Анализ структуры нестационарных, коротких и зашумленных сигналов на основе вейвлет-преобразования тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

0034744 и

На правах рукописи

ПАВЛОВ Алексей Николаевич

АНАЛИЗ СТРУКТУРЫ НЕСТАЦИОНАРНЫХ, КОРОТКИХ И ЗАШУМЛЕННЫХ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

01.04.03 - радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Саратов - 2009

2 5 и ЮН 2000

003474413

Работа выполнена на кафедре радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Анищенко Вадим Семенович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Трубецков Дмитрий Иванович доктор физико-математических наук, профессор Осипов Григорий Владимирович доктор физико-математических наук, профессор Бутковский Олег Ярославович

Ведущая организация: Саратовский филиал Института радиотехники

и электроники им. В.А. Котельникова РАН

Защита состоится 11 сентября 2009 г. в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д.212.243.01 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, корп. 3, ауд. 34.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан " -/ " июня 2009 г.

Ученый секретарь , . _ ,,

, ' Аникин В.М.

диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Терминология "вейвлетов" (от англ. wavelet, что в дословном переводе означает "маленькая волна") сформировалась в 80-х годах XX века [Гроссман А., Морле Ж.]. Первоначально данный математический аппарат был предложен в качестве альтернативы классическому спектральному анализу, основанному на преобразовании Фурье. Возникновение теории вейвлетов [Мейер И., Добеши И., Малла С., Жаффар С. и др.] считается одним из важнейших событий в математике за последние десятилетия, поскольку это, пожалуй, единственная новая математическая концепция, которая сразу же после ее появления стала восприниматься в качестве Инструмента прикладных исследований практически во всех естественных науках и многих областях техники.

В настоящее время вейвлеты широко используются при решении задач анализа и синтеза различных сигналов, для обработки изображений, для сжатия больших объемов информации и цифровой фильтрации, для распознавания образов, при изучении сильно развитой турбулентности, при решении некоторых дифференциальных уравнений и т.п. Применения вейвлетов известны в радиофизике, нелинейной динамике, акустике, оптике, физике твердого тела, сейсмологии, динамике жидкостей, биологии и медицине, экономике [Чуй Ч., Кайзер Ж., Хуббард В., Фландрин П., Столниц Э., Вет-терли М., Астафьева Н.М., Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А., Короновский A.A., Храмов А.Е. и др.].

Интерес к новому направлению с момента его появления был очень большим. Число ссылок на источники в сети Интернет, в которых упоминается термин "вейвлет", уже достигло нескольких миллионов. Основной областью применения данного математического аппарата в естествознании является обработка нестационарных (во времени) или неоднородных (в пространстве) случайных процессов. Именно поэтому вейвлет-анализ представляет значительный интерес для радиофизики, так как большинство классических методов цифровой обработки сигналов применимы лишь к процессам с постоянными во времени (или пространстве) характеристиками.

По аналогии с преобразованием Фурье, вейвлет-преобразование сигнала x(t) состоит в его разложении по некоторому базису. Отличие заключается в том, что в качестве базисной выбирается "солитоноподобная", хорошо локализованная и по времени, и по частоте функция "ф(р), обладающая рядом характерных признаков; базис формируется путем ее перемасштабирования И сдвигов вдоль временной оси. Применение локализованных функций позволяет анализировать процессы, характеристики которых меняются во времени, и приводит к двумерной развертке сигнала ж(£), при которой время и частота воспринимаются как независимые переменные.

Важность использования в прикладных задачах базисных функций, отличных от гармонических, обсуждалась на протяжении длительного времени. Еще в 1910 году была предложена первая ортонормированная система функций с компактным носителем [Хаар А.]. В 20-х годах Мандельштам Л.И. отмечает, что для систем с переменными параметрами "разложение Фурье перестает быть целесообразным, и место функций cos и sin должны занять другие функций'. Следующий шаг был сделан в 1946 году [Габор Д.], когда была сформулирована идея "атомов" - неортогонального базиса, построенного с использованием смещенных относительно друг друга функций Гаусса. Сам термин "вейвлет" [Рикер Н.] был предложен в 1940 году. А. Гроссман и Ж. Морле в 80-х годах наделили этот термин новым смыслом, продемонстрировав возможность анализа произвольных сигналов с помощью единственной функции - материнского вейвлета ^(¿^ осуществляя ее перемасштабирования и смещения. Важным шагом стала разработка теории кратномасштабного анализа [Мейер И., Малла С.], предполагающей последовательное "огрубление" содержащейся в данных информации и возможность детального исследования структуры сигналов на разных масштабах наблюдения.

Наряду с анализом нестационарных процессов, вейвлеты широко используются при решении задач распознавания образов [Столниц Э., ДеРоуз Т., Салезин Д.]. Например, они помогают проводить очистку экспериментальных данных от шумов и случайных искажений. В сигналах натурных экспериментов часто встречаются изолированные особенности, которые могу быть связаны как с самой исследуемой динамикой, так и со сбоями аппаратуры или влиянием каких-то внешних факторов. Фильтры, построенные на основе Фурье-преобразования, неэффективны для устранения изолированны особенностей, тогда как цифровая фильтрация с использованием вейвлето позволяет проводить качественную очистку зашумленных сигналов на этап предварительной обработки экспериментальных данных. Широкая облает применения вейвлетов связана с распознаванием близких по форме сигна лов на фоне шума. Примером может служить распознавание речи, когда н основе вейвлет-коэффициентов решается задача идентификации отдельны звуков или слов голосового сообщения, полученного при наличии сильны помех.

Таким образом, вейвлет-преобразование представляет собой мощный ин струмент анализа, применимый к коротким, зашумленным и нестационар ным случайным процессам. Поскольку такие процессы часто регистрируют ся в натурных экспериментах, изучение возможностей этого инструмента развитие методов, базирующихся на вейвлет-преобразовании, является акту альной задачей исследования структуры сигналов. Несмотря на значитель

ные успехи теории вейвлетов и ее многочисленные применения в решении большого числа задач, в настоящее время активно используется лишь часть ее потенциальных возможностей. Многие весьма интересные разработки теоретиков только начинают находить свое применение. До сих пор остается ряд открытых вопросов, относящихся к определению существующих ограничений вейвлет-анализа. Как и любой другой метод цифровой обработки сигналов, вейвлеты имеют определенные недостатки. Известно, например, что за возможность проведения локализованного спектрального анализа, позволяющего осуществлять расчеты мгновенного спектра по коротким участкам сигнала, приходится "расплачиваться" ухудшением спектрального разрешения.

Многие исследователи ограничиваются противопоставлением вейвлет-анализа и других подходов (например, классического спектрального анализа, основанного на преобразовании Фурье). В ряде практических задач такое противопоставление оправдано, если, например, речь идет только об изучении эволюционной динамики мгновенных частот и амплитуд ритмов колебаний [Малла С., Аддисон П., Чуй Ч.]. Тем не менее, значительный интерес вызывают комбинированные подходы, базирующиеся на сочетании вейвлетов с другими методами анализа структуры сигналов. Подобное сочетание позволяет эффективнее решать самые разные задачи - от распознавания образов и количественного описания сложности нестационарных процессов до улучшения характеристик систем связи.

Детальные исследования структуры нестационарных процессов приводят к необходимости модификаций методов обработки временных рядов, которые позволили бы получать более полную информацию об анализируемых сигналах. Такие модификации представляют несомненный интерес при изучении эффектов взаимодействия ритмов колебаний в условиях нестационарных многочастотных режимов динамики, например, при выявлении синхронизации колебаний (если захват мгновенных частот или фаз колебательных процессов происходит лишь на сравнительно небольших отрезках времени) или модуляции колебаний. Для многих сигналов в природе типична нестационарность, приводящая к тому, что характеристики модуляции не являются постоянными и могут демонстрировать существенные изменения во времени. Как следствие, возникает необходимость рассмотрения нестационарных модулированных колебаний, которое должно базироваться на локализованном спектральном анализе [Аддисон П., Ватсон Дж.].

Наряду со случаем нестационарных процессов хорошо известны и другие ограничения классических методов анализа структуры сигналов, например, проблема исследования длительных корреляций в динамике нелинейных систем, если ограниченный объем выборки препятствует проведению оценок

о

закономерностей спада автокорреляционной функции на больших временах. Хорошей альтернативой классическому корреляционному анализу является метод анализа флуктуаций относительно тренда [Пенг К., Хавлин С., Стэнли Г.], но и он оказывается неэффективен, если речь идет о сигналах малой длительности (здесь и далее, говоря о малой длительности, мы будем подразумевать, что она является малой с точки зрения проведения оценок необходимых характеристик в рамках заданной точности). В связи с этим развитие специальных подходов, способных устранить отмеченные недостатки существующих методов анализа длительных корреляций, является актуальной задачей, имеющей как теоретическое, так и практическое значение.

Как уже отмечалось, вейвлет-анализ является эффективным способом идентификации сигналов, например, распознавания речи. Кроме того, во многих приложениях возникает очень близкая задача - потребность изут чать сигналы, характеризующие динамику ансамбля некоторых элементов, и извлекать из этих сигналов информацию о динамике отдельных элементов. Такие задачи могут возникать, например, в активной радиолокации при отслеживании движения группы объектов и измерении меняющегося со временем расстояния до них. Сходная ситуация характерна для пассивной радиолокации, когда проводится регистрация собственного радиоизлучения от нескольких объектов, и радиометрии. Кроме радиофизических систем, задача выделения сигнала отдельного элемента из коллективной динамики малого ансамбля возникает при изучении процессов кодирования информации в нейронных сетях [Левицки М., Летелье Дж., Вебер П.]. Во всех этих примерах существуют похожие проблемы - нужно идентифицировать сигнал отдельного элемента некоторого ансамбля и сделать это в условиях наличия шума большой интенсивности. Применение вейвлетов для эффективного решения данных задач либо в рамках отдельного алгоритма идентификации, либо в сочетании с другими методами распознавания образов является еще одним актуальным направлением теории анализа структуры сигналов.

Вейвлет-преобразование обладает рядом полезных свойств. Одним из них является возможность проводить численное дифференцирование зашум-ленных сигналов путем перехода в пространство вейвлет-коэффициентов. Особенностью этого подхода является то, что производная от сигнала может быть заменена производной базисной функции, заданной в аналитической форме. Это свойство позволяет эффективно решать задачи синтеза. Совместное использование вейвлетов и техники реконструкции динамических систем представляет собой новое направление, позволяющее разрабатывать эффективные методы оценок параметров автоколебательных режимов, что открывает широкие перспективы решения задач передачи информации с применением хаотических несущих сигналов.

Сформулированный круг проблем определяет цель диссертационной работы, которая состоит в развитии и применении специальных методов анализа структуры сигналов, основанных на вейвлет-преобразовании и позволяющих решать задачи исследования сложной динамики колебательных систем в условиях нестационарности, наличия флуктуаций, ограниченного объема выборки и ограниченной информации о режиме функционирования.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Выявить возможности и ограничения спектрального анализа многочастотных колебательных процессов на основе непрерывного вейвлет-преобра-зования в условиях нестационарности.

2. Разработать методики анализа структуры сигналов на основе непрерывного вейвлет-преобразования для изучения эффектов взаимодействия ритмов колебаний нестационарных многочастотных режимов динамики, в частности, позволяющие выявлять эффекты синхронизации колебаний, возникающие на сравнительно небольших участках времени, и модуляции колебаний с меняющимися во времени характеристиками.

3. Выявить возможности и ограничения метода мультифрактального анализа, основанного на непрерывном вейвлет-преобразовании, при исследовании структуры случайных и детерминированных процессов с несколькими различными типами сингулярностей.

4. Установить типичные изменения мультифрактальной динамики последовательностей времен возврата в секущую Пуанкаре, обусловленные эффектом фазовой синхронизации взаимодействующих автоколебательных систем, функционирующих в режиме динамического хаоса.

5. Выявить возможности мультифрактального формализма, основанного на непрерывном вейвлет-преобразовании, как метода корреляционного анализа в условиях ограниченного объема выборки.

6. Разработать новые эффективные методики идентификации сигналов типа последовательности одиночных импульсов на фоне шума большой интенсивности, использующие вейвлет-преобразование.

7. Изучить возможности использования вейвлетов при решении задач исследования динамики на входе пороговых систем по выходному точечному процессу, провести сопоставление с другими методами анализа структуры сигналов.

8. Разработать новый способ детектирования сигналов в системе связи, использующей хаотические несущие сигналы, с применением дискретного вейвлет-преобразования.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

1. Предложена мера когерентности на основе непрерывного вейвлет-

преобразования, позволяющая характеризовать изменения во времени взаимной динамики двух нестационарных колебательных процессов в выбранной полосе частот.

2. Предложен модифицированный метод исследования структуры сигналов - двойной вейвлет-анализ, позволяющий изучать эффекты амплитудной и частотной модуляции колебаний с меняющимися во времени характеристиками.

3. Проведены исследования ошибки идентификации мгновенных частот многочастотных колебательных процессов, базирующейся на непрерывном вейвлет-преобразовании, в зависимости от степени нестационарности и спектрального разрешения.

4. Впервые установлено, что фазовая синхронизация колебаний сопровождается характерными изменениями структуры последовательностей времен возврата в секущую Пуанкаре, включающими уменьшение степени муль-тифрактальности и численных значений показателей Гельдера, характеризующих локальную регулярность данных последовательностей.

5. Установлено наличие общих закономерностей изменения спектра син-гулярностей для случаев хаотической синхронизации автоколебательных систем и стохастической синхронизации переключений в динамике передемпфированного бистабильного осциллятора с внешним воздействием.

6. Впервые показано, что метод мультифрактального анализа, базирующийся на вейвлет-преобразовании, является эффективным способом исследования корреляционных свойств случайных и детерминированных процессов в, случаях, когда малый объем выборки ограничивает надежность проведения оценок на основе стандартного корреляционного анализа.

7. Выявлены условия, при которых применение вейвлетов позволяет решать задачу идентификации сигналов типа последовательности одиночных импульсов более качественно по сравнению со стандартным алгоритмом анализа главных компонент.

8. Предложена методика уменьшения ошибки идентификации сигналов типа последовательности одиночных импульсов, базирующаяся на сочетании вейвлет-анализа и анализа главных компонент.

9. Разработан параметрический метод идентификации импульсных сигналов на основе вейвлет-преобразования, позволяющий снизить ошибку идентификации до значения, близкого к теоретическому минимуму.

10. Выявлены возможности и ограничения использования вейвлетов при анализе динамики пороговых систем с внешним воздействием; показано, что в отсутствие собственной динамики таких систем более эффективное решение задачи идентификации режима хаотических автоколебаний на входе может осуществляться на основе расчета старшего показателя Ляпунова.

11. Разработан новый способ детектирования информационных сигналов в системе защищенной передачи информации, использующей принцип модуляции параметров генератора х^оса и хаотические несущие сигналы, который основан на совместном применении реконструкции динамических систем и дискретного вейвлет-преобразования.

Научно-практическое значение результатов работы: В ходе проведенных исследований был разработан (или модифицирован) ряд специальных методов анализа структуры сигналов, которые позволяют изучать особенности сложной динамики колебательных систем различной природы - радиофизических, оптических, биофизических и т.д. В частности:

• предложен двойной вейвлет-анализ, позволивший обнаружить ряд новых эффектов в сложной динамике биологических систем и предложить новый подход к изучению динамики внутриклеточных процессов (путем его применения совместно с техникой интерференционной микроскопии);

• предложена методика корреляционного анализа, имеющая преимущества по сравнению с классическим подходом в ситуации, когда ограниченная длительность сигнала не обеспечивает возможность проведения достоверных расчетов автокорреляционной функции;

• предложены методики автоматической идентификации импульсных сигналов при наличии помех, позволяющие повысить надежность распознавания спайков нейронных ансамблей при анализе внеклеточных электрических сигналов как необходимого этапа решения задач исследования процессов кодирования информации в нейронных сетях;

• предложен новый принцип детектирования информационных сообщений, передаваемых в хаотическом несущем сигнале для обеспечения защиты системы многоканальной передачи информации от несанкционированного доступа.

Результаты проведенных исследований используются в учебном процессе на физическом факультете Саратовского государственного университета при чтении спецкурса "Анализ временных рядов" и в рамках лабораторных работ специализированного практикума "Методы анализа сложных сигналов". Часть результатов включена в учебное пособие для студентов физического факультета.

Запатентовано устройство многоканальной конфиденциальной передачи информации, использующее новый принцип детектирования информационных сигналов.

Достоверность научных выводов работы основывается на соответствии результатов численных экспериментов и теоретических исследований, на соответствии с результатами, которые в ряде случаев можно получить

другими методами, на устойчивости применяемых методов анализа структуры сигналов к малым изменениям численной схемы, а также на согласованности с существующими теоретическими представлениями.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Для исследования сигналов с нестационарной многотональной модуляцией целесообразно применение метода двойного вейвлет-анализа, в рамках которого временные зависимости мгновенных частот и мгновенных амплитуд колебаний, идентифицируемые после однократного вейвлет-преобра-зования, рассматриваются в качестве анализируемых сигналов для повторного вейвлет-преобразования. Он позволяет получать информацию об изменениях во времени характеристик модуляции при условии, что разность частот модулирующего и модулируемого колебательных процессов превышает спектральное разрешение выбранного вейвлета.

2. Мультифрактальный анализ, базирующийся на непрерывном вейвлет-преобразовании, позволяет изучать корреляционные свойства случайных и детерминированных процессов в ситуации, когда длительность сигнала является недостаточной для проведения оценок закономерностей спада автокорреляционной функции с требуемой точностью. В отличие от классического корреляционного анализа, мультифрактальный формализм обеспечивает возможность рассматривать в несколько раз меньший объем выборки для достижения заданной точности и применим для обработки нестационарных данных.

3. Комбинированный алгоритм автоматического распознавания форм сигналов типа одиночного импульса, предусматривающий совместное применение вейвлет-анализа и метода анализа главных компонент, при наличии помех эффективнее использования этих методов по отдельности с точки зрения погрешности разделения близких по форме импульсов. Дополнительное снижение ошибки автоматической идентификации соответствующих сигналов обеспечивается включением процедуры предварительной фильтрации с подстройкой характеристик фильтра под индивидуальные особенности формы импульсов в качестве составной части вейвлетного метода их распознавания.

4. Использование техники реконструкции динамических систем совместно с дискретным вейвлет-преобразованием в системе защищенной передачи информации, использующей принцип модуляции параметров генератора хаотических колебаний и хаотические несущие сигналы, позволяет осуществлять детектирование нескольких информационных сообщений, одновременно передаваемых в одном несущем сигнале. Наличие только одного генератора хаотических колебаний, расположенного в передающем устройстве, устраняет проблему неидентичности генераторов приемника и передатчика,

являющейся одной из ключевых для систем защищенной передачи информации, реализующих процедуру детектирования на основе эффекта синхронизации колебаний.

5. Предложена методика оценки степени когерентности, основанная на непрерывном вейвлет-преобразовании и позволяющая изучать взаимную динамику колебательных процессов в условиях нестационарности мгновенных частот колебаний.

