Оценки роста решений дифференциальных уравнений нечетного порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

министерство образования республики таджикистан тадяюсскни государственный университет

Спацдализированный соват К 065.01.02

На правах рукописи УДГС 517.518; 517.556

рахимов 515крулло хаирулл02в1и оценки роста решении дииеренцнашшх уравнении нечетного порядка

01.01.02-до5форвпцаальшо уравнения

автореферат диссертации па соискание ученой степени кандидата фазико-ыатеиатпческпх наук

Дупанбе-1993г.

Работа вшолиеина в Таджикской государственной университете

Научный руководитель- члаи-корр. АН Республика Таджикистан

доктор физнко-иатаиатнчасин наук, профессор Бойиатов К.Х.

0$вдшльше оппонакти

Доктор физико-иатаыатических наук,профессор Саттороа А.С. Кандидат фазико-штеиатаческих наук, доцент Ы.Н.Исиатов Ведуцая организация

Банкирский государственный университет

Защита состоится " ^ " £_и 1993 г. в

¡и? час, ш заседании специализированного совета К 065.01.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-иатеиатичаских наук в Тадяикскои Госуниверситете (734025, Дупанбе, проспект Рудаки, 17).

С диссертацией иояно ознокошться в научной библиотека Таджикского Госуниверситета.

Автореферат разослан " " 1993 г.

у .

Ученый секретарь специализированного совета^ кандидат фазико-иатеиатических наук, доцент •Х.Хосабеков

Общая хгрзктаристикз работа Актуальность теш. В теории дкффзрекцяальных уравкггй! особое место занимают вопроса о гладкости ренэнна и аг производных« Для ограничашш. о'ластой я злянптЕчаезЕШ диффаренциальких. спратороз с гладгашк козффицпзктауя тецатака подробно изучена« Сткгулггшш йэ даФ!!«рэтаналь:згэ шэратсрн первныи снсгеыаткчзста начали? изучать В,Н« Звери?? и И.Гкрц, югенно т принадле^:? постановка задача о рзздэлшгоста диффэрвнциаиьша операторов.

Рзчь идет о "ом, чтобы в«яскить язляг)?ся хи прояггодкае рвиенкя суш:фуеиыки 2 пространства с пс::с--г.?лг.,сг наперед эаданкшш весэш которое сошадаггг о исхтгзи :хос§5ицветсз оператора при ссотвтстзухгщх прспззодакк. образец

очесадно, что указанные еэсошз функции в теорз;;-?-'. рзздзлпЕоста является неулучшаэ1глш3

В.Н.Зверктт и М.Ггшц особенно подробно раздалосооть оператора Штурма-Ляувхяля г», яго сгегэзгЗ. Впоследствии эта тематика разрабатиналайй 55 работах К.Х.Войаатоза» У.Отэдбаязз, М.Г.Ггагтоеа, а.Г.!&хсуроза, О.А.Жаутнкоза я их учашксз, Зз рубзгоц ртой тенстпкоЗ занимались б.В.Аткишоз, У.Д.Зва», А„Цетм® я друтяо изтэу.атиз!»

Всэ работе нкегзкеся в литературе з оспознсц относятся п уравнениям четного порядка. Обыкновепгагв дафферзнциа^ькае операторы нечетного порядка недавно рассматркаалис з гильбертовых пространствах функций суммируемых с квадратои* Отиотнм, что методика работ А.Шари&ова существенно опирается на гильбертовость ь-пространств и поэтому отличается о? узтог-зкл нашей работы.-Кроне работ А.Шаркфоза имеются отдальшз работа О.Бнргебаева посвященные уравнениям первого и третьего порядке:« в Ь Таким образои случай р=зд для уреглания кэчзтиего

порядка ранее не рассматривался.

Данная днсссертация посвящена исследованию Ьр-разделимоста, 1<рне, с весок, для уравнения

a(t)y,J,(t)= f(t) (-®<t<!0) (1)

, .О "

Основное достижение работа, кроиз того,

рассматривается уравнение произвольного начетного порядка, заключается в той, что число р иожеть принимать произвольное значение; и что наиболее суцественнно, число р может принииать также значение р=ш. В главе 2 даны ряд приложений в теорем разделимости и васовым пространство«; получено представление функций ыз весовых пространств; получены также оценки собственных значений и собственных функций дифференциальных операторов, действующих в пространстве Ьр. Методика данной работа переносится и на нелинейные дифференциальные уравнения вида

где 9т=(-1 если т-четное число и 9т=1 (или 8га=-1) в противной случае.

