Устойчивость периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.929

Нидченко Сергей Николаевич 003053155

УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург - 2007

003053155

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Уральского государственного университета им. A.M. Горького

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Долгий Ю.Ф.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Лукоянов Н.Ю.

доктор физико-математических наук, профессор Симонов П.М.

Ведущая организация:

Магнитогорский государственный университет, г. Магнитогорск.

Защита состоится " 17 " января 2007 г. в /4Г ч Об мин, на заседании диссертационного совета К 212.286.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Уральском государственном университете им. A.M. Горького по адресу:

620083, г.Екатеринбург, просп. Ленина, 51, комн. 248.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Уральского государственного университета им. A.M. Горького.

Автореферат разослан " 1Q." декабря 2Q06 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико-математических наук, профессор_

В.Г. Пименов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория нелинейных периодических колебаний дифференциальных уравнений с запаздыванием активно используется при качественном исследовании конкретных математических моделей, учитывающих наследственные свойства динамических процессов. В ходе своего развития она использовала идеи и методы теории нелинейных колебаний для обыкновенных дифференциальных уравнений. Основы метода Ляпунова - Пуанкаре для систем с последействием заложены в работах H.H. Красовского, A. Halanay, С.Н. Шиманова, Ю.А. Рябова, А.Ф. Клейменова, Л.Э. Эльсгольца, K.M. Цойя, Л.З. Фишмана. Асимптотический метод для систем с запаздыванием разрабатывался в работах Ю.А. Митропольско-го, В.П. Рубаника, В.И. Фодчука, A. Halanay, Д.И. Мартынюка, A.M. Са-мойленко, B.C. Сергеева и других авторов. Метод Андронова - Хопфа использовался при нахождении периодических решений в работах J.K. Hale, S. Chow, J. Mallet-Paret, Ю.С. Колесова, Д.И. Швитра, Н.Д. Казаринова, Y.H. Wan, Р. van den Driessche, N. Chafee, J.R. Claeyssen, D. Schley. Топологические методы применялись в работах М.А. Красносельского, В.В. Стры-гина, Б.Н. Садовского, Ю.Г. Борисовича, В.Ф. Субботина, P.P. Ахмерова. Периодические релаксационные колебания в системах с запаздыванием изучались в работах Ю.С. Колесова, С.А. Кащенко, В.И. Фодчука, А. Холма-това. Периодические колебания в системах с малым запаздыванием исследовались в работах В.И. Рожкова, A.M. Родионова. Разрабатывались специальные методы нахождения периодических решений, учитывающие индивидуальные особенности рассматриваемого дифференциального уравнения с запаздыванием (Е.М. Wright, G. Jones, R. Nussbaum, R.B. Grafton, J.L. Kaplan, J.A. Yorke, H. Walther). Предложенные методы исследования периодических колебаний активно используются при качественном исследовании поведения конкретных математических моделей (G.E. Hutchinson, D. Stirzaker, R. May, В.Г. Бабский, А.Д. Мышкис, С.А. Кащенко, К. Gopal-samy, Г.И. Марчук, В. Вольтерра, Ю.С. Колесов, В.В. Майоров, И.Ю. Мыш-кин, А.Д. Дроздов, В.Б. Колмановский, W. Wang, S. Rúan, Ю.Н. Смолин). Устойчивость решений периодических систем дифференциальных уравнений изучалась в работах В.Б. Колмановского, В.Р. Носова, H.H. Красовского, Дж. Хейла, A.M. Зверкина, С.Н. Шиманова, A. Halanay, W. Hahn, В.А. Stakes, H.B. Азбелева, П.М. Симонова, А.Ф. Клейменова, Ю.Н. Смолина, Е.Л. Тонкова, Ю.Ф. Долгого, В.Г Курбатова, Д.Я. Хусаинова, В.В. Малыгиной, В.А. Тышкевича, Л.М. Березанского, A.B. Захарова, С.Г. Николаева, Г.Л. Гасилова, A.B. Кима, А Л. Скубачевского, Х.О. Вальтера, J.L. Ка-

plan, J.A. Yorke, P. Dormayer, А.Ф. Иванова, В. Lani-Vayda и других авторов.

Цель работы. Изучение устойчивости периодических решений дифференциальных уравнений с запаздыванием и получение достаточных условий устойчивости этих решений.

Методика исследования. Используются методы теории нелинейных колебаний. Для нахождения асимптотик периодических решений при малых значениях параметра использовался метод Ляпунова. При изучении устойчивости периодических решений - методы подсчета характеристических показателей Шиманова. При оценке расположения спектра оператора монодромии используются специальные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. При реализации бифуркационного подхода к исследованию движения собственных чисел краевой задачи по комплексной плоскости используются методы и результаты теории возмущений и теории краевых задач.

Научная новизна. Результаты, представленные в диссертации, являются новыми и позволяют использовать бифуркационный подход в вопросах исследования на устойчивость периодических решений дифференциальных уравнений с запаздыванием. Предложена новая модификация метода вспомогательных систем Шиманова при построении уравнений разветвления в бифуркации Андронова-Хопфа для дифференциального уравнения с запаздыванием; получены достаточные условия рождения периодического решения из положения равновесия; найден коэффициентный признак устойчивости периодического решения с малой амплитудой; для нелинейного дифференциального уравнения с запаздыванием получены условия устойчивости и неустойчивости антисимметрических и симметрических периодических решений с конечными амплитудами; для дифференциальных уравнений с симметриями теоретически обосновано применение бифуркационного метода исследования устойчивости; предложены алгоритмы численного моделирования устойчивых периодических решений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на

- 31-й Региональной молодежной школе-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". (Екатеринбург, 2000);

- XXV Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2003);

- Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач"(Екатеринбург, 2004);

- VIII Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления"(Москва, 2004);

- научных семинарах кафедры теоретической механики в Уральском государственном университете.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-11].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Нумерация параграфов в работе двойная: первый индекс - номер главы, второй индекс - порядковый номер параграфа внутри главы. Нумерация формул и утверждений также двойная: первый индекс - номер главы, второй индекс - порядковый номер формулы (утверждения) внутри главы. Общий объем диссертации 111 страниц, библиография содержит 139 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сделан краткий обзор литературы по теме диссертации, обоснована актуальность исследуемой проблемы и изложены основные результаты данной работы.

Глава 1 посвящена изучению бифуркации рождения периодического решения из положения равновесия. Рассматривается скалярное дифференциальное уравнение с запаздыванием

^=X(x{t),x(t- 1),е), (1)

где X — вещественная функция вещественных аргументов, непрерывная по совокупности аргументов и непрерывно дифференцируемая по первому и второму аргументам в малой окрестности точки (0,0,0)т, Т — знак транспонирования, X(x,x-i,e) = 0 при х = z_i = 0, дХ(0,0,0)/дх = 0, 3X(0,0,0)/9x_i = — 7г/2, £ — малый параметр.

В параграфе 1.1 приводится постановка задачи нахождения периодических решений уравнения (1). Исходное уравнение представляется в виде

*4& = -lx(t-i)+f{x{t),x(t-l),e), (2)

где / — непрерывная по совокупности аргументов и непрерывно дифференцируемая по первому и второму аргументам функция в малой окрестности точки (0,0,0)т, f(x,tЕ_ье) = а(е)т + b(e)z_j + о ((ж2 + ж?.1)1/2), а и 6 -непрерывные функции в малой окрестности нуля, а(0) = 6(0) = 0.

Соответствующее (2) порождающее уравнение dx(t)/dt = — (n/2)x(t — 1) имеет однопараметрическое семейство периодических решений xo(t,7) = = 7C0S(nt/2), 7,t е M. Метод Д-разбиения1 показывает, что эти 4 - периодические решения устойчивы.

Ставится задача найти периодические решения x(t,e), t € К, уравнения (2) в малой окрестности нулевого положения равновесия, с периодом w(e) = 4(1 + а(с)), отвечающие порождающим периодическим решениям Xo(t, ~у(е)), t € EL Здесь а и 7 — вещественные непрерывные функции, удовлетворяющие условиям л(0) = 0, 7(0) = 0.

Проведем в дифференциальном уравнении с запаздыванием (2) замены переменных: t = (1 + a)s, я((1 + a)s) = £(s), x(t - 1) = ж((1 + oi)s - 1) = £(s — 1/(1 + a)), s £ M, a — малый параметр. Тогда уравнение (2) примет

ВИД

Ш = _|c(e _ 1) + F (ç(e),£(e - (s - •

где F(x1,x2,x3,e,a) = (п/2){х2 - (1 + а)а?3) + (1 + a)f(xi,x3,e).

