Коэрцитивные оценки и разделимость некоторых обыкновенных дифференциальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

Глава 1: Коэрцитивные свойства обыкновенных дифференциальных операторов с сингулярными коэффициентами

§1. Основные определения и обозначения

§2. Коэрцитивные оценки и разделимость дифференциального оператора четного порядка с сингулярными коэффициентами

§3. Коэрцитивные оценки и разделимость оператора нечетного порядка с сингулярными коэффициентами

§4. Разделимость дифференциального оператора нечетного порядка с матричным потенциалом

§5. Разделимость дифференциального оператора нечетного порядка с матричными коэффициентами

Глава 2 : Разделимость оператора Штурма-Лиу вил ля с матричным потенциалом

§6. Формулировка основного результата

§7. Вспомогательные леммы

§8.Доказательство теоремы 6.1.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию разделимости некоторых обыкновенных дифференциальных операторов и получению коэрцитивных оценок для них. В частности, в работе рассмотрен случай сингулярных коэффициентов, а также исследован случай сильного колебания потенциала.

Термин "разделимость" и фундаментальные результаты по разделимости принадлежат В.Н.Эверитту и М.Гирцу (W.N.Everitt, M.Gierz). В своих работах [1-5] они изучали разделимость оператора Штурма-Лиувилля

P{y} = -y"(x) + q(x)y(x), (0.1) и его степеней.

Результаты этих работ позже были усилены в работах [6-12]. В частности в работе Бой-матова К.Х.[6], разделимость дифференциального выражения (0.1) получена без требования какой-либо гладкости на потенциал q(x). Отелбаев М [7] исследовал разделимость (0.1) в весовом пространстве Z/2,A;(-0s гДе I - открытый отрезок вещественной прямой.

Разделимость обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка при различных условиях на потенциальную функцию исследовалась в работах Амановой A.A., Мурат-бекова М.Б. [13], Гриншпуна Э.З., Отелбаева М. [14] и др. авторов.

Разделимость дифференциальных выражений более высокого порядка рассматривалась в работах Абудова A.A. [15], Биргебаева А. [16], Биргебаева А., Отелбаева М. [17], Бойматова К.Х., Лизоркина П.И. [18] , В.Н.Эверитта, М.Гирца [31-33], Аткинсона <J>.B.(Atcinson F.V.) [34], Эванса В.Д., Цеттла A. (Evans W.D., Zettl А.) [35], Исхокова С.А. [39] и др. авторов.

В работах [15,36,37,40,41] рассмотрены дифференциальные операторы с матричными коэффициентами. В работе [41] допускалась нелинейность рассматриваемого дифференциального оператора за счет слабого возмущения линейного оператора. Нелинейные дифференциальные выражения рассматривались в работах [13,14,17,23,27,41,42].

В работе Гриншпуна Э.З., Отелбаева М. [14] доказано, что нелинейный оператор Штурма-Лиувилля, с положительным потенциалом всегда разделим в Ь\(—со, +оо). Это показывает, что Ь\(1) (I = (—оо,-Ьоо)) является "естественным" пространством в задаче о разделимости оператора Штурма-Лиувилля.

Разделимость дифференциальных выражений с частными производными впервые исследовалась в работе Бойматова К.Х.[8]. Далее эти результаты были обобщены и развиты в работах [19-29].

Перейдем теперь к краткому изложению содержания диссертации. Данная диссертация состоит из настоящего введения, трех глав, разбитых на двенадцать параграфов, а также списка литературы, включающего 50 названий. Система нумерации параграфов в диссертации сквозная, каждый их них имеет двойную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером параграфа, а второй указывает на порядковый номер определения, леммы, теоремы, утверждения или формулы в данном параграфе.

Первая глава диссертации состоит из пяти параграфов и посвящена изучению коэрцитивных свойств и разделимости обыкновенных дифференциальных операторов с сингулярными коэффициентами.

В первом параграфе приведены необходимые определения и обозначения, используемые в дальнейшем. В остальных четырех парагафах излагаются полученные автором результаты.

Приведем эти результаты.

Во втором параграфе в пространстве Ь^Я]) функций у(Ь) {Ь ^ Кг) с конечной нормой где 1(Ь) € С{—оо, +оо) -положительная функция, р € (1,-Ьоо), рассматривается оператор, определенный выражением с коэффициентами € ЬР,10с{^)- Здесь и далее = -—у.

Символом обозначим пространство локально суммируемых со степенью р функций.

