Разделимость операторов Штурма-Лиувилля и Шредингера в пространстве вектор-функций с взвешенно-суммируемыми компонентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи Шодиев Махмад Султоновнч РГб Ой

2 5 ДЕК 7ППГ)

РАЗДЕЛИМОСТЬ ОПЕРАТОРОВ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ И ШРЕДИНГЕРА В ПРОСТРАНСТВЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ С И'ШЕШЕННО-СУММИРУЕМЫМИ КОМПОНЕНТАМИ

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ: 01.01.02-Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации ня соискание ученой степени кандидата фншко-матсматнческих наук

ДУШАНБЕ-2000

Работа выполнена в Таджикском государственном педагогическом университете им. К. Джураева и Курган - Тюбинском государственном университете им. Н. Хусрава

Научные руководители: -член-корреспондент Академии наук

Республики Таджикистан, доктор физико -математических наук, профессор Бойматов К.Х.

Доктор физико-математических наук, профессор Курбанов И.К.

Официальные оппоненты: -член -корреспондент Академии наук

• Республики Таджикистан, доктор физико-математических наук, профессор Илолов М.И.

-кандидат физико- математических наук, доцент Гадозода М.Г.

Ведущая организация: -Хорогский государственный университет

Защита состоится « » 2000 г. в 13:30 часов на

заседании диссертационного совета Д065.01.07 при Таджикском государственном национальном университете по адресу: 734025,г. Душанбе,пр.Рудаки, 17.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Таджикского государственного национального университета

Автореферат разослан «

2000 г.

Ученый Секретарь Диссертационного Совета, доктор физико- математических

наук, профессор /^^¿г^Л Сафа'ров Д.Х.

З^В 2 • 4У, ОЗ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Термин разделимости в теорию дифференциальных операторов ввели английский математик В.Н.Эверитт и шведский математик М.Гирц. Они изучали разделимость дифференциального оператора Штурма-Лиувилля и их степеней с целью выяснения вопроса о том, имеет ли место для данного оператора случай предельной точки или круга. В настоящее время опубликовано достаточно большое число работ, в которых применяются теоремы разделимости в спектральной теории дифференциальных операторов и в вопросах теории весовых пространств.

Проблемой разделимости занимались также A.Zettl, W.D.Evans, F.V.Atcinson, М.О.Отелбасв, К.Х.Бойматов, К.Т.Мьшбаев, А.Ша-рифов, А.С.Мохамед и другие. В работах М.О.Отелбаева, К.Х.БоИ-матова и их учеников с помощью, модифицированного метода Тит-чмарша. и пового варианта метода локализации получены нредстав-лешь: резольвент рассматриваемых операторов. Э,то позволило им доказать важные-результаты, в. осповцом принципиально повые или существенно обобщающие основные достижения зарубежных математиков.

Разделимость для дифференциальных выражений с частными производными впервые исследовались в работе Войцатова К.Х.1 и далее в работах Ойнарова Р., Отелбаевд М.О. и других авторов.

Разделимость дифференциальных операторов с частными производными в банаховых иространстиах вектор-функций исследована недостаточно полно,.

Вопросами, разделимости, в гильбертовых иросграяствах вектор-, но-значных функций занимался Мохамад A.C. Им получены ряд

'[!). БоЯм%то» КХ Теоремы рыд-чичост*. ЛАК СССР. 1»73. T.3U, J» », «lOHKSCH.

результатов для оператора Шрсдингера с. матричным потешша лом. Мохамадом исследовал также линейный оператор Шрединге-ра в пространстве £-*(/£)'» где р £ (1, -f-oc).

Настоящая диссертация посвящена разделимости дифференциальных операторов второго порядка в пространстве вектор-функций с взвешенно суммируемыми компонентами. Наши результаты осповываются на применении неравенства Като, которое в случае систем, в нашей работе, применяются впервые. Поэтому условия разделимости, полученные в нашей работе, коренным образом обличаются от условий других работ и являются принципиально ыо-выми и установлены здесь впервые.

Цель работы. Для широкого класса матричных потенциалов q{i) и весовых функций k(i) установить L\,k ~ разделимость оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом д(1) и обобщить соответствующие результаты для нелинейных операторов. Установить новые результаты по разделимости матричных многомерных операторов тина Шредингера. Получить соответствующие коэрцитивные неравенства. Исследовать близкие к этому кругу вопросов такие проблемы, как т - аккретивнокть, т - секториальность и самосопряженность рассматриваемых операторов.

