Теоремы разделимости и спектральные свойства одного класса дифференциальных операторов с нерегулярными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Нацпопалыюа Академия паук Республики Казахстан 0 ^пстотут теоретической и прякладпоЭ математики

ва правах рукописи

а

НуратСс«оа Мусах&и В&йпэисбавяьп

Теоремы разделимости и спектральные свойства одного, класса дифференциальных операторов с нерегулярными коэффициентами

01.01.02 - дифференциальны® уравнения

Автореферат

дягсертащга па содекаяпе ученой степеш деэтора физнко - математических наук

гЛлматы -1994 г.

Работа выпояиака в ¡¡анбыдскоя педагогической институте

Ведущая организация - ИГУ ии, О.Лэиоиосова.

Официальные оппонент - Академик АН Республики Узбекистан,

доктор физиког-кататических наук, профессор Двураев Т.Д.

- Академик РИ АН, доктор ризико-аатематаческих наук, профессор Врагов В.К.

- доктор фазико-иатеиатическкх науз, профессор йлаасеа С.А.

Защита состоится нЛ " " 7'" -/'v 1934 года в часов на заседании специализированного созета Л 53.04.0i в Институте теоретической и прикладкой катесшикн КР.Н Республики Казахстан а о адресу: 430021. г .Плаати, ул. Пугкииа, дои 125.

С диссертацией нсвно ознакоаится в библиотеке Института теоретической и прикладной математики HAH Республики Казахстан.

Автореферат разослан " " 1SS4 года.

Учений секретарь специализированного совета, кандидат фиэ.-цат. наук

Кудахиотсва Й.Т.

ЛКТЫЛЛЫШСТи ТЕМ. Работа является исследованием з об -ласти спектральной теории н качественного анализа.

Известно,что дла оператора Отурма-Лиупияля получено не -мало фундаментальных результатов. Среди них например,Крита -риЛ дискретности спектра А.а.Молчанова (1953) сыгравиий ваануа роль в спектральной теории эллиптических операторов . В Иостояа88 врзма имеется pa3nnv '.ue обобаения теоремы Молчанова для эллиптических операторов! 5ирман U.S..Павлов 5.С. (1961),Назья В.Г.С1973 ).0гелбаев И.0.( 1377).

Для общих дифференциальных операторов решение такой за -дачи з целом далеко от завершения, в частности.насколько нам известно, до сих пор не было результата, показывавшего дискретность спектра операторов саепанмого типа в бесконечной области. С рсьшиец этой проблемы связана такие задачи,как: ПОценки собственных чисел и функции их распределении, 2)Располоаенне спентра. Эти вопроси занимают особое место в спектральной анализе.

Основы спектрального анализа были заложена з ¡835г. Ли -увнллен f Итуриом.а наиболее плодотворное развитие этого направления началось в начале двадцатого столетня с появлением работ Г.Эейля. Например, для линейных эллиптических one -раторов такие спектральное вопроси, как: асимптотика собст -ценных чисе-i и функции их распределения хороао изучена и иы посвящены труды Д. Гильберта . Р. Куранта , Т. Карлеыана, З.Ч.Титчмериа , Л.Хермандера , М.В.Бирыана, М. Г. Гасаиова, Й.Г.Костсченко, Б. К. Левитана, И. С. Саргсяна, X. Грибеля, Н.Отелбеза .К.Х.Бойиагова, Я.Т.Султанаеза и др. Известные к настоящему моыенту результаты по этим проблемам, и весьна исчерпывавшая библиография содаряится в монографиях

М.Рида и Б.Саймона,Х.Трибеля. А.Г.Костичеико и Н.С.Саргсяна, И.Отелбаева .Р.РихтиаАера.

В отличие от эллиптических операторов, спектральные попроси для операторов гиперболического и скованного типов ¿о -лявтся мало изученными. Систематическое изучение спектраль -них вопросов уравнений смезанного типа з ограл* 'виной области начато сравнительно недавно с работ Т.З.Кальыеиова! 1377), Е.И.Ноисеева( 1978), С.ОоноиареваС 1977). Результаты извест-1шв по этой тематике или близкие по содериапнп содержатся в монографиях Й.В.Бицадзо , Е.И.Иоисеова , У.В.Смирнова, В.Н.Врагоаа.

Известна, что собственные числа Яа(г7>12,.), проиуаерован-ные в порядке убивания с учётов кратности, санасопрякнного пологительногс вполне напреривиого оператбра А обладает еле/шизики аппроксинативкамм свойстваыи:

а")Л„=!ГП1П llA-Kll .где ¡fn- совокупность всех конечно-ке ¡Сп 4 " ивртх операторов размерности ко йолъав /7 ;

б)Яп-*0 t когда ..рнчои чем бнетрео стремление к

пула, тел оператор А лучяо аппроксимируется операторами конечного ранга; ^

з) Наилучсее /? -нерное пркбяигеиие К оператора 4 представляется в виде . ГЯ° ^ -собствеи-

нио функций, соответствуете Л; , D случае когда линейный вполне непрерывный оператор А несаносопрязен. свойствами аналогичными а)-в) обладавт так называемые ¿-числа, введенные Виидтом,

Естественным будет исследовать аналогичный вопрос для нелинейных уравнений, т.е. изучить вопрос: *

Д) иокно ли дла заданного нелинейного оператора указать

Лбиоаивда ч-лсловр послзкователъность, которая характерозцет свойства а)-в).

