Гладкость и аппроксимативные свойства решений двучленных дифференциальных уравнений на бесконечном интервале тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

§ I. Некоторые известные результаты о гладкости решений уравнения Штурма-Лиувилля.^

§ 2. Некоторые сведения из теории вложения функциональных пространств.

§ 3. Разделимость дифференциальных операторов нечетного порядка в Lp.

§ 4. 0 разделимости одного дифференциального оператора

§ 5. Гладкость решений нелинейного уравнения Штурма

Лиувилля .^

§ 6. Разделимость нелинейного оператора Штурма-Лиувилля

§ 7. Оценки поперечников множеств, связанных с областью определения операторов нечетного порядка

§ 8. 0 полноте системы корневых векторов резольвент операторов нечетного порядка

Общая теория линейных дифференциальных операторов в наиболее важных направлениях считается завершенной. Но, как правило, наиболее интересные задачи, естественным образом возникающие в приложениях, не поддаются решению известными методами и средствами, требуют специальных исследований. К таким задачам можно отнести задачу о разделимости дифференциальных операторов в неограниченной области.

Вопросы разделимости, (эквивалентные в ряде случаев наличию оценок коэрцитивности) для эллиптических операторов с гладкими коэффициентами в ограниченной области с краевыми условиями типа Шапиро-Лопатинского хорошо изучены и их решения представляют собой завершенную теорию, (см., например, [I - 5] ).

Задачами разделимости на примере оператора Штурма-Лиувилля

-yV , хе = (о, оо) (ол) начали заниматься (по-видимому, впервые) Эверитт и Гирц {tiMltt WM., М., [6-8] ), которые при некоторых ограничениях на ^ Гх) установили разделимость ^ оператора (0.IL Для получения теорем разделимости они изучали поведение на бесконечности решений уравнения -у -t Cjf(,x.)^ ~ О . Выведенные при этом оценки использовались ими для исследования функции Грина оператора (0.1),

В Советском Союзе, начиная с 1972 года этой задачей занимались Бойматов К.Х. и Отелбаев М. и позже их ученики. и

Напомним, что оператор называется разделимым в , если из того, что у £ вытекает, что у "б » гДе ft = С-®0, , %>(') -область определения.

Бойматов К.Х. [? - К)] и Отелбаев М. [il - 161 использовали некоторую модификацию метода Титчмарша Э.Ч. [18 ] , который ранее развивался в работах Левитана Б.М. [191 , Костюченко А.Г. [20} , Гаеымова М.Г. [21] . Позже Отелбаев М. [il]привлекал также вариационный метод.

Им удалось получить ряд важных результатов о разделимости операторов типа Штурма-Лиувилля.

Дальнейшие исследования по теории разделимости проводили Измайлов А.Л. [22 - 23] , ВДуратбеков М. Б. [25 - 26] , Кальменов Т.Ш. и Отелбаев М. [24] . В частности, в работах %ратбекова М.Б. [25 ] и %ратбекова М.Б. и Отелбаева М. [2б] впервые рассматривалась разделимость нелинейных операторов.

Линейные и нелинейные уравнения нечетного порядка относятся к неклассическим уравнениям математической физики. Изучение краевых задач и качественных свойств решений таких уравнений началось сравнительно недавно и отражено в работах Кожанова А.И., Ларькина Н.А., Яненко Н.Н. [27 - 29], Бубнова Б.А. [30] , Салахитдинова М.С. [31] и многих других авторов. Яркими представителями таких уравнений могут служить уравнения Кортевег.а-де-Фриза и его модификации, возникающие в теории распространения длинных волн малой конечной амплитуды, а также уравнения составного типа, возникающие в задачах гидродинамики.

Настоящая диссертационная работа посвящена изучению вырождающихся нелинейных уравнений Штурма-Лиувилля, а также линейных уравнений нечетного порядка. Привлекательными здесь являются трудности, связанные с вырокдгнием в первом случае и неполуограниченностью оператора во втором случае.

В работе помимо разделимости изучаются оценки поперечников множеств, связанных с областью определения операторов нечетного порядка. Из этих оценок получаются условия принадлежности резольвенты операторов нечетного порядка классам бр . Такие результаты в силу теоремы типа Келдыша М.В. и Лидского В.Б.