Цель работы. Для дифференциальных уравнений произвольного начетного порядка, заданых в интервале я =(-ш,+оо) выделить условия разделшости и получить соответствующие коэрцитивные оценки в ьр 1 (й), (1<р<+щ); получить коэрцитивные оценки для систем дифференциальных уравнений нечетного порядка в пространство Ь. х (Ю"; привести наиболее важные приложений этих результатов.

Метод исследования. Основкыиа методами исследования являйся современные катода уравнения в частных производных в функционального анализа. Доказательство теореи основывается ш> построения правого регуляризатора; применяется модифицированный КЛ.Бойиатовыц метод Титчиарща. Разделимость в 1аг-пространствах устанавливается предельный переходом р -,+са.

Научная новизна. Б равномерных по ре(0„+со)» Ьр-оц8нках, -установлена -разделимость для обыкновенных дифференциальных операторов произвольного нечетного порядка; -установлена раздалинмость дифференциальных операторов в случае Р=®§

-получены коэрцитивные оценки для некоторых классов нелинейных дафференциальнах уравнений произвольного порядка; -для систем дифференциальных уравнений нечетного порядка получена коэрцитивные оценки к доказаны теорема разделимости? -получено интегральное представление фуккцда Грина; -установлены теореш существования и единственности систем произвольного порядка в весовых Ь -пространствах;

-выведена формула, дающая описание фщпщиЯ, кзмзшшзихся э некоторых весовых пространствах типа Соболева; -Получена оценки собственных значений и собственных функций в пространстве Ьр(и ).

Теоретическая и практическая ценность. Исследования

содержащиеся в диссертации, носят теоретический характер и могут применяться в спектральной те орет дифференциальна* операторов.

Апробация работа. Основные результата работы докладывались на межреспубликанской научно-практической конференции "Теория пркблияеняя н вложения фуккционалыздх прстранств"(г.Караганда,1991г.); республиканской нгучно-практи-ческой конференции молодых ученых и специистоз (г.Дуианба, 1989г.); республиканской научно-практической конференций молодых ученых и специалистов (г.Курггн-табэ, 1991г.)} научно-исследовательском семинаре отдела функциональный анализ ИП с ВЦ АН Республики Таджикистан "Спектральная мерял а разделимость дифференциальных операторов" {руководитель члан-корреспондент АН РТ» профессор К.Х.Бойматоз), 1988-1990гг.

Публикация. Основные результаты диссертацж! опубликованы в 5 статьях, список которых приведен в коше автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит введения, двух глав и списка литература.

Содержании диссертации. Первая глава содоргпт пять параграфов. В первом параграфе приведена необходкше определения и известные результаты, используемы® з дальпэйзеи. В остальных четырех параграфах излагаются получекЕна азтсрои результаты. Подробно остановимся на результата атях параграфов.

В §2 расматривается дифференциальное уравнение у.2^«.(к)+(1(|.)у(к)=г():) (^и«,), ГШеЬ^Ш ) (2)

функция у(Ъ) называется рспепязи уравяанзя (2), если ) и равенство (2) выполняется. почти всзду в й. Относительно функции q(t) предположил, что чШеС'ШЬ полажительная функция, ч((:)>1, я выполняется оценка И'(0|-(1>^фв<*>, (t—►

0 - шп- •

Пусть ¿(ЮеС'Ш )-положительная функция а выполняется

оценка

Н'(1;>|=о(1)гШдв(1;), (t-► со)

Теорема 1.2.1. При выполнении указанных шей условий для равоняя уеЬр г(й),1<р<со. уравнения вида (2) с правой часть» ГеЬ г(й) справедливо неравенство

где число Й на зависит от р„у,£

Здесь Ьр)<г(Е ), (1<р<ш)-весовые пространства с нормой

¿-пространство игшргаш. фнукцай на В с горной

ду|ю ^=1п£|м:|<гь почти вгвду в Н |

В "гретаам параграфе рассматривается дифференциальное уравнение

) . а Шу^т-ГШ (-ш<1;<« ) (3)

1 »о

Пусть жоэффицент ниает ввд айШ=а<<;)+аШ, где а(1;)>С>0,

|а«;)|=о<1>а(1;), (t-е. «,)'

Взздеи обозначена О^МГ'ШаШ. Црадпояожш,

что 11(1;)>0» СКЮеО'Ш) н

»♦е 1

О' )С} Ш.(<:-«• «), в= .

