Гладкость решений нелинейных дифференциальных уравнений и теоремы разделимости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛШ I. ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ НЕЧЕТНОГО ПОРЯДКА. И ТЕОРЕМЫ РАЗДЕЛИМОСТИ.

§ I. Обозначения, понятия и предварительные сведения

§ 2. Коэрцитивные оценки и теоремы разделимости для эллиптических уравнений в ft и некоторые теоремы вложения.

§ 3. О гладкости решения нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка.

§ 4. Оценки производных решения уравнения - у'% ffe'fy /.

§ 5. О разделимости одного дифференциального оператора в Lp

§ 6. Оценки производных решений уравнения - + - /

ГЛАВА П. ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ.

§ I. Гладкость решений нелинейного дифференциального уравнения с матричным потенциалом.

§ 2. Существование решения нелинейного стационарного уравнения Щредингера.

§ 3. Гладкость решений нелинейного стационарного уравнения Щредингера.

В настоящее время общая теория линейных операторов в наиболее важных направлениях в основном завершена. Однако, как правило, в рамках общей теории операторов невозможно получить обстоятельный ответ на ряд фундаментальных вопросов теории дифференциальных операторов без дополнительного исследования, определяемого спецификой предмета.

Такими вопросами, например являются вопросы о гладкости решений и их производных для дифференциальных уравнений.

В случае ограниченных областей и гладких коэффициентов (регулярный случай) эта тематика уже изучалась и при этом были разработаны методы исследования, которые доведены ныне до классического совершенства и подробно изложены в известных монографиях ( см. [l.2j ).

Сингулярные дифференциальные операторы исследованы менее подробно. По видимому, первыми систематический этот случай изучали В.Н.Эверитт и М.Гирц [з - б] , им, частности принадлежит и постановка фундаментальной проблемы разделимости дифференциального оператора.35^

В.Н.Эверитт и М.Гирц особенно подробно изучали в этом направлении оператор Штурма-Лиувилля, который, как известно, во многих случаях является "дробным камнем" для предлагаемых методов исследования. Их исследования продолжили Ф.В.Аткинсон

Напомним (на примере оператора Штурма-Лиувилля), что уравнение Ltj~ -у называется разделимым в bp 00 J

I <:p < , если из того, что у е hp (- € bp (-**>**) следует, что if1' £ hp . ЛЦспИйП £ К ) [7,8] , У.Д.Эванса и А.Цеттл ( EveiflS W, geltle d ) [9] и другие за рубежом; в Советском Союзе К.Х.Бойматов |l0 - 14] , М.Отелбаев |l5 - 19] , а также ученики М.Г.Гасымова и Ф.Г.Максудова [21,22] , О.А.Еаутыкова [23,24] .

Как правило, зарубежные математики применяли до нынешнего времени метод Эверитта и Гирца; он состоит в использовании классических приемов для изучения асимптотического поведения функции Грина рассматриваемого оператора на бесконечности.

С момента появления работ К.Х.Бойматова [ю] и М.Отелбае-ва £15] в проблеме разделимости обозначился значительный шаг вперед. Они предложили для решения этих вопросов некоторую модификацию метода Титчмарша, которая ранее применялась для решения других задач в работах М.Г.Гасымова [2б] , А.Г.Костючен-ко [2б] , Б.М.Левитана [27] .

Позже М.Отелбаев предложил для решения проблемы о гладкости решения дифференциальных уравнений специальный метод локального представления резольвенты, который он назвал вариационным.

К.Х.Бойматову, М.Отелбаеву и их ученикам удалось получить при этом ряд важных принципиальных результатов, которые в частности обобщают основные достижения зарубежных авторов.

Для неограниченных областей существованием и гладкостью решений нелинейных дифференциальных уравнений ( с сингулярном потенциалом ) на примере уравнений Штурма-Лиувилля занимались М.Б.Муратбеков и М.Отелбаев [28] . В дальнейшем эта задача решалась также в работах Т.Т.Амановой [29] , М.Б.Муратбекова [30] .

Тем не менее гладкость решений нелийных дифференциальных уравнений шло изучена по сравнению с гладкостью решений линейных дифференциальных уравнений. Здесь еще нет сложившихся традиционных методов, которым доступно большое число задач, встречающихся в приложениях.