Через 1) обозначим пространство функций, имеющих всевозможные обобщенные производные данного порядка 2т и суммируемые на с данной степенью р.

Будем говорить, что и{€) € если для любых функций 6 С^-^Лг) , функция р(Ь) ■ и{{) принадлежит пространству

Определение 0.1. Оператор Р, определенный равенством (0.2)называется разделимым в пространстве если для всех у(Ь) таких, что оо

0.2) у е ь^я,) п УУ^Ш, Ру е Ы^). имеют место включения а3{1)у^{1) е Ь^Пу), [з =0,1,. ,2т).

2т+\

Ру= YsM^Ktl yeW^o:\Ri)

0.17)

Результат этого параграфа сформулирован в следующей теореме.

Теорема 0.4.(Теорема 5.1) Пусть выполнены условия (0.14), (0.18), (0.18'), тогда существуют числа е = е(т),к = к(т) > 0 такие, что имеют, место следующие утверждения : г) Имеет место неравенство

2то+1

ЧЫз]т\^1<М\\Ру\и (0.19)

7=0 для всех у(£) е для которых конечна левая часть (0.19). Число М не зависит от у{Ь). и) Пусть, кроме того, А^ е С^(11\\Еп(1Сп) и выполнены неравенства

Тогда оператор Р разделяется в пространстве Lpj(Ri)n.

Замечание 0.2. В отличии от известных результатов [38] в нашем не требуется выполнения условия Aj{t) Е -boo,ioc(-Ri; End Сп).

Во второй главе диссертации, состоящей из трех параграфов (§§6-8) исследуется разделимость оператора Штурма-Лиувилля с матричным потенциалом.

В пространстве Ьр{Я])1 вектор функций y(t) — (yi(t),y2(i), • • • ,Ui[t)) с конечной нормой

Af\t)\\<K,q}^e(t) (k = 0,j,j = l,2m)

0.20)

0.21) рассматривается дифференциальный оператор

Ly = -y" + q(t)y(t), с матричным потенциалом q(t) € ¿оо,;ос (Hi; EndC ).

Определение 0.5.Оператор L называется разделимыми в простанстве Lv из включений

Ly е Lp(Äi)', у 6 ЬР(Й1)г П W^2iioc(ßi)' всегда следует, что у", qy G LP{RX)1.

Определение 0.6. Будем говорить, что квадратная матрица q{t) порядка лежит классу если выполнены следующие условия : для всех t, т € i?i, удовлетворяющих неравенству e|t-T|-p>(r) < 1, где р(г) = min |&(т)|, а г = 1,1 -собственные значения матрицы q(r) к

Iarg qk(t)\ < тг - ?/, (Vfc = ~l,Vt G Ru 0 < v < тг)

9fe(i)| <cp(t), (Vfc=U,Vi еЛО, где число с > 0.

Предполагается,что функция arg z принимает значения на интервале (—7г, Результат этой главы сформулирован в виде следующей теоремы.

Теорема 0.5.(Теорема 6.1) Д.ля произвольного р G (1,+оо) найдутся: числа 5, е. > 0. зависящие от v,c,p такие, что если q(t) G 'W^(ßx), то дифференциальный оператор (0.22) разделяется е пространстве Lp(Ri)''.

Замечание 0.3. Здесь нами впервые исследована разделимость оператора L, когда условия положительной определенности и эрмитовости матрицы g(t) могут не выполнятся, причем матрица q(t) может иметь собственные значения из левой полуплоскости. Отметим, что полученный результат является новым и для случая 1 = 1, так как ранее в работах других авторов требовалось, чтобы Re q(t) > 0, \Im q(t)\ < M Re q(i), мы же требуем только, чтобы Iarg q{t) | > и, где и - произвольное сколь угодно малое число из интервала (0.7Г).

В седьмом параграфе приведены вспомогательные леммы, используемые в дальнейшем. В восьмом параграфе приводится доказательство теоремы 0.5. Доказательство основывается на построении правого регуляризатора.

В рассмотрение вводится интегральный оператор F с ядром

F(t,r) = <pe(t,r) -Ro{t,T), где ipe(t,T) = (т)) (tp(t) = 0 при \t\ > 1 и ip(t) = sin{f (1 - i2)4} (-1 < t < 1)) , oo a Äo(t,T) = £ / e^)(s2I + q(T))-4s. —oo

Далее доказывается, что оператор LF представим в виде LF = Е + G, где оператор G имеет явный вид, и если выбрать соответствующим образом числа е и <5, то он будет удовлетворять оценке

Н^Имдо' - й

18

13 ст' € (0,2), - < к < -. Пусть, кроме того, для любого 8 > 0 найдется число С > 0 2 2 такое, что, если 1^1, |г|2 < 5, — < 1, то гсЗе «1 € [0, /с].

