Влияние запаздывания на периодические колебания в консервативных системах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукопис и УДК 517 429

Захаров Андрей Владимирович

ВЛИЯНИЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ НА ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург - 2006

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Уральского государственного университета им. A.M. Горького

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Долгий Ю.Ф.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Сесекин А.Н.

кандидат физико-математических наук, доцент Ряшко Л.Б.

Ведущая организация:

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва

Защита состоится " 14 " июня 2006 г. в f /ч. && мин. на заседании диссертационного совета Д 004.006.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Институте математики и механики Уральского отделения РАН по адресу:

620219, г.Екатеринбург, ул. Софьи Ковалевской, 16

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан " & " мая 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук

Успенский А.А.

/е&Г

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В консервативной системе с одной степенью свободы, описываемой обыкновенным дифференциальным уравнением dfix

¿p +/(*)= 0, хб(-о,а), (1)

где / - непрерывная нечетная функция на интервале (-a, a), f(x) > 0 при х € (0, а), существует однопараметрическое семейство периодических решений, период которых зависит от начальных условий. В работах JT.C. Понтря-гина, A.M. Каца, И.Г. Малкина, В.Н. Тхая установлено, что малые неконсервативные возмущения консервативной системы могут привести к распаду семейства периодических решений и появлению устойчивых предельных циклов. В представляемой диссерцации возмущающим фактором для уравнения (1) является запаздывание.

Теория нелинейных периодических колебаний дифференциальных уравнений с запаздыванием играет важную роль в исследовании математических моделей динамических систем- с последействием. Существенный вклад в ее развитие внесли Ю.Г. Борисович, В.Б. Колмановский, Ю-С. Колесов, М.А. Красносельский, Ю.И. Митропольский, В.И. Рожков, В.П. Рубаник, Ю.А. Рябов, С.Н. Шиманов, А. Халанай, S. Chow, J.K. Hale, J. Mallet-РагеЬ.Для дифференциальных уравнений с запаздыванием получили развитие известные методы теории нелинейных колебаний: Ляпунова-Пуанкаре, усреднения, бифуркации Андронова-Хопфа, векторных полей. Особое внимание уделялось изучению дифференциальных уравнений с малым запаздыванием. В работах М.А. Красносельского, Д.А. Взовского, P.P. Ахме-рова, В.И. Кузнецовой, С.Н. Шиманова, A.B. Курныша, Х.Р. Латипова и Ф.У. Носирова, В.В. Матросова, Ю.Ф. Долгого, С.В. Богатовой, Е. FVid-man, D.W. Luse, показано, что введение малого запаздывания в систему дифференциальных уравнений может существенно изменить качественную картину поведения ее решений. Вопросы существования и устойчивости периодических решений наиболее разработаны для дифференциальных уравнений второго порядка. Здесь можно отметить работы: К.Г. Молловой, А.Ю. Коломийца, Д.С. Кащенко, А.Ю. Колесова, Н.Х. Розова, Л.З. Фиш-мана, D.E. Gilsinn, Z. Guo, Y. Xu, S. Lu, W. Ge, S. Ma, Q. Lu, T. Furumochi, G. Metzen, K. Wen, P. Chen, J.S. Turnes, F.G. Boese, B. Zhang.

Цель работы. Изучение влияния запаздывания на периодические колебания в консервативной системе. Нахождение условий, которые гарантируют появление в системе с запаздыванием изолированных периодических решений. Получение достаточных условий устойчивости этих решений.

РОС. Н\ЦИОН ВИС iИ01

С.-Г' ->■)г,пг

Ж АЛЫМ Л Э1ПД I

1 г, рг

Методика исследования. Используются методы нахождения периодических решений консервативных систем и близких к ним систем, а при изучении устойчивости периодических решений - методы подсчета характеристических показателей для квазигармонических систем. При оценке расположения спектра оператора монодромии используются специальные краг евые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. При реализации бифуркационного подхода к исследованию движения собственных чисел краевой задачи по комплексной плоскости используются методы и результаты теории возмущений и теории краевых задач.

Научная новизна. Результаты, представленные в диссертации, являются новыми и позволяют находить изолированные устойчивые периодические решения в консервативных системах, возмущенных запаздыванием.

- Получены условия существования изолированных периодических решений для консервативных систем, возмущенных малым запаздыванием.

- Обоснован аналитический признак устойчивости изолированного периодического решения для консервативных систем, возмущенных малым запаздыванием.

- Получены условия существования изолированных периодических решений с периодом, равным запаздыванию, для консервативных систем, возмущенных конечным запаздыванием.

- Разработан бифуркационный метод исследования устойчивости изолированных периодических решений консервативных систем, возмущенных конечным запаздыванием.

- Сформулированы и обоснованы достаточные условия существования изолированных устойчивых периодических решений.

- Изучено влияние запаздывания на движение релятивистской частицы в кулоновском поле.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на

- 30-й Региональной молодежной школе-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 1999);

- 31-й Региональной молодежной школе-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". (Екатеринбург, 2000);

- 32-й Региональной молодежной школе-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2001);

- VII Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления "(Москва, 2002);

- XXV Конференции молодых ученых механико-математического фаг культета МГУ (Москва, 2003);

- Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2004);

- VIII Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления "(Москва, 2004);

- научных семинарах кафедры теоретической механики в Уральском государственном университете.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-11]. *

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Нумерация параграфов в работе двойная: первый индекс - номер главы, второй индекс - порядковый номер параграфа внутри главы. Нумерация формул и утверждений также двойная: первый индекс - номер главы, второй индекс - порядковый номер формулы (утверждения) внутри главы. Общий объем диссертации 118 страниц, библиография содержит 139 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сделал краткий обзор литературы по теме диссертации, обоснована актуальность исследуемой проблемы и изложены основные результаты данной работы.

Глава 1 посвящена изучению влияния малого запаздывания на периодические колебания в консервативных системах. Рассматривается дифференциальное уравнение с запаздыванием

£M + F{x{t),x(t-T))= О, (2)

где F - скалярная функция аргументов х и хт трижды непрерывно дифференцируемая в области (-а, о) х (-о, а), т - малое положительное запаздывание. При т = 0 уравнение (2) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение (1). Решение xq уравнения (1) с начальными условиями

®о(0,А0 = М, ¿о(0. ц) = 0, р, е (0, а), является периодическим по времени с периодом То'д).

В параграфе 1.1 приводится постановка задачи нахождения периодических решений уравнения (2). Для фиксированного значения д» б (0, а) рассматривается периодическое решение а\(£) = £ € К, уравнения (1) с периодом Г* = Го(д,). Требуется при малых положительных значениях параметра т найти Т-периодические решения уравнения (2), допускающие асимптотики

Т = Т.(1 + 0(т)), х{Ь,т) = х.Ц) + 0(т), ¿ей, (3)

и удовлетворяющие условию ¿(0, т) = 0.

При малых положительных г, проводя в уравнении (2) замену переменных Ь - (1+та)з, х((1+та)8) = х*(в)+тх(в), приходим к задаче нахождения Т,-периодического решения х(з,т), л € К, дифференциального уравнения с запаздыванием

сРх(8)

—^г-^ат(а)х(з) + /(8,а)+тФ(8,х,хт,а,г) =0, (4)

удовлетворяющего условию дх(0,т)/дз = 0. Здесь а,(я) = /'(х„(з)); /(в,а) = 2а/(х«,{в)) - Р2(х,(з))х,(з), в, а € К, Р2(х) = 0Р(х,х)/дхт. Введем функцию

ТоМ

Р(/х) = I Ег{х0{8,ц))х1{8ф)<18, д£(0,а). о

Будем полагать, что функция Р имеет простой нуль ц, 6 (0,а), т. е. Р'„ = Р'(ц.) Ф 0. Для такого значения параметра неоднородное дифференциальное уравнение

— + а„(з)х + /(я, а) = 0

при любом а € К имеет однопараметрическое семейство Г*-периодических решений 7, а), я,7, а 6 К, при дополнительном условии Т1 = Ф 0,

которое мы будем предполагать выполненным. Здесь у - произвольный вещественный параметр.

Используя метод вспомогательных систем С.Н. Шиманова1, доказывается

1 Шимаиов С И Об одном способе получения условий существования периодических решений нелинейных систем // Прикл матем и иехяи 1955 Т 19, вып 2 С 255-228

Лемма 1.1. Пусть Р - трижды непрерывно дифференцируемая функция в области (—а, а) х(—а, а), / - нечетная функция на интервале (—а,а), /(¡г) > 0 при х 6 (О, а) и функция Р имеет простой нуль д» £ (О, а), удовлетворяющий условию Т'ч О, Тогда для существования Т,-периодического решения уравнения (4) при малых положительных значениях т необходимо и достаточно, чтобы существовало решение уравнения

Т.

