Оценки роста решений дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

- - " ^

ишшстврство образования республики тадщшстан тадпикскш государственный университет

Сгшцяакпзгфованпый соват К 065.01.02

На правах рукописи УДК 517.518? 517.956

рахиюв зикрулло хаируллоеелч оценки роста решп5и дизйерешщальных уравнения нечетного порядка

01.01.02-Д1'4ф0ре1щяалькм уратаапля

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на сонскашв ученой стелет кандидата фязико-иатвиатнчвсша наук

ДупаИ5е-1993г.

Работа вшслненна в Тадхшкскоы государственной университете

Научный руководите ль- член-корр, АН Республики Таджикистан

доктор фазико-иатаиатических наук, профессор Бойыатов К.Х.

Официальное оппоненты

Доктор физ-лхо-штаыатических наук,профессор Сатторов 4.С. Кандидат физико-иатеиатических наук, доцент и.Н.Нсиатов Ведущая организация

Банкирский государственный университет

Защита состоятся " " СМ^ГХ^лХ " 1993 г. в

_час. на заседании специализированного совета К 065.01.02

по присуждении ученой степени кандидата физико-математических наук в Таджикской Госуниверситете (734025, Душанбе, проспект Рудаки, 17).

С диссертацией иожно ознакомиться в научной библиотека Таджикского Госуниверситета.

I * - оХусЯК

Автореферат разослан " ОУШЧ 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета^ кандидат фазико-иатеиатических наук, доцент О.Х.Хосабеков

Общая характеристика работы Актуальность теш. В тзсрин дг-ффзрэкцкальгаи уравггзяЯ особое место заншдаот вопроса о гладкости ресакзЯ a as производных.. Для ограниченна областей а эляагекчгеаэг даффаренциаяьшх опратороз с гладаяиа козффицнвЕтаця эта теиатика подробно изучало Сшггулярнца эз дкфферэкцаальннэ оператора пэрвкш систематнчзсет начали изучать В.Н.Звер5Г?2 я Ы.Рврц» шгенко ш прииздлвгят постановка задача о раздаляюста дифференциальных операторов.

Речь идет о чтобы ваяснии, явяюзтая лн производные рвЕешя суг&ируекшж з пространства Ър с Е8г.оторшш агсзрзд заданный^ ззсамй котораа созпадавт с подуди ногффацангоз оператора при еоотвтствувдгх производите Taicsa образома очакздно, что указашша весовыэ функщш в таорзша разда-талоста являются неулучшаешми,

В.Н.Эзарятя и М.Рирц особенно но^р-о-Зно пзу^агз раздэлзшость оператора Штурма-Ляувялля и aro сгспо mü. Ваосяедстшя эта теиатнтса разрабативалзсж в работах К.Х.Бойматоэа» М.Фгаябэева, М.Р.Гасшоэа, Ф.Р.Максурсэа» О.АЛзуткксва и su учеников. За рубзгон этой теузтзкой занимались й-ВоАташсон» УоД.Ззано, АсЦзтле и дртгаа математики»

Воз работа жеггстеся в литературе s ес-нсзнсд относятся к уравнениям четкого порядка. Обшшовашшз дЕЙерзЕцзаяьпаэ операторы нечетного порядка недавно рассиатрквалис á.SapF/cossa в гильбертовых, пространствах функций сукиируешх с хвадратогь Отаеткм, что методика работ А.Иари&ова существенно опирается на гкльбертовость Ь2-пространств и поэтому отличается от иетодики нашей работы. - Кроме работ А.Шаркфова имеются отдельные ргбота ОоБиртебаева посвященнне уравнениям первого а третьего порядков в L ,1<р<о.. Тагаш образом случай р=а> для уравнения нечеткого порядка ранее не рассматривался.

Данная дисссертзцяя посвящена нссл9Дова:г.з Lp-разделимости, 1<р<ш, с весон, для уравнения

1ТЯЧ

) "* a (t)y'3>(t)= f(t) (-®<tMo) (1)

Основное достижение работы, кроиа того, что

рассматривается уравнение произвольного начетного порядка, заключается в той, что число р можеть принимать произвольное значение; и что наиболее существенкно, число р ыохет принимать также значение р=®. В главе 2 даны ряд приложений в теорем разделимости к весовым пространством; получено представление функций из весовых пространств; получены также оценки собственных значений к собственных функций дифференциальных операторов, действувдих в пространстве Методика данной работы переносится м на нелинейные дифференциальные уравнения вида

где вт=(-1 , еслн т-четное число и 6т=1 (или 6т=-1) в противной случае.