Проведенные преобразования позволили свести задачу нахождения периодических решений исходного уравнения в малой окрестности нулевого положения равновесия, с периодом и>(е) = 4(1 + а(е)) зависящим от параметра е, к задаче нахождения 4-периодических решений уравнения (3) в малой окрестности нулевого положения равновесия этого уравнения. Для решение последней задачи используем методику предложенную, в работах2,3, где для построения уравнений разветвления используется специальное интегральное уравнение.

В параграфе 1.2 предлагается метод построения функции Грина. Рассматриваем задачу нахождения 4-периодических решений дифференциального уравнения с запаздыванием

где g — непрерывная 4-периодическая функция. Введя обозначения -f = д(г + = 9i{&)> г = M, # £ t—0j, и используя ме-

тод, предложенный в работе4, задачу нахождения 4-периодических реше-

* Долгий Ю.Ф Автоматическое регулирование Орердловск'Изд-во УрГУ 19S7 100 с

^долгий ю ф Метод вспомогательных систем Шиманова в задачах построения уравнений разветвления//Известия Уральского государственного университета 2003. У* 26. (Математика и механика Вмп 5 ) С 55-65

3 доагий ю.ф Метод вспомогательных систем Шимтшова в задачах периодических колебаний автономных систем//Тезисы докладов VÎT международного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем уравнений" Москва 2002. О 24-26

*Зубое В. И Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л.: Судпромгиз. 1962 631 с

ний уравнения с запаздыванием сводим к определению решений следующей краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений

»(-1) = Sy( 0),

где У = (yuytMiV, т = 02(d),дМ,ят)т, ti е [-1,0],

А = (—7t/2)S, s = {{0,1,0,0}т, {0,0,1,0}т, {0,0,0,1}т, {1,0,0,0}т}. К этой краевой задаче применяется метод вспомогательных систем Шиманова5. Строится функция Грина вспомогательной краевой задачи

^=Ау + т, (5)

у(-1) = Sy( 0), (6)

где Ш) = д{ 1?) - W = Д VT(z)g(z)dz, Ф(0) = 2Y(d)D, 0 € [-1,0],

У — нормированная в нуле фундаментальная матрица однородной системы дифференциальных уравнений (5), D = {d1,^2}, d1 = (0,-1/2,0,1/2)т, & — (—1/2,0,1/2,0)т. Здесь Ф — матрица, столбцы которой являются линейно независимыми 4-периодическими решениями системы dy/ds = —Ату.

Используя связь решений краевой задачи (5), (6) с периодическими решениями дифференциального уравнения с запаздыванием (4), находим условия существования периодического решения уравнения (4)

4 4

Wi = i J cos g{r])dT] = 0 ,W2 = ~ J sin (|r?) g{rj)df) = 0,

о 0

и его представление

4

Í{s) =7co9 (|s) + J G(s,z)g(z)dz,s € [0,4], o

где функция G называется функцией Грина периодической задачи для дифференциального уравнения с запаздыванием (4).

В параграфе 1.3 рассматривается вопрос существования решения специального интегрального уравнения

4

ф) = 7cos (|e) + J G(s,z)F(ttz),ahÁz)),tth2(z,a)),e,a)dz, (7)

^ Шиманов С Н К теории квазигармоничегких колебаний/ /Прикладная математика и мехам и ка. 1952 Т. 16. Вып 2. С. 124-146

где s € [0,4],

\ г — 1, z € [1)4], | 2_тЬ,г€[_^,4].

Для фиксированного малого по величине 7 введем в С[0,4] множество Оа = {{: Hi - 4>\\с < Д, £ € П, Д < 1}, где ф) = ycos(ns/2), s £ [0,4].

Утверждение 1.1. Пусть / — непрерывная по совокупности аргументов и непрерывно дифференцируемая по первому и второму аргументам функция в малой окрестности точки (0,0,0)т, f(x,x-i,e) = а(е)х + b(e)x~i 4- о((х2 + x2_i)1^), a ub — непрерывные функции в малой окрестности нуля, а(0) = Ь(0) = 0. Тогда существуют такие числа d > 0, 7 > 0, Д > 0, £ > 0, что при |а| < a, I7] <7, |е| < £ в области Пд интегральное уравнение (7) имеет единственное решение 7, е,а), a € [0,4] непрерывно зависящее от параметров.

В параграфе 1.4 изучается вопрос разрешимости системы уравнений разветвления. Если для найденного решения £(s, 7, £,а), s 6 [0,4], |а| < а, Ы < 7> Iе! < £) интегрального уравнения (7) выполняются равенства

4

о

(1 + a)¡(f (z, 7, е, a), f(/i2(z, a) , 7, г, а),7, e)j dz = 0, 4

W2(7,г,а) = sin(^z) [р(/г1(г)./>',е,а)-|(1 + а)|(/г2(г,а),7,е,а)+ o

(1 + a)/(f^7,e,a),|(h2(z,a),7,e,a),7,£)]dz = 0, (8)

то это решение совпадает на отрезке [0,4] с периодическим решением дифференциального уравнения с запаздыванием. Здесь /(7f(z),гÍ(h2(z,а)),е) = yf{Í(z)^{h2{z,a)),f,£), / - непрерывная по совокупности аргументов и непрерывно дифференцируемая по первому и второму аргументам функция, £(.$,7,£, а) = 7^(.?,7,£,а), s € [0,4], |a¡ < а, М < 7> Iе! < }(х,х-Л ,7,е) = а{е)х + b(e)£_i + 0(7), |7| < 7.

Утверждение 1.2. Пусть выполняются условия утверждения 1.1, функция f — непрерывно дифференцируема пое в малой окрестности точки (0,0,0)т и iгЬ (0) Ф 2а (0). Тогда существует такое 7* > 0, что при

|7l < 7* система уравнений разветвления (8) допускает единственное непрерывное решение а = 0(7), е = £(7), |7| < 7*, а(0) = е(0) = 0.

В параграфе 1.5 находится асимптотическое представление искомого решения дифференциального уравнения с запаздыванием. Потребуем дополнительную гладкость функции /, гарантирующую существование представления функции / в виде асимптотического разложения

f(x, ж_ъг) = а(е)х + b(e)x-1 + ci(e)x2 + 2с2(е)жж_1 + c3(e)xí1 + h(£)x3+

l2(e)x2x-i + h(e)xxii + h(e)xl_l + v1(e)x4 + v-2(e)x3x^l+

vz{e)x2x\ + vA{e)xxti + v5(c)yA + o ((x2 + zii)2) ,

где o(e) = oie + aie2 + o(e2), b(e) = bis + b2£2 + o(e2), c¿(e) = + c\e + cfs2+ +0 (e2), i = M, lj(e) =l° + l)e + o(e), j = M, vk(e) =vQk+ 0(e), k = ТД |e| < e*. Это условие позволяет найти решение системы уравнений разветвления (8) в форме асимптотических разложений 0(7) = а^т2 + о(73), е(у) = е272 + о(73), |7| < 7*, a также асимптотическое представление решения специального интегрального уравнения (7). Далее в параграфе, при выполнении условия £2 ф 0, найдено асимптотическое представление периодического решения x(t,s), t 6 [0,4], дифференциального уравнения с запаздыванием (2) для мальтх значений е, удовлетворяющих неравенству 0 < £¡£2. При £¡£2 < 0 уравнение (2) не имеет периодических решений.

В параграфе 1.6 исследуется на устойчивость полученное периодическое решение. Для этого используется уравнение линейного приближения для возмущенного решения. При 7 = 0 уравнение линейного приближения имеет двукратный характеристический показатель А = гтг/2. Остальные характеристические показатели имеют отрицательные действительные части. При возрастании 7 двукратный характеристический показатель распадается на два. Причем один из них будет равен Л = г7г/2.

Для нахождения зависимости второго характеристического показателя от 7 использовалась методика работы6, что позволило найти асимптотическое представление ненулевого характеристической показателя Л(7) = í-k/2 4- А272 + о(72), 0 < 7 < 7*. В результате, построенное периодическое решение уравнения с запаздыванием (2) будет устойчивым при Л2 < 0 и неустойчивым при Лг > 0.

6 Шхлманов С. И. Об отыскание характеристических показателей систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами// Прикладная математика и механика 1058. Т. 22, Вып. 3 С 382-385.

В параграфе 1.7 полученные теоретические результаты используются для нахождения периодических решений конкретных дифференциальных уравнений с запаздыванием, а также при получении достаточных условий их устойчивости.

Глава 2 посвящена изучению вопросов устойчивости антисимметрических периодических решений x(t + 2т) = — x(t), t € M, т > 0, скалярного дифференциального уравнения с запаздыванием

^ = -/(*(*-г)), (9)

где / — нечетная непрерывно дифференцируемая функция с положительной производной на интервале (—7,7)) 7 > 0. В главе удалось показать возможность существования нескольких изолированных антисимметрических периодических решений уравнения (9). Получены достаточные условия устойчивости таких периодических решений.

