Масштабирующие уравнения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Протасов Владимир Юрьевич

Масштабирующие уравнения

Специальность 01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2005

Работа выполнена в Московском Государственном Университете им.М.В.Ломоносова, на кафедре общих проблем управления, механико-математический факультет.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Вершик A.M. доктор физико-математических наук, профессор Лукашенко Т.П. доктор физико-математических наук, профессор Скопина М.А.

Ведущая организация

Институт Математики и Механики Уральского отделения РАН

Защита диссертации состоится " /Г " 2006 г.

в " № " часов на заседании диссертационного совета Д 002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института им.В.А.Стеклова РАН по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб.р.Фонтанки, 27, к.311

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института им.В.А.Стеклова РАН

Автореферат разослан " " ¿»/у?«*-* 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук

А.Ю.Зайцев

1. Общая характеристика работы

Актуальность темы. Масштабирующим уравнением называется функциональное разностное уравнение с двоичным сжатием аргумента:

n

Ч>{?) = ^,ck<p(2x-k)t (1)

к=о

где {со, • • •, с^г} - произвольная последовательность комплексных коэффициентов. Эта последовательность называется маской уравнения, а

n

тригонометрический полином m(£) = | с*е~21Г,^Л - его характперисти-

к

ческой функцией или символом. Финитное решение (р масштабирующего уравнения (возможно - в смысле обобщенных функций) называется масштабирующей функцией. Известно, что если уравнение имеет фи-

n

нитное обобщенное решение, то JZ °к — 2П для некоторого целого п, при-

к

чем можно ограничиться случаем п — 1, и таким образом т(0) = 1 (остальные случаи сводятся к данному дифференцированием). В этом случае обобщенное финитное решение существует, единственно с точностью до умножения на константу, сосредоточено на отрезке [О, N], при

этом ^(0) = fR ip{x) dx ф 0, где £>(£) = / <p(x)e~2*ixf dx - преобразование

R

Фурье. Если не оговорено обратное, мы будем нормировать масштабирующие функции условием у?(0) = J <р(х) dx = 1. Преобразование Фурье нормированной функции дается следующей формулой:

оо

Ш) = Пт(2"^)- (2)

J=1

Наиболее известными масштабирующими функциями являются В-сплайны, функции Добеши, интерполяционные функции Деларье-Дюбука. Тесно связаны с ними кривые де Рама и функции Рвачева.

Систематические исследования по теории масштабирующих уравнений начались в середине 1980-х гг и продолжают интенсивно развиваться в настоящее время. Масштабирующие функции применяются при построении всплесков с компактным носителем. При этом гладкость и ап-проксимационные свойства всплесков выражаются через соответствующие показатели масштабирующих функций. Исследования в этом направлении начались с классических работ И.Добеши, Дж.Лагариаса, Ч.Чуи, Л.Виллемойса, А.Коэна, К.Хейля, А.Рона, Р.Джиа и других. Примерно в это же время выяснилось, что масштабирующие функции являются

главным инструментом при изучении уточняющих алгоритмов, применяющихся в теории приближений и в компьютерном дизайне. Этому посвящено множество работ, среди которых выделим работы А.Каваретты, В.Дамена, Ч.Мичелли, К. Де Боора, Н.Дин, А.Левина, Д.Грегори, Ж.Деларье, С.Дюбука, Л.Берга, Г.Плонки, Д.Жоу, Я.Вонга и др. Масштабирующие уравнения естественным образом возникали в задачах теории вероятностей (Г.Дерфель, Н.Дин, А.Левин, Я.Вонг), математической физики (Р.Шилинг, Я.Моравец), теории фрактальных кривых (Ч.Мичелли, Г.Праутш и др.), комбинаторной теории чисел.

В настоящее время библиография по теории масштабирующих уравнений насчитывает несколько сот наименований. Основные вопросы: разрешимость уравнений в различных пространствах функций, методы определения локальной и глобальной гладкости решений а также модулей непрерывности по коэффициентам уравнения, аппроксимационные свойства всплесков, построенных по данным масштабирующим функциям, скорость сходимости соответствующих уточняющих схем и каскадных алгоритмов, поиск оптимальных масштабирующих функций в различных задачах и т.д. По ряду вопросов достигнут существенный прогресс, тем не менее, многие проблемы теории масштабирующих уравнений остаются на данный момент нерешенными.

Целью диссертации является построение единой теории масштабирующих уравнений и фрактальных кривых общего вида, решение нескольких задач теории масштабирующих уравнений а также применение масштабирующих уравнений к задачам теории вероятностей и теории чисел.

Методы исследования. Используются методы гармонического анализа на прямой, теории приближений, линейной алгебры и теории функций действительного переменного.

Научная новизна и основные результаты. В работе получены следующие новые результаты:

(1) Разработана техника факторизации масштабирующих уравнений, с помощью которой исследование уравнений общего вида сводится к хорошо изученному частному случаю (случаю стабильной масштабирующей функции). Данная задача исследовалась ранее в работах И.Добеши, Дж.Лагариса, К.Хейля, Л.Виллемойса и др. Доказаны факторизадион-ные теоремы об общем виде гладкой масштабирующей функции.

(2) Получены формулы, выражающие глобальную и локальную гладкость фрактальных кривых, соответствующих паре аффинных операторов, через спектральные характеристики операторов. Изучены множества постоянной локальной гладкости. Доказано, что локальная глад-

кость одна и та же для почти всех значений аргумента (в мере Лебега), и выражается через экспоненту Ляпунова данных операторов. Эти результаты применены к масштабирующим функциям, для которых в данной работе вычислены показатели локальной гладкости и модули непрерывности.

(3) Найдены в явном виде ядра и все общие собственные подпространства теплицевых операторов, соотвествующих масштабирующим уравнениям. Ранее эта задача исследовалась в работах Г.Стрэнга, К.Хейля, Л.Берга, Г.Плонки и др.

С помощью данного результата упрощена формула (полученная ранее Д.Стрэнгом, Д.Коллелой и К.Хейлем) для показателя Гельдера масштабирующей функции. Также найдены модули непрерывности всплесков и масштабирующих функций в пространствах С* (К) и (К) .

(4) Решена задача о непрерывной зависимости решения масштабирующего уравнения от начальных данных (т.е., от коэффициентов уравнения) в различных функциональных пространствах. Для любых к > 0 и р е [1,+оо) сформулированы условия на малые шевеления коэффициентов, при которых решение меняется непрерывно в метрике пространства С*1 (К) или пространства IV*(К).

(5) Получен критерий сходимости уточняющей схемы и каскадного алгоритма Добеши при условии, что соответствующая масштабирующая функция непрерывна. Эта задача ранее ставилась и исследовалась во множестве работ.

Скорость сходимости каскадного алгоритма в различных функциональных пространствах выражена через гладкость масштабирующей функции в соответствующих пространствах.

(6) Получены формулы для локальной гладкости всплесков Добеши в каждой точке. Для малых размерностей вычислены минимальный и максимальный показатели локальной гладкости, а также гладкость на множестве полной меры.

(7) Проведен детальный анализ классических кривых де Рама. Для каждого значения параметра и> € (0, в явном виде вычислены показатели глобальной гладкости (в натуральной параметризации), максимального и минимального показателей локальной гладкости. Доказано, что почти во всех точках (в мере Лебега) локальная гладкость производной кривой де Рама одна и та же и равна = — — — где р — р(и>) - показатель Ляпунова специальных 2 х 2-матриц, зависящих от параметра ш. Для показателя Ляпунова р(ш) получена интегральная формула, из которой следуют оценки на величину аои'(и>). Так, при лю-

бом и) имеем 1 < ааь(ш) < 2, следовательно, гладкость почти всюду больше 1. Это означает, в частности, что кривизна кривой де Рама равна нулю почти в каждой точке.

(8) Получен критерий разрешимости в 1/р(К) масштабирующего уравнения с неотрицательными коэффициентами. С помощью этого результата решена задача об абсолютной непрерывности распределения вероятностного степенного ряда (эта задача исследовалась Г.Дерфелем, Н.Дин и А.Левиным (1996) и Я.Вонгом (1995,1996)). Задача тесно связана с известной проблемой Эрдеша о плотности распределения конволюций Бернулли.

(9) Полностью охарактеризованы кусочно-гладкие масштабирующие функции и масштабирующие сплайны. Тем самым доказана полнота классификации масштабирующих сплайнов, полученной в 1995 г. У.Лоутоном, С.Л.Ли и Я.Шеном и в 2000 г. Л.Бергом и Г.Плонкой. С помощью этого мы доказываем вторую факторизационную теорему о разложении гладкой масштабирующей функции в свертку непрерывной масштабирующей функции и масштабирующего сплайна. Эта теорема в одномерном случае решает задачу, поставленную в 1991 г. А.Кавареттой, В.Даменом и Ч.Мичелли. Для масштабирующих сплайнов найдена скорость сходимости каскадного алгоритма.

(10) Теория масштабирующих уравнений применена к задаче об асимптотике бинарной функции разбиения Эйлера, относящейся к комбинаторной теории чисел. Решены две проблемы, поставленные в 1989 г. Б. Резником.

Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты и разработанные методы применимы в теории всплесков, теории приближений, спектральной теории, теории вероятностей и комбинаторной теории чисел.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы и списка литературы. Работа изложена на 313 страницах текста (включая 10 страниц списка литературы), подготовленного в системе Ш^Х, снабжена предметным указателем, без иллюстраций. Список литературы насчитывает 135 наименований.

Апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1] - [22]. Результаты диссертации докладывались в 1998-2005 гг. на семинарах в МГУ: на семинаре п/р П.Л.Ульянова и Б.С.Кашина, семинаре п/р А.Г.Костюченко и А.А.Шкаликова, семинаре п/р Б.С.Кашина и С.В.Конягина, семинаре п/р М.А.Вишика, семинаре п/р Т.П.Лукашенко, и др., на семинаре в МИАН п/р О.В.Бесова и

С.М.Никольского, на семинарах в ПОМИ: семинаре п/р А.М.Вершика, семинаре п/р И.А.Ибрагимова, семинаре п/р В.П.Хавина, на школах по теории функций и теории приближений в Воронеже и Саратове и Ми-ассе, на международных конгрессах и конференциях в Москве, Санкт-Петербурге, Дубне, Новороссийске, ДеКалбе (США), Порто (Португалия), Будапеште, Берлине, Амстердаме, Тилбурге (Нидерланды), Хад-дерсфильде (Великобритания), Севилье (Испания), Левене (Бельгия).

Работы автора по масштабирующим уравнениям в 1999 г. были награждены премией Немецкого математического общества для молодых ученых (стипендия им. Л.Эйлера), а в 2005 г. получили первую премию на конкурсе молодых ученых МГУ.

2. Краткое содержание работы

Во введении даются основные определения и понятия, приводится список используемых обозначений, излагается история вопроса, обосновывается актуальность темы, приводится обзор литературы по теории масштабирующих уравнений, формулируются вопросы и задачи, решаемые в диссертации.

Первая глава диссертации содержит основные понятия и факты теории масштабирующих уравнений и теории всплесков. В ней приведены как хорошо известные классические результаты: теоремы о существовании и единственности решения масштабирующего уравнения, В-сплайны и всплески Добеши, критерии стабильности (свойства базиса Рисса для целых сдвигов) финитной функции, условия Стэнга-Фикса, так и новые результаты. В ряде случаев известные результаты формулируются в более сильном и общем виде, или снабжены новыми доказательствами.

Из новых результатов, содержащихся в главе 1, выделим необходимые условия существования гладкого решения у масштабирующего уравнения. Для их формулировки удобнее перейти к алгебраической форме записи символа уравнения. Обозначим т(г) = ^ ]Сь=ос*2*- Таким образом, т(£) = т(е-2,г^). В большинстве работ рассматривался следующий частный случай гладких масштабирующих функций: если при некотором I > 0 масштабирующая функция принадлежит С'(К), то предполагалось, что символ уравнения ш(г) удовлетворяет правилу сумм порядка I. Это означает, что полином т(г) имеет корень кратности > 1+1 в точке г = —1, т.е., представляется в виде т(г) = где

т/+1 - алгебраический полином. Однако, хорошо известно, что правило сумм не является необходимым условием существования С'-решения. Какое условие на символ уравнения является необходимым?

Ответ получен в терминах бинарных деревьев. Рассмотрим дерево 7", построенное следующим образом: корню дерева ставится в соответствие число 1, из корня выходит одно ребро в вершину с числом {—1}, эта вершина составляет первый уровень дерева, число i (мнимая единица) и —г лежат в вершинах второго уровня, соседних с вершиной {—1}. Далее дерево строится по индукции: если число z находится в вершине п-ного уровня, п > 1, то ее соседи на (n +1) — ом уровне - числа Таким образом, все вершины дерева имеют валентность 2, за исключением корня, валентность которого равна 1. На n-том уровне дерева, п > 1, находится 2n_1 вершин, им поставлены в соответствие числа e-2*ri(2fc+i)д, _ о,...,2й"1 — 1. Далее будем отождествлять вершину дерева с соответствующим числом.

Пусть Л — подмножество вершин дерева, не содержащее корень. Некоторые элементы Л могут совпадать, в этом случае они считаются с кратностью. Множество Л называется блокирующим кратности г (г > 1), если любой бесконечный путь по дереву «о —*■ ос\ —► ..., выходящий из корня (вершина а* - из fc-того уровня, все пути по дереву - с возрастанием уровней, т.е., без хода назад) имеет ровно г общих элементов с множеством Л, считая с кратностью. Ясно, что все блокирующие множества конечны, причем, для данного г существует конечное число блокирующих множеств кратности г.

Необходимые условия гладкости масштабирующей функции даны в следующей теореме.

Теорема 1. Для любого I > О следующие свойства масштабирующей функции (р равносильны:

a) существует блокирующее множество кратности Z+1, состоящее из корней символа m(z);

b) пространство алгебраических полиномов степени < I содержится в пространстве, которое порождают целые сдвиги функции <р;

c) порядок приближения функцией <р не меньше I, т.е. для любой финитной функции f € Cl+1(R) расстояние в равномерной метрике от f до линейной оболочки системы функций {уз(/г-1 • —к), к € Z} равно 0(hl+1) при h —*■ 0.

Если масштабирующая функция tp принадлежит C'(R), то она обладает свойствами (а),(Ь) и (с).

Итак, условие (а) на символ уравнения определяет аппроксимацион-ные свойства масштабирующей функции и является необходимым условием гладкости. Правило сумм является частным случаем условия (о), когда блокирующее множество кратности / -f 1 целиком сосредоточено в вершине {—1}, т.е., состоит из элемента {—1}, взятого с данной крат-

ностью. Из теоремы 1, в частности, следует классический результат о том, что I < N — 1, т.е., масштабирующая функция имеет конечную гладкость.

Глава 2. В этой главе изучается локальная гладкость фрактальных кривых и их модули непрерывности. Полученные результаты применяются в последующих главах к масштабирующим функциям и всплескам, поскольку они также могут быть представлены в виде соответствующих фрактальных кривых.

Пусть V - n-мерное аффинное пространство, V - соответствующее линейное пространство. Для произвольного аффинного оператора В будем обозначать через В его линейную часть (дифференциал). Совместным спектральным радиусом линейных операторов Во, В\ называется величина

¿(ДьВО = lim max ||ßdl...ßdfc||1/fc. (3)

Предположим, что пара аффинных операторов Во, В\ неприводима (операторы не имеют общих собственных аффинных подпространств) и удовлетворяет условиям

1) р_(Во,В1)_< 1;

2) BqVi — B\Vq (ví - неподвижная точка оператора B¿);

тогда существует единственная непрерывная функция v : [0,1] —* V (фрактальная кривая) такая, что

v{x) = Bív(2x~í), х€ ^р], ¿ = 0,1. (4)

Хорошо известно также, что показатель Гельдера в С[0,1] функции v равен с*° = - log2 р(В0> Bi), где

a°v = sup{a| ||v(a:)-t/(y)|| < С\х-у\«Л х,уе[0,1]}.

Мы дополняем этот классический результат оценкой модуля непрерывности фрактальных кривых:

Предложение 1. Если операторы Во, В\ не имеют общего инвариантного (линейного) подпространства, то uj(v, t) ж ta, где а = (Обозначения: w(v,t) = sup ||v(a; + /i) — v(x)||oo - модуль непрерывности

функции v(x) в пространстве С[0,1], а соотношение f(t) >с g(t) означает, что C\g(t) < f(t) < C2g{t), где C\%Ci~ положительные константы). Доказывается также, что в общем случае

Cita < tü(Vlt) < C2|lní|a¿Q,

где s < п - конструктивно определяемое целое число, зависящее от общих инвариантных подпространств операторов Bq,B\.

Аналогичные результаты доказаны для фрактальных кривых, принадлежащих Ьр[0,1]. При этом вместо совместного спектрального радиуса используется так называемый р-радиус линейных операторов, определяемый как

Рр(ДьВО = Urn (2-* . || Bdl— Bdk ||Р )1М (5)

Другой результат главы 2 касается локального показателя Гельдера фрактальной кривой в каждой точке х € [0,1]:

сь{х) = вир{о| ||v(®)'-t;(y)|| < С|х-у|в, V е [0,1]}.

Через (х) = di,d2,... будем обозначать последовательность из нулей и единиц, х — O.dicfo ... - соответствующее число в двоичной записи. Число х — Q.d\d.2 • •. назовем нормальным, если для любого е > 0 найдется N(e) такое, что для каждого п > N(e) среди цифр dk с номерами к G [п,п(1 + г)] найдутся две различные цифры. Почти все (в мере Лебега) точки отрезка [0,1] - нормальные. Все рациональные, но не двоично-рациональные точки - нормальные.

Для данной пары линейной операторов Bq,B\ и данной последовательности (х) = di, (¿2,.. • из единиц и нулей положим

рх = limsup Ц-Bdj • • • ДьН1^*

к—* оо

- совместный спектральный радиус вдоль последовательности (х),

р = lim min Н^.-.^Ц1/*

оо (du-,dk)e{од}*

- нижний спектральный радиус, и, наконец,

* = П ПДь-ДьН)17**

- показатель Ляпунова.

Теорема 2. Пусть операторы. Во, В\ - невырожденные. Тогда для любой точки х = 0.¿¿х£¿2 • • • имеем а„(х) < — log2Pi. Если точка х -нормальная, то av(x) = — log2 рх.

Для любого х величина av(x) принадлежит отрезку [— log2 р, — log2 f>\ • Более того, любое значение (3 локальной гладкости из этого отрезка достигается на непустом множестве Cl(/3) С [0,1], всюду плотном на

[0,1]. Для ¡3 = — 1о§2 р множество 0((3) "имеет, полную меру на [0,1], для всех прочих (3 € [— р, — р] - меру нуль.

Отдельные формулы получены для гладкости в рациональных точках х.

