Коэрцитивные свойства нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 317.518; 517.936

КАРИМОВ ОЛИМДЖОН ХУДОЙБЕРДИЕВИЧ

КОЭРЦИТИВНЫЕ СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

дяссертацм на соискание ученой стелена кандидата фимкб-математяческих наук

Душанбе - 2000 г.

Работа выполнена в Таджикском государственном педагогическом университете им. К.Джураева

Научные руководителя: член. корр. АН Республики Таджикистан, доктор физико-математических наук, профессор К.Х.Бойматов, кандидат физико-математических наук, профессор Н.У.У^монов

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук,

профессор ' Джанги беков Г.

•• \

Кандидат фи?даод£гематических наук,

доцент Нурбуллоев М.

Ведущая организация: Таджикско-Российский (Славянский) университет.

^Защита диссертации состоится « 3~ » £

эи . ____ _2000 г.

в _ часов на заседании Диссертационного совета Д065.01.07

при Таджикском Государственном Национальном Университете по адресу: 734025, г Душанбе, пр. Рудаки, 17.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Таджикского Государственного Национального Университета.

Автореферат разослан «_£__»

2000 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета доктор фи1ико-математических наук, профессор

СафаровД X

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из основных направлений современной теории дифференциальных уравнений является установление коэрцитивных неравенств для соответствующих операторов. Наличие коэрцитивных оценок для дифференциальных операторов, позволяет сразу установить разделимость этих операторов и изучить свойства гладкости решения дифференциальных уравнений в терминах ее принадлежности некоторому весовому пространству дифференцируемых функций.

Термин «разделимость» впервые был введен в работе английских математиков В.Н. Эверитта и М. Гирца в 1971 году. Первые результаты по разделимости обыкновенных дифференциальных операторов также принадлежат этим математикам. В последствии проблемой разделимости занимались многие математики (F.V. Atcinson, А. Zettl, W.D. Evans, M.K. Kwong, M.O. Огел-баев, К.Х. Бойматов, Р. Ойнаров, К.Т. Мынбаев, Г.В. Розенблюм, С.А. Исхо-ков, А. Биргибаев, М. Байрамоглы, А. Абудов, A.C. Мохамед и др.). В большинстве из этих работ исследуются линейные дифференциальные операторы.

Существуют лишь отдельные работы (К.Х. Бойматов, A.C. Мохамед, А. Шарифов), в которых изучались нелинейные дифференциальные операторы, представляющие собой слабым нелинейным возмущением линейных операторов. В связи с этим, исследование коэрцитивных свойств дифференциальных операторов с более общими характерами нелинейности, является актуальным направлениеми теории разделимости дифференциальных операторов.

Цель работы. Исследовать коэрцитивные свойства широкого класса систем нелинейных эллиптических дифференциальных операторов второго порядка, заданных во всем пространстве К", в весовом пространстве /..,(«")'; установить разделимость этих дифференциальных операторов в /..,(«")'.

Метод исследования. Основными методами исследования являются современные методы функционального анализа и теории дифференциальных

уравнений в частных производных. Широко применяются известные теоремы о мультипликаторах, теоремы вложения различных классов дифференцируемых функций многих переменных.

Научная новизна. Новыми являются следующие результаты:

• Изучены коэрцитивные свойства оператора Шредингера с нелинейным матричным потенциалом в пространстве ¿г(/Г)'. Доказана теорема о разделимости нелинейного оператора "Лредингера с матричным потенциалом;

• Изучены коэрцитивный свойства нелинейных дифференциальных операторов второго порядка с переменными старшими коэффициентами в пространстве вектор-функций;

• Доказаны теоремы разделимости общих нелинейных дифференциальных операторов второго порядка с матричными коэффициентами. Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации

носят теоретический характер и могут служить основой для дальнейших теоретических исследований в теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории пространств дифференцируемых функций' многих переменных, в спектральной теории дифференциальных операторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были обсуждены на международной конференции "Методы теории функции и их приложения"(Душанбе, 2000г); на научно-теоретическом семинаре отделов «Функционального анализа» и «Теории функций» Института математики АН РТ (рук., член-корр. АН РТ, доктор физ.-мат. наук, профессор Бойматов К.Х., доктор физ.-мат. наук Исхоков С.А.); на ежемесячных научных семинарах кафедры математического анализа ДГПУ им.К.Джураева (1997-2000гг); на научном семенаре кафедры теории функции и математического анализа ТГНУ(рук.член корр. АН РТ, доктор физ.-мат.наук, профессор Раджабов Н.Р.); на объединенном заседании кафедр математического анализа, алгебры и теории чисел, геометрии и математического факультета ДГПУ им. К. Джураева.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 8 научных статей и тезисов докладов список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа изложена на 100 страницах машинописного текста. Библиография насчитывает 51 наименований.