х(з) = 7, а) +т ! С{з,г)Ф(г,х(г),хт{г),а,т)с1г, з,7,аеК, (5) о

удовлетворяющее условию Ф(г,х(г),хг(г),а,г)хф(2)с1г - О, а € К. Здесь (? - функция Грина для периодической задачи.

Лемма 1.2. Пусть выполнены условия леммы 1.1. Тогда при малых положительных значениях т уравнение (5) имеет единственное решение.

Далее через х(з, 7, о, т), з, 7, а К, обозначается решение уравнения (5), непрерывно зависящее от своих аргументов.

Лемма 1.3. Пусть выполнены условия леммы 1.1. Тогда решение г(з,7, а, т), з € К, будет Т,-периодическим решением уравнения (4) при малых положительных значениях т тогда и только тогда, когда выполняется условие

Т.

<2(7 ,а,т) = J Ф(з,х(з,'у,а,т),хт{8,'у,а,т),а,т)х,(з)(1з = 0, 7,а€1Я

о

Согласно лемме 1.3, существование Т.-периодического решения т), Ь € Е, уравнения (4), удовлетворяющего условию дх(0, т)/дз = 0, связано с разрешимостью системы уравнений

0(7, а, г) = 0, д*(°2а'Т)=0, 7,авК

Теорема 1.1. Пусть выполнены условия леммы 1.1. Тогда дифференциальное уравнение (2) при малых положительных значениях т имеет единственное периодическое решение £(£, т), 4 6 К, допускающее асимптотики (3) и удовлетворяющее условию х(0, г) = 0.

Показано, если функция Р явно не зависит от ж, то уравнение (2) не имеет периодических решений при г > 0.

В параграфе 1.2 изучен вопрос устойчивости найденного периодического решения. С помощью методики нахождения характеристических показателей, изложенной в работе2 С.Н. Шиманова, вычисляется ненулевой ха-

Р'

рактеристический показатель А(т) - *—-т + о(т), от которого зависит устойчивость уравнения возмущенного движения.

Теорема 1.2. Пусть выполнены условия теоремы 1.1. Тогда при малых положительных значениях т периодическое решение, определяемое , этой теоремой, устойчиво, если Р„' < 0, и неустойчиво, если Р» > 0.

В параграфе 1.3 представлены результаты численных экспериментов. Приведено три примера дифференциальных уравнений с малым запаздыванием с различными функциями Р1, показывающих наличие искомых предельных циклов.

Глава 2 посвящена изучению вопросов существования и устойчивости т-периодических решений скалярного нелинейного дифференциального уравнения с запаздыванием (2), где .Р - непрерывная функция по совокупности аргументов х и хТ в области (—а, а) х (—а, а), а > 0, Р(0,0) = 0 и т -положительное число. Рассмотрена система, для которой }(х) = г), х е (—а, а), - нечетная функция, /(х) > 0 при х е (0,а) и существует производная /'(0) > 0.

Искомое т-периодическое решение уравнения (2), если оно существует, принадлежит семейству периодических решений обыкновенного автономного дифференциального уравнения второго порядка (1). В этой главе диссертации показано, что введение запаздывания в консервативную систему, описываемую уравнением (1), может привести к появлению изолированных периодических решений. Приведены достаточные условия устойчивости этих решений.

В параграфе 2.1 обсуждаются вопросы существования периодического решения уравнения (2) и предлагается метод исследования его устойчивости.

Периодическое решение £ 6 К, д £ (0, а), уравнения (1) с началь-

ными условиями х(0, ц) = ц, х(0,д) = 0 имеет период Т(ц).

Предложение 2.1. Пусть ^ - непрерывная функция в области (—а, а) х (-а, а), ^(0,0) = 0, функция / нечетна, /(х) > 0 при

2 Шгхма**ов С И Об устойчивости кваэигармонических систем с запаздыванием // Прикл матем. и механ 1961. Т 25, вып. в С 992-1002

й

х € (О,а) к существует производная /'(0) > 0. Тогда для существования т-периодического решения дифференциального уравнения с запаздыванием (2) необходимо и достаточно, чтобы число т принадлежало интервалу Цп£в Т(/и),о|и^ Т(ц)). Этот интервал дополняется значением * =0Й£. Т<Шг = ¿>'(^1, если 01пГа = ТЫ) ^ 2» = ТШ для некоторого ¡х\ € (0,а) [/х2 € (0, а)].

Изучаются свойства функции периода Т, связанные с задачей определения числа различных т-периодических решений уравнения (2).

При исследовании на устойчивость периодического решения дифференциального уравнения с запаздыванием (2) х0(£) = х(£,^°), £ б И, где -некоторый корень уравнения Т(р.) = т, предполагаем, что Р - непрерьгено дифференцируемая функция в области (-а, а) х (-а, а). Запишем уравнение линейного приближения

т + + £<Е К, (6)

V

для уравнения возмущенного движения. Здесь Р\(х) = дР(х,х)/дх, ^(х) = дР(х,х)/дхт, х 6 (-а, а). Использование аналога теоремы Андронова-Витта3 позволяет свести задачу исследования устойчивости периодического решения к изучению устойчивости уравнения линейного приближения (б). Это уравнение содержится в однопараметрическом семействе дифференциальных уравнений с запаздыванием

у(£) + Л(»(«,/1)М«) + ~ Т(м» = 0, М € [0,о). (7)

Они принадлежат классу уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием, рационально соизмеримым с периодом. Для таких уравнений разработаны специальные методы исследования устойчивости4"&>6.

Используя замену независимой переменной можно избавиться от зависимости запаздывания от параметра /л и заменить семейство уравнений (7) семейством систем дифференциальных уравнений с запаздыванием

■/¿г(з)^Й1(з,ц)у(з) + Н2(з, д)у(з ~2тг), в € = [0, +оо), (8)

3Хейл Док Теория функциональнее-дифференциальных уравнений. - М. Мир, 1984 421 с.

4Ллсилов Г Л О характеристическом уравнения системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием // Изв вузов Математика 1972 X» 4 С 60-66

^ Заеркин А М К теории дифференциально-разностных уравнений с запаздываниями соизмеримыми с периодом коэффициентов // Дифференциальные уравнения 1988 Т 24 № 9 С 1481-1492

вДолаий Ю Ф Устойчивость периодических дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом// Автореферат диссертации на соискание ученой степени д ф -м наук Екатеринбург 1994 32 с.

Я

где J — {{0,1}т, {-1,0}т}, Т - значок транспонирования, #,. г = 1,2, -2тт-периодические матричнозначные функции, которые при каждом значении параметра ß € [0, а) и аргумента а е [0,2л-] удовлетворяют условиям Щ(з,ц) = Нг(з,р), г — 1,2, и определяются формулами

в которых x(-,/i) - 27г-периодическое решение уравнения dPx/ds2 + (Г2(м)/4тг2)/(х) = 0.

Следуя методике работы7 Ю.Ф Долгого и С.Н. Шиманова, задачу устойчивости систем (8) сведем к оценке расположения собственных чисел специальной краевой задачи

JQ> = (Ül(ti,ß)4-zÜ2(&,ß))ip, р 6 [0,а), (9)

ф(-2тг) = гф(0), г € С, (10)

для обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть Ф($,г,д) = \\0i}(d,z,ß)\\l * 6 [-2тт,0], ^ € С, ß € [0, о), = /2, /2 -

единичная матрица размерности 2 х 2, г е С, д 6 [0,а)) - нормированная фундаментальная матрица решений системы (9). Полагая A(ztß) = (фи (0,z,+ 02г(О, z,ß))/2, z £ С, ß G [0,а), записываем характеристическое уравнение

D(z,ß) = z2-2A{z,ß)z + l = 0, г 6 С, ¿¿е[0,а), (11)

определяющее собственные числа краевой задачи (9), (10). Это уравнение имеет корень z — 1. Следовательно, имеем критический случай в задаче устойчивости системы (8).

Теорема 2.2. Пусть выполняются требования предложения 2.1, функция F непрерывно дифференцируема в области (-а, а) х (—о, а) и T(ß°) = т. Тогда т-периодическое решение xo(t) = x(t,ß°), t € Е, системы (2), соответствующее значению ß = устойчиво, если внутри единичного круга {z : |г| < 1, z £ С} нет ни одного корня уравнения (11) и корень 2 = 1 является простым, и неустойчиво, если внутри единичного круга есть хотя бы один корень этого уравнения.