Следует отметить, что во всех исследованиях, посвяценных попросаи а)-в), практически в стороне остался вопрос Д) (цла нелинейных эпбраторов).

Как известно, что иетэди, отработашше при изучении спектральных сеоЛств зляиптичэс: IX операторов, оказиваггск маяоприспосойленнки при рассмотрении спектральных вопросов дла операторов гиперболического и смешанного типов, а такие для нелинейных дифференциальных операторов. Следовательно , по этой причине спектральные проблемы этих операторов требу-ит слецна^ьних исследований и привлечения новых средств и методов.

Этой актуальной теые и посвяцзна настоящая диссертация.

ЦЕЛЬ РПБОТН: 1) Построить резольвенты. найти условия , обеспечивающие дискретность спектра оператора смешанного типа в неконпактнай области. Исследование оценки собственных чисел и функции их распределения.располоаекие спектра. Изу -чвние по'лзателя, характеризует степень уклонения резольвенты оператора смешанного типа от конечномерногэ;

2) Исследование задачи "спектр-поперечник" для нелинеЯ -них операторов типа Шредингера, Дирака и смешанного типа;

3) Исследование вопроса разделимости операторов смеиаи -но^о типа и нелинейных операторов типа Иредингера, Дирака;

4) Исследование спектральных вопросов дифференциальных операторов нечетного порядк.з(несаыосопря«енных):

а) изучение пвзольвенти, оценки собственных чисел по Ймидту и их функции распределения ;

б) исследование резольвенти на ядерность.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе 'использованы слвдувцие методы: ыетод локализаций развитый в основной в работах М.Отелбаева), кетсд априорны» оценок, спектральная теория линейных операторов , теория влояения весоЕых простргнств. метод компактности. метод регуляризации. Кроне этих методов, в частности , предлсвен метод позволявший дстаиовнть дискретность спектра оператора смеванного типа в некомпактной области и получить двусторонние сценки собственных чисел.

НЯУЧНЛа НОВИЗНА. В работе для операторов саеваниого типа в неограниченной области решены следуцие вопроси: 1. дискретность спектра: 2. оценим собственных чисгл по Емидту (5-чи-сел) и функции их распределения; 3. оценки собственных чисел; 4. полнота корневых векторе. Эти вопросу долгие годи оставались открытии».

Тате в работа, поаидиному впервые, исследован вопрос Д> для нелинейных операторов Вредингера, Дирака и для двучленных огораторов нечетного порядка.

ТЕОРЕТНЧЕСКАЗ I ПРШГГИЧЕСШ ЦЕННОСТЬ. Полученные ре -эучыаты представляют теоретический интерес и могут найти применение в спектральной теории дифференциальных операторов, теории краевых задач и других разделах терин операторных идеалов.

№) ЗАВДГЗ ВЫНОСИТСЯ следующие новые результаты:

1. Получено представление резольвенты. Найден критерий компактности резольвент» оператора смешанного типа . т.е. найдено условие, обеспечивавчеэ дискретность спектре.

2. Получены двусторонние оценки функции распределения

собственник чисел по ймидгд С5-чксел) . тем самым получена возиозность оценить собственные числа сверху,

3. Доказано существование полонительннх собственных значений и установлены двусторонние оценки этих чисел,

4. Указано расположение резольвентного инояеетва на коы-плексиой плоскости оператора смешанного типа.

5. Доказана полнота корневых векторов и найдены показа -тэлн . характеризуйте степень уклонения резольвента опера -тора сиепанного типа от конечномерного (принадлежность Lg. бр, Y<p<cx=>)t

6. Получены двусторонние оценки функции распределения поперечников по Колмогорову мнояеетв, связанных с гбластыа определенна нелинейных операторов типа Вредингера, Дирака и двухчленного уравнения нечетного порядна.

7. Доказана разделимость операторов ембланного типа я нелинейных операторов Вредингера и Дирака.

8. Для двухчленного дифференциального оперзтора нечетного порядка: а) получены двусторонние оценки функции раслре -деления собственных чисел по Иыидту, переходящие далее в Формулу, показываищуа оценки собственных чисел; б) доказана ядерность резольвента; в) полнота корневых ве.чторов.

