Об усреднении монотонных эллиптических операторов второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1. Усреднение нелинейных вариационных задач

1.1. Постановка задачи.

1.2. Предварительные результаты

1.3. Доказательство основной теоремы.

1.4. Вспомогательные вопросы.

2. Усреднение нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в перфорированных областях

2.1. Постановка задачи

2.2. Предварительные результаты

2.3. Доказательство основной теоремы.

2.4. Свойства усредненного оператора.

3. Усреднение монотонных операторов, связанных с общей мерой

3.1. Постановка задачи.

3.2. Предварительные результаты.

3.3. Техника усреднения.

1. Настоящая диссертация посвящена некоторым вопросам усреднения для уравнений с частными производными. Этот новый раздел дифференциальных уравнений с частными производными возник в основном за последние 30 лет и имеет многочисленные важные применения в теории композитных и перфорированных материалов, теории фильтрации, теории дисперсных сред и в других областях физики, механики и современной техники.

Сам термин усреднение обычно ассоциируется с методами нелинейной механики и обыкновенных дифференциальных уравнений, развитыми в трудах Пуанкаре, Ван дер Поля, Крылова, Боголюбова и др. Длительное время, начиная с прошлого века (работы Максвелла и Рэлея), вопросы усреднения для уравнений с частными производными изучались преимущественно физиками и механиками и оставались вне поля зрения математиков.

При рассмотрении математических моделей микронеоднородных сред их локальные характеристики, как правило, описываются функциями а(е~1х), где е > 0 - малый параметр. При этом функция а(х) может быть периодической, почти периодической, реализацией однородного случайного поля или относиться к другому определенному классу. Процессы, протекающие в таких материалах, обычно описываются уравнениями с частными производными, решение которых сопряжено с большими трудностями, так как их коэффициенты быстро осциллируют. В связи с этим появляется необходимость построения усредненных моделей таких задач.

Теория усреднения краевых задач в перфорированных областях и тесно связанная с ней теория дифференциальных уравнений с бы-строосциллирующими коэффициентами в настоящее время интенсивно развиваются многими отечественными и зарубежными математиками. Имеется ряд монографий, посвященных математическим вопросам усреднения. Это книги Марченко, Хруслова [1], Bensoussan, Lions, Papanicolau [2], Санчес-Паленсии [3], Бахвалова,

Панасенко [4], Олейник, Иосифьяна, Шамаева [5], Жикова, Козлова, Олейник [6] и др., в которых также имеется обширная библиография работ по теории усреднения и связанным с ней прикладным задачам.

Рассмотрим одну модельную постановку задачи усреднения в перфорированной области

0.1) где О, - фиксированная ограниченная область в 1Е1Л, множество = гО, — {ех, х £ (?} - гомотетическое сжатие периодического открытого (не обязательно связного) множества Я С ШЛ Для наглядности можно представить себе, что ф - это внешность периодически расположенной системы шаров в

В области (0.1) рассмотрим простейшее эллиптическое уравнение

-Ам£ + ме = / в П П д., / € Ь2(Р), 0, (0.2) = 0 с условием Неймана на части П П дС}£ границы области (0.1) и условием Дирихле на остальной части границы.

Уравнение (0.2) понимается в следующем смысле. Введем собо-левское пространство 1У1'р({1Г\(де) как замыкание С~Г(Ш) по норме | , р> 1.

Тогда по определению и£ 6 И/1'2(ПП(5е) называется решением задачи (0.2), если выполнено интегральное тождество:

J (Уие - Уу + и'^йх^ J ¡<рйх ч<рецг1'2(ппд£). (о.з)

Смысл усреднения состоит в том, что решение и£, определенное только в перфорированной области О П фе, должно в определенном смысле сходиться к решению "усредненного" уравнения, заданного уже во всей области О. Пусть , Г1, если хеЯ лЛ х{х) = | 0, если х 6 И* \ Я (0'4)

- характеристическая функция множества ф, Хе{х) — Сформулируем типичную теорему усреднения для задачи (0.2).

Теорема 0.1. Пусть множество связно в и ие(х) является решением краевой задачи (0.2). Тогда lim / Хе\ие - u°\2dx = О,

0.5) где м° - решение усредненного уравнения div(A°Vu°) 4- = ïïf в Q, в котором А0 - постоянная симметрическая положительно определенная матрица, $ > 0 - плотность множества ф.