Во введении к диссертационной работе дается краткий исторический обзор результатов по затрагиваемым проблемам, обосновывается актуальность темы. Приводится также краткое содержание основных результатов диссертации. Л

Первая глава диссертации состоит из трех параграфов и посвящена изучению коэрцитивных свойств и разделимости оператора Шредингера с матричным потенциалом. В первом параграфе этой главы приведены необходимые для дальнейшего обозначения, определения и некоторые вспомогательные предложения. Разделимость оператора Шредингера с матричным потенциалом сначала рассматривается в линейном случае (§2). Случай нелинейного оператора Шредингера с матричным потенциалом рассматривается в §3.

Пусть Я" - п - мерное евклидово пространство и * = (х,,г,.....х.) - произвольная точка этого пространства. Пусть г - некоторое натуральное число и 15 р < -ню. Символом ¡У¡(Я') обозначается пространство комплекснозначных функций <р(х) е Л,(Л") имеющих в Л" всевозможные обобщенные производные й"<р порядка |а| £ г, также принадлежащие пространству А,(Я"). Норма в пространстве определяется равенством

Пусть I - некоторое натуральное число и II - нормированное пространство функций <р(х) (ге Л"). Символом В' обозначается пространство

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

всех вектор-функций 1/(х) = (и,(*),«,(г).....и,{х)) с компонентами и,(х)е В. Пространство В' также является нормированным. Если вектор-функция ¡р(х)и(х) принадлежит пространству И','(Л")' для всех ^х)еС'(Л'), то говорят, что и(х) принадлежит классу И^^Л")'.

Определение 1 Пусть значения потенциала ч(х) (геЛ") оператора Шредингера

4<]=-Дн(х)+ ?(*)«(*) (*еЯ"). (1)

являются квадратными матрицами порядка I. Тогда оператор (1) называется разделимым в пространстве если для всех вектор-функций

таких, что ¿Ие выполняются включения

1

\ А«(дг)б£,(Л")'. ?<*)«(*) е Мй">'-

■) «V». ...

В §2 изучается разделимость оператора (1) в пространстве Предполагается, что <?{*) - положительно-определенная и эрмитово-сопряженная матрица-функция порядка ( исо элементы принадлежат классу С'(Л"), т.е. = ч'(х)еС1 (Л"

I

Обозначим Сг(х)^9,(дс). Основной результат §2 сформулирован в виде следующей теоремы.

Теорема К Теорема 2.1) Пусть выполнен ы неравенства ■

¿о- (УхеЯ"), (2)

¿Цо">(х)±(.0(х))0(3)

где 0<ст,*<4. Тогда для любой вектор-функции н(х)е£!(Д")< г^^Л")' яри

- ви

условии ¿(и]с справедливы включения Дк.уи, с?1 —еЛДЯ")' (/ = 1,2,...,и).

дх,

При этом имеет место коэрцитивное неравенство

5

IH„,,< ♦ MU-, + ±У .

где число М>0 не зависит от и(х).

Здесь и далее символ |Л|, где А - (Ixt) - матрица, означает норму отображения пространства С' в себя, осуществляющая с помощью матрицы А.

Пример 1 Пусть Р - квадратная матрица третьего порядка такая, что Р2 = Е, Р = Р' > о, где Е - единичная матрица третьего порядка. Тогда матрица-функция q(x) = Р° dragfl, удовлетворяет условия (2), (3)

Вопрос о разделимости оператора Шредингера (1) с матричным потенциалом ранее изучался в работах A.C. Мохамеда [1]', [2)J. В этих работах

•щ,

рассматривается определенный класс 5,, потенциалов q(x) и доказывается, что для любого числа р е (1,+®) найдется число х = х(". Р. О > 0 такое, что, если q(x) е Sl jr, то оператор (1) разделяется в пространстве LP(R')'. Вычисление Значения х(". Р, О при конкретных значениях п,р,( очень сложно (точнее говоря почти не возможно). В отличие от результатов [1], [2], в наших результатах указывается конкретный интервал допустимых значений констант, участвующих в условиях теоремы (сг, * е (0,4)). Более того, контрпример, построенный В.Н. Эвериттом, М. Гирцом в [З]3 указывает на то, что условие ст < 4 нельзя заменить на условие а<. 4.

