Спектральные свойства сингулярных обыкновенных дифференциальных операторов нечетного порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах.рукописи

МУКИМОВ ВАНИЛЬ РАФКАТОВИЧ

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СИНГУЛЯРНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НЕЧЕТНОГО ПОРЯДКА

01.01.(72- дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа-1996

РАБОТА выполнена на кафедре дифференциальных уравнении Башкирского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Я.ТХУЛГАИАЕВ

Официальный шшапеши: доктор фнзико-матемашчсскич наук, профессор Х.Х.МУРТА31Ш

кандидат физико-математических наук Б.П.СУЛНПМАНОВ

Ведущая организации: Московский государственный

университет им. М.В. Ломоносова.

Защита состоится1^96 в7У"час. на заседании спеднализироваппого совета К 003.59.UI при Институте Математики Уфимского научного центра РАН Н51КЦШ, Уфа, ул. Чернышевского, ИЛ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Математики УИН РАИ.

Автореферат разослгж " / " 0 ^ 1996 1

>'ч<ч1|л1 сскре 1ар|, специали шронаымт о и>вс 1,1, канд фаз. ii.ii паи-

С.И ПЧШ-Н;

I. Общая характеристика работы.

Актуальнооть_тега. Спектральная теория линейных операторов играет фундаментальную роль в различных математических дисциплинах и та приложениях. Дифференциальные уравнения и многие разделы теории функции стимулировали развитие спектральной теории. Большое влияние на спектральную теорию всегда оказывали такие науки, как квантовая механика и механика сплошйх сред.

Одной из основных задач в теории линейных дифференциальных операторов является исследование их спектра, а также определение их индексов дефекта в зависимости от поведения коэффициентов соответствующего дифференциального выражения. Ватенч разделом спектральной теории операторов является также распределение их собственных значений. Такие задачи изучались Ч. Титчмаршем, Б.М. Левитаном, М.Ш. Бирманом, М.З. Соломяком,' М.В. Федорюком, М. Отелбаевым, А.Г. Костюченко, И.О. Саргсяном, Я.Т. Султанаешм. Ими, в основном, рассматривались симметрические операторы о вещественными коэффициентами, а теория дифференциальных операторов с комплексными коэффициентами еще далека от завершения и в настоящее время интенсивно развивается.

Дифференциальные операторы с комплексными коэффициентами изучались Жильбертом P.C., Хинтоном Д.Б., Пфайфером Ж.У. Но ими рассматривались только операторы третьего порядка со степенными коэффициентами. Мало изучены дифференциальные операторы нечетного порядка общего вида, когда коэффициенты имеют правильный рост на бесконечности.

Поэтому ' исследование спектральных свойств для дифференциальных операторов с комплексными коэффициентами, россматривемнх в диссертации, является актуальной задачей.

Пелью_работы является исследование спектральных свойств дифференциальных операторов в зависимости от поведения коэффициентов соответствующего дифференциального выражения. В качестве объекта такого исследования берутся конкретные дифференциальные операторы.

_Нахчная_ноБизни. Доказано, что. индексы дефекта в случае операторов нечетного порядка в отличие от операторов "четного порядка с вещественными коэффициентами могут быть разними. Получаны условия, при которых индексы дч^кта операторов нечетного порядка равны, причем для оператора третьего порядка в

„ч-

терминах коэффициентов, для оператора нечетного порядка общего-вида в терминах корнай характеристического уравнения. Полученное результаты обобщают результаты Жильберта P.C., Пфайфера Ж.У. ,t 15, с2з.

Те2р91ИЗеская ^?_щактотэская_значшость_резулътат . Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть применены в теории обыкновенных дифференциальных уравнений и в теории операторов нечетного порядка и в различных их приложениях,.

Ащюбадая_работы. . Основные результаты диссертации докладывались на семинарах д.ф.-м.н., профессора Я.Т. Султан^ела /кафедра дифференциальных уравнений БГУ. (1992-19Э5г.г.)/, д.ф.-м.н., профессора К.Б. Сабитова /кафедра математического анализа СГПИ, г. Стерлитамис,1995г./, д.ф.-м.н., профессора Л.А. .Калякина /Институт Математики УНЦ РАИ, г. Уфа, 1995г./, на региональной научно-практической" конференции /Нижневартовск, 1994г./, на международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" /Саранск, 1994г./.

Публикации. По теме . диссертации ' опубликованы 4 работы, список которых приведен в конце автореферата.