Цель работы. Для дифференциальных уравнений произвольного нечетного порядка, заданых в интервале й =(-ш,+со) выделить условия разделимости и получить соответствующие коэрцитивные оценки в Ьр1(Ю,(1<р<+<о); получить коэрцитивные оценки для скстем дифференциальных уравнений нечетного порядка в пространстве привести наиболее важные приложений

этих результатов.

Метод исследования. Основными методами исследования являются современные методы уравнения в частных производных я функцианалышго анализа. Доказательство теорем основывается на построения правого регулгфизатора; применяются модифицированный К.Х.Войиатовш метод Титчмараа. Разделимость в 1аг-пространствах устанавливается предельный переходом р -«+ои.

Научная новизна. В равномерных по ре(о5+а,)» Ьр-оценках,, -установлена ь^-разделимость для обыкновенных дифферендаальшх операторов произвольного нечетного порядка; -установлена разделшшость дифференциальных операторов в случае р=со§

-получены коэрцитивные оценки для некоторая классов нелинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка; -для с&стек дифференциальных уравнений нечетного порядка подучены коэрцитивные оценки и доказаны теореш разделимости; -получено интегральное представление функции Грина; -установлены теореш существования и единственности систем произвольного порядка в весовых ь -пространствах;

-выведена формула, дащая спнсапяа фнукций, изыенящихся в некоторых весовых пространствах типа Соболева; -Получена оценки собственных значений и собственных функций в пространстве ),

Теоретическая и практическая ценность. Исследования

содерзаэдеся в диссертации, носят теоретический характер и иогут применяться в спектральной теория дифференциальных операторов.

Апробация работы. Основные результата работа докладывались на ШЕфеспубликанской научно-практической конференции "Теория приближения н вложения функциональных прстранств"(г.Карзгавдз»1991г.республиканской паучко-практи-ческой конференции иолодах ученых и спацнистсз (г.Дуаанбе, 1599г.); республиканской научно-практической конференция иолодах ученых и специалистов (г.Курган-тобз, 1991г.)5 научно-исследовательской сеыинзре отдела функциональней анэпз 13 о ВЦ АН Республики Тадеикистан "Спектральная теория и разделимость дифференциальных операторов" (руководитель член-корреспондент АН РТ, профессор К.Х.Бсйиатоз), 1938-1990хт.

Публикация. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 статьях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объен диссертации. Диссертощ'Л состоя? пэ введения, двух глав и списка литература.

Содержании диссертации. Первая глава содерзят пять параграфов. В первой параграфе приведена необходимо определения и известные результаты, используешга э дальнейшей. В остальных четырех параграфах излагается получэйенз автором результата. Подробно остановился на результата этта параграфов. В §2 расиатривается дг4ферешсюлы103 уравнение у'^'Ш+чШу^Ы«;) (-в^ч'®), Г(1)еЬ1Д)1 (И ) (2) функция уШ наснзается регэяяэа уравнзпая (2), вела ) я равенство (2) выполняется, почта псаду в й. Относительно функции ) предполо-пы, что ч^ес^я)-полегзтелыш! фушвдш, а (й 1» п кэюяяяэтся оценка ^(^«(Ов'*9«;), (t—►

^ 9 - 257Т- •

Пусть '(ЮеС^Я )-полоянтелышя функция п иаюлняэтея

оценка

нч^иож^ш, к—► «)

Теорема 1.2.1. П$ш выполнении указанных выше условий дяя рвиешя у«Ьр г(й),1<р<ю, уравнения вида (2) с правой часть» £еЬр г(Н) справедливо неравенство

где число И не зашей? от р„у,£

Здесь Ьр ¿(в. ), (1<р<®)-весовые пространства с нормой

Ьф .-пространство измеримых фнукций на В с норной

И^Ы^Н11 почта всюду в й | В третьей параграфе рассматривается дифференциальное

I

(-»<1;<а> ) (3)

) .о

Пусть коэффицент имеет вид аоШ=аШ+аШ» где а(Ю>0>о,

|а(«;)|=о{1>а{1;), (t-► ®)

Взздаа обозначения «з^МГЧ^аШ. Цредаоясяим»

что ь(1;)>0, «ЗШеОЧЮ и а'(4)=«.(1)а(4)0(4),

»♦6 1 0'Ш«(1)0 (t),(t ш), в=-55ЙТ •

Пусть а.(40е С«><Е ) (¿=1,2пн-1> и при выполняется оценка,

¡а.""«!;)! = о(1)а^)С}"'->в (Ю (4)