В параграфе 2.1 задачу нахождения антисимметрического периодического решения дифференциального уравнения с запаздыванием (9) сводим к определению решения специальной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

¿1 = f(x2), ¿2 = ~f(x 1 ), (Ю)

Ж! (г) = х2(0),х2{т) = -Zi(O). Система (10) продолжается с отрезка [0, г] на всю числовую ось и имеет первый интеграл

Ffa) + F(x2) = С — ccmst, хих2 6 (-7,7), (И)

где F(x) = /0г }{z) dz, x £ (—7,7)- Формула (11) определяет расположение интегральных кривых системы (10) на фазовой плоскости. Специальным начальным условиям х\(0,ц) = 0, х2(0,/х) = ц, соответствуют замкнутые интегральные кривые, порождающие периодические движения {x\{t,ß), Х2(t,fi)}, t € M, при 0 < fi < 7. Периоды Т решений системы (10) зависят от ц. Наличие семейства периодических решений системы (10) позволяет сформулировать следующее утверждение:

Утверждение 2.1. Пусть f — нечетная непрерывно дифференцируемая функция с положительной производной на интервале (—7,7). Тогда для существования периодического решения дифференциального уравнения с запаздыванием (9), удовлетворяющего условию антисимметричности, необходимо и достаточно, чтобы число 4т принадлежало интервалу ( inf T(/i), sud T(/i)). Этот интервал дополняется точкой t =

0«х<7 0<д<7

= Ы Т(р) (t = sup Till)), если inf T(fi) = T(Ml) ( sup T(/i) =

0</i<7 0</i<7 0<д<7 0</J.<t

= T(/i2)) для некоторого € (0,7) (^2 € (0,7)).

Согласно этому утверждению каждому корню уравнения T(/i) = 4г соответствует антисимметрическое периодическое решение уравнения с запаздыванием. Причем, периодическое решение будет единственным, если функция Т монотонна.

В параграфе 2.2, при исследовании устойчивости антисимметрического периодического решения x(t,fi*), t € К, Т(ц*) = 4т, дифференциального уравнения с запаздыванием (9) рассматривается уравнение линейного приближения

(12)

для уравнения возмущенного движения.

Устойчивость дифференциального уравнения с запаздыванием и периодическим коэффициентом (12) зависит от расположения собственных чисел оператора монодромии7. Существует собственное число оператора монодро-мии р — —I. Следовательно, имеет место критический случай устойчивости. Поэтому, для нахождения условия устойчивости периодического решения используется аналогом теоремы Андронова-Витта для систем с запаздыванием. Согласно этой теореме, для устойчивости периодического решения уравнения (9) достаточно, чтобы все собственные числа оператора монодромии, кроме одного, по модулю были меньше единицы и собственное число с модулем равным единице было простым8. Но поиск собственных чисел является очень сложной задачей. Для упрощения этой задачи предлагается использовать бифуркационный подход.

Для исследования поведения собственных чисел оператора монодромии расфиксируем параметр ц в дифференциальном уравнении с запаздыванием (12). Получим однопараметрическое семейство дифференциальных уравнений с запаздыванием

ш = -/(.(,- ш,,.)), («_ Ш), „ € [0, * (13)

В параграфе 2.3 вычисляется асимптотическое периодическое решение системы (10) в случае малых значений параметра р. Для нахождения асимптотик периодических решений этой системы пользуемся методом Ляпуно-

7 ЦУилшное О И К теории линейных дифференциальных уравнений г периодическими коэффициентами и запаздыванием времени // Прикладная математика и механика 1063. Т. 27, Пып 3 С 450—458.

8 Х"ейл Д-унг Теория функционально-дифференциальных уравнений М.. Мир 1Р84 421 с

В параграфе 2.4, проведя в дифференциальном уравнении с запаздыванием (13) замену переменных t = T(ß)s/(2ir), y(s) = y(T(ß)s/(2ir)), x(s,fi) = x(T(ß)t/(2w),ß), находим

Коэффициент полученного дифференциального уравнения при малых ß близок к постоянной, т.е. дифференциальное уравнение с запаздыванием является квазигармоническим.

Утверждение 2.4. Пусть f — нечетная трижды непрерывно дифференцируемая функция в окрестности точки х = 0, / (0) > 0. Тогда при малых положительных значениях ß квазигармоническое дифференциальное уравнение с запаздыванием (14) устойчиво, если Т (0) > 0, и неустойчиво, еслиГ"(0)< 0.

Согласно утверждению 2.4 расположение на комплексной плоскости собственных чисел оператора монодромии при малых значениях параметра ß зависит от знака второй производной функции периода Т в точке ноль.

В параграфе 2.5 задача изучения поведения собственных чисел оператора монодромии уравнения (14) при конечных значениях параметра ß заменяется задачей нахождения ненулевых собственных чисел z 6 С специальной краевой задачи10

Jy = zH(Ö,ß)y, (15)

y(-f)=*Jj/(0). (16)

Здесь у = (У1,У2)Т, J = {{0,1}т,{-1,0}т}, Я(^) = = {{а(7г/2 + г?,р),0}т,{0,а(Л^)}т}, Р = -г2, = T(ß)f{x(0-

тг/2, ß))/(2n), 1? S [—7г/2, тг/2], р € [0, у), z,p€ С

Собственные числа z краевой задачи (15), (16) определяются из характеристического уравнения

D(z, ß)=z2- 2V(z, ß)z + 1=0, (17)

где V(z,ß) = (yn(0,z,ß) - y2i(0,z,ß))/2, Y(0,z,p) = Ü2/ij-г,0 6 [-7г/2,0], z e С, ß € [0, 7), Y — фундаментальная нормированная в точке ß — —7г/2 матрица системы (15).

Наличие симметрий в системе (15) определяет специальные свойства фундаментальной матрицы Y, которые используются при доказательстве следующей леммы:_

q Малкиы И Г Некоторые задачи теории нелинейных колебаний М.:ГИТТЛ. 1956. 442 с г0 Долгий Ю Ф Устойчивость периодических дифференциально-разностных уравнений Екатеринбург УрГУ. 1946 84 с

Лемма 2.3. Пусть / — нечетная непрерывно дифференцируемая функция с положительной производной на интервале (—7,7). Тогда функция V удовлетворяет условиям:

а) У( 1,р) = 1, ц € [О, 7);

б) = 2 € С, р. € [О, 7).

Согласно этой лемме у характеристического уравнения (17) всегда имеются корни г — ±1, а корни отличные от г = ±1 расположены симметрично относительно мнимой оси.

Краевая задача (15), (16) становится самосопряженной, когда [г| = 1. Это позволяет найти точки перехода корней характеристического уравнения через единичную окружность при изменении параметра ¡л.

Лемма 2.4. Пусть f — нечетная непрерывно дифференцируемая функция с положительной производной на интервале (—7, +7). Если корень г характеристического уравнения (17) удовлетворяет условию \г\ = 1, то 2 = 1 или г = —1.

Согласно лемме 2.4, корни характеристического уравнения (17) могут пересекать единичную окружность при изменении параметра ц только по действительной оси. Из леммы 2.3 следует, что корни переходят единичную окружность парами одновременно в точках г = 1 и 2 = -1, причем направление перехода (внутрь или во вне единичной окружности) у пары корней совпадает. В момент пересечения окружности корень г = 1 становится кратным. Значение параметра при котором это происходит, назовем бифуркационным. Для нахождения условий перехода единичной окружности полагаем г = 1 + г, где г - малое возмущение. Фундаментальная матрица системы дифференциальных уравнений (15) представляется в форме асимптотического разложения

где д е [—7г/2,0], 5 С С, ц £ [0, 7). При нахождении бифуркационных значений ¡1* используется вычисленное значение матрицы Уп(0, ц) — = {{Т'(м)/(м)/4,-1}Т,{1,0}г}, м е [0, 7).

Лемма 2.6. Пусть { — нечетная непрерывно дифференцируемая функция с положительной производной на интервале (—7,7). Корень г = 1 характеристического уравнения (17) является кратным тогда и только тогда, когда /л = ц* является критической точкой функции Т, т.е. Т (/1*) = 0. При этом кратность корня равна двум.

Анализ решения уравнения (17) в окрестности точки (1,р*) позволяет найти направление перехода корня через единичную окружность.

Лемма 2.7. Пусть / — нечетная трижды непрерывно дифференцируемая функция с положительной первой производной на интервале (—7,7). При возрастании ц в малой окрестности критической точки ц* корень характеристического уравнения переходит из внутренней во внешнюю (из внешней во внутреннюю) область единичного круга, если Т (р,*) > О

<т"оо < о;.

