Разработка и применение методов вейвлет-анализа к нелинейным гидродинамическим системам тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

чЛ РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК х УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ

СРЕД

На правах рукописи

ЗАХАРОВ Виктор Геннадьевич

РАЗРАБОТКА И ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА К НЕЛИНЕЙНЫМ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь 1997

Работа выполнена в Институте механики сплошных сред УрО РАН.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Фрик П.Г. Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Тарунин Е.Л. кандидат физико-математических наук Чернотынский В.И.

Ведущая организация:

Институт прикладной математики РАН им. М.В. Келдыша.

Защита диссертации состоится 997 г. в (7. часов

на заседании специализированного диссертационного совета Д 003.60.01 в Институте механики сплошных сред УрО РАН в конференц-зале по адресу: 614061 Пермь, ул. Ак. Королева 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред.

Автореферат разослан

1997 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета доктор технических наук

Березии И.К.

Общая характеристика работы

Актуальность. Турбулентность при больших числах Рей-нольдса — нелинейный многомасштабный процесс, характеризующийся сложной пространственной и временной структурой. До недавнего времени основным математическим аппаратом для описания и моделирования структуры турбулентных течений являлся анализ Фурье. Нелокальность тригонометрических функций, используемых в спектральных методах, не позволяет выявлять локализованные в пространстве или во времени особенности сигнала, например, резкие изменения в частоте, фазе и т.п. Преобразова.ние Фурье не в состоянии выявить местоположение сингулярностей, имеющихся в сигнале, и отфильтровать их, так как они влияют на все фурье-коэффициенты. Преобразование Фурье также не учитывает, что параметры периодических или псевдо-периодических сигналов (период, амплитуда, фаза) могут эволюционировать со временем. Применение фурье-методов сталкивается с большими трудностями в случаях недостаточной длины сигнала по сравнению с характерным периодом, наличии случайных возмущений, отсутствием данных за некоторые моменты времени и т.п.

На настоящий момент имеется большое число как экспериментальных наблюдений, так и результатов численного моделирования, которые подтверждают существование в турбулентных течениях локализованных в пространстве долгоживущих когерентных структур. Эти структуры играют важную роль в динамике турбулентных течений. Использование традиционных спектральных и конечно-разностных методов для численного моделирования развитой турбулентности не может позволить, особенно при больших числах Рейпольдса, адекватно описать пространственную картину турбулентности в силу очевидного несоответствия между системой базисных функций и структурой турбулентного течения. Таким образом, проблема моделирования сводится к отысканию функциональных базисов, максимально близких к пространственно-временной структуре реального турбулентного течения. Использование таких базисов может существенно сократить число степеней свободы, необходимых для описания развитой турбулентности.

Недостаточность классических методов для описания и моделирования турбулентных явлений побуждает использовать и развивать новые математические подходы. В середине 80-х годов возник новый математический аппарат, получивший название "вейвлет (wavelet) анализ", успешно конкурирующий с фурье-анализом. Основу подхода составляют специальные классы функций — вейвлетов, которые локализованы как в физическом, так и в фурье-цространстве, и получаются друг из друга путем масштабного преобразования (растяжения/сжатия) и сдвига. В настоящее время вейвлет-анализ получил широкое распространение и применяется, в частности, для обработки и синтеза сигналов, распознавания образов и синтеза изображений, исследования турбулентных полей и др.

Уже первые попытки применения методов вейвлет-анализа к исследованию турбулентности показали их преимущество перед анализом Фурье, особенно для исследования локальной структуры течения.

Турбулентные течения, особенно при больших числах Рсй-нольдса, характеризуются сложными пространственными и временными спектрами. При экспериментальном изучении гидродинамической турбулентности как правило доступны только временные ряды некоторых параметров течения (скорость, завихренность, температура и т.п.) в отдельных пространственных точках или осреднеппые по некоторой пространственной области. Актуальность проблемы анализа рядов данных, возникающих при исследовании крупномасштабных мод турбулентных течений в замкнутых объемах не вызывает сомнений. Ярким примером турбулентности в замкнутом объеме служат течения, возникающие в конвективной оболочке Солнца. Солнечная активность позволяет исследовать самое масштабное и, по-видимому, самое сложное из доступных наблюдению конвективных турбулентных течений. Сходство в структуре последовательности солнечных циклов и в спектрах турбулептпой конвекции в лабораторных моделях отмечалось в ряде работ (см., например, Зимин, Фрик 1988). Это стимулировало наш интерес к анализу данных наблюдений за солнечной активностью. С другой стороны, данные солнечной активности дают хороший пример для раскрытия преимуществ вейвлет-анализа

и позволяют выявить в сигналах особенности, недоступные другим методам.