Пусть О^Й ) {¿=ГГ2ЙЭТ) И при 0<к<&0

штаЕняатся оценка«

|а;!"(1)| = *(1)аа)<}"•'*> Ш (Ь«,) (4) Относительно весовой функции ¿{t) предлогам, что О1 (К) - положительная фушсция и выполняется оценка . -К'ШЬ о(1)г(1;)(а(1;)+1)е (!;-,«,)

Теорема 1.3.1. Пусть выполнена указанные вша условия. Тогда дая зсег решекай уеЬ^й ) уравнения (3) с

правой частьв ГеЬ^ 1 № ) справедливо неравенство

ЯП»«- & '

У""' | ЫСПГ) и.г> • (5)

таа число У ш зависит от р,у,г.

условия (4) н теорзш X. 3.1 следует справедливость

неравенства

3m» i

y i la-ttj^tt)! иа(| |f I |,л+| |у| |рд) ,

j «О

что означает раздвлшшсть оператора

i

2т» Д

Ay = ) a.(t)/(t) (6)

j-o

в пространстве ) (1<рЗ»).

В $ 4 рассматривается система дифференциальных уравнений

yra""a>(t)+Q(t)y(t) = i(t), (-«> < t < <*>) (7)

где Q ( t ) -Есжясктэяьва отрада леквая0 зрмктово матрица

Г — 4ln(t) •

y(t)-(yi(t),»..,yr>(t))€L5>(R)at f(t)-(fs(t),.„„,fri(t))€L!>(Rro

Пусть ^(tK^itX ^(t) обозначают собствэшакэ значения матрица Q(t)< Hoptia матрица â - (а^,)" ^

определяется как норма оператора А; оп-—»оп.

Предположим, чгго Ka(t)=ql(t)<...<qn(t)< |ia(t), где ц>0 и

|a'(t)| = o(i)a1*0(t) (t-к»),

i(t) -положительная функция класса G1 (R) и выполняется оценка

K'(t)| = o(i)i(t)a9(t) (t-кч).

Теорема 1.4 -I. Пусть шполненн указанные shim у еловая. Тогда для решения yeLp t (R), 1 < р < <»t уравнения (7) с правой частью îcl^ , (R)" справедливо неравенство

цу'^Чи +1iQitjyi|рЛ <n<imiM+iiyii„>»

|| 1-норма веяхер-фуыхцш* u(t)=(ul(t),...,uh(t)) определяется по фериулэ

(СО

JTIWIo" '(t)dt) 1«р<»

И При р = оа

I |U| = inr^tt/| |U| |cr. Ht) « И П.В. В R I

5 посвящен оценкам роста решений диференциалыш. уравнений нечетного порядка с иатричшшг коэффициентами

am» 1

) AJ(t)y'i,(t) = f(t), (8)

¿-о п

где А.(Ь)-ыатрица [a^t))^

Пусть A2m^(t)=h(t)l, где I - единичная матрица, h(t), положительная функция. Предположи, что иатрица Ao(t) амаот ввд An(t)eA(tH£(t)„ где А(t)-положительно определенная матрица с наниашки собственниц значением a(t). Предполошш, что

о < a(t), (о>0) j ||ï(t)||=o(1)a(t) (t-►<»). Обозначил,

Q(t)=A(t)h"*(t). Пусть QftJetfiRîEndO") И ||Q',(t)||«{Q14"e<t))

(t-►»)« Здесь End с"-множество (шт)-иатряц. Пусть

A^tteC^R îEndO") (FTTSS+T) п прн О < k < j ^ О

||Aj(t)|| « (t-к») (9)

Пусть i(t) € с* (R ) -положительная функция

✓<t) = o(i)f(t)(a(t)4-l)V° (t-к»)

Теорема I.S.!.. пусть выполнены указанные шве условия. Тогда для всех репений y(t) е Lp_ ¿{R )"» 1 < р < уравнения (8) с правой частью f(t) € Ьр_ Г справедливо неравенство t

) 'ца'-'е№9и)Уд>(1)|1^ < ц (ЦХЦ^ПуП^).

)«о

где К зависит только от т.

Из оценок (9) и теоремы I.5.I. следует неравенство

am. â

) IlVttf^t)!!^ «M.dlfll^llyll^),

J-о

no существу означай» а разделимость оператора

2m»l

Ау = ) A. (t)yi>(t)

i»o

в пространства Lp f(R)n.

Перше два параграфа главы 2 посвщены некоторым прилояеншш теореы разделимости в пространство L р ( (R)". Введем пространство 5Ç"*"(R,q) с нормой

(•ч * ■'р

Л U""*" {t ) rdHfl q( t )U( t ) |pdtl.

я a '

где q(t) , |q-(t) < asq^ít), x >0.