АПРОБАЦИЯ РАБОТН. Основные результаты диссертации л от -дельные ее части докладывались на начных семинарах академика РАН В.А.Ильина.проф. Б.И.Моисеева (НГИ,Москва), член-корр. РАН С.А.Похояаева (ИИ РАН,Москва), член-корр, РАН О.В.Бесога, проф. П.И.Лизоркина (НИ РПН.Москва), проф. В.М.ВраговаСНИ СО РАН, Новосибирск),проф. М.С.Саргсяна, проф. В.И.Буренина (РУДН.Йосква). академиков АН ?УЗ К.С.Салахитдинсва и Т.Д.Дяу-раева, член-корр. AÜ РУЗ H.A.Алимова С Ташкент), академика HAH

РКаз У.М.Султангазина, член-ксрр. HAH РКаз. Н.Отелбаева, члэ:{-корр. HAH РКаз. Т.И.КальмексБа и проф. В.Сыагулова, член-корр. HAH РКаз. Н.К.олиева, член-корр. HAH РКаз. Д.У.Уыбетханова.прсф.Н.Темиргалиева, проф. С.И.Темирбулатова и проф. С..Йлдашева, проф. А.й.йенсык.баева, член-корр. HAH РКаз. Е.И.Кима и член-корр. С.Н.Харина . проф. О.Рахиибер-днева, ВНС Р.Ойнарова ¡обсцвдалксь в личных беседах с член-корр. АН Тадх. К.Х.БоЧиатовьм, проф. В.П.Глувио (ВГУ,Бороне«).

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в латмх 11-18]. Из совместных работ приводятся те их части, результата которых принадлежат автору.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Работа состоит из введения и че -тырех глав, разйитах на 21 параграф. Нумерация формул -тройная: первая цифра указывает на ноиер главы, вторая на номер параграфа, третья - на номер формулы (утверядеяия).

СОДЕРЖАНИЕ РЛ50ТИ. Параграф 1 является введением главы 1. Б параграфе 2 приводятся вспомогательные оценки и леммы . i» точнее исследуется оператор, определенный равенство*

£ г/. - и'(у) * (/22 ЛГу.) - ¿а а (у) с (у)) и

в L2(r), где K(v)~ кусочно непрерывная и ограниченная функ -

- 9 -

ция в /С и К(о)*0, уК(У)>0 , при г/ф О. Для оператора 4т здесь установлены следующие результаты : П получены необходимые оценки в различии» весовых нораах играющие ваинуя роль в дальнейшей ; 2) доказана максииальная диссипативность оператора 4? ; 3) установлена коыпактносгь резольвенты .

В параграфе 3 рассматривается оператор

¿а« - Кш) - г/уу * асюи^ + с(у) и с 1»

первоначально определенный на С^(&) . где

£> « ^(а:. у): -ткх<я, - »о < у < оо

- ынохество состоящее из бесконечно дифференцируемых функции и удовлетворявши условиям И (-я, (я, у) ,

и финитных по переменкой у . Оператор (1) допускает замыкание и замыкание такие обозначив через 1г .

Обозначения : «0^-область определения,Ж-)- область значения оператора, $'$рл -норна элемента ¿р (52) , где - поданомество /?п , -пространство Соболева с

нормой .

Вудеи писать: ЦиЦр . ЦиЦр е вив-.та М^.М^^ .

Предполових, что коэффициенты П(у), С(у), удовлетворяет условив ;

/

1) }а(у)[> 6я>о) - непрерывные функции в Ка^-оо«^

Основными результатами данной главы являнися следуецие

теоремы :

ТЕОРЕНЛ 1.3.1. Пусть выполнено условие 1). Тогда :

а) Оператор Ь*2£ при достаточно больших 2^0 непрерывно обратим:

б) Для .-гзбого ¿Л€3(1.) справедлива оценка

Критерий о компактности резольвенты (критерий Молчанова) к настояцему времени получил далеко идущие обобщения. Основные вехи его развития следувиие: й.И.Молчанов ( 1953,оператор С урма-Лиувилла)-М.0. Бирман. б.С.Павлов (1961, оператор типа Иредингера четного порядка 21>пч - В.Г.НазьЖ1973, оператор типа Иредингера четного порядка 2£>0 на произвольной области в Я" ) - В.Г.Ыазья, М.0телваев(1977, оператор типа Иредингера дробно полоаительного порядка на произвольной области в £п и двусторонние оценки нижней грани спектра).

Из предварительных сведений следует, что вопрос о компактности резольвенты оператора сиеванного типа в случае неограниченной области ранее не рассматривался.

ТЕОРЕМА 1.3.2.(0 дискретности спектра). Пусть выполнено условие 1). Тогда резольвента оператора Z компактна тогда и только тогда, когда для лнЬого Ш > О

у+ ш

/У/—о*> у

£¿/71 J С (О (// . ОО

При -/ получим следуицее утверждение, которое

является следствием теорем 1.3.1 и 1.3.2.