Интересны и возможности вейвлет-представлений для создания численных схем решения уравнений в частных производных, в том числе уравнений Навье-Стокса. Примером уравнения типа Навье-Стокса служит уравнение Бюргерса, которое, с одной стороны,является простейшей моделью, показывающей два механизма, присущие реальной турбулентности: нелинейный перенос энергии по спектру и вязкую диссипацию в области мелких масштабов, а с другой стороны, уравнение Бюргерса является хорошим тестовым примером для численных методов в силу его относительной простоты и предсказуемости динамики. Уравнение Бюргерса дает возможность реализовать и опробовать все преимущества, предоставляемые вейвлет-базисами для решения дифференциальных уравнений в частных производных и обобщить их на более сложные уравнения (например, 2-х и 3-х мерные уравнения Навье-Стокса). Все это позволяет предположить, что подходы, успешно применяемые для решения уравнения Бюргерса, могут быть успешными и для моделирования реальной гидродинамической турбулентности. Реализации эффективных алгоритмов для численного решения уравнепий в частных производных на основе вейвлет-методов до сих пор остаются редкими и часто полностью не используют все возможности, предоставляемые вейвлетами.

Цель работы состоит в разработке алгоритмов анализа и моделирования турбулентных процессов, а именно:

1. Разработка алгоритмов вейвлет-анализа временпых рядов.

2. Применение разработанных алгоритмов для исследования солнечной активности, выраженной вариациями числа солнечных пятен и видимого солнечного диаметра.

3. Разработка и реализация алгоритмов численного решения уравнений в частных производных, наиболее полно использующих преимущества вейвлет-базисов,и их применение для решения уравнения Бюргерса со случайными начальными условиями.

4. Построение специальных иейвлет-базпсов, имеющих преимущества для описания турбулентных полей.

Научная новизна. В диссертационном исследовании получены следующие новые результаты:

1. Методами непрерывного вейвлет-преобразования исследованы свойства солнечной активности, выраженные временными рядами числа групп солнечных пятен и видимого солнечного диаметра. Построен вейвлет-спектр солнечных пятен и показано наличие только двух существенных пиков. Вейвлет-анализ изменения видимого солнечного диаметра также показал наличие 11-летнего цикла, но при этом его интенсивность строго антикоррелированна с основным солнечным циклом активности.

2. Разработан и реализован алгоритм решения уравнения Бюр-герса с использованием ортонормированных вейвлет-базисов, который объединяет в себе такие особенности вейвлет-методов как нелинейное сжатие решения и разреженное представление дифференциальных операторов в вейвлет-базисах, а также динамическое адаптирование пространственного разрешения. Разработан алгоритм вычисления матриц коэффициентов линейных и нелинейных дифференциальных операторов в вейвлет-базисах. Подтверждены преимущества вейвлет-базисов по сравнению со спектральными и конечно-разностными методами. Исследованы устойчивосп > метода и связанное с вейвлет-аналогом явления Гиббса искажение решения вблизи резкпх градиентов. На основе этих алгоритмов исследованы скейлинговые свойства решений уравнения Бюргера с автомодельными начальными условиями.

3. Построен новый тип многомерных ортонормированных вейвлет-базисов, которые, в отличие от известных многомерных вейвлет-базисов, образованны одним типом функций независимо от размерности пространства.

Научная и практическая значимость. Результаты анализа солнечных данных дают дополнительную информацию о работе МГД-динамо, ответственного за вариации солнечной активности. Разработанные в процессе анализа солнечной активности алгоритмы вейвлет-анализа позволяют использовать их для исследования широкого круга явлений.