Далее в этом параграфе устанавливаются важные свойства корней уравнения (И)._

*Дотий Ю Ф , С И Существование чоны устойчивости для одного уравнения с запаз-

дыванием // Устойчивость и нелинейные колебания Свердловск УрГУ, 198S С 11-18

Лемма 2.1. Пусть выполнены условия предложения 2.1, функция Р непрерывно дифференцируема в области (-а,а) х (-а, о) и ^(х) ^ 0 на интервале (—а, а). Тогда собственное число г краевой задачи (9), (10) удовлетворяет условию ]г] = 1 в том и только в том случае, когда г = 1 или г=~1.

Собственные числа краевой задачи (9), (10), непрерывно зависящие от параметра ц € [0, а), при его изменении могут приходить внутрь единичного круга {г : |г| < 1, г е С} на комплексной плоскости или уходить из него только через точки на действительной оси г = 1 или г - -1.

Значения параметра, при которых переход происходит через точку г = 1, являются корнями уравнения

^ = „ер,«),

Переход окружности через точку г •= —1 имеет место для значений парат метра, удовлетворяющих уравнению

Л(-1,р) = -1, дб[0,а).

В параграфе 2.2 для вычисления периодических решений с малыми амплитудами использован метод систем Ляпунова8. Найдены асимптотические представления решения и периода решения системы (1) при малых значениях параметра д. Введены обозначения а, = /^(0)/(И), г = 1,3, и доказано

Предложение 2.3. Пусть / - нечетная непрерывно дифференцируемая функция в окрестности нуля, /(0) = 0, /(х) > 0 при х € (0,а), /'(0) > 0 и существует производная /"'(0). Тогда периодическое решение обыкновенного дифференциального уравнения (1) определяется формулой = х(2тгЬ/Т([х),ц), 4 6 Ж, где функции х и Т определяются асимптотическими разложениями

х(з,ц) = соз(й)д4 + ~-(сов(Зз) - соз^))^3 4- о(ц3), в £ К, 3201

"М-^1-к"

В параграфе 2.3 исследуется устойчивость уравнения (7) при малых значениях д. При условии четности функций г - 1,2, задаются их асимптотические разложения = а^' + га^'г/2 + "(у2), г = 1,2. При помощи метода Р-разбиения найдены множества в плоскости параметров Од], а^

^Моисеее ИИ Асимптотические методы нелинейной механики -М Наука, 3 969 380 с

из области D = : Oq1' + а^ > 0}, в которых характеристическое

уравнение

D{ А) = Л2 + 1 (<#> + agV2**) = 0 (12)

для уравнения (7) при /х = 0 имеет одинаковое количество чисто мнимых корней и корней с положительной действительной частью.

Через М обозначим точку области Т> с координатами а^1' и Оц2'. Введены множества £)-разбиения Е2 = |М : а'^ > а^ ' >

дВо = {М : а?» = |e<l\ 4a) > о}, Ео = {М : 0 < а^ < Щ4}.

Г0 = {М : = 0, а« > О}, Do = {М : < а<2) < о},

. = {М : = t'Hz)^' ^ < Г = °'2'4'-' =

{ц • 4-(г + 3)2 (1) (2) 4 — (г + I)2 (1)1 „ _ 2 4 Злесь Р ■ 4+(г + 3)2а° < % < 4 + (г + 1)2ао J ' Г ~ 4даСЬ НИЖ

ний индекс обозначает количество корней характеристического уравнения (12) с положительной действительной частью. Множества с литерой Е соответствуют положитатьным значениям параметра ац\ множества с литерой D соответствуют отрицательным значениям a¿'. Введена величина

к = \J(oq 5 - 4- а(02>). На множествах

dE0,dDr, г = 0,2,4,..., (13)

вьшолняются равенства к = п/2 при п = 1ип=г + 3. В множествах (13) характеристическое уравнение (12) имеет по два "дополнительных" чисто мнимых корня - \ = ik, А = —ik.

Система (8) является квазигармонической, то есть ее матрицы-функции Я;, i ~ 1,2, близки к постоянным матрицам. Найдены асимптотические представления характеристических показателей системы (8).

Предложение 2.4. Пусть F - трижды непрерывно дифференцируемая функция в области (—а,а) х (—a,a), f - нечетная, f(x) > 0 при х 6 (0,а), /'(0) > 0 и функции F,, г = 1,2, четные. Для точек М, принадлежащих множествам (13), характеристические показатели квазигармонической системы с запаздыванием (8), обращающиеся при ц = 0 в чисто мнимые характеристические показатели системы Jy(s) = Н- (s, O)y(s) + //г (s, 0)у (s — 27г) , s£tr = [0,-roo), определяются асимптотическими фор-

мулами:

Ах (ц) = I,

4(а? + тг24 ) )

ж _ Х(*)(1-*)(,(! ~к2)±Ш) + 2 8«о {4к2 + ъ2(1 - к2)2)

где х(к) = (2 — к2)а^ — (2 + к2)^ ф 0. Для других точек М 6 2) сохраняются только первый и второй характеристические показатели.

При нахождении характеристических показателей использовался метод С.Н. Шиманова. Получены представления корней характеристического уравнения (11), соответствующие найденным характеристическим показателям. Справедливо утверждение о переходе корней в точке г = — 1.

Следствие 2.3. Пусть выполняются условия предложения 2.4. Если точка М принадлежит множествам (13), то при возрастании параметра ц, от нуля пара комплексно сопряженных корней характеристического уравнения (11) сходит с единичной окружности в точке г = -1 во внешнюю часть [во внутреннюю часть] единичного круга {г : \г\ < 1, г £ С} при условии

*а(0)х(*) > 0 [Я,(0М*) < 0].

В заключение параграфа приведены три замечания, раскрывающие некоторые свойства корней характеристического уравнения (11).

В параграфе 2.4 доказывается лемма, определяющая вид фундаментальной матрицы решений системы в вариациях

^ = ь (14)

Лемма 2.2. Пусть /- непрерывно дифференцируемая функция на интервале (-а, а) и /(х) > 0 при х £ (0,а). Тогда фундаментальная матрица решений системы в вариациях (14) имеет вид

ф(»,аО =

/ дх(вф) Г{р), Жа,ц) 2у Ща,ц) \

д(м Т(ц)к 1 аз Т{11)/{ц) дя

2тг &х(а,ц) 2жТ'(ц). п ^х&ц.) 4тН &х{в,ц)

------- - - - ------------ -(в + ¿7Г)---- ----- ---------------------

\ т(м) двдц. ТЧр) ■ ' дз2 Г2М/(д) да2 / где з £ К, ц 6 [0,а).

Параграф 2.5 посвящен нахождению условий устойчивости периодических решений дифференциального уравнения с запаздыванием (2).

Определение 2.1. Параметр д = е [0, а) назовем критическим аргументом функции Т, если Т'(ца) = 0. Критический аргумент ца функции Т назовем невырожденным, если Т"{р,а) ф 0.

Лемма 2.3. Пусть выполнены условия леммы 2.1. Тогда корень г = 1 характеристического уравнения является кратным для тех и только тех значений параметра ц € (0,о), для копюрых Т'(д) - 0. Кратность непростого корня равна 2.

Лемма 2.4. Пусть выполняются условия леммы 2.1, функция / трижды непрерывно дифференцируема на интервале (—а, а,) г» критические аргументы д = € (0, а) функции Т невырожденные. Тогда при возрастании ц в малой окрестности критического значения только один корень характеристического уравнения переходит из внутренней части во внешнюю часть [из внешней части во внутреннюю часть] единичного круга {г : \г\ < 1, г б С} через точку г - 1, если

Рг(0)Т"(да) > 0 [^(0)Г"(да) < 0].

Вводится представление матрицы-функции Ф(—тг, —1, д) = !|<£у(д)||?, ц € [0,а).

Теорема 2.3. Пусть выполняются условия леммы 2.1 и предложения 2.4, все критические аргументы функции Т невырождены, Ф 0 при ц € [0, а) и Т([1й) = т, где 6 (0, а) не является критическим аргументом функции Т. Если М € Ог, г = 2,4,..., то т-периодическое решение х(г,д°) уравнения (2) неустойчиво. Если М 6 ЕоиАъ 7710 периодическое решение устойчиво, когда выполняется неравенство

)Т'(//>) > о,

и неустойчиво, если это неравенство строго нарушается.

Исследуем процесс переходов корней характеристического уравнения (11) в точке г = -1.

Определение 2.2. Параметр д = // € [0, а) назовем некритическим нулем функции <рп , если <ри{иь) — 0 и ф 0.

Лемма 2.5. Пусть выполнены условия предложения 2.1, функция Р непрерывно дифференцируема в области (—а, а) х (—а, а) и функции Рг,

г = 1,2, являются четными. Тогда фундаментальная матрица системы дифференциальных уравнений (9) удовлетворяет тождествам:

Ф(-2тт = ВФ($, 2, д)ВФ(0, г, /х), € [—2тг, —тг].