- ti -

Пусть L - оператор определенный равенством

bu * а и + ам я* + c(í/) и

П дг д*

ГД8 □ в _ _ _

ТЕОРЕНа 1.3.3. Пусть выполнено условие I). Тогда:

а) Оператор непрерывно обратим;

б) Для лвбого справедлива оценка

IIй Ls <

в) Резольвента оператора L конпактна тогда и только тогда, когда для любого LÜ > О

£¿rn f a(¿) dt = oo

«

В дальнейшей предполовиы, что коэффициенты Ü(<■/), Cfy) поыино условна 1) удовлетворяет условиям ;

II) С(у)< С0 аг(у), при ¿70>О -постоянное число;

Ш )Ц « sup с OO , Un sup -Н77Г- < 00 ^ Jv-tu Т a (iJ V ' /у-í/r/ С (i)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Будеи говорить оператор L разделимым, если для всех функций líe имеет место оценка

где С -не зависит от tl(z),

ТсОРЕМА 1.3.4. Пусть выполнены условна П-iii). Тогда оператор скованного типа ¿ разделим.,

Вопросы разделимости дифференциальных операторов о ели -чае неограниченной области изучались в работах Хермандера, Эверитта. Гирца, Огелбаева, Бойматова и др.. Все зги работы относятся к эллиптическому случаи.

Вектор Фе ¿л называется корневым вектором ограниченного оператора А , отвечавшим собственному числу Я0 , если (А-Я,Е) при некотором натуральном п .

ТЕОРЕМА 1.3.3. Пусть выполнены условия 1 МП ) и

Тогда корневые векторы резольвенты оператора (1} полны в La (53).

Этот результат, по-видимому, в подобной форме для операторов сыеванного типе, нигде не отмечен.

В параграфе 4 изучается функция распределения собствен -них чисел по Вмидту и самих собственных чисел оператора (1).

ОПРЕДЕЛЕН"?, Пусть J—вполне непренвный оператор. Тог -да собственные числа оператора называется S - чис -

дами оператора Л (собственными числами по (мидту).

Ненулевые S -числа будем нумеровать в порядке их убывания с учетом их кратности, так что

fC' /, 2, ...

Введем следувщт функции 1 количество S*

больвих Я>0.

Основной результат параграфа 4 - это следувчая теорем I.4.I. Пусть выполнены условия i )-iil ). Тогда справедлива оценка

с" ¿Г Jî^mPsit/e^://73/^j + ¿па&) +

А..ОО V V

* £¿7 J 'mes (y 6-fi : J/74'(vi + с/г a ¿y) * c{y)L< ОЛ'%

l (3)

где Cfc&h при уе/?, с2* -/ .

Насколько нам известно, подобные результаты об оценках сингулярных чисел (собственных чисел по Шыидгу) резольвенты оператора смененного типа в других работах ранее не появлялась (по-видиному, впервые рассмотрены автором).

Начало этой проблеме (оценка s -чисел)'полоавно Имид -том при изучении интегральных уравнений с несииетрическиии ядрами. Свойства сингулярных чисел ( s -чисел) играпт ванную роль при исследовании асинтотических свойств спектров.

На основе этой теоремы мы иоаеи получить некоторые вав -ные свойства собственных чисел оператора (I), т.е. слравед -лива следующая

ТЕОРЕЫП 1.4.2. Пусть апполнвны условия П и (*). Тогда :

- н - .

а) Суцествуит последовательность полоеитйльнык собственных значений резольвенты оператора (I);

б) пусть помимо условий !),(*) рыполиеко условно 11П, тогда для функций распределения этой последовательности справедлива следувцая двусторонняя оценка

; С(у) € С'Л~*)< < С Л'7 7пех(уе. С (у) с СХ*), (4)

Г*8 С* С Си) ;

в) Если Л< - верхняя грань спектра из этой последовательности, то справедлива оценка

С'<5~*< Л, < С б'2'

с постоянной С* С(/и) .

СЛЕДСТВИЕ, Пусть выполнены условия теоремы 1.4.1.Тогда справедливо вклвчение

^J^:|л|>•^2^JcJD(¿ -резольвентное

инояеетво ог ратора 6 . где

Отметим что оценки (3) и (4) могут быть эффективно использованы для вывода асимптотических формул собственных значений.

Таким образок показано, что количество собственных чисел бесконечно, указано место располохенне резольвентных мнохеств.

- IS -

поличана верхняя грань положительных собственных значений. Все эти свойства интересны тем, что число работ о спектра оператора счесанного типа очень невелико, ¡¿оино отметить работы Кальиеноза, Моисеева, Поноыарева. Впергие Т.М.Кальмено-выи (19??) установлено, что оператор Трикоки для модольного дифференциального выраяения смешанного типа

- sign г/ г/хх

имеет хотя бн одно ненулевое собственное значение и ненуле -вой собственный вектор. Е.И.Моисеев (1978) исследовал рас-полоаенив спектра для этого оператора. С.М.Пономаревиы( 1977 ) исследован видоизмененный оператор

£и -- v- sign у &уу

В параграфе 5 изучается оператор

¿и --и" + + ¿а&^и + С(у?и (з>

Здесь А - положительный саиосопряленный оператор в гильбертовом пространства ^ ,cC£[0,l)t tify) - функция со значениями в И , Доказан ряд утверадений о свойствах резольвенты оператора (5). В частности доказана теорема о принадлежности резольвенты оператора (5) классу ^о . Наломнни, что через бр обозначашт иноаество всех вполне непрерывных операторов, таких, что

// * С *

где S^ [А) - собственные числа оператора J/J"А .

