Коэрцитивные оценки и разделимость дифференциальных операторов класса Трибеля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Гаибов Давронбег Сафарович

Коэрцитивные оценки и разделимость дифференциальных операторов класса Трибеля

01.01.01 - математическай анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003458 179

Душанбе 2008

003458179

Работа выполнена в Институте математики Академии паук Республики Таджикистан

Научный руководители: доктор физ.-мат. наук, академик АН РТ,

профессор, Бойматов Камолиддин Хамроевич. ,

доктор физ.-мат. наук, профессор Исхоков Сулаймон Абунасрович.

Официальные опоненты: доктор физ.-мат. паук, академик АН РТ,

профессор Шабозов Миргаид Шабозович.

кандидат физико-математических паук, доцент Гадоев Махмадрахим Гафурович.

Ведущая организация: Российско-Таджикский (Славянский)

Университет.

Защита состоится 2008 г. в 7 часов Оо ми», на засе-

дай и и специализированного диссертационного совета ДМ 047. 007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан по адресу: 734003, г.Душанбе, ул. Айни 299/1.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики АН Республики Таджикистан.

Автореферат разослан ^^ Ц ^^ 2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного сонета

ш

Халилои Ш.Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Работа посвящена исследованию Lp разделимое! и дифференциальных операторов класса Трибеля при 1 < р < +ос и получению соответствующих ко)рцигишп.1х неравенств.

Термин разделимость и фундаментальные результаты по ра ¡делимости обыкновенных дифференциальных операторов принадлежат В Н. Эверит-гу н М.Гирцу. В своих работах они. в основном, изучали разделимость оператора Штурча-Лиувилля и его степеней.

Впоследствии эта тематика была развита в работах К.Х. Бойматова, П.II. Лизоркина. AI. Отелбаева. Ф.В. Аткинеон. В.Д Эванс. А.Цеттл и д])\ гие математики.

Разделимость обыкновенных дифференциальных выражении более высокого порядка исследовалась в работах A.A. Аб\дова. A. Biipi ибаева, М. Отелбаева, К.Х. Бойматова, С.А. Исхокова и др

Случай обыкновенных дифференциальных выражений с матричными коэффициентами рассматривалась в работах Б.II Алиева, С М Исмоило-ва, М.М. Байрамоглы. К.Х. Бойматова, А. Шарифова, A.C. Мохамеда и др.

Цель работы.

Изучить в пространстве LP(Q.), 1 < р < + зс, ü = (а.Ь), —оо < а < b < +00. разделимость обыкновенного дифференциального оператора класса Трибеля с очень сильным вырождением коэффициентов вблизи границы (и на бесконечности).

Методы исследования.

Основными методами исследования являются современные методы обыкновенных дифференциальных уравнений и функционального апали-5а. Доказательство теорем основывается на построении правого регулярп-¡атора; применяется модифицированный К.Х. БоЛматовым метод Титч-марша. Также используется метод интегрирования по частям, впервые примененный В.Н. Энериттом и М. Гирцом. Разделимость в Lx пространствах устанавливается предельным переходом при р —> -|-ос.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми и включаются и следующем:

1) полумены оценки резольвенты оператора класса Трпбеля;

2) установлена Ь¡, -разделимость для обыкновенных дифференциальных операторов класса Трибеля на конечном интервале, на полуоси, на всей оси и на произвольном интервале, где доказано, что константы, фигурирующие в оценках козрцитивности. не зависят от р:

3) установлена разделимость дифференциальных операторов класса Трибеля в пространстве Ь^:

4) получено интегральное представление функций из весовых пространств С.Л. Соболева.

Теоретическая и практическая ценность.

Результаты, полученные и диссертации, имеют теоретическое значение и могут быть использованы м теории гладкости решений, а также в спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов.

Апробация результатов.

Результаты, представленные в диссертации, прошли апробацию на межреспубликанской научно-практической конференции "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики - вторые боголюбовские чтения"(г. Киев, 1992г.): международной конференции "Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами"^'. Душанбе. ТГНУ. 1990 г.): республиканской научно практической конференции молодых ученых и специалистов (г. Курган-Тюбе, 1991 г.); республиканской научной конференции "Математика и информационные технологии"^'. Душанбе. Институт математики (ИМ) АН РТ, 2006 г.): республиканской научной конференции "Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений"(г. Душанбе, 2007 г.); научно-исследовательском семинаре отдела теории функций и функционального анализа ИМ АН Республики Таджикистан "Спектральная теория и ра ¡делимость дифференциальных операторов"(р\ ководитсли доктор физ.-мат. наук, академик АН РТ, профессор, Боймагов К.Х. и доктор физ.-мат. наук, профессор Исхоков С.А.), 1991-2008 I г.; общеинститутском семинаре Института математики АН Республики Таджикистан (руководитель

семинара доктор фи;.-m.it. на\к, член-коррептндент АН РТ. профессор Рахмонов З.Х.)

Публикации.

Основные результа п>1 диссертации опубликованы в восьми научных работах, список которых приводен в конце автореферата |l 8|.

Структура и объём работы.

Диссертация изложена па 111 мраницах и юстоит in »ведения, двух глав и списка „штора туры. Главы подрало юны на 10 параграфов. Система нумерации параграфов сквозная, каждая из них имеет двойную нумерацию, в которой первый помор совпадает с номером параграфа, а второй указывает па порядковый номе]) определения, леммы, теоремы или формулы в данном параграфе Библиография насчитывает G8 н.шмеппва-ний.

Содержание диссертации

Во введении дается краткий исторический обзор рсчульппов по рассматриваемой проблеме, обосновывается актуальность темы. Проводится также краткое содержание диссертации с указанием основных результатов.

Первая глава диссертации состоит из пяти параграфов и посвящс4-на исследованию резольвенты обыкновенных дифференциальных операторов класса Трибеля.

В нервом параграфе приведены необходимые определения и обозначения, используемые в дальнейшем, а также определения дифференциальных операторов класса Трибеля и постановка задач. На основе определения дифференциальных операторов, принадлежащей Хансу Трпбелю имеем следующую постановку задач.

Пусть Г2 С Я I- произвольный интервал, т.е. П = (а; 6) причем —оо < а < b < +OG и p(t) £ Сэс(0)- некоторая весовая функция, такая что

I. lim pit) = lim pit) = +oo, p{t) > I:

i->a+ l—b-

II. \р«Щ ^O(p1+fc(0), fc = 0,1,2,...

В частпосш, is кяждом ограничением интервале существует функция 1>{х), для котором f) 1(.с) по существу i он надает с d(x) = dist(x díl).

Пусть тп- натуральное чисто, /л. ;/- вещественные числа, причем и > ¡i + 2гп. Положим

■л, - I) + ц! i, 1 = 0,1,... 2т.

Класс Триполи ^'„(fí; p(t)) состоит из всех дифференциальных операторов вида

J2I 1 л

¡-i i * j.=ч

■ 5десь b¡(t) е CMSTi (i = 0 di)- вошеп венные функции, все производные. которых (liKjiin ian саму фчикцию; оцпишчеии н Ü.

Да 'ice ч ] к'Г)\ <vi ( я :то при пек< • горо.м - 0 .¡'[я всех t Е Q вы но. ш по i < я пер.шенс тва

b0(t)>c. (-l"nbm(l)>c. (-1)'6,(0>0, 1 = 1,2,. .т-].

Наконец, (¡и{П ^ ( (/> --- 0,2/// —1) вещественные функции гд-

кие что для всех / = ОД. 2,...

о<"(<) = "(р^ДО) при Í —л+- и Í-+6-.