- 32] позволяют доказывать теоремы о полноте систем корневых векторов.

Перейдем к краткому изложению результатов диссертации.

Работа состоит из введения, восьми параграфов, списка литературы, включающего 50 названий.

§§ 1,2 являются вспомогательными и имеют общий характер. В § I сформулированы результаты, полученные Отелбаевым М. в работах [ll - , которые используются для получения результатов §§3-6.

В § 2 определяется весовое пространство Lp (К-у fyl приводятся условия компактного вложения оценки поперечников вложений. Ими мы пользуемся в §§ 7,8.

В §§ 3 - 6 исследуются гладкость решений линейных дифференциальных уравнений нечетного порядка и нелинейных уравнений Штурма-Лиув илля.

В § 3 изучается разделимость линейных дифференциальных операторов нечетного порядка. Отметим, что во всех известных работах, посвященных теории разделимости (случай неограниченной области), изучались операторы четного порядка или первого порядка.

Рассмотрим оператор нечетного порядка, определенный на ро

С0 (R) равенством где К ~ (- ^j , tl I - любое целое.

Обозначим через Z замыкание /0 в норме Определение. Говорят, что оператор / разделим в если имеет место .оценка

- б где С не зависит от Ю(') - область определения.

Методрм Титчмарша доказана .

Теорема 3.1. Пусть выполнены условия: itlf q(x-) хек r

Sun ^ c ce (0 w) ■

I Q(x,)-oW\ -Л

5uP * ^ x~tui IX—с I где Un + i)(i-CL) + oC>0, oCC(0JL'\j CL> О .

Тогда при достаточно больших положительных Я : а) оператор + в пространстве А,^ (Ц ) имеет ограниченный обратный; б) оператор разделим в Ln(R-) » в) операторы ( q(x)) ын cL ^ ^ ^у* = ограничены в ^ (К) . ^ х

Пример. Пусть

Здесь функция = удовлетворяет условиям теоремы 3.1. Следовательно, оператор (0.2) разделим в .

В § 4 изучается оператор в пространстве L,Z(R-) .

В этом параграфе мы следуем работам [и - и!. Разделимость оператора (0.3) в пространстве рассматривалась в [Зб] .

Для некоторые условия на f и можно ослабить и сформулировать следующую теорему. Теорема 4.1. Пусть выполнены условия: fMj/WzCbcCt) ; с 9

Г оо г

Тогда оператор разделим в L,^ (к) .

Этим вспомогательным результатом мы пользуемся в следующем, пятом параграфе.

В § 5 исследуется гладкость решения нелинейного дифферен -циального уравнения

Ц =-(p(x)y)l+<l(*,y)y = К*)е 4 W • (0'4)

Нелинейные эллиптические уравнения рассматривали многие авторы: О.А. Ладыженская и Н.Н. Уральцева , Ж.-Л.Лионе [37] , С.Й.Похожаев [38 - 39] , Ю.А.Дубинский [40] и другие. Они изучали вопросы разрешимости краевых задач для нелинейных эллипти

Cfoc№) - совокупность непрерывных в каждом компакте К С R функций. ческих уравнений в ограниченных областях и дифференциальные свойства их решений.

В случае неограниченной области гладкость решения нелинейного стационарного уравнения Шредингера с полуограниченным потенциалом рассматривалась М.Б.%ратбековым и М.Отелбаевым [2б]. Теорема 5.1. Пусть выполнены следующие условия:

1) ^>0 и непрерывна по совокупности переменных в R. ;

2) p(x)^>0, j>(x-),/(2)€ Свое (*) > с с q,(x,Cf)

3) 5иР ,5иР к 00 > c-.UA

Su S РШ

4) Z * 7

Sup Sup 1/ШI , где A ^ 0 - любое конечное число.