В §3 первой главы диссертации изучаются коэрцитивные свойства и разделимость нелинейного оператора Шредингера с матричным потенциалом. В пространстве £3(Л")' рассматривается дифференциальный оператор

1 [1| Мохачел A.C. Рахтелимостъ оператора Шредмттрас матричным потенциалом //,lMtia.uj All ГТ -1992, т. 35, Л J. - с.

' [2| Мохамел A.C. О рамеличоетм нелинейною оператора Шрелитера с ма|р«чиыч по1тпиа.*>м'/ В сб.: Тсшгы pccinduik-atick-oft иа\*шой Конференции «Теории приЛ-шлеим* и ь.южен*я $)m<im»mj.Ur-iii.ii iipocipanci»». -Kapaiaiua, 1991. -с.*Я

' |3| E\erilt W.N., Clert7 М. Inequaliii» and leparatloa for Sehrodlnrer t>pe operalon I« I iH'i' Ii Ргж. Roy. Soc. Edlnburg A., 1977, »oL 79. p. W-HS.

где значения У(х,ш) (хеЛ",<иеС') являются квадратными положительно-определенными эрмитовыми матрицами порядка I. За областью определения оператора (4) принимается множество всех и(х)€Л2(Л")' «"^¿„(Л")' таких, что

Определение 2 Нелинейный оператор Шредингера (4) называется разделимым в пространстве L2(R")', earn для всех векн.ор-функций и(х)е ¿,(Д")' таких, что -Аи(х) + У(х,ф))и(х) = /(х)е L}(R")'

выполняются включения Дv(x)е ¿¡(Л")', У(х,и(х))и(х)е ¿, (Д")'

Координаты точки сое С' обозначим через а>,,о>,.....со, и положим

1

= Rea>,, 7, = 1тш, для всех * = 1,2,...,/. Вводим следующие обозначения

F(x......х..(......ft. I,,.....т,,) = V~4x.a>).

Q(*,.....*..f.....= ......7x)

Теорема ¿(Теорема 3.1) Пусть V(x,<o) = V'(x,e>)<iCl(R' хС',EndC') и

пусть выполнены неравенства

(5)

для всех xeR", те С';

(б)

для всех xeR", оеС' и всех il=(7, +<»»,„..,7, +iv,)eC';

Ic*

S^(x,Qj)njtJ (0<<5<1) "

<7)

длявсех xeR", соеС' и всех il = (7, +/v,, ...г/, +/V,)eC';

Z (?"' (*. Ш) А (0(х. '(*,«){

£Г (0<у <4(1 - <5))

Агя всех xeR" и всех сог-С'. Тогда нелинейный оператор Шредингера (0.4)

с правой частью /(х)е /.,(/<")' выполняется коэрцитивное неравенство

где положительное число М не зависит от u(x),f(x).

Раздслимосп. нелинейного оператора Шрслингера с матричным потенциалом ранее рассматривался в работе A.C. Мохамеда [2]. Основные отличия наших результатов, сформулированных выше в теореме 2, от результатов A.C. Мохамеда [2] заключаются в следующем:

Во-перзых, в [2] исследуется разделимость нелинейного оператора

который, по сути, является слабым возмущением линейного оператора. Предполагается, что матрица-функция г(х,ц) (xzR'.tjeC') удовлетворяет неравенству . [/■(*,е-А(*), (VxeR\VrjeC'), где Ь(х) - первое собственное значение матрицы q(x).

В нашем случае исследуемый нелинейный оператор (4), в общем случае, не является слабым возмущением линейного оператора.

Во-вторых, так же как в случае теоремы I, в работах A.C. Мохамеда для констант ¿.г, участвующих в формулировке основного резхльтата. конкретные интервалы допустимых значений не укатываются Н наших роульта-тах такие конкретные интервалы трансе задаются.

разделяется в пространстве /.,(/?")' и для всех решений и(х)el:(R")' п (Я")' уравнения

- \и(х) + У(х, ы(х)Щх) = f(x)

(9)

IN-^MO' +i ГI . (10)

Jml

¿[u] = -Ai/(x) + q(x)u(x) + r(x, u(x)M x)

Теперь коротко остановимся на схеме доказательства теоремы 2. Предварительно доказываются две леммы.