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение

Ли = Г,

.де л е'2i;;'„(íí.д/)), «еи-дда ncñi, /еад.

Для определенно:о выше к i;xca Трнбеля дифференциальных операпь ров в npoc'i panci вс £/р при 1 < р < -¡-зо требуется исследовать ра ¡делимость и получит!, с ..ответ« пующие юнрцитнвные оценки.

Во втором 1шра1)>лфе поч\чепы некоторые вспомогательные леммы и неравенства но отношению весовой (|>\нкции коэффициентов оие])дто])а и фундаментально.. решения \ равнения с оператором класса, Трибеля, которые применяю:, я для оценки норм ицте| ральных операторов.

Г> третьем napai рифе no.iyicno. так напеваемое, основное тождество'" в виде следующей -'ммы которая применяемся при построении perj-i/i-ри ¡атора.

Положим

Лемма 1. Пусть в. .г положительные числа, 4аг < в. Функция q(t) таьое же каь и выше Тогда для любой функции v(!) € Bf¡"'(П) справедливо равенство

(t) = Dfm J Rh{t.r);0{i т)и(т)<*г + J q(T)R0(t,T)<pe{t,T)v(T)dT + n n

+A / R0(t,T)<pe(t,T)c(T)dT+

я

m-1

^ l< -l)l//-4r)bl(r)(D¡l(R)(t.T)^(t,T)))v(T)dr+

1 í

2m

+ I inr~3Mt,r)){D!^{f.r))v(r)dr+

ií

' = 1 íl

m- l 2m

+

1 ,=i „

числи С.,,,, и Cí4 cooiiuic/mcmei пно .saeui ят только от, m,j и l, j. В четвертом nap.irpa<|»с ci роится правый регуляризатор д [я онера i ори A(l Dt)y(t) £ p{t)) к [асса Трибеля, который способствует полу-

чению реюльненты и он« пки резольвенты д 1я оператора класса Трибеля.

13 дальнейшем через Lp¡ будем обозначать класс непрерывных операторов в /^/(íl). Обозначим через |T|jpí норму оператора 7 £ I,,;. Если Т интефальный онера юр с ядром T(t.r). то через Т' буде м обозначать интегральный оператор < ядром T"(t,r) = Т{тЛ)

Пусть ^ 6 C^{R{) изотри цате :ьная (функция такая, что ¿(t) = 1 при |/| .1 и Fд интегральный опера-юр с ядром

fot

= -r)á 1(т)) I r'^\a(r.s) + \)-ld,} (1)

-X.

:де Цт) =q"(r) <¡{t) т)Ъй\r), и = 1/2m,

Ш

а(т. ч) = 1)У 7-.Í.A > а 5 е Яь

/=и

Основной результат четвертою параграфа сформулирован в виде следующей теоремы, которая применяется при доказательстве теоремы разделимости и получении коэрцитивных неравенств.

Теорема 1. Существуют, числа, в, эг > 0, зависящие только от т, такие, что если операт.ор А е и выполнено неравенство

\т\ < ае(5-1(£)£((), то оператор Рл £ ¡-,,,1, 1 < Р < +оо, Л > 0. При этом для любой функции у £ Д1|(Г2) фцшция

ю(1)= У т)и(т)(/г £ Вц"'(П) а

и удовлетворяет равенству

(А + ХЕ)ю = и 4 Сд?;, где С л некоторый интегральней оператор, такой, что

В пятом параграфе подытоживаются все резулыаты первой главы для шпучения оценки резольвенты оператора класса Трибеля.

Обозначим через С}"^, 1 < р < +оо класс функций и(/") 6 ко-

торые имеют в обобщенные производные г/'(£), ...,

в смысле Соболева С.Л.

В пространстве введем оператор Лр по формуле = Ли,

считая за областью определения 0(АР) оператора Ар множество всех функций € таких, что Ли £

Теорема 2. Оператор Ар явлштгя. замкицтым оператором в пространстве . Для до< пшточнч больши / Л > Ад (Ао > 0)

оператор АР + ХЕ имеет непрерывный иоратмый в .

В ходе доказательства теоремы 2 получены еле дующие существенные оценки

1КЛ +Л/-;ГЧ|,.,„,,) < 1, (2)

||(ЛР + А£Г'<1/.Р,(П1 < (3)

Теорема 3. Пусть выпо гиен ы. условия, перечислении! выше. Тогда д,1 и весе X' £ р{Ар + ХЕ) а д/< татвчпи больших X > А0 (Лц > 0) таких, что \\Ар\\1К1 < !Л2 — (А'- А) справ/дливы сценки

■¿dr. М, N - некоторые константы, зависящие от А а А'.

В процессе доказательства георемы 3 шпучена следующая оценка резольвенты J

||(Ар - (Л' - А)£)-Ч|р,г < < const, _ (Л' = Л).

Полеченная оценка обобщает (2) и (3).

Вторая глава диссертации состоит из пяти парагра(1юв (§6 — §10) и посвящена доказательствам теорем разделимости и коэрцитивным оценкам в конечных и бесконечных интервалах, а также получению интегральных пред« тавлений в весовых пространствах.

В шестом параграфе диссертации исследована ра ¡делимость дифференциальных операторов класса Трибеля на интервале (0, 1).

И"•;"'($))- пространство функций, имеющих всевозможные обобщенные upon аюдиые данною порядка 2т и суммируемые на П с данной ( ieiie-ныо ¡1.

Говорим, что функция u(t.) € П). если для любых функций

<р 6 С о°(П), функция tp(t) ■ u(t) принадлежит пространству П,г(;т(0)

Теорема 4. Пусть 1 < р < +оо и /1 £ "^„((О L);р(£)) To?da с)-,я любой функции

у е z,p((o, 1)) n 1)),

для ъ ото рой Ay 6 Lp(( 0,1)) справедливы включения

du dk

k = 0, 2m - 1, I = 0, т.

При том выполняетi я неравенство

' :im .

ъ

(I

dt\ < M (ll/IUP((0,i)) " Ill/lit,,(((i 1»)

где 'ча.сло M > 0 не -швисит от р ц. j .

Теорема 5. Пцспп, y,f — Ay 6 L^((0, L)). Тогда, i npaeed uma ovcm.a

7m £

где число Л/ > 0 не зависит, от у, / .

В седьмом параграфе исследуется разде лимость обыкновенных дифференциальных оператором класса Трибели па положительной полуоси

Пусть П = = (0, +оо). Пусть А 6 21 ;/>(£)), где ¡л, и. т-гакие же объекты, что и выше. Класс функций и оператор Л7, такие же, как в пятом параграфе.

Теорема 6. Пусть 1 < р < +зо. Тогда для вссз функций и(Ь) € Ьр(0. +ос) таких. чт,о / = Аи £ ЬР(Я+) выполняется неравенство

21ч £

о

1/р

<й <Л/(||/||М(л+))+||и||М(лч))).

¿¿е число М > 0 не .зав шит от р. и, /.

Теорема 7. Существуют числа О Х,} > 0 такие, что дя» всех р € [1.+оо] и X ~> Ац справедливо преданна пение

(А. + ХЕ)'1 = Га(£ + (2А)

« котором, норма, оператора : --> ме прсвосг.одат 1/2.

Теорема 8. Пусть у, [ = Ду £ Ь^Н^). '1огда справедлива оценка

£

/=о

< М

Ьоо(Я+)

число М > 0 не зав шит от у. /. В восьмом параграфе исследовано и попучено интегральное представление функций и I весовых классов С.Л. Соболева ты интервале (0.1) и на положительной пол\оси 11+.