Тогда для любой £ € (И) существует решение уравнения (0.4) такое, что (j?(oc6 Пример. Пусть

Здесь функции ^ fx,^) = /а | + + 1 и е Vi знакоположительные , (Xfу) непрерывна по ^ и ^ , а непрерывна вместе со своей производной. Нетрудно показать, что величины

WD s up (W+lcAH) p . e~/x4i

IHW Мл ; 1жГ(1 (I^i^f ,

-i/SvT

SuP \'--Tf x-t\6i id<A (xlHyl(lH+lchl)a конечно при любом (?<"/!< .

Следовательно, из теоремы 5.1. следует, что существует решение уравнения (0.5) такое, что ^ £ / (Ю.

В § б изучается нелинейный оператор

Для этого оператора принимаем следующее определение разделимости.

Определение. Нелинейный оператор (0.6) называется разделимым в » если из того, что X) (L) следует, что • Здесь ^(L) - область определения , то есть

Ujci^ т} у"£ 1я>еос(*)}.

Обозначим через L замыкание в норме (R) оператора, заданного на равенством

Лемма 6.1. Пусть выполнены следующие условия: а) У, I , непрерывна по обоим аргументам в R и монотонно возрастает по \ у [ ; б) £ир ^ С^ гДе А>0 - любое конечное числоjT(') - непрерывная функция.

Оператор L разделим, если разделим оператор L Введем функцию ^ (х) , являющуюся специальным усреднением функции :

Q*(x) = LnJ- (c/~l: сГ'ъ j .

А 0 1 I x-tUd a)

Определение. Функция C^(xf0) £ Ц ^ (H) называется У - регулярной, если найдутся положительные числа OL , ( и

3 Л - /

Я такие, что CL ь ^$ и а V ^

Множество всех ^ - регулярных функций из L^ ( &) обозначим через К Ljf) .

Теорема 6.1. Пусть выполнены условия: а) q(xjyl) , непрерывна по обоим аргументам в R и монотонно возрастает по I у I »

Q (X С ) б) Sup —<Т(А^ для любого А >0 .

Тогда существует постоянное число такое, что если ^ (Х}0) € К (/(о) , то оператор / разделим в Ll (Ю если

Sup /я 0 < ^ ,

- пространство функций, квадратично суммируемых в каждом компакте K^R. где т.

Пример. Пусть

Zy =~yll+][\*\ + \i]\)SLn'(expexpeici) Хг)1- l] у . (0,7) Здесь (\х\^\)ып1СехрехрехрХ1) + i \ Очевидно, что i , непрерывна по x и у и монотонно возрастает по | ^ | . Нетрудно убедиться в том, что x{+m)$ittl(expexp exp xL)-t-{ Линейный оператор

Zy [\x\ZinZ(expexf>expXl) + i ]

разделим в см. fl5] ), т.е. величина Sap Ш , L определенная выше, конечна. Следовательно, по теореме 6.1, опе ратор (0.7) разделим в L, (R.) .

В § 7 изучаются оценки поперечников множеств, связанных с областью определения операторов нечетного порядка.

Пусть L - замыкание в норме р < дифференциального выражения, определенного на С0 (R.) равенством гп+0 и выполнены условия теоремы 3.1. Обозначим

К - поперечники по Колмогорову множества М в Z.pfR).

По определению d = inf sup inir \\u-gl( K ШкиеМ geTK где внешний Ln^imum берется по всем подпространствам размерности ^ к .

Пусть - количество поперечников , больших

Теорема 7.1. Пусть выполнены условия теоремы 3.1. и im О (х) = оо .

Izl-^oo '

Тогда справедливы следующие оценки: 1 бсеЛ : ^M^cd'1) < < ггыл (хе Ц : рх) 4СйЛ )Ш

Восьмой параграф посвящен вопросу о полноте в системы корневых векторов оператора L , где Z, - замыкание в L^ (Ю дифференциального выражения, определенного на

Се, (Я) равенством

Llj=-LJ

Теорема 8.3. Пусть выполнены условия теорем. 3.1. и 7.1.

Система корневых векторов оператора L полна в L (я) если

С£ 2,11+1 (ос) 6 Lj W , П,-? 1 - любое целое. Примеры.

I. Рассмотрим оператор (0.2) (См. стр. 6). Здесь W tim q(x) = .

X ЪО

Кроме того>с(интеграл ги+1 , ах

- со сходится. Следовательно, по теореме 8.3, система корневых векторов оператора Ц полна в

2. Рассмотрим

Zn + i) /х1 е у . <*>

Здесь х\ - г 7, L .