Такого рода теоремы хорошо известны в теории усреднения Все дело, однако, в условиях, накладываемых на область Пф,- Классический метод основан на предположении, что область не только связна в ГО^ (этого было далеко недостаточно), но удовлетворяет условию "сильной связности", что означает существование операторов продолжения где й£ — Psu£, а константа со не зависит от е.

На этой идее базируются многочисленные работы (см., например, работы Е.Я.Хруслова [7], D.Cioranesku, J.Saint-Jean-Paulin [8], В.В.Жикова [9], О.А.Олейник, Г.А.Иосифьяна, А.С.Шамаева [5], [10] и др.). Существование операторов продолжения возможно только при определенных ограничениях на периодическую область Q. Наиболее общая формулировка такова: подходящие операторы продолжения существуют, если Q связна и удовлетворяет условию Липшица (см.[11]). Для нелипшицевых областей такие операторы могут не существовать, например, если F = IR3 \ Q - плотная кубическая упаковка шаров в IR3 (см. [6, с. 123]). Заметим, что в этом примере Q связна.

В 1985 году в связи с некоторыми задачами из прикладной теории вероятностей В.В.Жиков и С.М.Козлов высказали гипотезу: со специальными оценками типа для доказательства свойств усреднения типа (0.5) операторы продолжения не нужны вообще, а достаточно обычной связности Q в IR^. Обоснование этой гипотезы было дано В.В.Жиковым в 1993 году (см. [12]) применительно к линейным эллиптическим задачам в перфорированных областях. При этом выяснилось (см. [13], [14]), что условие связности можно ослабить. Речь идет о так называемом условии р-связности множества Q, которое определяется следующим образом.

Пусть C~r(ü) - множество всех гладких периодических функций, заданных на торе (ячейке) периодичности □ = [0,1)^. Введем пространство Wpfr(Q) как замыкание множества C~r(ü) по соболевской норме ( J (Мр + \Vu\p)dx pn q

Определение 0.1. Открытое периодическое множество Q называется р-связным на торе периодичности, если и £ Wpfr(Q), S/u = 0 п.в. на Q и = const п.в. на Q .

Очевидно, что обычная связность Q на торе влечет р-связность при любом р > 1. Обратное, вообще говоря, неверно (см. [14]).

Итак, если Q является 2-связным на торе периодичности, то имеют место все свойства усреднения, кроме положительной определенности матрицы А0, для чего требуется 2-связность множества Q в IR^. Эти и другие аспекты р-связности подробно обсуждаются в [14], в частности, там построены многочисленные примеры, иллюстрирующие свойство р-связности и показано, что оно в определенном смысле необходимо для усреднения.

Отметим, что теорема усреднения для нелинейных вариационных задач в перфорированных областях в предположении р-связности Q доказана В.В.Жиковым в работе [13].

Дальнейшие исследования в этом направлении привели к естественному обобщению понятия р-связности множества Q до понятия р-связности произвольной периодической борелевской меры точная формулировка которого будет дана ниже. Это новое развитие техники усреднения, предложенной В.В.Жиковым в 1993 году, нашло отражение в работах [14], [15] и в зарубежной литературе получило название "measure approach".

Целью настоящей диссертации является распространение этого нового подхода на нелинейные невариационные эллиптические уравнения второго порядка. Остановимся на этом подробнее.

2. В первой главе изучаются нелинейные вариационные краевые задачи, частным случаем которых являются вариационные задачи в перфорированных областях и вариационные задачи с вырожденными интегрантами.

Рассматривается вариационная задача Дирихле вида: т£ = inf / ae(|V«|p + Мр - ид) dx, (0.6) а где О, - ограниченная липшицева область в Ш1*, д G LP'(Q,), р' = р > 1, а(х) = а(х 1,., х*дг) - периодическая с периодом 1 по каждому своему аргументу, полунепрерывная снизу функция на RN, подчиненная оценке 0 < а(х) < М, а£{х) — а(е~1х).

