2006. № 324. P. 1036-1049.

74. Gopalsamy K. Stability and oscillations in delay differential equations of population dynamics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1992.

75. Gurney W. S. C., Blythe S. P., Nisbet R. M. Nicholson's blowflies revisited 11 Nature. 1980. №287. P. 17-21.

76. Gyori I., Ladas G. Oscillation theory of delay differential equations with applications. New York: Clearendon Press, Oxford University Press, 1991.

77. Gyori Hartung F. Stability in delay perturbed differential and difference equations // Fields Istitute Communications. 2001. V. 29. P. 181-194.

78. Halanay A. Differential equations: stability, oscillations, time lags. New York: Academic Press, 1966.

79. Hayes N.D. Roots of the transcendental equation associated with acertial differential-difference equation //J. London Math. Soc. 1950. Vol.25. P. 221-246.

80. Horn R., Johnson C. Matrix Theory. Cambridge Univ. Press, 1986.

81. Hutchinson G.E. Circular causal in ecology // Ann. N. Y. Acad. Sci. 1948. V. 50. P. 221-246.

82. Krisztin T. On stability properties for one-dimensional functional-differential equations // Funkcial. Ekvac. 1991. V. 34. №2. P. 241-256.

83. LizE., Tkachenko V., Trofimchuk S. A global stability criterion for scalar functional differential equations // SIAM J. Math. Anal. 2003. №35. P. 596-622.

84. Ladas G., Sficas Y.G., Stavroulakis LP. Asymptotic behavior of solutions of retarded differential equations 11 Proc. of AMS. 1983. № 88. P. 247-253.

85. Mackey M., Glass L. Oscillations and chaos in physiological control systems // Science. 1977. V. 197. P. 287-289.

86. May R.M. Models for single populations // Theoretical Ecology: Principles and Applications (ed. May R.M.). Oxford: Blackwell Scientific, 1976. P. 4-25.

87. Morgenthal K. Uber das asymptotische der Lösungen einer linearen Differentialgleichung mit Nachwirkung // Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen. 1985. Bd. 4. №2. 8. S. 107-124.

88. Nicholson A.J. Compensatory reactions of populations to stresses, and their evolutionary significance // Austral. J. Zool. 1954. №2. P. 1—8.

89. Nicholson A. An outline of the dynamics of animal populations // Austral. J. Zool. 1954. № 2. P. 9-65.

90. Nisbet R., Gurney W. Modelling fluctuating populations. New York: John Wiley, 1982.93. de Oliveira J.C.F., Carvalho L.A. V. A Lyapunov functional for a retarded differential equation // SIAM. J. Math. Anal. 1985. № 16. P. 1295-1305.

91. Sabatulina T.L. On the positiveness of the Cauchy function of integro-differential equations with bounded aftereffect // Functional differential equation. 2008. №.3-4. P. 273-282.

92. Sugie J. Oscillation solutions of scalar delay-differential equations with state dependence // Applicable Analysis. 1988. V. 27. № 1-3. P. 217-227.

93. Tang X.H. Asymptotic behavior of delay differential equations with instantaneously terms // J. Math. Anal. Appl. 2005. V. 302, № 2. P. 342359.

94. Volterra V. Sur la theorie Mathematique des phenomenes hereditaires // J. Math. Pures Appl. 1928. №7. P. 249-298.

95. Wazevska-Czyzevska M., Lasota A. Mathematical problems of dynamics of red blood cells production (Polish) // Mat. Stos. 1976. V. 3. № 6. P. 23-40.

96. Wrigth E.M. A nonlinear difference-differential equation // J. Reine und angew. Math. 1955. Bd. 194. S. 66-87.

97. Wu S., Gan S. Analytical and numerical stability of neutral delay integro-differential equations and neutral delay partial differential equations // Computers and Mathematics with Applications. 2008. № 56. P. 2426-2443.

98. Yoneyama T., Sugie J. On the stability region of scalar delay-differential equations// J. Math. Anal. Appl. 1988. V. 134, №2. P. 408-425.

99. Yorke J.A. Asymptotic stability for one dimensional differential-delay equations// J. Different. Equat. 1970. V. 7, № 1. P. 189-202.