О коэрцитивных задачах для некоторых вырождающихся дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

и 'I ■ ; ^

МИНИСТЕРСТВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АЛЬ-ЗАРАБИ

на правах рукописи

Урмамбетов Бактыбек Молдогазиевич

О КОЭРЦИТИВНЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ВЫРОьДАЩИХСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алма-Ата 1992

Работа выполнена в Институте теоретической и прикладной математики АН Республики Казахстан

Научные руководители: доктор физико-математических.наук,

члея-корр.АН Республики Казахстан профессор Отелбаев ¡¿.0. кандидат физико-математических наук Бияров Б.Н.

Г'" запальные опионентн:доктор физико-математических наук, профессор Логинов Б.В. кандидат физико-латекатических наук, догент Кангукин Б.Е.

¿единая органкзашя: Башкирский Государственный университет.

Запита состоится "_"_1992р. в_час.

на заседании Регионального слекиализированного совета К C58.0I.I7 но присуждению ученой степени кандидата наук в Казахском государственном университете им. Аль-Фарайи по адресу: 480012, г.Алма-Ата, ул.1.1асанчи, ЗЭ/47. С диссертацией мсено ознакомиться в научной библиотеке КазГУ-^

Автореферат разослан "_"_1932г.

Ученый секретарь Регионального специализированного совета, кандидат физико-математических наук, досент Бедельбаев к.Р.

ОВДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. В достаточно широком классе гранич-

ваетгя возможным оценить в некоторой норме производные ре-нения, входящие в уравнения. Такие задачи называются козр-" цитивными. Случаи ограниченных областей и гладких коэффициентов интенсивно изучались, методы'иг исследования доведены до совершенства: и подробно излечены в монографиях.

Исследование свойств коэрцитивных задач для дифференциальных уравнений ваадк как для приложений в различных прикладных задачах математики и Физики, так и для развития новых методов в общей теории линейных операторов.

Задачи газовой динамики, безмементной теории оболочек приводят к необходимости изучения вырождающихся дифференциальных уравнений. В связи с этим в течении нескольких десятилетий интенсивно изучается общая теория краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений.

В этом направлении опубликованы работы многих известных авторов, например, А.Б.Бицадзе, Ы.И.Вишика, В.П.Глушко, О.А.Олейник, С.М.Никольского, М.О.Отелбаева, Т.Ш.Кальмено-ва, С.Н.Кружкова, Х.Трибеля и других.

Дифференциальные уравнения в случае вырождения на границе изучались многими авторами, например* К.Х.Бойматов» Я.Т.Султанаев, Б.Н.Бияров. Мало изучены дифференциальные уравнения в случав вырождения внутри области.

ных задач для дифференциальных уравнений

Ддя вырождащегося эллиптического уравнения второго порядка впервые коэрцитивные задачи были изучены М.О.Отелбае-вым и Б.К.Кокебаевым. В этой области нет сложившихся методов, которые обеспечивали бы решение широкого круга прикладных задач.

Поэтому исследование коэрцитивных задач для дифференциальных уравнений в случае вырождения в строго внутренней подобласти, рассматриваемых в диссертации, есть актуальная задача .

Целью работы является исследование коэрцитивных краевых задач для некоторых вырождающихся дифференциальных уравнений. В качестве объекта такого исследования берутся конкретные дифференциальные уравнения с вырождением в строго внутренней подобласти.

Научная новизна. Доказано, что коэрцитивность краевых условий для вырождающихся дифференциальных уравнений при удовлетворении коэффициентов определённым условиям, не зависит от их поведения в строго внутренней подобласти. Установлено взаимно-однозначное соответствие между классами коэрцитивных краевых условий для некоторых пар дифференциальных уравнений, одно из которых вырождающееся.

Теоретическая и практическая значимость результатов. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть применены в теории сужений и расширений линейных операторов и в различных их приложениях.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах член-корр. АН РК д.Фч-м.н. профессора М.О.Отелбаева / ИПМ АН РК и Мин. образования РК/, член-корр. АН РК д.Ф.-м.н. профессора Т.Ш.Кальме-нсва / Каз.ХТЦ/, член-корр. АН РК д.гп.м.-н. профессора •Касымова К.Я. /КаэГУ/, д.Фч-м.н. профессора Д.У.Умбет-*анова / ИТПМ АН РК/, лаборатории математического анализа / ИТПМ АН РК/, на всесоюзной конференции "Прикладной ассимптотичесхий анализ и спектральные задачи" / Ашхабад, 1990г./.-

Публикации. По теме диссертации опубликованы три работы, список которых приведен в автореферате.

Структура.диссертации. Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 52 наименований.

: КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении, после краткого обзора литературы, сформулированы основные результаты работы. Некоторые определения и вспомогательные утверждения, необходимые при изложении работы, приведены в 5 1.1 главы I.

Определение. Расширение минимального оператора /_0 называется корректно и везде разрешимым расширением, если оно обладает непрерывным обратным определенным на всем И.

.—>

Определение. Сужение максимального оператора называется корректно и везде разрешимым сужением, если оно обладает непрерывным обратным, определенным на всем И.

Первая глава посвящена коэрцитивным задачам для вырождающихся эллиптических уравнений. Приведем основные обозначения, определения и результаты первой главы.

В LZ(Q) . где сЛГ-' НИ} рассмотрим

замыкание оператора /_о » определенного на С.ГТ&) равенством

¿_о' и ) + V, /1.2.1/

2П.

j ^Та^(сс)])иТ)и<1х ¿о

где = (¿а,^,.../«) И Р Р*)-

мультииндексы, _

О^р(х) - бесконечно гладкие на

функции, удовлетворяющие условиям:

ЪО, . ^(х)-^ ¿-Е. /1.2.?/

- (Фиксированное достаточно малое число ( о < е У2 )

Через Р0 обозначим замыкание в оператора

р^1 , определенного на С равенством

Рои = и -■«. /1'2'3/

И««е» 1_0 С |_о , 'Р. с Р° •

Определение. Сужение L оператора |_о назовем коэрцитивным, если |_о L и при достаточно большом \ О оператор £ -+■ корректно и везде разрешим

в |_2 (О.) и выполнены условия:

-1

< в»о /1.2.4/

К.

X —

ц^)

+

(П-ХЕ)'

-I

= 0 /1.2.5/

Для Р0 назовем коэрцитивное сужение р , со-дер'ащее Р0 и для которых выполнены условия /1.2.4/ и /1.2.5/, где область ьс с заменяется областью

О,

а коэ^ициенты (Х-^^(х) берутся тождественно равным единице в

Утверждение. Расяирение по Фрилрихсу операторов 1_0 и Р0 являются коэрцитивными сухсениями операторов ¡_ * и Ро соответственно.

Теорема 1.2.1. Пусть коэ№щиенты О^р(х) из условия /1.2.2/, тогда по любому коэрцитивному сужению оператора

р:

мо^но построить коэрцитивное сужение оператора

I *

|_о и наоборот.

При этоы, если Р - некоторое коэрцитивное сужение оператора р^ , а [_ф - расширение по Фридрихсу оператора » т0 обратный к С +\£

( С ~ хоэрцитивное сужение оператора |_о ) оператор задается ("Формулой:

(Г - ХЕ)"1 = их(Е-тх)-1

И^ = Уы(Ц +ХЕ)"1 - ^&К Р-^Е)"1

^(эО бесконечно гладкие на (¡^ (функции та-

кие. что + - I , X £

вне шара {хев1":

. «чж № £ { - £/г]

£ - число, Фигурирующее в условии /1.2.2/

Тч = Е - сь:+АЕт,

- некоторое коэрцитивное сужение опера-« и Рл ~ расширение по Фридрихсу оператора

А если

I *

тора 1_о

р0 , то обратный к -Р-+ХЕ ч^" коэрцитивное сужение оператора Р* ) оператор задается Формулой:

(Р^ХЕ)-1 =К (Е-ТО"1

где

X

Тх =Е - (Р.**АЕ)МХ

Т-

X

1-2 (р) - и с^)

^ У } Л

Краевые условия, определяющие коэрцитивные суенмя, назовем коэрцитивными.

Теорема 1.2.2. Пусть коэффициенты из усло-

вия /1.2.2/, тогда класс коэрцитивных краевых условий для

I ■*

оператора (_о совпадает с классом коэрцитивных краевых условий для оператора Р* .

В § 1.3 главы I рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение.

В ЦОэ^) . где О. =[х&Ш(: |х|<1] рассмотрим

замыкание оператора [_а , определенного на равенством

\ , л I11

ииЧО^Охф)^ д-зл/

где р(х) - бесконечно гладкая на функция,

удовлетворяющая условию:

х£§;£(хМ N /1.3.2/

£ - АЧшсированное достаточно малоо число ( 0 ^ £ ^ ^/2 ) Коэрцйтивность понимается в таком смысле. Определение. Сужение оператора и о называет-

ся коэрцитивным, если 0 с: и при достаточно боль-

шом \ > О оператор ^ \£ корректно и Еезде разрешим в и выполнены условия:

А

2 П.

