Аппаратно-ориентированные вейвлеты и их применение для обработки данных тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.01 ВАК РФ

Российская академия наук Институт аналитического приборостроения*"" В О /1

ии3055ВВ'7

На правах рукописи УДК 621 391 26

Новиков Лев Васильевич

Аппаратно-ориентированные вейвлеты и их применение для обработки данных

01 04 01- Приборы и методы экспериментальной физики

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2007

(

ч

003055667

Работа выполнена в Институте аналитического приборостроения Российской Академии наук (ИАнП РАН)

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук Новиков Игорь Яковлевич доктор физико-математических наук

Нестеров Михаил Мефодьевич доктор физико-математических наук Совков Владимир Борисович

Ведущая организация

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Защита состоится "_26_"_апреля_2007 г в 15-00 часов на заседании диссертационного совета Д 002 034 01 при Институте аналитического приборостроения Российской Академии наук по адресу 190103 С -Петербург, Рижский пр 26

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ИАнП РАН по тому же адресу

Автореферат разослан " " _2007 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета,

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Одним из путей повышения технических характеристик современных приборов является внедрение новых программно - алгоритмических средств обработки данных, основанных на последних достижениях информатики, прикладной математики и возможностях элементной базы вычислительной техники

В результате обработки наблюдаемого сигнала, несущего информацию об исследуемом физическом или технологическом процессе, явлении природы и т п , должна быть восстановлена истинная форма полезного сигнала, искаженного шумом и измерительным трактом прибора (аппаратной (приборной) функцией) или каналом связи

Очевидно, что чем выше качество обработки сигнала, тем проще и дешевле может быть физический тракт прибора для достижения одних и тех же результатов. Например, две важнейшие характеристики аналитических приборов - чувствительность и разрешающую способность, всегда стремятся улучшить с минимальными потерями для других его показателей стоимости, надежности, габаритов, веса и др Естественным и, пожалуй, самым дешевым, способом решения этой задачи является построение систем обработки с использованием быстрых, компактных и эффективных вычислительных алгоритмов Современная элементная база в принципе допускает достаточно большие скорости вычислений (с тактовой частотой более 1000 МГц), тем не менее, сохраняются основные требования, предъявляемые к этим алгоритмам при минимальном числе операций достижение максимальной эффективности

Цель работы заключается в разработке теоретических и прикладных подходов, которые позволяют синтезировать компактные и быстрые вычислительные алгоритмы оценки полезного сигнала, направленные на максимальное повышение чувствительности и разрешающей способности анализа, реализацию всех потенциальных возможностей измерительных систем приборов

Для достижения указанной цели были исследованы возможности современной теории вейвлетов (в математической литературе - теории всплесков) для

обработки данных, в частности, для восстановления (оценки) сигналов в присутствии шумов Эти исследования привели к созданию вейвлетов, названных ап-паратно-ориентированными (АОВ), т к они синтезированы с учетом априорной информации о приборе, характере сигнала и шума

Методы исследований. В развитых автором подходах использовались классические работы по теории вейвлетов, опубликованные на рубеже 90х S Mallat, LK Meyer, DJ Lemarie, I Daubechies, A Cohen, RR Chui и др [1,2], работы отечественных авторов [3], работы Donoho D по минимаксным оценкам сигнала в смеси с шумом (1994) [4] и вейвлет-вейгулетным преобразованиям (1995) [5], а также результаты по Карунена-Лоэва подобным разложениям, полученным Zhang J, Walter G (1994) [6] и по требованиям к масштабирующим функциям, исследованные Strang G, Zhou D-X (2001) [7] С целью проверки справедливости новых результатов и синтезируемых на их основе алгоритмов обработки данных, в среде МАТЛАБ выполнялись расчеты, и проводилось математическое моделирование с использованием реальных сигналов Научная новизна состоит в создании и исследовании класса аппаратно-ориентированных вейвлетов для обработки сигналов приборов, в частности

1 Разработаны квазивейвлеты на основе аппаратной функции, позволяющие решить задачу деконволюции с эффективным вейвлетным подавлением шума

2 Предложено два способа модификации известных вейвлетов (например, Добеши) Первый - позволяет синтезировать вейвлеты, обеспечивающие не только эффективное подавление шума, но также выполнение деконволюции, де-корреляции, дифференцирования и др операций Второй - обеспечивает представление случайного процесса в виде некоррелированных коэффициентов разложения по масштабирующим функциям

3 Предложены методы синтеза смещенных во времени базисных систем (СБС) из аппаратной функции прибора, как "прародителей" квазивейвлетов Получены зависимости свойств этих систем от параметра сдвига Показана возможность использования СБС для восстановления формы сигнала прошедшего через линейную систему (фильтр)

4 Разработаны на основе АОВ алгоритмы быстрого вейвлет - преобразования, позволяющие получить многократное ускорение процесса обработки дан-

ных по сравнению с традиционными методами, использующими комбинированные алгоритмы

Практическая ценность работы состоит в том, что созданы теоретические основы разработки алгоритмов и блоков фильтров быстрых вейвлетных преобразований для обработки данных, решающих задачи подавления шума, деконволю-ции, оценки сигнала или его линейных преобразований и параметров сигнала Положения, выносимые на защиту.

1 Теоретические и методические основы синтеза аппаратно - ориентированных вейвлетов

2 Методы получения и результаты исследования квазивейвлетов

3 Методы модификации известных вейвлетов

4 Методы синтеза смещенных во времени базисных систем функций, используемых для построения квазивейвлетов

5 Методика восстановления сигналов с использованием СБС

6 Алгоритмы обработки и блоки фильтров быстрого вейвлет - преобразования на основе АОВ

Апробация полученных результатов Результаты работы докладывались на семинаре "Всплески и их приложения" (рук проф Ю К Демьянович, проф В Н Малоземов, проф М А Скопина) - 1998, 1999 г г и на семинаре по конструктивной теории функций (рук проф Г И Натансон) - 2003 г; на всесоюзной конференции "Хроматографич процессы и автоматизация хроматографич исследований" -Держинск 1977, на всесоюзнай конф "Математические методы и ЭВМ в аналитической химии"- ГЕОХИ АН СССР, М . 1986, на школе-семинаре по автоматизации и компьютеризации в науке и технике ACS - Варна 1994, на международных конференциях "Digital Signal Processing and its Application" -Moscow 1998, 2000, 2006 г г, на Российской научно-практической конференции " Оптика и научное приборостроение - 2000" ФЦП «Интеграция» - Санкт Петербург'2000, на международной конференции " Optimization of finite-element approximations, splines and wavelets"- S-Petersburg 2001; на международной конференции " Wavelets and Splines " - St Peterburg 2003, на II Всероссийской конференции "Аналитические приборы" - С-Петербург. 2005, на сайте www wavelet org 1998

Публикации По теме диссертации опубликовано 17 работ, в том числе одна монография и одно учебное пособие

Структура и объем работы Диссертация объемом 210 стр состоит из введения, восьми глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содержащего 111 названий

СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Глава 1 посвящена анализу различных методов обработки данных и постановке задачи Предметом исследований являются сигналы, которые содержат информацию в локальных изменениях уровня на более или менее стационарном фоне, - всплески, пики, перегибы базового уровня и т п Учитывая инерционность среды, по которой распространяется сигнал (прибор, измерительный тракт системы обработки и т п), эти изменения достаточно гладкие, описываются как минимум полиномом четвертой степени Примером являются сигналы всевозможных спектрометров, которые представляют собой последовательность пиков, время появления и интенсивность которых содержит полезную для исследователей информацию

Отмечено, что процесс обработки данных, получаемых с помощью приборов, выполняется в несколько этапов Первый - очистка полезного сигнала от шумов и других искажений и оценка параметров На втором и последующих этапах, используя калибровочные зависимости и соответствующие базы данных, привлекая статистические методы, решается задача идентификации В настоящей работе синтезируются и исследуются методы и алгоритмы первого этапа - первичной обработки При этом предполагается, что прибор представляет собой линейную, инвариантную во времени систему, описываемую импульсным откликом H{t), называемым аппаратной (приборной) функцией Очевидно, что чем выше качество первичной обработки, тем достовернее будет проведена идентификация Предлагается выполнять первичную обработку с отображением (преобразованием) сигнала в другое подпространство, что позволяет, используя возможности современной элементной базы, достичь более высокой эффективности оценок Учитывая локальный характер анализируемых

сигналов, наиболее подходящим пространством для их представления является пространство, натянутое на базис смещенных функций или вейвлетный базис

Исследования последних лет показали, что вейвлетные преобразования (точнее - дискретные вейвлет - преобразования (ДВП)), построенные на основе теории кратномасштабного анализа (КМА), позволяют эффективно бороться с шумами [5,10], выполнять сжатие данных [10] и легко адаптируются к форме сигнала, характеру шума [2] ДВП для своей реализации требуют значительно меньшего числа операций, чем даже БПФ Сохраняя достоинства ДВП, желательно наделить их еще и способностью решать такие часто встречающиеся в процессах обработки сигналов задачи, как деконволюция, дифференцирование, интегрирование, и выполнять другие преобразования сигнала Новые алгоритмы должны обеспечивать более высокую скорость обработки, чем комбинированные, за счет объединения в одном вейвлетном преобразовании решения нескольких задач обработки Все это достигается путем синтеза новых вейвлетов, используя априорную информацию о приборе и сигналах, и потому названных аппаратно-ориентированными (АОВ)

В принятой модели измерительный (например, аналитический) прибор рассматривается как линейная, инвариантная во времени система, не изменяющая свои параметры, по крайней мере, в процессе выполнения какого-либо анализа В этом смысле все преобразования полезного сигнала можно считать линейными Это означает, что наблюдаемый сигнал представляет собой аддитивную смесь полезного сигнала x(i,9) с искомыми параметрами 6, искаженного аппаратной функцией H[t), и шума <fj (t)

женного аппаратной функцией и шумом с помощью некоторого фильтра с им-

иска-

(1)

(2а)

или в образах Фурье

x(a>)-G(a>)y(co)

(26)

Некоторые общие вопросы восстановления сигнала (или его линейных преобразований), подробно рассмотрены в монографиях [8,9]