р>щ, р'"')- пространство с нормой

1- /'

\'=0«

<и

1 < Р <

2т

/=о

«О

o 2ni

Через И',, I»1'1'- С1'") обозначим замыкание в пространстве

Теорема 9. Пусть 1 < р < +со. Jlvncimыи оператор Fx : I.p(Q 1) - I )://•", (Г)

является e.iav ино одно, тачным отобра несши и Для функций

"(О е N^"'((0, 1):

справедливо интегрально! представлена (

\

v(t) = | Fx{t.T)t,(T)d~. ye ¿„(0,1), it

)/ вып.олнятпи я ш ¡xiecnt шва

CiIMmoi. S |П./-1Г;"((и,1): /" ,Г)\ < c-2¡|y||t>f0>1)

где, числа (], <> > 0 не тчшяш от у, и. р

Теорема 10. При 1 < р < +эс выпо ш.яютен равенства

ВЦ,) = И;'"(7Л /"./") (П ■.рр",,П

Дня функций y(t) Е 1 г;/9й',//'") t п/шведлшю интегри и>но<

npeót viae >и huí

+ ^с

y(t)= J FxO T)u(T)dr, ue L„{R+), it

гОе F\(t, t) жЦю вида (1) При mi ом выполняются нерааеш mea

ciML,и ,П\ <'-2||«lk,uM-

где числа < i . < j > (I не икиият от ц. и. р

В девятом иарафафе иочучепы оценки решений обыкновенных дифференциальных уравнении с оператором класса Трнбеля па всей оси в пpot 1 ранет ве L¡, (1 < р < + с некотрым наперед «данным весом

АчО

П сть h\t) <: С1(П) - положи тльпая функция такая, что |k'¡.,)\< M]k(t). Mi>\I

Теорема 11. Пцсть A G 21™,,(R: />(/)) , 1 < р < +эс. Тогда для решения y(t) уравнения Ау = / справед шва. оценьа

2 т

£ 1!А-(/)Р^(0УЫ(01ир(л> < A(||fc/|U„w + P'.flU,,(/?)), (4)

J=0

ес.ш ытечна правая, часть (4)\ч:исло А > 0 не зависит от у. /. р.

В десятом iiapai рафе исследованы оценки решений дифференциальных уравнений в крон «вольном интервале и получены Lх оценки решений уравнения Аи = /; ii.f 6 Lx(Si), где .4 дифференциальный оператор класса Трибеля. Í2 = (а,Ь), -ос < а < b < +ос.

Основной речу п.тат параграфа сформулирован в виде следующей теоремы.

Теорема 12. Пцсть А € p(t)) . f € LX(Q.). Тогда для pi шеним

и б L-, (П) ураат ния Аи = / выполняется оценка

2т

£ 1кг'(*)«ы(01и»<п) < м(||/||^(П) + |MU„(n)),

7=0

где Hie ло AI > U не зависит от и, /.

В заключении автор выражает глубокую бтагодярноеть своим научным

j > \ ■ к > 11 ■ ■ ;i:ic'i:¡m ,'i"Kiop\ фи мко-ма тематических наук, академику АН РТ.

профс< сору К.Х. Боиматову и доктору физико-математических наук. профс< сору С.А. Исхокову за постановку задачи и руководство ходом исследований.

Публикации по теме диссертации

1. Г.шбов Д.С. О разделимости дифференциальных операторов класса Трибеля на отрезке. Материалы Республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Таджикистана. 18-21 апреля 1991 года. Курган-Тюбе - 1991. с. 138-139.

2. Гаибов Д.С. Интегральное представление функций одного весового пространства С.Л. Соболева. / /Материалы Республиканской научно практической конференции молодых ученых и специалистов Таджикистана. 18 21 апреля 1991 года, Курган-Тюбе - 1991, с. 130 137.

3. Гаибов Д.С. Обыкновенные дифференциальные операторы класса Трибеля на полуоси. // Доклады АН РТ, т. XXXVI, .№12, Душанбе - 1993. с. 571 - 574.

4. Гаибов Д.С. Оценки решений обыкновенных дифференциальных у]).1виенш"1 на всей о(и. ' Тсзж ы международной конференции "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики-вторые боюлюбовские чтения", 14 18 сентября 1992г., Те ¡псы докладов, Киев 1992. с. 42.

5. Гаибов Д.С. Оценки решений дифференциальных \ равнении. /• Тезисы международной конференции "Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами", Душанбе, ТГНУ. 17-19 ноября 1996г., Тешсы докладов, с 28.

6. Ганбов Д.С. Построение регуляризатора для опера юров класса Три-беля. , / Материалы научной конференции "Математика и информационные технологии". Институт математики АН РТ, 27 октября 2ШЮг., Душанбе 200С с. 16 17.

7. Ганбов Д С. Оценка производных фундаментально! о решения дифференциального уравнения с оператором класса Трибеля. - Материалы республиканской научной конференции "Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений", посвященной 75 -летню со дня рождения академика Джураева Аб-духамида Джураевича Душанбе, 10 октября 21)07 г. «тр. 11-13.

8. Гаибов Д.С. Построение правого регуляризатора для сопряженного оператора класса Трибеля ' Доклады АН РТ. юм 50, №2. Душанбе - 2007. с. о - 10.

Сдано 10.11.2008. Подписано в 15.11.2008. Бумага офсетная. Печать офсетная. Тираж 100 экз. Заказ 75. Цена договорная

Отпечатано в типографии ООО «Ховарон» ул.Дж.Расулов 6/1

Введение

Оглавление

Глава I: Представление резольвенты оператора класса Трибеля

§1. Определения, обозначения и предварительные сведения

§2. Вспомогательные леммы и неравенства.

§3. Основное тождество.

§4. Регуляризатор

§5. Оценка резольвенты.

Глава II. Теоремы разделимости и коэрцитивные оценки

§6. Разделимость дифференциальных операторов класса

Трибеля на конечном интервале.

§7. Обыкновенные дифференциальные операторы класса

Трибеля на полуоси.

§8. Интегральное представление функций из весовых пространств С. JI. Соболева.

§9. Оценки решений обыкновенных дифференциальных уравнений на всей оси.

§10. Оценки решений дифференциальных уравнений на произвольном интервале.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию Ьр- разделимости дифференциальных операторов класса Трибеля при 1 ^ Р ^ и получению соответствующих коэрцитивных неравенств. Ранее такие оценки были получены Трибелем для 1 < р < +оо. Таким образом, новизна работы заключается в том, что рассмотрены неисследованные ранее случаи р = 1 и р = -foo. При этом доказано, что постоянные числа, фигурирующие в оценках коэрцитивности, не зависят от р. Этого не было у Трибеля даже при 1 < р < +оо.

Методика, которая использована в диссертации отличается от методики Трибеля. Кроме теоремы разделимости этой методикой получены интегральные представления функций для некоторых весовых классов С.Л.Соболева. Также этой методикой установлена плотность финитных функций в весовых пространствах функций.

Термин разделимость ввели английский математик В.Н. Эверит (W.N. Everitt) и шведский математик М. Гирц (М. Gierz). В своих работах [1-5] они изучали разделимость оператора Штурма Лиувилля p[y] = -y"{x) + q(x)y(x), (0.1) и его степеней.

Результаты этих работ позже были усилены в работах [6-12, 16-19]. В частности в работе Бойматова К.Х. [6] разделимость дифференциального выражения (0.1) получена без требования какой- либо гладкости на потенциал q{x). Отелбоев М. [16] исследовал разделимость (0.1) в весовом пространстве Z/2,fc(-0> гДе открытый отрезок вещественной прямой.

Разделимость обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка при различных условиях на потенциальную функцию исследовалась в работах Амановой Т.Т., Муратбекова М. Б. [20], Грипшпупа Э.З., Отелбаева М. [21] и др. авторов.