6. Установлено, что структурные изменения хаотических сигналов, связанные с фазовой синхронизацией, приводят к изменениям спектра сингу-лярностей, вычисленного по последовательностям времен возврата в секущую Пуанкаре, и могут быть диагностированы на основе мультифракталь-ного анализа. Они включают уменьшение значений показателей Гельдера и уменьшение степени мультифрактальности.

7. Показано наличие общих закономерностей в изменении спектра син-гулярносгей при фазовой синхронизации хаоса в динамике взаимодействующих автоколебательных систем и при стохастической синхронизации переключений в динамике передемпфированного бистабильного осциллятора с внешним воздействием.

Совокупность сформулированных положений, методов и результатов следует классифицировать как решение крупной научной проблемы, состоящей в развитии новых методов анализа структуры нестационарных, коротких и зашумленных сигналов.

Апробация работы и публикации. Основные материалы диссертации были доложены на научных конференциях: «Stochaos: Stochastic and Chaotic Dynamics in the Lakes» (Англия, Амблесиде, 1999), «Control of Oscillations and Chaos» (COC'2000, Санкт-Петербург, 2000), «Synchronization of Chaotic and Stochastic Oscillations» (SYNCHRO-2002, Саратов, 2002), «Physics and Control» (PHYSCON, Санкт-Петербург, 2003, 2005), «INTAS-Workshop: Synchronization of Biological Oscillators» (Германия, Потсдам, 2004), «Хаотические автоколебания и образование структур» (ХАОС, Саратов, 1998, 2001, 2004, 2007), «Complex Dynamics and Fluctuations in Biomedical Photonics» (Сан-Хосе, США, 2004, 2006, 2007, 2008, 2009), «First International Work-Conference on the Interplay between Natural and Artificial Computation» (IWI-NAC 2005, Испания, Лас Пальмас, 2005), «Forum of Federation of European Neurosciences Societies» (FENS, Швейцария, Вилларс, 2008), «XXV Dynamics Days Europe 2005» (Германия, Берлин, 2005), «1st BioSim Conference» (Испания, Пальма де Майорка, 2005). «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ» (Саратов, 2001), ежегодной всероссийской научной школе-семинаре «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине - 2008» (Саратов, 2008).

Результаты неоднократно обсуждались на научных семинарах кафедры радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета, научно-образовательного центра REC-006 «Нелинейная динамика и биофизика» (Саратовский государственный университет), центра динамики сложных систем Потсдамского университета (Германия, Потсдам), центра биофизики и сложных систем Датского технического университета (Люнгбю, Дания), группы статистической физики и нелинейной динамики Гумбольтского университета (Германия, Берлин), лаборатории нейродина-мики университета Комплютенсе (Испания, Мадрид).

Материалы диссертации использовались при чтении спецкурса "Анализ временных рядов" студентам кафедры радиофизики и нелинейной динамики СГУ, при подготовке учебного пособия для спецпрактикума: А.Н. Павлов, "Методы анализа сложных сигналов", Саратов: Научная книга, 2008,120 стр.

Часть результатов обсуждалась в 3-х диссертационных работах на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, выполненных под руководством соискателя аспирантами А.Р. Зиганшиным (2005), Д.В. Думским (2005) и А.Н. Тупицыным (2009).

По теме диссертации опубликовано 62 работы (без учета тезисов докладов): 2 главы в монографиях, 1 патент и 59 статей, включая 46 статей в журналах (из них 30 статей в журналах, рекомендованных ВАК РФ для опубликования результатов докторских диссертаций) и 13 статей в сборниках трудов международных конференций.

Результаты работы использованы при выполнении грантов: Министерства образования и науки РФ «Ведущие учебно-научные коллективы России» (2003-2006), Совета по грантам Президента РФ «Ведущие научно-педагогические коллективы России НШ-4319.2006.2» (2005-2007), Королевского общества Лондона (1997-1999), Intas 01-2061 (2002-2005), CRDF и Министерства образования и науки РФ «Научно-образовательный центр "Нелинейная динамика и биофизика" (НОЦ REC-006)» (2000-2007), РФФИ №04-02-16769, госконтрактов с ФЦНТП № 02.512.11.2111, № 02.442.11.7244, № 02.442.11.7181, а также индивидуальных грантов фондов Intas (YSF 99-4050, 1998) и CRDF (Y1-P-06-06, 2003-2006), гранта Президента России для молодых ученых (МК-2512.2004.2, 2004-2005), гранта совместной программы DAAD и Министерства образования и науки РФ "Михаил Ломоносов" (2008).

Личный вклад автора. Во всех работах автор участвовал в постановке задач, принимал активное участие в проведении численных исследований и интерпретации результатов. В работах, выполненных в соавторстве, соискателю принадлежит ведущая роль в разработке и применении методов анализа структуры сигналов на основе вейвлет-преобразования, а также в объяснении и интерпретации рассматриваемых процессов и явлений (за исклю-

чением публикаций, посвященных биологическим приложениям). В публикациях, носящих характер приложений специальных методов анализа структуры сигналов к исследованиям сложной динамики биологических систем, соискатель осуществлял разработку методов анализа и проводил численные исследования. Результаты по мультифрактальному анализу, идентификации импульсных сигналов и исследованию структуры точечных процессов были частично получены совместно с аспирантами А.Р. Зиганшиным и Д.В. Думским, которые защитили диссертации под руководством соискателя, а также аспирантом А.Н. Тупицыным, представившим к защите диссертацию, также выполненную под руководством соискателя. Результаты решения прикладных задач были получены совместно со специалистами из 10 университетов и научных центров Европы и Америки, которые осуществляли постановку биологических приложений методов анализа структуры сигналов, проводили натурные эксперименты и контролировали корректность сделанных выводов по соответствующим задачам, а также с коллективом кафедры биофизики МГУ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации 367 страниц, в том числе 122 страницы рисунков. Список литературы содержит 329 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность работы, определяются цели исследования, ставятся основные задачи, раскрывается научная новизна и научно-практическое значение полученных результатов, формулируются основные положения и результаты, выносимые на защиту.

Первая глава диссертационной работы представляет собой краткое введение в теорию непрерывного вейвлет-преобразования, изложение границ применимости данного математического аппарата на практике и описание предложенных соискателем специальных методик анализа структуры сигналов (мера когерентности, использующая вейвлет-преобразование, двойной вейвлет-анализ).

В отличие от классического спектрального анализа, основанного на преобразовании Фурье и оперирующего с гармоническими функциями, вейвлет-анализ допускает значительное разнообразие выбора базиса, по которому проводится разложение сигнала. В рамках широко используемой интерпретации вейвлет-преобразования как метода "математического микроскопа" можно говорить о том, что выбор солитоноподобной функции -ф(¿), рассматриваемой в качестве базисной, аналогичен заданию разрешения для объектива микроскопа: если выбранное разрешение позволяет увидеть нужные

детали, то вейвлет подходит для целей проводимого исследования. Более того, что немаловажно, последующий выбор объектива с лучшим разрешением уже не дает ничего нового.

В большинстве исследований, целью которых является идентификация мгновенных частот или амплитуд ритмов колебаний, используется обладающий хорошей локализацией вейвлет Морле

где /о - параметр, называемый центральной частотой. После выбора "материнского вейвлета" на его основе формируется базис путем перемасштабирования и смещения данной функции. Непрерывное вейвлет-преобразование сигнала х{Ь) имеет следующий вид:

Одной из основных особенностей данного преобразования является существование локального энергетического спектра и возможность изучать временную динамику мгновенных характеристик нестационарного процесса (мгновенных частот, амплитуд и фаз). Отдельное внимание в тексте диссертации уделяется проблеме нормировки коэффициентов вейвлет-преобра-зования в целях корректной оценки энергий и амплитуд колебательных процессов. Обсуждаются варианты визуализации результатов преобразования в виде так называемых "скелетонов" и "хребтов" поверхности вейвлет-коэффициентов. Чтобы нагляднее представить, как вейвлеты позволяют изучать локальную структуру сигналов, на рис. 1 представлены характерные примеры (случаи переключения частоты и "чирпов" - процессов с монотонным изменением частоты).

Далее обсуждаются границы применимости вейвлет-анализа, знание которых необходимо для контроля достоверности полученных результатов. К числу ограничений вейвлет-преобразования относится наличие краевых эффектов и появление интерференций, если спектральное разрешение не позволяет разделить близко расположенные частоты.

При анализе нестационарных процессов может возникнуть целесообразность модификаций методов исследования структуры сигналов, чтобы извлечь более детальную информацию из экспериментальных временных рядов. Подобные модификации имеют практическую ценность при решении задач исследования синхронизации нестационарных колебательных процессов в условиях многочастотных режимов динамики. Один из стандартных методов изучения взаимной подстройки частот основан на расчете функции

Рис. 1: Анализ процессов с меняющимися во времени характеристиками: переключения частоты (о), сумма линейных "чирпов" (б) (сверху изображены исходные сигналы, снизу - выделенные зависимости мгновенных частот ритмов колебаний)

когерентности или взаимного спектра, но этот подход оказывается неэффективен, если захват частот происходит лишь на отдельных участках экспериментальной записи, а сами частоты демонстрируют существенные вариации во времени, характерные для переходных процессов.

Для изучения нестационарной многочастотной динамики взаимодействующих автоколебательных систем в диссертационной работе предлагается следующая мера когерентности, основанная на вейвлет-преобразовании:

Г2 = тах/еА \Еху(/, ¿)]г

тах/еД Ехх (/, г) шах/ед Еуг,(/, Ь)'

где Ехх(/, ¿) и Еуу{}, £} - плотности энергии коэффициентов вейвлет-преобра-зования исследуемых сигналов х(Ь) и у(Ь), а Еху(/, - взаимная плотность энергии 0 = Введенная мера когерентности явля-

ется функцией времени, принимающей значения в диапазоне [0; 1], которая позволяет отслеживать эволюцию взаимной динамики процессов х{£) и у(£) в выбранном диапазоне частот А. Чем более синхронны ритмы колебаний в этом диапазоне, тем ближе Гд к своему максимальному значению.

Рассматриваемая мера тестировалась на различных примерах нестационарной динамики (переходные процессы в динамике автоколебательных систем). Значительный интерес функция Гд(4) представляет для исследования эффектов синхронизации в сложной динамике биологических систем, где типично наличие нестационарности и переходных процессов, обусловленных адаптацией объектов живой природы к постоянно меняющимся внешним условиям функционирования. Именно в подобных ситуациях наиболее ярко проявляются возможности вейвлет-преобразования как метода локализованного анализа структуры сигналов. Соответствующий пример приводится в приложении.

Другим вариантом динамики при наличии независимых частот может служить модуляция колебаний, которая встречается в функционировании самых разных систем. Наличие нестационарности может приводить к тому, что характеристики модуляции демонстрируют изменения во времени. Вследствие этого требуется рассматривать нестационарные модулированные колебания. Для изучения таких процессов в 1-й главе предложен модифицированный метод исследования структуры сигналов, названный двойным вейвлет-анализом.

Идея метода состоит в следующем. Временные зависимости мгновенной частоты и амплитуды модулируемого ритма колебаний, идентифицируемые после однократного вейвлет-преобразования, рассматриваются как исходные сигналы для еще одного (второго) вейвлет-преобразования, позволяющего детально проанализировать их структуру. Фактически, первое преобразование необходимо для того, чтобы перейти к мгновенным частотам и амплитудам колебательных процессов, а второе преобразование - для детального анализа этих мгновенных характеристик. Такой подход представляет интерес, когда характеристики модуляции меняются во времени.

Метод был протестирован на ряде примеров, включая хаотическую динамику автоколебательных систем, были исследованы возможности и ограничения данного подхода. Он может находить широкое применение при решении различных прикладных задач. В частности, на основе двойного вейв-лет-анализа и интерференционной микроскопии предложен новый подход к исследованию сложной динамики внутриклеточных процессов. В работах, проводимых совместно с коллективами из МГУ и Датского технического университета, было впервые продемонстрировано и количественно охарактеризовано взаимодействие между отдельными процессами в форме амплитудной и частотной модуляции колебаний и высказаны предположения о возможном объяснении наблюдаемых эффектов.

Во второй главе диссертационной работы представлены основы муль-тифрактального анализа, базирующегося на непрерывном вейвлет-преобра-зовании. Обсуждается возможность привлечения данного математического аппарата, для изучения эффектов синхронизации в динамике автоколебательных систем. Показывается, что мультифрактальный формализм является эффективным методом корреляционного анализа коротких и нестационарных процессов.

Теория мультифракталов широко используется для описания свойств самоподобия и сложного скейлинга, наблюдаемых в самых разных физических ситуациях. Важными представителями мультифракталов служат многие сигналы, регистрируемые в натурных экспериментах, и для целого ряда практических задач несомненную ценность представляет наличие строгого

математического подхода к анализу сложной структуры процессов различной природы.

Известно несколько попыток расширить концепцию мультифракталов на случай сигналов. Одна из них основана на методе структурных функций, который достаточно часто использовался разными исследователями, особенно при изучении сильно развитой турбулентности. В начале 90-х годов был предложен более совершенный метод "максимумов модулей вейвлет-лреобразования" [Мьюзи Ж., Бакри Э., Арнеодо А.], имеющий ряд существенных преимуществ. Существует мнение, что данный подход является наиболее мощным в настоящее время методом статистического описания структуры неоднородных процессов.

В рамках мультифрактального анализа исследуется локальная регулярность сигналов с помощью показателей Гельдера, а статистическое описание осуществляется в терминах спектра сингулярностей. Вычисление показателей Гельдера может производиться путем анализа степенного поведения коэффициентов вейвлет-преобразования, однако в теории мультифракталов предпочитают осуществлять расчеты на основе статистических функций, которые обеспечивают более надежные оценки вычисляемых характеристик. На первом этапе проводится расчет вейвлет-преобразования и выделение скелетона, на втором этапе строятся статистические функции и вычисляются скейлинговые экспоненты мультифрактального анализа, а на их основе -показатели Гельдера. Данный анализ часто называют методом мультифрактального формализма, подразумевая под этим термином подход, в рамках которого спектр сингулярностей определяется с помощью преобразования Лежандра. В диссертации обсуждаются возможности и ограничения данного метода. Отмечается возможность анализировать процессы с несколькими типами сингулярного поведения (однако в результате будет получена только верхняя огибающая истинного спектра). В целях повышения точности расчета спектра сингулярностей предлагается исключить из рассмотрения линии локальных экстремумов вейвлет-преобразования, обрывающиеся на малых масштабах.

Рассмотрено несколько примеров применения мультифрактального анализа. В качестве одного из них проводилось его тестирование с точки зрения возможности диагностики известного явления синхронизации хаоса в динамике взаимодействующих автоколебательных систем. Данное взаимодействие отражается в структуре характерных временных интервалов, таких как времена возврата в секущую Пуанкаре. Согласно ряду работ [Афраймо-вич B.C., Заславский Г.М. и др.], распределение времен возврата динамической системы может характеризоваться мультифрактальными свойствами.

В ходе исследований, которые проводились на модели двух взаимодей-

ствующих систем Ресслера, было установлено, что при фазовой синхронизации хаотических колебаний происходит уменьшение значений показателей Гельдера и ширины спектра сингулярностей, вычисленных по последовательностям времен возврата. В рассмотренном примере (рис. 2) синхронизация хаоса может интерпретироваться как эффект потери мультифракталь-ности в хаотической динамике.

Рис. 2: Изменения спектра сингулярностей (а) и значений показателя Гельдера (б) при фазовой синхронизации хаотических колебаний (черные кружки соответствуют синхронному режиму, белые - несинхронному)

Более детальные исследования на самых разных модельных системах показали, что существует набор характерных изменений структуры последовательностей времен возврата, который включает: уменьшение степени мультифрактальности, понижение значений показателей Гельдера, уменьшение различий между гельдеровскими показателями, характеризующими локальную регулярность последовательностей времен возврата для каждой из взаимодействующих систем. Такие изменения проиллюстрированы для связанных систем Лоренца и других моделей. Далее было исследовано влияние шума на мультискейлинговую структуру последовательностей времен возврата для различных режимов динамики и отмечено сходство эффектов при хаотической синхронизации автоколебательных систем и стохастической синхронизации переключений в динамике передемпфированного бистабиль-ного осциллятора с внешним воздействием.

С точки зрения практического применения важным аспектом является возможность использования мультифрактального формализма как альтернативного метода корреляционного анализа. Гельдеровские показатели несут информацию о корреляционных свойствах сигнала, а их расчет может проводиться по коротким и нестационарным процессам. В частности, на примере винеровского случайного процесса иллюстрируется, что расчет автокорреляционной функции (АКФ) по малой выборке приводит к существенному разбросу оценок закономерностей спада корреляций, который на порядок больше, чем для мультифрактального анализа.

Проводится сопоставление результатов мультифрактального анализа с расчетами автокорреляционной функции для процесса Орнштейна-Уленбека. На рис. 3,о изображена теоретически ожидаемая нормированная АКФ и результаты ее расчета по выборочным функциям длительностью 3000 точек. Наличие сравнительно короткой выборки (с точки зрения достоверной оценки закономерностей поведения АКФ) приводит в данном случае к значительным погрешностям при попытке аппроксимировать закон спада корреляций по рассчитанным оценочным характеристикам, особенно в области больших значений т.

Рис. 3: Расчет АКФ по реализациям процесса Орнштейна-Уленбека (сплошная линия) и теоретически ожидаемая зависимость (пунктир) (а); относительная ошибка определения характеристик для классического корреляционного анализа (черные кружки) и метода мультифрактального формализма (белые кружки) в зависимости от числа точек анализируемого временного ряда (б)

На рис. 3,6 проводится сопоставление классического корреляционного анализа и метода мультифрактального формализма с точки зрения дисперсии оценок вычисляемых характеристик. Для представления результатов на одном графике приводятся относительные погрешности расчета скорости спада АКФ и показателей Гельдера в зависимости от длительности выборки (результат усреднения по 200 реализациям процесса Орнштейна-Уленбека для области т > 100).

Относительная погрешность расчета оцениваемых характеристик в случае мультифрактального анализа в несколько раз (иногда на порядок) меньше, чем для классической АКФ. Таким образом, метод мультифрактального анализа, базирующийся на вейвлет-преобразовании, может рассматриваться в качестве инструмента исследования корреляционных свойств в случаях, когда небольшой объем выборки экспериментальных данных ограничивает надежность проведения оценок на основе стандартного корреляционного анализа.

Аналогичные выводы можно сделать и для динамики детерминирован-

ных систем. В частности, сопоставление результатов корреляционного анализа последовательностей времен возврата в секущую Пуанкаре для хаотических аттракторов ряда модельных систем позволило убедиться в том, что для достижения сопоставимой погрешности применение метода муль-тифракталыюго формализма, основанного на вейвлет-преобразовании, позволяет ограничиться существенно меньшим объемом выборки, чем расчет огибающей АКФ.