Задача исследования состоит в том, чтобы на основе имеющейся априорной информации о сигнале, шумах, аппаратной функции, используя импульсные отклики фильтров Винера-Тихонова, дифференцирующих и интегрирующих фильтров, построить КМА, и, как итог, синтезировать АОВ, разработать быстрые и компактные вычислительные алгоритмы оценки полезного сигнала x(t), его производной или текущего значения интеграла в модели (]) при условии минимизации относительной среднеквадратической ошибки оценки

I

е = RMSE(x0-х) = \\{x0(t)-x{t))2dtli\x0{t}2 ¿/J2 (3)

Для решения этой задачи предложено два способа синтеза АОВ Первый способ основан на применении СБС, второй - на модификации известных ортонормированных вейвлетов импульсным откликом фильтра Винера, дифференцирующим или интегрирующим фильтром

Во второй главе проведены исследования смещенных во времени базисных систем Если исходить из отмеченных выше свойств сигнала, то в некотором смысле "разумным" выбором будет базис, образованный смещением с постоянным относительным шагом Ь0 одной функции - "прародителя" (обозначим ее как u(t) ), которая определена либо на компактном носителе, либо достаточно быстро, например, экспоненциально, затухает В зависимости от вида такой функции и величины шага смещения могут быть построены различные СБС (byes base system-BBS)

Приведены методика синтеза СБС, в частности, из аппаратной функции, включающая процедуру проверки этой функции на соответствие неравенствам Рисса, на линейную независимость с помощью определителя Грама и несколько способов ортогонализации с использованием численных методов Например, функции <ft(t) и ф (t) могут быть получены ортогонализацией функций u(t) и s(t), связанных известным в теории согласованной фильтрации выражением 00

[8] (t - г) u{t)cIt = s(t), где (г) - корреляционная функция шума

—00

«=-00 п—х

Их сдвиги с относительным шагом Ь0 образуют биортогональную СБС, такую, что (ß(t -Ь0к),ф(( -b0mfj = ö(k - т) (S - символ Кронекера) При s{t) = u(t) получим ортогональную СБС

Показано, что шаг сдвига Ь0 определяет полосу прозрачности системы анализа - синтеза и, как следствие, - разрешающую способность двух пиков по смещению Можно считать, что при величине относительного шага сдвига Ъ0 меньше 0,8 СБС вырождается во фреймы Приведены примеры функций, порождающих СБС Разложение сигнала по СБС является одним из способов его дискретного представления в виде временного ряда, а его коэффициенты образуют временной спектр сигнала Пусть некоторая функция (сигнал) x(t) принадпежат подпространству Вя, которое натянуто на ортогональную {фк (/)} или биортогональную СБС Тогда справедливо представление

в ортогональной СБС

^) = Цсй{к)ф{1-кЬй), (5а)

к

где с0 (к) = ¡x(t)</5(t - kb0 )dt, (56)

в биортогоналыюй СБС

*(0=2>о (к)ф(1-кЬ0), (6а)

к

где с0 {к) = \x{t)$(t - kb0 )dt (66)

Третья глава посвящена обобщению дискретного представления сигналов, основанного на СБС, которое приводит к строгому обоснованию возможности восстановления сигнала, искаженного импульсным откликом линейной системы (в частности, аппаратной функцией) Дискретное представление является одним из основных этапов цифровой обработки сигналов Самым простым и распространенным способом дискретизации непрерывных данных является временное квантование, основанное на теореме отсчетов Шеннона - Ко-тельникова Однако современный уровень развития теории сигналов допускает значительные и важные для практики обобщения теоремы отсчетов, в частности,

9

как разложение сигнала по СБС Предложена адекватное решаемой задаче обобщение формулировки теоремы отсчетов на основе представления временных отсчетов выходных сигналов приборов как обобщенных отсчетов на выходе линейной системы с известным импульсным откликом //(?)

Теорема обобщенных отсчетов. Пусть и(?)= Н(- *)/1|функция, такая, что ее сдвиги и(/ — к Ь0) образуют базис Рисса и формируют ортогональную [фкЬа (?)| или биортогональную икЬо (?)} систему функций Тогда любой сигнал на входе линейной системы с импульсным откликом //(г) может быть восстановлен из последовательности своих обобщенных

отсчетов у(кЬ0)=(х* Н)(Ь0к)/ \\Н{{\2 Ж = ^с(/),и ¡сь0(11) = взятых с

интервалом А1 = Ь0, с погрешностью

где ядро

>1-2

Бф{Ь0со) = 1-

ф{со)ф{со)

со I

= 1---(76)

4®+-

2кя^ ъо У

Вывод последних формул можно найти в [11]

На основе теоремы обобщенных отсчетов получены формулы восстановления полезного сигнала из отсчетов наблюдаемого сигнала у{п\ искаженного аппаратной функцией, с использованием ортогональных и биортогональных СБС В частности, в ортогональном случае имеем

XФЖ* ~ )=£«(('" пЬ)/а)Хс0{к)Г{п - к), (8)

к п к

где с0(*) = = 1>МИ" ~ к)=£у(Ьп)у(к - п)

—00 п п

Аналогичные формулы можно получить для случая биортогональной

СБС

Показано, что если функции биортогональной СБС удовлетворяют интегральному уравнению с ядром в виде корреляционной функции случайного процесса, то такие СБС обеспечивают представление этого процесса в виде некоррелированных отсчетов

В четвертой главе приведены основные положения теории кратномас-штабного анализа (КМА), необходимые для синтеза АОВ Отмечено, что вейв-леты являются сравнительно новым инструментом в обработке сигналов и изображений путем их разложения по подходящей системе базисных функций и последующего анализа спектральных компонентов с целью выделения значимой информации

Предложено вложенные подпространства КМА рассматривать с позиции разбиения шкалы частот с помощью набора фильтров нижних частот (ФНЧ) Полосы соседних ФНЧ отличаются в два раза Разность полос прозрачности соседних ФНЧ образует частотную полосу, которая интерпретируется как подпространство вейвлетов Масштабирующие уравнения, например, для биортого-нальных вейвлетов с параметром сдвига Ь0 Ф1 имеют вид

= I h{n)42<p{2t-b0n), (9а)

т

= (96)

п

Показано, что коэффициенты таких масштабирующих уравнений h(n), его символ т^ (со) и коэффициенты g(rii соотношения для вейвлетных функций и его символ mg(a), имеют те же свойства, что и соответствующие коэффициенты и их символы при b0 = 1 Рассмотрены различные подходы синтеза вейвлетов с целью получения коэффициентов масштабирующих уравнений, которые являются импульсными откликами фильтров ДВП Если масштабирующие функции

определены, то коэффициенты h(n) и А (и) вычисляются по формулам

h{n) = (V2 cp{t)y{2t - ban)), (10а)

h(n)=(j2p{t)<p(2t-b0n)} (106)

В дополнения к классическим подходам, в работе предлагается синтезировать вейвлеты "с привязкой" к решаемой задаче, прибору или имеющейся априорной информации, названые аппаратно - ориентированными Теоретической основой существования АОВ является КМА Из определения КМА следует, что интегрируемая с квадратом функция (обозначим ее, как <р) порождает КМА, если, во-первых, ее сдвиги формируют базис Рисса, а подпространства, натянутые

на сдвиги и масштабирование этой функции, отвечают условию вложенности по масштабу Для выполнения последнего условия необходимо и достаточно, чтобы функция (р удовлетворяла масштабирующему уравнению Все эти вопросы обсуждаются в главах 5 и 6

Пятая глава посвящена исследованию одного из видов АОВ, названных кеа-зивейвлетами Как было отмечено выше, в соответствии с теоремой обобщенных отсчетов, с помощью СБС по отсчетам на выходе линейной системы может быть восстановлен сигнал на ее входе Однако при наличии шума такое восстановление приводит к значительному повышению уровня шума (в несколько раз), что сводит на нет результаты восстановления Поэтому представляет интерес подключить вейвлетный механизм подавления шума В этой связи важным становится решение задачи построения вейвлетов из СБС, иначе говоря, могут ли функции, порождающие СБС, стать "прародителями" КМА Ответ на этот вопрос положительный, если функции, порождающие СБС, удовлетворяют условиям следующей теоремы (ее доказательство можно найти в [1, п 5 3], аналогичная теорема доказана также в [3, п 1 3])

Теорема: Пусть U 6 L2, удовлетворяет масштабирующему уравнению, ее сдвиги образуют базис Рисса и, кроме того, м((у) ограничена для всех со и непрерывна в точке СО — 0, причем й(ш)Ф 0 Определим Vj = Span {uj k',k,j eZj

Тогда Vj формируют цепочку КМА, (J Vj = L2, f] % = u всякой функ-

jeZ jeZ

ции / 6 L2, если /(i) £ Vj <=> f(2~Jt)e V0

Заметим, что функции u(t), выбранные из практических соображений, чаще всего удовлетворяют масштабирующему уравнению в некотором диапазоне значений Ь0 с точностью до нескольких знаков после запятой, которую назовем "инженерным нулем" Тогда квазивейвлетами будут вейвлеты (масштабирующие и вейвлетные функции), удовлетворяющие масштабирующему уравнению с точностью до этого "инженерного нуля" Соответственно, с этой же точностью должны выполняться требования ортогональности, биортогональности, а также требования, налагаемые на коэффициенты h(n), А (л), g(n) и g(w) и их символы Численное значение "инженерного нуля" выбирается из практических

соображений (порядка 10 5 -10 10) и зависит от требований, предъявляемых к технической системе

Предложено три способа проверки функций на "масштабируемость", те определения их удаленности от пространства масштабирующих функций в зависимости от шага Ь0 Первый из них - теоретический, основывается на результатах работы Strang G и Zhou D -X [7] Второй основывается на теореме обобщенных отсчетов При этом предполагается, что коэффициенты масштабирующего уравнения являются отсчетами функции (pit) на выходе фильтра с импульсным откликом (p{2t) = <р(- 21) Третий - способ непосредственной подстановки в масштабирующее уравнение коэффициентов h(n) и функции <p(2t) Норма уклонения полученной таким образом функции <p(t) от (p[t) должна быть меньше "инженерного нуля" Показано, что все три подхода приводят к одной и той же оценке диапазона вечичин Ь0, при которых функции, порождающие СБС, удовлетворяют масштабирующему уравнению 0 8 < b0 < 1 4

В главе приведена процедура синтеза квазивейвлетов, включающая ортого-нализацию выбранной системы функций {ик (?)}, вычисление коэффициентов h по формулам (8а,б) и g, проверку соответствия этих коэффициентов обязательным соотношениям, вытекающим из теории КМА, и проверку соответствия масштабирующему уравнению синтезированных функций В частности, если в качестве функции, u{t) выбраны В - сплайны при b0 = 1, то квазивейвлеты вырождаются в хорошо известные вейвлеты Батла - Лемарье