Относительно весовой функции £(!;) предложим, что 'Ше о1 (к) - шшшательная Щштя в выполняется оценка

Теорема | 3 I. Пусть выполнены указанные выше условия. Тогда для всех решений уеЬу4 (Р. ) (1<р^*>) уравнения (3) с щшшй часть» ) справедливо неравенство

е:

I М(| |£| |Рд+| |У| 1яд) . (5)

1»о

где шело М не заваент от р.у.Г-

1г условия (4) т теоремы | 3 | следует справедливость

1|рд< ы,(||Г||,л+||у||„л>

4-о

что означает раздеязнссть оператора

ап*»»

Ау - ) а.ШУи) (6)

в пространстве ЬрЛ(й ) (1<рФ>).

В 4 рассматривается система Дйффарэнцаальшх урггатанзй

= т). < 4 < <*>) (7)

гда <3<^)-пакшггальш <шрадалакная0 зрагатово катряца

О« —ЧЖ>

ОШ

Пусть • <<^(1:) обозначают собстввшшэ

значения матршда 0(4)« Норма матраца А ■ (а^)"^

определяется жаа норма оператора кг 0"-—>0".

Цредашикы,,' что кга^^^К...«^^ где [а>0 и

||а'Ш|| о(1)а1*в(1;) (t-к»),

<(1) -далозательная функция класса О* (Я) н выполняется оценка

¡^'(4)! = »<1)*(1;)а9<0 (4-»«),

^еооаиа | 4 |. Пусть наполнены указанные ш=е услсвзя. Тогда для решения уеЬр 1 (Ю, 1 < р < уравнения (7) с правой честью Í€L> 1 (а)" справедливо неравенство

Цу,зт*а>11рЛ + I|<Э(* )у||рд СИСПГН^+ПуП,,);

II | |м-аориа вэктср-^ушипа и^Ы^и),...,^^)) определяется по формула

г ОТ 5>

1|и||р>1 - (/П^Ио" 1 «р < ~

И При р = ю

I |U| = infjWl |0| |cn <(t) < M П.В. В R }

5 посвящен оценках роста решений дафэренциальныз. уравнений нечетного порядка с матричными коэффициентами:

2т* 1

) ^(tjy'^t) = f(t), (8)

т,

где А. (^-матрица (а^Чм^,

Пусть Aam>i{t)=h(t)l, где I - Единичная патрица, h(t), положительная функция. Предположи, что матрица A0(t) имеет вид A0(t)=A(t)+ï(t), где А(t)-положительно определенная матрица с нанмангвш собственниц значением a(t). Предположим, что

о < a(t), (о>0), | |î(t)| |=о(1 )a(t) (t-►«>). Обозначим,

Q(t)=A(t)h~*(t). Пусть 0«;)еО*№;Еп<Юп) И 11а"<t> 11 =«■ < 1 )**е<t>

(t-►<»). Здесь End сТ-множество (пхп)-иатриц. Пусть

A^ttec'iR îEndC") (j=1,2тИ ) nnpHO<k<jjiO

||A^(t)|| - о(1)а'^0(4)Ь,н,е(1) (t-к») (9)

Пусть ¿(t) « C*(R ) -положительная функция

/(t) = o(lK(t)(a(t)+1)Ve (t-к»)

Теорема Ï.5.I. Пусть выполнены указанные шве условия. Тогда для всех решений y(t) «= Lpf(R Г, 1 < р < », уравнения (8) с правой частью f(t) g Ьр>;(r' Г справедливо неравенство t

T^lla'-^t^to/^t)!!^ <и (llill^+llyllp.,). (Ю)

j»o

где к зависит только от ш.

Из оценок (9) в теоремы I.S.I. следует неравенство

) -о

по существу означайте разделимость оператора

зи)»1

Ау = ) А.Щу'»«;)

j»o

в пространстве Lp ¿(R)n.

Пэршэ два парзгр&фэ глава 2 посвя^апы шкотор!21 пршюззнаш теорем раадашиостя а пространство L f(R)n. Введен пространство ^"""'(R.q) о нормой

JHf-^tt)|*dt+/|q(t)U(t)|pdt] .

я a J

где q(t) « 1 , |q-(t) $ <2q**0(t), ae >0.