Методы решения уравнения Бюргерса с использованием вейв-лет-базисов показывают общие принципы применения вейвлет-разложений для численного решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и могут быть использованы для моделирования реальной гидродинамической турбулентности.

Апробация работы. Основные результаты, приводимые в диссертации, докладывались и обсуждались:

1. на 2-й международной школе-семинаре "Динамические и стохастические волновые явления" в июне 1994 г., Н.Новгород;

2. на заседаниях 10-й и 11-й зимних школ но механике сплошных сред в марте 1995 и 1997 гг. в Перми;

3. на международной конференции "Математическое моделирование процессов обработки материалов", Пермь, 17-19 ноября 1994 г.;

4. на международной конференции "По геометрии в 'целом'", Черкассы, Украина, 8-13 сентября 1997 г.;

5. на семинарах "Анализ и Моделирование" Центра Теоретической Физики (Centre de Physique Théorique) в Марселе , Франция;

6. на семинаре Лаборатории Электродинамики и Магнитной Гидродинамики НИВЦ МГУ в Москве;

7. на Пермском городском гидродинамическом семинаре, Пермь;

8. на семинарах Института механики сплошных сред, Пермь.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения и списка литературы.

В первой главе описаны основные принципы и методы непрерывного и дискретного вейвлет-анализа — нового математического аппарата, получающего все более широкое применение в таких областях, как обработка и синтез сигналов и изображений, сжатие информации, распознавание образов, исследование функциональных операторов, изучение турбулентности и др. В основе вейвлет-анализа (от английского слова wavelet — маленькая волна, всплеск) лежит представление исследуемого сигнала или поля по системе функций, локализованных как в физическом пространстве, так и в пространстве частот и получающихся друг из друга путем масштабного преобразования (растяжения/сжатия) и сдвига:

Описан математический формализм непрерывного вейвлет-пре-образования и проведено сравнение с традиционно применяемым к рассматриваемым в диссертации задачам преобразованием Фурье. Изложенные свойства вейвлет-преобразования и некоторые примеры применения к модельным функциям показывают возможности этого математического аппарата, позволяющего выявить и наглядно показать структуру (квазипериодическую, автомодельную и т.п.) процесса. Вейвлет-преобразование позволяет выявить локализованные особенности, такие, например, как сингулярности или резкие изменения частоты, фазы и т.п. Также вейвлет-преобразование позволяет исследовать эволюцию параметров, (амплитуда, частота, фаза) периодических или псевдопериодических сигналов. Все это позволяет предположить, что

Содержание работы

применение вейвлет-мстодов будет эффективным для анализа сигналов. характеризующих нелинейные гидродинамические явления.

В теории турбулентности важной проблемой является не только анализ сложных временных сигналов и пространственных полей, по и моделирование динамики нелинейных процессов, характеризующихся взаимодействием возмущений в широком диапазоне пространственных и временных масштабов.

Помимо непрерывного вейвлет-преобразования теория вейвле-тов дает в распоряжение и дискретное вейвлет-преобразование — разложение по ортонормированным вейвлет-базисам. Функции, образующие вейвлет-базисы, сохраняют локальность в физическом и фурье-пространстве,и эти базисы являются полными и ор-тонормированными.например.в пространстве Ь2(Ш,). Локальность вейвлет-функций и их гладкость до требуемого порядка позволяет описывать как локализованные в пространстве резкие изменения, так и гладкие фрагменты решения минимальным числом мод. В рамках дискретного вейвлет-преобразовапия существует быстрый алгоритм прямого и обратного преобразования, требующий всего лишь 0(Л,Т) операций, что также имеет.важное значение для численных алгоритмов.

Во второй главе методами вейвлет-анализ а исследуется одно из самых сложных, доступных наблюдению турбулентных явлений — магнитогидродинамическая турбулентность, происходящая в конвективной оболочке Солнца, которая отражается в изменении солнечной активности.