Шестая глава посвящена исследованию второго вида АОВ, названных модифицированными вейвлетами Добеши Отмечено, что традиционная задача вейвлетов - подавление шума, не единственная задача обработки Требуется иногда выполнять деконволюцию, декорреляцию, дифференцирование сигнала, коррекцию частотной характеристики измерительного тракта, текущее интегрирование и др операции Это можно сделать в рамках ДВП, если произвести некоторую модификацию классических вейвлетов При этом новые, модифицированные вейвлеты должны отвечать всем требования теории КМА, чтобы можно

было построить блоки фильтров быстрых вейвлетных преобразований Рассмотрено два способа модификации

Первый способ развит как метод модификации с помощью модифицирующей функции G(t), выбираемой или синтезируемой с учетом аппаратной функции H{t) и/или импульсных откликов дифференцирующих и интегрирующих фильтров Такая модификация порождает нестационарный КМА на основе семейства биортогональных вейвлетных базисов

Для произвольного значения масштаба j и сдвига к введены функции 9i,kif)=9!k-1~lk) 11 (fij,keZ) такие, что

êuk{m) = G-\œ)çhk{m)=G-\^)2-Jl2ç(2-JтУ1Ш2']k , (lia)

f,} k (со) = G"' (со) (со) = G'1 (со) co)e',a2'J (116)

где cp и у/ - известные ортонормированные вейвлеты

Существуют двойственные функции 6J<k(t) и rj] k (/) такие, что

ё]>к(т)=Щф]Л(со) = Щ2-^ф(2^со)е-1ш2'} к (12а)

(со) = ôÇ)whk(co) = Щ2^12ф{2~1 co)2~I6}2~J к (126)

В работе [6] показано, что если ср} к (/) и у/} к (t) являются вейвлетами

Мейера (которые отличаются хорошей локализацией в частотной области), то

каждая из функций 19j k (i)j и \r]j k (/)} , а также к (/)} и {т]} к (/)] отвечают

условиям Рисса для соответствующих подпространств, формируют кратномас-штабный анализ в L2(R), т е являются масштабирующими и вейвлетными функциями соответственно Однако на практике для построения базисов (9а,б) и (10а,б) оказалось более удобным использовать в качестве вейвлетов (pj k(t) и

yfJik(t), например, вейвлеты Добеши Расчеты показывают, что замена вейвлетов Мейера, вейвлетами Добеши десятого и более порядков приводит к систематическим погрешностям, которыми практически можно пренебречь, а соответствующие базисные функции сохраняют биортогональность с точностью до "инженерного нуля"

Получены масштабирующие уравнения таких модифицированных вейвлетов, позволяющие построить быстрые вычислительные алгоритмы Коэффици-

ентами этих уравнений являются коэффициенты масштабирующих уравнений вейвлетов — "прародителей" А

= (13а)

П

0о(О = (136)

п

Вейвлетные функции г\0 (/), %(?) удовлетворяют соотношению

= (14а)

п

щ{thIíg(")J2в1{2t-nl (146)

п

Для функций в и 7] можно получить соотношения несколько иного вида Существует такая 4к - периодическая функция а1 (со), что

в0 (со) = а1 (о})ф(со/2) (15а)

где й1(со)=2~1/2 6(со)и(о}/2) (156)

Выполнив обратное преобразование Фурье выражения (15а) получим

3>(0 = 1 а;(и)л/2^(2/-и> (16а)

п

1 2Л - А -/

где а,(п) = — \ С{со)к(р\2)е12 фпс1а> (166)

Аналогично (16а) для функции т}0{() будем иметь

= (17а)

п

где РАп) = ^-2] Да>)^(о/2)е,2~1й]"с1(а (176)

и Д(®) = 2-"1д(®)|(ю/2) (17в)

Аналогичные выражения можно получить для функций 6 и Т] с коэффициентами

<*,(©)= 2_,/2 (Г1 (®)А(ю/2),

щ^о-'шф)

Коэффициенты а.р.а.р при произвольном значении масштаба J удовлетворяют соотношениям, приведенным в таблице 1 Кроме того, коэффициенты а, а удовлетворяют известному в теории КМА равенству (при ] = 0).

а0 (а>)а0 (со) + а 0(со+ л )а0 {со + п)-2 Второй способ использует корреляционную функцию шума с целью корректировки решения уравнения для вычисления коэффициентов масштабирую-

щих уравнений вейвлетов Добеши Такая модификация порождает биортого-нальный вейвлетный базис, позволяющий представить случайный процесс с некоррелированными коэффициентами разложения по масштабирующим функциям Показано, что 2 - образы коэффициентов к и к имеют вид

где М{г) - решение

уравнения |М(г)|2 +1М(— г)\2 - 2, которое получено И Добеши [1], С (г) - полином, полученный факторизацией 2 - образа коэффициентов масштабирующего уравнения, построенного из корреляционной функции

Оба способа модификации проиллюстрированы примерами

В седьмой главе на основе развитой в предыдущих главах теории синтезируются алгоритмы обработки и блоки фильтров быстрого вейвлет - преобразования Сначала рассмотрены методы построения блоков фильтров ДВП классических вейвлетов

Из масштабирующих уравнений и соответствующих им соотношений для вейвлетных функций вытекают формулы для алгоритма быстрых вейвлет преобразований В биортогональном (более общем) случае будем иметь

(18а)

т

¿Д*) = 1г(*-2%+1(|и), (186)

т

где с) (к) и (к) - коэффициенты разложения сигнала по масштабирующим и

вейвлетным функциям соответственно

Вычислительная схема алгоритма реализуется с помощью многокаскадного блока последовательно соединенных фильтров, обеспечивающих быстрые

Таблица 1

№№ п п Свойства коэффициентов а, (5

1 £аДи)5Ди-2*) = *(А)

2 5>»Д>-2А)=0

3 £«» = <И0)л/2

4

5

Рис 1 Блок фильтров, построенный на основе ортонормированных вейвчетов (например, вейвлетов Добгши)

"грубого" масштаба ] имеет вид

к

(19)

Пример трехкаскадного блока фильтров классического КМА, реализующего процедуру анализ -пороговая обработка - синтез для ортонормированных вейвлетов, показан на рис 1

На основе масштабирующих уравнений и других соотношений АОВ могут быть построены блоки фильтров для решения

поставленной в главе 1 задачи

вычисления ДВП Начальные, значения коэффициентов с] (к) можно положить равными отсчетам функции

Обратное дискретное вейвлет -преобразования (ОДВП) имеют целью восстановление дискретных значений оценки сигнала х[п) по коэффициентам вейвлет - разложения наблюдаемого сигнала }>((), прошедшим пороговую обработку Рекурсивная формула для вычисления коэффициентов вейвлет -разложения "тонкого" масштаба ] +1

как взвешенной суммы с (к) и с1}{к) У(п)

— со —

г к

Пороговая обработка

а "нэ

««

г©

Рис 2 Блок фильтров, синтезированный на основе ортонормированных квазивечвчетов

- коэффициенты ортогонализации, низкочастотного и высокочастотного фильтров квазивейвлетов

Показано, что ДВП АОВ реализуются так же, как и в случае классического КМА, с помощью рекурсивных алгоритмов Это обстоятельство позволяет построить блоки фильтров быстрых вейвлет -преобразований для решения поставленной задачи Эти блоки фильтров отличаются от

классических блоков КМА или добавлением новых каскадов или модификацией первого каскада В случае квазивейвлетов (см рис 2), в частности, по отсчетам наблюдаемого

Рис 3 Блок фильтров модифицированных вейвлетов a0,h и fl0,g - коэффициенты сигнала yip) можно получить оценку низкочастотного и высокочастотного

фильтров модифицированных вейвлеьов

полезного сигнала x(t) по коэффициентам с0(к) по формуле (6)

В случае модифицированных вейвлетов имеем следующие алгоритмы анализа, которые вытекают из соотношений (13а) и (16а), (14а) и (17а) при произвольном значении масштаба

Cj(khi:h(m-2k)cJ+,(k)

или

cJ(k)=Yh(m-2k)SJ+l(k)

т

сj {к) = (т - 2k)cJ+, (т),

т

(20а) (206)

(21а) (216)

где с^ - коэффициенты разложения сигнала по масштабирующим функциям -"прародителям"

Начальные значения коэффициентов с] (к) и с; [к) вычисляются при таком значении масштаба 3, когда в пределах спектрального диапазона сигнала

18

УуСО) базисная функция имеет равномерный спектр (базисная функция по отношению к y(t) имеет вид S - функции) Если для функций - "прародителей" это требование выполняется автоматически, то для функции Qj к (?) это не так Поэтому за начальное значение коэффициентов Cj{k) принимаются его значения, полученные по формуле (21а) при J — J, а именно

cj (*)=£«./+/(»» - 2k)cJ+I (m) = ^aJ+,(m - 2 к) y (m) (22a)

m m

Тогда

dj (*) = S Pj+i (m ~ 2k)cJ+l (m) = S pJ+1 {m - 2k)y{m) (226)

m m

Таким образом, формулы (20a), (206), (21a), (216) и (22a), (226) приводят к двум процедурам анализа сигнала С целью решения поставленной задачи применим алгоритм, представленный формулами (20а), (206) и (22а), (226)

Рекурсивная формула восстановления - коэффициентов вейвлет - разложения искомой оценки x(t) "от грубого к тонкому разрешению" с использованием, как и в анализе, фильтров "прародителей" h, g а коэффициентов вейвлет-анализа, прошедших пороговую обработку с; и dj имеет вид

VI (») = ЕЛ(и - 2 k)cj (*)+ - 2 k)dj (к) (23)

к m

Показано, что схема анализа - синтеза обеспечивает получение оценки полезного сигнала x(t) по наблюдаемому сигналу y(t), если значение масштаба J выбрано равным — 1, те при J = -1 Тогда из формул (22а), (226) на первом шаге анализа необходимо выполнить

= (24а)

m

¿Лк) = %р0(т-2к)у(т) (246)

m

Трехкаскадный блок фильтров, реализующий процедуру обработки сигнала на основе модифицированных вейвлетов, показан на рис 3