После "естественного расширения" пространства Cq°(Q}, позволяющего infimum заменить на minimum, решение этой задачи существует и единственно, см. §1.1. Ожидаемое свойство усреднения состоит в том, что при е —► 0 энергии т£ и решения и£ должны в определенном смысле сходиться к энергии т0 и решению задачи Дирихле: т0 = min / (/o(Vu) + |w|p - ug) dx. (0.7) uew}'p(n)J n

Здесь /о(0 - усредненный интегрант, определяемый однозначно для каждого £ £ с помощью вспомогательной вариационной задачи на ячейке периодичности: о(0 = inf f a(y)\Z + V«(j,)|* dy , (0.8) ибС°°г(а) J a к которой мы также применяем некоторую процедуру "расширения" пространства С~Г(П) с тем, чтобы функционал (0.8) имел минимум (см. §1.1).

В качестве примера функции а(х) можно взять функцию

1, если х 6 Q, 0, если x£]R"\Q, а(Х) = <) П где - открытое периодическое множество в

Ясно, что, если = = {ех,х 6 ф} - гомотетическое сжатие в е 1 раз, то Ч / -1 \ f 1> еСЛИ Х € Qei «.(*) = а(е х) = | 0> если , е jr* w< и мы видим, что задача (0.6) принимает вид вариационной задачи в перфорированной области С1ПС}£.

В общем случае, в силу полунепрерывности снизу функции а(х) периодическое множество а(х) > 0} будет открытым. Мы требуем, чтобы ф было связно в Ш,^ и предполагаем, что j <1х < +оо. (0.9) пд

В этих условиях доказана следующая теорема. Теорема 1.1. Пусть открытое периодическое множество <5 = {х £ : а(х) > 0} связно в КЛ' и выполнено (0.9). Тогда a) усредненный интегрант /о(О коэрцитивен :

7о(0 > с0|£Г с0 > 0; b) имеет место сходимость энергий :

Нт т£ = т0; c) имеет место сходимость решений :

Нт / ае\и£ - ий\р<1х = 0 ,

-о У 1 1 о. где и£ - решение исходной задачи (0.6), а и0 - решение усредненной задачи (0.7).

3. Вторая глава диссертации посвящена усреднению нелинейных монотонных эллиптических уравнений второго порядка в перфорированных областях.

Рассматривается нелинейное эллиптическое уравнение вида:

- сПуМ^1*, + |ие\*~2и£ = /, / £ ЬР'(П) (0.10) в перфорированной области Г2 П <5е, которое дополняется краевым условием Неймана на части П П границы области (0.1) и условием Дирихле - на остальной части границы. Предполагается, что а(х,£) - периодическая и измеримая по х функция на <5, сильно монотонная по £ (Е для п.в. х Е т удовлетворяющая определенным условиям роста по £ Е ШЛ (более точно см. §2.1, условия 1) - 3)).

В качестве примера функции а(х,£) укажем функцию а(п\£) = где матрица А{х) = не обязательно симметрическая, такова, что а) ciij G L°°(JRN) Vi, j = 1,., TV; б) За > 0, такое, что n для п.в. х G ГОЛ hV(G 1Rn.

Непосредственно проверяется, что определенная таким образом функция а(ж,£) удовлетворяет условиям 1) - 3) с р = 2.

Решение u£ G К уравнения (0.10) понимается в смысле интегрального тождества:

J a(£-1x1Vue)-Vipdx+ J \us\p~2u£(pdx= J fipdx V^ G К (0.11) где пространство V£ определяется как замыкание множества Со°(Г2) по норме! / (|Vwe|p + |w£|p) \Пп<?г

Левую часть (0.11) можно рассматривать как некоторый элемент V* - пространства, сопряженного с К, т.е. пространства непрерывных линейных функционалов над V£. Другими словами, мы имеем оператор A\Ve—>V*, который, как несложно проверить, будет монотонным, коэрцитивным и удовлетворяющим подходящим условиям роста, так что согласно теории монотонных операторов решение задачи (0.10) существует и единственно.

Отметим, что усреднение монотонных операторов во всей области Q (Q = RiV, перфорация отсутствует) изучалось многими авторами, см. работы L.Tartar [16], N.Fusko, G.Moscariello [17], V.Chiado Piat, A.Defranceschi [18], A.A.Панков [19]. По поводу общих свойств монотонных эллиптических операторов см. Ж.-Л.Лионс [20], Ю.А.Дубин-ский [21], И.В.Скрыпник [22].