Данные результаты применяются к масштабирующим функциям. Если функция (р удовлетворяет масштабирующему уравнению (1), то вектор-функция

у{х) = (^(х),..., <р(х + ЛГ - 1))Г € К" (6)

является фрактальной кривой для специальных линейных операторов То, Ть ограниченных на подходящее аффинное подпространство в М^. Конкретные результаты о гладкости масштабирующих функций в пространствах С(Ш) и ЬР(М), модулях непрерывности и показателях локальной гладкости сформулированы и доказаны в следующей главе.

В главе 3 разработана техника факторизации масштабирующих уравнений. Это позволяет свести исследование уравнений общего вида к хорошо изученному случаю стабильной масштабирующей функции, полностью охарактеризовать многообразие гладких масштабирующих функций, упростить известные формулы гладкости, а также получить критерий сходимости уточняющих схем и каскадных алгоритмов.

Рассмотрим произвольное уравнение вида (1). Одна из главных проблем теории масштабирующих уравнений состоит в том, чтобы по коэффициентам {с*} определить, принадлежит ли решение данному классу функций и какова его гладкость. Несмотря на то, что преобразование Фурье решения дается явной формулой (2), по ней непросто оценить гладкость решения. Усилиями многих математиков были разработаны три основных метода оценки гладкости: метод поточечной оценки преобразования Фурье (оценка скорости убывания произведения (2) при £ —+ оо), метод интегральной оценки преобразования Фурье (метод находит гладкость масштабирующей функции по Соболеву: я (у?) = вир^ > 0 /|£(0|2(1 + |£|2*) < сю}), и матричный метод (выражает показатель Гельдера функции (р через спектральные характеристики N х ЛГ-матриц операторов То,7\ (теплицевых матриц), построенных по коэффициентам {с*} уравнения). Все три метода были применимы в следующей специальной ситуации: если решение ищется в классе С'(К), I > О, то предполагается, что символ уравнения удовлетворяет правилу сумм порядка I, т.е., факторизуется в виде

т(г) = хщ+1(г), (7)

где mi+i(z) - некоторый алгебраический полином степени N — I — 1. Правило сумм означает, что ш(г) имеет ноль порядка > I + 1 в точке z = —1, оно также легко формулируется в виде линейных уравнений на коэффициенты {с*}. Между тем, условие (7) не является необходимым для существования гладкого решения ip € CZ(R) (теорема 1). Возникает вопрос: применимы ли методы оценки гладкости для общих масштабирующих уравнений, не удовлетворяющих (7)? Эта проблема в различных формулировках исследовалась в работах И.Добеши, Дж.Лагариаса, Р.Жоу, Л.Виллемойса и др. Полный ответ дает

Теорема 3. Если масштабирующая функция <р принадлежит С'(К) при некотором I > 0, а символ 111(2) не удовлетворяет условию (7), то символ имеет симметричный корень а (т.е., га{л/а) — т^—у/а) — 0), который принадлежит множеству корней уравнения о2 =1. При этом масштабирующая функция <р представляется в виде

tp(x) = atpa{x) - tpa(x - 1), (8)

где функция ipa также является масштабирующей: она удовлетворяет уравнению с символом

Hia(z) = (9)

Z (•

имеет ту же гладкость, что <р, и при этом supp <ра = [О, N — 1].

Таким образом, если уравнение не удовлетворяет правилам сумм (7), то порядок уравнения можно понизить на 1 с сохранением гладкости решения. Следовательно, за конечное число шагов получается уравнение, удовлетворяющее (7). Это дает возможность применять методы оценки гладкости к любым масштабирующим уравнениям. Аналогичные результаты доказываются и для гладкости в пространствах Lp(R) и гладкости по Соболеву. Теорема 3 позволяет, кроме того, обобщить многие результаты со случая уравнений с выполненными условиями (7) на общий случай.

Следующие результаты о факторизации масштабирующих уравнений касаются матричного метода оценки гладкости. Этот метод был разработан в 1989-1994 гг. усилиями А.Каваретты, В.Дамена, Ч.Мичелли, И.Добеши, Дж.Лагариаса, К.Хейля и др. Масштабирующее уравнение (1) эквивалентно уравнению (4) на вектор-функцию v(x), определяемую формулой (6). При этом в качестве операторов В,-, i = 0,1 используются операторы T¡, определяемые своими N х //-матрицами следующим образом:

(Ti)jk = c2j-k+i-u 1 <jt k<N (10)

(такие матрицы принято называть теплицевыми, соответствующими полиному m(-z); при этом полагаем cjt = 0 при fc < О и при к > N). Таким образом, масштабирующая функция соответствует фрактальной кривой v(x), заданной операторами То, Tj. Согласно результатам главы 2, гладкость (р при этом выражается через спектральные характеристики этих операторов, ограниченных на подпространство

Ц = span {v®(x) - iх,у е [0,1]},

где I - наибольшее целое число такое, что хр € C'(R). Например, показатель Гельдера

= I -f sup {0 > 0, |у>(г)(*)-<Р(0(у)| < С\х-у\0} выражается следующим образом:

<** = -^аРС7^,^),

где р - совместный спектральный радиус. В частности, <р непрерывна тогда и только тогда когда р < 1, более того, <р € С'(К) тогда и только тогда когда р < 2~1. Аналогичные формулы имеют место и для гладкости в пространствах ЬР(Ж), р € [1, +оо). Одна из главных проблем в матричном методе - нахождение пространства Vi и общего вида операторов То, Т\ на этом пространстве. Кроме того, для определения модулей непрерывности масштабирующей функции и ее локальной гладкости используются предложение 1 и теорема 2. Для этого, однако, необходимо знать, будут ли операторы г = 0,1 невырождены и будут ли они

иметь общие инвариантные подпространства. Попытки исследовать этот вопрос, равно как и описать ядра и общие инвариантные подпространства операторов To,Ti, соответствующих произвольному символу ш(г) предпринимались во многих работах, в частности, в статьях К.Хейля, Д.Коллелы, Р.Жоу, Л.Берга, Г.Плонки и др. В данной диссертации представлено полное решение этой проблемы. Для формулировки основного результата применим понятия симметричных корней и циклов алгебраических полиномов. Число а € С \ {0} называется симметричным корнем полинома т(г), если = т(—у/а) = 0. При этом пара

чисел ±л/а называется парой симметричных корней. Циклом полинома m(z) называется непустое конечное множество комплексных чисел Ь = такое, что Ь2 = Ъ и m(—Ь) = 0. Это означает, что

= 0 и bj+1 = bj, j — 1,...,п (полагаем 6n+i = b\). Ясно, что любой цикл лежит на единичной окружности {г € С, \z\ = 1}. Простейший цикл - это {1}, далее следует множество из двух элементов

|e2irt/3 e4irt/3j. и Т д для каЖдого п существует конечное число циклов, состоящих из п элементов. Цикл b = {1} назовем тривиальным, все остальные циклы - нетривиальными. Полином назовем чистым, если он не имеет ни симметричных нулей ни циклов. Обозначим также через [z] вектор (1,-гг,... ,zN~x)T 6 К^, где z ф 0 - произвольное комплексное число. Пусть также Т* - оператор, сопряженный к оператору Т. Теорема 4. Если полином m(z) - чистый, то соответствующие операторы То, Ti невырождены и не имеют нетривиальных общих собственных подпрострапстё.

Если ш имеет симметричный корень а, то оба оператора вырождены и Tq [о] = Т{ [а] = 0.

Если ш имеет цикл b = {&i,...,bn}, то операторы То,Ti имеют общее собственное подпространство, являющееся ортогональным дополнением линейной оболочки векторов [6¿], j = 1,... , n в R^.

(через ~z обозначено комплексно сопряженное число к z). Таким образом, симметричные корни полинома отвечают за ядра операторов Tq, Ti, а циклы - за их общие инвариантные подпространства. Эта теорема позволяет получить полное описание всех общих инвариантных подпространств и ядер теплицевых операторов. В частности, оказывается, что у сопряженных операторов Tq , Tí ядра и все корневые подпространства совпадают.

Для нахождения подпространства Vi и ограничения операторов 7} на него в диссертации разработан алгоритм очистки произвольного символа от симметричных корней и циклов. Очистка от пары симметричных корней {± у/а} состоит в переходе от символа m к символу ma(z) = Очистка от цикла b = {bi,... ,6n} - в переходе к символу ть(г) = m(z) Пь=1(г + ta)-1. Последовательно избавившись от всех симметричных корней и циклов, получаем чистый полином шо(-г) (он не зависит от того, в каком порядке перебирались циклы и симметричные корни). Пусть dim mo = п. Обозначим через i — 0,1 - операторы, действующие в Rn и определенные своими п х n-матрицами с помощью формулы (10) по коэффициентам чистого полинома то(г). Применив теорему 4,получаем

Следствие 1. Для любого масштабирующего уравнения операторы Tq0^ и Tf0) невырождены и не имеют общих нетривиальных инвариантных подпространств.

Пользуясь этим результатом мы получаем формулу, выражающую показатель гладкости масштабирующей функции через спектральные характеристики операторов и оцениваем ее модуль непрерывности:

Теорема 5. Для любой масштабирующей функции (р имеем

а, = - 1оё2

Если число а<р не является целым, то и>{<р^ , х Ь0*-1, где I = [а^,]. Если число а^ - целое (обозначаем а<р — I + 1), то

Схг < < Сг*11п

Следствие 2. Масштабирующая функция принадлежит С*1 (К), А: > О, тогда и только тогда когда р (Т0(0), Т^0)) < 2~к. При этом а,р> к.

Аналогичные результаты имеют место для пространств ЬР(Ж) при всех р Е [1, +оо), при этом вместо совместного спектрального радиуса р операторов Т^, Т^ используется их р-радиус рр.

Для вычисления локальной гладкости необходимо установить общий вид операторов То, Т\ на пространстве V/. Напомним, что I - наибольшее целое число такое, что (р Е С1 (Ж). Обозначим также через Ь наибольшее целое число такое, что дерево Т имеет блокирующее множество кратности Ь+1, состоящее из корней символа т(г). Согласно теореме 1, имеем Ь>1.

Предложение 2. Для любого масштабирующего уравнения пространство Ц имеет размерность й — п + Ь — I, а операторы Тц„. г = 0,1

Г'

невырождены. В некотором базисе пространства VI матрицы этих операторов имеют нижний блочно-треугольный вид, при этом на диагонали матрицы Т}|^ стоят числа 2-'"1,..., и матрица Т^ (если

Ь — I, то = г = О,1/ Операторы имеют цепочку

вложенных общих собственных подпространств

и не имеют других общих собственных подпространств (в случае Ь — I эта цепочка - пустая).

Для базиса пространства Ц, в котором операторы Т» имеют нужный вид, получены явные формулы.

Установив общий вид теплицевых операторов Т» на пространстве М, применяем теорему 2 для масштабирующих функций. Вектор-функция ь(х), соответствующая масштабирующей функции (р(х) определена формулой (6). Теорема б дает формулу для вычисления локальной гладкости функции ь(х):

Теорема 6. а) если Ь — I, то в любой точке х € [0,1] имеем

ОС„(1)(х) < — 1о ё2рх,

во всех нормальных точках х имеем а„(о(х) = — 1о%2рх. б) если I < Ь, то в любой точке х имеем

<xvv)(x) < minj-í -logjpa;, l};

в нормальных точках выполняется соответствующее равенство.

Следующая теорема касается распределения точек фиксированной локальной гладкости.

Теорема 7. Пусть р, р, р - соответственно, совместный спектральный радиус, нижний спектральный радиус и показатель Ляпунова операторов чистого символа T¡¡°\ i = 0,1. Тогда

|av(o(х), х е [0,1]} = [-Í - log2p , Ь ] ,

где Ъ = — log2 р в случае 1 — L и Ъ — min{l, —I — log2 /3} иначе.

Для каждого а из этого отрезка множество точек х, для которых а„(о(я) — а всюду плотно на отрезке [0,1]. Для показателя средней гладкости а = oeav, где

{— log2 р , если I — L ]

min| 1, — / — log2p|, если 1<L

это множество имеет полную меру на [0,1], а для всех остальных значений а - меру нуль.

Очистка масштабирующих уравнений лежит в основе факторизацион-ных теорем о представлении гладкой масштабирующей функции в виде свертки. Для любого I > 1 доказана следующая

Теорема 8 [Первая факторизационная теорема]. Любая масштабирующая функция tp, принадлежащая С1 (Ж), единственным образом представляется в виде свертки tp = Si-1 * ipi, где Si-i(x) - сплайн порядка 1—1 с целыми узлами, ip¡ - непрерывная стабильная масштабирующая функция. При этом а^ = а^, 4-1.

Теорема 8 сводит изучение всех гладких масштабирующих функций к стабильным (имеющим линейно независимые целые сдвиги) непрерывным масштабирующим функциям меньшего порядка. Вторая факторизационная теорема, в которой функция <р\ не обязательно стабильна, но сплайн iSi_i сам является масштабирующей функцией, доказывается в главе 4.

С помощью очистки устанавливается также следующий результат, связывающий гладкость масштабирующей функции и скорость сходимости уточняющей схемы. Уточняющим оператором называется линейный оператор В на пространстве ограниченных последовательностей действующий по формуле

к

Уточняющий алгоритм (схема) состоит в последовательном применении оператора В к некоторой последовательности Л € Уточняющая схема сходится если для любой последовательности А € существует непрерывная функция /д такая, что

ВпА -/а(2-».)||, -0, П-оо.

НСоо

Уточняющие схемы появились в качестве объекта исследования почти одновременно со всплесками, в конце 1980-х годов. Они являются быстрыми и устойчивыми алгоритмами интерполяции гладких функций по значениям на сетке с постоянным шагом. С другой стороны, уточняющие схемы дают быстрый и чрезвычайно удобный на практике способ получения фрактальных кривых. Поэтому они также используются в компьютерном дизайне. Если уточняющая схема сходится, то соответствующее масштабирующее уравнение имеет непрерывное решение, а предельные функции fx через него выражаются. Сходимость уточняющей схемы равносильна сходимости каскадного алгоритма. Последнее означает, что для любой финитной непрерывной функции / такой, что Y^jeZ f(x — к) = 1, имеем Т71/ —*■ ip (сходимость к масштабирующей функции tp в равномерной метрике на R). Через Т мы обозначаем масштабирующий оператор:

n

[Tf](x) = £>*/( 2х-к). ь=о

Масштабирующая функция ip является неподвижной точкой этого оператора: Tip — <р. Сходимость каскадного алгоритма означает, что итерации оператора Т сходятся к неподвижной точке. Каскадный алгоритм применяется для аппроксимации масштабирующих функций и всплесков, а также для последовательного вычисления коэффициентов всплеск-разложений. Одна из главных проблем при изучении уточняющих схем и каскадных алгоритмов - условия их сходимости и оценка скорости сходимости. Необходимым условием сходимости уточняющей схемы/каскадного алгоритма является непрерывность решения ip соответствующего масштабирующего уравнения. Однако, это условие не достаточно. Ряд достаточных условий содержится во многих работах, появившихся в 1990-х

годах. Попытки построить точный критерий предпринимались в 1991 -2000 гг. в работах А.Каваретты, В.Дамена, Ч.Мичелли, Р.Жоу, Л.Берга, Г.Плонки и др. В 1999 г. М.Неамту получил ошибочное решение этой задачи (и формулировка критерия и доказательство были неверны). В диссертации представлено полное решение, дающее как критерий сходимости (при условии, что масштабирующая функция непрерывна), так и явную формулу для скорости сходимости.

По определению, каскадный алгоритм сходится в С\ если Т14/ —■> <р в метрике пространства Cl{R) для любой финитной функции / 6 C'(R) такой, что ее преобразование Фурье имеет нули порядков >1 + 1 во всех целых точках кроме 0, и /(0) = 1 (эти условия необходимы для сходимости к масштабирующей функции в пространстве С1). Аналогично определяется сходимость уточняющей схемы в Wj,. Скорость сходимости Vy определяется следующим образом:

«V = i + sup {/3 > 0, || TV - <р ||с, < С(Я2-*} ,

где I - наибольшее число, для которого алгоритм сходится в С1. Для формулировки критерия сходимости понадобится еще одно определение. Обобщенным циклом полинома m(z) называется конечное множество комплексных чисел b = {¿i,..., 6n}, n > 1 такое, что b2 = b и бинарное дерево, построенное на каждом элементе (элемент bk - корень дерева, на первом уровне стоит элемент —bk-i, на втором уровне - элементы dby/bk-i, далее - квадратные корни из них, и т.д.) имеет блокирующее множество (кратности 1), состоящее из корней полинома m(z). В частности, обычный цикл, является также и обобщенным циклом. Каждый полином может иметь лишь конечное число обобщенных циклов. Кратностью обобщенного цикла называется наибольшее целое число г такое, что бинарное дерево, построенное на каждом элементе bk имеет блокирующее множество кратности г. Обобщенный цикл {1} назовем тривиальным, все остальные - нетривиальными.

п ,1/п

Положим к(т, Ь) == П т(М - Обозначим также через 1(т)

j=1 I

большее целое число I, для которого символ уравнения m(.z) факторизу-ется в виде (7). Таким образом, число 1(т) на 1 меньше кратности корня z = — 1 полинома т(г).

Теорема 9. Для любого к> 0 выполнен следующий критерий: каскадный алгоритм (уточняющая схема) сходится в Ск тогда и только тогда когда tp 6 Ск, 1(т) > к, и для любого нетривиального обобщенного цикла b символа т выполнено к(т,Ь) < 2~*.

наи-

Скорость сходимости вычисляется по формуле

1/у, = тт| ар, 1(т) + 1, л(т,Ьх), ... , л(т,Ь,)

где Ьх,..., Ьа - все нетривиальные обобщенные циклы символа т.

Таким образом, обобщенные циклы являются причиной возможной расходимости уточняющей схемы. В частности, если символ не имеет нетривиальных обобщенных циклов, то скорость сходимости в точности равна гладкости масштабирующей функции. Показано также, что критерий сходимости, сформулированный в теореме 9, точен. Это означает, что любой обобщенный цикл может служить причиной расходимости каскадного алгоритма.

Следующий проблема - зависимость решений масштабирующего уравнения от коэффициентов. В пространстве обобщенных функций масштабирующая функция непрерывно зависит от коэффициентов {с*}. Если последовательность полиномов {ту(г)}у£у сходится к полиному т{г и при этом для всех ] выполнены условия с^ гп, = N, mj(l) = 1, то масштабирующие функции соответствующие данным символам, сходятся в пространстве к масштабирующей функции у?. Однако, в других функциональных пространствах, например, в С(М) или £Р(М), решения масштабирующих уравнений не являются непрерывно зависящими от коэффициентов. Если масштабирующая функция <р непрерывна, то всегда можно сколь угодно мало пошевелить коэффициенты уравнения таким образом, что у? станет чисто сингулярной обобщенной функцией. Например, если пошевелить коэффициенты так, что символ не будет иметь корней на единичной окружности (в этом случае, согласно теореме 1, решение не будет из 1а(К)). Возникает задача: при каких шевелениях коэффициентов решение меняется непрерывно? Оказывается, что ответ полностью определяется тем, какие корни символа т(г) остались неподвижны в результате шевеления коэффициентов, а какие изменились.