- 10 -

Очевидно, что всегда Показатель Р характеризует

степень уклонения оператора А от конечномерного. Чем меньвв Р , тем быстрее числа 4т стремятся л нуля и тем лучие оператор аппроксимируется конечномерными.

Вопросах принадлежности классам резольвент различных дифференциальных операторов посвящено' больисе количество работ. Однако, вопрос о принадлежности резольвенты оператора смененного типа классам ^ долгие годы оставался не исследованный. По-видимому, впервые этот вопрос был рассмотрен в дайной работе, т.е. Справедлива следувцая

ТЕОРЕМ/) 1.5.2. Пусть выполнены условия П-11П. Тогда р эольвента оператора I/ принадлежит классу бр , если />> ^

•в _ ,

со г

^ / О у) ¿У <

где ОМ -!шЛп * 1-с С(у)1] + ...

Л/1 -собственные числа оператора А

В параграфе 6 результаты параграфов 3-5 распространяется для многомерного оператора.

В параграфе 7 изучается нелинейное уравнение

ьи~--и„+а(у,]и(х.и)с1х)их+ф^щх^сЬЬ^

с периодическими по X граничными условиями. При некоторых условиях на коэффициентов доказано существование ревений и получена разделимость.

- 17 -

Перейдем к обзору главы 2.

Основной цельи этой главы является изучение в'опросй Д> (си. стр. 4 ) т.е. нахождение таких последовательностей чисел. которые обладают аппроксимативными свойствами типа а)~е) сен. стр. 4 ), о случае нелинейного оператора типа Средин -гера.

Пусть

М>(*")пт]

* К /О < е»о

(вообще говоря, оно представляет область значения компактного оператора),

Одной из общепринятых количественных характеристик ком -пактных множеств (операторов) являются К - поперечники по Колмогорову.

По определенно /Г -поперечником по Колмогорову множит« ва М называется величина

с/к (м, ¿Р) - а*-¿л/мр ¿л/Ци - VI ,

где ¿Сг подпространство размерности /Г .

Заметим, что если в ¿г рассматриваемый оператор самосопряженный и вполне непрерывный, то поперечники по Колмогорову совпадают с собственными числами. Это свойство было обнаружено Д.Н.Колмогоровым (1936) при исследовании поперечников соболевсни* нлассов И// а 6Я .

Собственно, вычисление поперечников функциональных классов является одной из важных задач современной теории приближений, которой занимались многие математики (й.Н.Колмогоров.

В.И.Тихснироп. М.Отелбаев, Scholz, Кол1в,Х.Трибель, К.Иынба-ив, Л.Кусаиноеа и др.)

Нетрудно видеть, что оценки величины ¿2*- ицутся через Характеристики мноиества Д/ , следовательно мновество дол -вне обладать некоторыми свойствами, которые би полно отрава-дя основные свойства глеыентов t/c-r) из -М . Такими основными характкристиками являптся свойства гладкости.

3 связи с атии чтобы определить степень гладкости зле-йэнтов t/C*:) иновества А1 наи потребуется предварительно изучать разделимость нелинейного оператора Щредингвра. В параграфе I исследуется оператор

1>у - -у" + q(x.v)У' (7)

О пространстве Lz(R) ,

Основным результатом этого параграфа является : ГЕОРЕЫЛ 2.1,1, Пусть выполнены следующие условия :

а) -непрерывное отойранение в (

6>Q\

б) яир -^J^LlSI < ого ,

/к-/»/«/ с '

где А - лвбая конечная величина, С - иновество комплексных чисоя. Тогда существует для лвбого ¿а(я) решение

уравнения Ly<*f, такое, что t/'e-Lt(*) , т.е. оператор U разделим.

Разделимость нелинейного оператора Втурма-Лиувилля в

- 13 -

неограниченной области с неограниченными коэсфкциетахи.пб видимому, впервые Сила рассмотрена авторов п И.Оилбаевиа, < 1961).

0 параграфе 2 зтот результат обобазн на трехмерный оде -ратор Ередингера. В трехмерной случае вместо в^сгения W^CC следует воспользоваться принципом максимума и оценками фули^ ции Грина оператора Дирихле; все остальные рассуэдениа про -ходят без изменения.

В параграфах 3 и 4 удается распространить результата параграфов 1 н 2 на случай Lp , fapc&o, т.е. они остаат ся справедливыми и в зтих случаях. В самой деле верна

ТЕОРЕМА 2.4.1. Пусть а) ^г.у^-непрерывное отобраяем«

С о [S. о«; , <f* ¿7 ;

б) x-zup У < F(A) < оо ,

где А - лвбап конечная величина, - непрерывная Функ-

ция от А . Тогда для любого /<= ¿р(£я) суаествувт рвввнив уравнения ¿11 ** - АН гг]!* ч / такое,

что

/'Л uL - uL «г С(А)№Зр

цр

В параграфе 3 получена двусторонняя оценка функции рас -пределення поперечников нноаестБа. связанного с областьэ определения линейного оператора Вредингера.