В предположении связности множества Q в RN мы доказываем, что решение ие исходной задачи сходится к решению и0 усредненной задачи: и0 G W01,P(Q), -div(a0(Vu£)) + Щи°Г2и° = 0/, (0.12) где $ = J x{%)dx - плотность множества Q, а ао(£) - усредненный □ оператор, определенный однозначно для каждого £ £ равенством:

ЫО = J a(y,£ + v)dy, hq в котором г; = v(y,£) - решение вспомогательной периодической задачи, которую мы здесь не выписываем, см. §2.1.

Теорема 2.1.Предположим, что периодическое открытое множество Q связно в JRN и функция а(у,£) удовлетворяют условиям 1) — 3). Тогда имеет место слабая сходимость потоков:

Хе(х)а(£-^W) - a0(VuQ) слабое LP'(Q)N, а также справедлива сходимость решений в смысле: lim [ \и£ — м°(р dx = О, £-+0 J fin qe где иf - решение задачи (0.10), а и0 - решение усредненной задачи (0.12).

Кроме того, в §2.4 установлены некоторые свойства усредненного оператора, в частности, доказана оценка: обеспечивающая его коэрцитивность.

4. В третьей главе рассматривается более общая постановка задачи усреднения для нелинейных эллиптических уравнений второго порядка, которые изучались в предыдущей главе. При этом реализуется подход, связанный с применением теории меры ("Zhilcov measure approach").

Итак, пусть /л - неотрицательная 1-периодическая по каждому аргументу xi, х2,., xjv мера на R^, нормированная условием f d/л — 1. о

Для постановки задачи усреднения введем меру /¿€ равенством ц£{А) = eNц(е~1А) для любого борелевского множества А С , с'1 А = £ А}. Мера /¿е имеет период £ и слабо сходится к мере Лебега: dße —>• dx.

Пусть Q - ограниченная липшицева область в Рассмотрим нелинейное эллиптическое уравнение

- dzi;(a(£1^,Vw£)) + ¡u£|p~V = / на П, (0.13) дополненное краевым условием Дирихле: u£\qq = 0 •

Мы предполагаем, что f(x) £ C(Ú), р > 1 , а функция а(х,£) ц-измерима по х £ П и сильно монотонна по £ £ для /г-п.в. х е ti с подходящими условиями роста по £ £ (см. §3.1, условия 1) - 3)).

Чтобы определить решение задачи (0.13), введем сначала пространство Х£ как замыкание множества пар {(м, Vu), и £ Cq°(Q)} в произведении Lp(ti,dfj,£) х I/(Q, dfie)N. Элементами служат пары (u,z), где и - функция, а г - вектор. Условимся вектор 2 обозначать Vu и называть градиентом функции и. Совокупность первых компонент и назовем соболевским пространством И^'^П,dfi£). Функция и £ WQp(Q,dpi£) может иметь много градиентов, но это не является препятствием для определения решения задачи (0.13).

Определение 3.1. Функция и£ £ W01,p(fi, dpLe) называется решением задачи (0.13), если выполнено интегральное тождество

J(а(£-1х, Vue) • V^ + = J fydn, V<p £ C0°°(Q) , (0.14) fi íí в котором Vu£ - некоторый градиент функции и£.

Левая часть (0.14) непрерывна по £ Х£ (при фиксированных (u£,Vu£)) и представляет собой некоторый элемент X* - пространства, сопряженного с Х£, т.е. пространства непрерывных линейных функционалов над Х£. Таким образом, получаем оператор А : Х£ X*, который удовлетворяет условиям монотонности, ко-эрцитивности и роста типа ii) , что согласно теории монотонных операторов обеспечивает существование и единственность решения задачи (0.13). Отметим, что единственность здесь двоякая: одна функция и£ £ WQ,p(Q,dp£) и только один из ее градиентов удовлетворяют интегральному тождеству (0.14).

В теореме усреднения устанавливаются все основные свойства сходимости решения исходной задачи к решению и0 усредненной задачи, связанной уже с мерой Лебега: u°ew¿>p{tt), -div(o0(V«0)) + |tí0|p-2«0 = /. (0.15)

Здесь усредненный оператор ао(£) определен равенством: ао{0 = J а{у,£ + v)d(¿ , □ в котором V = v(y,£) - решение вспомогательной периодической задачи: f G Vpot , J + v) ■ = 0 G Vppot, a где через Vp0t = ^(ü,^) обозначено замыкание множества {V^ : l/p

V € C~r(ü)} no норме I / ) , элементами которого служат потециальные периодические векторы, заданные на ячейке периодичности.