С помощью непрерывного вейвлет-преобразования были изучены временные ряды двух физических параметров: числа групп солнечных пятен, связанных с интенсивностью азимутального магнитного поля, и видимого солнечного диаметра, который отражает динамические процессы, происходящие в конвективной оболочке Солнца. Глобальный вейвлет-спектр числа групп солнечных пятен, в отличие от фурье-спектра, показывает только два отчетливо выраженных временных масштаба — 11-летнпй цикл Швабе и 100-летний цикл Глассберга, что может снять вопрос о поиске значимых пиков в спектре Фурье.

Вейвлет-анализ групп солнечных пятен показывает такие события. следующие 100-летнему циклу, как минимум Маундера и Дальтона, а также отклонение в длине цикла вблизи 1900 года и позволяют прогнозировать некоторое ослабление активности около 2000 года.

Вейвлет-спектры вариаций солнечного диаметра также показывают наличие 11-летней периодичности. Корреляция между вейвлех-коэффициентами солнечных пятен и видимого диаметра, отчетливо показывает сильную антикоррелированность этих величин на масштабах,близких к 11-летнему, т.е. изменения солнечного диаметра максимальны во время минимума Маундера, и затухают но мере усиления вариаций числа солнечных пятен. В настоящее время, когда амплитуда изменения числа солнечных пятен наибольшая за все время наблюдений, интенсивность вариаций диаметра незначительна.

Впервые показано, что даже во время длительных периодов ослабления осциллядий магнитных полей, регистрируемых но солнечным пятнам, в конвективной оболочке Солнца продолжаются процессы, приводящие к одиннадцатилетнему циклу, но меняются пути выхода его энергии. Этот результат позволяет под новым углом зрения взглянуть на проблему связи основного цикла с действием солнечного МГД-дипамо.

В третьей главе рассматривается применение ортонормиро-ванных вейвлет-базисов для численного решения уравнений Бюр-герса. Уравнение Бюргерса с одной стороны является простейшей моделью турбулентности, а с другой служит хорошим тестовым примером для апробации численных методов. В основе подхода лежит проектирование дифференциального уравнения, используя стандартную технику метода Галеркина, на ортонормированный вейвлет-базис. Вейвлет-базисы образованы дискретно параметризованным семейством вейвлет-функций:

= 2ч/7-ф{2~]х - к) з, кеЖ,

причем ортогональность между функциями сохраняется по обоим индексам. Согласно методу Галеркина, исходное дифференциальное уравнение в частных производных сводится к системе обык-

новенных дифференциальных уравнений относительно амплитуд базисных функций.

Локальность вейвлет-функций в физическом и фурье-пространстве и гладкость до некоторого порядка позволяют представить решение с локализованными резкими градиентами минимальным числом степеней свободы. Причем, в тех местах, где решение достаточно гладкое, вейвлет-коэффициенты на большинстве масштабов близки к нулю. Полагая равными нулю все вейвлет-коэффициенты, меньшие некоторого порогового значения, получаем сетку коэффициентов, локально увеличивающую разрешение в окрестностях сингулярностей решения. Кроме того, в вейвлет-базисах многие дифференциальные и псевдо-дифференциальные операторы и им обратные имеют разряженную блочно-полосовую структуру. Таким образом, используя разряженность представлений как решения, так и операторов в вейвлет-базисах, число операций, требующихся для вычисления правых частей уравнений есть порядка О(М) — где Л^-чнсло существенных (отличных от нуля) коэффициептов в представлении решения. Все вышесказанное справедливо и для нелинейных операторов. И наконец, вейвлет-базисы позволяют естественным образом реализовать алгоритм, динамически отслеживающий сингулярности и увеличивающий разрешение аппроксимации в их окрестностях.

Используя все вышеперечисленные преимущества вейвлет-ба-зисов, был разработан и реализован численный алгоритм решения уравнения Бюргерса. Необходимо отметить, что в отличие от псевдо-спектральных методов, нелинейный член уравнения вычислялся непосредственно в вейвлет-пространстве, что позволило избежать преобразования между физическим пространством и пространством вейвлет-коэффициентов, так как вейвлет-преобразование с трудом адаптируется к лакунарной сетке коэффициентов. В качестве базисных функций использовались вейвле-ты с компактным носителем Добеши — гладкие функции, отличные от нуля лишь на конечном интервале. Так как непосредственное вычисление коэффициентов представления операторов в базисах Добеши затруднительно, был разработан алгоритм вычисления коэффициентов линейных и нелинейных операторов в базисах с компактным носителем, не требующий вычисления производных

. и интегралов от базисных функций.