Ф(-31Г - д, 2, А») = 2, (1)ВФ(-ж, г, II), д € [-2?г, -Зтг/2]. Здесь В = {(1,0)т, (О, -1)т}, ц € [О,о), * € С

Лемма 2.8. Пусть выполняются условия леммы 2.1 и предложения 2.4. Тогда при возрастании ц в малой окрестности некритического нуля 6 (0, а) функции <рц пара комплексно сопряженных корней характеристического уравнения (11) переходит из внутренней части во внешнюю часть [из внешней части во внутреннюю часть[ единичного круга {г : |г| < 1, г е С} через точку г = -1, если

Р2(0У11(/хь)^121У)<0 (15)

[^(ОУпО^Мм6) > 0]. (16)

На множестве точек, не являющихся нулями функции <рц и принадлежащих интервалу (0,а), определим функции с~ и с4". Значение функции с~(ц) [с+(а()] равно количеству некритических нулей ць € (0, ц), удовлетворяющих неравенству (15) [(16)].

Теорема 2.4. Пусть выполняются условия леммы 2.1 и предложения 2.4, все нули /ль 6 (0, а) функции ¡¿>ц некритические и все критические аргументы функции Т невырожденные, = г, где £ (0,а) не является нулем функции фи и критическим аргументом функции Т. Тогда г-периодическое решение уравнения (2) устойчиво, если вне точек множеств (13). а также в точках множеств (13) при условии Я(0)х(*) > 0, [в точках множеств (13) при условии Рг(0)х(к) < 0] выполняются условия

с-0х°) = с+(/х°) + по [с-(р°) = с+(д°) + по +1], р2(0)Т'(М°) > о, и неустойчиво, если хотя бы одно из этих условий нарушается.

Выделен частный случай системы, когда переходы пары комплексно сопряженных корней характеристического уравнения подчинены закону чередования.

Лемма 2.9. Пусть выполняются условия леммы 2.1 и предложения 2.4, все нули функции <рп на интервале (0,о) некритические, у?[2 зна-кооопределенна на интервале (0,а) и в точках множеств (13) х(к) Ф 0. Тогда при возрастании параметра ц выходы из единичного круга через точку

г = -1 пар комплексно сопряженных корней характеристического уравнения (11) чередуются с их входами.

Введем множества на плоскости £)-разбиения Е'{ — : Од2' > —

42) > 4°}, Г2 = {м : = <#>, 42) > о}, £* = {М: «£> < <#>, аР >

ГГ = {М : в?) = <42) < О}, г = 2,4,П>2 = {м,

-¡а" < & < ~Уо1)}, Щ = {М : -§а? < ^ < -|а<1>}.

Теорема 2.5. Пусть выполняются условия леммы 2.9 и теоремы 2.4. Если М 6 Ог, г = 4,6,..., то для 6 (0, а) т-периодическое решение х(£, рР) уравнения (2) неустойчиво.

Теорема 2.6. Пусть выполняются условия теоремы 2.5, Если М £ Б'^, то для 6 (0, а) т-периодическое решение х(£, уравнения (2) неустойчиво. Если М € /?2 и 1710 для р. = р.0 т-периодическое решение устойчиво, когда выполняются неравенства

¥>п(/*°) < 0, Яг(0)Т"(д°) > 0, (17)

и неустойчиво, когда любое из этих неравенств строго нарушается.

Теорема 2.7. Пусть выполняются условия теоремы 2.5. Если М€ Г2 и Хук) < 0, то г-периодическое решение х(£,д°) уравнения (2) устойчиво для € (0,а), когда выполняются неравенства (17), и неустойчиво, когда любое из этих неравенств строго нарушается. Если М € Г2 и %{к) > О, то периодическое решение неустойчиво.

Теорема 2.8. Пусть выполняются условия теоремы 2.5. Если М € £>о и Во, тпо для ц — т-периодическое решение х(£,д°) уравнения (2) устойчиво, когда выполняются неравенства (17), и неустойчиво, когда любое из этих неравенств строго нарушается.

Теорема 2.9. Пусть выполняются условия теоремы 2.5. Если М £сШг, г = 2,4,6,..., то для € (0, а) т -периодическое решение х(£,д°) уравнения (2) неустойчиво.

Теорема 2.10. Пусть выполняются условия теоремы 2.5. Если М € дЕо и дОо, то при условии х(к) ф 0, т-периодическое решение х(£, уравнения (2) устойчиво для (1° е (0, а), если выполняются неравенства (17), и неустойчиво, когда любое из этих неравенств строго нарушается.

Глава 3 посвящена исследованию математической модели движения релятивистской частицы в кулоновском поле с учетом последействия. Рассматривается математическая модель

— = F(tt), (18)

описывающая движение релятивистской частицы в кулоновском поле неподвижного заряда. В неподвижной системе отсчета в момент времени t положение движущейся частицы определяется двумерным вектором г (£), ее импульс имеет вид p(t) = mv(t)/ y/1 — v2(t)/c2 и кулоновская сила с эффектом запаздывания F(rr) = ~iirT/rf. Здесь m - масса движущейся частицы, fi = -ее' > 0, е - ее заряд, е' - заряд неподвижного центра, с - скорость света, v(t) = dr(t)/dt - мгновенная скорость, гт = r(t - 8r(t)/c), ô > 0, r(t) - модуль вектора r(t), t € IL

В параграфе 3.1 приводится описание исследуемой математической модели в безразмерных переменных, которое в полярных координатах имеет вид

? - ^=-(1 -h42) r-os;+^^Vi- hHP+rV), as)

rr

1 d ,.2 (-1 + к2{гф)7) sin f - h^TTif cos т Г ^ •

= - f?- -\Jl-hHr2 +rV), (20)

где t(s) = уз(з) — ¡p(s — <5/ir(s)), s 6 it, h - коэффициент масштабирования, Изучаются движения, удовлетворяющие условию (p{s) > 0, s > 0

Введем новую переменную z = т^ф и проведем замены переменных ф(в) -ц>, r(e) = г((Э(в)) = r(<p) = l/u(v>), г (я) = z(tp(s)) - z(ip) = \/w(<p). В результате система (19), (20) преобразуется к виду

и" 4- и = 4 (cosr - - sin г ) it>vV - /i2(u'2 + u2), (21)

IT \ u /

tü' = 4 ffeV eos r - — sin Л ^«,3 -h^u'^u*). (22)

u3 \ и J

В этой системе запаздывание определяется неявно уравнением

о

** (23)

/ u2(s + ï>)"° u(<¿>)'

-r(io)

В параграфе 3.2 рассматривается вопрос устойчивости положений равновесия системы (21)—(23), которым отвечают круговые периодические решения исходной системы (18) Найдены положения равновесия и — и0 =

Sh2Js2 -T¿' W ~ W° ~ hy/ó^- 'r2' T = T° = 27ГП' которые существуй

только при ó > 2жп, n e N. Откуда следует, что при заданном значении параметра 6 > 2тг существует только конечное число положений равновесия. Исследование устойчивости проведено методом построения системы уравнений возмущенного движения и анализом соответствующего ей характеристического уравнения D(\,5) = 0. Показано, что оно имеет по меньшей мере два положительных корня. Из теоремы о неустойчивости по линейпому приближению9 следуёт неустойчивость положений равновесия для системы функционально-дифференциальных уравнений (21)—(23), а также неустойчивость круговых периодических решений системы (18).

В параграфе 3.3 исследуется система уравнений с запаздыванием (21)-(23) при малых значениях параметра <5. Пользуясь свободой выбора параметра h полагаем h — l Невозмущенная система и"+и = w\fw2 - (и'2 4- и2), w' — и' i/ш2 - (и12 4- и2) не содержит запаздывания и имеет двухпараметри-ческое семейство периодических решений

/• * * (1 - к2) (y/g^F . ^ \ uo(<P,k,e) = — I соэк<р + Е I ,

w0 (<р,к,е) = ^ Jf ' (Ve2 - k2cosk<p +

с периодом w = 2ж/к. Здесь е - постоянная энергии, частота к = у/1 — 1 /М2 < 1, где М - постоянный момент импульса движения. Требуется при малых положительных значениях параметра 6 и фиксированном значении к = к„ найти П^-периодическое решение системы (21)—(23), допускающее асимптотики

2тг

«í = —(1 + 0(5)), и(<р,6) =uo(v?,fc.,e) + 0(<5), w(<p,ó)=wo(<p,k„e)+ 0(S).

Установлено отсутствие таких периодических решений, и соответствующих им почти периодических решений системы (18).