Предложены различные варианты выбора модифицирующей функции G(t). Приведены алгоритмы синтеза порогов Отмечено, что процесс построе-

ния программного обеспечения с использованием АОВ включает обязательный этап выбора аппаратной функции Hit), модифицирующей функции G(t) и синтеза на их основе коэффициентов фильтров h,h,g,g,a0,/J0 В качестве примера, подробно описан алгоритм разработки программного обеспечения модифицированных вейвлетов Модифицирующая функция для решения задачи декон-вотоции строится по формуле фильтра Винера - Тихонова

ФК, (25)

При необходимости поучения оценки производной

= --, (26)

|Я(й>) + ЯЯ(со)

или оценки интеграла

¿(оМгсоГ--(27)

|Я(ю) +ßR{a>)

Вычисление коэффициентов 30,ß0 производится по формулам

50(и) = — J G{a)h{0)e"°nd(o, (28а)

2 п

Ш = ~ 1 G{co)g{m)e,and(o (286)

2л" -я

Если же G,h,g КИХ - фильтры, то

a0{z)=(Gü*h){z) (29а)

Ä) (z) = {G0*g)(z) (29 б)

Глава 8 полностью посвящена исследованию эффективности применения АОВ на моделях сигналов и на примерах обработки реальных сигналов приборов Естественно, что эффективность предлагаемых подходов обработки данных может быть оценена только в процессе широкого практического применения метода как можно большим кругом специалистов

На примерах применения в масс-спектрометрии, хроматографии и др приложениях рассмотрена эффективность метода в сравнении с некоторыми другими известными подходами

Повышение чувствительности и разрешающей способности, достигаемые при использовании АОВ, рассмотрим на примере применения квазивейвлетов Чувствительность прибора характеризует минимальный уровень сигнала, который можно обнаружить на фоне шумов и оценить его параметры с заданной точностью Поэтому качество системы обработки по повышению чувствительности определяется степенью подавления шума на ее выходе Разрешающая способность прибора обычно характеризуется минимальным расстоянием между двумя пиками по шкале развертки, когда еще могут быть оценены с заданной погрешностью положение и интенсивность каждого из них Оба эти показателя прибора являются важнейшими, так как они определяют степень достоверности проводимых измерений и выводов по ним Оценим разрешающую способность и чувствительность предлагаемых подходов с помощью модельных сигналов двух видов набора из шести пиков гауссовой формы и набора из шести пиков, причем пики №№1-4,6 - формы бигаусса и одного пика (№5) гауссовой формы

В качестве аппаратной функции в обоих случаях принята функция гаусса, той же ширины, что и одиночный пик сигнала Это позволяет оценить влияние несовпадения аппаратной функции и формы сигнала на качество оценки Вид наблюдаемого сигнала приведен на рис 4а и 5а при отношении сигнал/шум на входе 15 (величина сигнал/шум определялась как отношение амплитуды минимального пика к среднеквадратическому отклонению шума)

Построим систему обработки по схеме рис 2, используя ортогональные ква-зивейвлеты при Ь0 = 1 4 С целью обнаружения положения пиков и их интенсивности при моделировании использовался обнаружитель пиков, который на рис 4 и 5 фиксирует положения максимумов обнаруженных пиков в виде вертикальных прямых

Из анализа качества восстановления входного сигнала по наблюдаемому сигналу _у(/) в зависимости от уровня шума (отношение сигнал/шум по входу при моделировании изменялось от 15 до 150) можно сделать следующие выводы (все ошибки восстановления вычислялись по формуле (3))

а)

а)

1 2 1 08 06 04 02 0

П

1 1. -I II -А. ; * 1.. :

■ 1 ■ ■ <

200 400 600 800 1000 1200 б)

Рис 4 а) модель сигнала из шесть пиков гауссовой формы-1 и наблюдаемый сиг-нал-2 в смеси с шумом при отношении сигнал/шум 15, б) вид сигнала после обработки

1200

б)

Рис 5 а) модель сигнала га пяти пиков бигауссовой формы и одного (№5) гауссовой формы-1 и наблюдаемый сигнап-2 в смеси с шумом при отношении сигнал/шум 15, б) вид сигнала после обработки

ЮТ 200 300 400 600

Рис 6 Фотоэлектронный спектр (?)—наблюдаемый сигнал, —оценка сигнала, полученная с помощью квазивейвлетов Аппаратная функция аппроксимирована функцией Гаусса

Рис 7 Сравнение двух методов деконволюции Фурье - вейв-лет регуляризации ГогУУаКВ [12] и с помощью модифицированных вейвлетов (переменные по осям приведены в отн ед ) а) тест-сигнал (N=4096), б) наблюдаемый сигнал (ЯМЗЕ(х-у)=0 101), в) частотная характеристика системы Й{со), г) выход фильтра Винера-Тихонова (ЯМ8Е(х-у)—0 223), д) де-конволюция методом РогШаКИ (ЯМ5Е(х-х)=0 0346), е) де-конволюция предлагаемым методом (ЯМ8Е(х-х)=0 0344)

100 150 300 2Ь0 300

а)

т

_ г

50 100 150 200 250 300 6)

Рис 8 Мессбауэровский спектр продуктов реакции образования БпБ (олово-сера) а) - наблюдаемый сигнал, б) - оценка сигнала, полученная с помощью модифицированных вейвлетов, с усилением верхних

частот полиномом 1 +]0а>2

Таблица 2 Сравнение двух алгоритмов деконволюции построен-

ный на основе модифицируемых вейвлетов и ForWaRD

Параметр Алгоритм

ForWaRD Описываемый

Систематическая ошиб-

ка восстановления (при 0 00007 0 00018

отсутствии шума)

Среднеквадратическая ошибка (ЛМ5Е) восста- 0 0346 0 0344

новления

Число операций умножения (без ДВП) при ЛГ = 212 ~1 2 219 ~2П

Рис 9 Декорреляция (отбеливание) шума (переменные по осям приведены в отн ед) а) фрагмент тест-сигнала (N=1024), б) наблюдаемый сигнал y(f), в) частотная характеристика системы

Н{т) = 1/•<Jl + v2 а2 , г) декоррелированчый сигнал (RMSE(x-х)=0 028)

- систематическая ошибка не превышает 1%,

- суммарная ошибка восстановления растет медленнее, чем шум и изменяется в пределах 1% - 3% для гауссовой модели и 1,5% - 4% для бигаусса при десятикратном увеличении шума,

- в результате обработки происходит увеличение отношения сигнал/шум -8-кратное для гауссовой модели и 6-кратное для бигаусса,

-несовпадение формы сигнала и аппаратной функции приводит к увеличению СКО восстановления примерно на 20% и к ухудшению подавлению шума примерно на 25%

Из анализа качества оценки параметров пиков (положения и амплитуды) при различных отношениях сигнал/шум до обработки и после нее можно сделать следующие выводы Для гауссовой модели сигнала

- после обработки обнаруживаются все пики со случайной ошибкой по интенсивности не более 2% и по положению - одна - две дискреты временного квантования при отношении сигнал/шум 15,

- оценка положения пиков смещенная,

- оценка интенсивности пиков также смещенная Величина смещения составляет до 12% при отношении сигнал/шум 7 При увеличении отношения сигнал/шум в 20 раз величина смещения меняет знак с положительного на отрицательный и уменьшается в 50 - 100 раз

При бигауссовой модели полезного сигнала величина смещения возрастает При обработке не модельных, а реальных сигналов приборов, аппаратная функция известна, как правило, с некоторым приближением В этом случае необходимо аппроксимировать функцией #(?) одиночный пик наблюдаемого сигнала, задать шаг Ь0 (шаг Ь = Ь0а) и вычислить коэффициенты у, И и g В процессе отладки программного обеспечения на тестовых (или градуировочных) объектах выполняют регуляризацию, минимизируя ложные выбросы и автоколебания, вызванные неудачной настройкой частотной характеристики фильтров На рис 6 приведен пример такого подхода при обработке данных электронного спектрометра

Деконволюция с помощью модифицированных вейвлетов. Выполнено сравнение предложенного подхода с алгоритмом Рог\УаШЭ [12] для решения задачи

деконволюции Выбран модечьный сигнал, используемый в этой работе, заданный на множестве точек N — 212, с шумом и аппаратная функция

1, \а>]е[0,025] [2-4Ц, |й>|е(025,0 5]

Алгоритм ForWaRD осуществляет обработку в следующей последовательности свертка сигнала у{{) с импульсным откликом фильтра Винера - Тихонова, выполняемая в частотной области, - обратное преобразование Фурье -использованием вейвлетов И Добеши - пороговая обработка по подавлению шума - обратное ДВП Алгоритмы, таким образом, отличаются фильтрами, осуществляющими восстановление сигнала, искаженного аппаратной функцией в первом случае это фильтры, построенные на основе коэффициентов а0,/?0 по схеме рис 3, во втором - это фильтр Винера - Тихонова с преобразованием Фурье Для синтеза коэффициентов а0(п) и /?0(и) использовался вейвлет Добеши десятого порядка (с1Ы0) В качестве функции (7(ю) использовался фильтр Винера - Тихонова по формуле (25) при Я = 0 006 и Я(со) = со1 Результаты сравнения двух подходов, показанные на рис 7 и в таблице 2, подтверждают полную идентичность методов Однако модифицированный вейвлетный базис в данном случае совмещает процедуру Винеровской фильтрации и ДВП, что делает предлагаемый алгоритм более компактным

На рис 8 приведен пример обработки реального сигнала спектрометра Мессбауэра с помощью модифицированных вейвлетов Приборная функция определялись по форме одиночного пика Функция б(со) строилась по формуле (25)

Карунена - Лозва - подобные разложения (декорреляция). С помощью модифицированного вейвлетного базиса можно получить некоррелированными коэффициенты ¿¡(к) и с1^к) Предположим, что на входе фильтра Н(ф) действует белый шум с единичной дисперсией х(:) Тогда на ее выходе он оказывается

коррелированным с корреляционной функцией К(т) = — }^(ю)ехр(г cor)dz,

2л

где К(со) - спектральная плотность мощности и К [со) = | Я(ю)[2

В качестве модельного сигнала x(t) выберем белый гауссов шум при N = 210 и фильтр Н (й>)= . ^ г При этом случайный процесс на выходе

л/7 + ÜV

фильтра описывается экспоненциальной корреляционной функцией A"(r) - схр{-jr/t;j} Коэффициенты аа (и) и Pq (и) вычисляются при выборе