1-х I

-/ с

Нетрудно проверить, что 3 ^ —jjj? с 3 е У' ex1-elyi \ < 3е 1x1 при и л /ЗС|

LL/72 € - <00

DC /-> оо J оо г

J в с/<х

-скэ

Следовательно, система корневых векторов резольвенты оператора ( к ) полна в / (R,).

1. Лаврентьев М.А. Вариационный метод в краевых задачах для систем управлений эллиптического типа. - М.: Наука, 1962. - 136 с.

2. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений.-М.: Наука, 1948. 296 с.

3. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966. - 203 с.

4. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. - 372 с.

5. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. - 576 с.6. bikzltt W.bt.-, fyiz N\. -Зсте рго>м±Ш oj Su domains cvd&ln. cU0&anical cpvzdow- Ptec. Xoticfo/гtKcuth.SoC; Z2(3), W, F.30h^.

6. ЫшИ Ш, Jomi СщиаМш MtoUaJuf Ltdk witcufL cL0vutvti*l ope^iM." ГПаЛг.U6, p.30S~3l6.8. hfouU W.N.? Qn jemie, рго^ш of ^ 4 of CL ^awwMy uptes-КМЪ, -Ptoc.^Condon Wlcdli. WW, rfl7ir.M(3),p. М9-Г70.

7. Бойматов K.X. Теоремы разделимости для оператора Штурма-Лиувилля. Матем.заметки, 1973, т.14, № 3, с.349-359.

8. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости. Докл.АН СССР, 1973, т. 213, № 5, с.1009- I0II.

9. Отелбаев М. 0 суммируемости с весом решения уравнения Штурма-Лиувилля. -Матем.заметки, 1974, т.16Д°6, с.969-980.

10. Отелбаев М. К методу Титчмарша оценки резольвенты^ Докл. АН СССР, 1973, т.211, № 5, с.787-790.

11. Отелбаев М. О разделимости эллиптических операторов. -Докл. АН СССР, 1977, т.234, № 3, с. 540-543 .

12. Отелбаев М. О гладкости решений дифференциальных уравнений.-Известия АН КазССР, сер.физ.-мат., 1977, № 5, с. 45- 48.

13. Отелбаев М. Нелокальные оценки производных решений эллиптических уравнений в неограниченных областях. Препринт, школа по теории операторов в функциональных пространствах (24 августа I сентября 1979 г.). ИМ СО АН СССР; Новосибирск, 1979, с. I - 18.

14. Отелбаев М. Коэрцитивные оценки и теоремы разделимости дляг> ^эллиптических уравнений в К . Труды МИ АН СССР, 1983, т. 161, с. 195 - 217.

15. Отелбаев М. Теоремы вложения пространств с весом и их применение к изучению спектра оператора Шредингера. ТрудыМИ АН СССР, 1979, т.150, с.265-305.

16. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. М.: Мир, т. 2, 1961, 555 с.

17. Левитан Б.М. Исследование функции Грина уравнения Штурма-Лиувилля с операторным коэффициентом. Матем.сборник,1968, т. 76(128), № 2, с. 239-270.

18. Костюченко А.Г. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов. Докторская диссертация. М.: МГУ,1966.

19. Гасымов М.Г. О распределении собственных значений самосопряженных дифференциальных операторов. Докл.АН СССР, 1969, т. 186, № 4, с. 753 - 756.

20. Измайлов А.Л., Отелбаев М. О суммируемости с весом решения дифференциального уравнения в неограниченной области.Известия АН КазССР, сер. физ.-мат., 1977, № I, с.36 40.

21. Измайлов А.Л. Гладкость решений дифференциальных уравнений и теоремы разделимости. Кацц. дисс. . Алма-Ата, 1978,

22. Кальменов Т.Ш., Отелбаев М. О гладкости решений одного класса вырождающихся эллиптических уравнений. Дифференциальные уравнения, 1977, т. 13, $ 7, с.1244 - 1255.