Пусть P -татпрасыпгЭ оператор с ахрсгл P(fc.q) = R0(t,T)<p6(t,X)

гд-3 •

- " _io(t—x) Я

^(t.t) = -2^- J 8 , % te , <P6<t,T) = <p(G(t-r)g9it)

-i» is -»-q{t) а фзтпада <p(t) задается по форыулга:

<p(t) » ein {-§- (1-t*)4" | (-1 < t < 1); <p(t) =0 (|t| > t)

Супзствуот число e > о таяоз, что справедлива

Теораыз 2.I.I.Пространство спаспзготся

фугапда u(t) гада

0{t) « Jïit.lM'Od'C (У e Lp{R ))

В «том шгаагральЕШ представлении функция v(t) определяется едакстваншш образен. Справедлива оценка

0,11'IIl«, » « ,q)| < Ojivll^ ,

где часяа 0s,0a > о на зависят от u»v.

Примере Пусть q(t)=i„ Тогда «^m+1(R ,q) есть обычный класс Соболева îfm+1(R ). Ядро будет шшт шд

3той 2т>й

7.0 7.0

где а„ -корны уравнений z4ra^+l=o ,

я

полуплоскости со = | fc—т J q (*х> =

2 посвящэк ©цанкам собственных значений а собственшх функций оператора

Ay = yramw(t)+q(t)y(t)

в пространстве

Пусть q(t) > 1, q(t) е C*(R ) и |q'«t»| - о(1) q^e(t) (t-«.) (10)

Теорема 2.2.1. Пусть y(t) собственная фушщая osrapaïopa А, Ау=А.у„ y(t) s Lp(R ), I |у| 1^=1» 1 « P « », x € c. Пусть выполняется оценка (10). Тогда найдется «тело И, es зависящее от Х,у, такоэ, что даш любого целого числа fî > 1 справедливо неравенство

П^УНь- » < »^(IM+1 )м-

В травам параграфе найдены условия при выполнении шторах получаша коэрцитивные оценки для нелинейных днффараш^шяьшх уравнений вида

впу'т' +F(t,y(t))y = fit), (-» < t < со) (11)

где (-1 вела ¡п-четное число н Gm = 1 (или 9m « -1) в щхтшздш случае «

ПоедоологзШс что

?(t,T)) = q(t) + R(t,r)), где фушада q(t), R(t,T|) удовлетворяю? оценкш

д

|qa(t)| < »Г и (t), (t € R )

sup|R(t,T))j < eq(t)

Теорема 2.3.2. Пусть i с Lp(R ), 1 < p < «> . Тогда существуют такие числа œ, е, что при выполнении указанных вшю условий для решения у € Lp(R ) уравнения (11) выполняется оценка

llsHlb* l|P(t,y)ylib < О (llfll^+llyllb). где число С зависит только от т.

Основное содержание диссертации опубликованы в следующих работах.

11

Лпторзтурз

1. 9.Х. Рахшов. Коэрцитивные оценка для дпфферонцналъшх операторов начетного порядка (Тезяси республиканской научво-практической конференции иолодох учешх п специалистов, Дуванбе, 13-14 гшроля 1989 г. стр. 74-77).

2. Рахгаюв Э. X. Коэрцтшвтам оценка п разделимость для ' дг4^ренцаальшх операторов начетного порядка (Доклада АН

Тадгпкской ССР, 1991. -ИБ,стр.278-г81).

3. Ргхкиов 3. X. Разделимость дифференциального оператора начетного порядка с иатрнчныа потенциале« (Цатаряаш республиканской научЕо-практаческоЗ конференции молода, ученых и специалистов Таджикистана, Курган-Тюбе» 18-21 апреля 1991 г. стр. 66).

4. Рахицов 3. X., !*фзоев Р. Р. Оценки собственных функций и собствешшх 'значений оператора у<а"~4>*с1(1;)у (Натершим Республиканской научно-практической конференции молодых ученых н специалистов Тадезпсистана, Курган Тюбе, 18-21 апреля 1991 г. стр. 67).

5. Рахвков 3. X. Оценка роста решений дифференциальных уравнений нечетного порядка, с иатричншт когффициентгаи (Тезисы докладов Республиканской научной конференции "Теория прнблагения а влогенкя функциональных пространств", Караганда, 20-22 июня 1991 г. стр. 101).

В заключении автор выражает глубокую благодарность своему научноцу рукоЕодаталэ, член-корреспоаденту АН Тадвакистана, доктору фазико-иатеиатических наук, профессору Бойнатову К. X. за постановку задачи а постоянное внимание к работе.

Ф

25.08.1993г.Заказ 99.Тирад 100.ТТУ.