Базисы всплесков на основе нескольких масштабирующих функций и их аппроксимативные свойства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Плещева Екатерина Александровна

БАЗИСЫ ВСПЛЕСКОВ НА ОСНОВЕ

НЕСКОЛЬКИХ МАСШТАБИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ И ИХ АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный

анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

12 ДЕК 2013

Екатеринбург 2013

005543252

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций ФГАОУ ВПО Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б.Н. Ельцина, г. Екатеринбург

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Черных Николай Иванович

Официальные оппоненты: Скопина Мария Александровна, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры высшей математики Санкт-Петербургского государственного университета, факультет прикладной математики - процессов управления

Захаров Виктор Геннадьевич, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Института механики сплошных сред УрО РАН,лаборатория нелинейной механики деформируемых твердых тел, г. Пермь

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО Российский государственный геологоразведочный университет им. С. Орджоникидзе, г. Москва

Защита состоится 25 декабря 2013 г. в 1500 на заседании диссертационного совета Д 004.006.04. на базе ФГБУН "Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН'' по адресу: г.Екатеринбург, ул. Софьи Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан

2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук

Скарин Владимир Дмитриевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертации рассматривается построение базисов всплесков в случае, когда пространства кратномасштабного анализа образованы сдвигами нескольких функций (мультивсплески) и в случае, когда пространства кратномасштабного анализа образованы сдвигами одной функции, каждое своей, но циклически повторяющейся со сжатием в 2J раз для j + 1-го пространства.

Понятие "wavelet" (всплеск) с 80-х годов широко используется в теоретических и прикладных исследованиях. Большой вклад в развитие теории всплесков внесли I.Meyer, S.Mallat, И. Добеши, К. Чуй, А. Cohen, W.M. Lawton, И.Я. Новиков, М.А. Скопина, В.Ю. Протасов, В.Г. Захаров, Ю.А. Фарков, и другие.

Ортонормированным всплеском называется функция ф(х), такая, что множество функций {ф^к{х) = х — к) k,j Е Z} образуют

ортонормированный базис пространства L2(R).

Строить базисы ортогональных всплесков обычно начинают с построения КМА - кратномасштабного анализа (кратномасштабной аппроксимации пространства L2(R)), после того, как это понятие ввели Meyer Y. и Mallat S.

Определение 1 Последовательность {V}}jez вложенных замкнутых подпространств пространства L2(R)

... С Vj С Vj+\ С ... (1)

называется его КМА, если удовлетворяет условиям:

в) f{x) <Е Vj ^ f(x - IIУ) е Vj {I е Z);

г) f(x) eVj& /(2х) 6 Vj+1(j е Z);

д) найдется такая функция <р(х), которую называют масштабирующей, что множество {<р(х - n)}„ez - ОНБ пространства Vo.

Известно (Малла), что для выполнения (1) необходимо и достаточно, чтобы

VÍ®) = ]С К = {<Р, <Pi,v), (2)

vez

что равносильно тому, что

(р{ш) = т(и>/2)¡p(u/2), т{и) = £hve2xtm, т(и) 6 L2[0,1). (3)

i/eZ

Функцию 77i(w) называют маской функции '-р.

Необходимое условие ортогональности дает

Теорема А (Малла). Пусть {<р(х + k)}kez~ ортонормированием система, и т(ш) определена в (3). Тогда

|т(ш)|2 + \тп(ш + 1/2)|2 = 1 (4)

По схеме С.Малла пространства всплесков Wj определяются, как ортогональные дополнения Vj до V¡¡+1, а ортогональный всплеск ф(х) строится так, чтобы система {i>j,k{x)}ke ъ ПРИ каждом je Z была ортонормированным базисом пространства W¡.

Условия а)-д) в определении КМА не являются независимыми. При фактическом построении конкретного КМА наиболее трудным является условие д), согласованное с остальными условиями определения 1, даже если его заменить на формально более слабое условие д'), что система {<р(х — n)}nez образует базис Рисса порождаемого ей подпространства V0 = Span{ip(x — n)}ngZ, то есть существуют такие положительные числа А и В, что

kl2)1/2 < II - ^ М2)1/2.

nez nez nez

Наиболее существенный вклад в преодоление указанной выше трудности внес С.Малла, заметивший, что из (2) и (3) следует, что для

гладких т(ш) функция ф(ш) - преобразование Фурье будущей функции tp(х) - должна быть Ь2-пределом последовательности <pN(u) = flj^i m(|r)-Реализуя эту идею, он нашел довольно широкие дополнительные к (4) достаточные условия на т(и), обеспечивающие ортогональность в L2(R) системы {<р(х — n)}„gz, порождаемой маской m(uj) по правилу 00

£(«/) = ДтФ' = (5)

Более того, оказалось (И. Добеши), что при довольно слабых дополнительных к д) и (1) ограничениях на ip(x) (типа <р(и>) непрерывна в нуле и ф(0) = 1) порождаемая функцией <р система подпространств

Vj = {/(®) = ■■ Ыкег 6 12{Ъ)} (6)

автоматически образует кратномасштабный анализ пространства L2(R).

Теорема Б (Малла). Если тп{и>) - непрерывно дифференцируемая в окрестности точки oj = О 1 -периодическая функция, которая удовлетворяет (4) и

inf Hw)|>0, (7)

|ш|<1/4

то бесконечное произведение в (5) сходится в L2(R), (р и ip из (5) принадлежат L2(R), система {<р{х — k)}kzъ — ортонормированная, функция <р(х) порождает КМ А пространства L2(R) в соответствии с правилом: Vj = Span{ipjtk ■ к € Z}, j € Z.

Позже, развивая технику Малла, Коэн при некоторых дополнительных ограничениях уменьшил множество, на котором т(и) не обращается в ноль, получив таким образом необходимые и достаточные условия ортогональности системы сдвигов масштабирующих функций.