Метод исследования. Основными методами исследования являются современные методы функционального анализа и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Применяется неравенство Като и развивается метод Эверитта и Гирца применительно к случаю систем.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Основные 'из них следующие:

— получены принципиально новые условия разделимости опера-

тора Штурма-Лиувилля с матричным потенциалом;

— получены соответствующие коэрцитивные неравенства;

— исследовапы условия непрерывной обратимости оператора Штурма-Лиувилля;

— найдены условия т - аккретивности, т - секториальпзс ги и самосопряженности оператора Штурма-Лиувилля;

— получены условия разделимости и соответствующие'коэрцитивные неравенства в различных случаях для нелинейного оператора Шредингера с матричный потенциалом;

— получены условия однозначной разрешимости уравнения типа Шредингера с матричным потенциалом.

Теоретическая и практическая ценность работы. Исгл1дова ния, содержащиеся в диссертаций, носят теоретический характер. Они могут найти дальнейшее применении в спектральной теории дифференциальных операторов и в вопросах теории весовых пространств.

Апробация. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались па семинарах кафедры математического анализа ТГИУ Им. К.Джураева (руководитель про-

фессор [Эргаш Рузмстов в период 1996-1997 гг.), математического факультета КГУ им. Н.Хусрава (руководитель профессор Икром Курбанов в период 1996-2000 Гг.), на научпо-практичес-кой конференции профессорско-преподавательского состава, иос-вященной 50-летию Победы в ВОВ (ТКИ, г.Душанбе, 19!)6 г.), на научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", посвященной 60-летию профессора Эргаша Рузметова (ТГПУ им.К.Джураева, г.Лушанбе, 1999 г.), па Республиканской паучпой конференции "Дифференциальные ураипепия с частыми

проишодныии и их приложения" (КГУ им.Н.Хусрава, г.Курган-Тюбе, 1997 г.), на Международной научной конференции "Математическое моделирование и компьютерные эксперименты* (ТГНУ, ¡<1-18.10.2000 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы а статьях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертация. Диссертация состоит из вве-дедни й двух глав, разбитых на семь параграфов, а также списка литературы. Общий объем диссертации составляет 90 страниц машинописного текста, в редакторе "РСТЕХ". Библиография насчитывает 55 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава посвящена изучению разделимости оператора Штурма-Л ну вилля в пространстве вектор-функций с взвешенно-сумми-руешши компонентами, а вторая глава — разделимость оператора Шрелингера.

Глава / состоит из четырех параграфов. В первом из них приведены необходимые для дальнейшего обозначения и определения.

Пусть к(1) — положительная непрерывная функция заданная на ii(-оо.+ос), a LPii(Ji)', где р € (1,-foo), L € N обозначает пространство вектор-фуншшй y(f) = (Vi(0»V2(f)*"-'»Jft(0) определенных на R с конечной нормой

4 +-0О

Ш = ( / *Р(*)1У( t)!'*)'".

—ОО

Зде .ь г цалее для z = (zi,zit... ,zi) € С' обозначено

Символом End С' обозначим пространство ix/ матриц

а =

с нормой

|а| = тах|ац|. Рассмотрим дифференциальный оператор

•¿V = -/(«) +«(«МО. (3)

где

Vit) = Ы (О. Ш.....w(0) € £М(П)' П (2)

Матричная функция q(t) € Loo,ioc(R; End С') действует по формуле

М

где fi(t),Mt),...,fi(t) компоненты вектор-функпии f(t) = q(t)y(t). Здесь и далее, через В1, где В — линейное пространство, обозначается пространство элементов (t»i,»j,...,vi) с координатами и,- €

я (. = 177). '

Дифференциальный оператор Л (•) называется разделимым в пространстве Lrjt(R)\ если для всех вектор-функций y(t) (t € R) удовлетворяющих (1), (2) и включению Ay € £,Дй)г, имеет места включения y"(t),ФМО € Для 2 = (z,,..., rj), zW = (zf°,...,z,(i?) € С (i =1,2) обозначим

* = г} = iijni,' (j =

где функция принимает значения 0, если /< = 0 и /i/|/i| в

противном случае. Обозначим

<р(<) = inf Дв < q(t)z,z > .

|r|«t

ГЗ з1.2 доказывается теорема о разделимости оператора Штурма-Л иувнлля. -

Пупь ¿(0 е С2(А) и найдутся числа 0<а<1,0<^<1,^>0 гакие, что для всех * € Я выполнены неравенства

Е Ы01 + ДЕ ко- (01 < к* 0 = 1...../)

¡=»1

.«тз

|*'(01 < Ш(«)(1 + |<|), < а<р(1)к(г).