Для простоты сформулируем основной результат для непрерывности в метрике С (Ж), в диссертации результат распространен на все пространства С1 (К) и У/}, при I > 0, р € [1, +оо). Пусть Ъо,... Ьв - все обобщенные циклы символа ш(г), го,.. • ,гв - их кратности. Обобщенный цикл Ьо - тривиальный, остальные - нетривиальны и различны. Пусть также тс - символ, полученный из т в результате малого шевеления:

||т — ШсЦоо < е, degme = с^т, т£(1) = т(1) = 1, (11)

где ЦрЦоо — вир \р(г)\ - равномерная норма на единичной окружности. М-1

Пусть <ре - решение масштабирующего уравнения с символом те. Во-

прос: при каких условиях на ш£ из сходимости ||т — т^ Ц«, —► 0 следует

СХОДИМОСТЬ || <р — ¥>с||оо ?

Обозначим через НОД(т, ш^) полином со старшим коэффициентом 1, являющийся наибольшим общим делителем т и т£. Пусть г^ - кратность обобщенного цикла полинома НОД(т, т£) при $ — 0,..., е. Если Ь, не является его обобщенным циклом, то г^ = 0. Ясно, что г^ < гу для всех 3. Числа г^, таким образом, показывают, какие из обобщенных циклов символа сохранятся при малом шевелении (переходе от т к те) и насколько уменьшаются их кратности. Эти числа зависят только от корней символа т(г), которые сохранились при данном шевелении. Теорема 10. Пусть дано масштабирующее уравнение с непрерывным решением € С(К). Это решение <р непрерывно меняется в метрике С(Н) при малом шевелении коэффициентов уравнения, если шевеление такого, что г^ > 1 и > — к^2к(т,Ь^) для всех j = I,...

Обратно, существуют такое е > 0, что из условий (11) и (ре 6 С(К) следует, что г'0 > 1 и > — 1о§2 к( т, Ь,-) для всех j = 1,... ,з.

Глава 4 посвящена нескольким особым случаям масштабирующих уравнений, а также их приложениям к задачам теории всплесков, теории вероятностей и теории чисел.

Кусочно-гладкие масштабирующие функции и сплайны. Поскольку масштабирующие функции имеют конечную гладкость, они не могут быть аналитическими и выражаться через известные элементарные функции. Тем не менее, масштабирующие функции могут быть "кусочно-хорошими", например, являться сплайнами. А.Каваретта, В.Дамен и Ч.Мичелли в 1991 г. классифицировали все масштабирующие сплайны с целыми узлами, а в 1995 г. У.Лоутон, С.Л.Ли и З.Шен доказали, что других масштабирующих сплайнов нет. Для каждого N существует лишь конечное число масштабирующих уравнений степени /У, решения которых являются сплайнами. Все они имеют целые узлы и могут быть легко выписаны. Естественный вопрос в этой связи: существуют ли кусочно-аналитические, или, более общо - кусочно бесконечно гладкие масштабирующие функции, отличные от сплайнов ? Следующий результат дает отрицательный ответ:

Предложение 3. Если существует такое е > 0, что гладкость масштабирующей функции (р на интервале (0, е) превосходит ее гладкость на всей прямой, то <р является сплайном с целыми узлами.

Таким образом, сплайнами ограничивается все множество "кусочно-хороших" масштабирующих функций. Все остальные масштабирующие функции имеют фрактальные свойства (переменную локальную глад-

кость и т.д.). В диссертации описана структура многообразия масштабирующих сплайнов и получены явные формулы для скорости сходимости соотвествующих уточняющих алгоритмов (оказывается, для сплайнов значение этой скорости - целое число). С другой стороны, следующая теорема утверждает, что из каждой гладкой масштабирующей функции можно выделить масштабирующий сплайн.

Теорема 11 (Вторая факторизационная теорема]. Если масштабирующая функция <р принадлежит C'(R), (I > 0), то она представляется в виде свертки ip — £¿_i * <ро, где <S¿_i ~ масштабирующий сплайн порядка I — 1 и <ро - непрерывная масштабирующая функция. При этом

Oíip = ОСц, 0 +1.

Итак, все гладкие масштабирующие функции являются свертками непрерывных масштабирующих функций с соответствующими масштабирующими сплайнами. Это утверждение дает положительный ответ на вопрос, сформулированный А.Кавареттой, В.Даменом и Ч.Мичелли в 1991 г.

Масштабирующие уравнения с неотрицательными коэффициентами. Такие уравнения широко изучались в связи с их важностью при построении уточняющих схем и в задачах теории вероятностей. В 1986 г. К Де Боор, а в 1989 г. А.Миччелли и Г.Праутш доказали, что если все коэффициенты с* положительны, то при дополнительном условии Y2k с2* = Y2k c2Jfc+l = 1> N >2 масштабирующая функция непрерывна и соответствующая уточняющая схема сходится. Однако, для приложений более важен случай неотрицательных коэффициентов с*, когда некоторые из них могут обращаться в ноль. В 1996 г. Я.Вонг доказал, что если все с* нетрицатель-ны, то при условии JZk с2k = Ylk c2*+i = 1 масштабирующая функция принадлежит ¿2(К). Это условие, однако, не является необходимым. В диссертации получен полный критерий, он формулируется в терминах блокирующих множеств (глава 1).

Теорема 12. Если все коэффициенты масштабирующего уравнения неотрицательны, то его решение <р принадлежит Li(R) тогда и только тогда когда существует симметричное блокирующее множество, состоящее из корней символа m(z). В этом случае ip G Loo(R).

Каскадный алгоритм, соответствующий уравнению с неотрицательными коэффициентами, сходится в L\ тогда и только тогда когда ш(—1) = 0 tí номера ненулевых коэффициентов в последовательности с0,с1,...,сх взаимно просты (их НОД равен единице). В этом случае алгоритм также сходится в Ьр при всех конечных р > 1.

Критерий принадлежности <р пространству Li(R) неулучшаем (все его

случаи реализуются).

Приложения. Всплески с компактным носителем. Для построения системы всплесков с компактным носителем (полной ортонормированной системы функций в 1>2(Ш), имеющей вид где ф - фи-

нитная функция) нужно найти решение (р масштабирующего уравнения

с некоторыми условиями на коэффициенты с*, затем вычислить всплеск-

n

функцию ф по формуле ф{х) — ]£(—1)*+1с.лг_А:у?(2х — к). Таким обра-

к—0

зом, всплески имеют ту же локальную и глобальную гладкость, что и соответствующие масштабирующие функции. Результаты предыдущих глав без изменений переносятся на всплески. В частности, мы находим модули непрерывности всплесков, формулы для их локальной гладкости в каждой точке и для средней гладкости.

Приложения. Кривые де Рама. Результаты главы 2 о фрактальных кривых применены к исследованию классических кривых де Рама. Кривая де Рама получается в пределе из плоской ломаной с данными вершинами гь = (хк,Ук) € К2, к €Е Ъ последовательным срезанием ее углов. На первом шаге каждая сторона ломаной делится на три части в отношении и) : (1 — 2о>) : и, где ш € (0, - заданный параметр. На каждой стороне, таким образом, возникло по две точки деления. Соединив последовательно все точки деления, получаем новую ломаную, делим ее стороны в том же отношении (с тем же параметром о»), получаем следующую ломаную и т.д. Кривая, получающаяся в пределе называется кривой де Рама. Она определяется параметром ы и начальной ломаной.

Впервые такие кривые были исследованы де Рамом в 1949-53 гг. Он доказал, что для каждого и> 6 (0, |) алгоритм срезания углов сходится к некоторой непрерывной кривой Г; эта кривая спрямляема и, более того, при и> < 5 она непрерывно-дифференцируема (в натуральной параметризации). При ш — | кривая де Рама представляет собой квадратичный сплайн, т.е., составлена из кусков парабол, гладко соединенных в узлах - серединах сторон исходной ломаной. При остальных и € (0, |) кривая будет обладать фрактальными свойствами, при этом, оставаясь в классе С1. Кривые де Рама применяются в прикладной математике для приближения непрерывных функций и восстановления функций по значениям на некоторой сетке. В эргодической теории и динамических системах кривые де Рама изучаются как предельные кривые случайных блужданий. Множество работ посвящены изучению различных свойств кривых де Рама и их обобщениям.

Если в качестве начальной ломаной взять квадрат, то соответствующая кривая де Рама будет состоять из четырех одинаковых сегмен-

тов с концами в серединах сторон квадрата. Такой сегмент называется фундаментальной кривой де Рама и обозначается далее через Г. Она является фрактальной кривой в R2. В соответствующей фрактальной параметризации (4) Г(£) = (x(t), y(t)) обе координатные функции x(t),y(t) выражаются через масштабирующую функцию Чайкина - решение масштабирующего уравнения третьей степени с коэффициентами oj, 1 —и, 1—ie>, oj . Это позволяет привлечь масштабирующие уравнения к исследованию кривых де Рама. В некоторых работах 1990-х годов уточняющие схемы определялись как обобщения алгоритма де Рама срезания углов. Кривая де Рама, соответствующая произвольной начальной ломаной, является объединением нескольких кривых, каждая из которых аффинно подобна фундаментальной кривой Г. Поэтому при изучении кривых де Рама можно ограничиться только кривой Г.

Техника, разработанная в главе 2, позволяет вычислить точный показатель гладкости кривой де Рама для каждого значения параметра ш. Важность этого результата объясняется тем, что гладкость отвечает как за скорость сходимости алгоритма срезания углов, так и за точность приближения гладких функций кривыми де Рама. Нас будет интересовать "геометрическая гладкость", т.е., гладкость кривой Г в ее натуральной параметризации (в качестве параметра берется длина кривой), а не гладкость фрактальной параметризации (4) с помощью переменной t. Показатель Гельдера кривой Г выражается через нижний спектральный радиус р следующих 2 х 2-матриц:

Т° = ( 1 О2" ы ) 5 ' Tl = ( Z 1 - )

Это -теплицевы матрицы для символа то (z) = \(uz2 + (1 — 2u>)z+cjj.

Предложение 4. При каждом и £ (0, 5] кривая Г принадлежит С1, а показатель Гельдера ее производной равен

где р = p(Tq,Ti). Для модуля непрерывности имеем ш(Г',Л) < Cha, где ос = ар.

При oj > g кривая Г липшицева с константой 1, но не принадлежит С1. Она не дифференцируема во всех точках Г(£) при двоично-рациональных t и дифференцируема во всех остальных точках.

Линейные операторы Го, 7\ не коммутируют и не являются преобразованиями подобия, в отличие от операторов, порождающих большинство

классических фрактальных кривых. Поэтому вычисление их совместного спектрального радиуса, равно как и нижнего спектрального радиуса и показателя Ляпунова, представляет значительные сложности. Для решения этой проблемы в диссертации разработан геометрический метод, основанный на следующем результате:

Предложение 5. Пусть даны два линейных оператора Во, действующих в Кп, и положительное число А. Тогда

а) если существует центрально-симметричное относительно нуля выпуклое тело Л4 С Кп (выпуклый компакт с непустой внутренностью), для которого В{Л4 С А ЛА, то р(Во, В{) < А;

б) если существует замкнутое множество О. С Кп, не содержащее ноль, для которого BiQ С. XQ, то р{В^,В\) > А.

Таким образом, подобрав подходящие множества А4 и Q, получаем оценки на величины р и р. Обратные оценки можно получить, используя обычные спектральные радиусы (максимальные модули собственных значений) произведений операторов Во, В\. В некоторых случаях этот метод приводит к точным значениям р и р. Для операторов То, Т\ множества Л^ и 3 строятся в виде специальных многоугольников, зависящих от параметра и>. При каждом и) это дает точные значения р и р, а значит и точные значения показателя Гельдера.

Из предложения 4 следует, что при каждом и € кривая Г лип-

шицева, но не из С1, следовательно, от = 1- В случае со 6 (0, |] полагаем

°*(ы) " 108(1 - М -1' ^ = Ъф + ^ - 7с*) - 1 " 2- (13)

Пусть также ат\п(ш) = тт{ао(<^),аг1(а;)}, атах(а;) = тах{а0(а;), а1(ы)}. Легко видеть, что при и < | имеем аТОт = ах, атах = ао, при ю € имеем аст)п = ао, «тах = аь При этом ат« < атлх для всех и ^ Теорема 13. Для любого и € (0, показатель Гельдера производной Г" равен ОГтт(^)-

Для локальной гладкости кривых де Рама имеем Теорема 14. Пусть со € (0, §]. Для любого £ = О.с^г •.. локальная

гладкость производной Г' в точке Г(£) равна аг'(£) = ^^^Т2"^ — 2, где (Н — Нтт^-^оо • • • Т^Ц1^ - нижний спектральный радиус операторов То, Т\ вдоль последовательности (¿).

Для любого а € [ат;п, атах] множество Па = {£ 6 [0,1], аг'(*) — а}

всюду плотно на отрезке [0,1]. Для а = — 2 множество Пл

имеет полную меру на отрезке {0,1], для прочих а - меру нуль, р -показатель Ляпунова операторов То,Т\.

Таким образом, гладкость производной кривой де Рама почти во всех точках одинакова. Назовем ее средней гладкостью и обозначим aav. Эта величина тесно связана с хауедорфовой размерностью гармонической меры, которую определяет отображение t —► Iv(x(í)) на отрезке [0,1], что находит применения при изучении случайных блужданий. Согласно теореме 14, величина aav (и>) вычисляется через показатель Ляпунова р операторов Tq,T\. Для него в диссертации получена следующая интегральная формула:

i

log2p = -1 + i у log2(l - (1 - 4u>)4g2m) dt, (14)

о

где (3(t) - угол между касательными к кривой Г в точках Г(<) и Г(|). Эта формула позволяет оценить среднюю гладкость aav(oj) для каждого и). В частности, доказано следующее

Предложение 6. При каждом и € (0, |], кроме ш = имеем 1 < aav < 2. При этом aav —* 1 при ы —+ 0.

Таким образом, при показатель Гельдера производной кривой

де Рама почти всюду больше 1, т.е., производная Г' является чисто сингулярной функцией. Например, при ш = g локальная гладкость принимает

все значения от агпип = 0 до атах = 1.5588____Для средней гладкости

имеем 1.0279... < aav < 1.1557----Так как вторая производная кривой по натуральному параметру равна ее кривизне, получаем

Следствие 3. При любом и ф | кривизна кривой де Рама равна нулю почти в каждой точке.

Приложения. О распределении одного вероятностного ряда. Рассмотрим случайную величину, являющуюся суммой ряда

оо ¿=0

где t 6 (0,1) - произвольный параметр, rjj - попарно независимые случайные величины с одной и той же функцией распределения Fo, причем Е |гро| = J\x\dFQ < оо. Хорошо известно, что при этих условиях ряд (15) сходится почти наверное, aero функция распределения Fn непрерывна и имеет чистый тип (либо абсолютно непрерывна - имеет плотность F¡j £ Lx(R), либо чисто сингулярна - F^ является гармонической мерой). Классическая задача состоит в том, чтобы разделить эти две ситуации: для конкретных t и Fq определить, будет ли функция распределения Fv абсолютно непрерывной, или сингулярной. Например, если величи-

на ?7о принимает значения ±1 с вероятностями то получаем известную проблему Эрдеша о конволюциях Бернулли. Для других распределений 7]о задача изучалась А.Закусило, Г.Дерфелем и др. В 1996 г. Н.Дин, Г.Дерфель и А.Левин рассмотрели эту задачу для £ = | и произвольной целочисленной случайной величины щ, применив к ней теорию масштабирующих уравнений. Общая задача формулируется так: пусть щ - дискретная случайная величина, причем Р {г}0 — к} = рь, к € 2, Рк — 1-

кег

Для каких последовательностей {рк} функция распределения ряда (15) при £ = | абсолютно непрерывна, а для каких - сингулярна? В такой постановке задача, в некотором смысле, является двойственной к задаче Эрдеша о конволюциях Бернулли. В задаче Эрдеша параметр £ - произвольный, а т)о - фиксировано и является простейшей дискретной случайной величиной. Здесь, напротив, £ является "хорошим" числом, зато щ - произвольная целочисленная случайная величина. Н.Дин, Г.Дерфель и А.Левин определили несколько достаточных условий для абсолютной непрерывности, оставив нахождение критерия в качестве открытой проблемы. В диссертации представлено решение этой проблемы. Ответ получен в терминах нулей характеристической функции т(£) = Рк^~2жгк^>

кег

с применением понятий элементарной теории графов. Вновь рассмотрим бинарное дерево Т (глава 1). Здесь будет удобнее перейти к тригонометрической записи вершин дерева, заменив каждую вершину г на а = где ах&г е (0,2л-]. Таким образом, в корне дерева стоит число 1, вершина первого уровня вершины второго уровня - | и т.д. От каждой вершины 7 выходят два ребра к вершинам | и

Назовем подмножество вершин дерева Л слабо блокирующим, если существует целое М > 1 такое, что любой бесконечный путь из корня, имеющий М ходов в одну сторону подряд (т.е. М переходов 7 —> ^ подряд, или М переходов 7 —> ^^ подряд), обязательно имеет общую вершину с А. При М = 1 получаем определение (обычного) блокирующего множества. Слабо блокирующие множества, не являющиеся блокирующими, бесконечны. Подмножество вершин дерева назовем симметричным если вместе с любым элементом 7 оно содержит и 1 — 7. Теорема 15. Функция распределения Рг} абсолютно непрерывна тогда и только тогда когда существует слабо блокирующее симметричное множество Л, состоящее из нулей функции т(£).

Если дополнительно известно, что последовательность рк имеет экспоненциальное убывание при —> оо, то слабо блокирующие множества можно заменить на блокирующие.