Теорема В (Коэн).Пусть m(uj) является тригонометрическим многочленом, удовлетворяющим условию (4), причем функция <р(х) определена с помощью тп{и>) и своего преобразования Фурье по формулам (5). Тогда следующие утверждения эквивалентны: 1) {<р(х — k)}ktez — ортонормированная система;

2) существует компактное множество К, конгруэнтное [-1/2,1/2] по модулю 1, содержащее некоторую окрестность нуля, и такое, что

infk>о inf(€K\m(2"*£)1 > О.

Условие 2) здесь не так прозрачно, как условие (7), и Коэн в той же работе с помощью этой теоремы получил следствие, аналогичное теореме Б Малла, заменив в (7) границу 1/4 на 1/6 в случае, когда т(ш) — тригонометрический полином.

Конструкцию ф для заданного КМА определяет следующая

Теорема Г (Малла). Пусть ф(х) = E^-l)"-1/^^®), где hv - коэффициенты из (2). Тогда система {$j,k(x)}j,ke2. является ортонормированнъш базисом пространства L2(R).

Параллельно с развитием общей теории всплесков строились различные конкретные ортогональные базисы всплесков - на основе целых функций экспоненциального типа (Мейер, на основе сплайнов (Баттл, Лемарье; К.Чуи), знаменитые всплески с компактным носителем (И.Добеши), обобщение всплесков Хаара на базе ортогональных на отрезке многочленов Лежандра (Донохо), койфлеты, всплески Добеши с несколькими нулевыми степенными моментами (Coifman), периодические всплески (Мейер; Осколков-ОШп), всплески для представления аналитических и гармонических функций в круге, кольце и полуплоскости (Субботин-Черных), всплески на сфере (Скопина), р-адические всплески (Скопина), биортогональные всплески на группах Виленкина (Фарков) Почти одновременно с этим наметилась тенденция расширения понятия всплеска, которая продолжается до сих пор. При этом понятие всплеска обобщалось в разных направлениях: условие ортогональности системы {у{х — к)} заменялось на ее биортогональность некоторой другой системе — к)} (Коэн, Добеши), строились ортогональные "почти-всплески" на основе КМА со своей масштабирующей функцией (pj для каждого пространства Vj, j € Z (Берколайко, Новиков; К. de Boor), вэйвлет-пакеты Coif-man'a и Мейера; разрабатывались системы представления многомерных

сигналов (выборок (samples) значений функций нескольких переменных), использующие от КМА только идею вложения систем подпространств со все более "мелкомасштабными" базисными функциями Swelden'a.

Цель работы. Главной целью настоящей работы является расширение палитры ортогональных всплесков на базе сужения систем почти-всплесков Новикова-Берколайко, ограничиваясь только двумя (в общем случае -п) масштабирующими функциями с сохранением почти всех свойств классических ортогональных всплесков, включая конструкцию всплесков с помощью бесконечного произведения масок, алгоритмы прямого и обратного дискретного всплеск-преобразования.

Методы исследования. В диссертации использовались методы математического анализа, теории функций, линейной алгебры.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер. Предложенные алгоритмы позволяют построить множество новых ортонормированных базисов, обладающих свойствами, подобными свойствам классических всплесков, даже используя только уже известные классические маски.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на Всероссийской конференции "Современные методы теории функций и смежные проблемы11 (Воронеж, 2011); на Всероссийских молодежных конференциях "Проблемы теоретической и прикладной математики "(Екатеринбург, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012); на летних Школах С.Б. Стечкина по теории функций (2011, 2012, 2013); на Международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики посвященной 90-летию со дня рождения профессора Л.А.Толоконникова (Тула, 2013); на семинарах в Институте математики и механики УрО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-6]. Из них статьи [1,2] опубликованы в изданиях из списка,

рекомендованного ВАК. Результаты, вошедшие в диссертацию, получены автором самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем работы — 121 страница. Список литературы содержит 53 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен обзор работ, связанных с темой диссертации, и сформулированы основные результаты.

Глава I посвящена исследованию свойств мультивсплесков. В первом параграфе рассмотрена конструкция базисов КМА на основе нескольких масштабирующих функций, которая используется для построения мультивсплесков:

Определение 2 Последовательность вложенных друг в друга замкнутых подпространств

... С Vj С Vj+i С ...

пространства L2(R) называется его кратномасштабным анализом размерности к (КМАк), если удовлетворяет следующим условиям:

в) /(*) e Vj Vi € Z f(x - 1/2?) € Vj

г) f(x) 6 V0 & Vj € Z f(2>x) e VJ

д) найдутся такие функции {<p1(x),ip2(x),...,(pk(x)} из Vо С L2(R), что множество их сдвигов {^р1(х—п),<р2{х—п},..., <pk(x—n)}nez образует ортонормированный базис пространства Vq.

Показано, что для КМА*; условие д), как и в классическом случае, эквивалентно условию д') найдутся такие функции {g1{x),g2{x), ...,gk(x)},

что множество их сдвигов {д1(х-тг),д2(х-п), ...,дк(х-п)} образует базис Рисса пространства У0, то есть существуют такие А и В, что

пе2

< II - п) + гпд\х - п) + ... + 4дк(х - п))||уда <

пе2

пб2

При этом ОНБ по базису Рисса строится следующим образом: обозначив

= + п№(<*> + Ч

Аь = ¿еЬ

пег

^ ¿1,1 ¿1,2 - • ■ ¿1,6-1 ¿1,6 ^ ¿2,1 ¿2,2 • ■ • ¿2,4—1 ¿2,6

\ ¿6,1 ¿6,2 • • ■ ¿6,6-1 ¿6,6 /

Теорема 1 Пусть {д1(х-п),д2{х-п),... ,дк{х-п)}п& - система Рисса. Тогда система определяемых своими преобразованиями Фурье функций {у\х - п), <р2(х - п),... ,у?*(х - п)}пб2

У1 И

_ Рм

_ -¿гдд1^) + ¿1д V ¿'1,1(^1,1^,2 — 1-^2,1 (2) *

укМ =

¿1,1 ¿1,2 ••• ¿1,6—1 ¿2,1 ¿2,2 ■•■ ¿2,6-1 52М

\ ¿6,1 ¿6,2 ■•• ¿6,6-1 д*(и>)

в:

(8)

является ортонормированной.