Имеет место следующая

Теорема 1. Пусть выполнены перечисленные условия. Тогда оператор А разделяется в пространстве ¿¡¿(Я)1. При атом для лх/юй эсктор-функции у(<) удовлетворяющей (1), (2) и включению Ау е (И)' справедливо неравенство

" |у"(0к* + ММОк* < с(а,0)\Ау\1<к,

число с(«,/3) зависит только от а,/?. В §1.3 изучены условия непрерывной обратимости оператора А — .-.аиычания оиератора Асу - Ау, Б(Ао) = С™(ЯУ в йрострапсгве ■ Я =

Рассмотрим в пространстве Я оператор Аау ~ Ау, =

где А такой же оператор, как в §1.2. Предположим, что выполнены неравенства

£ ¡9.7(01 + /*£ 19.7(01 < Де да(0 (» ^ 1,..., 0

с < Ее < 2 > {г € Д, г € С1, |2| = 1), где с > 0, Д е (0,1). Пусть кроме того,

<:,г><рЛе <яЦ)г,г> (< € € С1),/х > 0. (Иолмачим через А замыкание оператора А в П.

Теорема 2. При выполнении перечисленных условий оператор Л имеет непрерывный обратный в Н.

§2.4 посвящен вопросам существования резольвенты оператора Л и исследованию условий т—аккретивности и т—секториаль-иости оператора А. Предположим, что выполнены следующие условия

+ |«Д«)1 < Ы*)| + ИеЯц{1) (» = 1....» (3)

' ¿=1 .

с<Яе £ «/(«)*& (4)

для всех г,- € С', » = такие, что Е = 1 с некоторыми

о 0,/? €(0,1). Пусть, кроме того,

Е |*.|8 Е & е С), ц > о. (5)

¡«=1 . ¡)ж=\

Имеют место следующие теоремы.

Теорема 3. Пусть выполнены оценки (3)—(о). Тогда при Яе А > —ц~х оператор А + АЕ имеет непрерывный обратный и для указанных Л € С справедлива следующая оценка нормы резольвенты

||(А+ АЕ)-1|| < (м~! +йсЛ)-1.

При этом оператор А является т—аккретивним оператором. .Теорема 4. Пусть выполнено условие

' 7Г — £ 1

К<7 Е «>(0ч2у| < -—, (*( 6 С', I 6 Я),

где е > 0. Тогда А - т-секториальный оператор в Н.

Теорема 5. Пусть в условиях теорем 3—4 дополнительно выполняется равенство

®;(0 = ЯМО . (и= !....,/,«€ Я),

тогда А — А* > 0.

Вторая глава содержит три параграфа. В первой параграфе рассматривается разделимость нелинейного оператора Шрединге-ра.

Пусть ПсД* открытое множество, к(х) e C(ii) положительная функдия. Обозначим через Li^(fi)', где I > 1 целое число, класс вектор-функций

и(х) -- (ut(a;),«a(i),...,uj(a;)) (х € П)

с конечной нормой

\Hk = ifHx)\bj(x)\dx. i'tfl

Положим Нк = L,,*(«)', я = Ни ¡1 ¡1 = II II,. Пусть для любой вектор-функции и(х) € Нк задана матричная функция

ЯЛ*) = .{4ij(x-,u))ij-1» (6)

с элементами

Pij(x) = € LoojeJSl), (i,j = T7H).

Рассмотрим оператор Шредипгера

Ли = — Аи + д„(х)и(х).

Если qB(x) = g(x), (Vu € Нь) (т.е. не зависит от и(х)), то мы имеем дело с линейным оператором А. В противном случае, оператор А является нелинейный оператором.