Несмотря на довольно громоздкий вид, критерий неулучшаем: все его

случаи реализуются, а экспоненциальное убывание не может быть заменено полиномиальным. Именно, мы показываем, что для любого слабо блокирующего симметричного множества Л существует последовательность {рк}, убывающая быстрее любой степени, и такая, что функция т(£) обращается в ноль во всех точках множества Л и не имеет других нулей на дереве Т

Приложения. Задача об асимптотике функции разбиения. Для произвольного целого d> 2 бинарная функция разбиения b(k) — b(d, к) определена на множестве неотрицательных целых чисел к и равна количеству всевозможных двоичных разложений к — ]С^=о > в которых "цифры" dj принимают значения 0,..., d — 1. При d = 2, очевидно, b(k) = 1, при d > 3 двоичное разложение уже не единственно, и возникает естественная задача об асимптотическом поведении величины Ь(к) при к —► оо. Эта задача изучалась для различных d еще Л.Эйлером, а затем - в работах А.Тантурри, К.Малера, Н.де Брюйна, Д.Кнута, Б.Резника и др. Б.Резник в 1989 г. доказал, что в случае d = 2r+1 (г > 0 - целое число), имеем b(k) = Сгкг + о(кг) при к —♦ оо. Здесь Ст - эффективная константа. Для остальных четных чисел d — 2п, он показал, что

Cikioe2n < 6(fc) < c*kl°z>n,

где С*, - положительные константы. Введем обозначения:

их = lim inf к~loga nb(k)] v^ = limsup k~]°s>nb(k). к-* оо а:—оо

Для любого п показатели i'\ и конечны и положительны. Если п является степенью двойки, то v\ — V2. Таким образом, в этом случае b(k) ~ cfclogan, при к —> оо. Для других п это может не выполняться. Б.Резник, ссылаясь также на раннюю работу Л.Карлитца (1967), показал, что при d — 6, п — 3 имеем V\ ф v<i- Вопрос об остальных п был сформулирован в качестве открытой проблемы. Верно ли, что V\ = только для степеней двойки ? Ответ дает следующая

Теорема 16. Если V\ — из, то п = 2Г для некоторого целого г > 0. Для нечетных d функция b(k) ведет себя на бесконечности более сложно. Обозначим

Рх = lim inf \ogb(k)/ \ogk\ P2 = limsup logb(fc)/log k.

k-*oо k—*oo

При четных d всегда имеем Pi = P2> при нечетных d - не всегда. Уже при d — 3 оказывается р\ < рг- Вторая проблема, сформулированная Б.Резником: верно ли, что р\ < рг для всех нечетных d ? В данной диссертации представлено решение этой проблемы:

Теорема 17. Для всех нечетных d имеем р\ < log2(d/2) < p>¿.

Масштабирующие уравнения возникают в этой задаче следующим образом. Пусть <р - непрерывное решение масштабирующего уравнения (1) при N — d с одинаковыми коэффициентами с* = Положим fix) — х~loga i(f>(x). Тогда имеет место неравенство

jfc~Iogan6(A:) — f(2~*k)\ < 2~*kój,

где Sj —+ 0 при j —► оо. Отсюда получаются явные выражения для констант 1/1,1*2 через функцию /:

1/1 = ч£ч/(х); = SUP /í®)»

*e(o,i) яг€(0,1)

Они позволяют не только доказать, что их < и2 если d не равно степени двойки, но и численно находить i/¡ и с любой точностью. Для этого нужно приблизить масштабирующую функцию ip, что может быть сделано, например, с помощью тех же уточняющих схем.

Список литературы

1. В.Ю.Протасов, Совместный спектральный радиус и инвариантные множества линейных операторов, Фундаментальная и прикладная математика, т.2 (1996), вып.1, стр. 205-231.

2. В.Ю.Протасов, Обобщенный совместный спектральный радиус. Геометрический подход, Известия РАН. Серия математическая, т.61 (1997), No 5, стр. 99-136.

3. В.Ю.Протасов, Об одном обобщении сложения выпуклых множеств, Фундаментальная и прикладная математика, вып. 4 (1998), No 2, стр. 641-650.

4. V.Protasov, A generalization of the joint spectral radius: the geometrical approach, Facta Univ. Ser. Math. Inform. No. 13. (1998), P. 19-23.

5. В.Ю.Протасов, О возможных обобщениях выпуклого сложения, Вестник МГУ, сер.Математика и Механика, вып. 4 (1999), стр 13-19.

6. V.Protasov, Fractal curves and their applications to wavelets, Proceeding of the International Workshop on self-similar systems, July 30- August 7, 1998; Dubna, Russia, 1999, pp. 120-125.

7. V.Protasov, On the distribution of one random series, Proceeding of the conference " Paul Erdos and his Mathematics", July 4-11, 1999, Budapest; pp. 206-210.

8. В.Ю.Протасов, Асимптотика функции разбиения, Математический сборник, вып. 191 (2000), No 3, 65-98.

9. V.Protasov, A complete solution characterizing smooth refinable functions, SIAM Journal of Math. Analysis, 31 (2000), No 6, P. 1332-1350.

10. V.Protasov, Refinement equations with nonnegative coefficients, J. Fourier Anal. Appl. 6 (2000), No 6, P. 55-77.

11. V.Protasov, The stability of subdivision operator at its fixed point, SIAM Journal of Math. Analysis, 33 (2001), No 2, P. 448-460.

12. V.Protasov, The correlation between the convergence of subdivision processes and solvability of refinement equations. "Algorithms for Approximation IV, Proceedings of the 2001 International Symposium "Huddersfield, England, July 15-20 (2001), P. 394-401.

13. В.Ю.Протасов, Об убывании бесконечных произведений тригонометрических полиномов, Математические заметки, т. 72 (2002), вып. 6, стр. 892-908.

14. В.Ю.Протасов, Об одной задаче теории масштабирующих уравнений, Сборник трудов Воронежской Зимней школы "Современные ме-доды теории функций и смежные вопросы", (2003), стр. 198-199.

15. В.Ю.Протасов, К задаче об асимптотике функции разбиения, Математические заметки, т. 76 (2004), вып.1 , стр. 151-156.

16. В.Ю.Протасов, О гладкости кривых де Рама, Известия РАН. Серия математическая, т. 68 (2004), No 3, стр. 27-68.

17. V.Protasov, One optimization problem on positive trigonometric polynomials, Proceedings of the HPOPT conference, Amsterdam, (2004), P. 31-33.

18. В.Ю.Протасов, Кусочно-гладкие масштабирующие функции, Алгебра и Анализ, вып. 16 (2004), No 5, стр. 89-111.

19. V.Protasov, Refinement equations and corresponding linear operators, The International Journal of Wavelets, Multiresolution and Information Processing, 4 (2006), No 3, to appear.

20. V.Protasov, The geometric approach for computing the joint spectral radius, Processing of 44th IEEE Conference of Decision and Control ECC-2005, Sevilla (Spain), December 12-15, 2005, P. 3001-3006.

21. V.Protasov, Applications of the the joint spectral radius to some problems of functional analysis, probability and combinatorics, to appear in The Processing of 44th IEEE Conference of Decision and Control and ECC-2005, Sevilla (Spain), December 12-15, 2005, P. 3025-3030.

22. В.Ю.Протасов, Фрактальные кривые и всплески, Известия РАН. Серия математическая, 70 (2006), No 5, готовится к выходу.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано в печать /7. &*/.Ов Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 2

Тираж 100 экз. Заказ //

Основные обозначения

Введение

1 Основные свойства

1.1 Существование и единственность решений.

1.2 Условия Стрэнга-Фикса.

1.3 Приближения.

1.4 Стабильность и ортогональность.

1.4.1 Линейная независимость.

1.4.2 Стабильность и свойство базиса Рисса.

1.4.3 Ортогональность

1.5 Гладкость масштабирующих функции.

1.5.1 Метод поточечной оценки.

1.5.2 Матричный метод.

1.6 Примеры.

2 Гладкость фрактальных кривых

2.1 Фракталы и масштабирующие функции.

2.2 Фрактальные кривые в Ьр.

2.3 Гладкость в и Сг

2.4 Локальная гладкость.

2.5 Примеры

3 Иерархия масштабирующих уравнений

3.1 Операторы чистого полинома.

3.2 Очистка произвольного полинома.

3.3 Ядра и корневые подпространства.

3.4 Общие собственные подпространства.

3.5 Структура операторов То,Т1.

3.6 Факторизация масштабирующих уравнений.

3.7 Пространство У^.

3.8 Гладкость масштабирующих функций.

3.9 Модули непрерывности.

3.10 Локальная гладкость в каждой точке.

3.11 Сходимость каскадного алгоритма.

3.12 Сходимость итерационного процесса.

3.13 Точность критерия сходимости.

3.14 Зависимость решений от коэффициентов.

3.15 Построение решений

3.16 Многообразие масштабирующих уравнений.

4 Специальные случаи и приложения

4.1 Малые степени.

4.1.1 Случай deg то — 0. Масштабирующие сплайны

4.1.2 Случай deg m0 = 1. Два сжатия на прямой.

4.1.3 Случай degm0 =

4.1.4 Случай deg m0 > 3. Высокие степени.

4.1.5 Примеры.

4.2 Гладкость всплесков.

4.3 Локальная гладкость всплесков Добеши

4.4 Кривые де Рама.

4.4.1 Основные свойства кривых де Рама.

4.4.2 Представление в виде фрактальной кривой

4.4.3 Несколько вспомогательных утверждений.

4.4.4 Локальная и глобальная гладкость.

4.4.5 Распределение точек фиксированной локальной гладкости

4.4.6 Оценка средней гладкости.

4.5 Распределение вероятностного ряда.

4.5.1 Постановка задачи

4.5.2 Связь с масштабирующими уравнениями.

4.5.3 Критерий существования плотности.

4.5.4 Особые случаи.

4.5.5 Применения критерия абсолютной непрерывности.

4.5.6 Точность критерия.

4.5.7 Уравнения с положительными коэффициентами

4.6 Кусочно-гладкие функции.

4.6.1 Классификация масштабирующих сплайнов. Постановка задачи

4.6.2 Классификация кусочно-гладких масштабирующих функций.

4.6.3 Структура масштабирующих сплайнов и сходимость уточняющих схем.

4.6.4 Вторая факторизационная теорема.

4.7 Функция разбиения Эйлера.

Масштабирующим уравнением с конечным числом слагаемых (в дальнейшем просто - масштабирующим уравнением) называется функциональное разностное уравнение с двоичным сжатием аргумента: N

0.0.1) Ф) = к=0 где {со,. , сдг} - произвольная последовательность комплексных коэффициентов. Эта последовательность называется маской уравнения, а триN гонометрический полином т(£) = ~ его характеристической к ф функцией или символом. Масштабирующей функцией называется решение этого уравнения (возможно - обобщенное), имеющие компактный носитель. Выбор такого пространства решений объясняется нуждами приложений к теории всплесков, теории приближений и компьютерном дизайне, где нужны именно финитные решения. Кроме того, в пространстве финитных функций имеет место теорема о существовании и единственности решения, которая может нарушаться в других функциональных пространствах.

Известно, что если уравнение (0.0.1) имеет финитное обобщенное решеN ние, то Ск = 2?г для некоторого натурального п, причем можно огра-к ничиться случаем п = 1, и, таким образом, ш(0) = 1 (остальные случаи сводятся к данному взятием первообразной). В этом случае обобщенное финитное решение (р £ ¿>' всегда существует, единственно с точностью до умножения на константу, сосредоточено на отрезке [0, /V], при этом

0) = с1х ф 0, где (р{£) = / (р{х)е~<2шх^ с1х - преобразование Фурье. к

Через обозначено пространство обобщенных функций медленного роста на М. Если не оговорено обратное, мы будем нормировать масштабирующие функции условием £>(0) = 1. Преобразование Фурье нормированной 4 7 масштабирующей функции дается следующей формулой: со

0-0.2) =

3=1

Наиболее известными масштабирующими функциями являются В-сплайны, функции Добеши, интерполяционные функции Деларье-Дюбука. Тесно связаны с ними кривые де Рама и функции Рвачева.

Систематические исследования по теории масштабирующих уравнений начались в середине 1980-х гг. и продолжают интенсивно развиваться в настоящее время. Масштабирующие функции применяются при построении всплесков с компактным носителем. При этом гладкость и аппрокси-мационные свойства всплесков выражаются через соответствующие показатели масштабирующих функций. Исследования в этом направлении начались с классических работ И. Добеши, Дж.Лагариаса, Ч.Чуи, Л.Виллемойс А.Коэна, К.Хейля, А.Рона, Р.Джиа и других (см. [1] - [18] и библиографии в этих работах). Примерно в это же время выяснилось, что масштабирующие функции являются главным инструментом при изучении уточняющих алгоритмов, применяющихся в теории приближений и в компьютерном ди-* зайне. Этому посвящено множество работ, среди которых выделим статьи А.Каваретты, В.Дамена, Ч.Мичелли, К. Де Боора, Н.Дин, А.Левина, Д.Грегори, Ж.Деларье, С.Дюбука, Л.Берга, Г.Плонки, Д.Жоу, Я.Вонга и других [19]—[35]. Масштабирующие уравнения естественным образом возникают в задачах теории вероятностей (Г.Дерфель, Н.Дрш, А.Левин, Я.Вонг [24], [36] - [40]), математической физики (Р.Шилинг, Я.Моравец [41]), теории фрактальных кривых (Н.Дин, А.Левин, Ч.Мичелли, Г.Праутш [19, 20, 22, 23], [42]-[47]), комбинаторной теории чисел [48], [49].

В настоящее время библиография по теории масштабирующих уравнений насчитывает несколько сот наименований. Основные вопросы: разрешимость уравнений в различных пространствах функций, методы определения локальной и глобальной гладкости решений а также модулей непрерывности по коэффициентам уравнения, аппроксимационные свойства всплесков, построенных по данным масштабирующим функциям, скорость сходимости соответствующих уточняющих схем и каскадных алгоритмов, поиск оптимальных масштабирующих функций в различных задачах и т.д. По ряду вопросов достигнут существенный прогресс, тем не менее, многие проблемы теории масштабирующих уравнений остаются на данный момент нерешенными.

В данной диссертации решены нескольких известных задач теории масштабирующих уравнений, а также исследуются новые задачи. Полученные результаты применены для исследования всплесков Добеши и кривых де Рама, а также для решения нескольких проблем теории вероятностей, теории фрактальных кривых и комбинаторной теории чисел. Перечислим вкратце основные результаты работы, затем сделаем более подробное описание диссертации по главам.

В диссертации представлены решения следующих задач:

1) Разработана техника факторизации масштабирующих уравнений, с помощью которой исследование уравнений общего вида сводится к хорошо изученному частному случаю (случаю стабильной масштабирующей функции). Данная задача исследовалась ранее в работах И.Добеши, Дж.Лагариса К.Хейля, Л.Виллемойса и др. Доказаны факторизационные теоремы об общем виде гладкой масштабирующей функции (раздел 3.6).

2) Получены формулы, выражающие глобальную и локальную гладкость фрактальных кривых, соответствующих паре аффинных операторов, через спектральные характеристики операторов. Изучены множества постоянной локальной гладкости. Доказано, что локальная гладкость одна и та же для почти всех значений аргумента (в мере Лебега), и выражается через экспоненту Ляпунова данных операторов. Эти результаты применены к масштабирующим функциям, для которых в данной работе вычислены показатели локальной гладкости и модули непрерывности (разделы 2.4 и ЗЛО).

3) Найдены в явном виде ядра и все общие собственные подпространства теплицевых операторов, соотвествующих масштабирующим уравнениям. Ранее эта задача исследовалась в работах Г.Стрэнга, К.Хейля, Л.Берга, Г.Плонки и др.

С помощью данного результата упрощена формула (полученная ранее Д.С'трэнгом, Д.Коллелой и К.Хейлем) для показателя Гельдера масштабирующей функции. Также найдены модули непрерывности всплесков и масштабирующих функций в пространствах С^'(Е) и И^ (М) (разделы 3.8 и 3.9).

4) Решена задача о непрерывной зависимости решения масштабирующего уравнения от начальных данных (т.е., от коэффициентов с^ уравнения) в различных функциональных пространствах. Для любых к > О и р Е [1, -(-со) сформулированы условия на малые шевеления коэффициентов, при которых решение меняется непрерывно в метрике пространства Ск(Ж) или пространства И^Е) (раздел 3.14).

5) Получен критерий сходимости уточняющей схемы (каскадного алгоритма Добеши) при условии, что соответствующая масштабирующая функция непрерывна. Эта задача ранее ставилась и исследовалась во множестве работ (см., например, статью [50] и библиографию в ней). Скорость сходимости каскадного алгоритма в различных функциональных пространствах выражена через гладкость масштабирующей функции в соответствующих пространствах (разделы 3.11 - 3.13).

6) Получены формулы для локальной гладкости всплесков Добеши в каждой точке. Для малых размерностей вычислены минимальный и максимальный показатели локальной гладкости, а также гладкость на множестве полной меры (раздел 4.3).

7) Проведен детальный анализ классических кривых де Рама. Для каждого значения параметра со £ (0, в явном виде вычислены показатели глобальной гладкости (в натуральной параметризации), максимального и минимального показателей локальной гладкости. Доказано, что почти во всех точках (в мере Лебега) локальная гладкость производной кривой де

Рама одна и та же и равна аау(и) = ^^ — 2, где р = р{и) - показатель Ляпунова специальных 2 х 2-матриц, зависящих от параметра и. Для показателя Ляпунова р{со) получена интегральная формула, из которой следуют оценки на величину о>ау(ш). В частности, показано, что при любом со ф | имеем 1 < аау{со) < 2, следовательно, гладкость почти всюду больше 1. Это означает, в частности, что производная кривой де Рама является чисто сингулярной функцией. Таким образом, при любом со ф\ кривизна кривой де Рама равна нулю почти в каждой точке (раздел 4.4).

8) Получен критерий разрешимости в £р(Щ масштабирующего уравнения с неотрицательными коэффициентами. С помощью этого результата решена задача об абсолютной непрерывности распределения вероятностного степенного ряда (эта задача исследовалась в 1996 г. Г.Дерфелем, Н.Дин и А.Левиным [38] и в 1995-1996 гг. Я.Вонгом [24], [25]). Задача тесно связана с известной проблемой Эрдеша о плотности распределения конволюций Бернулли [51, 52] (раздел 4.5).

9) Полностью охарактеризованы кусочно-гладкие масштабирующие функции и масштабирующие сплайны. Тем самым доказана полнота классификации масштабирующих сплайнов, полученная в 1995 г. У.Лоутоном, С.Л.Ли иЯ.Шеном [53] и (в частном случае) в 2000 г. Л.Бергом и Г.Плонкой [32, 33]. С помощью этого результата мы доказываем вторую факто-ризационную теорему о разложении гладкой масштабирующей функции в свертку непрерывной масштабирующей функции и масштабирующего сплайна. Эта теорема в одномерном случае решает задачу, поставленную в 1991 г. А.Кавареттой, В.Даменом и Ч.Мичелли [21, замечание 2.6]. Для масштабирующих сплайнов найдена скорость сходимости каскадного алгоритма (раздел 4.6).

10) Теория масштабирующих уравнений применена к задаче об асимптотике бинарной функции разбиения Эйлера, относящейся к комбинаторной теории чисел. Решены две проблемы, поставленные в 1989 г. Б.Резником [54] (раздел 4.7).