G(co) по формуле (11), полагая R(oj) = 1 и Л = 3 5* 10~8 Результаты восстановления белого шума на выходе системы показаны на рис 9 Дифференцирование Операция дифференцирования применяется в тех случаях, когда необходимо оценить, например, скорость или ускорение движения, выделить изменения, происходящие в наблюдаемом сигнале, локализовать скачки в уровне сигнала и оценить их величину и др Дифференцирование в присутствии шумов приводит к значительному увеличению их интенсивности и снижению отношения сигнал/шум особенно при вычислении производных второго и более высоких порядков Предлагаемый метод, совмещающий операцию дифференцирования и вейвлетного подавления шума, позволяет в несколько раз уменьшить влияние шума на оценку производной Выполнено сравнение метода с существующим, например, использующим дифференцирующие второго порядка фильтры Савицкого - Голэя (СГ) на модельном сигнале Система обработки строилась по схеме рис 3 Вычисление коэффициентов ао(п) и /30(п) производилось по формулам (29а), (296), используя в качестве модифицируемых вейвле-ты Добеши (dblO), а в качестве модифицирующей функции те же фильтры СГ. Ошибка дифференцирования определялась по величине СКО от истинного значения производной х", вычисленной по известным правилам дифференцирования Если при отсутствии шума этой ошибкой можно пренебречь, то в присутствии шума метод СГ приводит к величине СКО -28% Более того, производная от пика минимальной интенсивности (первый пик) оказалась полностью скры-

той в шумах Предлагаемый метод приводит к величине СКО, равной -8% и к четкому выделению производной минимального пика на фоне шумов

Основные теоретические и прикладные результаты работы:

1 Предложена и исследована методика синтеза смещенных во времени базисных систем функций (СБС) из функций, обладающих свойством частотно-временной локализации и используемых для построения аппаратно ориентированных вейвлетов (АОВ) Предложен и реализован численный алгоритм определения границ Рисса На основе теоремы обобщенных отсчетов получены алгоритмы восстановления полезного сигнала с использованием ортогональных и биортогональных СБС

2 Показано, что основные важные для практики положения теории кратно-масштабного анализа (КМА) сохраняются при сдвиге Ь0 Ф1 Оказалось, что величина Ьй определяет разрешающую способность (ширину полосы) системы обработки и позволяет согласовать частотный спектр наблюдаемого сигнала и полосы прозрачности цифровых фильтров вейвлетной обработки

3 Показано, что импульсный отклик линейной системы (например, аппаратная функция, дифференцирующий или интегрирующий фильтры) или корреляционная функция, порождающие СБС, могут быть положен в основу или прямого синтеза вейвлетов (квазивейвлетов) или модификации известных ортогональных вейвлетов, образуя, таким образом, класс аппаратно-ориентированных вейвлетов (АОВ) Предложенный метод предварительной обработки сигнала, искаженного аппаратной функцией и шумом, заключается в применении АОВ для его восстановления, декорреляции, получении оценок производных или текущего значения интеграла

4 Предложены и реализованы численные алгоритмы определения соответствия масштабирующему уравнению функций, порождающих СБС. Показано, что эти алгоритмы приводит к тем же результатам, что и теоретический

5 Показано, что модификация известных вейвлетов импульсным откликом линейной системы формирует нестационарный КМА для сигналов с ограниченным спектром

6 Показано, что модифицированные вейвлеты удовлетворяют масштабирующему уравнению с коэффициентами масштабирующего уравнения вейвлетов - "прародителей" Кроме того, модифицированные вейвлеты можно выразить в виде взвешенной суммы масштабирующей функции вейвлетов - "прародителей" Получены выражения для расчета весовых коэффициентов и приведены их свойства

7 Показано, что модификация вейвлетов корреляционной функцией случайного процесса приводит к декорреляции компонентов их дискретного представления Исследованы два способа такой модификации Первый - модификация масштабирующей функции, второй - масштабирующей и вейвлетной функций Показано, что первый способ приводит к дискретному представлению случайного процесса с некоррелированными коэффициентами разложения по масштабирующим функциям Второй - к некоррелированным коэффициентам разложения как по масштабирующим, так и вейвлетным функциям

8 Получены вычислительные алгоритмы и построены блоки (банки) фильтров для оценки сигнала, искаженного аппаратной функцией и шумом Показано, что предложенные блоки фильтров отличаются от классических блоков КМА или добавлением новых каскадов или модификацией первого каскада

9 Сравнение предложенного подхода оценки полезного сигнала с ближайшим прототипом - алгоритмом РогА^аЫ) показало его преимущество в быстродействии при одинаковой эффективности оценок в присутствии шума

10 Показано, что модифицированные вейвлеты позволяют получить не только оценку полезно сигнала, но и его производной или текущего значения интеграла

11 Оценка эффективности предложенного подхода по повышеншо чувствительности и разрешающей способности аналитических приборов показала, что порог чувствительности может быть увеличен в 6-8 раз, а разрешающая способность - вплоть до разделения пиков без заметной седловины между ними при отношении сигнал/шум от 15 и выше

Автор выражает благодарность доктору физико-математических наук, проф Скопиной Марии Александровне и доктору технических наук, проф Ру-синову Леону Абрамовичу за очень полезные критические замечания по содержанию работы и обсуждение ее результатов

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

I Daubechies I Ten Lectures on Wavelets SIAM press Philadelphia, 1992 (Перевод Добеши И Десять лекций по вейвлетам Москва-Ижевск РИЦ РХД, 2001 )

2 Mallat S A wavelet Tour of Signal Processing San Diego Academic Press,

1999 (Перевод МаллаС Вейвлеты в обработке сигналов М Мир, 2005 )

3 Новиков И Я, Протасов В Ю СкопинаМА Теория всплесков М Физ-матгиз, 2005

4 Donoho D, Johnstoune I Ideal spatial adaptation via wavelet shrinkage //Biometnka 1994 V81 P 425-455

5 Donoho D L Nonlinear solution of linear inverse problems by Wavelet -Vagulet Decomposition// App Comp Harmonic Anal 1995 V2 P 101-126

6 Zhang J, Walter G A Wavelet - Based KL-Like Expansion for Wide-Sense Stationary Random Processes//IEEE Transaction on Signal Processing 1994 V42, №7 P 1737-1745

7 Strang G, Zhou D -X The Limits of Refinable Functions// Trans American Math Soc 2001 V 353 P 1971-1984

8 Левин Б P Теоретические основы статистической радиотехники М Радио и связь, 1989

9 Василенко Г И Теория восстановления сигналов М : Сов радио, 1979

10 Shao X-G, Leung А К-М, Chau F-T Wavelet A New Trend in Chemistry //Accounts of Chemical Research 2003 V36,No 4 P 276-283

II Unser M Sampling - 50 Years After Shannon // Proceedings of the IEEE

2000 V 88, №4 P 569-587

12 Neelamam R , Hyeokho Choi, Baramuk R ForWaRD Fourier-wavelet regularized deconvolution for ill-conditioned systems //IEEE transactions on Signal Processing 2004 V 52, №2 P 418-433

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ AI Новиков Л В, Русинов Л А Оценка параметров сигнала по критерию максимального правдоподобия в частотной области// Изв ВУЗов Радиэлектроника 1978, №4

А2 Новиков Л В, Русинов Л А , Гуревич А Л Оценка положения аналитического пика методом обобщенного преобразования Фурье// Изв ВУЗов Приборостроение 1978, №10

A3 Новиков Л В, Русинов Л А Методы реализации спектральных преобразований при обработке сигналов аналитических приборов// Приборы для научных исследований и автоматизации эксперимента 1982 Л Наука A4 Новиков Л В, Русинов Л А Спектральный подход к первичной обработке сигналов аналитических приборов Л Изд ЛГУ, 1984

А5 Новиков Л В Обобщенное дискретное представление непрерывных данных аналитических приборов// Научное приборостроение 1996 Т 6, №1-2. А6 Бардин БВ, Белое ВД, Новиков ЛВ, Чижов ЮВ Использование оптимального фильтра Винера для деконволюции электронных спектров// Научное приборостроение 1999. Т.9, №1

А7 Новиков Л В Адаптивный вейвлет-анализ сигналов// Научное приборостроение 1999 Т 9, №2

А8 Новиков Л В Основы вейвлет - анализа сигналов Учебное пособие СПб Изд-во ООО "МОДУС+" 1999

А9 Новиков Л В Спектральный анализ сигналов в базисе вейвлетов// Научное приборостроение 2000 Т 10 № 3 С 57-64

AI 0 Новиков Л В Аппаратно-ориентированные вейвлеты и их применение в обработке экспериментальных данных// Приборы и техника эксперимента, 2005, №6, с 13-21 (Перевод L V Novikov Instrument - Oriented Wavelets and Their Application to Processing of Txpenmental Data// Instruments and Experimental Techniques 2005, vol 48, no 6, pp 711 - 719 http //dx doi org)

All Новиков JIB Модифицированные вейвлеты в обработке данных аналитических приборов I Основы теории // Научное приборостроение 2006 Т 16, №1.С 3-14

А12 Новиков Л В Модифицированные вейвлеты в обработке данных аналитических приборов II Алгоритмы обработки// Научное приборостроение 2006 Т 16, №2 С 78-91

А13 Новиков JIB Декоррелирующие масштабирующие функции вейвлетных преобразований//Радиотехника и электроника 2006 Т51,№6 С 706-712 (Перевод L V Novikov Decorreleting Scaling Function for Wavelet Transforations// Journal of Communications Technology and Electronics 2006, vol 51, no 6, pp 663-669 http //dx doi org)

A14 Новиков JIВ Вейвлетная деконволюция// Приборы и техника эксперимента, 2007, №1 С 69-75 (Перевод L V Novikov Wavelet - Based Deconvolution// Instruments and Experimental Techniques 2007, vol 50, no 1, http //dx doi org) A15 Новиков Л В Модифицированные вейвлеты и их приложения// Радиотехника и электроника 2006 Т51,№11 (Перевод L V Novikov Modified Wavelet and Their Applications// Journal of Communications Technology and Electronics 2006, vol 51, no 11, pp 1261-1270 http //dx doi org)

A16 Новиков Л В Модифицированные банки фильтров вейвлетных преобразований//Цифровая обработка сигналов 2006, №1 С 13-17 А17 Новиков Л В Обработка сигналов на основе ортонормированных квази-вейвлетов//Изв Вузов Приборостроение 2007 Т50, №1 С 3-10

12 03 07 г Зак 40-100 РТП Ж «Синтез» Московский пр , 26

Введение

Актуальность работы

Цель работы

Научная новизна

Положения, выносимые на защиту

Содержание работы

Глава 1. Анализ методов обработки данных и постановка задачи.