23. Муратбеков М.Б. О гладкости решений вырождающихся эллипти -ческих уравнений и одномерного нелинейного стационарного уравнения Шредингера.-Канд.дисс. . Алма-Ата, 1982. 81 с.

24. Муратбеков М.Б., Отелбаев М. О гладкости решения нелинейного уравнения Штурма-Лиувилля. В кн.: Математика: Тез.докла -дов УП-й казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике (Караганда, 1981). Караганда, 1981, с. 34-35.

25. Кожанов А.И., Ларышн Н.А., Яненко Н.Н. Об одной регуляризации уравнений переменного типа. Докл. АН СССР, 1980, т. 252, № 3, с. 325 - 327.

26. Кожанов А.И., Ларькин Н.А., Яненко Н.Н. Смешанная задача для некоторых классов уравнений третьего порядка: Препринт № 5. Новосибирск: ИТПМ СОАНСССР, 1980. - 36 с.

27. Кожанов А.И., Ларькин Н.А., Яненко Н.Н. Смешанная задача для одного класса уравнений третьего порядка. Сибирский матем. журн., 1981, т.ХХП, № 6, с. 81-86.

28. Бубнов Б.А. Характеристические задачи для одного класса уравнений третьего порядка.- В кн.: Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск, 1980, с.44-50.

29. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа.М.: Наука, 1970.

30. Келдыш М.В., Лидский В.Б. Вопросы спектральной теории несамосопряженных операторов. Труды 1У Всесоюзного матем. съезда, 1963, т.1, с.101 - 120.

31. Лидский В.Б. Несамосопряженные операторы, имеющие след.-Докл. АН СССР, 1959, т.125, № 3, с. 485 488.

32. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965. - 448 с.

33. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве- М.: Наука, 1966., 544 с.

34. Биргебаев А. Разделимость одного дифференциального оператора в Lp . Известия АН КАЗССР, сер.физ.-мат., 1981, № 5, с. I - 5.

35. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. - 587 с.

36. Похожаев С.И. О нормальной разрешимости нелинейных уравнений. ДоклЛСССР, 1969, т. 184, $5' , с. 40 - 43.

37. Похожаев С. И. О квазилинейных эллиптических уравнениях высокого порядка. Дифференциальные уравнения, 1981, т.17, $ I, с. 115 - 128.

38. Дубинский Ю.А. -Нелинейные эллиптические и параболитические уравнения. В кн.: Современные проблемы математики.Москва, ВИНИТИ, 1976, т.9, с.5 - 130.

39. Апышев О.Д., Отелбаев М. О спектре одного класса дифференциальных операторов и некоторые теоремы вложения. Известия АН СССР, 1979, т. 43, № 4, с.

40. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. -496 с. с илл.

41. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. - 392 с. с илл.

42. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики, т. 2. М.: Мир, 1978. - 395 с. с илл.

43. Исмагилов Р.С. О самосопряженности оператора Штурма-Лиу-вилля. Успехи матем.наук, 1963, т. ХУШ, № 5, с.161-166.

44. Коваленко В.Ф., Семенов Ю.А. Некоторые вопросы разложения по обобщенным собственным функциям оператора Шредингерас сильно сингулярными потенциалами. Успехи матем.наук, 1978, т.ХХХШ, № 4, с. 106 - 140.

45. Аманова Т.Т. О разделимости одного дифференциального оператора. Известия АН КазССР, 1981, № 3, с.48-51.

46. Аманова Т.Т., Муратбеков М.Б. Гладкость решений одного нелинейного дифференциального уравнения. Известия АН КазССР, 1983, № 5, с. 5 - 7.

47. Аманова Т.Т. Оценки распределения поперечников по Колмогорову множества {и } в Lp . Деп. в ВИНИТИ, № 4282 - 83 Деп., 8 с. Реф. Известия АН КазССР,сер. физ.-мат., 1983, № 5, с.79.

48. Аманова Т.Т., Тогочуев А.Ж. О разделимости дифференциальных операторов нечетного порядка. Деп. в ВИНИТИ, № 3587 - 83 Деп., 9 с. Реф. Известия АН.КазССР, сер. физ.-мат., 1983,5, с.79.