о(х

гк

(М1

/1.3.4/

и&О-ивО

рде

£2, ={хв|^1: 1-%<\х\с{]

-А

ЦйЬий)

(М"1 ш^и<3)уо л.з.5/

Оператор р0 , определим как замыкание в ¡_г(Я) шератора Р0' , определенного на С? ) равенством

Р > и /1.3.3/

Для оператора Ро коарцитивность определяется ■ак -"е как и для оператора /1.3.1/, но область & £. вменяется областью , а коэффициент бе-

ется тождественно равным единще в •

Результат § 1.3 такой же как и результат § 1.2 этой е главы, то есть является иллюстрацией для обыкновенного и'ЬТеренциального уравнения.

Во второй главе рассматриваются вырождающиеся парабо-ические уравнения.

В . где СЗ 3-(о;Г)

Т - некоторое положительное число, рассмотрим заыы-ание оператора Д0' , определенного на С*©* авенством

р(х) ^ О , ; рЫ-1 [х\ »!-£. /2.1.3/

Определение. Сужение А оператора А о назове коэрцитивным, если Д0 С А и ПРИ достаточно больших \ >0 корректно и везде разрешим в опе" ратор Д -V \£ и выполнено условие:

й

(А-ХЕ)1 ц^-и^К'2-1-*

Оператор , определим как замыкание в

оператора Во » определенного на равенством

Вой -

ъ.и

/2.1.2/

Для оператора 6 о коэрцитивное сужение понимается так *е, как и для оператора Д * , но коэффициент р(ос) берется тождественно равным единице в £2. . Сужение Д^ с. Д* . определенное условиями:

дь

дх

(мЩП

и

ио

= о , -и

= о

является коэрцитивным.

Теорема 2.1.1. Пусть коэффициент р(х) удовлетворят условию /2.1.3/, тогда по любому коэрцитивному сужение ператора (3* мо^о построить коэрцитивное сужение ператора Д* и наоборот.

Краевые условия, определяющие коэрцитивные сужения, взываются коэрцитивными.

Теорема 2.1.2. Пусть коэ5Лщиент _р(ос) из условия 2.1.3/, тогда класс коэрцитивных краевых условий для опера-ора А о совпадает с классом коэрцитивных краевых усло-ий для оператора Во •

В § 2.2 главы II исследуется другая пара дифференциальных- операторов.

Рассмотрим операторы

! и Во • которые являются

соответстве]

амыканиями в

« в;

, определенных на

/2.2.3/

где ^ - область, определения в 5 2.1

I)- бесконечно гладкая на [¡^ функция, удовлетворяющая условию:

Определение. Сужение оператора (¿,0 назовем

коэрцитивным, если при достаточно большом X >0 оператс (ь> обратим и выполнено следующее условие:

Сужение СИ , определенное условиями

= 0, -и(х.О) = и (х,Т)

является коэрцитивным.

Сформулированные выше теоремы 2.1.1 и 2.1.2 верны и для этой рассмотренной пары дифференциальных операторов.

Отметим, что во всех исследованных дифференциальных операторах коэффициенты могут обращаться в нуль в строго внутренней подобласти.

Итак, на основании всех изложенных теорем, мо^но сде-

= 0 /2.2.4/

ать вывод: коэрцнтивность краевых условий для всех рас-отргнных дифференциальных операторов не зависит от по-едения коэффициентов в строго внутренней подобласти.

СНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ:

. Урмамбетов Б.М. Дкфференциалды тевдеулер уи/и оэрцити«т'1 есептер // Из». АН Каз.ССР. Сер. физ.-мат. 991г. № 3. с.44-47. '

. Урмамбетов Б.М. Коэрцитивные сужения для одного ырождающегося эллиптического оператора // Деп. в иргкзНИИНТИ. 1992г. № 561 6с.

. Урмамбетов Б.М. Коэрцитивные задачи для одного вырождающегося параболического уравнения // Деп. э нргизНИИНТИ. 1992г. № 562 6с.

Мазыундамасы.

Бул жуииста кайСП р айныгаи днффараицжалдык, таццаулар a i X коэрцитнвт! швктчк всмзтвр зврттыгм.

Жуиыстыи, Htri зг! мзт«жалар'| иымждар:

Аймыгам дифференциал дик, твцдаулар уш1 * шакаралыц шарт-ардьм. коэрцитижтТлт кжтжж, i nui жЯиак,тцж, коэффмцжажт-tpiHÏH, цурылымыжж* бжйлжныссиз ся*дд№ делмдгагм.

Осьгжж ^к;с»с т«ор*ма днффаравцкаддык, опаратордыж, шс ны^тадгандцрыная бас' тартк;ан жжгдайда да дах*хд*я1хт.

Ek'i диффжрамциалдык, тавдвудt к, öipay.-'iäiibiFam жжрджйдж оэрцхтиат) шакжралын; шарттар класстарыжыи, арасыжда ¡'\рм0*д'| сзЯкаст! KTI и бар «иаид! ri керсвтiхгвж.