Сформулированы общие принципы вейвлетных численных схем решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, что позволяет без большого труда применить эти методы для решения широкого класса уравнений.

На основе этих алгоритмов исследованы скейлинговые свойства решений уравнения Бюргерса с автомодельными начальными условиями, такими как белый шум, броуновское движение и их фрактальные обобщения. Исследована возможность существования расширенного интервала автомодельности (ESS), свойственная реальной гидродинамической турбулентности и заключающаяся в расширении инерционного интервала, при построении зависимости структурной функции не от расстояния, а от структурной функции 3-го порядка. Более детальное изучение вязкого подин-тервала указывает на возможное невыполнение расширенной автомодельности, что могло бы означать отсутствие универсальности ESS для произвольного случайного процесса и ее связь с механизмом диссипации энергии, который существенно различен для турбулентности, описываемой уравнениями Навье-Стокса и "Бюр-геровской" турбулентностью.

В четвертой главе построен новый класс многомерных ор-тонормировапных вейвлет-базисов, полных в пространстве L2, которые в отличие от других многомерных вейвлет-базисов образованы функциями только одного типа, независимо от размерности пространства. Предложенные базисные функции сохраняют равноправие координатных направлений.

Применение ортонормированных вейвлет-базисов для исследования и моделирования дву- и трехмерных турбулентных течений сталкивается с трудностями, вызванными тем, что в N-мерном случае классические вейвлет-базисы образованы 2Л — 1 типами функций. Таким образом, в двумерном случае на каждый пространственный узел требуется 3 функции, а в трехмерном — 7 функций, что неудобно для приложений и неоправданно увеличивает число степеней свободы. Хорошо известные алгоритмы построения многомерных вейвлет-базисов опираются на разделение неременных по каждому пространственному измерению. В частно-

стн, многомерные базисы могут быть получены путем тензорного произведения одномерных функций и носят название сепарабель-пых.

Рассматриваемые в четвертой главе несепарабельные вейвлет-базисы строятся путем обобщения на многомерный случай одного из простейших вейвлет-базисов — базиса Литлвуда-Пели. Описана процедура построения таких базисов в произвольном А7-мерпом случае. Дано теоретическое обоснование необходимости нескольких типов функций в сепарабельном случае и показано, как эта проблема решается для предложенных базисов.

В заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Основные результаты и выводы

1. Разработаны и реализованы алгоритмы непрерывного пейвлет-преобразования. На основе этих алгоритмов исследованы свойства параметров, характеризующих солнечную активность, а именно, временные ряды числа групп солнечных пятен и видимого солнечного диаметра.

2. Построен вейвлет-спектр солнечных пятен и показано наличие только двух существенных пиков — 11-летпего цикла Швабе и 100-летнего цикла Гла.ссберга, что снимает вопрос о поиске значимых пиков в спектре Фурье. В вариациях солнечного диаметра также показано наличие 11-летней периодичности, но при этом интенсивность вариаций диаметра строго антикор-релирована с вариациями числа солнечных пятен, а именно, изменения солнечного диаметра максимальны во время минимума Маундера, и затухают по мере усиления вариаций числа солнечных пятен. Впервые показано, что даже во время длительных периодов ослабления осцилляций магнитных полей, регистрируемых по солнечным пятнам, в конвективной

оболочке Солнца продолжаются процессы, характеризующие одиннадцатилетний цикл, по меняются пути выхода его энергии.

3. Разработаны и реализованы алгоритмы численного решения уравнения Бюргерса, объединяющие в себе такие преимущества вейвлет-представлений, как нелинейное сжатие решения, разряженное представление дифференциальных операторов и динамическое адаптирование пространственного разрешения. Сформулированы общие принципы применения вейвлет-бази-сов для численного решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Разработан алгоритм вычисления матриц коэффициентов линейных и нелинейных дифференциальных операторов в вейвлет-базисах.