Настоящая диссертационная работа посвящена изучению вопроса существования и гладкости решений:

- Нелинейного дифференциального уравнения нечетного порядка.

- Нелинейного дифференциального уравнения с матричным потенциалом.

- Нелинейного уравнения Щредингера (трехмерный случай) и оценкам промежуточных производных решений в весовых пространствах, а также теоремам разделимости оператора Штурма-Лиувилля с вырождающимися или быстро растущим на бесконечности коэффициентов при старшей производной.

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации.

Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 55 наименований.

1. JbiOHc Ж.Л., Мадасенес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. - М.: }Шр, I97I, - 372 с.

2. А1-кСпШ1. f.y. ^ici^ci -a. trUU-^UCL of CrvUftat i^pe. P- ie5 -^68

4. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости для оператора Штурма- Лизгвилля,-4Латем.заметки, 1973, т. 14, )^ 3, с.349-359.

5. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости, - Докл. АН СССР, 1973, т.213, 1Ь 5, с . Ю О ^ Ю П .

6. Бойматов К.Х.Lp - оценки обобщенных решений эллиптических дифференциальных уравнений. - Докл. АН СССР, 1975, т.223, J,^ 3, с.521-524.

7. Бойматов К.Х, Об области определения оператора Штурма-Лиувил- ля.-Д1фференциальные уравнения, 1976, т,12, В 7, с.1151-II60.

8. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости, весовые пространства и их приложения к краевым задачам. - ДА.Н СССР, 1979, т.247, ja 3, с.610-612.

9. Отелбаев М. О сут^ г^ шруемости с весом решения уравнения Штурма- Лиувилля. - Матем.заметки, 1974, т. 16, !'& 6, с.969-980.

10. Отелбаев М. О гладкости решений дифференциальных уравнений.- Известия АН Каз.ССР, сер. физ.-мат. ,1977, 1^ 5, с.45-48.

11. Отелбаев М. О гладкости решений псевдодифференциальных уравнений и теоремы разделимости. - В кн.: Штематические исследования, КарГ7, Караганда, 1976, вып.З, с.92-102.

12. Отелбаев М. Коэрцитивные оценки и теореглы разделимости для эллиптических уравнений в Я" • Труды 1ШШ, 1983, т. 161, с.195-217.

13. Измайлов А.Л., Отелбаев М, О суммируемости с весом решения дифференциального уравнения в неограниченной области, -Известия АН Каз.ССР, сер. физ.-мат., 1977, i§ I, с.36-40.

14. Рашябеков Д.Ж. Гладкость решения в L^ сингулярного уравнения.- Известия АН Каз.ССР, сер. физ.-мат., 1974, й 3, с.78-83. - 96 -

15. Алиев Б.И. Теоремы разделшлости для операторного уравнения Штурма-Лиувилля на полуоси. - Деп. в ВИНИТИ, 14, 782, № 37 (62-82).

16. Абудов А.А. О разделимости одного оператора, порожденного операторно-дифференщ^альным выражением. - В 1ш.: Спектральная теория операторов, Баку, "Элм", 1982, с.4-11.

17. Джумабаев Д.С, Медетбекова Р.А. О разделимости линейного дифференциального оператора второго порядка. Изв. АН Каз. ССР, сер. физ.-мат.-, 1983, II 5, с.21-26.

18. Джутлабаев Д.С. Об ограниченности решения и его производных на всей оси дифференциального уравнения первого поряд!^. Изв. АН Каз.ССР, сер. физ.-мат., 1982, В 5, с.5-7.

19. Гасымов М.Г. О распределении собственных значений сшлосопря- женных дифференциальных операторов. - ДАН СССР, 1969, т.186, с.753-756.

20. Костюченко А.Г. Распределение собственных значений для сингулярных дифференциальных операторов. - ДАН СССР, 1966, т.168, № I, с.810-813.

21. Левитан Б.М. Исследование функции Грина уравнения Штурма- Лиувилля с операторьшх коэффициентом. - Матем,сборник, 1968, т.76, Гв 2, с.239-270.

22. Муратбеков М.Б., Отелбаев М. О гладкости решения нелинейного уравнения Штурма-Лиувилля. - В кн.: Математика: Тезисы докладов УП-ой казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике (Караганда, I98I), Караганда, I98I, с.34-35.