Полученная информация о расположении собственных чисел оператора мо-нодромии при малых значениях р., а также о поведении собственных чисел краевой задачи (15), (16) при изменении конечных значений параметра ц, используется при доказательстве теорему:

Теорема 2.1. Пусть / — нечетная трижды непрерывно дифференцируемая функция с положительной первой производной на интервале (—7,7). Пусть вторая производная функции Т отлична от нуля во всех ее критических точках. Тогда для не критических точек ц° € (0,7) функ-и,ииТ дифференциальное уравнение с запаздыванием (Ц) устойчиво, если Т (/¿°) > 0, и неустойчиво, если Т (р°) < 0.

Последняя теорема содержит основной результат главы 2. Непосредственно из нее в параграфе 2.6 находятся условия устойчивости периодического решения уравнения (9).

Теорема 2.2. Пусть / — нечетная трижды непрерывно дифференцируемая функция с положительной первой производной на интервале (—7,7). Пусть вторая производная функции Т отлична от нуля во всех ее критических точках и некритическая точка /¿° € (0,7) функции Т является корнем уравнения Т(р) = 4г. Тогда соответствующее этому корню антисимметрическое периодическое решение дифференциального уравнения с запаздыванием (9) устойчиво (неустойчиво), если Т (/х°) > 0 (Т (/¿°) < 0^.

В параграфе 2.7 приведены результаты численного моделирования решений нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием. Они подтверждают правильность выводов теоретического анализа рассматриваемого класса уравнений.

Глава 3 посвящена обобщению результатов главы 2 на объект, описываемый дифференциальным уравнением

<Ш = Пха),х^-т)), (18)

где / — четная по первому, нечетная по второму аргументам трижды непрерывно дифференцируемая функция в области (-ах,01) х (-02,02) (01,02 >0); /(0,0) = 0.

В параграфе 3.1 изучаются вопросы существования антисимметрического решения дифференциального уравнения с запаздыванием (18). Задача нахождения антисимметрического решения этого уравнения сводится к проблеме нахождения решения краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

^Г = /(2:1, ~х2), ^ = /(2:2,2:1), (19)

XI(0) = -х2(т), ха(0) = хг(т). (20)

Вопрос существования решения краевой задачи (19),(20) рассматривается при выполнении условия

д/(х, у)

дх

+ д/(х,у)

= 0,

X — Х2

X ~ Х\ дх

У = ~Х2 У =Х 1

где х3 € (—а7,о_,); ] = 1,2. Оно требуется для существования однопарамет-рического семейства периодических решений у системы (19).

Пусть (2:1 (£, [1))т, ( е I - периодические решения краевой за-

дачи (19), (20) с периодами Т(/х), удовлетворяющие начальным условиям 2:1 (0,/¿) = 0, хг(0,/л) = ц, ¡1 € (-/<,Д). Тогда каждому корню /х* € (0,А) уравнения

т(/0 = 4т, Ц е (о, А) (21)

отвечает единственное антисимметрическое решение ж* дифференциального уравнения с запаздыванием, определяемое формулой ж„(£) = 2:1 /¿*), £ е Ж.

Далее в параграфе находится асимптотическое представление антисимметрического периодического решения дифференциального уравнения с запаздыванием и его периода при малых значениях параметра.

В параграфе 3.2 ставится задача устойчивости периодических решений дифференциального уравнения с запаздыванием (18). Рассматривается од-нопараметрическое семейство линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием

~ = (г, /хМО + а2(/,,,.)?, ^ - , ,1 е (-£, Д), (22)

где = д/(х-[(1,11),~х2(1,ц))/дх1, ( е Ж, ^ б .у = 1,2. Урав-

нение (22) совпадает с уравнением линейного приближения возмущенного

движения для периодического решения ж* уравнения (18) при /г = ¿г». Задат ча определения условий устойчивости сводится к исследованию поведения собственных чисел краевой задачи

= № ц) + гН2(д, ц))у, (23)

у (-^г) = г ее (24)

Здесь Иг^ц) = {{О.о^ВД/г + 0,/1)}Т, {-ЫПаОМ + ЪМ = {{-а2(Пм)/4 + ^^),0}т,{0,-а2(Г(^/2 + д б

[-Т0*)/2,0],м€[0,А)-

В параграфе 3.3 изучается движение корней характеристического уравнения краевой задачи (23),(24) по комплексной плоскости при изменение параметра р. Полагаем, что функция / удовлетворяет условию

Тогда корни характеристического уравнения движутся по комплексной плоскости симметрично относительно мнимой оси. Могут пересечь единичную окружность только в точках г = ±1 при значениях параметра, удовлетворяющих уравнению Т'{ц) = 0. Направление перехода определяется второй производной функции периода Т.

В параграфе 3.4 показано, что периодическое решение дифференциального уравнения с запаздыванием (18), отвечающее корню /¿* уравнения (21), устойчиво (неустойчиво), если сГГ(/х*)Д^ > 0 < 0).

В параграфе 3.5 приведены результаты численного моделирования решений нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием. Они подтверждают правильность выводов теоретического анализа рассматриваемого класса уравнений.

Глава 4 посвящена исследованию одной математической модели биологического сообщества "хищник-жертва", описываемой системой дифференциальных уравнений с запаздыванием

¿Ш-^МШсх-!^- т)).

72^,(4-г)), (25)

где положительные постоянные £], е2 — коэффициенты прироста численности видов, (¿), ЛГ2(<) — численности видов в момент времени Ь, 71, 72 — положительные постоянные, соответствующие потребности в пище для

каждого из двух видов, т — положительная постоянная, характеризующая запаздывание влияния конкурирующих взаимоотношений. В главе изучается математическая модель, симметрии которой приводят к существованию периодического решения, с периодом равным запаздыванию. Оказалось возможным применить метод, изложенный во второй главе диссертации для решения данной задачи. Показано существование единственного неустойчивого периодического решения.

В параграфе 4.1 рассматривается вопрос существования т - периодического решения системы (25). На него можно ответить изучив вопрос существования аналогичного решения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Система (26) имеет первый интеграл11. Этот первый интеграл порождает семейство периодических решений системы (26). Пусть (Л*® (£,/х), ^V§(í,^x))т) £ € К — периодическое решение системы (26) периода Т(р) с начальными условиями Л»?(О, /;.) = 0, Й°(0,ц) = ц, ¡1 е (0, +оо). В параграфе показывается, что функция периодов Т монотонно возрастает. Это позволяет доказать следующую теорему:

Теорема 2.1. При 2тх < существует единственное т-

периодическое решение (Щ,Щ) системы дифференциальных уравнений с запаздыванием (25), определяемое формулами: = £2/72 +

Л1'! (£) = £1/71 + ЛГ2 (£> Ц*), £ € К, где /г* корень уравнения

Т(ц) = т,ц€ (0,+оо).

При т^/е\е2 < 27г не существует т-периодических решений системы дифференциальных уравнений с запаздыванием (25).

В параграфе 4.2 ставится задача исследования на устойчивость периодического решения системы дифференциальных уравнений с запаздыванием (25). Используя, предложенный в главе 2, метод исследования устойчивости, переходим к задаче исследования на устойчивость однопараметрического семейства систем линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием

= -71 ш /Ф. со -71(1+- тш

^Г (27)

11 Волътперра В Математическая теория борьбы за существования М., 1976 288 с

где /I в [0,+оо). Устойчивость системы (27) зависит от расположения спектра оператора монодромии. Задачу нахождения ненулевых собственных чисел р £ С оператора монодромии заменяем задачей нахождения ненулевых собственных чисел г € € (р = г-1) краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

^ = (28)

у(-Т(ц)) = гу( 0), (29)

где = {{О,-(72^о0М +

+71^2°(1?,М))/2,0}т}, Я2(- {{ъ(е,/ъ + Й2°09,м)),0}т,{0л1(е2/'у2+ 1? € М € [0,+оо).

В параграфе 4.3 показано, что характеристическое уравнение краевой задачи (28), (29) при ц = 0 имеет четыре корня в области {г : \г\ < 1, г 6 С} и на единичной окружности двукратный корень 2 = 1.

В параграфе 4.4 установлено, что переход корней характеристического уравнения через единичную окружность происходит только через точку г = 1 при значении параметра р, = 0. Следовательно, при увеличений значения параметра /¿, внутри единичной окружности всегда есть корни характеристического уравнения. Тогда, т-периодическое решение системы дифференциальных уравнений с запаздыванием (25) неустойчиво.