4. Исследованы устойчивость метода и связанное с вейвлет-ана-логом явления Гиббса искажение решения вблизи резких градиентов. С использованием разработанных алгоритмов исследованы скейлинговые свойства решений уравнения Бюргерса с автомодельными начальными условиями. Исследована возможность существования расширенного интервала автомо-дельности (ESS), свойственная реальной гидродинамической турбулентности.

5. Построен новый класс ортонормированных вейвлет-базисов, полпых в пространстве интегрируемых с квадратом функций, которые в отличие от других известных многомерных вейвлет-базисов, образованы функциями только одного типа, независимо от размерности пространства. Базисные функции являются более изотропными и сохраняют равноправие координатных осей. Сформулирован общий принцип построения несе-парабельных многомерных вейвлет-базисов, определенных на прямоугольной декартовой сетке.

Основные результаты, приводимые в диссертации, опубликованы в следующих работах:

1. Zakharov V.G. Numerical Simulation of Burgers' Equation by Hierarchical Wavelet Bases. The Second International Scientific School-Seminar "Dynamic and Stochastic Wave Phenomena", N.Novgorod-Moscow-N.Novgorod, 21-28 June 1994.

2. Захаров В.Г. Многомерные вейвлет-базисы и моделирование иерархических процессов. Международная конференция "Математическое моделирование процессов обработки материалов", Пермь, 17-19 ноября 1994.

3. Захаров В.Г., Фрик П.Г. Применение вейвлет-апализа к задачам исследования загрязнения окружающей среды. Математическое моделирование систем и процессов, ПГТУ, N.2, Пермь, С.28-42, 1994.

4. Захаров В.Г. Решение уравнения Вюргерса с использованием вейвлет-базисов. Математическое моделирование систем и процессов, ПГТУ, N.3, Пермь, С.24-33, 1995.

5. Nesme-Ribes Е., Frick P., Sokoloff D., Zakharov V., Ribes J.-С., Vigoroux A., Laclar F. Wavelet analysis of the Maunder minimum as recorded in solar diameter data. Comptes Rcndus Acad. Sci . (Paris), 321, Series lib, P.525-532, 1995.

6. Галягин Д.К., Захаров В.Г., Фрик П.Г. Вейвлет-анализ системы Лоренца.Тезисы X зимней школы по механике сплошных сред, Пермь, С.68-69, 1995.

7. Захаров В.Г. Многомерный вейвлет-базис, образованный одним типом функций. Тезисы X зимней школы по механике сплошных сред, Пермь, С.103-104, 1995.

8. Захаров В.Г. Применение вейвлет-базисов для решения уравнения Бюргерса.Тезисы X зимней школы по механике сплошных сред, Пермь, С. 104-105, 1995.

9. Zakharov V. Nonseparablc multidimensional Littlewood-Paley like wavelet bases. Preprint,. Centre de Physique Théorique, Marseille, 1996.

10. Frick P., Nesme-Ribes E., Sokoloff D., Galyagin D., Hoyt, D., Laclare F., Ribes J.-C., Shatten K., Vigouroux A., Zakharov V. Wavelet, analysis of solar activity recorded by sunspot, groups and solar diameter data. SOLERS22 1996 Workshop, National Solar Observatory at Sacramento Peak, Sunspot, New Mexico, June 1721, 1996.

11. Frick P., Galyagin D., Hoyt D., Nesme-Ribes E., Shatten K., Sokoloff D., Zakharov V. Wavelet analysis of solar activity recorded by sunspot groups. Astronomy and Astrophysics, V.328, N.12, P.670-681, 1997.

12. Wertgeim I.I., Zakharov V.G. Numerical simulation of scaling properties of Burgers' turbulene. 11th International Winter School on Continuous Media Mechanics, Perm, 1997.

13. Захаров В.Г., Галягин Д.К., Нем-Риб E., Соколов Д.Д., Фрик П.Г. Вейвлет-анализ солнечной активности. Тезисы конференции "Современные проблемы солнечной цикличности", Санкт-Петербург, 26-30 мая, 1997, С.ЗО.

14. Frick P., Stepanov R., Zakharov V., Sokoloff D. Wavelet analysis on a sphere: an astronomical application. International conference on geometry "in the large". Cherkassy, 1997, September, 8-13.