Стщктура_йиссдртацш1. Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы,содержащего 47 наименований. Нумерация теорем, формул трехиндексная.Например, теорема 2.2.1 (формула 1.2.2) означает , что эта теорема I из 2 Главы 2 (формула 2 из 5 2 Главы I).

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во БЕеденшг сформулированы цели и основные результаты работы. Приведены некоторые определения и вспомогательная теорема, необходимые при излотении работы.

Первая глава диссертации состоит из трех параграфов и посвящена изучению аиаитотического поведения фундаментальной системы решений к их квазипроизводных уравнения при х-*«. .

1. Gilber t R.C. The düficiency index of a Lhird-order operator-

Pd^ific X. maUi; 1977, v.e-Q, N2, p. 309-392» a Pf-jiffer 3. W. ViCLcienvy ir.dic. es cf a thircf trder equatlon-.'ia-ю] ГЛГГо nni-ial Еоиэ'аол', ¡ 377, v.ll, p 4'34-iGO

В § I исследуется акгяиотика повеления решении уравнения

-y"+l(plx)y'+<р(х)у)' }+q(:c)y~Xy, С<х<ю С1 J

гдэ р(ю-двзждм !?япр9ун2'ю диф£еррудируекая -функция, функция q(x) обладает абсолютно копрерывкой производной q'<x). Асимптотика поведения решений уравнения (1) исслэдуется при м™ по некоторым кртгвым в комплексной плоскости. При атом шыучепы . асимптотические форму ли, равномерные по х«=го,<»>. Доквзпа теорема.

Теорема I.I.I. Пусть выполнены следущие условия:

1) q(x)-> -со Прй х-мо

2) При достаточно большом !?>0 для х>Я функция Р' Сх) II q' (х) не меняют знак и

¡р- (х) l*o£lp(x) laJ , 0<с<~ |q'(x)|=o[|q(x!|"] , 0<ß<3

3)

Р (х)

Ив-=с<оо

и пусть х-«». хеГ, где

Г={Х: сг>О, 6<т<ог, <5>0,' 0<г<1 >

Тогда уравнение (1) имеет два линейно независимых решения

Ч; (х,Х) , ' '

к *

для которых при х-»» и хеГ имеют место асимптотические формулы, равномерные по хе(о,а>);

V (х,Х)=У, (х,Х) (1+0(1 ) >

к КО

У^(х,Х)=мк(х,Х)Уко(х,\) (1+0(1 ) ) , к=1 ,а где р (х.м-корни уравнения

- G -

L äu J

[> (t, \ ) dt.

В §2 рассмотрено равнение третьего порядке-

-aiy'"+(р1(х)' -l(qo(x)y:'-Hq(x)y)' )+PoCx)y=<cry (с^О), (8) 0<х< оо

где pi(х),чо(х),ро(х;-дважды непрерывно дифференцируемые функции.

Основным результатом §2 является теорема. Теорема 1.2Л. Пу..ть выполнены следующие условия: I ) (х) I —МО при x-fca>

2) При достаточно большом R>o для функщга ч^<х>. 'не меняют знак и

>>

|р;(х,|"о[|ро(х,1с<°] • °«vl

|pi<x>l-o[|pi(x)|c<1) 0<«.<§-

|q;(x)|=0[|qo(x)|i5] 0<Г9<|

L г~

3) Um р (х) |р (х) | ~э =а , Lim q (х) |р (х> I ~э =Ь

г 1 • о 1 i О 1 о ' о

х-к» •*"

.Тогда уравнение (2? имеет три линейно независимых регения у (х,сг) ,для которых гфи х->оо справедливы асимптотические формулы:

У (х,сг)«у (х.стН! +о(1 ) ) к ко

у'р>(х,о-)=у''(х.сОУ,. (х,<7)С1+о(П), к=1,8,3

v: к ко

где и (х,о-)- корни уравнения

г 0/<х,<т.и I

/Сх, er, p)=-3tM +Р (x)(J -S(q ^+Рп-(сг=0

В 53 рПСЧОТСПНО ДИ'11|ЮрОНЦИаЛЫ!ОЛ у;ШШЮ|Г?.<! произвольного

нв'итнога порядка:

( -1 ) 2(у

к=о

/ . <к) рк (*)у Ск> П-1

'»У (-1)'

¿-О

Ч(х)у^М Ы^У (ст/О), 0<х<оо

(3)

где Р (х),к-0,1....... ч (х), .1-0.....п-1 дважды

непрерийно-дкф&зроацируемые функции.