Первая глава диссертации содержит основные понятия и факты теории масштабирующих уравнений и теории всплесков. В ней приведены как хорошо известные классические результаты: теоремы о существовании и единственности решения масштабирующего уравнения, В-сплайны и всплески Добеши, критерии стабильности (свойства базиса Рисса для целых сдвигов) финитной функции, условия Стэнга-Фикса, так и новые результаты. В ряде случаев известные результаты формулируются в более сильном и общем виде, или снабжены новыми доказательствами. Приведем в качестве примера критерий стабильности масштабирующей функции. По определению, финитная функция / является стабильной в Ьр, при некотором р 6 [1,+оо], если / £ Ьр(Ш) и существуют положительные константы зависящие только от р и такие, что для любой последовательности а £ £„ выполнено к<Е.1 Вр\\а\\р.

В частности, прир = 2 стабильность означает, что система целых сдвигов { /(' ~ к) является базисом Рисса своей линейной оболочки. Классический результат работы [26] утверждает, что если финитная функция стабильна в Ьр при некотором р £ [1,+сю], то она стабильна при всех р (при условии, что она принадлежит соответствующим пространствам Ьр). Поэтому, далее мы будем говорить, что функция стабильна, не уточняя, о каком р идет речь. Критерий стабильности масштабирующей функции (р в терминах коэффициентов уравнения со,. , с^ был получен независимо в работах [4, 8, 26]. Для его формулировки удобнее перейти к алгебраической форме записи символа уравнения. Обозначим 111(2) = | ^ к=о

Таким образом, т(£) = т(е~27ггЧисло а Е С \ {0} называется симметричным корнем полинома т(^), если т(л/а) = т(—л/а) — 0. При этом пара чисел ±у/а называется парой симметричных корней. Циклом полинома т(г) называется непустое конечное множество комплексных чисел Ь = {61,. ,ЬП} такое, что Ь2 = Ь и ш(-Ь) = 0. Это означает, что т(-^) = 0 и 1 = б2, ,7 = 1,. , п (полагаем Ъп+\ = 61). Ясно, что любой цикл лежит на единичной окружности {2 £ С, |.г| = 1}. Простейший цикл - это {1}, далее следует множество из двух элементов {е2?п/3, } и т.д. Для каждого п существует конечное число циклов, состоящих из п элементов. Цикл Ь = {1} назовем тривиальным, все остальные циклы - нетривиальными. Согласно критерию, полученному в [4, 8, 26], масштабирующая функция стабильна в Ьр тогда и только тогда когда она принадлежит Ьр(Ш) и символ 111(2) не имеет нетривиальных циклов и симметричных корней на единичной окружности. Из стабильности функции (¿>, однако, не следует, что ее целочисленные сдвиги {<£>(■ — к)} линейно независимы. Линейная независимость финитной функции означает, что не существует числовой последовательности а = для которой ^ — к) =0.

Стабильность и линейная независимость целых сдвигов масштабирующей функции играет ключевую роль в приложениях: при построении всплесков и уточняющих алгоритмов. Мы дополняем критерий стабильности следующим результатом:

Предложение 1. Целые сдвиги масштабирующей функции линейно независимы тогда и только тогда когда символ 111(2) не имеет нетривиальных циклов и симметричных корней. Масштабирующая функция стабильна в Ьр тогда и только тогда когда она принадлежит Ьр и символ не имеет нетривиальных циклов и симметричных корней на единичной окружности.

Таким образом, наличие симметричных корней вне единичной окружности не влияет на стабильность, но служит причиной линейной зависимости целых сдвигов. Доказательства критерия стабильности в работах [4, 8, 26], основаны на применении преобразования Фурье, что для доказательства предложения 1 невозможно (поскольку последовательность коэффициентов {а^} может быстро расти). К предложению 1 применена новая идея доказательства, использующая разностные схемы.

Из новых результатов, содержащихся в главе 1, выделим необходимые условия гладкости масштабирующей функции. В большинстве работ рассматривался следующий частный случай гладких масштабирующих функций: если при некотором I > 0 масштабирующая функция принадлежит С^Е), то предполагалось, что символ уравнения 111(2) удовлетворяет правилу сумм порядка I. Это означает, что символ 111(2) имеет корень кратности не меньше, чем / + 1 в точке 2 = — 1, т.е., представляется в виде 111(2) = (£^-)/+1щ/+1(2), где т/+1 - алгебраический полином. Однако, хорошо известно, что правило сумм не является необходимым условием существования С'-решения. Соответствующие примеры приводились в [3, 12, 21, 32]. Какое условие на символ уравнения является необходимым для существования Сг-решения? Для ответа на этот вопрос мы привлекаем понятие бинарного дерева.

Рассмотрим бинарное дерево Т, построенное следующим образом: корню дерева ставим в соответствие число 1, из корня выходит одно ребро в вершину с числом {-1}, эта вершина составляет первый уровень дерева, число % (мнимая единица) и —% лежат в вершинах второго уровня, соседних с вершиной { — 1}- Далее дерево строится по индукции: если число 2 находится в вершине п-ного уровня, п > 1, то ее соседи на (п + 1) — ом уровне - числа Таким образом, все вершины дерева имеют валентность 2, за исключением корня, валентность которого равна 1. На п-том уровне дерева, п > 1, находится 2П1 вершин, им поставлены в соответствие числа (О-М2^1)'2 п; к — о?. ? 2п~1 — 1. Далее будем отождествлять вершину дерева с соответствующим числом.

Пусть А - подмножество вершин дерева, не содержащее корень. Некоторые элементы А могут совпадать, в этом случае они считаются с кратностью. Множество А называется блокирующим кратности г (г > 1), если любой бесконечный путь по дереву «о —>• сц —> ■ ■ •, выходящий из корня (вершина - из к-того уровня, все пути по дереву - с возрастанием уровней, т.е., без хода назад) имеет ровно г общих элементов с множеством А, считая с кратностью. Ясно, что все блокирующие множества конечны, причем, для данного г существует конечное число блокирующих множеств кратности г.

Необходимые условия гладкости масштабирующей функции даны в следующей теореме.

Теорема 1. Для любого I > 0 следующие свойства масштабирующей функции <р равносильны: a) существует блокирующее множество кратности I + состоящее из корней символа 1x1(2); b) пространство алгебраических полиномов степени < / содержится в пространстве, которое порождают целые сдвиги функции (р; c) порядок приближения функцией (р не меньше I, т.е. для любой финитной функции / £ С/+1(1К) расстояние в равномерной метрике от / до линейной оболочки системы функций {(р(Н~1 ■ —А;), к £ Z} равно 0{Н1+1) при /г —0.

Если масштабирующая функция <р принадлежит С1(Ш), то она обладает свойствами (а), (6) и (с).

Итак, условие (а) на символ уравнения определяет аппроксимационные свойства масштабирующей функции и является необходимым условием гладкости. Правило сумм является частным случаем условия (а), когда блокирующее множество кратности I + 1 целиком сосредоточено в вершине {—1}, т.е., состоит из элемента {—1}, взятого с данной кратностью. л

Итак, каждому масштабирующему уравнению, имеющему С -решение, соответствует блокирующее множество кратности / + 1. Такое множество имеет не менее I + 1 элемента, считая с кратностью. Следовательно, из теоремы 1 получаем: I + 1 < N. Отсюда, в частности, следует классический результат о том, что масштабирующая функция не может иметь бесконечную гладкость. Решение уравнения (0.0.1) не может принадлежать С^1(М). Единственное уравнение данной степени решение которого принадлежит И^""1^), т.е., имеет суммируемую (Ы — 1)-ую производную, имеет символ 111(2) = (^гг)^, а соответствующая масштабирующая функция является В-сплайном [2]. Этот результат верен также для многомерных масштабирующих уравнений [21] и для нестационарных масштабирующих уравнений [55, 56].

Глава 2. В этой главе изучается локальная гладкость фрактальных кривых и их модули непрерывности. Полученные результаты применяются в последующих главах к масштабирующим функциям и всплескам, поскольку они также могут быть представлены в виде соответствующих фрактальных кривых. В качестве отдельного примера рассматриваются кривые де Рама, для которых модули непрерывности найдены явно и оценена их средняя гладкость.

Пусть V - п-мерное аффинное пространство, V - соответствующее линейное пространство. Для произвольного аффинного оператора В будем обозначать через В его линейную часть (дифференциал). Совместным спектральным радиусом линейных операторов Во,В\ называется величина

0.0.3) р(Б0,БО = Пт тах IВск---Вс1к 1/к.

Предел (0.0.3) корректно определен для любой пары операторов, действующих в Еп и не зависит от нормы, введенной на этом пространстве [57]. Совместный спектральный радиус был впервые определен в 1960 г. в работе Ж.К.Рота и Г.Стрэнга [58], затем почти на 30 лет забыт. В начале 1990-х гг. выяснилось, что показатели гладкости масштабирующих функций выражаются через совместный спектральный радиус подходящих операторов [2, 12, 21], что вызвало новую волну интереса к этому объекту (небольшой обзор об истории совместного спектрального радиуса и о проблеме его вычисления включен в раздел 4.1 диссертации).

Предположим, что пара аффинных операторов Бд, В\ неприводима (операторы не имеют общих собственных аффинных подпространств) и удовлетворяет условиям \)р{В^В1) < 1;

2) В{]У\ = Б^о [уг - неподвижная точка оператора Д-); тогда существует единственная непрерывная функция у : [0,1] —> V фрактальная кривая) такая, что 0.0.4) v(x) = Biv(2x-i), хе г i + 1 г = 0,1.

Хорошо известно также, что показатель Гельдера в С[0,1] функции v равен а. о v log2 p(BQ,Bi), где oPv = sup <j a a | ||v(z)-v(i/)|| < C\x~y\a, x,y £ [0,1] }.

Мы дополняем этот классический результат оценкой модуля непрерывности фрактальных кривых:

Предложение 2. Если операторы Bq^Bi не имеют общего инвариантного (линейного) подпространства, то u(v,t) х t,a, где а = ci^.

Обозначения: ui(v}t) = sup |[г>(ж + h) - ^(ж)||оо модуль непрерывности

Л|<* функции v(x) в пространстве С'[0,1], а соотношение f(t) X git) означает, что C\g(t) < f{t) < C2g{t), где Ci,C2 - положительные константы). Доказывается также, что в общем случае

Cxta < u{v,t) < С'21 Ini 1 sta, где s < n- конструктивно определяемое целое число, зависящее от общих инвариантных подпространств операторов Bq,B\.

Аналогичные результаты доказаны для фрактальных кривых, принадлежащих LP[0,1]. При этом вместо совместного спектрального радиуса используется так называемый р-радиус линейных операторов, определяемый как

0.0.5) Рр(Дь Bi) = lim k—t оо Е

Bdl ■ ■ ■ Bdk i/pk

Гладкость фрактальной кривой и ее модули непрерывности в пространстве Ьр[0,1] также выражены через р-радиусы.

Другой результат главы 2 касается локального показателя Гельдера фрактальной кривой в каждой точке х 6 [0,1]:

С^Ш = SUp s Q' x)-v(y)\\ < C\x-y\a, у €[0,1]} аналогично определяются односторонние показатели гладкости в точке х

Д/ слева и справа: ау [х) и а^ [х)).

Через (х) = (¿1,с?25 ■ ■ • будем обозначать последовательность из нулей и единиц, х = 0.б?1б?2. - соответствующее число в двоичной записи. Число х = Q.didz ■ ■ ■ назовем нормальным, если для любого £ > 0 найдется N(e) такое, что для каждого п > N(e) среди цифр dk с номерами к Е [п,п(1 + е)] найдутся две различные цифры. Почти все (в мере Лебега) точки отрезка [0,1]- нормальные. Все рациональные, но не двоично-рациональные точки

- нормальные.

Для данной пары линейной операторов Bq,Bi и данной последовательности (х) = d\, d^,. из единиц и нулей положим рх = limsup \\Bdl---Bdk\\^k к-ь оо

- совместный спектральный радиус вдоль последовательности (ж), р = lim min llßd, ■ • • Bd. \\l/k k-^oo (db.,4)e{0,l}fc

- нижний спектральный радиус, и, наконец,

1/к2к

Р = ( П WBär--Bdk\

- показатель Ляпунова.

Теорема 2. Пусть операторы Bq,B\ - невырожденные. Тогда для любой точки х = O.dick ■ ■ ■ имеем av(x) < -log2рх.

Если точка х - нормальная, то av(x) = —log;2рж.

Для любого х величина av(x) принадлежит отрезку [— log2 р, — log2 р]. Более того, любое значение ß локальной гладкости из этого отрезка достигается на непустом множестве £l(ß) С [0,1], всюду плотном на [0,1]. Для ß = — log2 р множество Q(ß) имеет полную меру на [0,1], для всех прочих ß Е [— log2 р, — log2 р] - меру нуль.

Отдельные формулы получены для гладкости в рациональных точках х, а также для односторонних показателей гладкости в двоично-рациональных точках.

Данные результаты применяются к масштабирующим функциям. Если функция Lp удовлетворяет масштабирующему уравнению (0.0.1), то вектор-функция

0.0.6) v(x) = (<f(x),. , <р(х + N - 1))Т Е Шн является фрактальной кривой для специальных линейных операторов То, Т\, ограниченных на подходящее аффинное подпространство в RN. Конкретные результаты о гладкости масштабирующих функций в пространствах

С (IR) и модулях непрерывности и показателях локальной гладкости сформулированы и доказаны в следующей главе.

В главе 3 разработана техника факторизации масштабирующих уравнений. Это позволяет свести исследование уравнений общего вида к хорошо изученному случаю стабильной масштабирующей функции, полностью охарактеризовать многообразие гладких масштабирующих функций, упростить известные формулы гладкости, а также получить критерий сходимости уточняющих схем и каскадных алгоритмов.

Рассмотрим произвольное уравнение вида (0.0.1). Одна из главных проблем теории масштабирующих уравнений состоит в том, чтобы по коэффициентам {ck} определить, принадлежит ли решение данному классу функций и какова его гладкость. Несмотря на то, что преобразование Фурье решения дается явной формулой (0.0.2), по ней непросто оценить гладкость функции (р. Усилиями многих математиков были разработаны три основных метода оценки гладкости: метод поточечной оценки преобразования Фурье (оценка скорости убывания произведения (0.0.2) при £ оо), метод интегральной оценки преобразования Фурье (метод находит гладкость масштабирующей функции по Соболеву: s(ip) = sup{s > 0 f !</?(£)|2(l+l£|2s) < °°})i и матричный метод (выражает показатель Гель дера функции ц> через спектральные характеристики двух специальных N х iV-матриц То,Ti (теплицевых матриц), построенных по коэффициентам {с^} уравнения). Все три метода были применимы в следующей специальной ситуации: если решение ищется в классе С1(Ш), I > 0, то предполагается, что символ уравнения удовлетворяет правилу сумм порядка /, т.е., факторизуется в виде

0.0.7) m(z) = где m¿+i(z) - некоторый алгебраический полином степени N — 1 — 1. Правило сумм означает, что полином т(г) имеет ноль порядка > / + 1 в точке z = —1, оно также легко формулируется в виде линейных уравнений на коэффициенты {q.}. Между тем, условие (0.0.7) не является необходимым для существования гладкого решения (р £ C'(R) (теорема 1). Возникает вопрос: применимы ли методы оценки гладкости для общих масштабирующих уравнений, не удовлетворяющих (0.0.7) ? Эта проблема в различных формулировках исследовалась в работах [3, 7, 12, 27, 33]. Полный ответ дает следующая

Теорема 3. Если масштабирующая функция (р принадлежит Сг(М) при некотором I > 0, а символ m(z) не удовлетворяет, условию (0.0.7), то символ имеет симметричный корень а (т.е., m(^/a) = т(—\/а) = 0J, который принадлежит множеству корней уравнения а2 =1. При этом масштабирующая функция ip представляется в виде

0.0.8) <р(х) = а<ра(х) - сра(х - 1), где функция <ра также является масштабирующей: она удовлетворяет уравнению с символом

0.0.9) ma(z) = 111(2)

9 : z — а имеет ту же гладкость, что (р, и при этом supp (ра = [0, /V — 1].

Таким образом, если уравнение не удовлетворяет правшам сумм (0.0.7), то порядок уравнения можно понизить на 1 с сохранением гладкости решения. Следовательно, за конечное число шагов получается уравнение, удовлетворяющее (0.0.7). Это дает возможность применять методы оценки гладкости к любым масштабирующим уравнениям. Аналогичные результаты доказываются и для гладкости в пространствах ЬР(Ш) и гладкости по Соболеву. Теорема 3 позволяет, кроме того, обобщить многие результаты со случая уравнений с выполненными условиями (0.0.7) на общий случай.

Следующие результаты о факторизации масштабирующих уравнений касаются матричного метода оценки гладкости. Этот метод был разработан в 1989-1994 гг. усилиями А.Каваретты, В.Дамена, Ч.Мичелли, И.Добеши, Дж.Лагариаса, К.Хейля и др. Масштабирующее уравнение (0.0.1 эквивалентно уравнению (0.0.4) на вектор-функцию v(x), определяемую формулой (0.0.6). При этом в качестве операторов г = 0,1 используются операторы Гг-, определяемые своими N х iV-матрицами следующим образом:

0.0.10) (Т{).к = C2j-k-i+i, l<]} k<N такие матрицы принято называть теплицевыми, соответствующими полиному 1x1(2:); также полагаем с/» = 0 при к < 0 и при к > N). Таким образом, масштабирующая функция соответствует фрактальной кривой v(x), заданной операторами Tq,Ti. Согласно результатам главы 2, гладкость 99 при этом выражается через спектральные характеристики этих операторов, ограниченных на подпространство span {/)(£)-*;%), iMj(E[0,l]}, где I - наибольшее целое число такое, что (р £ С(/(Е). Например, показатель Гельдера av = 1 + sup {/? > 0, У1\х) - < С \х - yf } выражается следующим образом: av = -log2 p(TQ^TLi ), где р - совместный спектральный радиус. В частности, р непрерывна тогда и только тогда когда р < 1, более того, р Е С(/(М) тогда и только тогда когда р < 2~1. Аналогичные формулы имеют место и для гладкости в пространствах Ьр(Ж), р Е [1,+оо). Одна из главных проблем в матричном методе - нахождение пространства Vi и общего вида операторов То,Т\ на этом пространстве. Кроме того, для определения модулей непрерывности масштабирующей функции и ее локальной гладкости используются предложение 1 и теорема 2. Для этого, однако, необходимо знать, будут ли операторы Tj .г — 0,1 невырождены и будут ли они иметь общие инЦ вариантные подпространства. Попытки исследовать этот вопрос, равно как и описать ядра и общие инвариантные подпространства операторов To,Ti, соответствующих произвольному символу 111(2) предпринимались во многих работах, в частности, в статьях К.Хейля, Д.Коллелы, Р.Жоу, Л.Берга, Г.Плонки и др. В данной диссертации представлено полное решение этой проблемы. Для формулировки основного результата вновь применим циклы и симметричные корни алгебраического полинома 111(2:). Полином назовем чистым, если он не имеет ни симметричных нулей ни циклов. Обозначим также через [z] вектор (1,2,. Е , где z ф 0 - произвольное комплексное число. Пусть также Т* - оператор, сопряженный к оператору Т.