.Основной результат данной главы получен в параграфе 0.

- 20 -

а именно справедлива следувчая

ТЕбРЕЭД 2.0.1. Пасть удовлетворяет условиям тео

ремы 2.4.1 и пусть . Тогда цмеет места ац&нка

С¥ тех (а:: <г С, Л'') * М(Л, Т) <

* С2Л* 777&,г(X: д(х, о) \С Сг Л"'), (8;

где Сг и Сг - постоянные, вьойце говоря, зависящее от Т , Л/(Л,Т) - количество, - поперечников по Колмогорову ыно-вества М , больвих Л> О .

Отметки, что эти оценки могут бить эффектнивно использован» для вывода асимптотических формул для <3* . Из этого цтверзденип переходя к обратным функциям, получаеи

СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть Р(») - функция, обратная к строго монотонной функции, совпадаицой с

К (Л) = Л ^7пех(хгд<*,а) ч< Л4) при Л- О ,

Тогда С'Г(к) < сС \< С, (С> /, Л-* <г /.2,...)

ПРИМЕР,' Рассмотрим трехмерный оператор

'¿и = -АН (/*{ * Iи,и Г) -и в ¿а(вУ, (Г"(з^зт^аь).

- 21 -

Тогда для санкции распределения поперечников инозесгва справедлива оценка

жр.) <

Отсюда и из следствия 1 имеем : С^к<*К Теперь ясно, что оператчр Л" (п-иврнае наилучшее приблвдэ-ние ) нояко записать в виде К¿2Г Лг (', М*) , где 11« -собственные функции резольвента

оператора С =» -Л (¡ее! + /),

В параграфе 7 исследуется нелинейный оператор

Ь и = 4/7 г/ * д(х,и)и,

а в параграфе 8 нелинейный оператор с операторным потенция -лом

[¿и - -ли *

где ^.^-операторная функция. Перейден к обзору третьей главк.

В первом параграфе этой главы рассматривается оператор

вида

Ьу - - (¡с*) у и»

- и -

Спектральная теория линейного оператора Дирака до сих пор развита слабо по сравнении со спектральной теорией one -ротора Вредингера (например, не известен общий критерий дис кретности спектра). Uu рассматриваем в первом параграфе третьей главы для оператора Дирака традиционные в квантовой механике вопроси ;1) Разделимость : 2) Дискретность спектра ;опаратора (L*L)iA ; 3) Оценки собственных чисел :4) Принадлежность резольвенты классу 5Р . Этой томе посвящены работы Б .И, йевитана Л. Г. Крстюченко.И.С.Саргсяна, В.Г.Сангряна, И.Г.Гасимооа, Ы.Отедйаева и ft.Измайлова и других математиков, . Новизна чавих результатов заключается в, той, что мы не накладываем никаких условий на Р(ос), ф(х) , кроме локально-впадратичной суммируемости.

В параграфе 2 рассматривается нелинейное уравнэние

Здесь нас интересует два вопроса: 1) Существование; 2) Гладкость решений.

Пусть функции Р ,q удовлетворяет условиям: Р(х,(/)> gfayj- непрерывные функции по совокупности переменных и ¡р(х,!/)1*6 > О ;

ГД9 и РЖ(А) - непрерывные функции от А .

Результатов атого параграфа является следувцая ТЕОРЕМА 3.2

Л. Пусть выполнено (11). Тогда для либого

/ G ¿,(Я) существует речение уравнения (10) такое, что

у е £/*)

Параграф 3 посвяаен исследованию аппроксимативных свойстэ линейной системы Дирака.

В параграфе 4 гласи 3 вопрос Д) рассматривается б случае нелинейной система Дирака. Пусть

М-S(*):¡* Q<*,3)y\< Т J

и J/(JjJ количество dx , К - поперечник по Колмогорову множества М , йолызих Я> О .

Основным результатом данной главы является следующая ТЕОРЕУЙ 3.4.1. Пусть выполнены (11). Тогда справедлива оценка

C'l'mesfscefi.'/pfr.vls C'rX') < Л(Л.Т)« к СX'-mes(эсе R:/р(х, oj¡ СЛ~')

Такой результат п литературе ранее не появлялся (для нели -нейной системы Дирака).

Обзор 4 главы.

При исследовании дискретности спектра . самосопряженности и других спектральных свойств операторов Отурма-Лиувиллезского TtfnaíВредингера) во многих работах использовали соответствия

иевдй квадратичной формой и рассматриваемый оператором (по -рокдавщиы квадратичную фориу), Работы , посвященные этоау методу , показывают , что действительно таким путеы моано изучать спектральные свойства различных видов саыосопряяен -пых операторов . Единственный недостаток зтого метода состоит в той, что он позволяет изучить на всё, а лишь полуогра -инченные самосопряженные операторы.