Цусть F -щггегральшй оператор с адроы P(t,q) = ^(t.iXpeít.t)

где

, 00 я1в(1-х) я

í^lt.t) - J ! da . 96(t,t) = 9(e(t-T)ge(t)

-со ia +q(X)

a функция ф( t ) задается по фориулем:

<p(t) - sin {-£- (l-t?)4" } (-1 < t < 1); <p(t) -O (|t| > 1)

Сут»ствует число s > 0 такса, что справадлява

Теорема 2.1.I.Пространство Vf""* (R,q) сшсизаотся фупяцзгза ü(t) езда

ü(t) = p(t,T)v(x)di (y « Lp(R ))

В этом интегральном представлении функция v(t) определяется единственным образом» Справедлива оценки

VMk™ > < |UsS!^m+í(R ,q)| < Ojlvll^ , где числа os,Ca > о ш зависят от u,v.

Пример. Пусть q(t)=1» Иогда (R ,q) есть обычный класс Соболева ). Дщю Fit»*«) будет инет вид

Этой 2м»1

F(t,q)=-^(-irSisn(t-*) Y^ 'q7e a^|<pg( t.t)

7-° 7*»

где о -ксрн& уравнения а4м*а+1=0 , лааадаэ в верашй

я

полуплоскости и - j t-^|(а).

§2 пссзя^ак сщэикаи собственных значений в собственных фушщий оператора

Ау = yram>1>(t)+q(t)y(t)

в пространстве

Пусть q{t) > t, q(t) е 0*(R ) н |q'«»| » »(1) <TQ(t> (t-и») (Ю)

Теорема 2.2.1. Пусть y(t) собственная функция оператора A, Ay=\y„ y(t) e Lp(R ), Hyll^l, 1 < p < », X £ G. Пусть выполняется оценка (10). Тогда найдемся чксло H, ва аьаисяцаэ от к,у» такоз, что дас ¿абого целого числа H ^ 1 справедлив© неравенство

i UMCt)y| , <|Г(|*.|+1)Н.

Б тоетам параграфа найдены условия прк выпэлнзшш которых подучвша хоэрцйтивкые оценки для налкЕайшх даффэранциашшх уровнений кздг

э^у""' +p(t,y(t))y = f(t), (-оо < t < t»> (11)

где (-1 )""а, если я-чотаое число и Qrn = 1 (или 8т -1 ) в произг-ои случае»

ПрОДООЛОИШо «то

F(t.-n) = q(t) -i- R(t,T))t

где фршщя q(t), R(t,T|) удовлетворяет оценкам

i

|q"(t)| ^ щ' " (t), (t € R )

eup|R(t,T))| < eq(t)

"€C

Теараца 2.3.2. Пусть £ e L (R ), 1 < p < « . Тогда сус;аству1те ïcksm числа œ, e, что при выполнении ут-гзгшшх шгэ условий для решения у e lp(R ) уравнения (11) выполняется оценка

||ут>пь+ пт,у)уць < с (пщ^+пуи^).

где часло С зависит только от ш.

Основное содержание диссертации опубликованы в следующих работах.

Литература

1. З.Х. Рахиыов. Коэрцитивные оценки для дифференциальных операторов начетного порядка (Тегисн республиканской научно-практической конференции колодах ученых а специалистов, Душанбе. 13-14 апреля 1989 г. стр. 74-77).

2. Рахиыов 3. I. Коэрцитивные оценка и разделимость для ' дифференциальных операторов начетного порядка (Доклада АН

Таджикской ССР• 1991. -н5,стр.278-381).

3. Ргхгаюв 3. X. Раздалшюсть деЗффогщаалыюто оператора начетного порядка с ыатричным потенциалом (Материалы республиканской научно-практической коифзрекцпп иолодах ученых и спедаалнстов Таджикистана, Курган-Тюбе, 18-21 апреля 1991 г. стр. 66).

4. Рахилов 3. X.« 1*ярзоев Р. Р. Оценки собственных функций и собственных значений оператора у1т*1>+д(1;)у (Цатеряалы Республиканской научно-практической конференции ыододых учошх и специалистов Таджикистана, Курган Тюбе, 18-21 апреля 1991 г. стр. 67).

5. Рахимов 3. X. Оценка роста репений дифференциальных уравнений начетного порядка, с матричными козффяциентЕыи (Тезисы докладов Республиканской научной конференции "Теория приближения и влозения функциональных пространств", Караганда, 20-22 июня 1991 г. стр. 101).

В заключении автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, член-корреспонденту АН Таджикистана, доктору физнко-иатеиатическнх наук, профессору Бойиатову К. X. за постановку задачи и постоянное вниыание к работе.

25.08»1993г.Заказ 99.Тирая 100.ТГУ.