Теорема 4. Если полином 111(2) - чистый, то соответствующие операторы Tq,Ti невырождены и не имеют нетривиальных общих собственных подпространств.

Если ш имеет симметричный корень а, то оба оператора вырождены и Tq [а] = Т?[а] = 0.

Если m имеет цикл b = {61,. , bn}, то операторы To,Ti имеют общее собственное подпространство, являющееся ортогональным дополнением линейной оболочки векторов \bj], j = 1,. ,п в M.N. через 2 обозначено комплексно сопряженное число к z). Таким образом, симметричные корни полинома отвечают за ядра операторов To,Ti, а циклы - за их общие инвариантные подпространства. Эта теорема позволяет получить полное описание всех общих инвариантных подпространств и ядер теплицевых операторов. В частности, оказывается, что у сопряженных операторов Т0* ,Т{|: ядра и все корневые подпространства совпадают.

Для нахождения подпространства Ц и ограничения операторов Г,; на него в диссертации разработан алгоритм очистки произвольного символа от симметричных корней и циклов. Очистка от пары симметричных корней {±л/а} состоит в переходе от символа т(.г) к символу ma(.z) = m(z)jf^ Очистка от цикла b = {61,. , Ьп} ~ в переходе к символу ть(.г) = mW Unk=i(z + Последовательно избавившись от всех симметричных корней и циклов, получаем чистый полином то(^) (он не зависит от того, в каком порядке перебирались циклы и симметричные корни). Пусть dim то = п. Обозначим через Tj°\ г = 0,1 - операторы, действующие в Кп и определенные своими пхп-матрицами с помощью формулы (0.0.10) по коэффициентам чистого полинома Шо(^). Применив теорему 4, получаем

Следствие 1. Для любого масштабирующего уравнения операторы Т^.Т^ невырождены и не имеют общих нетривиальных инвариантных подпространств.

Пользуясь этим результатом мы получаем формулу, выражающую показатель гладкости масштабирующей функции через спектральные характеристики операторов и оцениваем ее модуль непрерывности: Теорема 5. Для любой масштабирующей функции tp имеем av = - log, ¿(7f А).

Если число dip не является целым, то ш^ир^ , i) х t0*-1, где I = [о.^]. Если число схр - целое (обозначаем а^ = I + 1), то

Cit < uj{<p{l),t) < С211 In £|.

Следствие 2. Масштабирующая функция принадлежит Ск(Ш.), к > 0, тогда и только тогда когда р < 2 к. При этом а^ > к.

Аналогичные результаты имеют место для пространств при всех р Е [1,+оо), для показателей гладкости и модулей непрерывности в этих пространствах. Вместо совместного спектрального радиуса р операторов

7-1(0) лг(о) используется ихр-радиус рр. Для вычисления локальной гладкости масштабирующих функций необходимо установить общий вид операторов на пространстве V/. Напомним, что I - наибольшее целое число такое, что Е С'(Е). Обозначим также через Ь наибольшее целое число такое, что дерево Т имеет блокирующее множество кратности Ь +1, состоящее из корней символа уравнения 111(2). Согласно теореме 1, имеем Ь > I.

Предложение 3. Для любого масштабирующего уравнения про стран-стео V, имеет размерность Л = п + I - I, а операторы а = 0,1 невырождены. В некотором базисе пространства Ц матрицы этих операторов имеют нижний блочно-треугольный вид, при этом на диагонали матрицы Т{ ^ стоят числа 2 1 . ,2 1 и матрица Т-^ (если Ь = I, то

VI 1

Тг- = г = 0,1/ Операторы То\ ,| имеют цепочку вложенных п v; v; общих собственных подпространств

Ск = {у=(уи. У)Т Е г;1 = - - - = ^ = 0}, к = 1,. ,1-1 и не имеют других общих собственных подпространств (в случае Ь = I эта цепочка - пустая).

Для базиса пространства Ц, в котором операторы Т{ имеют нужный вид, получены явные формулы.

Установив общий вид теплицевых операторов Гг- на пространстве V/, мы применяем теорему 2 и устанавливаем следующие результаты о локальной гладкости масштабирующих функций. Вектор-функция и(х), соответствующая масштабирующей функции (р(х) определена формулой (0.0.6). Теорема 6 дает формулу для вычисления локальной гладкости функции у(х) Теорема 6. а) если Ь = 1, то в любой точке х £ [0,1] имеем о м < - рх , во всех нормальных точках х имеем ау;)(ж) = — рх. б) если I < Ь, то в любой точке х имеем ауо(ж) < тш^ I 1о§2 Ас ■> 1}; во всех нормальных точках выполняется соответствующее равенство.

Следующая теорема касается распределения точек фиксированной локальной гладкости.

Теорема 7. Пусть />, р, р - соответственно, совместный спектральный радиус, нижний спектральный радиус и показатель Ляпунова операторов чистого символа г = 0,1. Тогда ауо (х), х £ [0,1]| = -1-\о&р,Ь , где Ь = - 1о§,'2 Р в случае I = Ь и Ъ — тш{1, —I — log2 р] иначе.

Для каждого а из этого отрезка множество точек х, для которых ау(1)(х) = а всюду плотно на отрезке [0,1]. Для показателя средней гладкости а — ааг), где 1о§2 р , если I = Ь ; тин 1, -/ - р ?, если I < Ь это множество имеет полную меру на [0,1], а для всех остальных значений а - меру нуль.

Результаты о локальной гладкости масштабирующих функций проиллюстрированные примерами, взятыми из теории всплесков и уточняющих схем. Некоторые из них обобщают и усиливают результаты С.Дюбука, И.Добеши и Дж.Лагариаса [3], [29], полученные для конкретных уравнений при малых значениях N.

Очистка масштабирующих уравнений лежит в основе факторизацион-ных теорем о представлении гладкой масштабирующей функции в виде свертки. Для любого / > 1 имеет место следующая

Теорема 8 [Первая факторизационная теорема]. Любая масштабирующая функция р, принадлежащая С1(Ш); единственным образом представляется в виде свертки р = S¿i * <pi, где Si-i(x) - сплайн порядка 1 — 1 с целыми узлами, (pi - непрерывная масштабирующая функция, имеющая линейно независимые целые сдвиги. При этом а^ = ащ + I.

Теорема 8 сводит изучение всех гладких масштабирующих функций к стабильным непрерывным масштабирующим функциям меньшего порядка. Вторая факторизационная теорема, в которой функция (p¡ не обязательно стабильна, но сплайн £/i сам является масштабирующей функцией, доказывается в главе 4.

С помощью очистки устанавливается также следующий результат, связывающий гладкость масштабирующей функции и скорость сходимости уточняющей схемы. Уточняющим оператором называете я линейный оператор В на пространстве ограниченных последовательностей .^о, действующий по формуле

Уточняющий алгоритм (схема) состоит в последовательном применении оператора В к некоторой последовательности А Е 4о- Уточняющая схема сходится если для любой последовательности А £ существует непрерывная функция Д такая, что

ВпА - /А(2-п-) 0 , п —> оо.

Уточняющие схемы появились в качестве объекта исследования почти одновременно со всплесками, в конце 1980-х годов (см. [20] - [23], [30], [59] -[63] и библиографию в этих работах). Они являются быстрыми и устойчивыми алгоритмами интерполяции гладких функций по значениям на сетке с постоянным шагом. С другой стороны, уточняющие схемы дают быстрый и чрезвычайно удобный на практике способ получения фрактальных кривых. Поэтому они также используются в компьютерном дизайне. Если уточняющая схема сходится, то соответствующее масштабирующее уравнение имеет непрерывное решение, а предельные функции Д через него выражаются. Сходимость уточняющей схемы равносильна сходимости каскадного алгоритма. Последнее означает, что для любой финитной непрерывной функции / такой, что ~ к) = 1, имеем Тп/ —> р сходимость к масштабирующей функции (р в равномерной метрике на М). Через Т мы обозначаем масштабирующий оператор: N

77] (а) = ^ Ск /(2ж - к). к=о

Масштабирующая функция у? является неподвижной точкой этого оператора: Тр = <р. Сходимость каскадного алгоритма означает, что итерации оператора Т сходятся к неподвижной точке. Каскадный алгоритм применяется для аппроксимации масштабирующих функций и всплесков, а также для последовательного вычисления коэффициентов всплеск-разложеш Одна из главных проблем при изучении уточняющих схем и каскадных алгоритмов - условия их сходимости и оценка скорости сходимости. Необходимым условием сходимости уточняющей схемы/каскадного алгоритма является непрерывность решения р соответствующего масштабирующего уравнения. Однако, это условие не достаточно. Ряд достаточных условий содержится во многих работах, появившихся в 1990-х годах. Попытки построить точный критерий предпринимались в [21, 27, 32] и др. В 1999 г. М.Неамту [50] получил ошибочное решение этой задачи (и формулировка критерия и доказательство были неверны). В диссертации представлено полное решение, дающее как критерий сходимости (при условии, что масштабирующая функция непрерывна), так и явную формулу для скорости сходимости.

По определению, каскадный алгоритм сходится в С\ если Гп/ —>• <р в метрике пространства С1(Щ для любой финитной функции / £ С'(К) такой, что ее преобразование Фурье /(£) имеет нули порядков > I + 1 во всех целых точках кроме 0, и /(0) = 1 (эти условия необходимы для сходимости к масштабирующей функции в пространстве С1). Аналогично определяется сходимость уточняющей схемы в }¥р. Скорость сходимости и^ определяется следующим образом: = I + зир{/3>о, \\тп1-<р\\С1 < еда-*1}, где I - наибольшее число, для которого алгоритм сходится в С1. Для формулировки критерия сходимости понадобится еще одно определение. Обобщенным циклом полинома 111(2;) называется конечное множество комплексных чисел Ь = {&!,. , Ьп], п > 1 такое, что Ь2 = Ь и бинарное дерево, построенное на каждом элементе Ьк (элемент Ък - корень дерева, на первом уровне стоит элемент —на втором уровне - элементы ±л/Ь/с-ь далее - квадратные корни из них, и т.д.) имеет блокирующее множество кратности 1), состоящее из корней полинома 111(2:). В частности, обычный цикл, является также и обобщенным циклом. Каждый полином может иметь лишь конечное число обобщенных циклов. Кратностью обобщенного цикла называется наибольшее целое число г такое, что бинарное дерево, построенное на каждом элементе Ъимеет блокирующее множество кратности г. Обобщенный цикл {1} назовем тривиальным, все остальные - нетривиальными.

1/п Обозначим также через 1(т) наи

Положим к(т,Ь) = т(Ь]/ 1 большее целое число для которого символ уравнения 111(2:) факториз}^-ется в виде (0.0.7). Таким образом, число 1(т) на 1 меньше кратности корня г = —1 полинома 111(2).

Теорема 9. Для любого к > 0 выполнен следующий критерий: каскадный алгоритм (уточняющая схема) сходится в Ск тогда и только тогда когда р £ Ск, 1(т) > к, и для любого нетривиального обобщенного цикла Ь символа т выполнено /с(т, Ь) < 2~к.

Скорость сходимости вычисляется по формуле

- min ja^, 1(т) + 1, -log2 /c(m,bi), . , -log2 к(т,Ь< где bi,. , bs - все нетривиальные обобщенные циклы символа т.

Таким образом, обобщенные циклы являются причиной возможной расходимости уточняющей схемы. В частности, если символ не имеет нетривиальных обобщенных циклов, то скорость сходимости в точности равна гладкости масштабирующей функции. Показано также, что критерий сходимости, сформулированный в теореме 9 точен. Это означает, что любой обобщенный цикл может служить причиной расходимости каскадного алгоритма.

Следующий проблема - зависимость решений масштабирующего уравнения от коэффициентов. В пространстве обобщенных функций 5'(М) масштабирующая функция непрерывно зависит от коэффициентов {с^}. Если последовательность полиномов {ту (2)}^ стремится к полиному 111(2), и при этом для всех j выполнены условия clegmj = N, nij(l) = 1, то масштабирующие функции ipj, соответствующие данным символам, сходятся в пространстве S1 к масштабирующей функции <р . Однако, в других функциональных пространствах, например, в С(Ш) или ЬР(Ш), решения масштабирующих уравнений не являются непрерывно зависящими от коэффициентов. Если масштабирующая функция (р непрерывна, то всегда можно сколь угодно мало пошевелить коэффициенты уравнения таким образом, что р станет чисто сингулярной обобщенной функцией. Например, если пошевелить коэффициенты так, что символ не будет иметь корней на единичной окружности (в этом случае, согласно теореме 1, решение не будет из Li(K)). Возникает задача: при каких шевелениях коэффициентов решение меняется непрерывно? Оказывается, что ответ полностью определяется тем, какие корни символа т(.г) остались неподвижны в результате шевеления коэффициентов, а какие изменились.

Для простоты сформулируем основной результат для непрерывности в метрике С(М), в диссертации результат распространен на все пространства С1(Ш) и Wp при I > О, р Е [1, +оо). Пусть bo,. Ь5 - все обобщенные циклы символа m(z), rg,. ,rs - их кратности. Обобщенный цикл bo -тривиальный, остальные - нетривиальны и различны. Пусть также те -символ, полученный из т в результате малого шевеления:

0.0.11) Цт-ШеЦоо < е, degm£ = clegm, me(l) = m(l) = 1, где ||p||oo = sup \p(z)\ - равномерная норма на единичной окружности.

M=i

Пусть (р£ - решение масштабирующего уравнения с символом т£. Вопрос: при каких условиях на т£ из сходимости ||ш — ш£||оо —> 0 следует сходимость \\<р - ^elloo ?

Обозначим через НОД(т,т£) полином со старшим коэффициентом 1, являющийся наибольшим общим делителем m и т£. Пусть r'j - кратность обобщенного цикла полинома НОД(т, те) при j = 0,. , s. Если bj не является его обобщенным циклом, то г'- = 0. Ясно, что г1- < rj для всех j. Числа r'j, таким образом, показывают, какие из обобщенных циклов символа сохранятся при малом шевелении (переходе от m к ше) и насколько уменьшаются их кратности. Эти числа зависят только от корней символа т(^), которые сохранились при данном шевелении. Теорема 10. Пусть дано масштабирующее уравнение с непрерывным решением р £ С'(Е). Это решение р непрерывно меняется в метрике С'(К) при малом шевелении коэффициентов уравнения, если шевеление такого, что r'0 > 1 и r'j > — log2 /i(m, bj) для всех j = 1,. , s.

Обратно, существуют такое £ > 0, что из условий (0.0.11) и р£ £ С'(М) следует, что r'0 > 1 и r'j > — log2 к(т, bj) для всех j = 1,. , s.

Глава 4 посвящена нескольким особым случаям масштабирующих уравнений, а также их приложениям к задачам теории всплесков, теории вероятностей и теории чисел.

Кусочно-гладкие масштабирующие функции и сплайны. Поскольку масштабирующие функции имеют конечную гладкость, они не могут быть аналитическими и выражаться через известные элементарные функции.

Тем не менее, масштабирующие функции могут быть "кусочно-хорошими", например, являться сплайнами. А.Каваретта, В.Дамен и Ч.Мичелли в 1991 г [21] классифицировали все масштабирующие сплайны с целыми узлами, а 1995 г. У.Лоутон, С.Л.Ли и З.Шен [53] доказали, что других масштабирующих сплайнов нет. Для каждого N существует лишь конечное число масштабирующих уравнений степени 7V, решения которых являются сплайнами. Все они имеют целые узлы и могут быть легко выписаны. Естественный вопрос в этой связи: существуют ли кусочно-аналитические, или, более общо - кусочно бесконечно гладкие масштабирующие функции, отличные от сплайнов ? Следующий результат дает отрицательный ответ:

Предложение 4. Если существует такое е > 0, что гладкость масштабирующей (функции (р на интервале (0, е) превосходит ее гладкость на всей прямой, то <р является сплайном с целыми узлами.

Таким образом, сплайнами ограничивается все множество "кусочно-хороших" масштабирующих функций. Все остальные масштабирующие функции имеют фрактальные свойства (переменную локальную гладкость и т.д.). В диссертации описана структура многообразия масштабирующих сплайнов и получены явные формулы для скорости сходимости соот-вествующих уточняющих алгоритмов (оказывается, для сплайнов значение этой скорости - целое число). С другой стороны, следующая фактори-зационная теорема утверждает, что из каждой гладкой масштабирующей функции можно выделить масштабирующий сплайн.

Теорема 11 [Вторая факторизационная теорема]. Если масштабирующая функция <р принадлежит Сг(Е), (I > 0); то она представляется в виде свертки (р = Si-i * <р>о, где Si-\ - масштабирующий сплайн порядка I — 1 и (ро - непрерывная масштабирующая функция. При этом а^ = + /.

Итак, все гладкие масштабирующие функции являются свертками непрерывных масштабирующих функций с соответствующими масштабирующими сплайнами. Это утверждение дает положительный ответ на вопрос, сформулированный А.Кавареттой, В.Даменом и Ч.Мичелли в 1991 г. [21, замечание 2.6].

Масштабирующие уравнения с неотрицательными коэффициентами. Такие уравнения широко изучались в связи с их важностью при построении уточняющих схем и в задачах теории вероятностей. В 1986 г. К.Де Боор, а в 1989 г. А.Миччелли и Г.Праутш [20] доказали, что если все коэффициенты Ck строго положительны, то при при условии Y^k С2А' = Ylk C2¿+1 = N > 2 масштабирующая функция непрерывна и соответствующая уточняющая схема сходится. Однако, для приложений более важен случай неотрицательных коэффициентов с^, когда некоторые из них могут обращаться в ноль. В 1996 г. Я.Вонг [25] доказал, что если все с& нетрица-тельны, то при условии ^ С2А- = Хд- с2к+1 — 1 масштабирующая функция принадлежит ¿2(М). Это условие, однако, не является необходимым. Следующая теорема представляет полный критерий. Он формулируется в терминах блокирующих множеств бинарного дерева (глава 2). Теорема 12. Если все коэффициенты масштабирующего уравнения неотрицательны, то его решение <р принадлежит (М) тогда и только тогда когда существует симметричное блокирующее множество, состоящее из корней символа 111(2). В этом случае (р принадлежит Д^К).

Каскадный алгоритм, соответствующий уравнению с неотрицательными коэффициентами, сходится в Ь\ тогда и только тогда когда ш(-1) = 0 и номера ненулевых коэффициентов в последовательности со, сх,. взаимно просты (их НОД равен единице). В этом случае алгоритм также сходится в Ьр при всех конечных р > 1.