В параграфе 3.4 исследуется система уравнений с запаздыванием (21)-(23) при малых значениях параметра h. Невозмущенная система и" и = ш2, w' = 0 имеет семейство 27г-периодических решений щ(<р) — (uq — w2) сов<р + w2, wq (¡p) = и>о ■ Требуется при малых положительных значениях параметра

9 [Яиманов С И О неустойчивости движения систем с запаздыванием по времени // Прикл матем.

и механ 1960 T 24, вып 1 С 55-63.

h найти Пь-периодическое решение системы (21) (23), допускающее асимптотики

ük = 2тг(1 аЛ + 0(h2)), = и0(<р) + 0(h), w{^,h) = w0 + O(h).

Преобразования исходной системы приводят к задаче нахождения 2ж-периодического решения системы с запаздыванием й" +- и — 2wqw - 2а(щ -w2)cosO + 35wo(uo ~wl)sin6 + 0{h), w1 ~ -5 wl + 0(h). Последняя система не имеет периодических решений, а исходная система (18) - почти периодических решений.

В параграфе 3.5 проведено численное исследование поведения решений системы с запаздыванием (18). Исследовано поведение математической модели в двух вариантах. В первом варианте изучаются движения, для которых выполняется условие ф(з) > 0, s > 0. Для их нахождения используется система (21)-(23) с независимой угловой переменной tр Во втором варианте на движения не накладывается дополнительных условий и для изучения их поведения используется система (19), (20) г независимой переменной времени s. Устойчивых периодических решений в исследуемых системах не обнаружено, что подтверждает теоретические результаты, полученные в главе 3.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Долгий Ю.Ф.. Захаров A.B. Периодические колебания в консервативных системах с малым запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41. № 10. С. 1299-1309.

2. Захаров A.B. Влияние запаздывания на периодические решения в консервативных квазилинейных системах // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. VII Международный семинар. Тезисы докладов. Москва: ИПУ, 2002. С. 11-13.

3. Захаров A.B. Исследование устойчивости периодических движений в одной нелинейной системе с запаздыванием // Тез. докладов 30-й Регион. молодеж. конф. Екатеринбург: УрО РАН, 1999. С. 30-31.

4. Захаров A.B. Исследование на устойчивость периодических движений в одной консервативной системе с запаздыванием // Тез. докладов 31-й Регион, молодеж. конф. Екатеринбург: УрО РАН, 2000. С. 40 41.

5. Захаров A.B. О периодических решениях в динамической системе, описывающей движение релятивистской частицы i' Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ. Воронеж ВГУ. 2005 С 66

1Q

* 1 О 5 2 5

6 Загаров A.B. Об устойчивости периодических решений дифференциального уравнения второго порядка с запаздыванием // Современные методы /теории краевых задач Материалы ВВМШ. Воронеж: ВГУ, 2003 С 6Q-61.

7 Загаров A.B. [периодические решения квазилинейного дифференциального умдаения с запаздыванием // Тез. докладов 32-й Регион. мо,юдеж--*бкф. Екатеринбург. УрО РАН, 2001. С. 112-116.

8 Захаров А В Существование периодических решений в дифференциальном уравнении второго порядка г малым запаздыванием // Алгоритм. анализ неуст. задач Тезисы докладов. Екатеринбург: Изд-во Ур-ГУ, 2004. С. 165.

9 Захаров A.B. Устойчивость периодических решений дифференциального уравнения второго порядка г запаздыванием // Дифференциальные уравнения и процеггы управления Электронный журнал. 2005. У1 1. 20 г

10 Захаров А В , Долгий Ю.Ф Устойчивость периодических решений в дифференциальном уравнении второго порядка с малым запаздыванием '/ Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. VIII Международный семинар Тезисы докладов. Москва- ИПУ, 2004. С. 7071

11 Dolgit Yu.F., Zakharov AVK delay effect upon periodic oscillations in a conservative system // Proceedings of the Steklov Inctitute of Mathematics, Suppl. 2. 2003. P. 24-44.

I " ) / /

Подписано в печать: 28.04.2006 г. Заказ № 428

Тираж: 100 экземпляров

ООО «Научно-производственная фирма «Радиант» 620075, г. Екатеринбург, ул. Мамина- Сибиряка, 145, оф. 43

ВВЕДЕНИЕ

1 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ С МАЛЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

1.1 Существование периодических решений

1.2 Устойчивость периодических решений

1.3 Численный эксперимент

2 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ С ПОСТОЯННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

2.1 Постановка и обсуждение задачи.

2.2 Асимптотика периодических решений консервативной системы с малыми амплитудами

2.3 Устойчивость квазигармонического дифференциального уравнения с запаздыванием.

2.4 Асимптотические свойства периодических решений.

2.5 Устойчивость периодических решений

3 ВЛИЯНИЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ НА ДВИЖЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЧАСТИЦЫ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ

3.1 Математическая модель.

3.2 Исследование устойчивости положений равновесия системы функционально-дифференциальных уравнений.

3.3 Существование периодических решений системы функционально-дифференциальных уравнений при малых значениях параметра

3.4 Существование периодических решений системы функционально-дифференциальных уравнений при малых значениях параметра h

3.5 Численное исследование поведения решений.

История вопроса. Теория нелинейных периодических колебаний дифференциальных уравнений с запаздыванием играет важную роль в исследовании математических моделей динамических систем с последействием. Существенный вклад в ее развитие внесли Ю.Г. Борисович [8], В.Б. Колмановский [52, 119], Ю.С. Колесов [51], М.А. Красносельский [47, 55], Ю.И. Митропольский [64], В.И. Рожков [74], В.П. Ру-баник [75], Ю.А. Рябов [76], С.Н. Шиманов [22, 23, 87, 88], А. Халанай [95], S. Chow [104], J.К. Hale [96, 117], J. Mallet-Paret[104]. Для дифференциальных уравнений с запаздыванием получили развитие известные методы теории нелинейных колебаний: Ляпунова-Пуанкаре, усреднения, бифуркации Андронова-Хопфа, векторных полей. Особое внимание уделялось изучению дифференциальных уравнений с малым запаздыванием. В работах М.А. Красносельского [47], Д.А. Взовского [11], P.P. Ахмерова [5], В.И. Кузнецовой [56], С.Н. Шиманова [22], А.В. Курныша [57], Х.Р. Латипова и Ф.У. Носирова [60], В.В. Матросова [63], Ю.Ф. Долгого [19], С.В. Богатовой [6, 7], Е. Fridman [110], D.W. Luse [124] показано, что введение малого запаздывания в систему дифференциальных уравнений может существенно изменить качественную картину поведения ее решений. Вопросы существования и устойчивости периодических решений наиболее разработаны для дифференциальных уравнений второго порядка. Здесь можно отметить работы: К.Г. Молловой [67, 68], А.Ю. Коломийца [53], Д.С. Кащенко [44, 45], А.Ю. Колесова [48-50], Н.Х. Розова [48], Л.З. Фишмана [93, 94], D.E. Gilsinn [112], Z. Guo, Y. Xu [116, 131], S. Lu, W. Ge [123], S. Ma, Q. Lu [125], T. Furumochi [111], G. Metzen [126], K. Wen, P. Chen, J.S. Turnes [133], F.G. Boese [101], B. Zhang [136].

Объект исследования и основные результаты. В консервативной системе с одной степенью свободы, описываемой обыкновенным дифференциальным уравнением d2x + f{x)=0, хе(-а,а), (0.1) где / - непрерывная нечетная функция на интервале (—а, а), f(x) > 0 при х € (0, а), существует однопараметрическое семейство периодических решений, период которых зависит от начальных условий. В работах Л.С. Понтрягина [73], A.M. Каца [43], И.Г. Малкина [61], В.Н. Тхая [80, 82] установлено, что малые неконсервативные возмущения консервативной системы могут привести к распаду семейства периодических решений и появлению устойчивых предельных циклов. В настоящей работе возмущающим фактором для уравнения (0.1) является запаздывание. Показано, что его введение в описание математической модели консервативной системы также может привести к распаду семейства периодических решений и появлению устойчивых предельных циклов.

В первой главе консервативная система возмущается малым запаздыванием. Исследованию дифференциальных уравнений с малым запаздыванием посвящено большое количество научных работ [5-7,19, 47, 56, 57, 63, 68, 83,110], в которых изучались также и периодические решения. Специфика настоящей постановки связана с возмущением существенно нелинейных систем и учетом свойств симметрии периодических решений невозмущенной системы. Она непосредственно примыкает к постановкам задач в работах JI.C. Понтрягина [73], A.M. Каца [43], И.Г. Малкина [61], В.Н. Тхая [81], но здесь роль неконсервативного возмущения играет запаздывание. Для решения указанной задачи используется метод вспомогательных систем С.Н. Шиманова [16, 89] в теории Ляпунова-Пуанкаре для систем с запаздыванием. Используя идеи работ И.Г. Малкина [62] для обыкновенных дифференциальных уравнений, удается конкретизировать вид функции Q, задающей уравнение разветвления, и сформулировать конструктивное условие существования периодических решений. Реализация в задаче устойчивости периодического решения метода подсчета характеристического показателя в форме разложения по малому параметру осложняется существенной нестационарностью невозмущенного уравнения. Связанные с этим обстоятельством трудности удается преодолеть, учитывая свойства симметрий решений консервативной системы.