Обозначим: И^ДП)'—класс вектор-функций

u(x) = (u^x),«,^),...,!!/^)) (х € ft)

таких, что j

uh Аи/ 6 /vi,;«(ft) (j = U) 10

в смысле распределений. Положим W?joc = И^ДП)'.

Определение. Оператор Л называется разделимым в пространстве Hk - если Аи(х), ди(х)и(х) € Я*, для всех и(х) 6 Пк П W?Joc((iy таких, что Ли € Я*.

Пусть h = (ЛЬ...,Л,),Л« = (/»i°.....Лр}) 6 С'(» = е С.

Обозначим

Л = (A'i.....Л}), А} = sign hj (j = 171)

¡«1

<Л(1),Л(1>>= ¿Л^Лр. 1-1

Пусть П = Я*—открытое множество и для любого « t Ht определена матричная функция qjx) (6) с элементами pij(x) (»,j = "Ц7) класса £«>,¡«(0). Обозначим:

р(х) = »n/p,(i; h), ра(х; h)= Re < qa(x)h, h >,

где пижняя грань' берется по Л € С', |Л| = 1, и € Я*.

Пусть k{t) € CJ(ft)—положительная функция такая, что

¡At(x)i < кр(х)к(х), 0<к<1. (7)

Пусть, кроме того, выполнено неравенство

Ид.(*)/»|<Ри(*;Л), (УЛ € С, и <= Як) (8)

с некоторый v > 0. Имеет место следующая

Теорема в. При выполнении перечисленных условий справедливы неравенства

1/(1 - *)||fe(«)u(*)tU < HitulU (9)

||Аи|1' - (1 + кгЬг)')1!Лм|и {10)

для всех и(х) б Со°(0):. Если при атом П = Л", и

|У/Ь(1)|< ЛГ^(а:)(1 + !х|) (11)

то неравенства (9), (10) выполняются для всех и £ НкГ\ 1Г)1 таких, что Аи£ Н>,-

Следствие. Пусть П = Я" И выполнены неравенства (7), (8), (11), тогда оператор А разделяется в Я*.

В §2.2. приведены и доказаны ряд лемм и вспомогательные неравенства, необходимые в дальнейшем, точнее для доказательства разделимости оператора Шредингера в случае Лей* и изучении разрешимости уравнения Аи = /.

В §2.3. изучены разрешимость уравнения Аи - / и разделимость оператора Шредингера в пространстве Я* в общем случае, то есть сформулирован результат когда ЙСЙ" произвольное открытое множество и речь будет Идти о получении неравенств (9), (10) для всех и 6 Нк П №£(ое(П)' таких, что Ли 6 Я*. Положим

>

Ро(х) = Ш1п{р(а;),У(х)},

гДе

р'(г)=ЫЛе<?;(1)/1)Ь.

Пусть к(х) С С*(Я) — положительная функция удовлетворяющая следующим условиям

\Ак{х)\ + 2\Ък(х)\Ч-\х)^кр0{х)к(х)

!У*(г)| < Мр-\х)к(х), |Д*(х)| < Мк{х)М*),

где к е (0,1). Здесь и далее р{х) = (1 + <'сли О = Пп и

р(х) - (.'«,«< {х, дх} в противпом случае.

Предположим, что существует положительная функция rix) С2(Г1) удовлетворяющая следуюпиш условиям:

|Дт(х)| + É ¿"'(^K^l < (хро(х)г(х)

р{*)< МЫх)т{х){\ + |х|)'

т(х)<М,р\х), |Vt-(x)| < MiP(x),

где ц G (0,1 - к), л G (0,1), M > 0. Наконец, потребуем, чтобы

< Р*(х; Л), (VA € С1, Vu G Нк) v>\h\ < (Vft € С', Vu € Ih)

< Po(x),

где и, i/ > 0.

Теорема 7. Пусть выполнены перечислен«ас условия. Тогда справедливы неравенства (9), (10) для всех и G Я* П W,aiioe(il)' таких, что Au G Ht. Если при атом А—линейный оператор (т.е. qu(x) от и не зависит), то уравнение An = / при / G Я* имеет единственное решение и G //*.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. Курбаио» И., Шодиев М. Разделимость оператора Штурма-Лиувилля в пространстве вектор-функций с взвешенно-суымируе-мыми комионептами//Локлады АН Таджикистана, 1995, t.XXXVIJJ, №l-2.-C.79-86.