Критерий принадлежности р пространству £х(®0 неулучшаем в том смысле, что все его случаи реализуются (для любого симметричного блокирующего множества существует уравнение с положительными коэффициентами, символ которого имеет нули на этом множестве и не имеет никаких других нулей на дереве).

Приложения. Всплески с компактным носителем. Для построения системы всплесков с компактным носителем (полной ортонормированной системы функций в .¿^(М), имеющей вид где ф - финитная функция) нужно найти решение р> масштабирующего уравнения с некоторыми специальными условиями на коэффициенты затем выN числить всплеск-функцию ф по формуле ф{х) = X)(—1)к+1С]\г-к(р{2х — к). к=о

Таким образом, всплески имеют ту же локальную и глобальную гладкость, что и соответствующие масштабирующие функции. Результаты предыдущих глав о модулях непрерывности масштабирующих функций и об их локальной гладкости без изменений переносятся на всплески. В частности, мы находим модули непрерывности всплесков, формулы для их локальной гладкости в каждой точке и для средней гладкости.

Приложения. Кривые де Рама. Результаты главы 2 о локальной и глобальной гладкости фрактальных кривых применены к исследованию классических кривых де Рама. Кривая де Рама получается в пределе из плоской ломаной с данными вершинами ^ = (хк,Ук) £ ®2> к £ Ъ последовательным срезанием ее углов. На первом шаге каждая сторона ломаной делится на три части в отношении и : (1 - 2ш) : и, где и £ (0, |) - заданный параметр. На каждой стороне, таким образом, возникло по две точки деления. Соединив последовательно все точки деления, получаем новую ломаную, делим ее стороны в том же отношении (с тем же параметром ш), получаем следующую ломаную и т.д. Кривая, получающаяся в пределе называется кривой де Рама. Кривая де Рама определяется, таким образом, параметром и и начальной ломаной.

Впервые такие кривые были исследованы де Рамом в работах [64, 65, 66]. Де Рам доказал, что для каждого ш £ (0, алгоритм срезания углов сходится к некоторой непрерывной кривой Г; эта кривая спрямляема и, более того, при и < | она непрерывно-дифференцируема (в натуральной параметризации). При и = | кривая де Рама представляет собой квадратичный сплайн, т.е., составлена из кусков парабол, гладко соединенных в узлах - серединах сторон исходной ломаной. При остальных и £ (0, |) кривая будет обладать фрактальными свойствами, при этом, оставаясь в классе С1. Кривые де Рама применяются в прикладной математике для приближения непрерывных функций и восстановления функций по значениям на некоторой сетке [67] - [70]. В эргодической теории и динамических системах кривые де Рама изучаются как предельные кривые случайных блужданий (см. [71], [72] и библиографию в этих работах). Множество работ посвящены изучению различных свойств кривых де Рама (см., например, [43, 73, 74]) и их обобщениям [42, 44, 45].

Если в качестве начальной ломаной взять квадрат, то соответствующая кривая де Рама будет состоять из четырех одинаковых сегментов с концами в серединах сторон квадрата. Такой сегмент называется фундаментальной кривой де Рама и обозначается далее через Г. Она является фрактальной кривой в М2. В соответствующей фрактальной параметризации (0.0.4) Г(£) = (.т(£),г/(£)) обе координатные функции ж(£),у(£) выражаются через масштабирующую функцию Чайкина - решение масштабирующего уравнения третьей степени с коэффициентами 1 — ш, 1 — и, со [75]. Это позволяет привлечь масштабирующие уравнения к исследованию кривых де Рама. В некоторых работах 1990-х годов уточняющие схемы определялись как обобщения алгоритма де Рама срезания углов [21, 30, 42]. Кривая де Рама, соответствующая произвольной начальной ломаной, является объединением нескольких кривых, каждая из которых аффинно подобна фундаментальной кривой Г. Поэтому при изучении кривых де Рама молено ограничиться только кривой Г.

Техника, разработанная в главе 2, позволяет вычислить точный показатель гладкости кривой де Рама для каждого значения параметра ю. Важность этого результата объясняется тем, что гладкость отвечает как за скорость сходимости алгоритма срезания углов, так и за точность приближения гладких функций кривыми де Рама. В отличие от результатов главы 2 для общих фрактальных кривых, здесь нас интересует "геометрическая гладкость", т.е., гладкость кривой Г в ее натуральной параметризации (в качестве параметра берется длина кривой), а не гладкость фрактальной параметризации (0.0.4) с помощью переменной Показатель Гельдера кривой Г выражается через нижний спектральный радиус р следующих 2 х 2-матриц:

То — ( л I ; Т\ . г

Это - теплицевы матрицы, соответствующие чистому символу уравнения Чайкина то(^) = + (1 — + (пример 1.6.3). Линейные операторы То,Гх не коммутируют и не являются преобразованиями подобия, в отличие от операторов, порождающих большинство классических фрактальных кривых. Поэтому вычисление или даже оценка их совместного спектрального радиуса, равно как и нижнего спектрального радиуса и показателя Ляпунова представляет значительные сложности. Решение этой проблемы для операторов То,?!, соответствующих кривым де Рама, получено автором в [46] и представлено в диссертации. Для любого значения и в явном виде найдены показатели глобальной гладкости, модули непрерывности, показатели максимальной и минимальной локальной гладкости, а также гладкости в рациональных точках. На среднюю локальную гладкость (достигающуюся почти во всех точках) получены оценки. Предложение 5. При каждом и £ (0, кривая Г принадлежит С1, а показатель Гельдера ее производной равен

0.0.12) аг = l0g(f " - 2, log р где р = p(Tq,Ti). Для модуля непрерывности имеем u(T',h) < Cha, где а = а^!.

При lj > | кривая Г Липшицев а с константой 1, но не принадлежит С1. Она не дифференцируема во всех точках Y(t) при двоично-рациональных t и дифференцируема во всех остальных точках.

В частности, при и = | кривая де Рама также принадлежит С1. Ее производная непрерывна и с показателем Гельдера равным 0. Этот факт был упущен де Рамом в [64] - [66].

Для вычисления совместного спектрального радиуса и нижнего спектрального радиуса операторов To,Ti в главе 4 разработан геометрический метод, основанный на следующем результате:

Предложение 6. Пусть даны два линейных оператора Bq,B\, действующих в Кп; и положительное число А. Тогда а) если существует центрально-симметричное относительно нуля выпуклое тело (выпуклый компакт с непустой внутренностью) Л4 С Мп7 для которого В{М С А М, то р(Во,В{) < А/ б) если существует замкнутое множество <2 С не содержащее ноль, для которого В{0, С то р(Въ,В\) > Л.

Таким образом, подобрав подходящие множества М и 0,, получаем оценки на величины р и р. Обратные оценки можно получить, используя обычные спектральные радиусы (максимальные модули собственных значений) произведений операторов В$,В\. В некоторых случаях этот метод приводит к точным значениям р и р. Для операторов То, Тх множества М и (2 строятся в виде специальных многоугольников, зависящих от параметра ш. При каждом ш это дает точные значения р и р, а значит и точные значения показателя Гельдера.

Из предложения 5 следует, что при каждом и £ кривая Г липши-цева, но не из С'1, следовательно, ат = 1. В случае ш £ (0,|] полагаем ч \ogLJ , ч 1ое'(о;(1 — 2^))

0.0.13) ао{и) = . ё -1, ^(ш) = П log(l -2ш) ' log(w + \/4üj - 7u;2) - 1

Пусть также amin(^) = min{a.'o(w), Q'i(w)}, QWx(^) = max{ao(w), a'i(w)}. Легко видеть, что при cj < | имеем amin = Q'1? ct'max = «о, при со £ имеем «min = а0, атях = ai. При этом amin < amax для всех и ф Теорема 13. Для любого lj £ (0, показатель Гельдера производной Г' равен amin(w)

Для локальной гладкости кривых де Рама имеем Теорема 14. Пусть со £ (0, |]. Для любого t = O.c/i^ . G [0,1] локальная гладкость производной Г' в точке T(t) равна QT'(i) = S Jg^—— — 2, где pt = lim infjfc-^oo • ■ -Tdk\\llk - нижний спектральный радиус операторов То,Т1 вдоль последовательности (t).

Для любого а £ [amin, ci'max] множество tia = {t £ [0,1], «г<(t) = а.'} всюд плотно на отрезке [0,1]. Для а — ——-— 2 множество йа имеет полную меру на отрезке [0,1], для прочих а - меру нуль, р - показатель Ляпунова операторов To,Ti, .

Таким образом, гладкость производной кривой де Рама почти во всех точках одинакова. Назовем ее средней гладкостью и обозначим aav. Эта величина тесно связана с хаусдорфовой размерностью гармонической меры, которую определяет отображение t —у Г'(х;(£)) на отрезке [0,1]. Этот факт применяется при изучении случайных блужданий по двум аффинным операторам [71]. В работе [72], в частности, вычисляется хаусдорфова размерность для случая и = Для произвольного и £ (0,|), согласно тео . log (ш(1—2ш)) реме 14, величина aav{u)) = —^-j—=—-— 1 вычисляется через показатель Ляпунова р операторов Tq,T\. Для него в диссертации получена следующая интегральная формула: 1

0.0.14) logар = -1 + log2(l - (1 - 4со)\2т) dt, о где (3(t) - угол между касательными к кривой Г в точках Г(t) и Г(|). Эта формула позволяет оценить среднюю гладкость aav(u) для каждого и. В частности, доказано следующее

Предложение 7. При каждом и £ (0, кроме и = имеем 1 < aav < 2. При этом aav —> 1 при и —> 0.

Таким образом, при и ф | показатель Гельдера производной кривой де Рама почти всюду больше 1, т.е., производная Г' является чисто сингулярной функцией. Например, при ш = | локальная гладкость принимает все значения от amin = 0 до а;тах = 1.5588. Для средней гладкости имеем 1.0279 . < aav < 1.1557 . Так как вторая производная кривой по натуральному параметру равна ее кривизне, получаем

Следствие 3. При любом со ф | кривизна кривой де Рама равна нулю почти в каждой точке.

Приложения. О распределении одного вероятностного ряда. Рассмотрим случайную величину, являющуюся суммой ряда оо

0.0.15) v = j=о где t £ (0,1) - произвольный параметр, r)j - попарно независимые случайные величины с одной и той же функцией распределения Fq, причем Е |£о| = Jr\x\cIFq < оо. Хорошо известно, что при этих условиях ряд (0.0.15) сходится почти наверное, а его функция распределения Fr) непрерывна и имеет чистый тип (либо абсолютно непрерывна - имеет плотность F[} £ Li(M), либо чисто сингулярна - F^ является гармонической мерой). Классическая задача состоит в том, чтобы разделить эти две ситуации: для конкретных t и Fq определить, будет ли функция распределения Fn абсолютно непрерывной, или сингулярной. Например, если величина щ принимает значения ±1 с вероятностями то получаем известную проблему Ердеша о конволюциях Бернулли [51], [52]. Для других распределений щ задача изучалась А.Закусило, Г.Дерфелем и др. [36, 37, 76, 77]. В 1996 г. Н.Дин, Г.Дерфель и А.Левин [38] рассмотрели эту задачу для t = | и произвольной целочисленной случайной величины ?/0, применив к ней теорию масштабирующих уравнений. Общая задача формулируется так: пусть щ - дискретная случайная величина, причем Р {щ = к} =

Рк, к £ Z, Рк — 1- Для каких последовательностей {pk} функция рас-kez пределения ряда (0.0.15) при t = | абсолютно непрерывна, а для каких - сингулярна? В такой постановке задача, в некотором смысле, является двойственной к задаче Эрдеша о конволюциях Бернулли. В задаче Эрдеша параметр t - произвольный, а щ - фиксировано и является простейшей дискретной случайной величиной. Здесь, напротив, t является "хорошим" числом, зато щ - произвольная целочисленная случайная величина. Н.Дин, Г.Дерфель и А.Левин определили несколько достаточных условий для абсолютной непрерывности, оставив нахождение критерия в качестве открытой проблемы. В диссертации представлено решение этой проблемы. Ответ получен в терминах нулей характеристической функции то(£) = J2 с применением понятий элементарной теории графов. kez

Вновь рассмотрим бинарное дерево Т (глава 2). Здесь будет удобнее перейти к тригонометрической записи вершин дерева, заменив каждую вершину ^ на а = ^f-, где arg z £ (0,2тг]. Таким образом, в корне дерева

1 t о стоит число 1, вершина первого уровня вершины второго уровня - | и т.д. От каждой вершины 7 выходят два ребра к вершинам | и

Назовем подмножество вершин дерева Л слабо блокирующим, если существует целое М > 1 такое, что любой бесконечный путь из корня, имеющий М ходов в одну сторону подряд (т.е. М переходов 7 —| подряд, или М переходов 7 —> ^ подряд), обязательно имеет общую вершину с Л. При М = 1 получаем определение (обычного) блокирующего множества. Слабо блокирующие множества, не являющиеся блокирующими, бесконечны. Подмножество вершин дерева назовем симметричным если вместе с любым элементом 7 оно содержит и 1 — 7.

Теорема 15. Функция распределения F^ абсолютно непрерывна тогда и только тогда когда существует слабо блокирующее симметричное множество Л, состоящее из нулей функции т(£).

Если дополнительно известно, что последовательность pk имеет экспоненциальное убывание при \к\ —> оо, то слабо блокирующие множества можно заменить на блокирующие.

Несмотря на довольно громоздкий вид, критерий неулучшаем: все его случаи реализуются, а экспоненциальное убывание не может быть заменено полиномиальным. Именно, мы показываем, что для любого слабо блокирующего симметричного множества Л существует последовательность {pk}, убывающая быстрее любой степени, и такая, что функция т(£) обращается в ноль во всех точках множества Л и не имеет других нулей на дереве Т

Приложения. Задача об асимптотике функции разбиения. Для произвольного целого с1> 2 бинарная функция разбиения Ь[к) = Ь(с/, к) определена на множестве неотрицательных целых чисел к и равна количеству всевозможных двоичных разложений к = в которых "цифры" с1^ принимают значения 0,. , с1 - 1. При с1 — оо функция Ъ(оо,к) равна числу двоичных разложений, в которых цифры принимают произвольные неотрицательные целые значения. При й = 2, очевидно, Ъ[к) = 1, при с/ > 3 двоичное разложение уже не единственно, и возникает естественная задача об асимптотическом поведении величины Ь(к) при к —» сю. Эта задача изучалась для различных с1 еще Л.Эйлером [78], а затем - в работах А.Тантурри, К.Малера, Н.де Брюйна, Д.Кнута, Б.Резника и др. [79] -[84]. Американский математик Б.Резник в 1989 г. доказал, что в случае с/ = Т'+1 (г > 0 - целое число), имеем Ь{к) = Сгкг + о{кг) при к —> оо [54]. Здесь Ст - эффективная константа. Для остальных четных чисел с1 = 2п, он показал, что

С1пкХо^п < Ъ(к) < С1къ^п, где С*, С2 - положительные константы. Введем обозначения: г/1 = ИшЫк~1о^пЬ(к)- и2 = Ншвир к'^Щк). кчоо

Для любого п показатели щ и щ конечны и положительны. Если п является степенью двойки, то щ = щ- Таким образом, в этом случае Ь{к) ~ с при к —> оо. Для других п это может не выполняться. Б.Резник, ссылаясь также на раннюю работу Л.Карлитца [84], показал, что при с1 = 6,п = 3 имеем и\ ф VI- Вопрос об остальных п был сформулирован в качестве открытой проблемы. Верно ли, что щ = ¿^ только для степеней двойки ? Ответ дает следующая

Теорема 16. Если — V2) то п = 2'" для некоторого целого г > 0.

Для нечетных с? функция Ь(к) ведет себя на бесконечности более сложно. Обозначим р\ = Итит! Ь{к)! log к; Р2 — Нтвир \о£Ь(к)/ \о$к. кчоо ¡¿^ж

При четных с1 всегда имеем р\ = при нечетных с1 - не всегда. Уже при й = 3 оказывается р\ < р2- Вторая проблема, сформулированная Б.Резнрисом: верно ли, что р\ < р2 для всех нечетных с1 ? В данной диссертации представлено решение этой проблемы:

Теорема 17. Для всех нечетных с1 имеем р\ < к^2(с?/2) < р2.

Масштабирующие уравнения возникают в этой задаче следующим образом. Пусть (р - непрерывное решение масштабирующего уравнения (0.0.1) при N = d с одинаковыми коэффициентами = Положим j{x) = я-1оё2 i(p{x). Тогда имеет место неравенство k-l0^nb(k)- f(2~jk)\ < 2~jk5j, где Sj —> 0 при j —>■ оо. Отсюда получаются явные выражения для констант v\} V2 через функцию /: vi = inf f(x); v2 = sup f(x), ®e(0,l) ®G(0,1)

Они позволяют не только доказать, что v\ < v^ если d не равно степени двойки, но и численно находить v\ и v<i с любой точностью. Для этого нужно приблизить масштабирующую функцию (р, что может быть сделано, например, с помощью тех же уточняющих схем.

1. И.Добеши, Десять лекций по вейвлетам, Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", (2001), 463 стр.

2. I. Daubechies, J. Lagarias, Two-scale difference equations. I. Global regularity of solutions, SIAM. J. Math. Anal. 22 (1991), P. 1388-1410.

3. I. Daubechies, J.Lagarias, Two-scale difference equations. II. Local regularity, infinite products of matrices and fractals, SIAM. J. Math. Anal. 23 (1992), 1031-1079.

4. A.Cohen, Ondelettes, analyses, multiresolution et traitement numerique du signal, PhD Theis, Universite Paris Dauphine (1990)

5. M.Vetterly, C.Herley, Wavelets and filter banks. Theory and Design, IEEE Trans, on signal Proc., Vol. 40 (1992), No 9, P. 2207-2232.

6. L.Villemoes, Energy moments in time and frequency for two-scale difference equation solutions and wavelets, SIAM J.Math.Anal., 23 (1992), pp.15191543.

7. L.Villemoes, Wavelet analysis of refinement equations, SIAM J. Math. Anal. 25 (1994), No 5, P. 1433-1460.

8. R.Q.Jia, C.A.Micchelli, Using the refinement equations for the constructionof pre-wavelets II: Powers of two, Curves and Surfaces ( P.J. Laurent, A. /

9. M haut ё and L.L. Schumaker, eds.), Academic Press, New York. (1991), P. 209-246.

10. R.Q.Jia , C.A.Micchelli, Using the refinement equations for the construction of pre-wavelets V: extesibility of trigonometric polynomials Computing, 48 (1992), P. 61-72.