В параграфе 4.5 проведено численное моделирование решений системы дифференциальных уравнений (25) для разных значений параметров.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Долгий Ю.Ф., Нидченко С.Н. Устойчивость антисимметрических периодических решений дифференциальных уравнений с запаздыванием// Известия Уральского государственного университета. 2005. № 38. (Математика и механика. Вып. 8.) С. 50-68.

2. Долгий Ю.Ф., Нидченко С.Н. Бифуркационный метод исследования устойчивости решения дифференциального уравнения с запаздыванием// Сибирский математический журнал. 2005. Т. 46, № 6. С. 1288-1301.

3. Нидченко С.Н. Рождение периодических решений дифференциального уравнения с запаздыванием из положения равновесия // Дифференциальные уравнения и процессы управления. Электронный журнал. 2005. № 4. 50 с.

4. Долгий Ю.Ф., Нидченко С.Н. Устойчивость антисимметрических периодических решений дифференциальных уравнения с запаздыванием // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Екатеринбургу рГУ. 2004. С. 159-160.

5. Нидченко С.Н. Существование и устойчивость периодического решения квазилинейного дифференциального уравнения с запаздыванием // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. VII международный семинар. Тезисы докладов. М.:ИПУ. 2002. С. 13-14.

6. Нидченко С.Н. Численное моделирование периодических решений для нелинейных уравнений с запаздыванием // Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ. Воронеж:ВГУ, 2003. С. 98-99.

7. Нидченко С.Н. Существование и устойчивость антисимметрических периодических решений в нелинейных системах с запаздыванием // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. VIII международный семинар. Тезисы докладов. М.:ИПУ. 2004. С. 132-134.

8. Нидченко С.Н. Периодические решения в математической модели "хищник - жертва"// Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ. Воронеж:ВГУ, 2005. С. 113-114.

9. Нидченко С.Н. Бифуркация периодических движений в нелинейных системах с запаздыванием // Деп. в ВИНИТИ 29.08.01. ЛП910-В2001. Уральский государственный университет. 2001. 34 с.

10. Нидченко С.Н. Устойчивость периодических решений одного дифференциального уравнения с запаздыванием// Труды 31-й Региональной молодежной конференции. Проблемы теоретической механики. Екатеринбург. 2000. С. 55-56.

11. Нидченко С.Н. Рождение периодических решении дифференциального уравнения с запаздыванием из положения равновесия// Известия института математики и информатики. Ижевск. 2006. Вып. 3, № 37. С. 111-112.

Подписано в печать: 06.12.2006 г.

Заказ № 1266

Тираж: 100 экземпляров

ООО «Научно-производственная фирма «Радиант» 620075, г. Екатеринбург, ул. Мамина- Сибиряка, 145, оф. 45

ВВЕДЕНИЕ

1 РОЖДЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ИЗ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

1.1 Постановка задачи.

1.2 Функция Грина периодической задачи.

1.3 Специальное интегральное уравнение.

1.4 Система уравнений разветвления.

1.5 Асимптотические представления периодических решений уравнения (1.1) и их периодов.

1.6 Устойчивость периодических решений

1.7 Примеры

2 БИФУРКАЦИОННЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

2.1 Существование антисимметрических периодических решений.

2.2 Оператор монодромии.

2.3 Асимптотика периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.2) при малых значениях параметра (л

2.4 Устойчивость квазигармонических дифференциальных уравнений с запаздыванием

2.5 Устойчивость дифференциального уравнения (2.18)

2.6 Устойчивость периодических решений нелинейного дифференциального уравнения с запаздыванием.

2.7 Примеры.

3 УСТОЙЧИВОСТЬ АНТИСИММЕТРИЧЕСКИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

3.1 Существование периодических решений

3.2 Бифуркационная постановка в задаче устойчивости периодического решения

3.3 Исследование бифуркаций корней характеристического уравнения

3.4 Устойчивость периодических решений

3.5 Пример.

4 ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

ХИЩНИК-ЖЕРТВА"С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

4.1 Существование симметрических периодического решения.

4.2 Устойчивость однопараметрической системы уравнений с запаздыванием

4.3 Расположение корней характеристического уравнения для порождающей краевой задачи.

4.4 Поведение корней характеристического уравнения при конечных значениях параметра.

4.5 Численные исследования математической модели.

История вопроса. Теория нелинейных периодических колебаний дифференциальных уравнений с запаздыванием активно используется при качественном исследовании конкретных математических моделей, учитывающих наследственные свойства динамических процессов. В ходе своего развития она использовала идеи и методы теории нелинейных колебаний для обыкновенных дифференциальных уравнений. Основы метода Ляпунова - Пуанкаре для систем с последействием заложены в работах Н.Н. Красовского [45], A. Halanay [113,114], С.Н. Шиманова [88,91,92], Ю.А. Рябова [69,70], А.Ф. Клейменова [33,34], Л.Э. Эльсгольца [98], К.М. Цойя [86,87], Л.З. Фишмана [80]. Асимптотический метод для систем с запаздыванием разрабатывался в работах Ю.А. Митропольского [53,54], В.П. Рубаника [68], В.И. Фодчу-ка [53,81], A. Halanay [115], Д.И. Мартынюка [51,54], A.M. Самойленко [51], B.C. Сергеева [72] и других авторов. Метод Андронова - Хопфа использовался при нахождении периодических решений в работах J.K. Hale [116], S. Chow, J. Mallet-Paret [102], Ю.С. Колесова, Д.И. Швитра [35], N.D. Kazarinoff, Y.H. Wan, P. van den Driess-che [123], N. Chafee [101], J.R. Claeyssen [103], D. Schley [130]. Топологические методы применялись в работах М.А. Красносельского [42-44], В.В. Стрыгина [44], Б.Н. Садовского [71], Ю.Г. Борисовича [6,7], В.Ф. Субботина [6,77], P.P. Ахмерова [3]. Периодические релаксационные колебания в системах с запаздыванием изучались в работах Ю.С. Колесова [36], С.А. Кащенко [30], В.И. Фодчука, А. Холматова [82]. Периодические колебания в системах с малым запаздыванием исследовались в работах В.И. Рожкова [66,67], A.M. Родионова [65]. Разрабатывались специальные методы нахождения периодических решений, учитывающие индивидуальные особенности рассматриваемого дифференциального уравнения с запаздыванием (Е.М. Wright [136], G. Jones [119,120], R. Nussbaum [126,127], R.B. Grafton [108,109], J.L.Kaplan, J.A. Yorke [121,122], H. Walther [133,134]). Предложенные методы исследования периодических колебаний активно используются при качественном исследовании поведения конкретных математических моделей (G.E. Hutchinson [118], D. Stirzaker [131], R. May [124], В.Г. Бабский, А.Д. Мышкис [4], С.А. Кащенко [31], К. Gopalsamy [107], Г.И. Марчук [52], В. Вольтерра [12], Ю.С. Колесов [37], В.В. Майоров, И.Ю. Мыш-кин [48], А.Д. Дроздов, В.Б. Колмановский [25], W. Wang, S. Ruan [135]). Устойчивость решений периодических систем дифференциальных уравнений изучалась в работах В.Б. Колмановского, В.Р. Носова [39], Н.Н. Красовского |46], Дж. Хей-ла [83], A.M. Зверкина [27], С.Н. Шиманова [95], A. Halanay [112], W. Hahn [110], В.А. Stakes [132], Н.В. Азбелева [1], П.М. Симонова [2,73], А.Ф. Клейменова [34], Ю.Н. Смолина [74,75], Е.Л. Тонкова [78], Ю.Ф. Долгого [21], В.Г. Курбатова [47], Д.Я. Хусаинова [84], В.В. Малыгиной [50], В.А. Тышкевича [79], Л.М. Березанско-го [5], А.В. Захарова [15,26], С.Г. Николаева [20], Г.Л. Гасилова [14], А.В. Кима [40,41], А.Л. Скубачевского, Х.О. Вальтера [10,11], J.L. Kaplan, J.A. Yorke [121], P. Dor-mayer [104,105], P. Dormayer, A.F. Ivanov , B. Lani-Vayda [106] и других авторов.

Объект исследования и основные результаты. Изучаются вопросы существования и устойчивости периодических решений дифференциального уравнения с запаздыванием.

В первой главе исследуется бифуркация рождения периодического решения из положения равновесия для скалярного уравнения с запаздыванием. Аналогичные задачи изучались в [35,101-103,116,123]. В данной работе при построении уравнений разветвления используется специальное интегральное уравнение |16 18]. Новизна реализации этого подхода связана с новой процедурой нахождения функции Грина. Для решения последней проблемы используются краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Учет специфики рассматриваемого дифференциального уравнения с запаздыванием позволяет предложить простой и конструктивный алгоритм построения функции Грина. Условия существования периодического решения получены, при наличии конечной гладкости правой части дифференциального уравнения. Построена асимптотика периодического решения и его периода. Определение условий устойчивости потребовало большого объема вычислений. В результате найден аналитический признак устойчивости, который обобщает аналогичные признаки, полученные для дифференциальных уравнений с запаздыванием в работах [85,108,117].