Третья глава диссертационной работы посвящена проблеме идентификации сигналов типа последовательности одиночных импульсов при наличии помех с помощью вейвлетов. Соответствующие исследования были "индуцированы" работами по изучению процессов кодирования информации в нейронных сетях. Для того, чтобы проводить исследование генерируемого нейронами информационного кода на основе экспериментальных данных (записей внеклеточного электрического потенциала), необходимо вначале отсортировать спайки, установив, с каким нейроном ассоциируется тот или иной потенциал действия. Предварительный этап изучения процессов кодирования информации фактически сводится к необходимости решения радиофизической задачи о выделении сигнала из смеси сигнала и шума и об идентификации импульсов, имеющих незначительные различия, в присутствии помех. Отметим, что похожие задачи возникают и непосредственно в радиофизике, например, в радиолокации (при отслеживании движения группы объектов). Сходная проблема возникает при распознавании речи и выделении голосовых сообщений в условиях сильных помех. Поэтому разрабатываемые методы идентификации имеют широкую область применения, и в диссертации рассматривается достаточно общая терминология сигналов типа последовательности одиночных импульсов.

Теоретически, задача состоит в том, чтобы из экспериментальных данных выделить несколько последовательностей совпадающих по форме импульсов, каждая из которых, предположительно, генерируется каким-то одним элементом малого ансамбля. На практике эта задача является технически очень сложной из-за присутствия помех. К числу наиболее эффективных методов решения данной задачи относятся анализ главных компонент (АГК) и метод на основе вейвлет-преобразования, так называемый "вейвлет-ный классификатор импульсов" (ВКИ). Проводится сопоставление этих методов и сформулированы условия, при которых целесообразно пользоваться тем или иным подходом. Принципиальным моментом является их различная чувствительность к частотному диапазону флуктуаций. Например, меняя частоту среза НЧ-фильтра, можно существенно уменьшить ошибки идентификации для методов, основанных на вейвлет-преобразовании, тогда как на результаты классического метода АГК такая фильтрация повлияет

в значительно меньшей степени.

В диссертации предложены два новых способа решения задачи распознавания сигналов импульсного типа при наличии помех. Идея первой методики состоит в построении комбинированного алгоритма, предполагающего совместное применение вейвлетов и АГК. Главным недостатком распознавания образов на основе вейвлетов является сложность выбора характеристик, поскольку в результате дискретного преобразования получается набор из большого числа коэффициентов, и из общих соображений непонятно, какие из них выбирать, чтобы решить задачу идентификации сигнала. Для анализа главных компонент такой проблемы не существует, хотя этот подход обладает меньшими возможностями. Поэтому главная идея предлагаемого способа состояла в том, чтобы избавить вейвлетный метод распознавания ог его главного недостатка - необходимости выбора характеристик из большого набора.

Первый шаг предлагаемого алгоритма состоит в нахождении типичных форм сигналов. С этой целью применяется обычный метод АГК для всех импульсов, полученных в эксперименте. Затем проводится усреднение форм импульсов в малой окрестности центра каждого кластера. Второй шаг предполагает проведение вейвлет-анализа найденных усредненных форм сигналов и поиск коэффициентов вейвлет-преобразования, которые наилучшим образом показывают различия между ними. Иными словами, коэффициенты выбираются не произвольно, а с учетом индивидуальных особенностей конкретных форм импульсов. На третьем шаге выбранные вейвлет-коэффициенты вычисляются для всех импульсов из экспериментальных данных, и полученные значения рассматриваются в качестве характеристик для идентификации. В результате использования такого алгоритма кластеры лучше "отделяются" друг от друга. Применение комбинированного подхода как к тестовым сигналам, так и к экспериментальным данным подтвердило, что он позволяет уменьшить ошибку распознавания сигналов.

Для более качественного решения задачи идентификации сигналов был предложен еще один метод, главная идея которого состояла во включении частоты среза фильтра в качестве одного из параметров вейвлет-преобразования. Поэтому этот метод был назван параметрическим вейвлет-анализом с адаптивной фильтрацией (ПВАФ). В предположении нормального распределения шума были проведены аналитические расчеты и получена приближенная формула для минимальной ошибки идентификации. Показано, что для обеспечения минимальной ошибки необходимо добиться максимума параметра разделения кластеров Д, который прямо пропорционален расстоянию между центрами кластеров в пространстве вейвлет-коэффициентов и обратно пропорционален стандартному отклонению измерительного шума.

Алгоритм ПВАФ включает процедуру предварительной фильтрации непосредственно в качестве составной части методики выбора оптимальных характеристик для разделения импульсов по группам. На тестовых примерах и в ходе анализа экспериментальных данных продемонстрировано преимущество разработанного подхода по сравнению с известными методами, такими как АГК и ВКИ. В частности, на тестовых примерах было показано, что метод ПВАФ позволяет снизить ошибку автоматического разделения сигналов по группам до значения, близкого к теоретическому минимуму. Один из таких примеров представлен на рис. 4.

Анализ главных компонент

п ошибка = 5.5%

» . .

-10 12 масштабные коэффициенты

Вейвлет-анапиз

и/ ошибка »

Итк. '

600 400 200

частота ерем фильтра, Гц

веГтяет коэффициенты Параметрический вейвлет анализ

Л

ошибка" 0.7%

к

•0.15 -0.1 4105

вейвлет коэффициенты

Рис. 4: Формы всех импульсов, которые необходимо разделить (а), зависимость параметра разделения кластеров от частоты среза фильтра нижних частот (б), гистограммы вычисленных характеристик для разных методов: анализ главных компонент (в), метод ВКИ (г) и предложенный метод ПВАФ (<?)

Из рис. 4,6 видно, что параметр разделения кластеров Д имеет ярко выраженный пик. При фильтрации данных с соответствующей частотой разница между импульсами в пространстве вейвлет-коэффициентов идентифицируется наиболее четко. На рис. 4,б,г,¿показаны гистограммы характеристик, вычисленных с помощью разных алгоритмов. Предложенный метод ПВАФ позволил снизить величину ошибки до примерно 0.7%. Согласно теоретическим результатам (в предположении нормального распределения шума), для максимального значения Д = 2.39 минимум величины ошибки составляет примерно 0.3%.

В четвертой главе диссертационной работы рассматривается проблема изучения особенностей динамики колебательных систем в условиях ограничения информации, доступной для анализа. Вначале проводится анализ структуры точечных процессов в рамках следующей задачи: если точеч-

ный процесс (сигнал на выходе порогового устройства) служит отражением сложного режима колебаний некоторой динамической системы с непрерывным временем, то можно ли идентифицировать состояние данной системы на основе информации, которая содержится в точечном процессе?

Рассмотрены два случая: пороговое устройство в отсутствие собственной динамики и при наличии подпороговых колебаний. Для первого случая были выбраны простейшие модели, одной из которых является модель пересечения порога, предполагающая запись интервалов времени между пересечениями фиксированного уровня входным сигналом. Для аттрактора динамической системы эти интервалы соответствуют временам возврата в секущую плоскость. Анализ динамики точечных процессов может проводиться на основе вейвлет-преобразования, однако привлечение вейвлетов не позволяет однозначно идентифицировать режим динамики на входе порогового устройства, и результаты анализа в значительной степени зависят от выбора порогового уровня. Смещение этого уровня приводит к довольно существенному изменению спектра мощности. В результате на основе вейвлет-преобразования удается выявить наличие характерных масштабов, но нельзя утверждать, что регистрируемые при различных пороговых уровнях точечные процессы соответствуют одному и тому же входному сигналу. Для осуществления подобной идентификации можно воспользоваться расчетами старшего ляпуновского показателя. В работе представлен метод вычисления показателя Ляпунова по точечным процессам, основанный на аппроксимации усредненной мгновенной частоты и позволяющий существенно снизить погрешность за счет уменьшения ошибок ориентации векторов. Сформулированы условия, при которых метод обеспечивает достоверные расчеты (среднее время возврата не должно превышать характерный временной масштаб, приближенно соответствующий времени Ляпунова).

Ситуация меняется, если рассматриваются пороговые системы, демонстрирующие собственную динамику (подпороговые колебания). Теперь уже расчеты динамических характеристик, таких как ляпуновские показатели, будут приводить к неправильной интерпретации результатов, так как даже при периодическом внешнем воздействии отклик может существенно варьироваться. Соответствующий пример для динамики нейрона приводится в диссертации. Применение двойного вейвлет-анализа в этом случае позволяет проводить исследование структуры подпороговых колебаний. Ценность привлечения вейвлетов важна потому, что для нейронов характерны короткие, нестационарные процессы, связанные с адаптацией, когда при одном и том же воздействии активность нейрона является максимальной вначале, но отклик быстро меняется. На основе исследования стабильности частоты отклика можно решать задачи классификации нейронов с точки зрения их

фильтрационных свойств. В диссертации отмечается, что многие нейроны можно рассматривать как фильтры с различными частотными характеристиками. В частности, были выявлены три основные варианта поведения: а) НЧ-фильтрация внешнего воздействия, б) существование "оптимальной" частоты воздействия (или полосовая фильтрация), и в) случай слабой зависимости от частоты воздействия.

Далее рассматривается другая проблема - применение хаотических несущих сигналов для защиты передаваемой информации. Она также предполагает решение задачи исследования сложных режимов динамики в условиях ограниченной информации о динамической системе, генерирующей анализируемые колебательные процессы. Сама по себе проблема разработки защищенных систем связи имеет длительную историю. Один из новых способов ее решения состоит в применении для передачи сообщений широкополосных хаотических сигналов. Интенсивные исследования в этом направлении ведутся с начала 90-х годов [Куомо K.M., Оппенгейм A.B. и др.]. В самых первых работах было предложено использовать явление хаотической синхронизации для выделения информационного сигнала из хаотического несущего. Предлагался ряд конкретных способов решения проблемы, основанных на применении идентичных генераторов хаоса в передающем и приемном устройствах - хаотическая маскировка, модуляция параметров. Однако методы, основанные на явлении синхронизации, имеют ряд принципиальных недостатков, наиболее существенным из которых является требование идентичности генераторов хаотических колебаний в приемнике и передатчике. Если параметры соответствующих генераторов будут отличаться более чем на 1-2%, то данные методы становятся неэффективными. Разработка новых, более "практичных" способов защиты информации, передаваемой по каналу связи, на протяжении многих лет проводится отечественными учеными (можно отметить, в частности, работы по данной тематике группы A.C. Дмитриева).

Важным обстоятельством для дальнейшего прогресса в области использования динамического хаоса в коммуникациях является формулировка иных принципов модуляции и детектирования информационных сообщений - чем более разнообразными являются подходы к решению данной проблемы, тем более высокая степень защиты передаваемых сообщений может быть обеспечена. В диссертации предлагается альтернативный принцип детектирования сообщений, передаваемых в хаотическом несущем сигнале: сочетание техники реконструкции динамических систем и дискретного вейвлет-преобразования. Использование реконструкции для детектирования сообщений позволяет определять текущие значения параметров генератора хаотических колебаний, путем модуляции которых передаются информацион-

ные сигналы. Дискретные вейвлеты помогают свести систему обыкновенных дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений для определения параметров передающего генератора (решая при этом одну из технических проблем, связанных с необходимостью дифференцирования зашумленных сигналов). Одним из достоинств теории вейвлетов является возможность устранения некорректности операции дифференцирования зашумленных временных рядов путем перехода в пространство вейвлет-коэффициентов и замены производной от сигнала на производную от вей-влета. Это позволяет существенно снизить ошибки детектирования.

По сравнению с использованием техники реконструкции в том варианте, который был известен ранее, подход, предлагаемый в данной диссертационной работе, обеспечивает не только быстрые вычисления, но и значительно более высокую помехоустойчивость. Получен патент на устройство защищенной передачи информации. Один из примеров работоспособности метода для случая передачи графической информации представлен на рис. 5. В данном примере в одном несущем передавались три сигнала, содержащих информацию об оттенках трех цветов, формирующих цветное изображение.

Рис. 5: Передача графической информации (цветное изображение): передаваемое изображение (о), изображение в канале связи (б), восстановленное изображение (в)

В приложении рассматривается применение вейвлет-анализа к исследованиям динамики нефронов - структурных элементов почки. С точки зрения нелинейной динамики нефрон представляет собой интересный объект, для которого переход от регулярного режима функционирования к хаотическому наблюдается при изменении состояния организма от нормы к гипертонии, и, следовательно, изучение проблемы гипертонии на микроскопическом уровне структурных элементов почки может представлять собой одно из практических приложений теории нелинейных колебаний.

Почечная авторегуляция кровотока на уровне отдельных нефронов включает два механизма, которые приводят к колебаниям с двумя независимыми

частотами - быстрый ритм, обусловленный сокращением сосудов, и медленный ритм, обусловленный задержкой в цепи обратной связи. В рамках исследований, проводившихся совместно с ведущими специалистами в области почечной авторегуляции из университетов Дании и США, с применением непрерывного вейвлет-преобразования (в том числе, методов, предложенных в данной диссертационной работе) удалось обнаружить, что при гипертонии:

- ослабляется эффект синхронизации колебаний взаимодействующих нефронов: полная синхронизация, наблюдавшаяся при нормальном артериальном давлении, сменяется эффектом частичной синхронизации;

- усиливаются эффекты амплитудной/частотной модуляции миогенной динамики более медленным ритмом колебаний; при этом сам факт наличия частотной модуляции впервые выявлен на основе вейвлет-анализа.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложена мера когерентности на основе непрерывного вейвлет-преобразования, позволяющая изучать взаимную динамику колебательных процессов в выбранном частотном диапазоне. Данная мера применима для анализа нестационарных колебательных режимов в условиях значительных изменений во времени мгновенных частот колебаний.

2. Предложен двойной вейвлет-анализ, предусматривающий использование временных зависимостей мгновенных частот и мгновенных амплитуд колебаний (идентифицируемых после однократного вейвлет-преобразования) в качестве исходных сигналов для второго вейвлет-преобразования. Данный метод позволяет детально исследовать эффекты нестационарной многотональной модуляции. Применение двойного вейвлет-анализа позволило, в частности, впервые обнаружить и количественно охарактеризовать эффекты взаимодействия ритмических процессов во внутриклеточной динамике.

3. Выявлены возможности и ограничения мультифрактального анализа, основанного на непрерывном вейвлет-преобразовании. Показано, что в целях повышения точности расчета спектра сингулярностей по временному ряду на основе метода мультифрактального формализма целесообразно исключить из рассмотрения линии локальных экстремумов вейвлет-преобразования, обрывающиеся на малых масштабах.

4. Установлено, что при фазовой синхронизации хаотических автоколебаний в динамике взаимодействующих систем происходят характерные изменения в структуре последовательностей времен возврата в секущую Пуанкаре, которые состоят в уменьшении степени мультифрактальности, уменьшении численных значений показателей Гельдера, характеризующих локальную регулярность сигналов, устранении различий скейлинговых характеристик режимов динамики каждой системы. Эффект уменьшения сте-

пени мультифрактальности (вплоть до перехода к монофрактальной динамике) наблюдается и при стохастической синхронизации переключений в динамике передемпфированного бистабильного осциллятора с внешним воздействием.

5. Мультифрактальный анализ, использующий вейвлет-преобразование, представляет собой эффективный метод исследования корреляционных свойств случайных и детерминированных процессов. Он имеет преимущества по сравнению с расчетом автокорреляционной функции при обработке сигналов малой длительности. Применение вейвлетов в качестве составной части данного метода позволяет решать задачи корреляционного анализа нестационарных случайных процессов.

6. Предложена методика уменьшения ошибки идентификации импульсных сигналов за счет специального выбора коэффициентов вейвлет-преобра-зования и совместного применения вейвлст-анализа и стандартного алгоритма АГК. Показано, что предложенная методика снижает ошибку идентификации импульсов по сравнению с использованием этих подходов по отдельности.

7. Предложен параметрический метод автоматической сортировки импульсных сигналов (параметрический вейвлег-анализ с адаптивной фильтрацией). Принципиальной особенностью метода является то, что он предполагает подстройку характеристик фильтра под индивидуальные особенности формы импульсов. Алгоритм ПВАФ включает процедуру предварительной фильтрации непосредственно в качестве составной части методики выбора оптимальных характеристик для разделения импульсов по группам. На основе тестовых исследований и анализа экспериментальных данных продемонстрировано преимущество разработанного подхода по сравнению с известными методами, такими как АГК и ВКИ. Показано, что предлагаемый подход позволяет снизить ошибку автоматической идентификации форм сигналов до значения, близкого к теоретическому минимуму.

8. При изучении хаотических режимов автоколебаний на входе порогового устройства, не имеющего собственной динамики, по точечному процессу вейвлет-преобразование не позволяет надежно решать задачу идентификации режима динамики при варьировании величины порога. Соответствующая идентификация может проводиться на основе расчета старшего показателя Ляпунова, для повышения точности оценки которого целесообразно применять подход, основанный на аппроксимации усредненной мгновенной частоты. В этом случае задача идентификации может быть решена при условии, что среднее значение времени возврата не превышает характерный временной масштаб, приближенно соответствующий времени Ляпунова. При изучении пороговых систем, обладающих собственной динами-

кой, непрерывное вейвлет-преобразование позволяет получать информацию о подпороговых колебаниях в рамках метода двойного вейвлет-анализа.

9. Предложен метод детектирования информационных сигналов в системе защищенной многоканальной передачи информации, использующей хаотические несущие сигналы и принцип модуляции параметров генератора хаоса для передачи информационных сообщений. Данный метод основан на применении реконструкции динамических систем и дискретного вейвлет-преобразования. Его достоинством является наличие только одного генератора хаотических сигналов, расположенного в передающем устройстве, в связи с чем отсутствует проблема неидентичности генераторов приемника и передатчика, которая существенно влияет на эффективность систем связи, использующих эффект синхронизации хаотических колебаний.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Главы в монографиях

1. Janson, N. В. Global reconstruction: application to biological data and secure communication / N. B. Janson, A. N. Pavlov, V. S. Anishchenko // Chaos and its reconstruction ; ed. by Gouesbet G., Meunier-Guttin-Cluzel S. - New York: Novascience publishers. - 2003. - P. 287-317.

2. Brazhe, A. R. Interference microscopy for cellular studies / A. R. Brazhe, N. A. Brazhe, A. N. Pavlov. G. V. Maksimov, E. Mosekilde, О. V. Sosnov-tseva // Handbook of research on systems biology applications in medicine.

- Hershey: IGI Global. - 2009. - Chapter 37. - P. 653-669.

Статьи

3. Павлов, A. H. Реконструкция динамических систем / A. H. Павлов. Н. Б. Янсон, В. С. Анищенко // Радиотехника и электроника. - 1999.

- Т. 44, вып. 9. - С. 1075-1092.

4. Янсон, Н. Б. Глобальная реконструкция по нестационарным данным / Н. Б. Янсон, А. Н. Павлов, Т. Капитаниак, В. С. Анищенко // Письма в ЖТФ. - 1999. - Т. 25, вып. 10. - С. 74-81.

5. Павлов, А. Н. Реконструкция динамических систем по сигналам малой длительности / А. Н. Павлов. Н. Б. Янсон, Т. Капитаниак, В. С. Анищенко // Письма в ЖТФ. - 1999,- Т. 25, вып. 11. - С. 7-13.