Получена следующая теорема: Теорема 1.3,1. Пусть выполнены следующие условия:

I) |р (х) |— »03 при х—»1И

2! При достаточно Солыясм ДЛЯ х>й фуккаш р <х),к=0,1.. . . .п.*

ч !х), .....п-1 но меняют знак и

J

|р' (х) |=оГ|р (XI |ак] , 0<а<1+-Х—- , К =-0,1 , . . , ,п

^ J 11 4п-4к+3

|Ч' (X) |=оГ|Ч (х) 0</3<1»-?-— , Ь'О, , . .

I I- 1 -> 1

?) Для всех 1, _)--!,.. ,£пп и

Н (х, Л о<Вь|----------|-:А ,

^ ( х, <1 )

где а, в-1юст0яш1ы9 числа.

4) ДЛЯ хйЯ 1! Кй ^ (х,«)-^ не ШНЯЮТ ЗИВК.

Тог:;а (3) им:-=>т ¡зп+1 н ¡зависимых ри-шт:!

,л.!'1 у о гсг:;х ;>гл --->.• с-праго;;.;.л аскмнтсяпчоскяв -'ормул*:

-в-

, (Х,сг>=и, (х, СГ) V (х.с) (1+оС1 ) ) , р=0,...,п

к К ко

I пЛ

У ' (х,<7) (1 +о(1' ))

, п-1

V, (х,ст) к

** ^ - п к к^ ко

(х, а) (1 +о С1 ) )

Ук Сх,сг)=^"(х

мГг"в-4Р к'^+ч н^'К (х,а)(1 +о(1))

Ч к 1 к О к J ко

.¡=а,... , к=1 ,а.....ап+1

где н <х,<г)-корни уравнения:

П п-1

Уь (х,а) =

г ¿>/<х, / I- . Лц ]

Определение квазипроизводной у'1" см. в ¡3).

Условия теоремы 1.2.1 проверять легче, чем условия теоремы 1.3.1, поскольку они сформулированы в терминах коэффициентов. '

Вторая глава' диссертации состоит из трех параграфов и посвящена изучению индексов дефекта и характера спектра некоторых .операторов. Равномерные асимптотические формулы, полученные в §1 Главы I позволяют не только найти индексы дефекта соответствующего минимального двМиренциального оператора, но и вычислить асимптотику дискретного спектра произвольного самосопряженного дифференциального оператора

3. 'л'. n. А. . Оеп&га112ес1 еуплтйЪг 1с-огЦ1паг/ ьИГГе--

е>.р1 еаею!!^; 1Л_ц±ог у-пд еиу агсЫеу уоог

♦ Ukui.de Са); 1670 р., ЗвЭ -30?

- V

г )

В §1 исследована асимптотика рашгределения собственных

значений самосопряженного оператора ь, порожденного а 1-г[0,оо) дифференциалымм выражением

1у=-у"+1 р(х)у'+ |р(х)у^

то есть асимптотика функции

■•ц(х)у , 0<х<ю

Ы(Х) =

n (>.>, х>0

-ы со, \<о , где

1 , 1

о<>- <х -х<х <о

п П

V .....

расположенные по возрастанию абсолютных величин.

Получена теорема.

Теорема 2.1.1: Пусть функция ч<х> обладает, абсолютно непрерывней производной функция р(х)-двежды' непрерывно

дифференцируема, и пусть нри достаточно большом й>о и выполняются условия:

1) я(х)<-гх2+б, г>о, ¿>о и ч'(х) не меняет знак для достаточно больших х

2)

|р' (х) |=о£|р(х) 0<я<|

(х) | = ^ 0|ч(х) 0<(К

3> р(х,

11т —

I / , I

>с-*оо | я ( х) |

а функции

-ю-

со _

I. 7=7 '

при достаточно большом /•■ удовлетворяют неравенствам:

3) аа См). 0<и<(Э<1 ,

+ + +

где а,/? -постоянные числа

6)с СГ (^)^СТ (^¿С^СТ 0<С1<С2<«

Тогда для всякого самосопряженного расширения минимального оператора ь при справедливы асимптотические формулы:

В 62 Главы 2 вычислены индексы дефекта оператора и, порожденного в ьг[о,ы) дифференциальным выражением

1у=-£21У" » [р1(х)у' j +(яо(х)у)^+Рс>(х)у

где р„(х), рЧх), ч0(х) -дважды непрерывно дифференцируемые функции. Основным результатом §2 Глебы 2 является теорьма. • Теорема 2.2.1. Пусть выполнены условия 1,2,3 теоремы 1.2.1.' Тогда:

¿ц)-Если ро(х)—>.» 1фн х—гю, то щщвхсы дефекта оператора и

Ш 2 • Ш 2

раыш (2.1), когда ((''о1*1] "а*«*. Если ко ((р0<х>) то индексы

' о

■■ ■ экга оперятора ровны (3.3), когда «. и ь удовлетворяю : II 'Жотву

и равны (2.2), когда

9 2.2

— 4Ьо —Г—+аа1Ьо< —

(б)

ь> Если ро(х)—.-оо при х—«».. то нндвксы дефекта оператора ь равны (1.2),.