1.1. Введение

1.2. Методы первичной обработки

1.3. Первичная обработка в аналитической химии и других приложениях

1.4. Анализ методов первичной обработки

2.2. Частотно-временная локализация 49

2.3. Базис Рисса 54

2.4. Ортогональные и биортогональные СБС 57

2.5. Синтез СБС 62

2.6. Представление сигналов в СБС 68

2.7. Разрешающая способность СБС 72

2.8. Обзор функций, порождающих СБС 75 2.9.3аключение 80

Глава 3. Обобщение дискретного представления сигналов. 81

3.1. Введение 81

3.2. Обобщение теоремы отсчетов 82 3.3 Декоррелирующие СБС 88 3.4. Заключение 89

Глава 4. Вейвлеты и кратномасштабный (мультиразрешающий) анализ. 90

4.1. Введение 90

4.2. Кратномасштабный анализ 92

4.3.0ртонормированные масштабирующие и вейвлетные функции

4.4. Коэффициенты масштабирующего уравнения

4.5. Биортогональные вейвлеты

4.6. Синтез вейвлетов

4.7. Заключение Глава 5. Квазивейвлеты

5.1. Введение

5.2. Требования к масштабирующим функциям

5.3. Синтез ортонормированных квазивейвлетов

5.4. Синтез биортогональных квазивейвлетов

5.5. Заключение Глава 6. Модифицированные вейвлеты Добеши

6.1. Введение

6.2. Нестационарный кратномасштабный анализ

6.3. Масштабирующие уравнения модифицированных вейвлетов 138

6.4. Коэффициенты масштабирующих уравнений модифицированных вейвлетов 143

6.5. Декоррелирующие масштабирующие функции 145

6.6. Заключение 155

96 100 103 107

109

110 110 112 120 122 124 126 126 126

Глава 7. Быстрые вычислительные алгоритмы первичной обработки 156

7.1.Введение 156

7.2. Дискретные вейвлет - преобразования классического КМА 156

7.3. Дискретные вейвлет - преобразования и блок фильтров квазивейвлетов 161

7.4. Дискретные вейвлет - преобразования и блок фильтров модифицированных вейвлетов 164

7.5. Описание алгоритмов 168

7.6. Заключение 176 Глава 8. Примеры применения в масс-спектрометрии, хроматографии и др. приложениях 177

8.1. Введение 177

8.2. Повышение чувствительности и разрешающей способности, достигаемые при использовании АОВ 177

8.3. Деконволюция с помощью модифицированных вейвлетов 189

8.4. Карунена - Лоэва - подобные разложения (декорреляция) 191

8.5. Дифференцирование 192

8.6. Заключение 195

Основные теоретические и прикладные результаты работы 196

Обзор публикаций автора по теме диссертации 198

Список литературы 199

Публикации по теме диссертации 207

Введение

Актуальность работы.

Одним из путей повышения технических характеристик современных приборов является внедрение новых программно - алгоритмических средств обработки данных, основанных на последних достижениях информатики, прикладной математики и возможностях элементной базы вычислительной техники.

В результате обработки наблюдаемого сигнала, несущего информацию об исследуемом физическом или технологическом процессе, явлении природы и т.п., должна быть восстановлена истинная форма полезного сигнала, искаженного шумом и измерительным трактом прибора (аппаратной (приборной) функцией) или каналом связи.

Очевидно, что чем выше качество обработки сигнала, обеспечивающее достижение предельных характеристик прибора, тем проще и дешевле может быть физический тракт прибора для достижения одних и тех же результатов. Например, две важнейшие характеристики аналитических приборов - чувствительность и разрешающую способность, всегда стремятся улучшить с минимальными потерями для других его показателей: стоимости, надежности, габаритов, веса и др. Естественным и, пожалуй, самым дешевым, способом решения этой задачи является построение систем обработки с использованием быстрых, компактных и эффективных вычислительных алгоритмов. Современная элементная база в принципе допускает достаточно большие скорости вычислений (с тактовой частотой более 1000 МГц), тем не менее, сохраняются основные требования, предъявляемые к этим алгоритмам: при минимальном числе операций достижение максимальной эффективности.

Цель работы.

Целью работы заключается в разработке теоретических и прикладных подходов, которые позволяют синтезировать компактные и быстрые вычислительные алгоритмы оценки полезного сигнала, направленные на максимальное повышение чувствительности и разрешающей способности анализа, реализацию всех потенциальных возможностей измерительных систем приборов.

Для достижения указанной цели были исследованы возможности современной теории вейвлетов (в математической литературе - теории всплесков) для обработки данных, в частности, для восстановления (оценки) сигналов в присутствии шумов. Эти исследования привели к созданию вейвлетов, названных аппаратно-ориентированными (АОВ), т.к. они синтезированы с учетом априорной информации о приборе, характере сигнала и шума

Методы исследований. В развитых автором подходах использовались классические работы по теории вейвлетов, опубликованные на рубеже 90х S. Mallat, L.K. Meyer, D.J. Lemarie, I. Daubechies, A. Cohen, R.R. Chui и др. [1-5], работы отечественных авторов [6-11], работы Donoho D. по минимаксным оценкам сигнала в смеси с шумом (1994) [12] и вейвле-вейгулетным преобразованиям (1995) [13], а также результаты по Каруне-на-Лоэва подобным разложениям, полученным Zhang J., Walter G (1994) [14] и по требованиям к масштабирующим функциям, исследованные Strang G., Zhou D.-X. (2001) [15]. С целью проверки справедливости новых результатов и синтезируемых на их основе алгоритмов обработки данных, в среде МАТЛАБ [16] выполнялись расчеты, и проводилось математическое моделирование с использованием реальных сигналов. Научная новизна состоит в создании и исследовании класса аппаратно-ориентированных вейвлетов для обработки сигналов приборов, в частности:

1. Разработаны квазивейвлеты на основе аппаратной функции, позволяющие решить задачу деконволюции с эффективным вейвлетным подавлением шума.

2. Предложено два способа модификации известных вейвлетов (например, Добеши). Первый - позволяет синтезировать вейвлеты, обеспечивающие не только эффективное подавление шума, но также выполнение деконво-люции, декорреляции, дифференцирования и др. операций. Второй -обеспечивает представление случайного процесса в виде некоррелированных коэффициентов разложения по масштабирующим функциям.

3. Предложены методы синтеза смещенных во времени базисных систем (СБС) из аппаратной функции прибора, как "прародителей" квазивейвле-тов. Получены зависимости свойств этих систем от параметра сдвига. Показана возможность использования СБС для восстановления формы сигнала прошедшего через линейную систему (фильтр).

4. Разработаны на основе АОВ алгоритмы быстрого вейвлет - преобразования, позволяющие получить многократное ускорение процесса обработки данных по сравнению с традиционными методами, использующими комбинированные алгоритмы.

Практическая ценность работы состоит в том, что созданы теоретические основы разработки алгоритмов и блоков фильтров быстрых вейвлетных преобразований для обработки данных, решающих задачи подавления шума, деконволюции, оценки сигнала или его линейных преобразований и параметров сигнала.

Положения, выносимые на защиту.

1. Теоретические и методические основы синтеза аппаратно - ориентированных вейвлетов.

2. Методы получения и результаты исследования квазивейвлетов.

3. Методы модификации известных вейвлетов.

4. Методы синтеза смещенных во времени базисных систем функций, используемых для построения квазивейвлетов.

5. Методика восстановления сигналов с использованием СБС.

6. Алгоритмы и блоки фильтров быстрого вейвлет - преобразования на основе АОВ.

Апробация полученных результатов. Результаты работы докладывались на семинаре "Всплески и их приложения" (рук. проф. Ю.К. Демьянович, проф. В.Н. Малоземов, проф. М.А. Скопина) - 1998, 1999 г.г. и на семинаре по конструктивной теории функций (рук. проф. Г.И. Натансон) -2003 г.; на всесоюзной конференции "Хроматографич. процессы и автоматизация хроматографич. исследований" - Держинск: 1977; на всесоюзнай конф. "Математические методы и ЭВМ в аналитической химии"- ГЕОХИ АН СССР, М.: 1986; на школе-семинаре по автоматизации и компьютеризации в науке и технике ACS - Варна: 1994; на международных конференциях "Digital Signal Processing and its Application" - Moscow: 1998, 2000, 2006 г.г.; на Российской научно-практической конференции " Оптика и научное приборостроение - 2000" ФЦП «Интеграция» - Санкт Петер-бург:2000; на международной конференции " Optimization of finite-element approximations, splines and wavelets"- S.-Petersburg: 2001; на международной конференции " Wavelets and Splines " - St. Peterburg: 2003; на II Всероссийская конференция "Аналитические приборы" - С.-Петербург: 2005; на сайте www.wavelet.org: 1998.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ, в том числе одна монография и одно учебное пособие.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 210 страниц состоит из введения, восьми глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содержащего 111 названий.

8.6.3аключение

С использованием модельного сигнала выполнена оценка эффективности метода по повышению чувствительности и разрешающей способности приборов. Оказалось, что порог чувствительности может быть увеличен в 6-8 раз, а разрешающая способность - вплоть до разделения пиков без заметной седловины между ними при отношении сигнал/шум от 15 и выше.

Сравнение предложенного подхода оценки полезного сигнала с ближайшим прототипом - алгоритмом Рог\¥а1Ф показало его преимущество в быстродействии при одинаковой эффективности оценок в присутствии шума. Модифицированные вейвлеты позволяют получить не только оценку полезного сигнала, но и его производных. На модельном сигнале выполнено сравнение двух методов оценки второй производной - с помощью цифрового фильтра Савицкого - Голэя и модифицированных этим фильтром вейвлетов Добеши (с!Ь10). Предлагаемый подход позволяет уменьшить погрешность оценки в 3 - 4 раза и получить результат с погрешностью не более 8% при отношении сигнал/шум 10.

Апробация АОВ на реальных сигналах приборов показывает заметное подавление шума и улучшение разрешения пиков, вплоть до выявления пиков, скрытых шумами и соседними пиками.