6. Pavlov, А. N. Extracting dynamics from return times / A. N. Pavlov. E. Mosekilde, V. S. Anishchenko // Stochaos: stochastic and chaotic dynamics in the lakes, AIP Conf. Proc. ; ed. by Broomhead D. S., Luchinskaya E. A., McClintock P. V. E., Mullin T. - 1999. - № 502. - P. 611616.

7. Павлов, А. H. Вычисление старшего ляпуновского показателя по последовательности времен возврата: возможности и ограничения / А. Н. Павлов, В. С. Анищенко // Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика. - 1999. - Т. 7, № 4. - С. 59-74.

8. Pavlov, А. N. Extracting dynamics from threshold-crossing interspike intervals: possibilities and limitations / A. N. Pavlov, О. V. Sosnovtseva, E. Mosekilde, V. S. Anishchenko // Phys. Rev. E. - 2000. - Vol. 61, №5,-P. 5033-5044.

9. Pavlov, A. N. Diagnostic of cardio-vascular disease / A. N. Pavlov. N. B. Janson, V. S. Anishchenko, V. I. Gridnev, P. Ya. Dovgalevsky // Chaos, Solitons and Fractals. - 2000. - Vol. 11, № 5. - P. 807-814.

10. Павлов, A. H. Определение динамических характеристик хаотических колебаний при анализе точечных процессов / А. Н. Павлов, В. С. Анищенко // Письма в ЖТФ. - 2000. - Т. 26, вып. 15. - С. 58-64.

11. Анищенко, В. С. Сравнительный анализ методов классификации состояния сердечно-сосудистой системы при стрессе / В. С. Анищенко, Н. Б. Игошева, А. Н. Павлов, И. А. Хованов, Т. Якушева // Биомедицинская радиоэлектроника. - 2000. - № 2. - С. 24-37.

12. Pavlov, А. N. Interspike and interburst intervals: Nonlinear dynamics approach / A. N. Pavlov. E. V. Silantyeva, E. S. Sof'yina, V. S. Anishchenko // Control of oscillations and chaos (COC'2000), Proc. of the Int. Conf. ; ed. by Chernousko F. L., Fradkov A. L. - 2000. - Vol. 3. - P. 445-448.

13. Pavlov, A. N. Chaotic dynamics from interspike intervals / A. N. Pavlov. О. V. Sosnovtseva, E. Mosekilde, V. S. Anishchenko // Phys. Rev. E. -2001. - Vol. 63, № 3. - P. 036205.

14. Pavlov, A. N. Scaling features of texts, images and time series /"A. N. Pavlov. W. Ebeling, L. Molgedey, A. R. Ziganshin, V. S. Anishchenko // Physica A. - 2001. - Vol. 300. - P. 310-324.

15. Павлов, A. H. Мультифрактальный анализ временных рядов / А. H. Павлов, А. Р. Зиганшин, В. С. Анищенко // Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика. - 2001. - Т. 9, № 3. - С. 39-53.

16. Pavlov, А. N. Multiscality in the dynamics of coupled chaotic systems / A. N. Pavlov. О. V. Sosnovtseva, A. R. Ziganshin, N. H. Holstein-Rathlou, E. Mosekilde // Physica A. - 2002. - Vol. 316. - P. 233-249.

17. Sosnovtseva, О. V. Bimodal oscillations in nephron autoregulation / О. V. Sosnovtseva, A. N. Pavlov, E. Mosekilde, N.-H. Holstein-Rathlou // Phys. Rev. E. - 2002. - Vol. 66. - P. 061909.

18. Pavlov, A. N. Scaling features of multimode motions in coupled chaotic oscillators / A. N. Pavlov, О. V. Sosnovtseva, E. Mosekilde // Chaos,

Solitons and Fractals. - 2003. - Vol. 16. - P. 801-810.

19. Pavlov, A. N. Return times dynamics: role of the Poincare section in numerical analysis / A. N. Pavlov. D. V. Dumsky // Chaos, Solitons and Fractals. - 2003. - Vol. 18. - P. 795-801.

20. Павлов, A. H. Мультифрактальный анализ хаотической динамики взаимодействующих систем / А. Н. Павлов. О. В. Сосновдева, А. Р. Зиган-шин // Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика. - 2003. - Т. 11, № 2. - С. 39-54.

21. Sosnovtseva, О. V. Synchronization phenomena in multimode dynamics of coupled nephrons / О. V. Sosnovtseva, A. N. Pavlov, E. Mosekilde, N.-H. Holstein-Rathlou // Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика. -

2003. - Т. И, № 3. - С. 133-147.

22. Павлов, А. Н. Динамика времен возврата в зависимости от выбора секущей Пуанкаре / А. Н. Павлов, Д. В. Думский // Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика. - 2003. - Т. И, № 6. - С. 65-74.

23. Sosnovtseva, О. V. Bimodal dynamics of nephron autoregulation / О. V. Sosnovtseva, A. N. Pavlov. E. Mosekilde, N.-H. Holstein-Rathlou // Physics and Control (PHYSCON-2003), Proc. of the Int. Conf. - 2003. -P. 283-288.

24. Sosnovtseva, О. V. Double-wavelet approach to study frequency and amplitude modulation in renal autoregulation / О. V. Sosnovtseva, A. N. Pavlov, E. Mosekilde, N.-H. Holstein-Rathlou, D. Л. Marsh // Phys. Rev. E. - 2004. - Vol. 70. - P. 031915.

25. Думский, Д. В. Обусловленные стрессом изменения динамики артериального кровяного давления белых крыс / Д. В. Думский, О. А. Климова, А. Н. Павлов // Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика. -

2004. - Т. 12, № 1-2. - С. 26-39.

26. Павлов, А. Н. Применение двойного вейвлет-анализа для исследования эффектов модуляции в динамике нефронов / А. Н. Павлов. О. В. Сосновдева // Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика. - 2004. - Т. 12, № 6. - С. 105-117.

27. Pavlov, А. N. Multimode dynamics of arterial blood pressure in healthy rats and its multifractal characterization / A. N. Pavlov, D. V. Dumsky, A. R. Ziganshin, O. A. Klimova, V. S. Anishchenko // Complex dynamics, fluctuations, chaos and fractals in biomedical photonics , Proc. of SPIE ; ed. by Tuchin V. V. - 2004. - Vol. 5330. - P. 66-73.

28. Sosnovtseva, О. V. Interference microscopy under double-wavelet analysis: a new tool to studying cell dynamics / О. V. Sosnovtseva, A. N. Pavlov. N. A. Brazhe, A. R. Brazhe, L. A. Erokhova, G. V. Maksimov, E. Mosekilde // Physical Review Letters. - 2005. - Vol. 94. - P. 218103.

29. Marsh, D. J. frequency encoding in renal blood flow regulation / D. J. Marsh,

0. V. Sosnovtseva, A. N. Pavlov. K.-P. Yip, N.-H. Holstein-Rathlou // American Journal of Physiology (Regul. Integr. Сотр. Physiol.). - 2005.

- Vol. 288. - P. R1160-R1167.

30. Sosnovtseva, О. V. Double-wavelet approach to studying the modulation properties of nonstationary multimode dynamics / О. V. Sosnovtseva, A. N. Pavlov, E. Mosekilde, N.-H. Holstein-Rathlou, D. J. Marsh // Physiological Measurement. - 2005. - Vol. 26. - P. 351-362.

31. Pavlov, A. N. Multifractal characterization of blood pressure dynamics: stress-induced phenomena / A. N. Pavlov. A. R. Ziganshin, O. A. Klimova // Chaos, Solitons and Fractals. - 2005. - Vol. 24. - P. 57-63.

32. Pavlov, A. N. Separation of extracellular spikes: when wavelet based methods outperform the principle component analysis / A. N. Pavlov, V. A. Makarov,

1. Makarova, F. Panetsos // Lecture Notes in Computer Science ; ed. by Mira J., Alvarez J. R. - 2005. - P. 123-132.

33. Думский, Д. В. Классификация нейронных потенциалов действия на основе вейвлет-преобразования / Д. В. Думский, А. Н. Павлов. А. Н. Ту-пицын, В. А. Макаров // Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика.

- 2005. - Т. 13, №5-6. - С. 77-98.

34. Dumsky, D. V. Characterization of chaotic dynamics from return times / D. V. Dumsky, A. N. Pavlov // Physics and Control (PhysCon2005), Proc. of the Int. Conf. - 2005. - P. 439-442.

35. Ziganshin, A. R. Scaling properties of multimode dynamics in coupled chaotic oscillators / A. R. Ziganshin, A. N. Pavlov // Physics and Control (PhysCon2005), Proc. of the Int. Conf. - 2005. - P. 180-183.

36. Pavlov, A. N. Double-wavelet analysis: a tool to study interaction phenomena in nonstationary dynamics / A. N. Pavlov. О. V. Sosnovtseva // Physics and Control (PhysCon2005), Proc. of the Int. Conf. - 2005. - P. 876-879.

37. Brazhe, N. A. Unraveling cell processes: interference imaging weaved with data analysis / N. A. Brazhe, A. R. Brazhe, A. N. Pavlov, L. A. Erokhova, A. I. Yusipovich, G. V. Maksimov, E. Mosekilde, О. V. Sosnovtseva // Journal of Biological Physics. - 2006. - Vol. 32. - P. 191-208.

38. Pavlov, A. N. Application of wavelet-based tools to study the dynamics of biological processes / A. N. Pavlov. V. A. Makarov, E. Mosekilde, О. V. Sosnovtseva // Briefings in Bioinformatics. - 2006. - Vol. 7. - P. 375389.

39. Павлов, A. H. Исследование эффектов модуляции в нестационарной динамике на основе двойного вейвлет-анализа / А. Н. Павлов, О. Н. Павлова // Письма в ЖТФ. - Т. 32, вып. 20. - С. 27-35.

40. Павлов, А. H. Применение вейвлет-анализа в исследованиях структуры точечных процессов / А. Н. Павлов, О. Н. Павлова // Письма в ЖТФ.

- 2006. - Т. 32, вып. 21. - С. 11-17.

41. Павлов, А. Н. Исследование переходной фазовой динамики на основе метода переустановки фазы / А. Н. Павлов // Письма в ЖТФ. - 2006.

- Т. 32, вып. 24. - С. 53-61.

42. Pavlov, А. N. Wavelet-analysis in application to studying spike separation and information encoding in neuron dynamics / A. N. Pavlov, D. V. Dumsky, A. N. T\ipitsyn, O. N. Pavlova, F. Panetsos, V. A. Makarov // Complex dynamics and fluctuations in biomedical photonics III, Proc. of SPIE ; ed. by Tuchin V. V. - 2006. - Vol. 6085. - P. 608501.

43. Павлова, О. H. Эффекты влияния низкочастотного магнитного поля на характеристики физиологического тремора / О. Н. Павлова, А. Н. Ту-пицын, А. Н. Павлов // Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика.

- 2006. - Т. 14, №5-6. - С. 105-117.

44. Павлов, А. Н. Мультифрактальный анализ сложных сигналов / А. Н. Павлов. В. С. Анищенко // Успехи физических наук. - 2007. -Т. 177, вып. 8. - С. 859-876.

45. Sosnovtseva, О. V. Synchronization among mechanisms of renal autoregulation is reduced in hypertensive rats / О. V. Sosnovtseva, A. N. Pavlov. E. Mosekilde, K.-P. Yip, N.-H. Holstein-Rathlou, D. J. Marsh // American Journal of Physiology (Renal Physiology). -2007. - Vol. 293. - P. F1545-F1555.

46. Pavlov, A. N. Sorting of neural spikes: when wavelet based methods outperform principal component analysis / A. N. Pavlov. V. A. Makarov, I. Makarova, F. Panetsos // Natural Computing. - 2007. - Vol. 6. - P. 269281.

47. Pavlov, A. N. Using wavelet analysis to detect the influence of low frequency magnetic fields on human physiological tremor / A. N. Pavlov. A. N. Tupitsyn, A. Legros, A. Beuter, E. Mosekilde // Physiological Measurement. - 2007. - Vol. 28. - P. 321-333.

48. Pavlov, A. N. Tactile information processing in the trigeminal complex of the rat / A. N. Pavlov. A. N. Tupitsyn, V. A. Makarov, F. Panetsos, A. Moreno, V. Garcia-Gonzalez, A. Sanchez-Jimenez // Complex Dynamics and Fluctuations in Biomedical Photonics IV, Proc. of SPIE ; ed. by Tuchin V. V. - 2007. - Vol. 6436. - P. 64360R.

49. Павлов, A. H. Взаимодействие ритмов в динамике структурных элементов почек / А. Н. Павлов, О. Н. Павлова, О. В. Сосновцева // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2007. - Т. 15, №2. - С. 14-28.

50. Павлов, А. Н. Мультифрактальный анализ сигналов на основе вейвлет-преобразования / А. Н. Павлов, В. С. Анищенко // Известия Саратовского университета (Физика). - 2007. - Т. 7, №1. - С. 3-25.

51. Pavlov A.N., Sosnovtseva O.V., Pavlova O.N., Mosekilde E., Holstein-Rathlou N.-H., Characterizing multiraode interaction in renal autoregulation / A. N. Pavlov, О. V. Sosnovtseva, O. N. Pavlova, E. Mosekilde, N.-H. Holstein-Rathlou // Physiological Measurement. -2008. - Vol. 29. - P. 945-958.

52. Павлов, A. H. Анализ корреляционных свойств случайных процессов по сигналам малой длительности / А. Н. Павлов, О. Н. Павлова // Письма в ЖТФ. - 2008. - Т. 34, №7. - С. 71-78.

53. Павлов, А. Н. Динамика почечного кровотока на микро и макроскопическом уровнях / А. Н. Павлов. О. В. Сосновцева, А. А. Анисимов, О. Н. Павлова // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. -2008. - Т. 16, №1. - С. 3-18.

54. Makarov, V. A. Optimal sorting of neural spikes with wavelet and filtering techniques / V. A. Makarov, A. N. Pavlov. A. N. Tupitsyn // Complex dynamics and fluctuations in biomedical photonics V, Proc. of SP1E ; ed. by Tuchin V. V., Wang L. V. - 2008. - Vol. 6855. - P. 68550M.

55. Pavlov, A. N. Wavelet-analysis of multimode dynamics in living systems / A. N. Pavlov, O. N. Pavlova, A. A. Anisimov // Complex dynamics and fluctuations in biomedical photonics V, Proc. of SPIE ; ed. by Tuchin V. V., Wang L. V. - 2008. - Vol. 6855. - P. 685501.

56. Анисимов, А. А. Вейвлет-анализ чирпов / А. А. Анисимов, О. H. Павлова, А. Н. Тупицын, А. Н. Павлов // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2008. - Т. 16, №5. - С. 3-11.

57. Павлов, А. Н. Детектирование информационных сигналов на основе реконструкции динамических систем и дискретного вейвлет-преобразования / А. Н. Павлов // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2008. - Т. 16, №6. - С. 3-17.

58. Макаров, В. А. Сортировка нейронных спайков на основе параметрического вейвлет-анализа с адаптивной фильтрацией / В. А. Макаров, А. Н. Павлов, А. Н. Тупицын // Цифровая обработка сигналов. - 2008. - №3. - С. 26-31.

59. Sosnovtseva, О. V. Characterizing the effect of L-name on intra-and inter-nephron synchronization / О. V. Sosnovtseva, A. N. Pavlov. O. N. Pavlova, E. Mosekilde, N.-H. Holstein-Rathlou // European Journal of Pharmaceutical Sciences. - 2009. - Vol. 36. - P. 39-50.

60. Pavlov, A. N. Wavelet-based analysis of blood pressure dynamics in

rats / A. N. Pavlov. A. A. Anisimov, О. V. Semyachkina-Glushkovskaya, V. A. Berdnikova, A. S. Kuznecova, E. G. Matasova // Complex dynamics and fluctuations in biomedical photonics VI, Proc. of SPIE ; ed, by Tuchin V. V., Wang L. V., Duncan D. D. - 2009. - Vol. 7176. - P. 71760N.

61. Tupitsyn, A. N. Separation of extracellular spikes with wavelets and neural networks / A. N. Tupitsyn, A. N. Pavlov. V. A. Makarov // Complex dynamics and fluctuations in biomedical photonics VI, Proc. of SPIE ; ed. by Tuchin V. V., Wang L. V., Duncan D. D. - 2009. - Vol. 7176. - P. 71760M.

Патент

62. Патент 75814 Рос. Федерация, МПК Н 04 L 9/00. Устройство многоканальной конфиденциальной передачи информации / А. Н. Павлов, В. С. Анищенко ; заявитель и патентообладатель ГОУ ВПО "Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского". -№ 2008118616/22 ; заявл. 14.05.2008 ; опубл. 20.08.2008, Бюл. № 23.

ПАВЛОВ Алексей Николаевич АНАЛИЗ СТРУКТУРЫ НЕСТАЦИОНАРНЫХ, КОРОТКИХ И ЗАШУМЛЕННЫХ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Автореферат

Ответственный за выпуск профессор, д.ф.-м.н. Вадивасова Т.Е.

Подписано в печать 19.03.09. Формат 60x84 1/16. Объем 2,0 п.л. Тираж 150 экз.

Введение.

1 Анализ нестационарных многочастотных режимов колебаний на основе непрерывного вейвлет-преобразования.

1.1 Теоретические основы непрерывного вейвлет-преобразования

1.1.1 Базисные функции

1.1.2 Построение базиса вейвлет-преобразования

1.1.3 Непрерывное вейвлет-преобразование

1.1.4 Идентификация мгновенных частот и амплитуд колебательных процессов

1.1.5 Сопоставление с оконным спектральным анализом

1.1.6 Сопоставление с распределением Вигнера-Вилля

1.2 Примеры применения

1.2.1 Анализ тестовых сигналов.

1.2.2 Анализ экспериментальных данных

1.3 Ограничения непрерывного вейвлет-преобразования

1.3.1 Краевые эффекты

1.3.2 Интерференция

1.4 Мера когерентности на основе непрерывного вейвлет-преобразования

1.5 Двойной вейвлет-анализ

1.5.1 Предварительные замечания

1.5.2 Предлагаемый метод

1.5.3 Примеры применения.

1.6 Выводы по 1-й главе

2 Корреляционный анализ сигналов на основе метода муль-тифрактального формализма

2.1 Предварительные замечания.

2.2 Мультифрактальный формализм: от сингулярных мер к сингулярным функциям

2.2.1 Фрактальная размерность

2.2.2 Фрактальные меры

2.2.3 Фрактальные функции

2.3 Мультифрактальный анализ на основе вейвлет-преобразования

2.3.1 Вейвлет-анализ сингулярных функций

2.3.2 Метод максимумов модулей вейвлет-преобразования

2.4 Примеры применения мультифрактального анализа: эффекты потери мультифрактальности

2.4.1 Хаотическая динамика взаимодействующих систем.

2.4.2 Стохастическая синхронизация

2.4.3 Мультифрактальный анализ динамики артериального давления крови

2.5 Возможности и ограничения мультифрактального анализа

2.6 Анализ корреляционных свойств по сигналам малой длительности

2.7 Выводы по 2-й главе

3 Идентификация сигналов типа последовательности одиночных импульсов на фоне шума с помощью вейвлетов

3.1 Постановка задачи

3.2 Методы идентификации импульсных сигналов .-.