Во втором параграфе приведен способ построения мультивсплесков по известной ортонормированной системе мультимасштабирующих функций. М.А.Скопина разработала универсальный алгоритм построения мультивсплесков по биортогональной системе мультимасштабирующих функций с компактным носителем. В отличие от этого алгоритма, метод, приведенный в диссертации, не использует свойства компактности носителя мультимасштабирующих функций, поэтому может применяться для любых мультимасштабирующих функций. Но для того, чтобы из мультимасштабирующих функций с компактным носителем получить ортонормированные мультивсплески с компактным носителем, требуется специальный подбор дополнительных функций, тогда как в работе М.А. Скопиной компактность носителя мультивсплесков сохраняется автоматически.

Глава II посвящена всплескам, которые также строятся на основе нескольких масштабирующих функций, но, в отличие от мульти случая, каждое пространство КМА образовано сдвигами одной функции. Для этого случая также строится КМА, который мы назвали п-раздельным КМА. Причем в данной главе сначала рассмотрен случай п — 2, затем он распространен на произвольное конечное число масштабирующих функций.

Параграфы 1-4 посвящены построению 2-раздельного КМА. В первом параграфе дается определение:

Определение 3 Рассмотрим две последовательности

вложенных друг в друга замкнутых подпространств пространства Ь2(Е).

Назовем эту конструкцию 2-раздельнъш кратномасштабным анализом (2-КМА) пространства Ь2(Е), если она удовлетворяет следующим условгиш:

...с^с^с^с^с..., ...с^ск/с У22 С Уз1 С ...

(9) (10)

a) Uj = U = L2(R);

в) f{x) € Vf fix + 1/2?) € Vf Vj, I 6 Z, s = 1,2; г; A®) 6 Vy /(2^) € V/ Vj 6 Z, s = 1,2;

найдутся такие функции <p3ix), s = 1,2, что множества их сдвигов {<fsix + k)}k<zZ образуют ортонормированный базис пространства VJf.

Необходимым условием вложений (9), (10) является следующее масштабирующее соотношение:

<psix)^)V2¿2KP-VP-i2x-k), (11)

fce z

где

fs + 1, s = 0,1,2, ...,n — 1, Ps ~ X 1, a = n.

Далее доказывается, что аксиомы КМА, как и в классическом случае, не являются независимыми, при этом для выполнении аксиомы а) требуется наложить дополнительные условия непрерывности в нуле преобразований Фурье масштабирующих функций.

Предложение 1 Пусть выполняются условия в), г), д) в определении 2-разделъных КМА. Пусть, кроме того, (psix),s = 1,2, таковы, что v?5(w) непрерывны в нуле и í?s(0) = 1. Тогда выполняется а).

Предложение 2 Пусть выполняются условия в), г), д) в определении 2-раздельных КМА. Тогда выполняется б).

Во

втором параграфе доказаны необходимые и достаточные условия ортогональности масштабирующих функций 2-раздельного КМА в терминах масок этих функций. В частности, показан справедливость следующих утверждений:

= т}'\ш/2)£5(w/2), ^И = т2-1^/2)^(ы/2), (12)

V?SH = m^- (iü/2)mp"s(w/4)v?3(cj/4), s = 1,2, где т3'р,(ш) - 1-периодические функции из L2[0,1),

то'Л (w) = h^-e-2^. (14)

k€Z

m'(w) = ms'p'(2w)mp"s(w) e L[0,1). (15)

Тогда справедливо следующее представление:

оо

фЦи) = Д тг*'(ы/&-1)тгР'*(ы/&*). (16)

j=i

Утверждение 1 Пусть {<ps(:г + s = 1,2- ортпонормированные

системы из определения 3 2-раздельного КМ А, и т$(ш) (s = 1,2) определены, как в (15). Тогда

\т3'р'(и)\2 + \т**-{и> + l/2)|z n=e" 1 (17)

|ms(u;)|2 + |m'(w + 1/4)|2 + |то> + 1/2)|2 + \т\ш + 3/4)|2 n=6' 1. (18)

Теорема 2 Пусть для 1-периодических функций ms'p'(ui) (s — 1,2), из L2(R) ums(u>) (s = 1,2) определены, как в (15). справедливы условия (17). Тогда для ms(w), s = 1,2, выполняются соотношения (18).

Теорема 3 Пусть т(и>) - 1-периодическая функция такая, что для нее выполнено условие вида (18), т.е.

\т{ш)\2 + \тп(ш + 1/4)|2 + |тп(а/ + 1/2)|2 + |т(ы + 3/4)|2 n=e" 1, (19)

т(и>) непрерывна в окрестности точки ш = 0, т(0) = 1, а кроме того, |т(а>)| > Со > 0 при |w| < | и справедливо неравенство

\т(и>) - т(0)| < П(М) (20)

для некоторой неубывающей в правой полуокрестности нуля функции Щш), для которой ряд Y¿jLi ¿ля некоторого ш0 > 0 (а значим,

12

и для всех ш > 0 в силу неубывания функции Щш)) сходится. Тогда ф(ш) := Щ=1 е Ь2(М), а функция у>{х) с преобразованием Фурье

ф(ш) порождает ортонормированную в Ь2(К) систему {<р(х — г-

Убедившись в справедливости данных теорем, мы можем построить 2-раздельные КМА, в которых в качестве тя'р*, в = 1,2, использованы классические маски. Алгоритм такого построения приведен далее во втором параграфе:

а) Берем маски двух любых классических масштабирующих функций, обозначим их через т}'2(и>), тп2'1^).