Лемма I (лемма 3. И Пусть в уравнении (9) вектор-функция/(х) принадлежит пространству ¿¡(Я")' и вектор-функция и(х) принадлежит массу

Я^С?)' . Тогда вектор-функции Н'(*,и(х))«(х), ^^ (' = 1.2.....я) при-

йг,

подлежат пространству /.,(/?*)'.

Лемма 2 (лемма 3.2) Пусть выполнены уело« я (5), (б) и пусть вектор-функция и(х) из класса Л, (Л")' пН''^,(Л")' является решением уравнения

>

(9) справой частью /(х) е ¿,(Л")'. Тогда вектор-функции «(*)>/(*), ^ <

/•''(х.Цх))^^ (/= 1,2,. ,л) принадлежат пространству /.ДЯ")'.

¿Ьг, , .

Пусть ре С*(Л") - фиксированная неотрицательная функция, обращающаяся в единицу при |х| < 1. Для любого положительного числа с положим ?.(*) *=?(«)• Используя равенство

~ саг, гас,

после несложных преобразований получим

..у ®с, да,

+ (И(х.иК (11)

где

от, йх,

иV £ а»,' а^ &/

м

Здесь и далее, символ (,) обозначает скалярное произведение в пространстве

Л,(Л*)' и значения О,—,—взяты в точке

дх, д{, дп,

<*,,..., г., Яеи, (х).....!*.««,(*), 1ти,(х),...,1ти((х)).

Для функционалов ^¡"(и) (к = 1,2,3) доказываются следующие неравенства

|Д"'(И)| ■ ¿Ы(х,и)• М(дг,и)г/1

где а - произвольное положительное число. Отсюда и из (11) получается неравенство, которое после перехода в нем к пределу при « -+0 получает вид

^."Ч^'Им,./-

Подбирая соответствующие значения числа а, после несложных выкладок получаем коэрцитивное неравенство (10).

Во второй главе диссертации, состоящий из трех параграфов (§§4-6) изучаются коэрцитивные свойства и разделимость нелинейных дифференциальных операторов второго порядка с матричным потенциалом и старшими переменными коэффициентами. Рассматривается дифференциальный оператор

= М|г>-+У(*М*)М*). (12)

8х) дх,

иеИ'ДЛЛ")' Гиз(Л")'

Предполагается, что также как в первой главе У(х,а>) - квадратная матрица-функция порядка ( определенная на всех х€Л",а>еС', элементы, которой непрерывно дифференцируемы по всем аргументам и ее значения являются положительно-определенными эрмитовыми матрицами. Коэффициенты аг(х)

также являются квадратными матрица-функциями порядка I с элементами из класса С'(Н") и удовлетворяют следующим условиям

I). а,(х)*</,(*), 1т«и (х)«0;

II). |а,у(фа,, |Ув,(х)|<;а2, (УхеЛ*; 1,) = 1,2.....л);

III). С*«*". V, = {»,};.,.,(еС').

Константы а,,сгг,х, в этих условиях не зависят от х и 5. Здесь также предполагается, что все матрица-функции ач (х) коммутируются с У(х,а>), т.е.

[а,(х), К(х,<у)] =а„(х)К(х,^)-К(х,С,)а,(х)иО для РССХ хеЛ" II всех <иеС'.

Определение 3 Оператор ¿[и] - называется разделимым в пространстве ¿¡(Л")', если для всех вектор-функций и(х)е (^^.(Л")'таких, что ¿[и]е£2(Я")' выполняются включения

¿0[«]е£,(/Г)', К(х,и(х)Мх)е^(Д")', где !„[«]= ¿¿-(а„(хА,

с»,

Основной результат второй главы сформулирован в виде следующей теоремы.

Теорема 3 (Теорема 4.1) Пусть выполнены условия (5)-(8), I)-III). Тогда при выполнении условий

0<х<-;—, 0 <с<--—, , 0 < у <—т—, 0<5<---

X," о-, X,™, 4 X,п сг, /.сг.л 4

где - константы из условий (5)-(8), а а,,/, - константы из условий I)-

III), дифференциальный оператор ¿[«] разделяется в пространстве ¿¡(Л")' и

для всех решений и(х) ч 1^(11")' п^'^Л")' уравнения

Ци]+У(хМх))и(х) = /(х) (13)

с правой частью /(х)е/.ДА")' выполняется коэрцитивное неравенство

где положительное число М не зависит от и(х).Дх).