3.2.1 Амплитудное детектирование

3.2.2 Анализ главных компонент

3.2.3 Кратномасштабный вейвлет-анализ

3.2.4 Сравнительный анализ методов идентификации

3.3 Влияние шума на эффективность методов идентификации

3.4 Предлагаемая методика уменьшения ошибки идентификации

3.5 Параметрический метод анализа с адаптивной фильтрацией —

3.6 Выводы по 3-й главе

4 Анализ сложных режимов колебаний в условиях ограниченной информации о порождающей их динамической системе

4.1 Анализ точечных процессов, отражающих динамику колебательных систем

4.1.1 Предварительные замечания

4.1.2 Случай отсутствия собственной динамики

4.1.3 Случай наличия собственной динамики

4.2 Детектирование информационных сигналов на основе реконструкции динамических систем и дискретного вейвлет-преобразования

4.2.1 Применение хаотических автоколебаний в качестве несущих сигналов в системах защищенной передачи информаг ции.

4.2.2 Выделение информационных сообщений из хаотического несущего сигнала на основе реконструкции динамических систем

4.2.3 Дифференцирование сигналов с применением дискретных вейвлетов

4.2.4 Детектирование информационных сигналов с использоваг нием дискретных вейвлетов

4.3 Выводы по 4-й главе

Терминология "вейвлетов" (от англ. wavelet, что в дословном переводе означает "маленькая волна") сформировалась в восьмидесятых годах двадцатого века [1,2]. Первоначально данный математический аппарат [3-14] был предложен в качестве альтернативы классическому спектральному анализу, основанному на преобразовании Фурье. Возникновение теории вейвлетов считается одним из важнейших событий в математике за последние десятилетия, поскольку это, пожалуй, единственная новая математическая концепция, которая сразу же после ее появления стала восприниматься в качестве инструмента прикладных исследований практически во всех естественных науках и многих областях техники. В настоящее время вейвлеты широко используются при решении задач анализа и синтеза различных сигналов, для обработки изображений, для сжатия больших объемов информации и цифровой фильтрации, для распознавания образов, при изучении сильно развитой турбулентности, при решении некоторых дифференциальных уравнений и т.п. [15-35]. Применения вейвлетов известны в радиофизике, нелинейной динамике, акустике, оптике, физике твердого тела, сейсмологии, динамике жидкостей, биологии и медицине, экономике и т.д. [36-49]. Причем, этот список можно еще долго продолжать.

Интерес к новому направлению с момента его появления был очень большим. Согласно исследованиям, предпринятым в монографии [7], начиная с 90-х годов количество научных работ по изучению физических явлений с помощью вейвлетов демонстрирует монотонный рост. Число ссылок на источники в сети Интернет, в которых упоминается термин "вейвлет", уже достигло нескольких миллионов. Основной областью применения данного математического аппарата в естествознании является обработка нестационарных (во времени) или неоднородных (в пространстве) случайных процессов. Именно поэтому вейвлет-анализ представляет значительный интерес для радиофизики, так как большинство классических методов цифровой обработки сигналов применимы лишь к процессам с постоянными во времени (или пространстве) характеристиками.

По аналогии с преобразованием Фурье, вейвлет-преобразование сигнала - x{t) состоит в его разложении по некоторому базису. Отличие заключается в том, что в качестве базисной выбирается "солитоноподобная", хорошо локализованная и по времени, и по частоте функция ip(t), обладающая рядом характерных признаков; базис формируется путем ее перемасштабирования и сдвигов вдоль временной оси. Использование локализованных функций позволяет проводить анализ процессов, характеристики которых меняются во времени, и обеспечивает двумерную развертку сигнала x(t), при которой время и частота воспринимаются как независимые переменные [12].

Само возникновение теории вейвлетов не является неожиданным событием и связано с реальными потребностями экспериментальных исследований. В его сегодняшнем виде вейвлет-анализ в значительной степени представляет собой синтез многих существовавших ранее идей и методов. Так, быстрые алгоритмы вейвлет-преобразования используют известную в радиофизике и радиотехнике идеологию субполосного кодирования [50-52]. Часть идей была заимствована из физики (когерентные состояния [53]) и математики (например, изучение интегральных операторов Зигмунда-Кальдерона [54], которые сейчас используются при вейвлет-анализе операторных выражений, помогающем решать некоторые уравнения в физике).

Важность использования в прикладных задачах базисных функций, отличных от гармонических, обсуждалась на протяжении длительного времени. Еще в 1910 году А. Хаар предложил первую ортонормированную систему функций с компактным носителем - базис Хаара [55], который до сих пор является составной частью современной теории вейвлетов, хотя и имеет ряд недостатков, прежде всего, негладкость функций. В качестве примера также можно привести высказывание Л.И. Мандельштама, который в 20-х годах прошлого века отмечал, что "физическое значение разложения Фурье в большой мере связано с резонансными свойствами линейных систем с постоянными параметрами; при переходе к линейным системам с переменными параметрами разложение Фурье перестает быть целесообразным, и место функций cos и sin должны занять другие функции" (из работы [56]). Следующий шаг сделал Д. Габор в 1946 году [57], когда была сформулирована идея "атомов" Габора - неортогонального базиса, построенного с использованием смещенных относительно друг друга функций Гаусса. Сам термин "вейвлет" был предложен Н. Рикером в 1940 году и относился к сейсмологии [58]. А. Гроссман и Ж. Морле в 80-х годах наделили этот термин новым смыслом, продемонстрировав возможность анализа произвольных сигналов с помощью единственной функции - материнского вейвлета ф^), осуществляя ее перемасгатабирования и смещения [2]. Дальнейшее построение современной теории вейвлетов, "индуцированное" исследованиями А. Гроссмана и Ж. Морле, связано с именами И. Мейера [4, 5], И. Добе-ши [3], С. Малла [6] и многих других. В 1988 году И. Добеши предложила самый распространенный набор дискретных вейвлет-преобразований (вей-влеты Добеши с компактным носителем), которые являются более гладкими по сравнению с функцией Хаара. Важным шагом стала разработка теории кратномасштабного анализа в работах И. Мейера и С. Малла, предполагающей последовательное "огрубление" содержащейся в данных информации и возможность детального исследования структуры сигналов на разных масштабах наблюдения.

Вейвлет-анализ традиционно называют методом "математического микроскопа" из-за его способности сохранять хорошее разрешение в широком диапазоне масштабов [4]. Перемасштабирование базисной функции характеризует увеличение данного "микроскопа", смещением достигается фиксация точки фокусировки и, наконец, выбором определяются оптические качества (по аналогии с выбором разрешения объектива).

К настоящему времени теория вейвлетов уже в основном разработана (фактически, создание ее ключевых положений было завершено за несколько лет в конце 80-х - начале 90-х годов). Вместе с тем до сих пор не существует точного определения, что же такое "вейвлет"? В значительной степени это связано с разнообразием задач, при решении которых используются локализованные функции ф^), и разнообразием требований, которые предъявляются к этим функциям в зависимости от специфики той или иной задачи. Так, в частности, существуют неортогональные, ортогональные и биортого-нальные вейвлеты. Функции ф^) могут быть симметричными и несимметричными, иметь компактный носитель или нет., Ряд функций задан в аналитической форме, другие - в виде коэффициентов матриц. Тем не менее, даже при таком разнообразии для всех используемых вейвлетов характерно наличие частотно-временной локализации, нулевого среднего значения и т.д. [3,6].

Существует дискретное вейвлет-преобразование (ДВП) и непрерывное вейвлет-преобразование (НВП). В отличие от преобразования Фурье, ДВП -это не просто дискретизация формул НВП. Различия между данными подходами являются более глубокими, фактически их можно рассматривать как два разных метода анализа структуры сигналов. Непрерывное вейвлет-преобразование использует в качестве ф{{) функции, имеющие аналитическую форму записи и являющиеся бесконечно дифференцируемыми; многие вейвлеты, рассматриваемые в рамках НВП, представляют собой производные функции Гаусса, промодулированные гауссианом гармонические функции и т.п. Вследствие этого для них характерен экспоненциальный спад на бесконечности, и базис, построенный на основе таких вейвлетов, не является строго ортонормированным. Часто для системы функций разложения в рамках НВП характерна "приближенная" ортогональность, когда, пользуясь терминологией работы [12], ее можно считать "почти базисом". Данная особенность означает, что НВП является избыточным, и значения коэффициентов вейвлет-преобразования оказываются сильно коррелированными. Заметим, что избыточность может быть и полезным свойством, позволяющим получать более наглядную и ясную интерпретацию результатов анализа структуры сигналов в виде картин "скелетонов" или "хребтов" поверхности вейвлет-коэффициентов (подробнее эти вопросы будут рассмотрены в первой главе диссертационной работы). Информацию, которую можно извлечь из непрерывного вейвлет-преобразования, например, об изменении характерных частот ритмических процессов и их взаимодействии, легче анализировать, и она интуитивно понятнее для специалистов с базовым радиофизическим образованием. Например, при использовании комплексных функций НВП позволяет изучать динамику таких характеристик, как мгновенные частоты, мгновенные амплитуды и мгновенные фазы ритмических процессов, идентифицируемых в структуре анализируемого сигнала. Такая возможность делает НВП крайне привлекательным инструментом исследования, применимым при решении многих радиофизических задач.

Дискретное вейвлет-преобразование имеет существенные отличия. Оно может оперировать с неортогональными базисными функциями (в этом случае говорят о так называемых фреймах). Однако это отдельный случай, в какой-то степени занимающий промежуточное положение между НВП и "настоящим" дискретным вейвлет-преобразованием. Фреймы используются на практике, если нужны представления, близкие к НВП (можно провести некоторую аналогию с непрерывно-дискретным преобразованием Фурье [59]). Избыточность, к которой приводят фреймы, особенно важна в задачах синтеза (восстановления сигнала по его вейвлет-коэффициентам). Эта избыточность позволяет восстанавливать сигнал со сравнительно высокой точностью даже в том случае, если вейвлет-коэффициенты вычислены с низкой точностью [3]. Тем не менее, практическое значение фреймов не настолько велико, как "истинного" дискретного вейвлет-преобразования, оперирующего с ортонормированными базисами, что позволяет осуществлять более точное представление сигнала и значительно упрощает его восстановление по набору вейвлет-коэффициентов. Существенно отличаются и формулы обращения для НВП и ДВП. Строго говоря, в дискретном случае не существует формулы обратного преобразования, аналогичной формуле обращения для непрерывного преобразования, и процедура восстановления сигнала по его вейвлет-коэффициентам проводится с помощью специальных приемов (причем значительно более простых с точки зрения численного алгоритма, чем вычисление обратного НВП). В отличие от непрерывного преобразования, вейвлеты, использующиеся в рамках ДВП, не имеют аналитической формы записи (за исключением функции Хаара). Они задаются в виде таблицы численных коэффициентов, полученных путем решения некоторых уравнений. На практике в рамках ДВП конкретная форма функций ф(£) в явном виде не рассматривается, записываются только наборы чисел, с помощью которых задается тот или иной вейвлет. При проведении анализа структуры сигналов это приводит к различным операциям с матрицами. Базис в таком случае строится на основе итерационного алгоритма, предусматривающего изменение масштаба и смещение единственной функции. Детальное описание принципиальных различий ДВП и НВП приводится в монографии [7].

Некоторое неудобство (или необычность) работы с ДВП компенсируется многими полезными свойствами данного преобразования. Во-первых,

ДВП допускает возможность реализации быстрого (пирамидального) алгоритма преобразования, идея которого была заимствована из схем субполосной фильтрации. Двухканальные схемы субполосной фильтрации [50] предусматривают свертку последовательности дискретных отсчетов с двумя фильтрами - высокочастотным и низкочастотным, после чего две полученные последовательности прореживаются (оставляются лишь четные или нечетные компоненты). Аналогичным образом осуществляется разложение сигнала в рамках ДВП, и набор численных коэффициентов используемого базисного вейвлета в этом случае фактически представляет собой один из фильтров. Возможность реализации быстрой процедуры преобразования важна для многих приложений, например, для кодирования и передачи информации, сжатия данных. В качестве примеров можно отметить, что ДВП является основой формата представления графической информации JPEG, формата видео MPEG4, активно применяется в компьютерной графике для редактирования трехмерных изображений и т.д. [37]. Существование алгоритмов быстрого преобразования важно также и в задачах обработки экспериментальных данных (особенно, если речь идет о больших объемах информации).

Во-вторых, важным свойством вейвлет-преобразования является наличие инвариантности относительно смещения (shift invariance) [7]. Это означает, что если осуществить сдвиг вдоль сигнала на некоторое расстояние, то вейвлет-коэффициенты также сместятся, и путем их переиндексации можно установить взаимосвязь с коэффициентами до сдвига. Данное свойство легко проиллюстрировать на примере НВП, поскольку для ДВП зависимости между индексами коэффициентов на разных масштабах при смещениях вдоль сигнала выглядят намного сложнее. Однако быстродействие алгоритма ДВП является более важным чем некоторые сложности переиндексации - появляется возможность решать в реальном времени задачи, связанные с определением задержек при распространении сигналов. Отметим, например, что ДВП является замечательным инструментом для радиолокации. С одной стороны, этот метод позволяет легко определять задержку во времени, которая требуется, чтобы приемное устройство зафиксировало отраженный от объекта сигнал (по своим потенциальным возможностям ДВП значительно превосходит корреляционный анализ, традиционно использовавшийся для решения аналогичных задач). С другой стороны, возможность распознавания образов на основе вейвлет-преобразования позволяет решать задачи идентификации объектов (более гибкие алгоритмы распознавания могут быть построены путем сочетания вейвлет-анализа и нейросетевых методов) .

Помимо того, что функции ф{Ь), используемые в рамках ДВП, не могут быть представлены в аналитической форме, многие из них являются нерегулярными (например, широко используемые вейвлеты Добеши малого порядка, имеющие узкую область задания). На практике при выборе вей-влета учитывают такие его свойства, как регулярность, число нулевых моментов, число вейвлет-коэффициентов, превышающих некоторое пороговое значение. Большое количество нулевых моментов ф^) позволяет осуществлять более эффективное сжатие данных, так как вейвлет-коэффициенты на малых масштабах стремятся к нулю в тех точках, где функция является гладкой, и в этом случае их можно отбросить без существенной потери информации. С другой стороны, за это приходится расплачиваться увеличением области задания вейвлета и, как следствие, снижением быстродействия вычислений. Поэтому выбор базисной функции и вида преобразования должен осуществляться, исходя из специфики решаемой задачи. В частности, ДВП преимущественно используется при решении задач кодирования сигналов, компьютерной графики, распознавания образов. НВП в большей степени применяется в научных исследованиях для анализа структуры сложных сигналов.

Не углубляясь в детали конкретного вида преобразования и выбора базиса, рассмотрим более подробно два научных направления, относящиеся к радиофизике, где в полной мере проявились возможности вейвлет-анализа.

Направление 1: Исследование структуры нестационарных процессов. Очень многие процессы в окружающем нас мире являются нестационарными и демонстрируют изменения во времени своих статистических свойств. В числе примеров можно упомянуть переходные процессы в радиофизических устройствах, нестационарные волны в океане, атмосферную и гидродинамическую турбулентность, нестационарные физиологические и геофизические сигналы и т.д. Важно отметить, что в экспериментальных исследованиях проводится анализ не всего случайного процесса, а его отдельно взятой реализации (выборочной функции). Насколько эта реализация является типичной, и можно ли путем ее анализа делать выводы о статистическом ансамбле - получить ответы на эти вопросы в общем случае нельзя. Как известно, при наличии свойства эргодичности анализ отдельно взятой реализации в статистическом смысле эквивалентен рассмотрению совокупности реализаций, и операция усреднения по ансамблю может быть заменена усреднением по времени. Но при работе с экспериментальными данными доказать наличие эргодичности (или даже просто обосновать, что свойство эргодичности является разумным допущением) почти невозможно. В связи с этим, говоря о нестационарности, мы будем подразумевать существование зависимости характеристик отдельно взятой реализации от выбора начала отсчета времени. Классические вероятностные и спектральные методы анализа структуры сигналов [60,61] являются инструментами исследования стационарных случайных процессов; их применение для обработки нестационарных данных приводит к различным проблемам интерпретации полученных результатов. В частности, обнаружение двух пиков в спектре мощности с некратными частотами может соответствовать принципиально разным случаям: одновременному присутствию двух независимых ритмов колебаний в динамике изучаемой системы или переключению частоты, при котором в каждый момент времени .существует только один ритмический процесс.

На протяжении длительного времени стандартным подходом к исследованию экспериментальных данных (особенно для случайных процессов в физиологии, метеорологии и т.д.) являлась идеология анализа систем с медленно-меняющимися параметрами: считалось, что можно ввести в рассмотрение небольшие промежутки времени, в течение которых свойства сигнала меняются незначительно, и его можно рассматривать как выборочную функцию стационарного процесса, применяя классический аппарат методов статистической обработки. Такой подход может применяться на практике, если нестационарность ассоциируется с низкочастотной областью спектра по отношению к динамике, представляющей интерес для исследователя, и анализируемый сигнал можно представить в виде суммы или произведения выборочной функции стационарного случайного процесса и детерминированной функции, описывающей изменения во времени среднего значения или дисперсии. Медленная нестационарность (низкочастотный тренд) может быть устранена путем фильтрации или на основе других специальных приемов [59].

Если же свойства выборочной функции случайного процесса успевают существенно поменяться даже на сравнительно коротких участках времени, то возникает потребность переходить от классических методов анализа временных рядов к специальным методикам. Ценность вейвлет-анализа состоит в его универсальности: данный метод может применяться независимо от того, является ли процесс стационарным или нет. Отметим, что эффективных методов анализа структуры нестационарных случайных процессов существует немного. В числе известных и популярных подходов наряду с вейвлетами можно упомянуть метод аналитического сигнала, использующий преобразование Гильберта [62], и метод анализа флуктуаций относительно тренда (АФТ, в зарубежной литературе используется название detrended fluctuation analysis) [63-66].

Первый из этих подходов позволяет ввести понятия мгновенной частоты, мгновенной амплитуды и мгновенной фазы колебаний для узкополосного случайного процесса; с его помощью можно исследовать изменения во времени этих характеристик. Метод аналитического сигнала может успешно применяться при решении задач изучения взаимосвязи процессов (например, при рассмотрении явления синхронизации в нестационарной динамике автоколебательных систем). АФТ является новым методом исследования эффектов длительных корреляций, применимым как к стационарным случайным процессам, так и к нестационарным. Центральная идея этого подхода состоит в переходе от анализируемого сигнала к одномерным "случайным блужданиям" [63]. Данный переход осуществляется путем специального суммирования значений временного ряда, предварительно приведенного к нулевому среднему уровню. Затем анализируются отклонения "случайных блужданий" от локального тренда в зависимости от масштаба наблюдения. Вычисляемые в рамках метода АФТ величины связаны с характеристиками, описывающими спад корреляционной функции и частотную зависимость функции спектральной плотности мощности [64, 65]. Поэтому с помощью данного подхода можно проводить спектрально-корреляционный анализ, не ограничиваясь только стационарными случайными процессами. Более того, в настоящее время АФТ рассматривается в качестве альтернативы классическому корреляционному анализу, поскольку этот метод позволяет точнее оценивать скейлинговые характеристики в области длительных корреляций.