б) Полагаем т1(о;), т2(и) как в (15), в силу теоремы 2 они удовлетворяют условию (19) теоремы 3.

в) Строим 1р3(и>) = в = 1,2, и ортогональные в Ь2(М) в силу теоремы 3 <р8(х), 5 = 1,2.

г) Переписываем р3(и>) = в виДе (16) и выводим отсюда, что <ря(ш) = в = 1,2.

д) Определяем ... У^, У]2, У2\ ... через сдвиги и сжатия фя(х) и из г) устанавливаем, что ..., Ъц1 С V-2 С ... и ..., У02 С V/ С У22...

Применяя предложения 1 и 2, получим 2-раздельный КМА (9), (10).

Третий параграф второй главы посвящен построению функций всплесков на основе базисных функций 2-раздельного КМА. Построенный на основе 2-КМА базис всплесков образован сжатиями в 22; раз и сдвигами на ^ функций ф8, в = 1,2,..., к, определенных по формулам:

Теорема 4 Пусть ф°(х) = ^г^У'^Ж'М, где -

коэффициенты из (11). Тогда система {Ф^(х)}зМЪ ~ ОНБ пространства У/?, а каждая из систем {^¡^¿{х) '■ I = 0,1,..., п — 1; э — 1,2

— ОНБ пространства Ъ2(М).

Благодаря этой теореме имеем 2 различных ОНБ пространства Ь2(К):

Теорема 5 Системы функций :)}з№Ъ' в = 1,2,

являются ортонормированными базисами пространства Ь2(К).

В четвертом параграфе строятся быстрые алгоритмы для вычисления коэффициентов разложения функции по пространствам с меньшими номерами, если известны коэффициенты разложения этой функции в пространствах с большими номерами. Так, если известно, что проекция функции f(x) на пространство V¡, или, что то же самое, на прямую сумму пространств Vj-i ф выглядит следующим образом:

PrVjf(x) = = Е^Ч-М^) + <"'"4-1,^))' (21)

keZ к€Z

то ее коэффициенты выражаются так:

EJ,j,p„,s _ JW-1

Ск 1-2к — Ч

ке z

E sjTpT^ _ JP.J-1 ск — ик '

Jfcez

с? - Е W'^k+,

ке Z fcez

Теперь, зная коэффициенты масок классических масштабирующих функций, с помощью приведенных формул можно получить различные 2-раздельные КМА. Примеры масштабирующих функций, образующих 2-КМА и соответствующих всплесков приведены в конце параграфа.

В параграфах 5-9 приведенный выше способ расширения понятия всплеска распространен на случай п масштабирующих функций. В частности, приведено определение КМА для п масштабирующих функций, доказаны аналогичные случаю п = 2 теоремы о необходимых и достаточных условиях ортонормированности системы сдвигов масштабирующих функций, о представлении всплесков через известные масштабирующие функции.

Третья глава посвящена периодизации 2—раздельного КМА и некоторым свойствам получившихся периодических функций.

Периодизация происходит следующим образом:

фм(*) = = (А: = о, 1.....2*-1). (22)

lez ■ I<EZ

При этом пространства КМА и всплесков выглядят так:

VJ = Span{<Îs] k(x) : к £ Z}, Wj = : к € Z}.

В первом параграфе доказывается конечномерность данных пространств, корректность определения функций после

чего вводится определение периодического 2-КМА:

VJ С V2 С V* с ..., (23)

V2 с VÎ С V2 с ... (24)

Аналогично свойствам а) и б) в определении 2-раздельного КМА, выполняются следующие свойства:

1) Так как система функций {ip2j+i,k{x), i%'j,k(x)} j,keZis — 1> является базисом пространства L2(K), то {Ф§,0И, ФадьМ}, j е Z+, к е {0,1,2, ...2J — 1}, s = 1,2, является базисом пространства L2[0,1).

2) В силу того, что выполняются вложения (23), (24), f]jçZ V^- = Vg.

3) Из свойства Це2 V%(Uj6Z Vj-+1) = L2(K),s = 1,2, следует, что Uez+ V2j(Ujez+ V£+1) = L2[0,1), 5 = 1,2.

Второй параграф посвящен доказательству ортонормированности в пространстве L2[0,1) построенных периодических функций и всплесков:

Утверждение 2 Периодические масштабирующие функции и всплески ортонормированы:

(фЬ> фк) = 6 {0,1,2,..., 22j - 1};

(Ф;,ь 4h) = к € {0,1,2,..., 2« - 1}, fc е {0,1,2,..., 22-71 - 1}; (ф,> флл) = W« А*. к € {0,1,2,..., 22j — 1}, /cj € {0,1,2,..., 22jl - 1},

где, если г и j - числа одной четности, то s и j\ также числа одной четности, а если г и j - числа разной четности, то s и также числа разной четности.

В третьем параграфе находим тригонометрические коэффициенты Фурье функций при разложении их в ряд по системе

e2mv{x-k/2')

Утверждение 3 Пусть Щк(х) определены в (22). Тогда их

можно представить следующим образом:

vez vez

Наконец, четвертый параграф посвящен быстрым алгоритмам вычисления коэффициентов разложения проекции функции }(х) 6 L2[0,1) на пространства ф V^ = Vj,s = 1,2. Для них справедливы равенства:

22'-l 22j—i РгуДх) = £ С?Ф]:к(х) = Eícr'-^li^ + ^r"1^^))-fc=0 к=0

22j—X

cr~l = Е

О

к=О

С'Г = Yl^-'WTk + D{-¿-\-lf-№l+2k-i).