когд!

да Цр0<*>| "¿к--*. Если же ]]г\,(х> | .то индексы дефекта

оператора ь равны (3.3), если выполняется неравенство (4) и равны (2.2), когда выполняется неравенство (Б).

В §3 исследованы индексы дефекта общего линейного дифференциального оператора ь, порожденного в ьг(о,«>) дифференциалыпш выражением

(к> л-1

где к»о,...,п, ч.(х) ¡-О,.. ,-,11-1 - дважды непрерывно

дифференцируемые функции.

Установлены.еледующие теоремы:

р (х)у

Теорема 2.3.1. Пусть го(х)—при *•—»<» и выполняется условие 2 теоремы 1.3.1. Предполоитм, кроме того, что

£1т р^Сх) Гро(х)]гп''1 =:

х+оо ^ '

2 к

- -1

1 , к=1......

2 1 +1 ^

11в ч.(х) Гро(х)]2"** =1 , j=0.....11-1

Тогда:а) Если п-четное число, то индексы дефекта'оператора' ь

г

00 -2 п

равны (п.п+1), когда ^ (5<) ^ гг''1. ¿хя» и равны .(п+1 .п-н ) ,■

"о

00 - 2 П

когда |[р0(х)] 2Л+1 ^^

X »>

О

ь) Если п - нечэтноэ число, то индексы д&фекта оператора I- равны (п+1,п), когда |[р0(з<5] гп+4 с!х=оо и равны {п+а,п+2)(

когда |[р0<х)] 2п+1 <*х<

2п

со .

Теорема 2.3,2. Пусть р0(х>—* и выполняется услоьле 2 теоремы 1.3.1. Предполозким, кроме того, что

Цга рк(х)|роСк)Гг,+ < =1 , х-» со ' '

Итч.(х) Р (Х)Г =1 , ,)'=0, . . . , п-1 J ° I

Тогда: а) Если п-четнов, то индексы дефекта оператора I. равны

по - 2 П

когда ||ро1х) |гп*1 dx=«. и равны ¡шьпм;,

когда |"|ро(х) |гп**

2 п

(1Х<00 .

ь) Если п-нечетноэ, то индексы дефекта операторе ь равны (п, п+1),

а> -2п

когда Лр0(х) <1х=0° и равш 1п+2,п<а)

когда Лро(>с) йх<м ^

Отметим, что во всех исследованных дифференциальных операторах, вклад всех коэффициентов соответствующих дифференциальных операторов одинаков.

Выражаю благодарность моему руководителю профессору Я.Т.Султанаеву за постоянное внимание и помощь в работе над диссертацией.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

1. Мукимов В.Р. Асимптотика дискретного спектора для оператора второго порядка. // Деп.в ВИНИТИ 02.12.92., N 3419 - В 92, 23с.

2. Мукимов В.Р. 06 индексах дефекта симметрического дифференциального оператора пятого порядка. // Тез. докладов мзздународной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения"- Саранск ,1994.,' С.147.

3. Мукимов В.Р., Сул'.'лнзчв Я.Т. Об индексах дефекта симметрического .дифференциального оператора третьего порядка //Математические заметки, 1995, Т.58, вып. З..С. 468-471

4. Мукимов В.Р., Султанеев К.Т.. Об теэкзег. я-зфэкта скдае^ячиского дифференциального оператора нечета *то //Дкффоретдалт ч:;.? ург^-ляд. 19:-Г. ,

о

Муюшов Ваниль Рафкатович

СПЕКТРА1ЫШЕ СВОЙСТВА СЩШЯНШХ ОБЫКНОВЕННЫХ МЮЕРЕЩЩЦЩШ ОПЕРАТОРОВ НЕЧЕТНОГО ПОРЯДКА

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

3 К 3

ЛР Л 020259 от 30.10. 91.

Подписано а печать 18,03,96. формат 60x84/16. Бумага типогоафская Я I. Печать офсетная. Уол.печ.л. 0,80. Уя.-иад.л. 0,8?. Тираж 100 Заказ 100,

Редавдионио-ивдатвльский отдел Башкирского университета Ротапринт Башкирского унивароитета. 450074. Уфа, ул.Фрунзе,32