2. Шодиев М.С. Об условиях разделимости оператора Штур-ма-Лпувилля с матричным потенциалом// Сборник раучпых статей "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения" ТГ11У им.К.Лжураева, Душанбе, 1996 г. С. 102-103.

Л. Шодиев М., Гадоев М. Об условиях т—аккретивности и т -о'кториаяьвости оператора Щтурма-Лиувилля в пространств«: 1:< ктор-фупкций//Материалы научно-практической конференции, посвященной 50-летию Победы в ВОВ. Таджикский коммерческий институт, Душанбе, 1996 г.-С. 82-83.

4. Шодиев М.С. Разделимость нелинейного оператора Штурма Л ну вил ля с матричным потенциалом//Тезисы докладов науч-лсй конференции "Дифференциальные уравнения с частными производными и их приложения", КГУ им.Н.Хусрава, 1997 г.-С.86.

5. Шодиев М.С. Коэрцитивные оценки для нелинейного оператора Штурма-Лиувилля//Вестник педагогического университета, Душанбе, 1999 г.- С. 37-38.

6. Шодиев М.С., Рахимов З.Х. Разделимость нелинейного оиератора Щредингера с матричным потенциалом//Материалы второй международной конференции "Математическое моделирование и компьютерные эксперименты", Душанбе, 2000.-С.72-73.

7. Шодиев М,.С. Об условиях т—аккретивности и т—секто-риалопости матричного/ оператора Щтурма-Лиувилля//Вестшш Хорогского университета, 2001, серия 1;} К« 3 (в печати).

Ль гор выражает глу бокую благодарность своим научным руководителям член-корр^сцодденту Л'Ц ^Т, доктору физико-матема-'гичесшх наук, профессору Во^а^ову &Х.- и доктору' физико-иатемлтичепр^ н£,ук, профессору Курбаисву И.К. за постановку задач т постоянное внимание при работе над диссертацией.

и

Введение.

Глава /. разделимость оператора штурма-лиувилля в пространстве вектор-функций с взвешенно-суммируемыми компонентами

§1.1. Некоторые сведения и обозначения.

§1.2, Теорема о разделимости оператора Ш т у р м a- JI иу в ил л я

§1.3. Условия существования непрерывного обратного оператора

§1.4. Об условиях га-аккретивности и га-сектриальности матричного оператора Штурма-Лиувилля.

Глава II. разделимость оператора шредингера

§2.1. Разделимость нелинейного оператора Шредингера

§2.2. Некоторые вспомогательные леммы и неравенства.

§2.3. Разрешимость уравнения Ау = / и разделимость оператора Шредингера в пространстве Ilk в общем случае.

Настоящая диссертационная работа посвящена, исследованию разделимости эллиптических операторов второго порядка с матричными коэффициентами в пространстве LP^{Q)1, где р € [1,+оо), k(x)~ весовая функция, ^--произвольное открытое множество в Rn, /"натуральное число.

Термин "разделимость" впервые был введен английскими математиками В.Н.Эвериттом и М.Гирцом (Everitt W.N., Giertz М.) в их фундаментальной работе [2]. В своих работах [2—5] они достаточно подробно изучали разделимость оператора Штурма,-Лиувилля

Ау = -/(*) ■+■ q(t)y(t) (*) и его степеней. В работе Войматова К.Х. [22] разделимость оператора Штурма-Лиувилля получена без требования какой-либо гладкости на потенциал q(t). Отелбаев М. [40] исследовал разделимость оператора А(-) в весовом пространстве Ь2,*(-0> где Г~открытый отрезок вещественной оси. Разделимость оператора Штурма-Лиувилля с нелинейным потенциалом q(%,\y\) в пространстве L2(-oo,+oo) получена в работе Амановой Т.Т., Муротбекова М.Б. [15]. В работе Гриншпуна Э.З., Отелбаева М. [32] исследована разделимость нелинейного оператора Штурма-Лиувилля в пространстве L\{~~oq. +оо). Разделимость обыкновенных дифференциальных операторов, более сложных, чем оператор (*), получена в работах Абудова А.А. [12], Алиева Б.И, Исмоилова €.М. [13], Амоновой Т/Г. [14], Амоповой Т/Г., Муратбекова М.Б. [15], Назарбаевой Л.Е, [17!, Биргебаева, А. [19(, Биргебаева. А., Отелбаева М. [20Войматова К.Х., Шарифова А. [31], Гриншпуна В.З. |33j, Мсхокова С.А. |34], Отелбаева М. [41], Вверитта В.Н., Гирца М. [6-8], Аткинсона Ф.В. (Afccinson F.V.) [1],