Во второй главе рассматривается существенно нелинейное дифференциальное уравнение dx{t)/dt — —f(x(t — т)), с нечетной функцией /. Наличие симметрии в уравнении позволяет ставить задачу о нахождении антисимметрического 4т-периоди-ческого решения. Указанная задача изучалась в [20,104,109,122,127]. В настоящей работе вопрос существования периодического решения решается на основе изучения, зависящего от начальных значений, периода решений канонической системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для исследуемой задачи большую проблему составляет определение условий устойчивости периодических решений [2,9,20,104,105,121]. В работе Ю.Ф. Долгого и С. Г. Николаева [20] предложен бифуркационный метод решения проблемы устойчивости периодического решения дифференциального уравнения с запаздыванием. Он позволил получить достаточные условия устойчивости периодических решений с конечными амплитудами. При этом требовалась монотонная зависимость периода от начальных значений. Во второй главе диссертации удалось снять это жесткое ограничение на период и решить задачу в общей ситуации. Численные эксперименты подтвердили теоретические результаты, согласно которым уравнение может иметь несколько периодических решений, а их устойчивость определяется знаком производной периода для начального значения порождающего периодического решения.

В третьей главе рассматривается существенно нелинейное дифференциальное уравнение dx(t)/dt = f(x(t),x(t — г)). Периодические решения для такого дифференциального уравнения изучались в [106,108,109,119 122,126,127,133,134,136|. Особенность рассматриваемой постановки в наличии симметрий функции /, что допускает возможность существования антисимметрического 4т- периодического решения [106]. Трудности представляет задача нахождения условий устойчивости этого решений. Здесь используется бифуркационный метод изложенный во второй главе. Применение его к более сложному объекту потребовало преодоления дополнительных технических трудностей. В результате поставленная задача была решена для нового более общего объекта.

В четвертой главе исследуется поведение динамических процессов в одной математической модели "хищник - жертва" [13, 25, 55, 76, 111,129, 137 139]. Показано, что динамическая система может иметь периодическое решение, период которого совпадает с запаздыванием. Существование такого решения связано с наличием симметрий у математической модели, которая описывается системой дифференциальных уравнений с запаздыванием второго порядка. Установлена возможность использования бифуркационного метода исследования устойчивости периодических решений для системы уравнений второго порядка. Его применение позволило доказать неустойчивость обнаруженного периодического решения. Глобальное поведение математической модели было изучено в ходе компьютерного моделирования динамических процессов.

Краткое содержание работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие результаты:

- Предложена новая модификация метода вспомогательных систем Шиманова при построении уравнений разветвления в бифуркации Андронова-Хопфа для дифференциального уравнения с запаздыванием.

- Получены достаточные условия рождения периодического решения из положения равновесия.

- Найден коэффициентный признак устойчивости периодического решения с малой амплитудой.

- Для нелинейного дифференциального уравнения с запаздыванием получены условия устойчивости и неустойчивости антисимметрических и симметрических периодических решений с конечными амплитудами.

- Для дифференциальных уравнений с симметриями теоретически обосновано применение бифуркационного метода исследования устойчивости периодических решений.

- Предложены алгоритмы численного моделирования устойчивых периодических решений.

1. Азбелев Н.В. Устойчивость линейных систем с последействием // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Новосибирск. 1988. С. 65-72.

2. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь: Изд-во Пермского университета. 2001. 230 с.

3. Ахмеров P.P., Каменский М.И., Потапов А.С. Меры некомпактности и уплотняющие операторы. Новосибирск:Наука. 1986. 266 с.

4. Бабский В.Г., Мышкис А.Д. Математические модели в биологии связанные с учетом последействия// В кн. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. М.:Наука. 1983. С. 383-394.

5. Березанский JI.M. Развитие W-метода Н.В. Азбелева в задачах устойчивости решений линейных функционально-дифференциальных уравнений// Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22, № 5. С. 739-750.

6. Борисович Ю.Г., Субботин В.Ф. Оператор сдвига по траекториям эволюционных уравнений с запаздывающим аргументом//Докл. АН СССР. 1967. Т. 175. С. 9-12.

7. Борисович Ю.Г. О методе Пуанкаре Андронова в задаче о периодических решениях дифференциальных уравнений с запаздыванием//Докл. АН СССР. 1963. Т. 152. С. 779-782.

8. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука. 1969. 528 с.

9. Вальтер Х.О., Скубачевский А.Я. О мультипликаторах Флоке для медленно осциллирующих периодических решений нелинейных функционально-дифференциальных уравнений//Труды московского математического общества. 2003. Т. 64. С. 3-33.

10. Вальтер Х.О., Скубачевский A.JI. О гиперболичности быстро осциллирующих периодических решений функционально-дифференциальных уравнений// Функциональный анализ и его приложения. 2005. Т. 39, Вып. 1. С. 82-85.

11. Вальтер Х.О., Скубачевский A.JJ. О спектре оператора монодромии для медленно осциллирующих периодических решений функционально-дифференциальных уравнений// Докл. РАН. 2002. Т. 384, № 4. С. 442-445.

12. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существования. М.:Наука. 1976. 288 с.

13. Гамумов Р. Динамика системы с нелинейным ростом размножения "жертв"// Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24, № 7. С. 1263-1265.

14. Гасилов Г.Л. О характеристическом уравнении системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием// Известия вузов. Математика. 1972. № 4. С. 60-66.

15. Долгий Ю.Ф., Захаров А.В. Периодические колебания в консервативных системах с малым запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 10. С. 1299-1309.

16. Долгий Ю.Ф., Колупаева О.С. Бифуркация Хопфа для дифференциальных уравнений с малым запаздыванием//Вестник ПГТУ. Функционально-дифференциальные уравнения. 1997. JV® 4. С. 84-90.

17. Долгий Ю.Ф. Метод вспомогательных систем Шиманова в задачах построения уравнений разветвления//Известия Уральского государственного университета. 2003. № 26. (Математика и механика. Вып. 5.) С. 55-65.

18. Долгий Ю.Ф. Метод вспомогательных систем Шиманова в задачах периодических колебаний автономных систем//Тезисы докладов VII международного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем уравнений". Москва. 2002. С. 24-26.

19. Долгий Ю. Ф. Автоматическое регулирование. Свердловск. Изд-во УрГУ. 1987. 100 с.

20. Долгий Ю.Ф., Николаев С.Г. Устойчивость периодического решения нелинейного дифференциального уравнения с запаздыванием// Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № 5. С. 592-600.

21. Долгий Ю. Ф. Устойчивость периодических дифференциально-разностных уравнений. Екатеринбург: УрГУ. 1996. 84 с.

22. Долгий Ю.Ф., Нидченко С.Н. Устойчивость антисимметрических периодических решений дифференциальных уравнений с запаздыванием// Известия Уральского государственного университета. 2005. JV8 38. (Математика и механика. Вып. 8.) С. 50-68.

23. Долгий Ю.Ф., Нидченко С.Н. Бифуркационный метод исследования устойчивости решения дифференциального уравнения с запаздыванием// Сибирский математический журнал. 2005. Т. 46, № 6. С. 1288-1301.

24. Долгий Ю.Ф., Нидченко С.Н. Устойчивость антисимметрических периодических решений дифференциальных уравнения с запаздыванием // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Екатеринбург:УрГУ. 2004. С. 159-160.

25. Дроздов А.Д., Колмановский В.Б., Тримсанте Д. Об устойчивости системы "хищник-жертва"// Автоматика и телемеханика. 1992. № 11. С. 57-64.

26. Захаров А.В. Устойчивость периодических решений дифференциального уравнения второго порядка с запаздыванием // Дифференциальные уравнения и процессы управления. Электронный журнал. 2005. № 1. 20 с.

27. Зверкин A.M. К теории дифференциально-разностных уравнений с запаздываниями соизмеримыми с периодом коэффициентов// Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24, № 9. С. 1481-1492.

28. Зубов В.И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л.: Судпромгиз. 1962. 631 с.

29. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.:Наука. 1977. 744 с.

30. Кащенко С.А. О сложных периодических решениях системы дифференциально-разностных уравнений с малой диффузией//Докл. АН СССР. 1989. Т. 306. JV« 1. С. 35-38.

31. Кащенко С.А. Циклические риски и системы с запаздыванием. В кн. Управление риском. Риск. Устойчивое развитие. Синергетика. М.:Наука. 2000. С. 201425.