Однако по своим потенциальным возможностям вейвлет-анализ превосходит оба упомянутых подхода. Как и метод аналитического сигнала, он позволяет вычислять мгновенную частоту, мгновенную амплитуду и мгновенную фазу ритмических компонент нестационарных процессов, не ограничиваясь при этом узкополосными сигналами. Взаимосвязь мгновенных фаз, введенных с помощью метода аналитического сигнала и на основе вейвле-тов, обсуждается, в частности, в работе [67]. При изучении явления синхронизации в динамике систем с несколькими временными масштабами использование вейвлетов целесообразнее метода аналитического сигнала, так как вейвлет-преобразование представляет собой инструмент многомасштабного анализа, позволяющий одновременно анализировать особенности структуры сигналов в разных диапазонах масштабов наблюдения. С точки зрения изучения корреляционных свойств случайных процессов, основанный на вейвлет-преобразовании мультифрактальный формализм [68] обладает не только теми же возможностями, что и техника АФТ, но еще и рядом преимуществ. Для метода АФТ требуется, во-первых, большая длительность временного ряда; во-вторых, АФТ менее эффективен при анализе корреляций на малых временных интервалах.

Вейвлет-анализ демонстрирует свои преимущества и по сравнению с другими подходами, которые могут применяться для исследования процессов с меняющимися во времени характеристиками, например, оконным спектральным анализом и распределением Вигнера-Вилля [6]. Более детальное сопоставление этих методов будет проведено в первой главе диссертации, поэтому пока кратко отметим лишь принципиальные отличия. Чтобы обеспечить хорошую временную локализацию, отслеживая изменения структуры нестационарных процессов, важно извлекать высокочастотную информацию из относительно малых участков анализируемого сигнала, а низкочастотную - из сравнительно больших. Вейвлет-анализ такую возможность предоставляет, поскольку обладает подвижным частотно-временным окном, которое является широким на низких частотах и узким - на высоких. Оконный спектральный анализ оперирует с фиксированным размером оконной функции и не обеспечивает по-настоящему локализованный анализ структуры сигналов [12]. Что касается распределения Вигнера-Вилля, то этот подход может превосходить вейвлет-преобразование по частотно-временному разрешению, но одновременно приводит к крайне нежелательным явлениям -наличию интерференций, из-за которых данный метод теряет привлекательность. Специальные приемы усреднения, позволяющие избавляться от интерференций, ухудшают частотно-временное разрешение, в результате чего никаких явных преимуществ у распределения Вигнера-Вилля по сравнению с вейвлетами уже не будет [3].

Направление 2: Распознавание различных форм сигналов. Распознавание (или идентификация) различных форм сигналов представляет собой еще одно научное направление, в рамках которого применение вейвле-тов позволяет решать целый комплекс проблем. Например, они помогают проводить очистку экспериментальных данных от шумов и случайных искажений. В сигналах натурных экспериментов часто встречаются изолированные особенности (отдельные выбросы, ступеньки и т.п.), которые могут быть связаны как с самой исследуемой динамикой, так и со сбоями аппаратуры или влиянием каких-то внешних факторов. Фильтры, построенные на основе Фурье-преобразования, неэффективны для устранения изолированных особенностей, поскольку информация о сбойных точках содержится во всех коэффициентах преобразования. Фильтрация на основе вейвлетов является более гибкой: существует возможность в автоматическом режиме выявить расположение той или иной особенности (в ее окрестности резко возрастают коэффициенты вейвлет-преобразования на малых масштабах), идентифицировать характер этой особенности по асимптотическому поведению коэффициентов преобразования и удалить эту особенность из сигнала (или ее скорректировать). Цифровая фильтрация на основе вейвлетов позволяет проводить качественную очистку зашумленных сигналов на этапе предварительной обработки экспериментальных данных.

Широкая область применения вейвлетов связана с распознаванием близких по форме сигналов на фоне шума. Примером может служить распознавание речи, когда на основе вейвлетов решается задача идентификации отдельных звуков или слов голосового сообщения, полученного при наличии сильных помех.

Отметим, что методы анализа структуры сигналов, основанные на вейвлет-преобразовании, могут применяться независимо от природы процесса; они с равным успехом могут быть использованы как в исследованиях радиофизических систем (задачи радиолокации, радиометрии и т.д.), так и при анализе сложной динамики объектов живой природы. Биологические системы часто демонстрируют сложное нерегулярное поведение, характеристики которого непрерывно меняются во времени. Привлечение для анализа соответствующей динамики классических вероятностных и спектральных методов означает априорное предположение о том, что рассматриваемые процессы можно приближенно считать эргодическими, а справедливость этого допущения довольно сложно обосновать, если живой организм демонстрирует процесс адаптации к изменению внешних условий функционирования. Зачастую возникают проблемы с интерпретацией результатов анализа биологических данных, которые выявляют ограничения классических подходов к анализу случайных процессов и определяют важность разработки новых, более эффективных инструментов анализа структуры сигналов. Развитие техники привело в настоящее время к высочайшему уровню экспериментальных исследований, когда сигналы биологических систем можно измерять на микроскопическом уровне отдельных клеток и внутриклеточной динамики. В то же время анализ таких сигналов зачастую ограничивается простой статистической обработкой экспериментальных данных. Создание более точных инструментов исследования сигналов, позволяющих выявить детали их сложной структуры, является в этой связи очень актуальной задачей: под высокоточные эксперименты, выполняемые в настоящее время в биологии, нужны соответствующие методы анализа. Биологические приложения физических подходов обогащают и саму физику. В частности, разработанные специальные методы, для которых нестационарность динамики не является препятствием, не только существенно расширяют возможности экспериментальных исследований, но и в значительной степени определяют дальнейший прогресс в развитии теории анализа структуры сигналов. Одним из примеров служит алгоритм АФТ. Метод, который начинает восприниматься как альтернатива классическому корреляционному анализу и позволяет устранить некоторые недостатки автокорреляционной функции, изначально был предложен как способ диагностики сердечно-сосудистой патологии [63]. Попутно отметим, что и базовая модель теории колебаний, генератор Ван дер Поля, первоначально была предложена как попытка моделирования динамики сердца. То, что современные биологические исследования невозможны без самого широкого использования физических методов (и, в том числе, радиофизических), отмечают многие ученые; можно, в частности, упомянуть высказывание Нобелевского лауреата В.Л. Гинзбурга о том, что "биологическая и околобиологическая тематика долоюна и будет занимать в физических институтах, на физических факультетах и на страницах физических журналов все большее место. Нужно это понимать и активно этому содействовать" [69].

Таким образом, вейвлеты представляют собой мощный инструмент анализа, применимый к коротким, зашумленным и нестационарным случайным процессам. Поскольку такие процессы довольно часто регистрируются в натурных экспериментах, изучение возможностей этого инструмента и развитие методов, базирующихся на вейвлет-преобразовании, является актуальной задачей исследования структуры сигналов. Несмотря на значительные успехи теории вейвлетов и ее многочисленные применения в решении большого числа задач, в настоящее время активно используется лишь часть ее потенциальных возможностей. Многие, весьма интересные разработки теоретиков только начинают находить свое применение. До сих пор остается ряд открытых вопросов, относящихся к определению существующих ограничений вейвлет-анализа. Как и любой другой метод цифровой обработки сигналов, вейвлеты имеют как свои преимущества, так и определенные недостатки, и было бы неправильно идеализировать этот математический аппарат. Известно, например, что за возможность проведения локализованного спектрального анализа, позволяющего осуществлять расчеты мгновенного спектра по очень малым участкам сигнала, приходится "расплачиваться" ухудшением спектрального разрешения [7].

Актуальность работы определяется важностью проблемы выявления границ применимости теории вейвлетов и развития новых эффективных методов анализа структуры сигналов, основанных на вейв лет-преобразовании.

Очень часто многие исследователи ограничиваются противопоставлением вейвлет-анализа и других подходов (например, классического спектрального анализа, основанного на преобразовании Фурье). В ряде практических задач такое противопоставление оправдано, если, например, речь идет только об изучении эволюционной динамики мгновенных частот и амплитуд. Тем не менее значительный интерес вызывают комбинированные подходы, базирующиеся на сочетании вейвлетов с другими методами анализа структуры сигналов. Подобное сочетание позволяет эффективнее решать самые разные задачи - от распознавания образов (при совместном использовании вейвлетов и нейронных сетей) и количественного описания сложности нестационарных процессов до улучшения характеристик систем связи.

Детальные исследования структуры нестационарных процессов приводят к необходимости модификаций методов обработки временных рядов, которые позволили бы получать более полную информацию об анализируемых процессах. Такие модификации представляют несомненный интерес при изучении эффектов взаимодействия ритмов колебаний в условиях нестационарных многочастотных режимов динамики, например, при выявлении синхронизации колебаний (если захват мгновенных частот или фаз колебательных процессов происходит лишь на сравнительно небольших отрезках времени) или модуляции колебаний. Для многих сигналов в природе типична нестационарность, приводящая к тому, что характеристики модуляции не являются постоянными и могут демонстрировать существенные изменения во времени. Как следствие, возникает необходимость рассмотрения гьестационарных модулированных колебаний, которое должно базироваться на локальном спектральном анализе и вычислении меняющихся во времени характеристик (например, индексов модуляции или частот ритмов колебаний, осуществляющих модуляцию).

Наряду со случаем нестационарных процессов хорошо известны и другие ограничения классических методов анализа структуры сигналов, например, проблема исследования длительных корреляций в динамике нелинейных систем, если ограниченный объем выборки препятствует проведению оценок закономерностей спада автокорреляционной функции на больших временах. Упомянутый метод АФТ является хорошей альтернативой классическому корреляционному анализу, но и он оказывается малопригоден, если речь идет о сигналах малой длительности (здесь и далее, говоря о малой длительности, мы будем подразумевать, что она является малой с точки зрения проведения оценок необходимых характеристик в рамках заданной точности). В связи с этим развитие специальных подходов, способных устранить отмеченные недостатки существующих методов анализа длительных корреляций, является актуальной задачей, имеющей как теоретическое, так и практическое значение.

Как уже отмечалось, вейвлет-анализ является эффективным способом идентификации сигналов, например, распознавания речи. Кроме того, во многих приложениях возникает очень близкая, по сути, задача - потребность изучать сигналы, характеризующие динамику ансамбля некоторых элементов, и извлекать из этих сигналов информацию о динамике отдельных элементов. Такие задачи могут возникать, например, в активной радиолокации при отслеживании движения группы объектов и измерении меняющегося со временем расстояния до них. Сходная ситуация характерна для пассивной радиолокации, когда проводится регистрация собственного радиоизлучения от нескольких объектов, и радиометрии. Помимо радиофизических систем, задача выделения сигнала отдельного элемента из коллективной динамики малого ансамбля возникает при изучении процессов кодирования информации в нейронных сетях. При осуществлении внеклеточной записи электрического потенциала микроэлектрод фиксирует потенциалы действия (спайки) не только одной клетки, вблизи которой он находится, но и соседних нейронов, расположенных в некоторой локальной области. В результате регистрируемый потенциал представляет собой суммарную электрическую активность группы клеток и содержит значительный уровень шума разной природы. Чтобы проводить исследование генерируемого нейронами информационного кода на основе экспериментальных данных, вначале требуется в автоматическом режиме отсортировать спайки, установив, какой клеткой генерируется тот или иной потенциал действия. Во всех отмеченных задачах возникают похожие проблемы - нужно идентифицировать сигнал отдельного элемента некоторого ансамбля и сделать это в условиях наличия шума большой интенсивности (как в радиолокации, так и в динамике групп нейронов уровень шума может быть сопоставим с амплитудой сигнала). Применение вейвлетов для эффективного решения данных задач либо в рамках отдельного алгоритма идентификации, либо в сочетании с другими методами распознавания образов является еще одним актуальным направлением теории анализа структуры сигналов.

Вейвлет-анализ обладает рядом полезных свойств. Одним из них является возможность проводить численное дифференцирование зашумленных сигналов путем перехода в пространство вейвлет-коэффициентов. Особенностью этого подхода является то, что производная от сигнала может быть заменена производной анализирующей функции ф^), заданной в аналитической форме. Это свойство позволяет эффективно решать задачи синтеза. Совместное использование вейвлетов и техники реконструкции динамических систем представляет собой новое направление, позволяющее разрабатывать эффективные методы оценок параметров автоколебательных режимов, что открывает широкие перспективы решения задач передачи информации с применением хаотических несущих сигналов.

Сформулированный выше круг проблем определяет цель диссертационной работы, которая состоит в развитии и применении специальных методов анализа структуры сигналов, основанных на вейвлет-преобразовании и позволяющих решать задачи исследования сложной динамики колебательных систем в условиях нестационарности, наличия флуктуаций, ограниченного объема выборки и ограниченной информации о режиме функционирования.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Выявить возможности и ограничения спектрального анализа многочастотных колебательных процессов на основе непрерывного вейвлет-преобра-зования в условиях нестационарности.

2. Разработать методики анализа структуры сигналов на основе непрерывного вейвлет-преобразования для изучения эффектов взаимодействия ритмов колебаний нестационарных многочастотных режимов динамики, в частности, позволяющие выявлять эффекты синхронизации колебаний, возникающие на сравнительно небольших участках времени, и модуляции колебаний с меняющимися во времени характеристиками.

3. Выявить возможности и ограничения метода мультифрактального анализа, основанного на непрерывном вейвлет-преобразовании, при исследовании структуры случайных и детерминированных процессов с несколькими различными типами сингулярностей.

4. Установить типичные изменения мультифрактальной динамики последовательностей времен возврата в секущую Пуанкаре, обусловленные эффектом фазовой синхронизации взаимодействующих автоколебательных систем, функционирующих в режиме динамического хаоса.

5. Выявить возможности мультифрактального формализма, основанного на непрерывном вейвлет-преобразовании, как метода корреляционного анализа в условиях ограниченного объема выборки.

6. Разработать новые эффективные методики идентификации сигналов типа последовательности одиночных импульсов на фоне шума большой интенсивности, использующие вейвлет-преобразование.

7. Изучить возможности использования вейвлетов при решении задач исследования динамики на входе пороговых систем по выходному точечному процессу, провести сопоставление с другими методами анализа структуры сигналов.

8. Разработать новый способ детектирования сигналов в системе связи, использующей хаотические несущие сигналы, с применением дискретного вейв лет-преобразов ания.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

1. Предложена мера когерентности на основе непрерывного вейвлет-преобразования, позволяющая характеризовать изменения во времени взаимной динамики двух нестационарных колебательных процессов в выбранной полосе частот.

2. Предложен модифицированный метод исследования структуры сигналов - двойной вейв лет-анализ, позволяющий изучать эффекты амплитудной и частотной модуляции колебаний с меняющимися во времени характеристиками.

3. Проведены исследования ошибки идентификации мгновенных частот многочастотных колебательных процессов, базирующейся на непрерывном вейвлет-преобразовании, в зависимости от степени нестационарности и спектрального разрешения.

4. Впервые установлено, что фазовая синхронизация колебаний сопровождается характерными изменениями структуры последовательностей времен возврата в секущую Пуанкаре, включающими уменьшение степени мультифрактальности и численных значений показателей Гельдера, характеризующих локальную регулярность данных последовательностей.

5. Установлено наличие общих закономерностей изменения спектра син-гулярностей для случаев хаотической синхронизации автоколебательных систем и стохастической синхронизации переключений в динамике передемпфированного бистабильного осциллятора с внешним воздействием.

6. Впервые показано, что метод мультифрактального анализа, базирующийся на вейвлет-преобразовании, является эффективным способом исследования корреляционных свойств случайных и детерминированных процессов в случаях, когда малый объем выборки ограничивает надежность проведения оценок на основе стандартного корреляционного анализа.

7. Выявлены условия, при которых применение вейвлетов позволяет решать задачу идентификации сигналов типа последовательности одиночных импульсов более качественно по сравнению со стандартным алгоритмом анализа главных компонент.

8. Предложена методика уменьшения ошибки идентификации сигналов типа последовательности одиночных импульсов, базирующаяся на сочетании вейвлет-анализа и анализа главных компонент.

9. Разработан параметрический метод идентификации импульсных сигналов на основе вейвлет-преобразования, позволяющий снизить ошибку идентификации до значения, близкого к теоретическому минимуму.

10. Выявлены возможности и ограничения использования вейвлетов при анализе динамики пороговых систем с внешним воздействием; показано, что в отсутствие собственной динамики таких систем более эффективное решение задачи идентификации режима хаотических автоколебаний на входе может осуществляться на основе расчета старшего показателя Ляпунова.

11. Разработан новый способ детектирования информационных сигналов в системе защищенной передачи информации, использующей принцип модуляции параметров генератора хаоса и хаотические несущие сигналы, который основан на совместном применении реконструкции динамических систем и дискретного вейвлет-преобразования.

Научно-практическое значение результатов работы:

В ходе проведенных исследований был разработан (или модифицирован) ряд специальных методов анализа структуры сигналов, которые позволяют изучать особенности сложной динамики колебательных систем различной природы - радиофизических, оптических, биофизических и т.д. В частности: • предложен двойной вейвлет-анализ, позволивший обнаружить ряд новых эффектов в сложной динамике биологических систем и предложить новый подход к изучению динамики внутриклеточных процессов (путем его применения совместно с техникой интерференционной микроскопии);

• предложена методика корреляционного анализа, имеющая преимущества по сравнению с классическим подходом в ситуации, когда ограниченная длительность сигнала не обеспечивает возможность проведения достоверных расчетов автокорреляционной функции;

• предложены методики автоматической идентификации импульсных сигналов при наличии помех, позволяющие повысить надежность распознавания спайков нейронных ансамблей при анализе внеклеточных электрических сигналов как необходимого этапа решения задач исследования процессов кодирования информации в нейронных сетях;

• предложен новый принцип детектирования информационных сообщений, передаваемых в хаотическом несущем сигнале для обеспечения защиты системы многоканальной передачи информации от несанкционированного доступа.

Результаты проведенных исследований используются в учебном процессе на физическом факультете Саратовского государственного университета при чтении спецкурса "Анализ временных рядов" и в рамках лабораторных работ специализированного практикума "Методы анализа сложных сигналов". Часть результатов включена в учебное пособие для студентов физического факультета.

Запатентовано устройство многоканальной конфиденциальной передачи информации, использующее новый принцип детектирования информационных сигналов.