Основные теоретические и прикладные результаты работы

1. Предложена и исследована методика синтеза смещенных во времени базисных систем функций (СБС) из функций, обладающих свойством частотно-временной локализации и используемых для построения аппаратно ориентированных вейвлетов (АОВ). Предложен и реализован численный алгоритм определения границ Рисса. На основе теоремы обобщенных отсчетов получены алгоритмы восстановления полезного сигнала с использованием ортогональных и биортогональных СБС.

2. Показано, что основные важные для практики положения теории кратно-масштабного анализа (КМА) сохраняются при сдвиге Ь0ф1 . Оказалось, что величина Ь0 определяет разрешающую способность (ширину полосы) системы обработки и позволяет согласовать частотный спектр наблюдаемого сигнала и полосы прозрачности цифровых фильтров вейвлетной обработки.

3. Показано, что импульсный отклик линейной системы (например, аппаратная функция, дифференцирующий или интегрирующий фильтры) или корреляционная функция, порождающие СБС, могут быть положен в основу или прямого синтеза вейвлетов (квазивейвлетов) или модификации известных ортогональных вейвлетов, образуя, таким образом, класс аппаратно-ориентированных вейвлетов (АОВ). Предложенный метод первичной обработки сигнала, искаженного аппаратной функцией и шумом, заключается в применении АОВ для его восстановления, декорреляции, получении оценок производных или текущего значения интеграла.

4. Предложены и реализованы численные алгоритмы определения соответствия масштабирующему уравнению функций, порождающих СБС. Показано, что эти алгоритмы приводит к тем же результатам, что и теоретический.

5. Показано, что модификация известных вейвлетов импульсным откликом линейной системы формирует нестационарный КМА для сигналов с ограниченным спектром.

6. Показано, что модифицированные вейвлеты удовлетворяют масштабирующему уравнению с коэффициентами масштабирующего уравнения вейвлетов - "прародителей". Кроме того, модифицированные вейвлеты можно выразить в виде взвешенной суммы масштабирующей функции вейвлетов - "прародителей". Получены выражения для расчета весовых коэффициентов и приведены их свойства.

7. Показано, что модификация вейвлетов корреляционной функцией случайного процесса приводит к декорреляции компонентов их дискретного представления. Исследованы два способа такой модификации. Первый -модификация масштабирующей функции, второй - масштабирующей и вейвлетной функций. Показано, что первый способ приводит к дискретному представлению случайного процесса с некоррелированными коэффициентами разложения по масштабирующим функциям. Второй - к некоррелированным коэффициентам разложения как по масштабирующим, так и вейвлетным функциям.

8. Получены вычислительные алгоритмы и построены блоки (банки) фильтров для оценки сигнала, искаженного аппаратной функцией и шумом. Показано, что предложенные блоки фильтров отличаются от классических блоков КМА или добавлением новых каскадов или модификацией первого каскада.

9. Сравнение предложенного подхода оценки полезного сигнала с ближайшим прототипом - алгоритмом Рог\УаШ) показало его преимущество в быстродействии при одинаковой эффективности оценок в присутствии шума.

10. Показано, что модифицированные вейвлеты позволяют получить не только оценку полезно сигнала, но и его производной или текущего значения интеграла.

11. Оценка эффективности предложенного подхода по повышению чувствительности и разрешающей способности аналитических приборов показала, что порог чувствительности может быть увеличен в 6-8 раз, а разрешающая способность - вплоть до разделения пиков без заметной седловины между ними при отношении сигнал/шум от 15 и выше.

Обзор публикаций автора по теме диссертации

В ранних работах по теме диссертации [AI - A4, Т1,Т2] (1978 - 1986) предложено выполнять обработку сигналов приборов путем их представления в базисной системе смещенных функций (СБС), названных сигнальными базисными системами. Было показано, что при подходящем выборе функции, порождающей этот базис, обеспечивается эффективное, близкое к согласованной фильтрации, подавление шума. Предложен способ синтеза таких систем путем ортогонализации модифицированным методом Грамма - Шмита. Разработаны и апробированы статистические алгоритмы обнаружения пиков, оценки их параметров в спектральной области. Однако эти алгоритмы не нашли широкого применения вследствие их громоздкости и сложности. Развитие теории вейвлетов на рубеже 90х подсказало пути усовершенствования применяемых ранее подходов в обработке сигналов. В работах [А5, А6, ТЗ] (1994 - 1999) СБС рассматривается как способ дискретного представления сигналов, позволяющий синтезировать операторы сглаживания и дифференцирования или выполнять деконволюцию на основе фильтра Винера. В это же время в работах [А7,Т4] предложены алгоритмы синтеза вейвлетов на основе СБС. Соответствие синтезируемых вейвлетов и коэффициентов фильтров требованиям кратномасштабного анализа (КМА) проверялось "инженерными" методами - численно. В учебном пособии [А8] (1999) предпринята попытка несколько расширить математический аппарат инженеров с целью освоения ими основ вейвлет - анализа сигналов. Пособие содержит начальные сведения по представлению сигналов в виде функциональных рядов, по различного вида преобразованиям Фурье, преобразованию Лапласа и Z -преобразованию, дискретному представлению сигнала и вводит вейвлеты как разновидность спектрального (частотного) анализа. В работах [А9, Т5-Т7] (2000) обсуждается одно из приложений вейвлетов - октавно-полосный спектральный анализ. В работах [Т8, А10, А15] (2001- 2005) дано строгое обоснование возможности построения КМА с использованием аппаратной функции или дифференцирующих фильтров Савицкого - Голэя путем модификации известных ортонормированных вейвлетов. В работах [All, А12, Т10] (2006) этот подход дополнен полезными деталями и на конкретных примерах показана эффективность синтезируемых алгоритмов. В работе [А13, Т9] (2006) обоснован еще один путь построения КМА, который использует корреляционную функцию шума с целью корректировки решения уравнения для вычисления коэффициентов масштабирующих уравнений вейвлетов Добеши. Этот путь приводит к декорреляции коэффициентов разложения сигнала по масштабирующим функциям. В работах [А 14, А17] (2007) дано строгое обоснование возможности построения КМА и, соответственно, АОВ, непосредственно из аппаратной функции. В работе [А16] (2006) приведены практические схемы блоков фильтров, реализующие компактные и быстрые вычислительные алгоритмы оценки полезного сигнала (и/или его линейных преобразований), искаженного аппаратной функцией и шумом.

1. Daubechies /. Ten Lectures on Wavelets. SIAM press. Philadelphia, 1992. (Перевод: Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Москва-Ижевск: РИЦ РХД, 2001.).

2. Chui С.К. Wavelets: A Tutorial in Theory and Application. Academic Press, Boston, 1992. (Перевод: Чуй Ч. Введение в вейвлеты. М.: Мир, 2001).

3. Vetterly M., Kovacevic J. Wavelets and Subband Coding. New Jersey: Prentice Hall PTR. 1995.

4. Mallat S. A wavelet Tour of Signal Processing. San Diego: Academic Press, 1999. (Перевод: Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов. М.: Мир, 2005.).

5. Strang G., Nguyen Т. Wavelets and Filter Banks. Boston: Wellesley-Cambridge Press. 1996.

6. Новиков И.Я. Основы теории всплесков // Успехи математических наук. 1998. V. 53. №6. С.9-13.

7. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. СПб.: Изд. СПбГТУ, 1999.

8. Воробьев В.П., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. СПб.: ВУС, 1999.

9. Короновский А.А., Храмов А.Е. Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения. М.: Физматлит, 2003.

10. Дремин И. М, Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование. //УФН. 2001. Т.171, №5. С.465.

11. Новиков И.Я., Протасов В.Ю. Скопина М.А. Теория всплесков. М.: Физматгиз, 2005.

12. Yl.Donoho D., Johnstoune I. Ideal spatial adaptation via wavelet shrinkage //Biometrika. 1994. V81. P. 425-455.

13. Strang G., Zhou D.-X. The Limits of Refinable Functions// Trans. American Math. Soc. 2001. V. 353. P.1971-1984.

14. SavitzkyA., Golay M.J.E. //Analytical Chemistry, 1964. V.36. №8. P. 1627.

15. Трахтман A.M. Введение в обобщенную спектральную теорию сигналов. М.: Сов. радио. 1972.

16. Куликов Е.И., Трифонов А.П. Оценка параметров сигналов на фоне помех. М.: Сов. радио. 1978.21 .Френке JJ.E. Теория сигналов. М.: Советское радио, 1974.

17. Перов В.П. Прикладная спектральная теория оценивания. М. Наука. 1982.

18. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Радио и связь, 1989.

19. Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов. М.: Сов. радио, 1979.

20. Мудрое В.Н., Кушко B.JI. Методы обработки измерений. М.: Сов. радио. 1976.

21. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.21 .Grossman A., Morlet J. Decomposition of Hardy into square integrable wavelets of constant shape // SIAM J. Math. Anal. 1984. V 15. P. 723-736.

22. Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets. Commun. Pure Appl. Math. 1988, v.41, pp.909-996.

23. Mallat S.G. Multiresolution Approximations and Wavelet of orthonormal Bases of L (R) // Transactions of the American Mathematical Society. V.315, N 1.1989, P. 69-87.

24. Блаттер К. Вейвле-анализ. Основы теории. Перевод с немецкого. М.: Техносфера. 2004.

25. Burrus C.S., Gopinath R.A., Haitao Guo. Introduction to Wavelets and Wavelet Transform. New Jersey: Prentice Hall, 1998.

26. ResnikoffH. L., Wells R.R. Wavelet Analysis. Springer Verlag, 1998/

27. Boumans P. W.J Analyt. Chem. 1994. V.66. № 8. PP. 459A-467A.

28. Yuzuru Mayashi, Rieko Matsuda. Analyt. Chem. 1994. V66. № 18. PP. 28742881.

29. FelingerA., Pap T.L., InczedyJ. Analyt. Chim. Acta. 1991.248. №2.

30. SmitH.C., KaljurandM. J. of Chromatogr. 1993. 642. PP.53-64. 37.VanDen Heuvel E.J., Malssen K.F., Smit H.C. Anal. Chim. Acta. 1990. 235.2. PP. 343-353.

31. PlyakisK., Sacher E. Appl. Surf. Sei. 1992. V.55. PP.159-164. A3.MooreA.W., Jorgenson J.W. Analyt. Chem. 1993. V65. №2. PP. 188-191. AA.Harada T., Tanuma S. Bunseki Kadaku. 1991. V40. PP. 711-715. Chem. Abstr. 1992.116. 14289n.