Разделимость дифференциальных выражений более высокого порядка рассматривались в работах Абудова А.А. [22], Биргибаева А. [23|, Бир-гибаева А., Отелбаева М. [24], Бойматова К.Х., Лизоркииа П.И. [14], В.Н. Эверитта, М. Гирца [36-38], Аткинсона Ф. В. (Atcinson F. V.) [39], Эвапса В.Д., Цеттла A. (Evans W.D., Zettl А) [40], Исхокова С. А. [41| и других авторов. В работах [22, 42, 43, 45, 46] рассмотрены дифференциальные операторы с матричными коэффициентами. В работе [46] допускалась нелинейность рассматриваемого дифференциального оператора за счет слабого возмущения линейного оператора. Нелинейные дифференциальные выражения рассматривались в работах [15, 20, 21, 24, 25, 46, 47, 57, 58].

В работе Гриншпуна Э. 3., Отелбоева М. [21] доказано, что нелинейный оператор Штурма - Лиувилля, с положительным потенциалом всегда разделим в Li(—оо, +оо). Это показывает, что L\(I) (/ = (—оо, +оо)) является "естественным" пространством в задаче о разделимости оператора Штурма - Лиувилля.

Разделимость дифференциальных выражений с частными производными впервые исследовалась в работе Бойматова К.Х. [7]. Далее эти результаты были обобщены и развиты в работах [8, 10, 15, 25, 26, 29].

Перейдем теперь к краткому изложению содержания диссертации. Данная диссертация состоит из настоящего введения, двух глав, разбитых на десять параграфов, а также списка литературы, включающего 68 названия. Система нумерации параграфов в диссертации сквозная, каждый из них имеет двойную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером параграфа, а второй указывает на порядковый номер определения, леммы, теоремы, утверждения или формулы в данном параграфе.

Первая глава диссертации состоит из пяти параграфов и посвящена исследованию резольвенты оператора класса Трибеля.

В первом параграфе приведены определение дифференциальных операторов класса Трибеля и другие необходимые определения и обозначения используемые в работе, а также постановка рассматриваемых задач. На основе определения (см. [13]. с. 511) дифференциальных операторов, принадлежащего Хансу Трибелю, имеем следующую постановку задач.

Пусть Q С R\- произвольной интервал, т.е. О, = (а; 6), причем —оо ^ а < Ъ ^ +оо и pit) G С°°(Г2)- некоторая весовая функция, такая что

I. lim pit) - lim p(t) = -f-oo, p(t) ^ 1; t->a+ t->b

II. = Л = 0,1,2,.

В частности, в каждом ограниченном интервале существует функция р(х), для которой /о-1 (х) по существу совпадает с d(x) = dist(x, dQ).

Пусть т- натуральное число, v- вещественные числа, причем v > р + 2т. Положим ае/ = -i-(i/(2m - /) + pi), / = 0,1,. 2m.

Класс Трибеля p(t)) состоит из всех дифференциальных операторов вида т ^21 2"»"1 jk а = E^wmo^7 + Е *G

1—0 к=О

Здесь bi(t) € C°°(Q), (/ = 0,m)- вещественные фуикции, все производные, которых (включая саму функцию) ограничены в £7, то есть для всех к = 0,1,2,. dk

Mt) sup ten +oo. dtk

Далее требуется, что при некотором с > 0 для всех t £ £1 выполняются неравенства bo{t)>ct (-1 )mbm(t)^c, (-l)%(t) ^ О, I — 1,2,. .m — 1.

Наконец, ak(t) £ C°°(Q), (к = 0,2m— 1)- вещественные фуикции такие, что для всех j = 0,1, 2,. a{p(t) = о (pmh+j(t)) при t а + и t^b-.

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение

Au = f, где AGSl^pW), ue^fi), SlcRi, f Е Lp(Cl).

Для определенного выше класса Трибеля дифференциальных операторов в пространстве Lp при 1 ^ р ^ -f-оо требуется исследовать разделимость и получить соответствующие коэрцитивные оценки.

В следующих четырех параграфах главы I изложены полученные автором результаты.

Приведем эти результаты.

Во втором параграфе получены некоторые вспомогательные леммы и неравенства по отношению весовой функции, коэффициентов оператора и фундаментального рещения уравнения с оператором класса Трибеля, которые применяются для оценки норм интегральных операторов.

Положим эе, = —-(v(2m-l)+fj,l), I = 0,2m, q(t) = b0(t) р320 (t), 5(t) = q~"(t), 2rn где

0 < с < b{0k\t) < +oo, к = 0,1, 2,., m G N, аэ0 = v > ^+2m, и =

2m

Q = (a, b), -oo ^ a < b ^ +00, q(t) G C^fi)

- некоторая положительная функция.

Лемма 0.1. Пусть в, ае- положительные числа, 4ае ^ в. Пусть p(t) Е C1(Q)- некоторая, полоэ/сительная функция такая, что p'(t)\^cp2(t), (О 0). (0.2)

Тогда для всех t,r £ Q, Ур,, v Е R\ и Vm E N таких, что v > p, + 2m, — r|gw(r) ^ 1 выполняются неравенства p(r)^2p(t), p{t)^2p(r). (0.3)

Лемма 0.2. Пусть выполнены условия леммы 0.1 и неравенства q(t) ^ 2q{r) ^ 4g(i). Предположим, что для всех t Е П где эегг = —(z/(m — /) + /лЛ, / = 0,1, 2,. т. Тогда для всех r,t Е Q т таких, что 6\t — г\qw{r) ^ 1; справедливо неравенство

- p^'M^WI < ае0-120е2'+шр®2'(г). (0.4)

Обозначим через Xe(t,T) — — 1(т))~ характеристическую функцию множества t,T):9\t-T\^6(r)}, (0.5) где x(t) — 1» если \t\ ^ 1 и х(£) = 0, если |t| > 1. Положим fit (г, в) = {t Е П : 6\t - т\ < 5(т)} , г Gfi, б») =. {г Е ft : 9\t - r| ^ 5(r)} , t E Q.

Лемма 0.3. Пусть функции 5(t), q(t) и числа ге,9 такие Dice объекты, что и выше. Тогда для всех t,T G ft справедливо mes ft,(r, в) ^ 2Г^М, (0.6) mes QT(t, в) ^ 2u}+1e~1q-uj(t). (0.7)

Положим оо

1 Г e*s(f-r) = — / ^-ds, (0.8)

Rj(t,r)= (j^J Ro(t,r),

0.9) где i- мнимая единица, (—1 )mрЖ2т(т)Ьт(т) = 1, t, т G Q, s € R\, Л > 0. Для j = 1, 2,., 2m — 2 имеем 00

Rj

Sieis(t-T)

0.10)

-oo £(-I)V*2'MMT)52< + A /=0

Лемма 0.4. Пусть выполняются неравенства q(t) ^ 2д(г) ^ 4д(£) г/, имеют место (0.8), (0.9), (0.10). Тогда при t ф т, t,r 6 О и для j — 0,1, 2,., 2га — 1 справедливы оценки d? dP d? jR0{t,r) dP jRo(t,r) ^(^D-I(t), причем

0.11) (0.12) (0.13)

В третьем параграфе получается так называемое "основное тождество", которое состоит из финитной функции, равной сумме интегральных представлений.

Через Bk(Q), где k ^ 0- целое число, обозначается класс измеримых функций u{t) таких,что к ess sup 2. \u^\t)\ < +оо. ten i=0

Подкласс класса Bk(Q) состоит из финитных функций u(t) € Вк(£1).