Во второй главе возмущение моделируется конечным запаздыванием и ставится задача нахождения периодического решения дифференциального уравнения, период которого совпадает с запаздыванием, с последующим исследованием его устойчивости. Она принадлежит классу задач о периодических решениях с периодами кратными запаздыванию, которые изучались-в работах В.И. Зубова [37], J.L. Kaplan, J.A. Yorke [120]. Значительные трудности возникают здесь при исследовании устойчивости периодических решений с конечными амплитудами. Используя известные результаты Г.Л. Гасилова [12], A.M. Зверкина [36], С.Н. Шиманова [87], Ю.Ф. Долгого [17], эту задачу можно свести к оценке расположения собственных чисел краевой задачи для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с существенно переменными коэффициентами. Для преодоления возникающих трудностей в работе предложен метод изучения движения собственных чисел краевой задачи по комплексной плоскости при изменении специального параметра в коэффициентах системы обыкновенных дифференциальных уравнений. На этом пути удалось свести задачу устойчивости к изучению бифуркаций собственных чисел z краевой задачи в точках г = 1 и г = -1. Применение методов теории возмущений [42], теории самосопряженных краевых задач [69, 98] и учет симметрий, присущих решениям консервативных систем [62, 66], позволило изучить направление движения собственных чисел краевой задачи в малых окрестностях отмеченных точек z = 1 и z = —1. Опираясь на эти результаты, удалось получить достаточные условия устойчивости периодических решений, которые тестировались на конкретных уравнениях с запаздыванием.

В третьей главе изучается влияние запаздывания на движение релятивистской частицы в кулоновском поле. Различные вопросы, связанные с учетом последействия при движении частиц в электромагнитном поле изучались в работах [2, 13, 25, 26, 71, 85, 99, 3, 102, 103, 107, 108, 118, 128-130, 138]. Особое внимание уделялось нахождению специальных круговых орбит [38-40, 84]. В настоящей работе изучаемая математическая модель рассматривается как возмущенная для модели движения релятивистской частицы в кулоновском поле. Показано, что введение запаздывания приводит к появлению изолированных неустойчивых периодических решений и уничтожению семейства почти периодических решений невозмущенной системы.

Краткое содержание работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие результаты:

- Получены условия существования изолированных периодических решений для консервативных систем, возмущенных малым запаздыванием.

- Обоснован аналитический признак устойчивости изолированного периодического решения для консервативных систем, возмущенных малым запаздыванием.

- Получены условия существования изолированных периодических решений с периодом, равным запаздыванию, для консервативных систем, возмущенных конечным запаздыванием.

- Разработан бифуркационный метод исследования устойчивости изолированных периодических решений консервативных систем, возмущенных конечным запаздыванием.

- Сформулированы и обоснованы достаточные условия существования изолированных устойчивых периодических решений.

- Изучено влияние запаздывания на движение релятивистской частицы в куло-новском поле.

1. Азбелев Н.В., Малыгина В.В., Симонов П.М. Устойчивость функционально-дифференциальных уравнений с последействием. - Пермь: ПГТУ-ПГУ, 1995. 180 с.

2. Амирханов И.В., Землянская E.B., Пузанин И.В. Релятивистские уравнения для связных состояний с кулоновским и линейным потенциалами // Матем. моделирование. 2000. Т. 12. № 12. С. 79-96.

3. Ангелов В.Г. О трехмерной задаче двух тел классической электродинамики // Докл. Болг. АН. 1988. Т. 41. № 8. С. 17-20.

4. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 916 с.

5. Ахмеров P.P. Существование и устойчивость ограниченных решений функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием // Прибл. методы исслед. диффер. уравнений и их прилож. Куйбышев. 1982. С. 3-16.

6. Вогатова С.В. О существовании периодических решений системы дифференциальных уравнений с малым запаздыванием // Деп. в ВИНИТИ 04.12.2001. № 2519-В2001. Рязань. 2001. 20 с.

7. Богатова С.В. Условия существования периодических решений системы дифференциальных уравнений с малым запаздыванием // Тезисы. Вып. 8. М.: Прогресс-Традиция, 2001. С. 132.

8. Борисович Ю.Г., Субботин В.Ф. Оператор сдвига по траекториям эволюционных уравнений и периодические решения // ДАН СССР. 1967. Т. 175. С. 9-12.

9. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Часть I. М.: Наука. 1969. 468 с.

10. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 528 с.

11. Взовский Д. А. Эффект малого запаздывания в почти-периодических линейных системах высших порядков // УМЖ. 1983. Т. 35. № 7. С. 740-742.

12. Гасилов Г.Л. О характеристическом уравнении системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием // Изв. вузов. Математика. 1972. № 4. С. 60-66.

13. Гиль Г. Б. Цепочка ББГКИ для слаборелятивистских систем заряженных частиц с учетом эффекта запаздывания //2 Конфер. мол. ученых физ. фак. Львов, ун-та. Львов. 1986. С. 11-12.

14. Григорьева Е.В., Кащенко С.А. Релаксационные колебания в системе уравнений, описывающих работу твердотельного лазера с нелинейным элементом запаздывающего действия // Дифференциальные уравнения. 1991. Т. 27. № 5. Ф С. 752-758.

15. Долгий Ю.Ф. Неустойчивость аналога уравнения Хилла с запаздыванием //

16. Устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск: УрГУ, 1984. С. 30-36.

17. Долгий Ю.Ф. Метод вспомогательных систем Шиманова в задаче построения уравнений разветвления// Изв. Урал. гос. ун-та. 2003. № 26. С. 55-65.

18. Долгий Ю. Ф. Устойчивость периодических дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом// Автореферат диссертации на соискание ученой степени д. ф.-м. наук. Екатеринбург. 1994. 32 с.

19. Долгий Ю.Ф., Захаров А.В. Периодические колебания в консервативных системах с малым запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41. № 10. С. 1299-1309.

20. Долгий Ю.Ф., Колупаева О. С. Бифуркация Хопфа для дифференциальных уравнений с малым запаздыванием // Вестник ПГТУ. Матем. и приклад, матем. 1997. № 24. С. 84-90.

21. Долгий Ю.Ф., Николаев С.Г. Неустойчивость одной периодической системы с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34. № 4. С. 465-470.

22. Долгий Ю.Ф., Николаев С.Г. Устойчивость периодического решения нелинейного дифференциального уравнения с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. № 5. С. 592-600.

23. Долгий Ю.Ф., Шиманов С.Н. Влияние малого запаздывания на устойчивостьканонических систем линейных дифференциальных уравнений // Краевые задачи. Пермь. 1987. С. 31-38.

24. Долгий Ю.Ф., Шиманов С.Н. Существование зоны устойчивости для одного уравнения с запаздыванием // Устойчивость и нелинейные колебания. Сверщ дловск: УрГУ, 1988. С. 11-18.

25. Еленин Г.Г., Мальков К.В. Об одном классе нелинейных эволюционных систем, описывающих процессы кристаллизации // Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24. № 6. С. 936-949.

26. Жданов В.И. Конечно-параметрические семейства решений задачи двух тел в динамике в запаздыванием // ДАН УССР. 1983. А. № 7. С. 13-16.

27. Жданов В.И. О двусторонних решениях уравнения движения заряженных частиц с запаздыванием // Изв. вузов. Матем. 1983. № 5. С. 20-25.

28. Захаров А. В. Влияние запаздывания на периодические решения в консервативных квазилинейных системах // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. VII Международный семинар. Тезисы докладов. Москва: ИПУ, 2002. С. 11-13.

29. Захаров А.В. Исследование устойчивости периодических движений в одной нелинейной системе с запаздыванием // Тез. докладов 30-й Регион, молодеж.

30. Щ конф. Екатеринбург: УрО РАН, 1999. С. 30-31.

31. Захаров А.В. Исследование на устойчивость периодических движений в однойконсервативной системе с запаздыванием // Тез. докладов 31-й Регион, молодеж. конф. Екатеринбург: УрО РАН, 2000. С. 40-41.

32. Захаров А.В. О периодических решениях в динамической системе, описывающей движение релятивистской частицы // Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ. Воронеж: ВГУ, 2005. С. 66.