Эванса В.Д., Цеттла A. (Evans W.D., Zettl А.) [10], Цеттла А. [11] и других. В работах [12, 13, 18, 31] рассмотрены дифференциальные выражения с операторными коэффициентами.

Разделимость для дифференциальных выражений с частными производными впервые исследовались в работе Бойматова К.Х. [23] и далее в работах [24-30, 39-44]. В большинстве из этих работ рассматривается оператор Шредингера

Аи = -Au(t) 4- q(t)u(t). (**)

В работе Ойнарова Р. [39] исследуется разделимость оператора А в пространстве суммируемых функций Li(Rn). В работах Бойматова К.Х. [15], Розенблюма, Г.В. [44], Эверитта В.Н., Гирца М. [9] изучается разделимость оператора (**) в пространстве /^(йУ. Разделимость дифференциального выражения (**) с операторозначным потенциалом qit) исследована в работе Шарифова А. [48].

Разделимость общих эллиптических дифференциальных операторов высокого порядка в пространстве L2(.R)f рассматривается в работах Бойматова К.Х. [23-25], Отелбаева М. [42, 43]. В работе Бойматова. К.Х. [27] изучается /^-разделимость (т.е. разделимость в пространствах типа L2) дифференциальных операторов (не обязательно эллиптических), заданных в произвольном открытом множестве а с

Разделимость дифференциальных операторов с частными производными в банаховых пространствах Lp(fl) (1 < р < 4-ое) исследована недостаточно полно. В этом случае имеются лишь отдельные работы Бойматова К.Х. [28-30]. В работе Биргебаева А. [21] исследуется разделимость оператора Шредингера (**) с матричным потенциалом в пространстве LP{Q)S. Однако требуется, чтобы все собственные значения Х\(х) < Л2(х) < . < Xj(x) матрицы q(x) были подчинены первому собственному значению \\(х) : Xi(x) < fiXi(x).

В работе Мохамед А.С. [37] исследована разделимость эллиптических дифференциальных операторов второго порядка с матричными коэффициентами в пространстве LP(Q)1, где р € (1,+оо).

В настоящей диссертации впервые рассмотрен случай р — 1. Наши условия разделимости системы уравнений второго порядка нестандартны в том смысле, что они не получаются путем традиционного метода применения параметрикса. Наши результаты основываются на применении неравенства Като, которое в случае систем в нашей работе применяются впервые. Поэтому условия разделимости полученные в нашей работе коренным образом отличаются от условий других работ и являются принципиально новыми и устанавливаются здесь впервые.

Данная диссертация состоит из настоящего введения, двух глав, разбитых на семь параграфов, а также списка литературы, включающего 55 названий. Система нумерации параграфов такова, что каждый из них содержит тройную нумерацию, в которой первый номер указывает на номер главы, второй - на номер параграфа данной главы, а третий - на номер леммы, теоремы или замечания в данном параграфе. Аналогично нумеруются в диссертации формулы.

Перейдем теперь к краткому изложению содержания диссертации. Первая глава посвящена изучению разделимости оператора Штур-ма-Лиувилля в пространстве вектор-функций с взвешенно-сумми-руемыми компонентами, а вторая глава — разделимость оператора Шредингера.

1. Everitt W.N., Giertz M. Some properties of tlie domains of certain differential operators//Ргос. London Math.Soc. (3), 1971, vol. 23, N 2, p. 301-324.

2. Everitt W.N., Giertz M. Some inequalities associated with certain differential operators//Math. Ztschr. 1972, Bd. 126, N 4, p. 308-326.

3. Everitt W.N., Giertz M. On properties of the powers of a formally self-adjoint differential expression//Ргос. London Math.Soc. (3), 1972, vol. 24, N 1, p. 149-170.