Пусть q(t) G С1^)- положительная функция такая, что q'(t)\^W+"(t)- (0-14) где ае > 0. Напомним, что q(t) = /9ae°(i)60(^) и ш = 1/2т. Положим ОД = = ¥>(#(* " где функция 0 при > 2 и = 1 при < 1. (0.15)

Обозначим

Fx{t,r) = т)До(*,т), (0.16) где i,refi, веДь А > о, (-i)mA>!B2m(r)bTO(r) = 1.

Предварительно, до получения основного тождества рассматриваются следующие леммы.

Обозначим через Bfoc{yi)-класс измеримых функций таких, что к ess sup ^^ |и^ (t) | < +00, teJ j=Q для любого компактного подмножества J С £1.

Лемма 0.5. Пусть выполнены условия перечисленные выше. Тогда для любой функции w(t) G B[oc(Q,) функция w(t) = J F\(t, r)w(r)dr (0.17) n принадлежит классу Bf™(Q). При этом, если w G i?g(Q); mo w e Blm(Q).

Лемма 0.6. Пусть p№2l(t)bi(t) E C2l(Q), I = Tjnuq(t) = px°{t)b0(t) E

G C(f2). Тогда для всех I = 1, 2,., т и а = 1, 2,., 21 при t —» а+, t —» Ь— выполняется оценка

D(l(p^{t)bl{t)) = o(l)q{t). (0.18)

Обозначим через Н гильбертово пространство 1/2(^)-Лемма 0.7. Пусть D(A) плотно в Н. Пусть u,v G Сд"00^)- произвольные функции и оператор A G p{t)) удовлетворяет следующему тождеству

Au){t)v(t)dt = J u(t)(A*v)(t)dt. (0.19) n n

Тогда оператор А* формально сопряженный к А имеет вид тп 2m —1

А- = Y^i-iyp^mm? + ]г (-i)kak(t)D*+

1=о тп

1=1 a+0=2l j=О а>0

2m—1 Е С"1)* Е Cafi{D°ak(t))D?, (0.20) где к= 1 а+Р=21 а>0 а\(3\ ' \idt) (а + Р)\ к (d — -г^—, L>t ~

Учитывая лемму 0.6 и учитывая, что функции af.{t) и ее производные до порядка 2т — 1 являются бесконечно малыми по отношению к функции p^k+l{t) при t а+,6—, поэтому, отбрасывая бесконечно малые слагаемые в (0.20), имеем оператор Аэквивалентный оператору А*, в виде

ТП = (0.21) 1=0

Следовательно, операторы А и А* самосопряженные.

Основной результат §3 получен в следующей лемме, которая применяется при построении регуляризатора.

Лемма 0.8. Пусть числа в, аей функция q(t) такие же объекты, что и выше. Тогда для любой функции v{t) Е i?gm(f2) справедливо равенство v{t) = D2tm J R0(t,T)ipe(t,T)v{T)dT + J q(T)Ro(t,T)<pe(t,T)v(r)dT+ ft ft ft rri—l

A J Ro(t,T)<pe{t,T)v(T)dT+ lib i л ft

2m p £ct / {Dlm-iRa{t,r))(D,m(t,T))v{r)dr+ n m—1 2m „

1 i=l й

0.22) где числа С32т и С^ соответственно за висят только от m,j и I, j.

В четвертом параграфе строится правый регуляризатор для оператора A(t, Dt)y{t) G 21^(0; p(t))~ класса Трибеля, который способствует получению резольвенты и оценки резольвенты для оператора класса Трибеля.

Рассмотрим оператор тп—1

A(t,Dt)y(t) = D*mm) +

1=1

2m—1 ikak(t)Dk{y{t)) + q(t)y(t) + Ay(t), (0.23) k=0 где A > 0, Д = ~ {-l)mff*m(t)bm(t) = 1, q{t) = p^WboW, эе2/ = — (i/(m — 0 + mOj v E Ri, m e N. rn

Здесь q(t) G CX(Q); p(£) G C2m(fi)- положительная функция, : (a; 6), —оо a < b ^ +oo.

Будем говорить, что оператор А = A(t,Dt) G 21 ™u(Q',p(t)), где v > p 2m, если оператор Л = A(t, Dt) имеет вид (0.23) и выполнены следующие неравенства:

Ig'WlW^W, (0.24) p(n)MI ^ CnPl+n{t), п = 1, 2, 3,. (0.25) dk

Mt)

МЛ| = sup|6/(fc)(i)|, A; = 0,1, 2,., Z = 0, m — 1, (0.26) t dtk где Mk < +oo. dk dtk

-aj(t)

J - 0, 2m - 1, (0.27) где as > 0, 4ас ^ в.

В дальнейшем через Lpj будем обозначать класс непрерывных операторов в LPti(Q,). Обозначим через' ||T||P)j норму оператора Т G Lpj. Если Т- интегральный оператор с ядром T(t, г), то через Т' будем обозначать интегральный оператор с ядром T*(t,r) = T(r,t).

Пусть l(t) G Cl(R{)- положительная функция такая, что l'{t)\ ^ жб-^Щг) (0.28)

Теорема 0.1. Существуют числа О, эе > 0; зависящее только от т, такие, что если оператор А £ p(t)) и выполнено неравенство l'(t)\ ^ cs5~l(t)l(t), то оператор Fx £ Lpj, 1 ^ р < +оо, Л > 0. При этом для любой функции v Е A) (ft) функция w(t) = J Fx{t,T)v(r)dT £ (0.29) n и удовлетворяет равенству (А + AE)w = v + Gxv, (0.30) где G\- некоторый интегральный оператор, такой, что

GX,G*X Е LPii, \\Gx\\p,i ^ Н^дЦр,/ ^ -.

После получения равенства (0.30) для оценки норм интегральных операторов Gx и Gx, кроме других вспомогательных лемм, также применяется следующая лемма.

Лемма 0.8.Пусть ае > 0, р*21 (t)bi(t), q(t) Е C(ft) где I = l,m - 1, g(t) = p®°(t)60(£), ft = (а; 6) и ае/ = -^-(i/(2m - П + /-А т £ N,

2т вещественные числа, причем и > р + 2т. Тогда для всех I — 1,т — 1, j = 1, 2т и р < 0 при t —а+, t Ь— выполняются неравенства p^(t)bi{t)\ ^ зед1"2^), (о; = (0.31) aeg^W. (0.32)

В пятом параграфе подытоживаются все результаты первой главы для получения оценки резольвенты оператора класса Трибеля.

Обозначим через 1 < р ^ +оо класс функций u(t) £ Lpj(Q), которые имеют в Lpj(Q) обобщенные производные u'(t), и"it), ., и

2т) ^ в смысле академика Соболева С.Л.

В пространстве LPii(Q) введем оператор Ар по формуле Ари = Аи, считая за область определения D(Ap) оператора Ар множество всех функций u(t) £ Qp) таких, что Аи £ LPi/(ft).

Теорема 0.2. Оператор Ар является замкнутым оператором в пространстве Lpj(Q). Для достаточно больших А ^ До (Ао > 0) оператор Ар -+- АЕ имеет непрерывный обратный в LPii(Q).

В ходе доказательства теоремы 0.2 получены следующие существенные оценки

АР+ AE)1||Pii ^ 1, (0.33) + \ЕУ%,1 const. (0.34)

Теорема 0.3. Пусть выполнены условия перечисленные выше. Тогда для всех X' Е р(Ар -f- ХЕ) и достаточно больших А ^ Ао (Ао > 0) таких, что ||Ар||Р)/ ^ ^Цг^ ф А) справедливы оценки

0.35)

Щх'-хМ1)\\р,1 < N, (0.36) где М, N- некоторые константы, зависящие от А и А'. В процессе доказательства получена существенная оценка

Ар - (У - А)^)-1!^ ^ < const, (А' ф А) (0.37)

Полученная оценка обобщает оценки (0.33) и (0.34).