ке Z

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ:

— Приведен способ ортогонализации базиса Рисса мультимасштабирующих функций.

— Приведен новый алгоритм построения базисов мультивсплесков по известным мультимасштабирующим функциям для любой ортонормированной системы мультимасштабирующих функций.

— Построены новые системы пространств кратномасштабного анализа на основе нескольких масштабирующих функций, и при использовании их свойств образованы новые базисы пространства Ь2(Ж) на основе классических масок, в частности, масок Добеши, Хаара, Котельникова-Шеннона, и др.

— Построены схемы вычисления коэффициентов разложения функции по базису пространств кратномасштабного анализа, используя коэффициенты разложения этой функции по базисам предыдущих пространств кратномасштабного анализа и дополняющих их пространств всплесков, а также, наоборот, вычисления коэффициентов разложения функции по базису предыдущего пространства, используя известные коэффициенты разложения по базису пространства с большим номером (прямые и обратные дискретные всплеск-преобразования).

— Для построенных неклассических всплесков доказаны теоремы, которые являются распространением на п-раздельный случай теоремы Малла о достаточных условиях на маски для того, чтобы система сдвигов соответствующих построенных по ним масштабирующих функций была ортонормированна, а также, используя эти условия, получены оценки скорости сходимости.

— Построены примеры некоторых всплесков на основе классических масок с использованием пирамидальных схем.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ:

Статьи, опубликованные в научных журналах из списка ВАК:

[1] Плещева Е.А. Кратномасштабный анализ пространства Ь2(М) в случае двух масштабирующих функций. // Известия Тульского гос. Университета, серия естественные науки, г. 2009, №3, с. 81-91.

[2] Плещева Е.А. Новое обобщение ортогональных базисов всплесков. // Труды Института Математики и Механики УрО РАН, Екатеринбург 2010, Т. 16, с. 264-271.

Другие публикации:

[3] Плещева Е.А. КМА-подобные последовательности подпространств Ь2(К) в случае двух масштабирующих функций. // Проблемы теоретической и прикладной математики, Труды 40-й Всероссийской молодежной конференции 26-30 января 2009 г., Екатеринбург 2009, с. 88-92.

[4] Плещева Е.А. Построение и свойства ^-раздельного КМА. // Современные проблемы математики, Тезисы 41-й Всероссийской молодежной конференции, 26-30 января 2010 г., Екатеринбург 2010, с. 165171.

[5] Плещева Е.А. Периодические всплески на основе нескольких функций. // Современные методы теории функций и смежные проблемы, Материалы Воронежской зимней математической школы, Издательско-полиграфический центр Воронежского гос. Университета, 2011, с. 261-262.

[6] Плещева Е.А., Черных Н.И. Базисы пространств мультивсплесков. // Современные проблемы математики, механики, информатики, Материалы Международной научной конференции, Тула: Изд-во ТулГУ, 2013, с. 92-97.

Плещева Екатерина Александровна Автореферат

Подписано в печать 19.11.2013 Формат 60 х 84 1/16 Бумага писчая. Печать на ризографе. Усл.печ.л. 1,3 Тираж 100 экз. Заказ №4935

Отпечатано в типографии ООО "Издательство УМЦ УПИ" Екатеринбург, ул. Гагарина, 35а, оф. 2 Тел.: (343) 362-91-16, 362-91-17

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (УрФУ) ИМ. ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б.Н.ЕЛЬЦИНА ФГАОУ ВПО

04201454850 На правах рукописи

Плетцева Екатерина Александровна

БАЗИСЫ ВСПЛЕСКОВ НА ОСНОВЕ НЕСКОЛЬКИХ МАСШТАБИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ И ИХ АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА

Специальность 01.01.01. — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Н.И.Черных

Екатеринбург - 2013

Содержание

Введение 6

1 Построение ортогональных в Ь2(М) базисов мультивсплесков 24

1 КМА на основе нескольких базисных функций пространства

Уо (мультивсплески)....................... 24

2 Базисы пространств мультивсплесков............. 41

2 Расширение класса ортогональных базисов всплесков за счет обобщения понятия КМА пространства

Ь2(М) 51

1 Обобщение КМА (2-раздельные КМА)............. 51

2 Необходимые и достаточные условия ортогональности в терминах преобразований Фурье масштабирующих функций, порождающих 2-раздельные КМА............... 57

3 Пространства всплесков и их базисы для 2-раздельных КМА 67

4 Прямое и обратное дискретное всплеск-преобразование для 2-раздельных КМА и всплесков ................ 72

5 п-раздельный КМА ....................... 76

6 Необходимые условия ортогональности в терминах масок п -раздельных КМА ........................ 81

7 Построение п -раздельного КМА ............... 84

8 Пространства всплесков и их базисы для п -раздельных КМА ............................... 90

9 Прямое и обратное дискретное всплеск-преобразование для

п -раздельных КМА и всплесков................ 97

3 Периодические базисы всплесков в Ь2[0,1) на основе

2-раздельных КМА 103

1 Определение и свойства...................... 103

2 Ортогональность систем периодических всплесков и масштабирующих функций.................... 109

3 Тригонометрические коэффициенты Фурье всплесков и масштабирующих функций в Ь2[0,1) ............. 111

4 Прямое и обратное дискретное всплеск-преобразование в периодическом случае......................113

Обозначения

При заданном п € N,71 > 2, в выражениях вида </?5, (рРз, V?, V?" числа б, р8 согласованы по правилу

р3 = 14- Вычетов, п), вбМ,

в частности,

5 + 1, з = 0,1,2, ...,п — 1, 1, б = п;

При п = 2

Г 1, 8 = 2,

Рз = <

[ 2, 5 = 1;

Ь2(М) - пространство интегрируемых с квадратом на (—оо, оо) функций над полем комплексных чисел;

Ь2[0,1) - пространство 1-периодических интегрируемых с квадратом на [0,1) функций, Ь2[0,1) - 1-периодизация пространства Ь2(М) ; Щ,к{х) = 2М2и{2'х - к), к е X,з е Я, где и{х) : Е —> С; (¿2 - оператор двоичного сжатия:

¿2/(:г) = /(2а;), ^ = {/(2а;), / € К},

(¡2 - степень оператора в.2,3 € Ъ в этих обозначениях = 2

к), 3,ке1.