4. Everitt W.N., Giertz M. On some properties of the domains of sertain differential operators//Ргос. London Math.Soc. (3), 1972, vol. 24, N 4, p. 756-768.

5. Everitt W.N., Giertz M. An example concerning the separation property for differential operators//Proc. Roy.Soc. Edingburgh A., 1973, vol. 71, p. 159-165.

6. Everitt W.N., Giertz M. Dirichlet type result for ordinary differential operators//Math. Ann., 1973, vol. 203, N 2, p. 119-128.

7. Everitt W.N., Giertz M. Inequalities and separation for certain ordinary differential operators//Proc. London Math. Soc. (3), 1974, vol. 28, N 2, p. 352-372.

8. Everitt W.N., Giertz M. Inequalities and separation for Schrodingertype operators in L2 (#■«)//Ргос. Roy. Soc. Edinhurg A., 1977, vol. 79, p. 257-265.

9. Evans W.D., Zettl A. Dirichlet and separation results for Schrodinger type operators//Proc. Roy. Soc. Edinburg A., 1978, vol. 80, p. 151-162.

10. Zettl A. Separation for differential operators on the I/ spaces//Proc. Amer. Math. Soc., 1976, vol. 55, N 1, p. 44-46.

11. Абудов А.А. О разделимости одного оператора, порожденного операторно-дифференциальным выражением//В сб.: Спектральная теория операторов. Баку, "Элм", 1982. — с.4-11.

12. Аманова Т.Т. О разделимости одного дифференциального оператора/ /Известия АИ КазССР. Сер. физ.-мат. н., 1981, Ж? 3.—с. 48-51.

13. Аманова Т.Т., Муратбеков М.Б. Гладкость решения одного нелинейного дифференциального уравнения//Известия АН КазССР. Сер. физ.-мат. н., 1983, Н?5.—с. 4-7.

14. Аманова Т.Т., Муратбеков М.Б. Разделимость нелинейного уравнения Ш турма-Л иу ви л ля / / И звестия АН КазССР. Сер. физ.-мат. и., 1984, Н З. -с. 57-59.

15. Базарбаева Л.Е. Теоремы разделимости для одного дифференциального оператора в Lp(R)f/Рукопись депонирована в ВИНИТИ 21.02.86, М--1198-В. 7 стр.

16. Байрамоглы М., Абудов А.А. О существенной самосопряженности оператора Штурма-Лиувилля с операторными коэффициентами//В сб.: Спектральная теория операторов, Баку, "Эдм", 1982. — с. 12-20.

17. Биргебаев А. Разделимость одного дифференциального оператора в /^//Известия АН КазССР. Сер. физ.-мат. п., 1981, № 5.—с. 1-5.

18. Биргебаев А., Отелбаев М. О разделимости нелинейного дифференциального оператора третьего порядка//Известия АН КазССР. Сер. физ.-мат. н., 1984, Ш 3.—с. 11-13.

19. Биргебаев А. Гладкость решений нелинейного дифференциального уравнения с матричным потенциалом//В сб.: Тезисы докладов VIII Республиканской межвузовской научной конференции по математике и механике.—Алма-Ата, 1984. — с.11.

20. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости для оператора Штурма-Лиувилля// Математические заметки, 1973, т. 14, № 3.—с. 349359.

21. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости// ДАН СССР, 1973, т.213, Ш 5.—с. 1009-1011.

22. Бойматов К.Х. О спектре эллиптического оператора: Автореферат кандидатской дисс. М.: МГУ, 1974, 85 с.

23. Бойматов К.Х. Ь2—оценки обобщенных решений эллиптических дифференциальных уравнений// ДАН СССР, 1975, т.223, Н£ 3.—с. 521-524.

24. Бойматов К.Х. Асимптотика спектра оператора Шредингера с сингулярным потенциалом//Успехи матем. наук, 1976, т.31, № 1.—с. 241-242.

25. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости, весовые пространства и их приложения к краевым задачам// ДАН СССР, 1979, т.247, № 3.—с. 532-536.

26. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости, весовые пространства и их приложения к краевым задачам// Труды: Математического института АН СССР, 1984, т.170. —с. 37-76.

27. Бойматов К.Х. Коэрцитивные оценки и разделимость для эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка// ДАН СССР, 1988, T.3G1, Ш5.-.с. 1033-1036.