Достоверность научных выводов работы основывается на соответствии результатов численных экспериментов и теоретических исследований, на соответствии с результатами, которые в ряде случаев можно получить другими методами, на устойчивости применяемых методов анализа структуры сигналов к малым изменениям численной схемы, а также на согласованности с существующими теоретическими представлениями.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Для исследования сигналов с нестационарной многотональной модуляцией целесообразно применение метода двойного вейвлет-анализа, в рамках которого временные зависимости мгновенных частот и мгновенных амплитуд колебаний, идентифицируемые после однократного вейвлет-преобразования, рассматриваются в качестве анализируемых сигналов для повторного вейвлет-преобразования. Он позволяет получать информацию об изменениях во времени характеристик модуляции при условии, что разность частот модулирующего и модулируемого колебательных процессов превышает спектральное разрешение выбранного вейвлета.

2. Мультифрактальный анализ, базирующийся на непрерывном вейвлет-преобразовании, позволяет изучать корреляционные свойства случайных и детерминированных процессов в ситуации, когда длительность сигнала является недостаточной для проведения оценок закономерностей спада автокорреляционной функции с требуемой точностью. В отличие от классического корреляционного анализа, мультифрактальный формализм обеспечивает возможность рассматривать в несколько раз меньший объем выборки для достижения заданной точности и применим для обработки нестационарных данных.

3. Комбинированный алгоритм автоматического распознавания форм сигналов типа одиночного импульса, предусматривающий совместное применение вейвлет-анализа и метода анализа главных компонент, при наличии помех эффективнее использования этих методов по отдельности с точки зрения погрешности разделения близких по форме импульсов. Дополнительное снижение ошибки автоматической идентификации соответствующих сигналов обеспечивается включением процедуры предварительной фильтрации с подстройкой характеристик фильтра под индивидуальные особенности формы импульсов в качестве составной части вейвлетного метода их распознавания.

4. Использование техники реконструкции динамических систем совместно с дискретным вейвлет-преобразованием в системе защищенной передачи информации, использующей принцип модуляции параметров генератора хаотических колебаний и хаотические несущие сигналы, позволяет осуществлять детектирование нескольких информационных сообщений, одновременно передаваемых в одном несущем сигнале. Наличие только одного генератора хаотических колебаний, расположенного в передающем устройстве, устраняет проблему неидентичности генераторов приемника и передатчика, являющейся одной из ключевых для систем защищенной передачи информации, реализующих процедуру детектирования на основе эффекта синхронизации колебаний.

5. Предложена методика оценки степени когерентности, основанная на непрерывном вейвлет-преобразовании и позволяющая изучать взаимную динамику колебательных процессов в условиях нестационарности мгновенных частот колебаний.

6. Установлено, что структурные изменения хаотических сигналов, связанные с фазовой синхронизацией, приводят к изменениям спектра сингу-лярностей, вычисленного по последовательностям времен возврата в секущую Пуанкаре, и могут быть диагностированы на основе мультифракталь-ного анализа. Они включают уменьшение значений показателей Гельдера и уменьшение степени мультифрактальности.

7. Показано наличие общих закономерностей в изменении спектра син-гулярностей при фазовой синхронизации хаоса в динамике взаимодействующих автоколебательных систем и при стохастической синхронизации переключений в динамике передемпфированного бистабильного осциллятора с внешним воздействием.

Совокупность сформулированных положений, методов и результатов следует классифицировать как решение крупной научной проблемы, состоящей в развитии новых методов анализа структуры нестационарных, коротких и зашумленных сигналов.

Апробация работы и публикации. Основные материалы диссертации были доложены на научных конференциях: «Stochaos: Stochastic and Chaotic Dynamics in the Lakes» (Англия, Амблесиде, 1999), «Control of Oscillations and Chaos» (COC'2000, Санкт-Петербург, 2000), «Synchronization of Chaotic and Stochastic Oscillations» (SYNCHRO-2002, Саратов, 2002), «Physics and Control» (PHYSCON, Санкт-Петербург, 2003, 2005), «INTAS-Workshop: Synchronization of Biological Oscillators» (Германия, Потсдам, 2004), «Хаотические автоколебания и образование структур» (ХАОС, Саратов, 1998, 2001, 2004, 2007), «Complex Dynamics and Fluctuations in Biomedical Photonics» (Сан-Хосе, США, 2004, 2006, 2007, 2008, 2009), «First International Work-Conference on the Interplay between Natural and Artificial Computation» (IWINAC 2005, Испания, JIac Пальмас, 2005), «Forum of

Federation of European Neurosciences Societies» (FENS, Швейцария, Вилларс, 2008), «XXV Dynamics Days Europe 2005» (Германия, Берлин, 2005), «l5i BioSim Conference» (Испания, Пальма де Майорка, 2005). «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ» (Саратов, 2001), ежегодной всероссийской научной школе-семинаре «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине - 2008» (Саратов, 2008).

Результаты неоднократно обсуждались на научных семинарах кафедры радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета, научно-образовательного центра REC-006 «Нелинейная динамика" и биофизика» (Саратовский государственный университет), центра динамики сложных систем Потсдамского университета (Германия, Потсдам), центра биофизики и сложных систем Датского технического университета (Люнгбю, Дания), группы статистической физики и нелинейной динамики Гумбольтского университета (Германия, Берлин), лаборатории нейродина-мики университета Комплютенсе (Испания, Мадрид).

Материалы диссертации использовались при чтении спецкурса "Анализ временных рядов" студентам кафедры радиофизики и нелинейной динамики СГУ, при подготовке учебного пособия для спецпрактикума: А.Н. Павлов, "Методы анализа сложных сигналов", Саратов: Научная книга, 2008, 120 стр.

Часть результатов обсуждалась в 3-х диссертационных работах на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, выполненных под руководством соискателя аспирантами А.Р. Зиганшиным (2005), Д.В. Думским (2005) и А.Н. Тупицыным (2009).

По теме диссертации опубликовано 62 работы (без учета тезисов докладов): 2 главы в монографиях, 1 патент и 59 статей, включая 46 статей в журналах (из них 30 статей в журналах, рекомендованных ВАК РФ для опубликования результатов докторских диссертаций) и 13 статей в сборниках трудов международных конференций.

Результаты работы использованы при выполнении грантов: Министерства образования и науки РФ «Ведущие учебно-научные коллективы России» (2003-2006), Совета по грантам Президента РФ «Ведущие научно-педагогические коллективы России НШ-4319.2006.2» (2005-2007), Королевского общества Лондона (1997-1999), Intas 01-2061 (2002-2005), CRDF и Министерства образования и науки РФ «Научно-образовательный центр

Нелинейная динамика и биофизика" (НОЦ REC-006)» (2000-2007), РФФИ №04-02-16769, госконтрактов с ФЦНТП № 02.512.11.2111, № 02.442.11.7244, N® 02.442.11.7181, а также индивидуальных грантов фондов Intas (YSF 994050, 1998) и CRDF (Y1-P-06-06, 2003-2006), гранта Президента России для молодых ученых (МК-2512.2004.2, 2004-2005), гранта совместной программы DAAD и Министерства образования и науки РФ "Михаил Ломоносов" (2008).

Личный вклад автора. Во всех работах автор участвовал в постановке задач, принимал активное участие в проведении численных исследований и интерпретации результатов. В работах, выполненных в соавторстве, соискателю принадлежит ведущая роль в разработке и применении методов анализа структуры сигналов на основе вейвлет-преобразования, а также в объяснении и интерпретации рассматриваемых процессов и явлений (за исключением публикаций, посвященных биологическим приложениям). В публикациях, носящих характер приложений специальных методов анализа структуры сигналов к исследованиям сложной динамики биологических систем, соискатель осуществлял разработку методов анализа и проводил численные исследования. Результаты по мультифрактальному анализу, идентификации импульсных сигналов и исследованию структуры точечных процессов были частично получены совместно с аспирантами А.Р. Зиганшиным и Д.В. Думским, которые защитили диссертации под руководством соискателя, а также аспирантом А.Н. Тупицыным, представившим к защите диссертацию, также выполненную под руководством соискателя. Результаты решения прикладных задач были получены совместно со специалистами из 10 университетов и научных центров Европы и Америки, которые осуществляли постановку биологических приложений методов анализа структуры сигналов, проводили натурные эксперименты и контролировали корректность сделанных выводов по соответствующим задачам, а также с коллективом кафедры биофизики МГУ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации 367 страниц, в том числе 122 страницы рисунков. Список литературы содержит 329 наименований.

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Предложена мера когерентности на основе непрерывного вейвлет-преобразования, позволяющая изучать взаимную динамику колебательных процессов в выбранном частотном диапазоне. Данная мера применима для анализа нестационарных колебательных режимов в условиях значительных изменений во времени мгновенных частот колебаний.

2. Предложен двойной вейвлет-анализ, предусматривающий использование временных зависимостей мгновенных частот и мгновенных амплитуд колебаний (идентифицируемых после однократного вейвлет-преобразования) в качестве исходных сигналов для второго вейвлет-преобразования. Данный метод позволяет детально исследовать эффекты нестационарной многотональной модуляции. Применение двойного вейв лет-анализа позволило, в частности, впервые обнаружить и количественно охарактеризовать эффекты взаимодействия ритмических процессов во внутриклеточной динамике.

3. Выявлены возможности и ограничения мультифрактального анализа, основанного на непрерывном вейв лет-преобразовании. Показано, что в целях повышения точности расчета спектра сингулярностей по временному ряду на основе метода мультифрактального формализма целесообразно исключить из рассмотрения линии локальных экстремумов вейвлет-преобразования, обрывающиеся на малых масштабах.

4. Установлено, что при фазовой синхронизации хаотических автоколебаний в динамике взаимодействующих систем происходят характерные изменения в структуре последовательностей времен возврата в секущую Пуанкаре, которые состоят в уменьшении степени мультифрактальности, уменьшении численных значений показателей Гельдера, характеризующих локальную регулярность сигналов, устранении различий скейлинговых характеристик режимов динамики каждой системы. Эффект уменьшения степени мультифрактальности (вплоть до перехода к монофрактальной динамике) наблюдается и при стохастической синхронизации переключений в динамике передемпфированного бистабильного осциллятора с внешним воздействием.

5. Мультифрактальный анализ, использующий вейвлет-преобразование, представляет собой эффективный метод исследования корреляционных свойств случайных и детерминированных процессов. Он имеет преимущества по сравнению с расчетом автокорреляционной функции при обработке сигналов малой длительности. Применение вейвлетов в качестве составной части данного метода позволяет решать задачи корреляционного анализа нестационарных случайных процессов.

6. Предложена методика уменьшения ошибки идентификации импульсных сигналов за счет специального выбора коэффициентов вейвлет-преобразования и совместного применения вейвлет-анализа и стандартного алгоритма АГК. Показано, что предложенная методика снижает ошибку идентификации импульсов по сравнению с использованием этих подходов по отдельности.

7. Предложен параметрический метод автоматической сортировки импульсных сигналов (параметрический вейвлет-анализ с адаптивной фильтрацией). Принципиальной особенностью метода является то, что он предполагает подстройку характеристик фильтра под индивидуальные особенности формы импульсов. Алгоритм ПВАФ включает процедуру предварительной фильтрации непосредственно в качестве составной части методики выбора оптимальных характеристик для разделения импульсов по группам. На основе тестовых исследований и анализа экспериментальных данных продемонстрировано преимущество разработанного подхода по сравнению с известными методами, такими как АГК и ВКИ. Показано, что предлагаемый подход позволяет снизить ошибку автоматической идентификации форм сигналов до значения, близкого к теоретическому минимуму.

8. При изучении хаотических режимов автоколебаний на входе порогового устройства, не имеющего собственной динамики, по точечному процессу вейвлет-преобразование не позволяет надежно решать задачу идентификации режима динамики при варьировании величины порога. Соответствующая идентификация может проводиться на основе расчета старшего показателя Ляпунова, для повышения точности оценки которого целесообразно применять подход, основанный на аппроксимации усредненной мгновенной частоты. В этом случае задача идентификации может быть решена при условии, что среднее значение времени возврата не превышает характерный временной масштаб, приближенно соответствующий времени Ляпунова. При изучении пороговых систем, обладающих собственной динамикой, непрерывное вейвлет-преобразование позволяет получать информацию о подпороговых колебаниях в рамках метода двойного вейвлет-анализа.

9. Предложен метод детектирования информационных сигналов в системе защищенной многоканальной передачи информации, использующей хаотические несущие сигналы и принцип модуляции параметров генератора хаоса для передачи информационных сообщений. Данный метод основан на применении реконструкции динамических систем и дискретного вейвлет-преобразования. Его достоинством является наличие только одного генератора хаотических сигналов, расположенного в передающем устройстве, в связи с чем отсутствует проблема неидентичности генераторов приемника и передатчика, которая существенно влияет на эффективность систем связи, использующих эффект синхронизации хаотических колебаний.

Заключение

1. Morlet, J. Wave propagation and sampling theory / J. Morlet, G. Arens, I. Fourgeau, D. Giard // Geophysics. 1982. - Vol. 47. - P. 203-236.

2. Grossman, A. Decomposition of Hardy functions into square intergable wavelets of constant shape / A. Grossman, J. Morlet // SIAM J. Math. Anal. 1984. - Vol. 15. - P. 723-736.

3. Daubechies, I. Ten lectures on wavelets / I. Daubechies. Philadelphia: S.I.A.M., 1992.

4. Meyer, Y. Wavelets: Algorithms and applications / Y. Meyer. -Philadelphia: S.I.A.M., 1993.

5. Meyer, Y. Wavelets and operators / Y. Meyer. Cambridge: Cambridge University Press, 1993.

6. Mallat, S. G. A wavelet tour of signal processing / S. G. Mallat. New York: Academic Press, 1998.

7. Addison, P. S. The illustrated wavelet transform handbook: applications in science, engineering, medicine and finance / P. S. Addison. Bristol ; Philadelphia: IOP Publishing, 2002.

8. Kaiser, G. A friendly guide to wavelets / G. Kaiser. Boston: Birkhauser, 1994.

9. Torrence, C. A practical guide to wavelet analysis / C. Torrence, G. P. Compo // Bull. Amer. Meteor. Soc. 1998. - Vol. 79. - P. 61-78.

10. Chui, С. K. An introduction to wavelets / С. K. Chui. New York: Academic Press, 1992.

11. Chui, С. K. Wavelets: a mathematical tool for signal analysis / С. K. Chui. Philadelphia: S.I.A.M., 1997.

12. Астафьева, Н. М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения / Н. М. Астафьева // Успехи физических наук. 1996. - Т. 166, №11. - С. 1145-1170.

13. Короновский, А. А. Непрерывный вейвлетный анализ в приложениях к задачам нелинейной динамики / А. А. Короновский, А. Е. Храмов.- Саратов: ГосУНЦ "Колледж", 2002.

14. Короновский, А. А. Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения / А. А. Короновский, А. Е. Храмов. М.: Физматлит, 2003.

15. Aboufadel, Е. Discovering wavelets / Е. Aboufadel, S. Schlicker. New York: Wiley and Sons, 1999.

16. Bachman, G. Fourier and wavelet analysis / G. Bachman, L. Narici,

17. E. Beckenstein. New York: Springer-Verlag, 2000.

18. Boggess, A. First course in wavelets with Fourier analysis / A. Boggess,

19. F. J. Narcowich. NJ: Prentice Hall, 2001.

20. Burrus, C. S. Introduction to wavelets and wavelet transforms: a primer / C. S. Burrus, R. A. Gopinath, H. Guo. NJ: Prentice Hall, 1998.

21. Cohen, A. Wavelets and multiscale signal processing / A. Cohen, R. Ryan.- London: Chapman and Hall, 1995.

22. Combes, J. M. Wavelets / J. M. Combes, A. Grossman, P. Tchamitchian (Eds.). Berlin: Springer-Verlag, 1989.

23. Erlebacher, G. Wavelets: theory and applications / G. Erlebacher, M. Y. Hussaini, L. M. Jameson (Eds.). New York: Oxford University Press, 1996.

24. Hubbard, В. B. The world according to wavelets: the story of a mathematical technique in the making (2-nd ed.) / В. B. Hubbard. New York: A. K. Peters, 1998.

25. Hernandez, E. First course on wavelets / E. Hernandez, G. A. Weiss. -Boca Raton: CRC Press, 1996.

26. Massopust, P. R. Fractal functions, fractal surfaces, and wavelets / P. R. Massopust. San Diego: Academic Press, 1994.

27. Resnikoff, H. L. Wavelet analysis: the scalable structure of information / H. L. Resnikoff, R. O. Wells Jr. New York: Springer-Verlag, 1998.

28. Schumaker, L. L. Recent advances in wavelet analysis / L. L. Schumaker, G. Webb (Eds.). San Diego: Academic Press, 1993.

29. Starck, J. L. Image processing and data analysis: the multiscale approach / J. L. Starck, F. Murtagh, A. Bijaoui. Cambridge: Cambridge University Press, 1998.

30. Strang, G. Wavelet transforms versus Fourier transforms / G. Strang // Bull. Am. Math. Soc. 1993. - Vol. 28. - P. 288-305.

31. Taswell, C. Handbook of wavelet transform algorithms / C. Taswell. -Boston: Birkhauser, 1996.

32. Teolis, A. Computational signal processing with wavelets / A. Teolis. -Boston: Birkhauser, 1997.

33. Vidakovic, B. Statistical modeling by wavelets / B. Vidakovis. New York: Wiley, 1999.

34. Walter, G. G. Wavelets and other orthogonal systems with applications / G. G. Walter. Boca Raton: CRC Press, 1994.

35. Prestini, E. The evolution of applied harmonic analysis: models of the real world / E. Prestini. Boston: Birkhauser, 2004.

36. Hogan, J. A. Time-frequency and time-scale methods: adaptive decompositions, uncertainty principles, and sampling / J. A. Hogan, J. D. Lakey. Boston: Birkhauser, 2005.

37. Flandrin, P. Time-frequency and time-scale analysis / P. Flandin. San Diego: Academic Press, 1999.

38. Van den Berg, J. C. Wavelets in physics / J. C. Van den Berg (Ed.). -Cambridge: Cambridge University Press, 1993.

39. Столниц, Э. Вейвлеты в компьютерной графике / Э. Столниц, Т. Де-Роуз, Д. Салезин. М. ; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2002.

40. Aldroubi, A. Wavelets in medicine and biology / A. Aldroubi, M. Unser (Eds.). Boca Raton: CRC Press, 1996.

41. Foufoula-Georgiou, E. Wavelets in geophysics / E. Foufoula-Georgiou, P. Kumar (Eds.). New York: Academic Press, 1994.

42. Benedetto, J. J. Wavelets: mathematics and applications / J. J. Benedetto, M. Frazier (Eds.). Boca Raton: CRC Press, 1994.

43. Gencay, R. An introduction to wavelets and other filtering methods in finance and economics / R. Gencay, F. Selcuk, B. Whitcher. San Diego: Academic Press, 2001.

44. Chui, C. Wavelets: theory, algorithms, and applications / C. Chui, L. Montefusco, L. Puccio (Eds.). San Diego: Academic Press, 1994.

45. Koornwinder, T. Wavelets: an elementary treatment of theory and applications / T. Koornwinder (Ed.). Singapore: World Scientific, 1993.

46. Strutz, T. Bilddatenkompression. Grundlagen, codierung, JPEG, MPEG, wavelets / T. Strutz. Wiesbaden: Vieweg Braunschweig, 2002.