32. Jarnsens F., Francois J.-P. Applied Spectroscopy. 1992. V46. №2. PP.283292.

33. Ulgen A., Dogan M„ Gokmen A., Yalcin S. Spectrochim. Acta. 1993.48B. PP.65-98.

34. Van Veen E. H., De Loos-Vollebregt M.T., Wassink A.P., Kalter H. Analyt. Chem. 1992. V64. PP. 1643-1649.

35. LariveeRJ., Brown S.D. Analyt. Chem. 1992. V64. PP.2057-2066.

36. St. Louis R.H., Siems W.F., Hill H.H. Analyt. Chem. 1992. V64. PP.171-177.

37. MitraS., Bose T. J. of Chromatogr. Science. 1992. V30.№7. PP.256-260. 51.,Janssense F., Francois J.P. Analyt. Chem. 1993. V65. PP. 3098-3112.

38. Koons J.M., e.a. Anal. Chim. Acta. 1993.283. №3. PP. 1045-1058.

39. GoodmanK.G., BrennaJ.T. Analyt. Chem. 1994. V66. №8. PP.1294-1301.

40. Kauppinen J.K., e.a. Applied Spectroscopy. 1991. V45. №3. PP.411-416.

41. RexA.E. Applied Spectroscopy. 1990. V44. №5. PP.840-843. 5e.Pizetal. Anal. Chimica Acta. 1994. V285. №1-2. PP.95-102. Sl.Englom S.O. Analyt. Chem. 1992. V64. PP.2530-2538.

42. Engelsma M., Boelens H.F., Louserse D.J. Kok W.T., Smit H.C. Anal. Chimica Acta. 1993.272. PP.309-331.

43. Chau F.-T., Leung A. K.-M. Applications of Wavelet Transform in Spectroscopic Stadies.// Wavelets in Chemistry. Ed. By Walczak B. Elsevier. 2000, pp.241-259

44. Ы.Астафъва H.M. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения. //УФН. 1998. Т.166,№11.С.1145.

45. Hudgings L., Friehe С.А., Mayer М.Е. Physical Review Letters, 1993. V.71, №20. P.3279.

46. КороновскийА.А., Храмов A.E. Письма в ЖЭТФ, 2004. Т.79; №7. С.391.

47. Гусев В.А., Короновский А.А., Храмов А.Е. Письма в ЖТФ, 2003. Т.29, №18. С.61.

48. Сарксян К.А., Скворцова И.И., Харчев Н.К., Миллиген Б.Ф. Физика плазмы, 1999. Т.25, №4. С.346.

49. Ы.БорисенкоН.А., ФертманА.Д. ПТЭ, 2003. №2. С.28.

50. Шишенков В.А., Любимов В.В., Иванова Т.И. Автоматизация исовременные технологии, 2002. №1. С.З

51. Haswell S.J. Practical Guide to Chemometrics. New York. Marcell Dekker. 1992. PP. 264-267.

52. S2.Zhang X.Q., Zheng J.B., Gao H. Comparison of Wavelet Transform and Fourier Self-Deconvolution (FSD) and Wavelet FSD for Curve Fitting.//Analyst. V125,2000, pp.915-915.

53. Olazabal V., Prasad L., Stark P., Olivates J. A. Application of Wavelet Transforms and an Approximate Deconvlution Method for the Resolution of Noisy Overlapped Peaks in DNA Capillary Electrophoresis.// Analyst, v. 129, 2004, pp.73-81

54. Chau F.-T., Leung A. K.-M. Application of Wavelet Transform in Electrochemical Studies. //Wavelets in Chemistry. Ed. By Walczak B., Elsevier. 2000, pp. 225-239.

55. Sl.Bao L.J., Mo J.Y., Tang Z.Y. The Application in Processing Analytical Chemistry Signals of a Cardinal Spline Approach to Wavelets. //Analytical Chemistry, v.69,1997, pp. 3053-3057.

56. Fang H., Chen H.Y. Wavelet Analyses of Electroanalytical Chemistry Responces and an Adaptive Wavelet Filter. //Analytycal Chimia Acta, v.346, 1997, pp.319-325.

57. Mozzhukhin G. V., Molchanov S. V. Application of the wavelet transform for detection signals of nuclear quadrupole resonance. //Russian Physics Journal. 2005. V.48, №13. P.53-56.

58. Kharintsev S.S., e.a. Resolution enhancement of composite spectra using wavelet-based derivative spectrometry. // Spectrochimica Acta, part A: Molecular and Biomolecular Spectroscopy. 2005. V.61, №1-2. P. 149-156.

59. Churalina M.V., Dubrovskii Yn.v. , Funke H. Wavelet analysis and its application tunneling and X-ray spectroscopy.// Low temperature Physics. 2004. V.30, №11. P.930-936.

60. Yinbai Yan, Li Ding.Volume holographic image recognition based on best wavelet packet basic selection.// Processing of SPIE. 2004. V.4829. P.579-580.

61. Fendale R.N., e.a. Wavelet orthogonal signal correction.// Journal of Chemometrics. 2005. V.19, №1. P.55-63.

62. Rahaman A., Wheeler R.A. Wavelet Transform for Determining Time -Dependent Vibrational Frequencies.// J. Chemical Theory and Computation. 2005. V.l, №5. P.769-771.

63. Zyvola R., Mashlan M. The use of the Wavelet Transform for Mossbaure Spectra Fitting. // NATO Sci. Ser. 2003, II94. P.339-349.

64. Ying Y.B., e.a. Effect of wavelet transform techniques upon the estimation of suger in apple with near infrared spectroscopy.// Proceedings of SPIE.2004. V. 5587. P.29-41.

65. Leger M.N., Wentzell P.D. Maximum likelihood principle components compressed data. // Applied Spectroscopy.2004. V.58, №7. P. 855-862.

66. Escribano R, e.a. On the use of wavelet filtering and correlation techniques in atmosphere condensed phase spectroscopy. // Spectrochimica Acta, part A: Molecular and Biomolecular Spectroscopy. 2005. V.61A, №8. P.1759-1765.

67. Trbovic N.D., e.a. Using wavelet denoised spectra in NMR screening.// Journal of Magnetic Resonance. 2002. V.173, №2. P.280-287.

68. Chi Yung Fu, e.a. Intelligent Signal Processing for Detection System Optimization.// Analytical Chemistry. 2005. V.77, №13. P.4051-4057.

69. Кравченко В.Ф., Рвачев B.A. "Wavelet''-системы и их применение в обработке сигналов.// Зарубежная радиоэлектроника: Успехи современной радиоэлектроники. 1996. №4. С.3-20.

70. Кравченко В.Ф. Лекции по теории атомарных функций. М.: Радиотехника. 2003.

71. Басараб М.А., Зелкин Е.Г., Кравченко В.Ф., Яковлев В.П. Цифровая обработка сигналов на основе теоремы Уиттекера Котельникова -Шеннона. М.: Радиотехника, 2004.

72. Unser М., Aldroubi A. A General Sampling Theory for Nonideal Acquisition Devices// IEEE Transactions on signal processing. 1994.V.42. №11. PP. 2915-2925.

73. Unser M. Sampling 50 Years After Shannon.// Proceedings of the IEEE. 2000. V.88. №4. P.569-587.

74. Пугачев B.C. Теория случайных функций. M.: Наука, 1962.

75. Харкевич А.А. Спектры и анализ. М.:Физматгиз.1962.

76. Meyer Y. Wavelets: Algorithms and Applications. Philadelphia: SI AM. 1993.

77. ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи, монографии, учебные пособия

78. А1. Новиков Л.В., Русинов Л.А. Оценка параметров сигнала по критерию максимального правдоподобия в частотной области.// Изв. ВУЗов Радиэлектроника. 1978, №4.

79. А2. Новиков JI.B., Русинов Л.А., Гуревич A.JI. Оценка положения аналитического пика методом обобщенного преобразования Фурье// Изв. ВУЗов. Приборостроение. 1978, №10.

80. А7 Новиков JI.B. Адаптивный вейвлет-анализ сигналов// Научное приборостроение. Т.9. №2.1999.

81. А8 Новиков JI.B. Основы вейвлет анализа сигналов. Учебное пособие. СПб.: Изд-во ООО "МОДУС+". 1999.

82. А12. Новиков JI.B. Модифицированные вейвлеты в обработке данных аналитических приборов. II. Алгоритмы обработки// Научное приборостроение. 2006.Т.16, №2.С.78-91.

83. A14. Новиков JI.B. Вейвлетная деконволюция// Приборы и техника эксперимента, 2006, №6. (Перевод: L. V. Novikov. Wavelet Based Deconvolution// Instruments and Experimental Techniques. 2007, vol.50, no.l, http://dx.doi.org)

84. ТЗ. Новиков JI.B. Синтез операторов сглаживания и дифференцирования на основе смещенных во времени базисных функций //Школа-семинар поавтоматизации и компьютеризации в науке и технике ACS. Тезисы докладов. Варна: 1994.

85. Т4. NoviJcovL. V. Adaptive Wavelet Synthesis// The I Internetional Conference: Digital Signal Processing and its Application". June 30 July 3. 1998. Moscow, Russia. Proceedings, II-E. PP. 121-125.

86. T5. Novikov L. V. Octave Band Wavelet Based Analysis of Signals// "The III International Conference and Exhibition on Digital Signal Processing and its Application", November 29 - December 1,2000, Moscow, Russia. Proceedings - 2, p.191-195

87. T6. Новиков JI.B. Вейвлет-анализ -новое направление в спектральном анализе сигналов// Российская научно-практическая конференция "Оптика и научное приборостроение 2000" ФЦП "Интеграция 2000", 20 -21 Января, Санкт Петербург, Тезисы докладов стр. 66-67.

88. Т7. Новиков JI.B. Октавно-полосный спектральный вейвлет анализ сигналов// "The 3nd International Conference DIGITAL SIGNAL PROCESSING AND ITS APLICATION" 2000, November 29- 30, Moscow, Russia PROCEEDINGS Volume I.

89. T10. Новиков JI.B. Аппаратно ориентированные вейвлеты в предварительной обработке данных аналитических приборов// II Всероссийская конференция «Аналитические приборы», 27 июня-1 июля 2005 г. Тезисы докладов, с. 108109.