11. Y.Meyer, Wavelets and operators, Cambridge University Press. Cambridge, (1992).

12. P.Wojtaszczyk, A mathematical introduction to wavelets, London Math. Soc. Student texts, 37 (1997).

13. D.Collela, C.Heil, Dilation equations and the smoothness of compactly supported wavelets, in Wavelets: Mathematics and applications., J.Benedetto,M.Frazier, eds.,CRC Press, Bosa Raton, FL (1993), P. 161-200.

14. D.Collela, C.Heil, Characterization of scaling functions. I. Continuous solutions, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 15 (1994), P. 496-518.

15. C. de Boor, R. DeVore, A.Ron, On the construction of multivariate pre-wavelets, Constr. Approx., , 2 (1993), No 3, P.123-166.

16. A.Ron , Smooth refinable functions provide good approximation, SIAM J. Math. Anal. Vol 28 (1997), P. 731-748.

17. Ч.Чуи, Введение в вэйвлеты М.: Мир, 2001, 412 стр.

18. O.Rioul, Simple regularity criteria for subdivision schemes, SIAM J. Math. Anal, 23 (1999), P. 1544-1576.

19. B.Han, Analysis and construction of optimal multivariate biorthogonal wavelets with compact support, SIAM J. Math. Anal., 31 (1999), P. 274-304.

20. C.A.Micchelli and H.Prautzsch, Refinement and subdivision for spaces of integer translates of a compactly supported function, in Numerical analysis edited by D.F.Griffiths and G.A.Watson, 1987, P. 192-222.

21. C.A.Micchelli, H.Prautzsch, Uniform refinement of curves, Linear Alg.Appl., 114/115 (1989), 841-870

22. D.Cavaretta,W.Dahmen and C.Micchelli, Stationary subdivision, Mem. Amer. Math. S о с., 93 (1991), P. 1-186.

23. N.Dyn, D.Levin, Interpolatory subdivision schemes for the generation of curves and surfaces, Multivariate approximation and interpolation, (Duis-burg,1989), Birkhauser, Basel (1990), P.91-106,

24. N.Dyn,J.A.Gregory and D.Levin, Analysis of linear binary subdivision schemes for curve design, Constr.Approx., 7 (1991), P. 127-147.

25. Y.Wang, Two-scale dilation equations and the cascade algorithm, Random Comput.Dynamic, 3 (1995), No 4, P. 289-307.

26. Y.Wang, Two-scale dilation equations and the mean spectral radius, Random Comput.Dynamic, 4 (1996), No 1, P. 49-72.

27. R.Q.Jia, J.Wang, Stability and linear independence associated with wavelet decomposition, Proc.Amer.Math.Soc.,117 (1993), P.1115-1124.

28. D.X.Zhow, Stability of refinable functions, multiresolution analysis, and Haar bases. SIAM J.Math.Anal., 27 (1996), No 3, P.891-904.

29. K.S. Lau , J. Wang, Characterization of Lp-solutions for two-scale dilation equations, SIAM. J. Math. Anal., 26 (1995), P. 1018-1046.

30. S.Dubuc, Interpolation through an iterative scheme, J. Math. Anal. Appl. 114 (1986), P 185-204.

31. G.Deslaiiriers, S.Dubuc, Symmetric iterative interpolation processes, Con-str.Approx., 5 (1989), P. 49-68.

32. R.Q. Jia, Subdivision schemes in Lp spaces, Advances in Сотр. Math, 3 (1995), P. 309-341.

33. L.Berg, G.Plonka, Spectral properties of two-slanted matrices, Results Math. 35 (1999), No. 3-4, P. 201-215.

34. L.Berg, G.Plonka, Some notes on two-scale difference equations, Functional equations and inequalities, Math. Appl., 518 (2000), P. 7-29.

35. В.Ю.Протасов, Кусочно-гладкие масштабирующие функции, Алгебра и Анализ, вып. 16 (2004), No 5, стр. 89-111.

36. М. Charina, С. Conti, Lp convergence of subdivision schemes: joint spectral radius versus restricted spectral radius, submitted

37. Г.А.Дерфель, К вопросу о финитных решениях функционально-разностных уравнений, труды конференции "Динамические системы и турбулентность", Киев (1989), стр. 65-68.

38. Г.А.Дерфель, Вероятностные методы для одного класса функционально-разностных уравнений, Украинский Мат. Журнал., 41 (1989), No 10, стр. 1137-1141.

39. G.A.Derfel,N.Dyn, D.Levin, Generalized refinement equations and subdivision processes, Journal of Approx.Theory,80 (1995), P. 272-297.

40. V.Protasov, On the distribution of one random series, Proceeding of the conference " Paul Erdos and his Mathematics", July 4-11, 1999, Budapest; P. 206-210.

41. V.Protasov, Refinement equations with nonnegatwe coefficients, J. Fourier Anal. Appl., Vol.6 (2000), No 6, P. 55-77.

42. J.Morawiec, On local properties of compactly supported solutions of the two-coefficient dilation equation. Int. J. Math. Math. Sci. 32 (2002), No.3, P. 139-148 .

43. C.A.Micchelli, A.Pinkus, Descartes ssystems from corner cutting, Con-str.Approx., 7 (1991), P. 161-194.

44. M.Paluszny, H.Prautzsch, M.Schafer, A geometric look at corner cutting, Comput. Aided Geom. Design., Vol.14 (1997), No 5, P. 421-447.

45. J.A.Gregory, R.Qu, Nonuniform corner cutting, Comput. Aided Geom. Design., Vol.13 (1996), No 8, P. 763-772.

46. L.Noakes, Nonlinear corner cutting, Adv. Comput. Math. 8 (1998), No 3, P. 165-177.

47. В.Протасов, О гладкости кривых де Рама, Известия РАН. Серия математическая, т. 68 (2004), No 3, стр. 27-68.

48. V.Protasov, Fractal curves and their applications to wavelets, Proceeding of the International Workshop on self-similar systems, July 30- August 7, 1998; Dubna, Russia (1999), P. 120-125.

49. В.Ю.Протасов, Асимптотика функции разбиения, Математический сборник, 191 (2000), по 3, стр. 65-98.

50. В.Ю.Протасов, К задаче об асимптотике функции разбиения, Математические заметки, т. 76, вып. 1 (2004), стр. 151-156.

51. М. Neamtu, Convergence of subdivisions versus solvability of refinement equations, East J. Approx, 5 (1999), P. 183-210.

52. P.Erdos, On a family of symmetric Bernuolli convolutions, Amer.J.Math.,61 (1939), P. 974-975.

53. P.Erdos, On the smoothness properties of Bernuolli convolutions, Amer.J.Math.,62 (1940), P. 180-186.

54. W.Lawton, S.L.Lee, Z.Shen, Characterization of compacthj supported re-finable splines, Adv. Comput. Math. 3 (1995), No. 1-2, P. 137-145.

55. B. Reznick, Some binary partition functions, Analytic number theory, Urbana, IL 1989, Prog. Math., 85, (1990), P. 451-477.

56. В.Ю.Протасов, Об убывании бесконечных произведений тригонометрических полиномов, Мат.Заметки, 72 (2002), вып. 6, стр. 892-908.

57. V.Protasov, One optimization problem on positive trigonometric polynomials, in the Proceedings of the HPOPT conference, Amsterdam, 23-25 july 2004, P. 32-33.

58. M.A.Berger, Y.Wang, Bounded semi-groups of matrices, Linear Alg.Appl., 166 (1992), P. 21-27.

59. G.C.Rota, G.Strang, A note on the joint spectral radius, Kon. Nederl. Acacl. Wet. Proc., 63 (1960), P. 379-381.

60. V.Protasov, A complete solution characterizing smooth refinable functions, SIAM Journal of Math. Analysis, 31 (2000), No 6, P. 1332-1350.

61. V.Protasov, The stability of subdivision operator at its fixed point, SIAM Journal of Math. Analysis, 33 (2001), No 2, P. 448-460.

62. V.Protasov, Refinement equations and corresponding linear operators, to appear in International Journal of Wavelets, Multiresolution and Information Processing (2005), 12 pages.

63. В.Протасов, Масштабирующие уравнения и гладкость всплесков, труды Международной конференции "Ряды Фурье и их применения", Новороссийск, 1-6 июня, 2005.

64. G. de Rham, Une peu de mathématique a propos d'une courbe plane, Revue de Mathématiques Elémentaires, II, Nos. 4,5 (1947), P. 678-689.

65. G. cle Rham, Sur une courbe plane, J. Math. Pur. Appl., IX. SLIr. 35 (1956), P. 25-42.

66. G. de Rham, Sur les courbes limit de polygones obtenus par insertion, Enseign. Math., II. SHr. 5 (1959), P. 29-43.

67. G.E.Farin, Curves and surfaces for computer-aided geometric design, Fourth edition, Academic Press, San Diego, CA, 1997.

68. C.Brezinski, M. Redivo Zaglia, Extrapolation methods, Theory and Practice, North-Holland, New York, 1991.

69. G.Aumann, Subdivision of linear corner cutting curves, J.Geom.Graph., Vol. 1, No 2 (1997), No 2, P. 91-103.

70. E.Mainar, J.M.Pena, Error analysis of corner cutting algorithms, Numer. Algorithms, Vol.22 (1999), No 1, P. 41-52.

71. N.Sidorov, A.Vershik, Ergodic properties of Erdos measure, the entropy of golden shift, and related problems, Monatsh. Math., 126 (1998), P. 215-261.

72. П.Никитин, Хаусдорфова размерность гармонической меры на кривой де Рама, Записки научных семинаров ПОМП, т. 283 (2001), Р. 206-222.

73. J.-L.Merrien, Prescribing the length of a de Rham curve, Math. Eng. Ind., Vol. 7 (1998), No.2, P. 129-138.

74. S.Dubuc, J.-L.Merrien, P.Sablonniere, The length of the de Rham curve, J. Math. Anal. Appl., Vol.223 (1998), No.l, P. 182-195.

75. G.M.Chaikin, An algorithm for high speed curve generation, Computer Graphics and Image Processing, 3 (1974), P. 346-349.

76. O.K.Zakusilo, On classes of limit distributions in some scheme of summing up, Teoria Veroyatnosti i Mat.Statistika, 12 (1975), P. 44-48

77. O.K.Zakusilo, Some properties of classes Lc of limit distribution, Teoria Veroyatnosti i Mat.Statistika, 15 (1976), P. 68-73

78. L.Euler, Introductio in analysis infinitorum, Opera Omnia Series Prima Opera Math., 8 (1922), Teubner, Leipzig

79. K. Mahler, On a special functional equation, J. London Math. Soc. 15 (1940), P. 115-123.

80. N. G. de Bruijn, On Mahler's partition problem, Indag. Math. (N.S.) 10 (1948), P. 210-220.

81. D. E. Knuth, An almost linear recurrence, Fibonacci Quart. 4 (1966), P. 117-128.

82. R. F. Churchhouse, Congruence properties of the Unary partition function, Proc. Camb. Phil. Soc. 66 (1969), P. 371-376.

83. A. Tanturri, Sul numero delle partizioni d'un numero in potenze di 2, Atti. Accad. Naz. Lincei, 27 (1918), P. 399-403.

84. L.Carlitz, Generating functions and partition problems, 1965 Proc. S}anpos. Pure Math., Vol. VIII (1965), P. 144-169, in Amer. Math. Soc., Providence, R.I.Linear Alg.Appl., 114/115 (1989), P. 841-870.

85. Г.Полиа , Г.Cere, Задачи и теоремы из анализа. 4.2 М. Гос.Изд.Тех.Лит., (1956), 432 стр.

86. А.А.Миролюбов , М.А.Солдатов, Линейные однородные разностные уравнения, М. На}гка, 1981.

87. С.К.Годунов , В.С.Рябенький, Введение в теорию разностных схем, М., Физматлит, 1962.

88. G.Strang , G.J.Fix, An analysis of the finite element method, Prentice-Hall Series in Automatic Computation. Englewoocl Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc. XIV. 1973.

89. I.Singer, Bases in Banach spaces, Berlin: Spriger-Verlag. 1970.

90. А.Зигмунд, Тригонометрические ряды, Т. 2 М: Мир 1965.

91. L.L. Schumaker, Spline functions: Basic theory} John Wiley, New York, 1981.

92. J.E.Hutchinson, Fractals and self-similarity, Indiana Univ. Math. J., 30 (1981), No 5,P. 713-747.

93. L.Gurvits, Stability of discrete linear inclusions, Linear Alg. Appl. Vol. 231 (1995), P. 47-85.

94. В.Ю.Протасов, Совместный спектральный радиус и инвариантные множества линейных операторов, Фундаментальная и прикладная математика, т.2 (1996), вып.1, стр. 205-231.

95. F.Wirth, The generalized spectral radius and extremal norms, Linear Alg. Appl. 342 (2002), P. 17-40.

96. M. Barnsley, Fractals everywhere. Academic press, Boston, 1988.

97. G.Strang, The joint spectral raduus, Commentary by Gilbert Strang on paper number 5 in "Collected works of Gian-Carlo Rota", 2001.

98. I.Daubechies , J.Lagarias, Corrigendum,/addendum to: Sets of matrices all infinite products of which converge, Linear Alg.Appl. Vol. 327 (2001), P. 69-83.

99. J.C.Lagarias, Y.Wang The finiteness conjecture for the generalized spectral radius, Linear Alg.Appl., 214 (1995), P. 17-42.

100. В.Ю.Протасов, Обобщенный совместный спектральный радиус. Геометрический подход, Известия РАН. Серия математическая, т.61 (1997), No 5, стр. 99-136.

101. T.Ando, M.Shih, Simultaneous contractibihty, SIAM J. Math. Anal. 19 (1998), No 2, P. 487-498.

102. H.E.Барабанов, Показатели Ляпунова дискретных вложений, части 1, 2 и 3, Автоматика и телемеханика, 1988, т.2 стр. 40-46; т.З стр. 24-29; т.5 стр. 17-24.

103. A.A.Vlaclimirov , L.Eisner and W.-J.Beyn, Stability and paracontractwity of discrete linear inclusions, Linear Alg. Appl. 312 (2000), P. 125-134.

104. В.С.Козякин, Алгебраическая неразрешимость задачи глобальной устойчивости несинхронизир о ванных систем, Автоматика и телемеханика, т.51 (1990), стр. 754-759.

105. J.N.Tsitsiklis, The stability of the products of finite set of matrices, Open problems in communication and computation, T.M.Cover and B.Copinath (Eds.), 1987, Springer-Verlag, New York, P. 161-163.

106. N.Guglielmi, M.Zennaro, On the zero-stability of variable stepsize multistep methods: the spectral radius approach, Numer. Math., 88 (2001), P. 445-458

107. D.X.Zhow, The p-norm joint spectral radius for even integers Methcls Appl.Anal. 5 (1998), P. 39-54.

108. А.Н.Колмогоров, Основные понятия теории вероятностей, М. Наука, (1974).т309

109. V.I.Oseledets, A multiplicative ergodic theorem. Lyapunov characteristic numbers for dijnamical systems. Trans. Moscow. Math. Soc., 19 (1968), P. 197-231.

110. J.Ma, Y.Chen, Z.Liu, The matrix algorithm of Lyapunov exponent for the experimental data obtained in dynamic analysis, Appl. Math. Mech., Engl. Eel. 20 (1999), No.9, P. 985-993.

111. K.Ravishankar, Power law scaling of the top Lyapunov exponent of a product of random matrices, J. Stat. Phys. 54 (1989), No.1/2, P. 531-537.

112. E.M.Kaganova, The Lyapunov index for the product of random operators, Vestn. Mosk. Univ., Ser. I (1988), No.2, P. 10-14.

113. B.B.Mandelbrot , A.J.Fisher, L.E.Calvet, A Multifractal Model of Asset Returns, Cowles Foundation Discussion Paper, 1997, No. 1164., http: //ssrn.com/abstract

114. A.A.Melkman, Subdivision schemes with nonnegative masks always converge, unless they obviously cannot ?, Ann.Numer.Math, 4 (1997), No 1-4, P. 451-460.

115. Х.Д.Икрамов, Несимметричная проблема собственных значений, М. Наука, (1991).

116. А.Д.Гвишиани, А.А.Кириллов, Теоремы и задачи функционального анализа, М. Наука, (1988), 400 стр.

117. V. Blonclel, J.Theys, A.A.Vladimirov, An elementary counterexample to the finiteness conjecture, preprint (2001), www.inma.ucl.ac.be/blonclel

118. V. Blonclel, J. Tsitsiklis, Approximating the spectral radius of sets of matrices in the max-algebra is NP-hard, IEEE Trans. Autom. Control, 45 (2000), No.9, P. 1762-1765.

119. V. Blonclel, J.M. Tsitsiklis, The boundedness of all products of a pair of matrices is undecidable, Syst. Control Lett., 41 (2000), No.2, P. 135-140.

120. G.Gripenberg, Computing the joint spectral radius, Lin. Alg. Appl., 234 (1996) , P. 43-60.

121. M.Maesumi, An efficient lower bound for the generalized spectral radius, Linear Alg. Appl., 240 (1996), P. 1-7.

122. V.D.Blondel , Yu.P.Nesterov, Computationally efficient approximations of the joint spectral radius preprint (2005), www.inma.ucl.ac.be/blondel

123. D.X.Zhow The p-norm joint spectral radius and its applications in wavelet analysis, International conference in wavelet analysis and its applications, AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, 25 (2002), P. 305-326.

124. В.Ю.Протасов, Об одном обобщении сложения выпуклых множеств, Фундаментальная и прикладная математика, вып. 4 (1998), No 2, стр. 641-650.

125. V.Protasov, A generalization of the joint spectral radius: the geometrical approach, Facta Univ. Ser. Math. Inform. No. 13. (1998), P. 19-23.

126. В.Ю.Протасов, О возможных обобщениях выпуклого сложения, Вестник МГУ, сер. Математика и Механика, вып. 4 (1999), стр. 13-19.

127. Г.Шефер, Топологические векторные пространства М. Мир, (1971).

128. А.П.Петухов, Введение в теорию базисов всплесков, Изд-во СПбГТУ. СПб, (1999).

129. R.Salem, Algebraic numbers and Fourier analysis, D.C.Heath and Co.,Boston, Mass, 1963.

130. A.M.Garsia, Arithmetic properties of Bernuolli convolutions, Trans.Amer.Math.Soc., 102 (1962), P. 409-432.

131. Y.Peres, B.Solomyak, Absolute continuity of Bernuolli convolution, a simple proof Math. Research Letters 3:2 (1996), P. 231-239.

132. B.Solomyak, On the random series (an Erdos problem), Annals of Math. 142 (1995), P. 611-625.

133. D.Gonsor, Subdivision algorithms with nonnegative masks generally converge, Advanced Comput. Math., 1 (1993), P. 215-221.

134. R.Q.Jia, D.X.Zhow, Convergence of subdivision schemes associated with nonnegative masks, SIAM J.Matrix Anal.Appl., 21 (1999), No 2, P. 418-430.