28. Бойматов К.Х. Коэрцитивные оценки и разделимость для нелинейных дифференциальных операторов второго порядка// Математические заметки, 1989, т.46, №6.—с. 110-112.

29. Бойматов К.Х., Шарифов А. Коэрцитивные оценки и разделимость для дифференциальных операторов произвольного порядка// Успехи математических наук, 1989, т.44, вып. 3(267).—с. 147-148.

30. Гриншпун Э.З., Отелбаев М. О гладкости решений нелинейного уравнения Шту рма-Л иу вилля в Lx infty, -foo)//Известия АН КазССР. Сер. физ.-мат. н., 1984, Ш5.-с. 26-29.

31. Гриншпун Э.З. Об ограниченной обратимости, существенной самосопряженности и разделимости некоторых обыкновенных дифференциальных операторов// Рукопись депонирована в ВИНИТИ 22.05.84, Hi 3304-84 Деп. 42 с.

32. Исхоков С.А. О разделимости обыкновенных дифференциальных выражений. В сб.: Функциональный анализ и его приложения в механике и теории вероятностей.—М.: Изд-во МГУ, 1984.—с. 130-131.

33. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве// М.: Наука, 1971.

34. Като Т. Теория возмущений линейных операторов//М.: Мир, 1972.

35. Мохамед А.С. Разделимость оператора Шредингера с матричным потенциалом//Доклады АН Таджикистана, 1992, т.35, ШЗ.

36. Мынбаев К.Т., Отел баев М. Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных операторов// М.: Наука, 1988.

37. Ойнаров Р. О разделимости оператора Шредингера в пространстве суммируемых функций // ДАН СССР, 1985, т.285, №. 5.— с. 1062-1064.

38. Отелбаев М. О суммируемости с весом решения уравнения Штурма-Лиувилля// Математические заметки, 1974, г. 16, М- 6.—с. 969-980.

39. Отелбаев М. О гладкости решения дифференциальных уравнений// Известия АН КазССР. Сер. физ.-мат. н., 1977, Ш 5.—с. 45-48.

40. Отелбаев М. О разделимости эллиптических операторов//ДАН СССР, 1977, т/234, N53. -с. 540-543.

41. Отелбаев М. Коэрцитивные оценки и теоремы разделимости для эллиптических уравнений в Я71//Труды Математического института АН СССР, 1983, т. 161.—с. 195-217.

42. Розенблюм Г.В. Асимптотика собственных чисел оператора III ре дшггера//Математический сборник, 1974, т.93(135), № 3.—с. 347-367.

43. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. М.: Мир, 1978, т.2.

44. Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973.

45. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: мир, 1973.

46. Шарифов А. Разделимость многомерных дифференциальных выражений с операторными коэффициентами //Доклады АН ТаджССР, 1989, Ш6.—с. 369-371.

47. Курбанов И., Шодиев М. Разделимость оператора Штурма-Лиувилля в пространстве вектор-функций с взвешенно-суммируе-мыми компонентами//Доклады АН Таджикистана, 1995, т.XXXVIII, №1-2.—с.79-86.

48. Шодиев М.С. Об условиях разделимости оператора Штурма-Лиувилля с матричным потенциалом// Сборник научных статей "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения" ТГПУ им.К.Джураева, Душанбе, 1996 г.— с. 102-103.

49. Шодиев М.С. Разделимость нелинейного оператора Штур-ма-Диувилля с м:а,тричным потенциалом//Тезисы докладов научной конференции "Дифференциальные уравнения с частными производными и их приложения", КГУ им.Н.Хусрава, 1997 г.—с.86.

50. Шодиев М.С. Коэрцитивные оценки для нелинейного оператора, Штурма.Л иу вил ля //Вестник педагогического университета,Душанбе, 1999 г.— с. 37-38.

51. Шодиев М.С., Рахимов З.Х. Разделимость нелинейного оператора Шредингера с матричным потенциалом//Материалы второй международной конференции "Математическое моделирование и компьютерные эксперименты", Душанбе, 2000.—с.72-73.

52. Шодиев М.С. Об условиях т—аккретивности и т—сектори-альности матричного оператора Штурма- Лиувилля//Вестник Хорогского университета, 2001, серия /, № 3 (в печати).