33. Захаров А.В. Об устойчивости периодических решений дифференциальногоуравнения второго порядка с запаздыванием // Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ. Воронеж: ВГУ, 2003. С. 60-61.

34. Захаров А.В. Периодические решения квазилинейного дифферен-циального уравнения с запаздыванием // Тез. докладов 32-й Регион, молодеж. конф. Ека

35. Щ теринбург: УрО РАН, 2001. С. 112-116.

36. Зверкии A.M. К теории дифференциально-разностных уравнений с запаздываниями соизмеримыми с периодом коэффициентов // Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24. № 9. С. 1481-1492.

37. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. М.: Судпромгиз, 1956. 324 с.

38. Зубов В.И. Проблема закручивания пучков заряженных частиц // ДАН. 1994. Т. 335. № 2. С. 142-145.

39. Зубов Н.В. Аналитическая динамика системы тел. Л.: Изд-во ЛГУ, 1983. 344 с.

40. Зубов Н.В. Колебания и волны. Л.: Изд-во ЛГУ, 1989.

41. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Вл.Х. Математический анализ. Продолжение курса. М.: Изд-во МГУ, 1987.

42. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 720 с.

43. Кац A.M. Вынужденные колебания нелинейных систем с одной степенью свободы, близких к консервативным // Прикл. матем. и механ. 1955. Т. 19, вып. 1. С. 13-32.

44. Кащенко Д. С. Асимптотика простейших аттракторов уравнения второго порядок ка при больших значениях запаздывания // Современные проблемы математики и информатики. Вып. 4. Ярославль. 2001. С. 75-83.

45. Щ 45. Кащенко Д. С. Локальные и нелокальные циклы в уравнении второго порядкас запаздывающей связью // Изв. вузов. Математика. 1999. № 7. С. 12-22.

46. Кащенко С.А. Применение метода большого параметра для исследования динамики системы из двух связанных автогенераторов с запаздыванием // Методы качествен, теории и теории бифуркаций. Горький. 1989. С. 61-73.

47. Козякин B.C., Красносельский М.А. К вопросу о влиянии малых запаздываний на динамику нелинейных систем // Автом. и телем. 1979. N5 1. С. 5-8.

48. Колесов А.Ю. Явления буферности в генераторе Ван-Дер-Поля с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38. № 2. С. 165-176.

49. Колесов А.Ю., Колесов Ю.С. Релаксационные циклы в системах с запаздыванием // Матем. сбор. 1992. Т. 183. № 8. С. 141-159

50. Колесов А.Ю., Колесов Ю.С. Релаксационные циклы дифференциально-разностных уравнений // Изв. АН. Сер. Матем. 1992. Т. 56. № 4. С. 790-812.

51. Ч 51. Колесов Ю.С., Швитра Д.И. Автоколебания в системах с запаздыванием.

52. Вильнюс: Мокслас, 1979. 147 с.

53. Колмаиовский В.В, Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. 448 с.

54. Щ 53. Коломиец В.Г, Коломиец О.В. Об исследовании колебаний в нелинейных системах второго порядка со случайным отклонением аргумента // 1нтеграл. перетворения та ix застосування до крайовних задач. 1995. JV® 10. С. 90-96.

55. Краснопольский Т., Швец А.Ю. Взаимодействие маятниковых систем с неидеальным источником энергии при наличии запаздывания // Теоретич. и приклад.

56. Цр механ. 1985. Т. 16. № 3. С. 16-18.

57. Красносельский М.А., Петров В.Д. О периодических колебаниях в системах регулирования с задержками // Автомат, и телемех. 1984. № 6. С. 169-171.

58. Кузнецова В.И. О дифференциально-разностных уравнениях с малым отклоне1.{| нием аргумента // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22. № 3. С. 403-411.

59. Курныш А. В. Построение периодических решений дифференциально-разностной системы с малым запаздыванием // Нежин, гос. пед. ин-т. Нежин. 1988.

60. Кэсал А. Приложения нелинейного дифференциального уравнения второго порядка с запаздыванием //9 межд. конфер. по нелин. колеб. Киев. 1984. Т. 2. С. 167-169.

61. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 2. Теория поля. М.:1. Наука, 1988. 512 с.

62. Латипов Х.Р., Носиров Ф.У. О влиянии запаздывания на нелинейные системы. Ташкент. Фан. 1988.ф 61. Малкин И.Г. К теории периодических решений Пуанкаре // Приклад, матем. имехан. 1949. Т. 13, вып. 6. С. 633-646.

63. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: ГИТТЛ, 1956. 492 с.

64. Матросов В.В. Динамика двухпетлевой системы совместной фазовой синхро-" низации и слежения за задержкой с малым запаздыванием регулирования задержки // Динамические системы. Горький. 1988. С. 54-69.

65. Митрополъский Ю.А., Мартынюк Д.И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием. Киев: Изд-во ин-та матем. АН УССР, 1982. 147 с.

66. Митрополъский Ю.А., Щвец А.Ю. О влиянии запаздывания на устойчивость маятника с вибрирующей точкой подвеса // Аналитич. методы исследов. нелин. колеб. Киев. 1980. С. 115-120.

67. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, Ц 1969. 380 с.

68. Моллова К.Г. Периодические решения квазилинейных автономных дифференциальных уравнений второго порядка с запаздывающим аргументом в резонансном случае. // Годишн. Висш. учеб. завед. Прилож. мат. 1977(1978). Т. 13. № 3. С. 95-104.

69. Моллова К.Г., Рябов Ю.А. Устойчивость периодических решений уравнений второго порядка с малым запаздыванием в резонансном случае. // Матем. физика. Киев. 1980. № 27. С. 45-50.

70. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: ГИТТЛ, 1954. 352 с.

71. Носиров А.Ю. О влиянии запаздывания на гироскопические системы с медленно меняющимися параметрами // Методы нел. механики и прил. Киев. 1982. С. 99107.

72. Павлоцкий И.П. Запаздывание взаимодействия в слаборелятивистской гидро-<4 динамике // ДАН СССР. 1983. Т. 269. № 3. С. 583-587.

73. Полозков И.Е. Движение транспортного средства по дороге со случайным профилем с учетом запаздывания // Матем. моделирование. 2005. Т. 17. № 3. С. 314.t11473.767980,8184,8586,87,88,

74. Понтрягин JI. С. О динамических системах, близких к гамильтоновым // ЖЭТФ. 1934. Т. 4, вып. 8. С. 883-885.

75. Рожков В.И. Асимптотическое периодическое решение системы уравнений нейтрального типа в некритическом случае // Дифференциальные уравнения и обратные задачи динамики. М. 1983. С. 40-43.

76. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.:Наука, 1969. 287 с.

77. Рябое Ю.А. Применение метода малого параметра Ляпунова-Пуанкаре в теории систем с запаздыванием // Инженерный журнал АН СССР. 1961. Т. 1, вып. 2. С. 3-21.

78. Сакбаев В.Ж. О движениях системы, гамильтониан которой зависит от предыстории // Некоторые проблемы фундам. и прикл. матем. М. 1996. С. 190-200.

79. Смолин Ю.Н. Некоторые вопросы теории функционально-дифференциальных моделей. Магнитогорск: МаГУ, 2003. 341 с.

80. Тхай В.Н. Обратимые механические системы и нелинейная механика. М.: Физ-матлит. 2001. С. 131-146.

81. Тхай В.Н. Периодические движения системы, близкой к автономной обратимой системе // Прикл. матем. и механ. 2001. Т. 65, вып. 4. С. 661-680.

82. Тхай В.Н. Устойчивость и управление в системе с первым интегралом // Автом. и телемех. 2005. № 3. С. 34-38.

83. Тхай В.Н. Цикл в системе, близкой к резонансной системе // Прикл. матем. и механ. 2004. Т. 68, вып. 2. С. 254-272.

84. Чихаева О.А. О проблеме существования квазипериодических решений системы дифференциальных уравнений с малым отклонением // Информатика и прикл. матем.: Межвузовский сборник научн. трудов. Рязан. гос. пед. ун-т. Рязань: Изд-во РГПУ, 2004. С. 92-95.

85. Шавохина Н.С. Круговые релятивистские движения двух одинаковых тел // Изв. вузов. Физика. 1983. Т. 26. № 12. С. 46-51.

86. Шавохина Н. С. Система уравнений с отклоняющимся аргументом в релятивистской задаче двух тел // Гравитация и теория относительности. Казань. 1984. № 21. С. 140-164.

87. Швец А.Ю. Влияние запаздывания на колебательно-вращательные движения двойного маятника // Методы пел. механики и прил. Киев. 1982. С. 141-149.

88. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием времени // Прикл. матем. и механ. 1963. Т. 27, вып. 3. С. 450-458.

89. Шиманов С.Н. О неустойчивости движения систем с запаздыванием по времени // Прикл. матем. и механ. 1960. Т. 24, вып. 1. С. 55-63.

90. Шиманов С.Н. Об одном способе получения условий существования периодических решений нелинейных систем // Прикл. матем. и механ. 1955. Т. 19, вып. 2. С. 255-228.

91. Шиманов С.Н. Об устойчивости квазигармонических систем с запаздыванием // Прикл. матем. и механ. 1961. Т. 25, вып. 6. С. 992-1002.

92. Широков М.И. Запаздывающие решения и принцип причинности // Препр. Объедин. ин-та ядерн. исследов. Дубна. 1988. № Р2-441. С. 1-15.

93. Фихтенголъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Наука, 1987.

94. Фишман JI.3. О численном нахождении предельных циклов дифференциальных уравнений второго порядка с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41. № 3. С. 426-428.

95. Фишман Л.З. Об отыскании периодических движений систем с запаздыванием // Прикл. матем. и механ. 2001. Т. 65, вып. 1. С. 165-168.

96. Халанай А. Теория устойчивости линейных периодических систем с запаздыванием // Rev. Math. Pures et Appl. Acad. R.P.R. 1961. T. 4. № 4. C. 633-653.

97. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 с.

98. Эльсголъц Л.Э, Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.

99. Якубович В.А., Старэюинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972. 720 с.

100. Agop М. On the phisical meaning of trajectory periods in the relativistic two-body problem // Rev. roum. phys. 1983. V. 28. № 7. P. 561-568.

101. Arino 0., Hbid H.L. Periodic solutions for retarded differential systems close to ordinary ones // Nonlinear Anal. Theory Meth. and Appl. 1990. V. 14. № 1. P. 2334.

102. Boese F.G. Stability criteria for second-order dynamical systems involving several time delays // SIAM. J. Math. Anal. 1995. V. 26. № 5. P. 1306-1330.

103. Bogdan V.M. Existence of solutions of differential equations of relativistic mechanics involving Lorentzian time delay //J. Math. Anal, and Appl. 1986. V. 118. JV« 2. P. 561-573.

104. Casal A. On a two-body problem of classical relativistic electrodynanics // Rev. mat. hisp.-amer. 1980. V. 40. № 1-2. P. 17-24.

105. Chow S.N., Mallet-Paret J. Integral averaging and Hopf bifurcations // J. Diff. Eqns. 1977. V. 26. P. 112-159.

106. Dolgii Yu.F., Zakharov A. V. A delay effect upon periodic oscillations in a conservative system // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Suppl. 2. 2003. P. 24-44.

107. Dormayer P. The stability of special symmetric solutions of x(t) = af(x(t — 1)) with small amplitudes // Nonlinear Analysis, Methods and Applications, 1990. V. 14. № 8, P. 701-715.

108. Priver R.P. A MBackwards"two-body problem of classical relativistic electrodynan-ics // Phys. Rev. 1969. V. 178. № 5. P. 2051-2057.

109. Priver R.P. A functional differential system of neutral type arising in a two-body problem of classical electrodynamics // Nonlinear differential equations and Nonlinear Mechanics. New York: Academic Press. 1963. P. 474-484.

110. Grammatikopoulos M.K., Tersian S.A. On the periodic solutions of nonlinear neutral differential equations // Dyn. Syst. and Appl. 1997. V. 6. № 2. P. 197-206.

111. Fridman E. Effects of small delays on stability of singularly perturbed systems // Automatica. 2002. V. 38. № 5. P. 897-902.

112. Furumochi T. Existence of periodic solutions of two-dimensional delay equations // Appl. Anal. 1979. V. 9. № 4. P. 279-289.

113. Gilsinn P. E. Estimating critical Hopf bifurcation parameters for a second-order delay differential equation with application to machine tool chatter // Nomlinear Dyn. 2002. V. 30. № 2. P. 103-154.

114. Goldshtein V., Mclnerney J., Shchepakina E., Sobolev V. Slow/fast models of laser and chemical systems. // Изв. РАЕН. Сер. МММИУ. 2001. V. 5. № 1-2. P. 32-53.

115. Gorecki H., Fuksa S., Grabowski P., Koritowski A. Analysis and Synthesis of time delay systems. 1989. 300 p.

116. Grafton R.B. Periodic solutions of certain Lienard equations with delay //J. Diff. Equations. 1972. V. 11. № 3. P. 519-527.

117. Guo Z., Xu Y. Existence of periodic solutions to a class of second-order neutral differential difference equations // Acta Anal. Funct. Appl. 2003. V. 5. N« 1. P. 1319.

118. Hale J.K., Weedermann M. On perturbations of delay differential equations with periodic orbits // J. Diff. Equations. 2004. V. 197. № 2. P. 219-246.

119. Hoag J. Т., Priver R.P. A delay-advanced model for the electrodynamics two-body problem // Nonlnear Anal., Theory, Methods and Appl. 1990. V. 15. № 2. P. 165-184.

120. Kalmanoskii V., Myshkis A. Applied theory of functional differential equations. 1992. 243 p.

121. Kaplan J.L., Yorke J.A. Ordinary differential equations which yield periodic solutions of differential delay equations // J. Math. Anal, and Appl. 1974. V. 48. № 2. P. 317-324.

122. Kulenovic M.R.S., Ladas G. Oscillations of the sunflower equation // Quart. Appl. Math. 1988. V. 46. № 1. P. 23-28.

123. Li J., He X., Liu Z. Hamiltonian symmetric groups and multiple periodic solutions of differential delay equations // Nonlinear Anal. Theory, Meth. and Appl. 1999. V. 35. № 4. P. 457-474.

124. Lu S., Ge W. Periodic solutions for a kind of Lienard equation with a deviating argument // J. Math. Anal, and Appl. 2004. V. 289. № 1. P. 231-243.

125. Luse D.W. Multivariable singularly perturbed feedback systems with time delay // IEEE Trans. Autom. Contr. 1987. V. 32. № 11. P. 990-994.

126. Ma S., Lu Q. Hopf bifurcation of a Lienard differential equation with delay //J. China Agr. Univ. 2003. V. 8. № 4. P. 1-4.

127. Metzen G. Existence of periodic solutions of second order differential equations with delay // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. V. 103. № 3. P. 765-772.

128. Nussbaum R. A global bifurcation theorem with applications to functional differential equations //J. Functional Anal. 1975. V. 19. P. 319-339.

129. Pisarenko V.G. Equations with deviating argument in the problem of many gravitated electricity charged bodies with delays of the forces of interaction // Differential Equations with deviating argument. Kiev. 1977. P. 255-269.

130. Rivera R., Villarroel D. An exact solution for several charges in classical electrodynamics // J. Math. Phys. 1999. V. 40. № 6. P. 2867-2881.

131. Stephas P. One-dimentional motion for classical relativistic two-body systems in time-asymmetric lorentz scalar potentials // Phys. Rev. D. Part, and Fields. 1985. V. 31. № 2. P. 319-324.

132. Xu Y., Guo Z. On the existence of periodic solutions to generalized Hamiltonian systems with delay // Acta Anal Funct. Appl. 2000. V. 2. № 2. P. 133-142.

133. Wei Z., Pang C. Periodic boundary value problems for second order functional differential equations 11 Acta math. appl. Engl. Ser. 2004. V. 20. № 1. P. 37-44.

134. Wen K., Chen P., Turner J.S. Bifurcations in a Lienard equation with two delay // Proc. Dyn. Syst. and Appl. V. 1. Proc. 1st. Int. Conf. Dyn. Syst. and Appl., Atlanta, Ga, 26-29 May 1993. Atlanta(Ga). 1994. P. 377-383.

135. Wu J. Bifurcating waves in comped cells described by delay-differential equations //Pattern. Format.: Symmetry Meth. and Appl.: Proc. Two Relat. Workshops., Waterloo, Can., 22-26 March 1993. Providence(R.L). 1996. P. 374-358.

136. Wu J. The effect of delay and difusion on spontaneous symmetry breaking in functional differential equations // Rocky Mount. J. Math. 1995. V. 25. № 1. P. 545-556.

137. Zhang B. Periodic solutions of the retarded Lienard equation // Ann. mat. pura ed appl. 1997. V. 172. P. 25-42.

138. Zhang Z., Wang Z. Existence de periodic solutions of planar systems with four delays // Appl. Math. J. Chin. Univ. B. 2001. V. 16. № 4. P. 355-363.

139. Zhdanov V.I. On the one dimentional two-body problem of classical electrodynamics // Int. J. Theoret. Phys. 1976. № 15. P. 157-167.