32. Кащенко С.А. Стационарные режимы в задаче хищник-жертва. Киев:Препр. ИМ АН УССР. 1984. № 84.

33. Клейменов А.Ф., Шиманов С.Н. К вопросу о существовании и построении периодических решений систем с запаздыванием, близких к системам Ляпунова// Дифференциальные уравнения. 1968. Т. 4, № 7. С. 1199-1211.

34. Клейменов А.Ф. Существование и устойчивость периодических решений систем Ляпунова// Дифференциальные уравнения. 1968. Т. 4, Л» 8. С. 1431-1440.

35. Колесов Ю.С., Швитра Д.И. Автоколебания в системах с запаздыванием. Виль-нюс:Мокслас. 1979. 147 с.

36. Колесов Ю.С. Некоторые задачи математической экологии// Дифференциальные уравнения и их применение. Вильнюс. 1981. Вып. 29. С. 27-34.

37. Колесов Ю.С. Математические модели в экологии// Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль. 1979. С. 3-40.

38. Колесов А.Ю., Колесов Ю.С. Релаксационные колебания в математических моделях экологии. Труды МИРАН. 1993. Т. 199.

39. Колмановский В.В., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.:Наука. 1981. 448 с.

40. Ким А.В. Ко второму методу Ляпунова для систем с последействием// Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21, № 3. С. 385-391.

41. Ким А.В. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости систем с последействием. Екатеринбург:УрГУ. 1992. 144 с.

42. Красносельский М.А. Альтернативный принцип существования периодических решений для дифференциальных уравнений с запаздыванием//Докл. АН СССР. 1963. Т. 152, № 4. С. 801-804.

43. Красносельский М.А. К теории периодических решений неавтономных дифференциальных уравнений// Успехи математических наук. 1966. Т. 21, 3. С. 5374.

44. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Стрыгин В.В. Об одном новом методе в задаче о периодических решениях уравнения с отклоняющимся аргумен-том//Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. 1967. Т. 5. С. 116-121.

45. Красовский Н.Н. О периодических решениях дифференциальных уравнений с запаздыванием времени// Докл. АН СССР. 1957. Т. 114, № 2. С. 252-255.

46. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физ-матгиз. 1959. 221 с.

47. Курбатов В. Г. Об устойчивости функционально-дифференциального уравнения на оси и полуоси // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22, № 6. С. 923 927.

48. Майоров В.В., Мышкин И.Ю. Математическое моделирование нейронов сети на основе уравнений с запаздыванием//Математическое моделирование. 1990. Т. 2, № 11. С. 64-76.

49. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.:ГИТТЛ. 1956. 492 с.

50. Малыгина В.В. Об устойчивости уравнений с периодическими параметрами // Функционально-дифференциальные уравнения. Пермь. 1987. С. 41-43.

51. Мартынюк Д.И., Самойленко A.M. Периодические решения нелинейных систем с запаздыванием// Математическая физика. Киев. 1967. № 3. С. 128-145.

52. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты. М.:Наука. 1991. 304 с.

53. Митрополъский Ю.А., Фодчук В.И. Асимптотические методы нелинейной механики применительно к нелинейным дифференциальным уравнениям с запаздыванием аргумента//Украинский математический журнал. 1966. Т. 18, № 3. С. 65-84.

54. Митрополъский Ю.А., Мартынюк Д. И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием. Киев: Вища школа. 1979. 247 с.

55. Недорезов JI.B., Утюпин Ю.В. Об одной модели системы хищник- жертва с запаздыванием// Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. Т. 4, № 4. С. 67-74.

56. Нидченко С.Н. Существование и устойчивость периодического решения квазилинейного дифференциального уравнения с запаздыванием // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. VII международный семинар. Тезисы докладов. М.:ИПУ. 2002. С. 13-14.

57. Нидченко С.Н. Численное моделирование периодических решений для нелинейных уравнений с запаздыванием // Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ. Воронеж:ВГУ. 2003. С. 98-99.

58. Нидченко С.Н. Существование и устойчивость антисимметрических периодических решений в нелинейных системах с запаздыванием // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. VIII международный семинар. Тезисы докладов. М.:ИПУ. 2004. С. 132-134.

59. Нидченко С.Н. Периодические решения в математической модели "хищник -жертва"// Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ. Воронеж:ВГУ. 2005. С. 113-114.

60. Нидченко С.Н. Бифуркация периодических движений в нелинейных системах с запаздыванием // Деп. в ВИНИТИ 29.08.01. М910-В2001. Уральский государственный университет. 2001. 34 с.

61. Нидченко С.Н. Рождение периодических решений дифференциального уравнения с запаздыванием из положения равновесия // Дифференциальные уравнения и процессы управления. Электронный журнал. 2005. № 4. 50 с.

62. Нидченко С.Н. Устойчивость периодических решений одного дифференциального уравнения с запаздыванием// Труды 31-й Региональной молодежной конференции. Проблемы теоретической механики. Екатеринбург. 2000. С. 55-56.

63. Нидченко С.Н. Рождение периодических решений дифференциального уравнения с запаздыванием из положения равновесия// Известия института математики и информатики. Ижевск. 2006. Вып. 3, № 37. С. 111-112.

64. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Наука. 1982. 331 с.

65. Родионов A.M. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием//Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. 1963. Т. 2. С. 200-207.

66. Рожков В. И. Асимптотическое представление периодического решения уравнения нейтрального типа с малым запаздыванием//Прикладная математика и механика. 1963. Т. 27, Вып. 6. С. 1143-1147.

67. Рожков В.И. Асимптотика периодического решения уравнения нейтрального типа с малым запаздыванием//Докл. АН СССР. 1968. Т. 18, № 5. С. 1041-1044.

68. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука. 1969. 288 с.

69. Рябов Ю.А. Применение метода малого параметра Ляпунова-Пуанкаре в теории систем с запаздыванием//Инженерный журнал. 1961. Т. 1, № 2. С. 3-15.

70. Рябов Ю.А. Метод малого параметра в теории периодических решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом//Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. 1962. Т. 1. С. 103-113.

71. Садовский Б.Н. Применение топографических методов в теории периодических решений нелинейных дифференциально-операторных уравнений нейтрального типа//Докл. АН СССР. 1971. Т. 200, № 5. С. 1037-1048.

72. Сергеев B.C. О предельно периодических движениях в некоторых системах с последействием//Прикладная математика и механика. 2004. Т. 68, № 85. С. 857869.

73. Симонов П.М. Теоремы об устойчивости обобщенных линейных периодических уравнений// Функционально-дифференциальные уравнения. ПермыППИ. 1986. С. 23-26.

74. Смолин Ю.Н. Некоторые вопросы теории функционально-дифференциальных моделей. Магнитогорск:МаГУ. 2003. 341 с.

75. Смолин Ю.Н. Экспоненциальная устойчивость почти периодических решений дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39, № 9. С. 1282-1285.

76. Степанов A.M. Особенности динамики двух конкурирующих видов в простейшем случае//Современные проблемы математики и информации. 2005. N2 7. С. 104-109.

77. Субботин В.Ф. Теоремы существования периодических решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом// Украинский математический журнал. 1966. Т. 18, № 4. С. 128-134.

78. Тонкое E.JI. Показатели Ляпунова и ляпуновская приводимость линейных систем с последействием // Вестник Удмуртского университета. Математика. Ижевск. 2001. № 3. С. 13-30.

79. Тышкевич В.А. Некоторые вопросы теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений. Киев:Наукова думка. 1981. 80 с.

80. Фишман А.З. Об отыскании периодических движений систем с запаздывани-ем//Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65, Вып. 1. С. 165-168.

81. Фодчук В.И., Холматов А. О теории асимптотического метода Крылова-Боголюбова для функционально-дифференциальных уравнений//Украинский математический журнал. 1974. Т. 26. С. 634-675.

82. Фодчук В.И., Холматов А. Периодические и почти-периодические решения сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений нейтрального ти-па//Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12, № 6. С. 1019-1027.

83. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир. 1984. 421 с.

84. Хусаинов Д.Я., Шатырко А.В. Метод функций Ляпунова в исследовании устойчивости дифференциально-функциональных систем. Киев: Издательство Киевского университета. 1997. 236 с.

85. Хэссард В., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир. 1985. 280 с.

86. Цой К.М., Шиманов С.Н. О периодических колебаниях квазилинейных автономных систем с запаздыванием//Известия вузов. Радиофизика. 1967. Т. 10, № 3. С. 345-352.

87. Цой К.М. Периодические колебания квазилинейных автономных систем с за-паздыванием//Известия вузов. Радиофизика. 1964. Т. 7, № 6. С. 1170-1179.