Вторая глава диссертации состоит из пяти параграфов (§6 —§10) и посвящена доказательствам теорем разделимости и коэрцитивным оценкам в различных областях, а также получению интегральных представлений в весовых пространствах.

Рассмотрение в различных интервалах исследования разделимости дифференциальных операторов класса Трибеля связано с тем, что одна построенная весовая функция pit) для конкретной одной из интервала являющейся: ограниченной, полуограниченной справа, полуограниченной слева, неограниченной - неприменима для других названных интервалов и также наоборот.

В шестом параграфе диссертации исследована разделимость дифференциальных операторов класса Трибеля на интервале (0, 1). Предположим, что q(t) Е ^((0,1)) и имеет место оценка g(f)| = 0(l)g1+w(t), (t —» 0+, 1—), (0.38) где

Относительно весовой функции l(t) предположим, что l(t) Е С1 ((0,1))-положительная функция и выполняется оценка l'(t) = o(l)l(t)f{t), (* 0+, 1-). (0.39)

При выполнении оценок (0.38) и (0.39) для достаточно большого положительного числа Л легко можно получить неравенства эе

0.40) q'(t)\<Cx>(q(t) + \)1+". (0.41)

Теорема 0.4. Пусть 1 ^ р < +оо и А £ 2l^((0, l)-,p(t)). Тогда для любой функции г/еМ(0,1))ПИ^7ос((0,1)), для которой Ау £ Ьр((0,1)) справедливы включения d21 dk P*4tMt)-^y(t), ak(t)^y(t) в Lp((0,1)),

0.42) k = 0, 2m — 1, / = 0, m. При этом выполняется неравенство i /р р

Й ^ М (II/IUp((o,D) + lblUP((o,D)) , (0-43) где число М > 0 не зависит от р, у, /.

В процессе доказательства получены следующие важные оценки const, I = 0, 771.

0.44) dk const, k = 0, 2m - 1. (0.45)

LPm

Оценки (0.44) и (0.45) при l{t) — 1 доказывают разделимость дифференциального оператора А класса Трибеля в Lp(Q).

Главным результатом параграфа является следующая теорема. Теорема 0.5. Пусть у, f = Ay Е Loo((0,1)). Тогда справедлива оценка

2т Е

3=0 м

Ьоо((0,1)) ьс mi)) + ll2/IU=o((o,i))), (°-46) где число М > 0 не зависит от у, /.

Для доказательства теоремы была применена следующая лемма. Лемма 0.9. Пусть выполняются неравенства (0.40), (0.41). Тогда для функции lp(t) = (1 + t2)~llpl{t) (0.47) для достаточно больших р ^ ро, ро ^ 1 выполняется неравенство l'p(t)\ ^ as(q(t) + Л)%(*), uj = 1/2т. (0.48)

В седьмом параграфе исследуется разделимость обыкновенных дифференциальных операторов класса Трибеля на положительной полуоси.

Пусть Q = R+ = (0, +оо). Пусть А Е 21 ™v(R+i p(t)), где p(t), р, v, т-такие же объекты, что и выше.Класс функций и оператор Ар такие же, как в пятом параграфе.

Пусть (р G Cq>(Ri)~ неотрицательная функция такая, что ip(t) = 1 при |£| < 1 и y>{t) — 0 при |i| > 2. Положим оо

F\(t,r) = (2-K)~lip(6(t — т)5~1(т)) J eia<-t-r\a(T,s) + \)-1ds, (0.49)

-оо где 6(т) = р-»/2т(т)Ъ-1/2т(т), та а(г,5) = ^(-1)У2'(^/(ф2/, r,t, Л > 0, sERl 1=0

Теорема 0.6. Пусть 1 ^ р < +оо. Тогда для всех функций u(t) Е Lp(0: +оо) таких, что f = Аи G Lp(R+) выполняется неравенство о +оо \ 1/р *7П Г J7 Р

-<> о dt\ < М (\\f\\Lp + 1Мк((Я+))) , (0.50) где число М > 0 не зависит от р, и, /.

Для доказательства теоремы 0.6 доказаны и применены следующие лемма и теорема.

Лемма 0.10. Пусть ядро F\(t,r) имеет вид (0.49) и функция ip(t) выполняет вышеприведенное условие. Тогда при достаточно малых в > 0 и для всех r,t G R+ таких, что 9\t — т\ ^ оператор F\ с ядром F\(t,r) обладает следующим свойством:

Fx : CS?(R+) СПД+)

Теорема 0.7. Существуют числа в, Aq > 0 такие, что для всех р G [1; +оо] и А ^ Ао, справедливо представление

Ар + ХЕ)'1 = F\(E + Qa), (0.51)

Теорема 0.7. Существуют числа 9,\о > 0 такие, что для всех р 6 [1;+оо] и А ^ Aq, справедливо представление сAp + \E)~l = Fx{E + Qx),

0.51) в котором норма оператора Qx : LP(R+) —> LP(R+) не превосходит 1/2.

С учетом теорем 0.6, 0.7 и лемм 0.9, 0.10 главный результат параграфа получен в следующей теореме.

Теорема 0.8. Пусть у, f — Ay 6 L00(R+). Тогда справедлива оценка

2т Е j=o o^vit) м

Loo(R+)

Loo(R+) 1Ык(я+)) > (0-52) где число М > 0 не зависит от у, /. Весовая функция p(t) на R+ имеет вид pit) если 0 < t ^ 1 г' t, если 2 ^ t < +оо.

В восьмом параграфе исследовано и получено интегральное представление функций из весовых классов C.JI. Соболева на интервале (0,1) и на положительной полуоси R+. Введем весовое пространство

W^pP^pT) функций y(t), определенных на отрезке О, с конечной нормой i/p

0.53)

2т Е

1=0 п

2т y,w200m(n]P"\/fn\ = J2

1=0 dt oo((0,l))

0.54)

0.55)

Здесь p{t), as/, ц, и, m такие же объекты, что и выше.

Введем интегральный оператор F\ с ядром F\(t,r) вида (0.49) ц> Е Cq>{R\)- неотрицательная функция такая, что </?(£) = 1 при \t\ < 1 и ip(t) = 0 при |£| > 2. Пусть Q = (0,1). При этом справедлива Теорема 0.9. Пусть 1 ^ р ^ +оо. Линейный оператор

FA:Lp(0,l)-> И^((0,1УУУ) справедливо интегральное представление 1 u(t) = J Fx{t, r)3/(r)dr, у E Lp(0,1), (0.56) о и выполняются неравенства ci\\y\\Lpm ^ ^ c2\\y\\Lp{од), (0.57) где числа с\, с2 > 0 не зависят от у, и.

Пусть теперь Q = R+ = (0, +оо). С оператором А Е 21 p(t)) свяжем весовое пространство (0.53) функций y(t) с конечной нормой (0.54), (0.55). о 2т

Через Wp {R+] (Р11, Рри) обозначим замыкание Cq°(R+) в пространстве Wpm(R+] рР^1, рРи).

Теорема 0.10. При 1 ^ р ^ Ч-оо выполняются равенства

О 2т

D(AP) = W*m(R+] ff'\ f?v) =WP (R+; (?u)- (0-58)

Для функций у it) E Wp7n{R + справедливо интегральное представление oo y(t)= J F\(t, r)u(r)dr, и E LP(R+), (0.59) о где F\(t,r)- ядро вида (0.49).77рм этом выполняются неравенства cilMlMAb) < \y,W*m(R+',pWyn\ < c2\\u\\Lp{R+), (0.60) где числа с\, с2 > 0 не зависят от у, и, р.