У'(*.«)

Ох.

(Н).

д

и

В §5 доказываются аналоги леммы 1 и леммы 2 в случае общего дифференциального оператора второго порядка с переменными старшими ко эф-

«

фициентами. Доказательство теоремы 3 проводится в §6. Коротко остановимся на основные моменты этого доказательства. Вместо равенства (11) в этом случае получается равенство

</,?>.И(дг, «,>,) = ¿(а, + Л'» + ♦

т.у.1 дх, дх)

+ РУ(и) + (У(х.и)и,р.У(х,и)и), (15)

где /(х) - правая часть уравнения (13) и

Вх1

'8х, ах/8(к ъ/оъ

их, СХ)

Далее, доказывается, что

Пш/•.">(«) = О ' (16)

»-•О

и функционалы /^''(«О, /^''(и) удовлетворяют неравенствам:

(17)

' ' м й», 8х,

1 1 2 н дх, 2а

где а - любое положительное число.

В силу условия эллиптичности III) доказывается, что

м ах, кг, ц || са, [^(„у

Ру(х,ы)£). • (19)

ТТ-х 4 дх, дх,

Применяя неравенства (17)-(19) из (15) получим неравенство, которое после перехода к пределу при ¡->о с учетом равенства (16) примет вид

"М В^(Л-)*

где 0,,в2 - некоторые положительные числа. Из последнего неравенства, после некоторых рассуждений получается коэрцитивное неравенство (14). Как следствие из коэрцитивного неравенства (14) получается разделимость оператора (0.12) в пространстве .

Глава III диссертации состоится из двух параграфов (§7, §8) и посвящена коэрцитивным свойствам и разделимостью дифференциальных операторов второго порядка в весовых пространствах.

Пусть *(х) - положительная функция, определенная в Л" и / - некоторое натуральное число. Символом обозначим пространство вектор-функций и(х) = (ц,(*)),.,</, (*)), и/(х)б/.2Ье(Я") и = й) с конечной нормой

I

I/*«Ьм|2<йсГ

.'•'к"

Скалярное произведение определяется равенством

В §7 изучаются коэрцитивные свойства нелинейного оператора Шре-дингера (4) в весовом пространстве ¿¡,(Д")'.

Определение 4 Оператор Шредингера (4) называется разделимым в весовом пространстве £и(Л")', если для всех вектор-функций и(х)б121(Л")' пИ^ (/?")' таких, что Ци]е выполняются включения

Д»(х)е¿и(Я'У, У(х,и{х)Щх)е(«">'• Основной результат §7 сформулирован в виде следующей теоремы.

Теорема 4 (Теорема 7.1) Пусть выполнены условия (5)-(8) и пусть весовая функция А(х) принадлежит классу С'(Я") и удовлетворяет неравенству

11 О2

^А-'(х)<Я(*,й>) <, о у (20)

для всех х е Я" и всех аз е С'. Тогда при выполнении неравенства О <<т < 1, 0<«У<1, О ее, <2, * + <т, <2(1 -а), г+ <т, <2(1-ст), где х* • постоянные из условий (5)-(8), (20), нелинейный оператор

Шредингера (4) разделяется в пространстве ¡.¡¿(И")' и для всех решений и(г)е,(Л")' п(.Л"У уравнения (9) с правой частью /(х) <= 12„ (Я')' выполняется следующее коэрцитивное неравенство

» I 1 Лц I

Мч^+ЕН^м^) (21)

'"I ' кл«*)'

где число М> О не зависит от и(х),/(х).

Для доказательства этой теоремы сначала доказываются аналоги леммы 1 и леммы 2 в случае весового пространства /.,,(Я")', которые утверждают, что в условиях теоремы 4, если и(х)б1Г!11ое(Л")' является решением уравнения (4) с правой частью Дх)е£,,(Д")', то вектор-функции

» 1 I Л/ %

К'(х,1/(х)М*), ^'(х.и(х))и(х), Г>(х,и(х))—, — С/= 1.2.....п),также прннадле-

2х, дх,

жат пространству £,,(/?")'.

Пусть /(г)еА,,(/?")' является правой частью уравнения (4). Аналогично равенству (11) доказывается равенство

(/,кУ(х,и)ир,) = X . к<р.У(х,и)^-) А'" [и] 4 (У(х,и)и, кУ(х, и)и9,), (22) Ы Vх! ЙХ| /-1

где

ы I ЙХ, Й», бх, йг,

и функционал ^^'[и] для у = 2,3 определяется точно также как В\'\и) если в равенствах (11) заменим функцию р,(х) на к{х)<р,(х).