88. Шиманов С.Н. К теории колебаний квазигармонических систем с запаздывани-ем//Прикладная математика и механика. 1959. Т. 23, Вып. 5. С. 836-844.

89. Шиманов С.Н. К теории квазигармонических колебаний//Прикладная математика и механика. 1952. Т. 16, Вып. 2. С. 129-146.

90. Шиманов С.Н. Об одном способе получения условий существования периодических решений нелинейных систем//Прикладная математика и механика. 1955. Т. 19, Вып. 2. С. 225-228

91. Шиманов С.Н. Колебания квазилинейных автономных система с запаздывани-ем//Известия вузов. Радиофизика. 1960. Т. 3, № 3. С. 456-466.

92. Шиманов С.Н. К теории колебаний квазилинейных систем с постоянным запаздыванием//Автоматика и телемеханика. 1960. Т. 21, № 6. С. 706-709.

93. Шиманов С.Н. Об устойчивости квазигармонических систем с запаздыванием// Прикладная математика и механика. 1961. Т. 25, Вып. 6. С. 992-1002.

94. Шиманов С.Н. О почти периодических решениях неоднородных линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием // Известия вузов. Математика. 1958. № 4. С. 270-274.

95. Шиманов С. Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием времени // Прикладная математика и механика. 1963. Т. 27, Вып. 3. С. 450-458.

96. Шиманов С.Н. Об отыскание характеристических показателей систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами// Прикладная математика и механика. 1958. Т. 22, Вып. 3. С. 382-385.

97. Шиманов С.Н. О неустойчивости движения систем с запаздыванием по времени// Прикладная математика и механика. 1960. Т. 24, Вып. 1. С. 55-63.

98. Эльсгольц Л.Э. Некоторые свойства периодических решений линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргумен-том//Вестник МГУ. Сер. матем., мех., астроном., физ., хим. 1959. Вып. 5. С. 229-234.

99. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.:Наука. 1971. 296 с.

100. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.:Наука. 1972. 720 с.

101. Chafee N. The bifurcation problem for a functional differential equation of finitely retarded type//Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1971. V. 35, N. 2. P. 312-348.

102. Chow S., Mallet-Paret J. Integral averaging and bifurcation j j Journal of Differential Equations. 1977. V. 26, N. 1. P. 112-159.

103. Claeyssen J.R. Effect of delays on functional differential equations// Journal of Differential Equations. 1976. V. 20, N. 2. P. 404-440.

104. Dormayer P. The stability of special symmetric solutions of x(t) = af(x(t — 1)) with small amplitudes// Nonlinear analysis, theory, methods and applications. 1990. V. 14. N. 8. P. 701-715.

105. Dormayer P. Smooth bifurcation of symmetric periodic solutions of functional differential equations // Nonlinear Analysis, Methods and Applications. 1990. V. 14, N. 8. P. 701-715.

106. Dormayer P., Ivanov A. F., Lani-Vayda B. Floquet multipliers of symmetric rapidly oscillating solutions of differential delay equations // Tohoku Math. J. 2002. V. 54, N. 3. P. 419-441.

107. Gopalsamy K. Stability and oscillations in delay differential equations of population dynamics. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht. 1992.

108. Grafton R.B. A periodicity theorem for autonomous functional differential equations// Journal of Differential Equations. 1969. V. 6, N. 1. P. 87-109.

109. Grafton R.B. Periodic solutions of certain Leinard equation with delay// Journal of Differential Equations. 1972. V. 11, N. 3. P. 519-527.

110. Hahn W. On difference diferential equations with periodic coefficients // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1961. V. 3, N. 1. P. 70-101.

111. Hai-Feng H., Wan-Tong L., Periodic solutions of delayed Leslie-Gower predator-prey models//Applied Mathematics and Computation. 2004. V. 155, N. 3. P. 591-605.

112. Halanay A. Stability theory of linear periodic systems with delay // Revue de Math-matiques Pures et Appliques. 1961. V. 4, N. 4. P. 633-653.

113. Halanay A. Periodic and almost periodic solutions of differential equations with delay//Revue de Mathmatiques Pures et Appliques. 1959. V. 4, N. 4. P. 685-691.

114. Halanay A. Solutions periodiqres des systemes generaux a retarolement dans le cas de la resonance// C.R. Acad.Sci. 1960. V. 251, N. 18. P. 1856-1858.

115. Halanay A. On the method of averaging for differential equations with retarded argument// Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1966. V. 14, N. 1. P. 70-76

116. Hale J.K. Nonlinear ascillation in equations with delay// Nonlinear ascillations in biology. Lectures in Applied Mathemacises. V. 171. Amer. Mat. Soc. Providence. R.l. 1979.

117. Hausrath A. R. Stability in the critical case of purely imaginary roots for neutral functional differential equations// Journal of Differential Equations. 1973. V. 13, N. 2. P. 329-357.

118. Hutchinson G.E. Circular causal systems in ecology// Ann. N.Y. Acad. Sci. 1948. V. 50. P. 221-246.

119. Jones G. The existence of periodic solutions of f '(x) = —af(x—l)l+/(x).//Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1962. V. 5, N. 3. P. 435-450.

120. Jones G. On the nonlinear differential difference equation f (x) = —af(x — 1)1 4-/(x).//Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1962. V. 4, N. 3. P. 440469.

121. Kaplan J. L., Yorke J. A. On the stability of a periodic solution of a delay differential equation// SIAM. J. Math. Ana. 1975. V. 6. P. 268-282.

122. Kaplan J. L., Yorke J. A. Ordinary differential equations which yield periodic solutions of differential delay equations// Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1974. V. 48, N. 2. P. 317-324.

123. Kazarinoff N.D., Wan Y.H., van den Driessche P. Hopf bifurcation and stability of periodic solution of differential-difference and integro-differential equations//J. Inst, of Math, and Ins. Appl. 1978. V. 21. P. 461-477.

124. May R. Time-delay versus stability in population models with two and three trophic levels//Ecology. 1973. V. 54. P. 315-325.

125. Mukhopadhyay В., Bhattacharyya R. J. Dynamics of a delay diffusion prey-predator model with disease in the prey//Applied Mathematics and Computation. 2005. V. 17, N. 1-2, P. 361-377.

126. Nussbaum R. A global bifurcation theorem with applications to functional differential equations// Journal of Functional Analysis. 1975. V. 19, N. 4. P. 319-339.

127. Nussbaum R. Periodic solutions of some nonlinear autonomous functional differential equations// Annals matematica pura ed applicata. 1974. V. 10. Ser. 4. P. 263-306.

128. Rui X., Chaplain M. A. J., Dowidson F. A.Periodic solutions of predator-prey model with stage structure for predator//Applied Mathematics and Computation. 2004. V. 154, N. 3, P. 847-870.

129. Rui X., Lan-sun C., Fei-long Я-Periodic solutions of a delayed predator-prey model with stage structure for prey//Aeta math, appl, sin. Eupe Ser. 2004. V. 20, N. 2. P. 323-332.

130. Schley D. Bifurcation and stability of periodic solutions of differential equations with state-dependent delays// European Journal of Applied Mathematics. 2003. V. 14, N. 1. P. 3-14.

131. Stirzaker D. On a population model// Mathematical Biosciences. 1975. V.23, N. 34. P. 329-336.

132. Stokes A.P. A Floquet theory for functional differential equations// Proc. Nat. Acad, of Sci. U.S.A. 1962. V. 48. P. 1330-1334.

133. Walther H. Existence of a nonconstant periodic solution of a nonlinear nonau-tonomous functional differential equation representing the growth of a single species population// J. Math. Bio. 1975. V. 1. P. 227-240.

134. Walther H. Stability of attractivity regions for autonomous functional differential equations// Manuscripta Math. 1975. V. 15. P. 349-363.

135. Wang W., Ruan S. Bifurcations in an epidemic model with constant removal rate of the infectives// Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2005 V. 291, N. 2. P. 775-793

136. Wright E.M. A nonlinear differential difference equation// J. Reine Augew. Math. 1955. V. 194. P. 66-87.

137. Xu R., Chaplain M.A.J., Dowidson F.A. Periodic solution of a Lotka-Valterra predator-prey model with dispersion and time delays//Applied Mathematics and Computation. 2004. V. 148, N. 2. P. 537-560.

138. Yongli S., Junjie W. Local Hopf bifurcation and global periodic solutions in a delayed predator-prey system//Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2005. V. 301, N. 1. P. 1-21.

139. Zhengqin Z., Zhicheug VF.Periodic solutions of two-species ratio-dependent predator-prey system with time delay in a two-patch environment//Auziam Journal. 2003. V. 45, N. 2. P. 233-244.