В конце параграфа приведено другое эквивалентное определение оператора Ар. Пусть А Е p(t)). Введем в LP(R+) оператор А', с областью определения Cq°(R+), заданный по формуле

А'у = Ау, у Е C™(R+). (0.61)

Пусть 1 ^ р < +оо, а А'р обозначает замыкание в LP(R+) оператора А' . Теорема 0.11. Для всех р Е [1, +оо) справедливо равенство Ар = А'р. В девятом параграфе исследованы и получены оценки решений обыкновенных дифференциальных уравнений с оператором класса Трибеля на всей оси в пространстве Lp (1 ^ р ^ +оо) с некоторым наперед заданным весом k(t).

Пусть ft = (-00, +00) = R. Пусть A E (R; p(t)), где p(t), p, v, m-такие же объекты, что выше. Пусть q(t) Е Cl{R) и q'(t)\ = o{l)q1+U}(t), t —У ioo, и = 1/2т. (0.62)

Напомним, что q(t) = (£)Ь0(^)- Далее, пусть l{t) Е СХ(Я)- положительная функция и

J'(i)| = o(l)l(t)q"(t) (t ±00). (0.63)

Кроме того, пусть £;(£) Е C1(i?)- положительная функция fc'(aO| ^ Mifc(i), Afi > 0. (0.64)

Получена следующая теорема.

Теорема 0.12. Пусть А Е 21™„{R\p(t)) , р < +оо. Тогда для решения y(t) уравнения Ау = / справедлива оценка

2т

J2 \тр*>^ H\\kf\\LpiR) + цадМд>). (0.65) j=о

Если конечна правая часть (0.65); число Л > 0 не зависит от у, f, р.

Для числовой оси R = (—сю, -foo) весовая функция p(t) имеет вид p(t) = t2 + 1.

В десятом параграфе исследованы оценки решений дифференциальных уравнений на произвольной области и получены L^- оценки решений уравнения Аи = /; u, / Е Loo(ft), где А - дифференциальный оператор класса Трибеля, ft = (a, b), —00 ^ а < 6 ^ +оо.

Основной результат параграфа сформулирован в следующей теореме. Теорема 0.13. Пусть А Е 21%„(С2; p(t)) , / Е А»(ft). Тогда для решения и Е Lqo(ft) уравнения Аи = / выполняется оценка

2т

Ell^W^WIU^) ^ Mdi/U^n, + iMUoo(n)), j=0 где число М > 0 не зависит от и, f.

Для произвольного интервала ft = (а, 6), где —00 ^ а < b ^ +оо построена весовая функция p(t) в виде t2 + 1, если t Е ft = {(a; b) : а = —со, b = -{-со} i2, если £ Е ft = {(а; 6) : —оо < а < b = +00} i-a

---Ь если £ Е ft = {(а; 6) : —оо = а < 6 < +00}

О t 1

-—^у, если £ Е ft = {(а; 6) : —00 < а < b < +00}

Также для коэффициентов оператора А £ p(t)) построены следующие функции k(t) = (-1 )lm

1 +(-1)г(т+0 + 1 m£N, t £ ft, Z = 0,1,2,.

7Г Л 1

Вышепостроенные функции удовлетворяют всем условиям, имеющимся в определении дифференциальных операторов класса Трибеля по отношению весовой функции и коэффициентов оператора. Этим завершается Глава II диссертации.

Результаты, представленные в диссертации, прошли апробацию на межреспубликанской научно-практической конференции "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики -вторые боголюбовские чтения"(г. Киев, 1992г.); международной конференции Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами (г. Душанбе, ТГНУ, 1996 г.); республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов (г. Курган-Тюбе, 1991 г.); республиканской научной конференции "Математика и информационные технологии "(г. Душанбе, Институт математики (ИМ) АН РТ, 2006 г.); республиканской научной конференции "Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений"(г. Душанбе, 2007 г.); научно-исследовательском семинаре отдела функционального аиализа ИМ АН Республики Таджикистан "Спектральная теория и разделимость дифференциальных операторов "(руководители доктор физ.-мат. наук, академик АН РТ, профессор Бойматов К.Х. и доктор физ.-мат. наук профессор Исхоков С.А.), 1991-2008 гг.; общеинститутском семинаре ИМ АН Республики Таджикистан (руководитель семинара доктор физико-математических наук, член-корреспондент АН РТ, Рахмонов З.Х.).

1. Everitt W.N., Giertz. Some propertis of the domains of certain differential operators. Proc. London., Math. Soc. (3), 1971, 23, №2, p. 301-324.

2. Everitt W.N., Giertz. Some inequalities associated with centain differential operators. Mathematica 1972. Bd 126. №4. p. 308-326

3. Everitt W.N., Giertz. Some propertis of the power of a formally seff-adjoint differential expression.Proc. London., Math. Soc. (3), 1972, vol 24, №1, p.149-170.

4. Everitt W.N. Some propertis of the domains of the power of certain differential operators. Proc. London., Math. Soc. (3), 1972, vol 24, №4, p.756-768.

5. Giertz M. Report from the conference on ordinary and partial differential equations held in Dundee. March 30-Apr 2.1976 Stockholm-Trita Math. 1976, 7.

6. Бойматов K.X. Теоремы разделимости для оператора Штурма-Лиувиля. Мат. заметки, 1973, т. 14, №3, стр. 349-359.

7. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости. Доклады АН СССР, 1973, т. 213, №5, с. 1009-1011.

8. Бойматов К.Х. Lp оценки обобщенных решений эллиптических дифференциальных уравнений. // Доклады АН СССР, 1975, т. 223, №3, с. 521-524.

9. Бойматов К.Х. Об области определения оператора Штурма-Лиувилля. Диф. урав., 1976, т. 12, №7, с. 1151-1160.

10. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости, весовые пространства и их приложения к краевым задачам.// ДАН СССР, 1979, т.247, №3, с. 610-612.

11. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости, весовые пространства и их приложения.// Труды МИАН СССР, 1984, т. 170, с. 37-76.

12. Бойматов К.Х. Сильно выражающиеся эллиптическое дифференциальное операторы класса Трибеля. // Известия вузов. Математика, 1988, т.8, с. 39-47.

13. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. Издательство "Мир", Москва 1980.

14. Бойматов К.Х., Лизоркин П.И. Оценки роста решений дифференциальных уравнений. // Дифференциальные уравнения, 1989, т. 25, с. 578-588.

15. Бойматов К.Х. Коэрцитивное оценки и разделимость для нелинейных операторов второго порядка. // Математические заметки, 1989, т. 46, выпуск 6, с. 110-112.

16. Отелбаев М. О суммируемости с весом решения уравнения Штурма-Лиувилля.// Математические заметки. 1974, т. 16, с. 969-980.

17. Отелбаев М. О разделимости эллиптических операторов. Доклады АН СССР, 1977, т. 234, ЖЗ, с. 540-543.

18. Измайлов А.Л. Гладкость решений дифференциальных операторов и теоремы разделимости: Канд. дис. Алма-Ата, 1978.

19. Раимбеков Д.Ж. Гладкость решений в Ь2 сингулярного уравнения. // Изв. АН Каз. ССР, Сер. физ.-мат., 1974, №, с. 78-83.

20. Аманова Т.Т. Муратбеков М.Б. Разделимость нелинейного уравнения Штурма-Лиувилля в Ь\{—оо, +оо). // Известия АН Каз. ССР, Серия физ.-мат., 1984, №3, с. 57-59.