4 глава настоящей работы посвяиана оператору

~ -у(гя'<> + дму, лш/,2,... (12).

который не порондает квадратичкуи форыу и не иаает бить по -ровден квадратичной формой.

В параграфе 1 главы 4 разрабатывается нетодика, которая позволяет для резольвенты оператора получать следующие результаты :

1) Разделиыость ;

2) Критерий компактности резольвенты оператора ;

3) Двусторонние оценки собственных чисел по Выидту ;

4) Ядерность резольвенты оператора (12) :

5) Полнота системы корневых векторов.

По-видимсыу, впервые эти вопросы были решены в работах £7.83. Основные разуцльтаты сформулированы в терминах функции М.Оталбаева, которые достаточно аффективно строятся из коэффициентов оператора.

Заметим , что дииейниы и нелинейный уравнаниян нечетного порядка приводятся в ряде случаев нвклассические уравнения иатеиатичаской физики, а такае уравнения встречающиеся в но-

дальних задачах пограничного слоя. Краевые задачи для-этик уравнений рассматривались в работах Т.Д.Даураява, Б.А.бдбноза, А.И.Кояанова и др.

Чтобы не загромождать изловения. приведена результаты в простейвем случае.

ТЕОРЕУЛ 4,1.7. Пусть выполнены следуггиэ условия м

1) - нзпрерквная функция о £ .

И) ЧЫ _ ^ ¿7 с оо

/Х-1//4Г У д. (и)

Тогда :

а) оператор^*Я?) непрерывно абратии при

б) оператор Ь разделим, т.е. справедлива оценка

1-^1*1 Н)

для любого уе

в) резольвента оператора Ь компактна тогда и только тогда, когда

с>о (13)

/^/•»оо

В этом ае параграфе' получена двусторонняя оценка для распределения собственных чисел пэ Иаидту,

ТЕОРЕМА 4.1.8. Пусть выполнены условия и (13).

Тогда справедлива оценка

сТ^тпех (хеЛ: д(х) ч< с'Л') * < С Л' те* е фх) <е* С Л'')

Л/(Я) _ количество собственных чт?ел по Вмидту больвих З^ь резольвенты оператора .

Из полученной оценки выведена теорваа о полноте собственны* и присоединенных элементов. Например :

ТЕЗРЕШ 4.1.3. Пусть выполнены цсловия таореиы 8, Тигл сиртека корневых еекчоров резлоъвенты оператора (12) полна в Ь2 (#) , если дг^ггг е (к) .Б параграфе 2 рассматривается уравнение

Ьу « У?*** <?(*.*) V * /, /»- <4 •• • «14)

Приведен о наиболее простом случае теореиу о разделимос-

ги.

ТЕОРЕМ 4.2.1'.(см. геореиу 4.2.1.). Пусть дов

летворяет условиям твореыы 2.4.1. Тогда для любого ^е ¿г(#) суцествуег роиение уравнения (14), такое что

у'(ггы%) в Ш

Эта теорема, если дополнительно еще удовлетворяет из -весть условиям Титчмарва и у)где 3(х)* при

ов, следует из результатов Н.Отелбаева и Й.Биргебаева. Пусть

, у]< г/

Основным результатов параграфа 2 главы 4 является ТЕОРЕМ 4.2.2'(сн. теорема 4,2.2,). Пусть выполнены ус ловия георевц 4.2.Г. Тогда справедлива оценка

C'J**77mes-(xek: y(x, o) v< C'Y) x< p. T)t / /

<r €2 mes(xeR: qfac) s<- CX<) (15)

Оценка (15) для оператора (14) рассматривается здесь, по-видимому, впервые.

Пользуясь случаен,выранав глубокую благодарность иоиы учителям й.ителбаевь и Т.а.К'льиенову. воспитаем* иена со студенческой ;каиьи, под влияние« которых сформировались круг моих интересов и знаний.

Основные результаты работы опубликованы в работах:

1. Нуратбеков U.6. Коэрцитипные оценки для одного дифференциального оператора высокого порядка.//Диф. уравнения, 1381, т.17.N5. с.893-901.

2. Нуратбеков Н.6. 0 гладкости реиений одного класса неравномерно вырождавшихся эллиптических уравнений. H Изв. ЙН Каз.ССР сер.физ.-мат. 1981 N5 с.71-73.

3. Нуратбеков Н.Б.. Отелбаев И. Оценки аппроксимативных чисел нелинейных операторов типа Вредингера.// Сборник научных трудов "Теория операторов в функциональных пространствах" - Рига, 1983. - с. 30-31.

4. Нуратбеков Н.Б. Гладкость речений нелинейного стационарного уравнения Зредингера - В кн.¡Применение методов функционального анализа к неклассическии уравнениям математической физики. ИНСО ПН СССР. 1983 - с.33-43.