Как уже отмечалось, мы применяем технику усреднения, разработанную В.В.Жиковым в [15] и доказываем основные свойства усреднения, опираясь лишь на одно достаточно прозрачное свойство меры /г, именно, свойство р-связности, которое к тому же необходимо для усреднения.

Определение 3.2 Периодическая мера ц называется р-связной на торе периодичности, если и = const /i-n.eкак только найдутся ип £ С™г(0), такие, что lim / |u„ — u\pdß = 0 , lim / \Vun\pdfi = 0 . n—► OO J n—S-OO J

Сформулируем основной результат третьей главы. Теорема 3.1. Пусть мера ¡л является р-связной, и£ - решение исходной задачи (0.13), и0 - решение усредненной задачи (0.15). Тогда имеет место слабая сходимость потоков: i) lim J а(51ж, W) • <pdp£ = j a0(Vu°) • <pdx G C™(Q)N ,

Q П а также сходимость решений: ii) lim J (pued[i£ = J <pu° dx 4<p G С£°(П) ;

V1

П Q iii) lim / \ue\pdfie = / \uQ\pdx .

Отметим, что свойство (п) означает слабую сходимость ие —и0 в "переменном" пространстве 2/(0, с?/х£), а совокупность свойств (и) и (ш) эквивалентна сильной сходимости функций в 1/(0, ¿(1£).

Пусть - открытое периодическое множество в Если положить йц = р(х)йх, где ; \ 0 вне <2, то получим задачу усреднения вида (0.10) в перфорированной области О П которой была посвящена вторая глава. Из определения 3.2 следует, что обычная связность ф в влечет р-связность меры ¡л и теорема усреднения действует.

Отметим также, что в первой главе мы имели дело с абсолютно непрерывной относительно меры Лебега мерой заданной равенством с?^ = а(х) йх, в котором вес а(х) удовлетворяет интегральному условию (0.9). Можно показать [15], что такая: мера является р-связной и усредненный интегрант /о(О коэрцитивен.

Различные примеры р-связных мер (фрактальные меры, периодические графы и др.) и связанные с ними другие важные постановки задач усреднения (об эффективной проводимости электрических цепей и пр.) можно найти в работах [14], [15].

Несколько слов о структуре диссертации. Каждая глава начинается с небольшого введения, в котором ставится задача и намечаются методы ее решения. Вспомогательные вопросы, как правило, выносятся в отдельный параграф. Нумерация теорем, лемм и формул независимая в каждой главе, причем первая цифра указывает на номер главы, а вторая - на порядковый номер теоремы, леммы или формулы. Список литературы составлен в порядке цитирования и оканчивается работами автора [25] - [33] по теме диссертации.

В заключении автор выражает глубокую и искреннюю благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Василию Васильевичу Жикову за постановку задачи, руководство и постоянное внимание к работе.

1. Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. - Киев: Наукова Думка, 1974.

2. Bensoussan A.,Lions J.L.,Papanicolau G. Asymptotic Analysis for Periodic Structure. Amsterdam: Noth Holland, 1978.

3. Санчес-Паленсия E. Неоднородные среды и теория колебаний. М.:Мир, 1984.

4. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.:Наука, 1984.

5. Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.:МГУ, 1990.

6. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А. Усреднение дифференциальных операторов. М.:Физматлит, 1993.

7. Хруслов Е.Я. Асимптотическое поведение второй краевой задачи при измельчении границы области // Математический сборник. 1987. - Т. 306, No.4. - С. 604 - 621.

8. Cioranesku D., Saint-Jean-Paulin J. Homogenization in open sets with, holes // J. Math. Anal. Appl. 1979. - Vol. 71. - pp. 590 - 607.

9. Жиков В.В. Усреднение функционалов вариационного исчисления и теории упругости // Известия АН СССР, серия математическая. 1986. - Т. 50, No.4. - С. 675 - 711.

10. Acerbi E., Chiado Piat V., Dal Maso G., Percivale D. An extension theorem for connected sets and homogenization in general periodic domains- // Nonlinear Anal. 1992. - Vol. 18, No. 5. - pp. 481 -496.12