Тогда оператор А разделяется в Ь2(К) .

Полученные в диссертации результаты опубликованы в работах автора [47-50]. Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своим научным руководителям академику АН РТ, доктору физико-математических наук Бойматову К'.Х. и доктору физико-математических наук Исхакову С.А. за постановку задач и постоянное внимание при работе над диссертацией.

1. Everitt W.N.,Giertz. Some properties of the domains of certain differential operators.//-Proc.London.Math. Soc.(3),1971,23, №2, p 301-324.

2. Everitt W.N.,Giertz., Some inequalities associated with certain differential operators // Mathematica 1972, Bd 126, №4, p 308-326.

3. Everitt W.N.,Giertz. Some properties of the power of a formally seff-adjoint differential expression // Proc. London Math. Soc.(3), 1972,vol 24, №1, p 149-170.

4. Everitt W.N.,Giertz. Some properties of the domains of the power of certain differential operators // Proc. London Math. Soc.(3), 1972,vol 24, №4, p 756-768.

5. Giertz M.Report from the conference on ordinary and partial differential equations held in Dundee, March 30-Apr 2, 1976 Stockholm-Trita Mat .1976, 7.

6. Бойматов K.X. Теоремы разделимости для оператора Штурма-Лиувилля,- Мат. заметки,1973,14 №3, с 349-359.

7. Отелбаев М. О суммируемости с весом решения уравнения Штурма-Лиувилля.- Мат. заметки,1974, т 16,№6,с 969-980.

8. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости.-ДАН СССР, 1973 , 213 №5, с 1009-1011.

9. Отелбаев М. О гладкости решенний дифференциальных уравнений .// Изв А.Н.Каз ССР, Сер физ-мат, 1977, №5, с 45-48.

10. Отелбаев М. О разделимости эллиптических операторов.// ДАН СССР,1977, 234 №3, с 540-543.

11. Измайлов А.Л. Гладкость решений дифференциальных операторов и теоремыразделимости: Канд.дис. Алма-Ата, 1978.

12. Раимбеков Д.Ж . Гладкость решений в ¿2 сингулярного уравнения.// Изв А.Н. Каз ССР. Сер физ-мат.,1974 N»3, с 78-83.

13. Аманова Т.Т., Муратбеков М. Б. Разделимость нелинейного уравнения Штурма-Лиувилля в Ь\{—оо,+оо) // Известия А.Н.Каз ССР, Серия физ мат,1984, №3, с 57-59.

14. Гриншпун Э.З., Отелбаев М. О гладкости решений нелинейного уравнения Штурма-Лиувилля в Ь\{—оо, +оо) // Известия А.Н.Каз ССР, Серия физ мат,1984, №5, с 26-29.

15. Абудов А.А О разделимости одного оператора, порожденного операторно-дифференци-альным выражением // В сб: Спектральная теория операторов . -Баку, 1982, с 4-11.

16. Биргебаев А. Разделимость одного дифференциального оператора в Ьр // Известия А.Н.Каз ССР, Серия физ мат,1984, №5, с 26-29.

17. Биргебаев А., Отелбаев М. О разделимости нелинейного дифференциального оператора третьего порядка // Известия А.Н.Каз ССР, Серия физ мат,1984, №3, с 11-13.

18. Бойматов К.Х. Лизоркин П.И. Оценки роста решений дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения, 1989, т.25, №4, с 578-588.

19. Бойматов К.Х. О спектре эллиптического оператора: Автореферат канд.дис. М. МГУ 1974.

20. Бойматов К.Х. Асимптотика спектра оператора Шредингера с сингулярным потенциалом // УМН,1976,т.31, №1, с 241-242 .

21. Розенблюм Г.В. Асимптотика собственных чисел оператора Шредингера // Мат.сб, 1974, т. 93(135), №3, с 347-367.

22. Бойматов К.Х.: Ь2 -оценки обобщенных решений эллиптических дифференциальныхуравнений. // ДАН СССР, 1975, т.223,№3, с 521-524.

23. Бойматов К.Х., Шарипов А. Коэрцитивные свойства нелинейных операторов Шредин-гера и Дирака // ДАН России, 1992 г, 326, №3, стр 393-398.

24. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости,весовые пространства и их приложения к краевым задачам // ДАН СССР, 1979, т.247, №3, с 532-536.

25. Бойматов К.Х, Теоремы разделимости, весовые пространства и их приложения // Труды МИАН, 1984, т.170, с 37-76.

26. Бойматов К.Х, Коэрцитивные оценки и разделимость для эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка // ДАН СССР, 1988, т.301, с 1033-1036.

27. Бойматов. Коэрцитивные оценки и разделимость для нелинейных дифференциальных операторов второго порядка // Мат.заметки, 1989, т.46, №6, с 110-112.

28. Отелбаев М. Коэрцитивные оценки и теоремы разделимости для элиптических уравнений в Rn // Труды МИАН, 1983, т.161, с 195-217.

29. Ойнаров Р. О разделимости оператора Шредингера в пространстве суммируемых функций // ДАН СССР 1985,т.285, с 1062-1064.

30. Мынбаев К.Т., Отелбаев М.- Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных операторов -Москва, Наука, 1988.

31. Everitt W.N.,Gierts М., An example concerning the separation property for differential operators // Proc.Roy.Soc Edinburgh, 1973, Vol 71, p.159-165.

32. Everitt W.N.,Gierts., Inequalities and separation for Schrodinger type operators in Ь-2(К") // Proc.Roy.Soc Edinburgh 1977, Vol 79, p.257-265.

33. Everitt W.N.,Gierts M., A Dirichlet type results for odinary differential operators.Math.Ann., 1973,Vol 203, №2, p 119-128.

34. Atcinson F.V. On some results Everitt and Gierts. Proc.Roy. Soc.Edinburgh A, 1973, Vol 71, p 151-158.

35. Evans W.D., Zettl A. Dirichlet and separation results for Schrodinger type operators.-Proc.Roy.Soc.Edinburgh A 1978, vol 80, p 151-162.

36. Бойматов K.X, Шарипов А. Коэрцитивные оценки и разделимость для дифференциальных операторв произвольного порядка // Успехи мат.наук 1989 т.44 вып 3. с147-148.

37. Байрамоглы М., Абудов A.A. О существенной самосопряженности оператора Штурма-Лиувилля с операторными коэффициентами // В сб: спектральная теория операторов.-Баку,1982,с 12-20.

38. Рахимов З.Х, Оценки роста решений дифференциальных уравнений нечетного порядка // канд. дис.,Душанбе, 1993.

39. Исхаков С. А. О разделимости обыкновенных дифференциальных выражений //В сб: Функциональный анализ и его приложения в механике и теории вероятностей.-М.Изд-во МГУ,1984,с 130-131.

40. Мохамед A.C. Разделимость оператора Шредингера с матричным потенциалом // Доклады А.Н. Таджикистана -1992, т.35, №3.

41. Мохамед A.C. О разделимости нелинейного оператора Шредингера с матричным потенциалом // В сб: Тезисы Республиканской научной конференции "Теория приближения и вложения функциональных пространств ".- Караганда 1991, с 88.

42. Каримов О. Коэрцитивные свойства нелинейных дифференциальных операторов второго порядка .// Канд.дис.,Душанбе,2000 г.

43. Юсупов А.К. О разделимости обыкновенного дифференциального выражения с сингулярными коэффициентами.// Материалы Республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Таджикистана , 18-21 апреля 1991 г. Кургантюбе ,1991 г.

44. Левитан Б.М., Саргесян И.С. Введение в спектральную теорию // М., 1970.

45. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы // М. ,1969.

46. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве // М. Наука. 1971.

47. Бакоева М.М, Рахимов З.Х. Коэрцитивные свойства обыкновенных дифференциальных, операторов с сингулярными коэффициентами // Докл. А.Н.Р.Т, 1996 т. XXXIX № 9-10 с 75-81.

48. Бакоева М.М. Разделимость дифференциального оператора с матричным коэффициентами //Материалы международной конференции " Диффернциальные уравнения с сингулярными коэффициентами" (Душанбе, Таджикистан, 17-19 ноября 1996 г), с. 20.

49. Бакоева М.М. Разделимость дифференциального оператора нечетного порядка с сингулярными коэффициентами // Материалы юбилейной научно теоретической конференции посвященной 50- летию ТГНУ, Душанбе 1998 г), с. 10.

50. Бакоева М.М. Исхоков С.А. О разделимости оператора Штурма-Лиувилля с несимметричным матричным потенциалом // Вест. Хорогского университета, 2002, серия 1, № 5. с. 43-51.