5. йманова Т.Т., Нуратбеков Н.Б. Гладкость ревения одного нелинейного дифференциального уравнения. //Изв. АН Каз. ССР сер.физ.-мат. 1984 N5 с.5-7.

. Нуратбеков М.Б. О спектре одного класса неравномерно

- 28 -

выровдавщихся эллиптических операторов // Сборник научных трэдов "Повременный вопросы терии функций и Функционального анализа" • Караганда, 1984, с. 93 - 37 Иуратбеков И,5, Разделимость одного несаыосогтсягенного оператора и полнота его корневых векторов .'/ Сборник научных трудов "Нелокальные задачи для уравнений в частных производных и их приложения к моделировании и > иоиа-тизации проектирования слоеных систем". Нальчик, 1986, с. 109 - ИС,

8. Иуратбеков И.Б. 0 гладкости решений нелинейного дифферея-циального уравнения нечетного порядка,// Эрзей Ииняил-. гзний Бичи Г. Улан-Батор 1988 с. 11-14.

9. Иуратбеков Н.6., Отьлбаев Н. Гладкость и аппроксимативные свойства решений одного класса нелинейных уравнений типа Вредингера.// Известия вузов, сер.матеи. 1999, N3. с. 44-47.

10. Иуратбеков М.б. Разделимость и оценки поперечников множеств, связанных с областьв определения нелинейного оператора типа Вредингера.// Диф.уравнения 1991 т.27 НИ. с.1034-1044.

11. Кдратбеков И.Б. С гладкости и аппроксимативных свойствах решений нелинейной системы Дирака // "звестия АН Каз.ССР 1931, ИЗ.с. 22-26.

12. Иуратбеков Л.Б. Разделимость, оценки сингулярных чисел (З-чисея) линейного и нелинейного оператора снованного типа / ' Те^сы докладов научной конференции "Краевые вадачии и их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений" : йлма - Ата, 1991. с. 130.

13. Иуратбеков М.Б. Разделимость, оиенки сингулярных чисел

(s-чисел) оператора сыепагного типа и полнота его системы кориеокх векторов. //Тезисы докладов респчйликансксй научной конференции "Теория приблияения и влонения сунк-циональннх пространств". Караганда, 1991, с. с'9.

14. Иуратбеков И.Б. Тучин A.B. Разделимость и оценки лоперзч-нмков шмяесто, связанных с областью определения нелинейного оператора зида Lu=-p(x)pix)ufq(x,u)u // Известил АН Каз.ССР, .ер.физ. чат.. 1S41.N5. с. ¿6-31.

15. Иуратбеков Ч.Б. Разделимость оператора сменянного типа и полнота его система корневых векторов. // Диф. уравнения. 1991, т.27.N16. с.2127-2137.

16. Иуратбеков М.Б. Разделимость и оценки сингулярных чисел оператора смешанного типа //Известия ЯН Каз.ССР.¡992.Hl.

17. Муратбеков М.Б., И/иясов Т. Разделимость, двусторонние оценки сингулярных чи ел оператора Дирака //Известия АН Каз.ССР,1S92, N2. с.20-24.

18. Иуратбеков И.Б. 0 спектре оператора смеяанного типа. //Тезисы докладов маадународной научной конференции. Таокент,1993, с.125.

Иуратбеков !.',усахан Оайпакбайулы

Рвг>лярлы емсс коэффициент»! кейб!р диЛЛеренциалдыц оперчторларлыи 5ея1нг1ат|к теоремалары яэне спектрв'лди

ца сйет тер I.

Бул «умыс спектралди теория яане с?п1лн г члиз облыстасы бойингаа зерттеулер иатихес1 тураяы.

Ksi'idlp вралас тигг 1 операторлар класы уйм компакпл! емес < eucta инна тчиендег) маселевер ^арасгырылгат•.

1.Сп&»трд1ц дискретт!я| г1.

Z.Эз1 нд|к менп|кт|/сонд«р *зне улест1р1мд1 лк функция "однц багаяарк)1

3,Туй 1 рдtк Boxfopiap толн^тылыры|>

4.Спов?рдн\ орналасуы.

Соныиен г,атар «уд ауыыста Вредингер.Дирак типтес сызьцты oi операторлардьщ хане та* pe-rt ек! мупал»к тецдеулердщ аппроксиыа <;асиеттер1 царастыралгани

Huratbekcv Hcsfkhan Baipakbsevich.

Theoreus of Divisibility and spectral properties of One Class of Differential Operators with Irregular Coefficients.

Tills uark is an investigation in the sphere of spectral theory and qualitative analisls,

Tho next pro!)leas for one class of operators of mixed type in tnccopact sphere were examined:

I. DSscrad'Vy of spektrua

? Estlnations of proper nunbers ana thair distribution functions.

3. Plenitude of root vectors

4. Disposition of spectrua.

flpproa.aate properties of non-linear operators of Shreaineer and QiraVc type and MnoBinal Aquation of odd rank are sis sxap.lned in this work.