21. Гриншпун Э.З., Отелбаев М. О гладкости решений нелинейного уравнения Штурма-Лиувилля в Ь\{—оо, +оо). // Известия АН Каз. ССР, Серия физ.-мат., 1984, №5, с. 26-29.

22. Абудов А.А. О разделимости одного оператора, порожденного операторно-дифференциальным выражением. // В сб: Спектральная теория операторов. Боку, 1982, с. 4 - 11.

23. Биргебаев А. Разделимость одного дифференциального оператора в Lp. Известия АН Каз. ССР, Серия физ.-мат., 1984, №5, с. 26-29.

24. Биргебаев А., Отелбаев М. О разделимости нелинейного дифференциального оператора третьего порядка.// Известия АН Каз. ССР, Серия физ.-мат., 1984, №3, с. 11-13.

25. Бойматов К.Х., Шарипов А. Коэрцитивное свойства нелинейных операторов Шредингера и Дирака. ДАН России, 1992, т. 326, №3, стр. 393-398.

26. Бойматов К.Х. Коэрцитивные оценки и разделимость для эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка. // ДАН СССР, 1988, т. 301, с. 1033-1036.

27. Отелбаев М. О гладкости решений дифференциальных уравнений.// Известия АН Каз. ССР, Серия физ.-мат., 1977, №5, с. 45-48.

28. Отелбаев М. О гладкости решений псевдодифференциальных уравнений и теоремы разделимости. В кн. Математические исследование, Кар. ГУ, Караганда, 1976, вып. 3, с. 92-102.

29. Отелбаев М. Коэрцитивные оценки и теоремы разделимости для эллиптических уравнений в Rn. // Труды МИАН СССР, 1983, т.161, с. 195-217.

30. Шарифов А. Коэрцитивные оценки и разделимость для дифференциального оператора произвольного порядка. // Известия АН Тадж. ССР, 1989.

31. Бойматов К.Х., Шарифов А. Разделимость одного дифференциального оператора в Ь2.// Сборник тезисов П-ой всесоюзной школы по теории операторов. 1986, ч.З.

32. Биргебаев А. Гладкость решений нелинейного дифференциального оператора с матричным потенциалом. // Тезисы докладов VIII-ой республиканской межвузовской научной конференции по математике и механике. Алма Ата, 1984, с.11.

33. Биргебаев А. Оценки промежуточных производных одного разделенного оператора. // Тезисы докладов VI 1-ой Казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике. Караганда, 1981, с.12.

34. Мынбаев К.Т., Отелбаев М. Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных операторов. М.: "Наука", 1988.

35. Ойнаров Р. О разделимости оператора Шредингера в пространстве суммируемых функций. ДАН СССР, 1985, т. 285, с. 1062-1064.

36. Everitt W.N., Gierts М. An example concerning the separation property for differential operators. Proc. Roy. Soc Edinburgh, 1973, Vol 71. p. 159-165.

37. Everitt W.N., Gierts M. Inequalities and separation for Schrodinger type operators in L2(Rn). Proc. Rov. Soc Edinbugh 1977. Vol 79. p. 257-265.

38. Everitt W.N., Gierts M. A Dirichlet type results for odinary differential operators. Math. Ann., 1973, Vol 203. №2, p. 119-128.

39. Atcinson F. V. On some results Everitt and Gierts. Proc. Roy. Soc Edinbugh A 1973. Vol 71. p. 151-158.

40. Evans W.D., Zettl A. Dirichlet and separation results for Schrodinger type operators. Proc. Roy. Soc Edinbugh A 1978. Vol 80. p. 151-162.

41. Исхоков С.А. О разделимости обыкновенных дифференциальных выражений. // В сб: Функциональный анализ и его приложения в механике и теории вероятностей. М. Издательство МГУ, 1984, с. 130-131.

42. Бойматов К.Х., Шарипов А. Коэрцитивные оценки и разделимость для дифференциальных операторов произвольного порядка. // Успехи мат.наук 1989 т. 44, вып. 3, с. 147-148.

43. Байрамоглы М., Абудов А.А. О существенной самосопряженности оператора Штурма-Лиувилля с операторными коэффициентами.// В сб: спектральная'теория операторов. Баку, 1982, с. 12-20.

44. Рахимов З.Х. Оценки роста решений дифференциальных уравнений нечетного порядка, канд. дисс. Душанбе, 1993.

45. Мохамед А.С. Разделимость оператора Шредингера с матричным потенциалом.// Доклады АН Таджикистана 1992, т. 35, №3. с.510-515.

46. Мохамед А.С. О разделимости нелинейного оператора Шредингера с матричными потенциалам. // В сб: Тезисы Республиканской научной конференции "Теория приближения и вложения функциональных пространств",- Караганда 1991, с. 88.

47. Каримов О. Коэрцитивное свойства нелинейных дифференциальных операторов второго порядка. Канд. дисс., Душанбе 2000.

48. Юсупов А. К. О разделимости обыкновенного дифференциального выражения с сингулярными коэффициентами. // Материалы Республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Таджикистана. 18-21 апреля 1991г. Курган-Тюбе, с. 108.

49. Левитан Б.М., Саргесян И.С. Введение в спектральную теорию. // М., 1970.

50. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. // М.,1954.

51. Крейн. С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве // М., Наука, 1971.

52. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. // М., "Наука", 1989.

53. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, том 3, М., "Высшая школа", 1989.

54. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. // М., "Наука", 1981.

55. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. II, "Наука", 1969.

56. Смирнов В.И. Курс высшей математики, том пятый, изд-во физ. мат. литературы, М., 1960.

57. Никольский С.М., Лизоркии П.И., Мирошин Н.В. Весовые функциональное пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений. Известия высших учебных заведений, №8 (315), 1988, с. 4-30.

58. Бакоева М.М., Исхоков С.А. О разделимости оператора Штурма-Лиувилля с несимметричным матричным потенциалом. // Вест. Хорогского университета, 2002, серия 1, №5, с. 43-51.

59. Бакоева М.М. Коэрцитивные оценки и разделимость некоторых обыкновенных дифференциальных операторов. Канд. дисс., Душанбе-2002.

60. Шодиев М.С. Разделимость операторов Штурма-Лиувилля и Шре-дингера в пространстве вектор-функций с взвешспо-суммируемыми компонентами. Канд. дисс., Душанбе 2000.

61. Гаибов Д.С. О разделимости дифференциальных операторов класса Трибеля на отрезке. Материалы Республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Таджикистана. 18-21 апреля 1991 года, Курган-Тюбе 1991, с. 138-139.

62. Гаибов Д.С. Интегральное представление функций одного весового пространства С.Л. Соболева. //Материалы Республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Таджикистана. 18-21 апреля 1991 года, Курган-Тюбе 1991, с. 136-137.

63. Гаибов Д.С. Обыкновенные дифференциальные операторы класса Трибеля на полуоси. // Доклады АН РТ, т. XXXVI, №12, Душанбе- 1993, с.571 574.

64. Гаибов Д.С. Оценки решений дифференциальных уравнений. // Международная конференция "Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами.", Душанбе, ТГНУ, 17-19 ноября 1996г., Тезисы докладов, с.28.

65. Гаибов Д.С. Построение регуляризатора для операторов класса Трибеля. // Материалы научной конференции "Математика и информационные технологии", Институт математики АН РТ, 27 октября 2006г., Душанбе 2006, с. 16 - 17.

66. Гаибов Д.С. Построение правого регуляризатора для сопряженного оператора класса Трибеля. // Доклады АН РТ, том 50, №2, Душанбе- 2007, с. 5 10.