/М = ($/){и) - преобразование Фурье функции /. Для / б

/4 /s

- обратное преобразование Фурье, для f(w) 6 L(R) (!S~1f)(x) — IZof(UJ)e2mXUJdu^ Ha L2(R) оператор $ продолжен по непрерывности;

{д,Л), = g{x)h(s0(hi - скалярное произведение в L2(R) функций д и h из L2(R);

Prvf - ортогональная проекция функции / на подпространство V С L2(R);

span М - линейная оболочка в L2(R) множества М € L2(R), М -замыкание М в L2(R) , span М = closer(щврап М замыкание в L2(R) линейной оболочки М;

(u, v) = Jq u(x)v(x)dx - скалярное произведение в L2[0,1).

Функцию (р{х) назовем ортонормированной, если ее целочисленные сдвиги образуют ортонормированную систему {<р(х — k)}kez , т.е. если (у>(х - к),<р(х - I)) = 8kj.

ОНБ - ортонормированный базис.

l2{Z) - пространство последовательностей {cn}nez, таких, что

Enezlcn|2 < 00.

Т - символ транспонирования матриц, а * - символ комплексного сопряжения.

Введение

Актуальность темы. Понятие "wavelet"(всплеск) с 80-х годов широко используется в теоретических и прикладных исследованиях. Большой вклад в развитие теории всплесков внесли I.Meyer ([24]), S.Mallat ([21], [22]), И. Добеши ([12]), К. Чуй ([4]), А. Cohen ([6]), W.M. Lawton ([17], [18]), И.Я. Новиков ([26]), М.А. Скопина ([35]), В.Ю. Протасов , В.Г. Захаров ([46], [47]), Ю.А. Фарков ([33]), и другие.

Ортонормированным всплеском называется функция ф(х) , такая, что множество функций {ij;jtk(x) = 2i/2ip(2jx - к) : k,j 6 Z2} образуют ОНБ пространства L2(R) .

Строить базисы ортогональных всплесков обычно начинают с построения КМА - кратномасштабного анализа (кратномасштабной аппроксимации пространства L2(R)), после того, как это понятие ввели Meyer Y. ([25]) и Mallat S. ([21]).

Определение 1. Последовательность {Vj}je% вложенных замкнутых подпространств пространства L2(R)

... С Vj С Vj+i С ... (0.0.1)

называется его КМА, если удовлетворяет условиям:

«) D7^ = L2(R);

б) а ^ =

в) f(x) в Vj ^ f(x - 1/2?) е Vj (I £ Z);

г) f{x) eVj & f(2x) в Vj+1(J е Z);

д) найдется такая функция ср(х), которую называют

б

масштабирующей, что множество {(fi{x — п)}пе% образует ОНБ пространства Vq .

Известно ([21]), что для выполнения (0.0.1) необходимо и достаточно, чтобы

= ^hvViAx)' h„ = ((р,^), (0.0.2)

vez

что равносильно тому, что

<р{ш) = т(и/2)ф(ш/2), т(ш) = У] -i=^e-27ríVu;, т(и) Е L2[0,1). (0.0.3)

„gz V2

Функцию т{ш) называют маской функции (р. Необходимое условие ортогональности дает

Теорема А([21]). Пусть {(fi(x-\-k)}kez ~ ортонормированная система, и т(ш) определена в (0.0.3). Тогда

т(и)\2 + \т(ш + 1/2)|2 = 1 (0.0.4)

По схеме С.Малла ([21]) пространства всплесков У/^ определяются, как ортогональные дополнения У^ до а ортогональный всплеск

г1){х] строится так, чтобы система {Фз,к{х)}ке% ПРИ каждом ] Е Ъ была ортонормированным базисом пространства

Условия а)-д) в определении КМА не являются независимыми. При фактическом построении конкретного КМА наиболее трудным является условие д), согласованное с (0.0.1), даже если его заменить на формально более слабое условие д'), что система {ср(х — п)}пех образует базис Рисса порождаемого ей подпространства Уо = Зрап{(р(х — п)} ег,

удовлетворяющий, по определению, условию: существуют такие положительные числа А и В, что

жЕ н2)1/2 ^ il - n)iiL3(R) < Б(Е ы2)1/2

nez nez ne z

для любых последовательностей {an}, {Ьп} 6 12(Ъ).

Наиболее существенный вклад в преодоление указанной выше трудности

внес S.Mallat, заметивший, что из (0.0.2) и (0.0.3) следует, что для гладких

т(ш) функция (р(ш) - преобразование Фурье будущей функции ip(x)

- должна быть L2-пределом последовательности (pN(u) =

Реализуя эту идею, он нашел довольно широкие дополнительные к (0.0.4)

достаточные условия на т(ш), обеспечивающие ортогональность в L2(R)

системы {(р(х — п)}пеz, порождаемой маской т(ш) по правилу

00

(р{ш) = Цшф, Ф) = (0.0.5)

3=1

Более того, оказалось (см. [12, разд. 5.3]), что при довольно слабых дополнительных к д) и (0.0.1) ограничениях на (р(х) (типа ф{ш) непрерывна в нуле и ^(0) = 1 ) порождаемая функцией (р система подпространств

v3 = {/(®) = Е сз№>к : {°з*}кеZ € /2(Z)} (0.0.6)

автоматически образует кратномасштабный анализ пространства L2(R).