Далее доказывается, что 1!т/1'')[и] = 0 и функционалы ^'."[м],

«-»о

у = 2,3,4 удовлетворяют неравенствам

г .

Здесь а - произвольное положительное число. На основе этих неравенств из (22) после некоторых преобразований получается неравенство

а ^'IL,*.,'

♦0-^смЧ^,.

Подбтфая подходящее значение числа а , после некоторых выкладок из последнего неравенства получается оценка (21) и разделимость оператора (4) в весовом пространстве LU(R")'.

В последнем параграфе диссертации (§8) изучаются коэрцитивные свойства и разделимость общего нелинейного дифференциального оператора второго порядка с переменными старшими коэффициентами. Далее, ¿[и] обозначает дифференциальный оператор, определенный равенством (12) с областью определения D\l) = £/(x):ueW^(Л")' r>Llk(Я")',L\u\e i2t(«")'}.

Определение 5 Оператор ¿[и] называется разделимым в пространстве LU(R")', если для всех вектор-функций и е £>[д] выполняются включения'

Теорема 5( Теорема 8.1) Пусть матрица-функция У(х,а>), а) (х) (i,J = 1,п,/еЛ",аеС') удовлетворяет условиям (5)-(8) и I)-III), и пусть функция к(х) удовлетворяет условию (20). Тогда при выполнении неравенств

*,а,<2, 0<<тj <2, ;г + а3<—Ц-. 0<ст<—!--п(* + а>\

°,Х,п X i^i» 2

2 „ с 1 (Г + ст,)«

Г + а,<-г, 0<ö<---„ ■

°,Х," XW 2

где х.Г,,Г.0-5 - постоянные из условий (5)-(8), 1)-111), (20), нелинейный оператор ¿[ы] разделяется в весовом пространстве ¿¡,(Л")' и для всех решений |/(х)е£!,(Л*)' пУУ^Я'У уравнения (13) с правой частью /(х)е (/?")' выполняется следующее коэрцитивное неравенство

I / Ич.(к*)'

где число М>0 от вектор-функций /(*•), и(х) не зависит.

Эсиовные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

1. Каримов О, Усмонов Н.У.Коэрцитивные оценки решений нелинейных системы дифференциальных уравнений второго порядка. В сб.: «Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения», вып. 3, 1995, г. Душанбе, с.20-21.

2. Каримов О , Усмонпп П.У. Коэрцитивные сгоПстпа оператора Шрсдиш сра с матричным потенциалом. В сб.: «Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения», вып. 3,1995, г. Душанбе, с.22.

3. Гадоев М.Г., Каримов О. Коэрцитивные свойства нелинейных эллиптических систем уравнений второго порядка. В сб.: «Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения», вып. 4, г. Душанбе, 1996, с.14-15

4. Каримов О., Усмонов Н.У. Коэрцитивные неравенства и разделимость для нелинейных систем дифференциальных уравнений второго порядка // Доклады АН Республики Таджикистан. Т. 4. №9-10, 1997, с. 32-40.

5. Каримов О., Усмонов Н.У. - оценки решений нелинейных систем. В сб.: «Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения», вып. 5, 1997, г. Душанбе, с.40-41.

6. Замонов М.З.,Каримов О. Коэрцитивные оценки решение нелинейною оператора Штурма-Лиувилля с матричным сингулярным потенциалом на полуось.В сб. Вестник педагогического университета, Ы=5(часть1), г.Душанбе,1999г. с. 17-20

7. Каримов О.Х. "О разделимости нелинейного оператора Шредннгера с матричным потенциалом в весовом пространстве. Материалы Между народной конференции "Теории функции и их приложения"(октябрь), г.Душанбе, 2000г, с.51 -52

8. Каримов О. "О разделимости нелинейного оператора Шредингера с матричным потенциалом в весовом пространстве// Доклады .АН Республики Таджикистан, 2000г . (в печати)

Пользуясь случаем, автор выражает глубокую признательность своим научным руководителям, члену-корреспонденту АН РТ, доктору физико-математических наук, профессору Бойматову К.Х. и кандидату физико-математических наук, профессору Усмонову Н.У. за постановку задач и постоянное внимание при работе над диссертацией.