23. Аманова Т. Т. Гладкость и аппроксиглативные свойства решений двучленных дифференциальных уравнений на бесконечном интер-- 97 -вале. - Канд.дйсо. ... Алма-Ата, 1984, - 82с.

24. Муратбеков М.Б. О гладкости решения вырождающихся эллиптических уравнений и одномерного нелинейного стационарного уравнения Щредингера. - Канд.дисс. ... Алма-Ата,I98I,-81с,

25. Бубнов Б.А. Характеристические задачи для одного класса уравнений третьего порядка. - В кн.: Корр., краевые задачи для неклассичес1шх уравнений. Мат. физика, Новосибирск, 1980, с.44-50.

26. Кожанов А.И. Разрешимость смешанной задачи для нелинейных уравнений с диссипацией третьего порядка. - В кн.: Корр., краевые задачи для неклассических уравнений мат,физики. Новосибирск, 1980, с,98-102.

27. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя.-М.:Наука,1969,с.780.

28. Дубинский Ю.А. Нелинейные эллиптичесхше и параболические уравнения. - В кн.: Современные проблегш матеглатики, Москва, ВИНИТИ, 1976, т.9, с.5-130.

29. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. - М.: Мир, 1972, - 587с.

30. Похожаев С И . О нормальной разрешимости нелинейных уравнений. - Докл. АН СССР, 1969, т. 184, 0.40-43.

31. Похожаев СИ. Об уравнении вида AU^oc,u,t)u-. . -Математический сборник, 1980, т.ПЗ (155), 1Ь 2, с,324-338.

32. Похожаев С И . Об априорных оцешсах решений квазилинейных эллиптичес1шх уравнений произвольного порядка. - Дифференциальное уравнение, 1983, II 19, Ш I, c.IOI-IIO.

33. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1976, 480с. - 98 -

34. Колвлогоров А.Н., Фомин С В . Элементы теории функций и функционального анализа. - Наука, I98I.

35. Отелбаев М. Теоремы вложения пространств с весом и их применения к изучению спектра оператора Щредингера. - Труды Ш АН СССР, 1979, т.150, с.265-305.

36. Треногий В.А. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1980,-496с.

37. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функцишл связанные с диф(|)еренциальными уравнениями второго порядка. - М.: ГДир, I96I, т.2.

38. Отелбаев М., Ценд Л. К теоремам о компактности. - Сиб. математический журнал, 1972, & 4, с.817-822.

39. Рид М., Са&лон Б. Методы современной математической физики. -М.: Itep, 1978, т.2, с.395.

40. Коваленко В.Ф., Семенов Ю.А. Некоторые вопросы разложения по обобщенным собственным функциям оператора Шредингера с сильно сингулярными потенциалами. - Успехи матем.наук, 1978, т.33, вып.4; с.107-138.

41. Соболев Л. Некоторые пршленения функционального анализа в математической физике. - Л., ЛГУ, 1952.

42. Отелбаев М. Об условиях самосопряженности операторов Щредингера с операторнытл потенциалом. - У1Ж, 1976,Киев,т.280, В 5. - 99 -

43. Биргебаев А. Разделимость одного дифференциального оператора в L^ . - Известия АН Каз.ССР, сер.физ.-^лат., I98I, 1Ь 5, с. 1-5.

44. Биргебаев А., Муратбеков М.Б. Гладкость решений нелинейного стационарного уравнения Щредингера. - В кн.: Пршленение методов функционального анализа к неклассическим уравнениям математической физики. Ш СО АН СССР, 1983, с.33-45.

45. Биргебаев А. Оценки промежуточных производных одного разделенного оператора. - В кн.: Тезисы докладов УП-ой казахстанской межвузовской научной конференции по мате^ттике и механики. (Караганда, I98I), Караганда, I98I, с.12.

46. Биргебаев А., Отелбаев М. Гладкость решений нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка. - Известия АН Каз.ССР, сер. физ.-мат., 1984, В 3, с.11-13.

47. Биргебаев А. Гладкость решений нелинейного дифференциального уравнения с матричным потенциалом. - В кн.: Тезисы докладов УШ-ой республиканской межвузовской научной конференции по ыатеглатике и механике, 1984, с.II.