Эти условия на (р легко переформулировать как условия на т(и), при

этом из (0.0.5) при сходимости бесконечного произведения в L2(R) следует

(0.0.3), и значит, из (0.0.2) и (0.0.1).

Теорема Б([21]). Если т(ш) - непрерывно дифференцируемая

в окрестности точки ш = 0 1-периодическая функция, которая

8

удовлетворяет (0.0.4) и

|т(ш)| > 0, (0.0.7)

м<1/4

то бесконечное произведение в (0.0.5) сходится в Ь2(Е), (р и (р из (0.0.5) принадлежат Ь2(М), система {<р{х — к)}не% — ортонормированная, функция <р(х) порождает КМ А пространства Ь2(М) в соответствии с правилом: V} = Зрап{(р^к '■ к € Щ, з € Ъ.

Позже, развивая технику Малла, Коэн при условии, что т(и>) -тригонометрический полином, уменьшил окрестность нуля, в которой 7П(ш) не обращается в ноль, а также получил на этом пути необходимые и достаточные условия ортогональности системы сдвигов финитных масштабирующих функций:

Теорема В ([6]). Пусть т(и) является тригонометрическим многочленом, удовлетворяющим условию (0.0.4), причем функция <р(х) определена с помощью т{ш) и своего преобразования Фурье по формулам (0.0.5). Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) {(р{х — к)}кеъ — ортонормированная система;

2) существует компактное множество К, конгруэнтное [—1/2,1/2] по модулю 1, содержащее некоторую окрестность нуля, и такое, что

т/ьо гп^ек\т(2~к^)\ > 0.

Условие 2) здесь не так прозрачно, как условие (0.0.7), и Коэн в той же работе в качестве следствия этой теоремы получил достаточное условие, аналогичное теореме Б Малла, заменив в (0.0.7) границу 1/4 на 1/6 в случае, когда т{ш) — тригонометрический полином.

9

Конструкцию всплеска ф для заданного КМА определяет следующая Теорема Г([21]). Пусть ф{х) = где /г^

- коэффициенты из (0.0.2). Тогда при каждом j 6 Z система ez является ортонормированным базисом пространства W3 — Vj—Vj-i, а система z является ортонормированным базисом

пространства L2(R) .

Параллельно с развитием общей теории всплесков строились различные конкретные ортогональные базисы всплесков: на основе сплайнов (Баттл, [1]; Лемарье, [19]; К.Чуй, [9]), знаменитые всплески с компактным носителем (И.Добеши, [11]), обобщение всплесков Хаара на базе ортогональных на отрезке многочленов Лежандра (Донохо, [13]), койфлеты, всплески Добеши с несколькими нулевыми степенными моментами (Coifman, [5]), периодические всплески (Осколков-ОШп, [31]), всплески для представления аналитических и гармонических функций в круге, кольце и полуплоскости (Субботин-Черных, [39]), всплески на сфере (М. А. Скопина, [38]), р-адические всплески (М. А. Скопина, [37]), биортогональные всплески на группах Виленкина (Ю. А. Фарков, [34]), и др. Почти одновременно с этим наметилась тенденция расширения понятия всплеска, которая продолжается до сих пор. При этом понятие всплеска обобщалось в разных направлениях: условие ортогональности системы {¡р{х — А;)} заменялось на ее биортогональность некоторой другой системе {(р(х — к)} ([7], [8], [44]), строились ортогональные "почти-всплески" на основе КМА со своей масштабирующей функцией сpj для каждого пространства Vj, j 6 Z (Берколайко, Новиков [28], [29]; К. de Boor [2] ), вэйвлет-пакеты Coifman'a и Мейера ([10]);

10

разрабатывались системы представления многомерных сигналов (выборок (samples) значений функций нескольких переменных), использующие от КМА только идею вложения систем подпространств со все более "мелкомасштабными" базисными функциями Swelden'a, [43].

Другой путь расширения понятия всплеска - введение мультивсплесков ([15], [32, с. 103], [40], [41], [42]), состоит в том, что условие д) в определении КМА заменяется на следующее:

д") найдется система функций ip1(x),(p2(x), ...,(рп(х), такая, что система {(р1(х — к),(р2(х — к),(рп(х — k)}kez образует ортонормированный базис подпространства Vq.

Для выполнения (0.0.1) здесь необходимо, чтобы выполнялась (вместо одного) система масштабирующих соотношений (ps =

s = 1,2, ...п. Но даже в случае двух функций реализация идеи Мейера-Малла построения всплесков через масштабирующие функции здесь довольно затруднена из-за громоздкости формул, поэтому обычно рассматривают только конкретные примеры всплесков, которые в некоторых случаях по заверению авторов ([20]) работают лучше классических при обработке сигналов и сжатии изображений. Универсальный алгоритм построения биортогональных мультивсплесков с компактным носителем приведен в работе ([36]).

Цель работы. Главной целью настоящей работы является расширение палитры ортогональных всплесков на базе сужения систем почти-всплесков Новикова-Берколайко, ограничиваясь только двумя (в общем случае -п) масштабирующими функциями с сохранением почти всех свойств классических ортогональных всплесков, включая конструкцию всплесков

с помощью бесконечного произведения масок, алгоритмы прямого и обратного дискретного всплеск-преобразования.

Методы исследования. В диссертации использовались методы математического анализа, теориии функций, линейной алгебры.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

— Построен алгоритм построения базисов мультивсплесков по масштабирующим функциям независимо от свойств масштабирующих функций.

— Приведен способ ортогонализации базиса Рисса мультимасштабирующих функций.

— Построены новые системы пространств кратномасштабного анализа на основе нескольких масштабирующих функций, и при использовании их свойств образованы новые базисы пространства Ь2(М) на основе классических масок, в частности, масок Добеши, Хаара, Котельникова-Шеннона, и др.

— Построены схемы вычисления коэффициентов разложения функции по базису пространств кратномасштабного анализа, используя коэффициенты разложения этой функции по базисам предыдущих пространств кратномасштабного анализа и дополняющих их пространств всплесков, а также, наоборот, вычисления коэффициентов разложения функции по базису предыдущего пространства, используя известные коэффициенты разложения по базису пространства с большим номером (прямые и обратные дискретные всплеск-преобразования).

— Для построенных неклассических всплесков доказаны теоремы,

12

которые являются распространением на п-раздельный случай теоремы Малла о достаточных условиях на маски для того, чтобы система сдвигов соответствующих построенных по ним масштабирующих функций была ортонормированна, а также, используя эти условия, получены оценки скорости сходимости.

— Построены примеры некоторых всплесков на основе классических масок с использованием пирамидальных схем.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер. Предложенные алгоритмы позволяют построить множество новых ортонормированных базисов, обладающих свойствами, подобными свойствам классических всплесков, даже используя только уже известные классические маски.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на Всероссийской конференции "Современные методы теории функций и смежные проблемы"(Воронеж, 2011); на Всероссийских молодежных конференциях "Проблемы теоретической и прикладной математики "(Екатеринбург, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012); па летних Школах C.B. Стечкина по теории функций (2011, 2012, 2013); на Международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики посвященной 90-летию со дня рождения профессора Л.А.Толоконникова (Тула, 2013); на семинарах в Институте математики и механики УрО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [48]-[53]. Из них статьи [48], [49] опубликованы в изданиях из списка, рекомендованного ВАК. Результаты, вошедшие в диссертацию,

13

получены автором самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем работы — 121 страница. Список литературы содержит 53 наименования.

Содержание работы. Первая глава диссертации посвящена мультивсплескам. В первом параграфе рассмотрена конструкция базисов КМ А на основе нескольких масштабирующих функций, которая используется для построения мультивсплесков:

Определение Последовательность вложенных друг в друга замкнутых подпространств

... С Vj С Vj+1 С...

пространства L2(1R) называется его кратномасштабным анализом размерности k (KMAf-), если удовлетворяет следующим условиям:

а) \JjVj = L2(M);

б) а- У5 = {0} ;

в) f(x) eVj&yie z f(x - l/2j) e v5;

г) f(x) ev0^\fje Z /(24c) e Vj ;

д) найдутся такие функции {ip1(x),(p2(x): ...,ipk(x)} из V0 С L2(R), что множество их сдвигов {у?1{х — п), ср2(х — п),..., (pk{x — n)}nez образует ортонормированный базис пространства Vq .

Показано, что для КМ А к условие д, как и в классическом случае, эквивалентно условию д') найдутся такие функции {g1{x),g2(x), ...,gk(x)} , что множество их сдвигов {gl(x — n),g2(x — n),...,gk(x — п)} образует базис Рисса пространства Vo, то есть

14

».■лс—- -яге

существуют такие А и В, что

¿(В 1412 + + - + 1412))1/2 <

пеЪ

< II - п) + с2<г2(я - п) + ... + скдк{х - тг))||ь2(к) <

п€2

пе2

Обозначив для краткости

А г, = ¿еЬ

^ ¿1,1 . . . ¿1,/г ^

^2,1 ¿2,2 - • • ¿2,А;-1 ¿2,к

\ Ьк,2 ... Ьк,к-\ ^к,к /

построим ОНБ по базису Рисса следующим образом:

Теорема 2. Пусть {д1(х — п), д2(х — п),..., дк(х — п)}пе% - система Рисса. Тогда система определяемых своими преобразованиями Фурье функций {<р1(х - п), р2(х — тг),..., (рк(х — гг)}пех

Рм

у?1 И = /у-'

-¿гд^М + ¿1,1 .

ДЛ^!,! (¿1,1^2,2 ~ 1^2,112)

• )

/

¿1,1 и,2 ■■■ Ь^к-1 д1 (и) -^2,1 -^2,2 • • • 1>2,к-\ 92{ш)

\

¿еЬ

\ ьк,1 ьк,2 • • • 1 /

(0.0.8)

л/АкАк-1

является ортонормированной.

Отметим, что данное представление не является однозначным и зависит от порядка, в котором берутся функции дк в представлении (1.1.5).

Далее приведен способ построения мультивсплесков по известной ортонормированной системе мультимасштабирующих функций. В отличие от алгоритма, приведенного в статье ([36]), метод, приведенный в диссертации, не использует свойства компактности носителя мультимасштабирующих функций, поэтому может применяться для любых мультимасштабирующих функций. Но для того, чтобы из мультимасштабирующих функций с компактным носителем получить ортонормированные мультивсплески с компактным носителем, требуется специальный подбор дополнительных функций, тогда как в работе ([36]) компактность носителя мультивсплесков сохраняется.

Главной целью настоящей работы является расширение палитры ортогональных всплесков на базе систем почти-всплесков Новикова-Берколайко, но ограничиваясь при этом только двумя (в общем случае - конечным числом п) масштабирующими функциями, порождающими цепочку вложенных подпространств, в отличие от мультивсплесков -каждое своей функцией. При этом сохраненяются почти все свойства классических ортогональных всплесков, включая конструкцию всплесков

с помощью бесконечного произведения масок, алгоритмы прямо