47. Walker, J. S. A primer on wavelets and their scientific applications / J. S. Walker. Boca Raton: CRC Press, 1999.

48. Jaffard, S. Wavelets: tools for science and technology / S. Jaffard, Y. Meyer, R. Ryan. Philadelphia: S.I.A.M., 2001.

49. Wickerhauser, M. V. Adapted wavelet analysis from theory to software / M. V. Wickerhauser. Wellesley: Peters, 1994.

50. Vetterli, M. Wavelets and subband coding / M. Vetterli, J. Kovacevic. -NJ: Prentice Hall, 1995.

51. Akansu, A. N. Multiresolution signal decomposition: transforms, subbands and wavelets / A. N. Akansu, R. A. Haddad. San Diego: Academic Press, 2001.

52. Abbate, A. Wavelets and subbands. Fundamentals and applications / A. Abbate, C. DeCusatis, P. K. Das. Boston: Birkhauser, 2002.

53. Ali, S. T. Coherent states, wavelets and their generalizations / S. T. Ali, J-P. Antoine, J-P. Gazeau. New York: Springer, 1999.

54. Meyer, Y. Wavelets. Calderon-Zygmund and multilinear operators / Y. Meyer, R. Coifman. Cambridge: Cambridge University Press, 1997.

55. Haar, A. Zur theorie der orthogonalen funktionen-systeme / A. Haar // Mathematische Annalen. 1910. - Vol. 69. - P. 331-371.

56. Дремин, И. M. Вейвлеты и их применение / И. М. Дремин, О. В. Иванов, В. А. Нечитайло // Успехи физических наук. 2001. - Т. 171. -С. 465-501.

57. Gabor, D. Theory of communications / D. Gabor //J. Inst. Electr. Eng. London. 1946. - Vol. 93. - P. 429-457.

58. Ricker, N. The form and nature of seismic waves and the structure of seismograms / N. Ricker // Geophysics. 1940. - Vol. 5, №4. - P. 348-366.

59. Хованова, H. А. Методы анализа временных рядов / Н. А. Хованова, И. А. Хованов. Саратов: ГосУНЦ "Колледж", 2001.

60. Бендат, Дж. Прикладной анализ случайных данных / Дж. Бендат, А. Пирсол. М.: Мир, 1989.

61. Отнес, Р. Прикладной анализ временных рядов / Р. Отнес, JL Эноксон. М.: Мир, 1982.

62. Вайнштейн, JI. А. Разделение частот в теории колебаний и волн / JI. А. Вайнштейн, Д. Е. Вакман. М.: Наука, 1983.

63. Peng С.-К. Quantification of scaling exponents and crossover phenomena in nonstationary heartbeat time series / C.-K. Peng, S. Havlin, H. Stanley, A. Goldberger // Chaos. 1995. - Vol. 5.- P. 82-87.

64. Buldyrev, S. Long-range correlation properties of coding and noncoding DNA sequences: GenBank analysis / S. Buldyrev, A. Goldberger, S. Havlin, R. Mantegna, M. Matsa, C.-K. Peng, M. Simons, H. Stanley // Phys. Rev. E. 1995. - Vol. 51.- P. 5084-5091.

65. Stanley, H. Scaling features of noncoding DNA / H. Stanley, S. Buldyrev, A. Goldberger, S. Havlin, C.-K. Peng, M. Simons // Physica A. 1999. -Vol. 273, - P. 1-18.

66. Havlin, S. Scaling in Nature: from DNA through heartbeats to weather / S. Havlin, S. Buldyrev, A. Bunde, A. Goldberger, P. Ivanov, C.-K. Peng, H. Stanley // Physica A. 1999. - Vol. 273. - P. 46-69.

67. Quian Quiroga, R. Q. Performance of different synchronization measures in real data: a case study on electroencephalographic signals / R. Q. Quian Quiroga, A. Kraskov, T. Kreuz, P. Grassberger // Phys. Rev. E. 2002. - Vol. 65. - P. 041903.

68. Muzy, J. F. The multifractal formalism revisited with wavelets / J. F. Muzy, E. Bacry, A. Arneodo // Int. J. Bifurcation Chaos. 1994. - Vol. 4, №2. -P. 245-302.

69. Гинзбург, В. JI. О физике и астрофизике / В. JI. Гинзбург. М.: Наука, 1992.

70. Landau, Н. J. Prolate spheroidal wave functions, Fourier analysis and uncertainty, II / H. J. Landau, H. O. Pollak // Bell Systems Tech. J. -1961. Vol. 40. - P. 65-84.

71. Landau, H. J. Prolate spheroidal wave functions, Fourier analysis and uncertainty, III / H. J. Landau, H. O. Pollak // Bell Systems Tech. J. 1962. - Vol. 41. - P. 1295-1336.

72. Maraun, D. Cross wavelet analysis. Significance testing and pitfalls / D. Maraun, J. Kurths // Nonlin. Proc. Geoph. 2004. - Vol. 11. - P. 505-514.

73. Ville, J. Theorie et applications de la notion de signal analytique / J. Ville // Cables et TYansm. 1948. - Vol. 2A, №1. - P. 61-74.

74. Wigner, E. P. On the quantum correction for thermodynamic equilibrium / E. P. Wigner // Phys. Rev. 1932. - Vol. 40. - P. 749-759.

75. Flandrin, P. Some aspects of non-stationary signal processing with emphasis on time-frequency and time-scale methods / P. Flandrin // Wavelets ; ed. by Combes J. M., Grossmann A., Tchamitchian Ph. 1989. - P. 68-98.

76. Dremin, I.M. Cumulant and factorial moments in perturbative gluodynamics / I. M. Dremin // Phys. Lett. B. 1993. - Vol. 313. -P. 209212.

77. Короновский, А. А. Анализ фазовой хаотической синхронизации с помощью непрерывного вейвлетного преобразования / А. А. Короновский, А. Е. Храмов // Письма в ЖТФ. 2004. - Т. 30, вып. 14. -С. 29-36.

78. Короновский, А. А. Анализ хаотической синхронизации динамических систем с помощью вейвлетного преобразования / А. А. Короновский, А. Е. Храмов // Письма в ЖЭТФ. 2004. - Т. 79, вып. 7. - С. 391-395.

79. Короновский, А. А. Об эффективном анализе перехода к хаосу через перемежаемость с помощью вейвлетного преобразования / А. А. Короновский, А. Е. Храмов // Письма в ЖТФ. 2001. - Т. 27, вып. 1. -С. 3-11.

80. Press, W. Н. Numerical recipes in С: the art of scientific computing / W. H. Press, S. A. Teukokolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flanney. -Cambridge: Cambridge University Press, 1992.

81. Anishchenko, V. S. Nonlinear dynamics of chaotic and stochastic systems / V. S. Anishchenko, V. V. Astakhov, A. B. Neiman, Т. E. Vadivasova, L. Schimansky-Geier. Berlin: Springer-Verlag, 2002.

82. Анищенко, В. С. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах / В. С. Анищенко, В. В. Астахов, Т. Е. Вадивасова, А. Б. Нейман, Г. И. Стрелкова, JL Шиманский-Гайер. М. ; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2003.

83. Lotric, M. В. Synchronization and modulation in the human cardiorespiratory system / M. B. Lotric, A. Stefanovska // Physica

84. A. 2000. - Vol. 283. - P. 451-461.

85. Addison, P. S. Secondary transform decoupling of shifted nonstationary signal modulation components: application to photoplethysmography / P. S. Addison, J. N. Watson. // Int. J. Wavelets Multires. Inf. Proc. -2004. Vol. 2. - P. 43-57.

86. Mandelbrot, В. B. The fractal geometry of nature / В. B. Mandelbrot. -San Francisco: W.H. Freeman and company, 1982.

87. Halsey, Т. C. Fractal measures and their singularities: the characterization of strange sets / Т. C. Halsey, M. H. Jensen, L. P. Kadanoff, I. Procaccia,

88. B. I. Shraiman // Phys. Rev. A. 1986. - Vol. 33. - P. 1141-1151.

89. Tel, T. Fractals, multifractals, and thermodynamics / T. Tel // Z. Naturforsh. 1988. - Vol. 43a. - P. 1154-1174.

90. Федер, E. Фракталы / E. Федер. M.: Мир, 1991.

91. Шредер, M. Фракталы, хаос, степенные законы / М. Шредер М. ; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001.

92. Пайтген, X. О. Красота фракталов / X. О. Пайтген, П. X. Рихтер М.: Мир, 1993.

93. Family, F. Dynamics of fractal surfaces / F. Family, T. Vicsek. Singapore: World Scientific, 1991.

94. Зельдович, Я. Б. Фракталы, подобие, промежуточная асимптотика / Я. Б. Зельдович, Д. Д. Соколов // Успехи физических наук. 1985. -Т. 146, т. - С. 493-506.

95. Соколов, И. М. Размерности и другие геометрические критические показатели в теории протекания / И. М. Соколов // Успехи физических наук. 1986. - Т. 150, №2. - С. 221-255.

96. Зосимов, В. В. Фракталы в волновых процессах / В. В. Зосимов, JL М. Лямшев // Успехи физических наук. 1995. - Т. 165, №4.1. C. 361-401.

97. Eisenberg, E. Range of multifractality for random walks on random fractals / E. Eisenberg, A. Bunde, S. Havlin, H. E. Roman // Phys. Rev. E. 1993. - Vol. 47. - P. 2333-2235.

98. Drager, J. Multifractal features of random walks and localized vibrational excitations on random fractals: dependence on the averaging procedures / J. Drager // Phys. Rev. E. 1996. - Vol. 54. - P. 4596-4602.

99. Arneodo, A. Intermittency, log-normal statistics, and multifractal cascade process in high-resolution satellite images of cloud structure / A. Arneodo, N. Decoster, S. G. Roux // Phys. Rev. Lett. 1999. - Vol. 83. - P. 12551258.

100. Chabra, A. Direct determination of the f(a') singularity spectrum and its application to fully developed turbulence / A. Chabra, C. Meneveau, R. V. Jensen // Phys. Rev. A. 1989. - Vol. 40. - P. 5284-5294.

101. Benzi, R. On the multifractal nature of fully developed turbulence and chaotic systems / R. Benzi, G. Paladin, G. Parisi, A. Vulpiani //J. Phys. A. 1984. - Vol. 17. - P. 3521-3531.

102. Baddi, R. Measurement of the dimension spectrum f(o;): fixed-mass approach / R. Baddi, G. Broggi // Phys. Lett. A. 1988. - Vol. 131. -P. 339-343.

103. Feigenbaum, M. J. Some characterizations of strange sets / M. J. Feigenbaum // J. Stat. Phys. 1987. - Vol. 46. - P. 919-924.

104. Jensen, M. H. Scaling structure and thermodynamics of strange sets / M. N. Jensen, L. P. Kadanoff, I. Procaccia // Phys. Rev. A. 1987. -Vol. 36. - P. 1409-1420.

105. Mandelbrot, B. B. Fractals and multifractals: noise, turbulence and galaxies / B. B. Mandelbrot. New York: Springer-Verlag, 1989.

106. Strait, B. J. Multifractals and decoded walks: applications to protein sequence correlations / B. J. Strait, T. G. Dewey // Phys. Rev. E. 1995.- Vol. 52. P. 6588-6592.

107. Glazier, J. A. Reconstructing phylogeny from the multifractal spectrum of mitochondrial DNA / J. A. Glazier, S. Raghavachari, C. L. Berthelsen, M. H. Skolnick // Phys. Rev. E. 1995. - Vol. 51. - P. 2665-2668.

108. Hentschel, H. G. E. Stochastic multifractality and universal scaling distributions / H. G. E. Hentschel // Phys. Rev. E. 1994. - Vol. 50.- P. 243-261.

109. Wiklund, K. O. Multifractality of the Lorenz system / K. O. Wiklund // Phys. Rev. E. 1996. - Vol. 54. - P. 1111-1119.

110. Frish, U. Fully developed turbulence and intermittency / U. Frish, G. Parisi // Turbulence and predictability in geophysical fluid dynamics and climate dynamics ; ed. by Ghil M., Benzi R., Parisi G. 1985. - P. 71-88.

111. Barabasi, A. L. Multyfractality of self-affine fractals / A. L. Barabasi, T. Vicsek // Phys. Rev. A. 1991. - Vol. 44. - P. 2730-2733.

112. Muzy, J. F. Wavelets and multifractal formalism for singular signals: application to turbulence data / J. F. Muzy, E. Bacry, A. Arneodo // Phys. Rev. Lett. 1991. - Vol. 67. - P. 3515-3518.

113. Muzy, J. F. Multifractal formalism for fractal signals: the structure-function approach versus the wavelet-transform modulus-maxima method / J. F. Muzy, E. Bacry, A. Arneodo // Phys. Rev. E. 1993. - Vol. 47. -P. 875-884.

114. Ivanov, P. Ch. Multifractality in human heartbeat dynamics / P. Ch. Ivanov, L. A. Nunes Amaral, A. L. Goldberger, S. Havlin,

115. M. G. Rosenblum, Z. R. Struzik, H. E. Stanley // Nature. 1999. - Vol. 399.- P. 461-465.

116. Arneodo, A. What can we learn with wavelets about DNA sequences? / A. Arneodo, Y. D. Aubenton-Carafa, B. Audit, E. Bacry, J. F. Muzy, C. Thermes // Physica A. 1998. - Vol. 249. - P. 439-448.

117. Stanley, H. E. Statistical physics and physiology: monofractal and multifractal approaches / H. E. Stanley, L. A. Nunes Amaral, A. L. Goldberger, S. Havlin, P. Ch. Ivanov, C.-K. Peng // Physica A.- 1999. Vol. 270. - P. 309-324.

118. Nunes Amaral, L. A. Behavioral-independent features of complex heartbeat dynamics / L. A. Nunes Amaral, P. Ch. Ivanov, N. Aoyagi, I. Hidaka, S. Tomono, A. L. Goldberger, H. E. Stanley, Y. Yamamoto // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 86. - P. 6026-6030.

119. Ivanov, P. Ch. From 1/f noise to multifractal cascades in heartbeat dynamics / P. Ch. Ivanov, L. A. Nunes Amaral, A. L. Goldberger, S. Havlin, M. G. Rosenblum, H. E. Stanley, Z. R. Struzik // Chaos. 2001. - Vol. 11.- P. 641-652.

120. Marrone, A. Multiscale analysis of blood pressure signals / A. Marrone, A. D. Polosa, G. Scioscia, S. Stramaglia, A. Zenzola // Phys. Rev. E. -1999. Vol. 60. - P. 1088-1091.

121. Thurner, S. Multiresolution wavelet analysis of heartbeat intervals discriminates healthy patients from those with cardiac pathology / S. Thurner, M. C. Feurstein, M. C. Teich. // Phys. Rev. Lett. 1998.- Vol. 80. P. 1544-1547.

122. Peng, C.-K. Mosaic organization of DNA nucleotides / C.-K. Peng, S. V. Buldyrev, S. Havlin, M. Simons, H. E. Stanley, A. L. Goldberger // Phys. Rev. E. 1994. - Vol. 49. - P. 1685-1689.

123. Hausdorff, F. Dimension and äusseres mass / F. Hausdorff // Mathematische Annalen. 1919. - Vol. 79. - P. 157-179.

124. Besicovitch, A. S. On the sum of digits of real numbers represented in the dyadic system / A. S. Besicovitch // Mathematische Annalen. 1935. -Vol. 110. - P. 321-330.

125. Falconer, K. J. The geometry of fractal sets / K. J. Falconer. Cambridge: Cambridge University Press, 1985.

126. Farmer, J. D. The dimension of chaotic attractors / J. D. Farmer, E. Ott, J. A. Yorke // Physica D. 1983. - Vol. 7. - P. 153-180.

127. Божокин, С. В. Фракталы и мультифракталы / С. В. Божокин, Д. А. Паршин. М. ; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001.

128. Grassberger, P. Generalized dimensions of strange attractors / P. Grassberger // Phys. Lett. A. 1983. - Vol. 97. - P. 227-230.

129. Grassberger, P. Measuring the strangeness of strange attractors / P. Grassberger, I. Procaccia // Physica D. 1983. - Vol. 9. - P. 189-208.

130. Hentschel, H. G. The infinite number of generalized dimensions of fractals and strange attractors / H. G. Hentschel, I. Procaccia // Physica D. 1983.- Vol. 8. P. 435-444.

131. Grassberger, P. Characterization of strange attractors / P. Grassberger, I. Procaccia // Phys. Rev. Lett. 1983. - Vol. 50. - P. 346-349.

132. Bowen, R. Equilibrium states and the ergodic theory of Anosov diffeomorphisms / R. Bowen. New York: Springer-Verlag, 1975.

133. Collet, P. The dimension spectrum of some dynamical systems / P. Collet, J. Lebowiz, A. Porzio //J. Stat. Phys. 1987. - Vol. 47. - P. 609-644.

134. Kuramoto, Y. Chemical oscillations, waves and turbulence / Y. Kuramoto.- Berlin: Springer-Verlag, 1984.

135. Pikovsky, A. Synchronization: a universal concept in nonlinear sciences / A. Pikovsky, M. Rosenblum, J. Kurths. Cambridge: Cambridge Nonlinear Science Series, 2001.

136. Mosekilde, E. Chaotic synchronization: Applications to Living Systems / E. Mosekilde, Yu. Maistrenko, D. Postnov. Singapore: World Scientific, 2002.

137. Afraimovich, V. S. Stability, structures and chaos in nonlinear synchronization networks / V. S. Afraimovich, V. I. Nekorkin, G. V. Osipov, V. D. Shalfeev. Singapore: World Scientific, 1994.

138. Osipov, G. V. Synchronization in Oscillatory Networks / G. V. Osipov, J. Kurths, Ch. Zhou. Berlin: Springer-Verlag, 2007.

139. Fujisaka, H. Stability theory of synchronized motions in coupled oscillatory systems / H. Fujisaka, Y. Yamada // Progr. Theor. Phys. 1983. - Vol. 69. - P. 32-47.

140. Афраймович, B.C. Стохастическая синхронизация колебаний в дисси-пативных системах / В. С. Афраймович, Н. Н. Веричев, М. И. Рабинович // Изв. вузов, Радиофизика. 1986. - Т. 29, №9. - С. 1050-1060.

141. Pecora, L. М. Carroll synchronization in chaotic systems / L. M. Pecora, T. L. Carroll // Phys. Rev. Lett. 1990. - Vol. 64. - P. 821-825.

142. Rulkov, N. F. Generalized synchronization of chaos in unidirectionally coupled chaotic systems / N. F. Rulkov, M. M. Sushchik, L. S. Tsimring, H. D. I. Abarbanel // Phys. Rev. E. 1995. - Vol. 51. - P. 980-994.

143. Kocarev, L. Generalized synchronization, predictability, and equivalence of unidirectionally coupled dynamical systems / L. Kocarev, U. Parlitz // Phys. Rev. Lett. 1996. - Vol. 76. - P. 1816-1820.

144. Rosenblum, M. G. Phase synchronization of chaotic oscillators / M. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths // Phys. Rev. Lett. 1996. -Vol. 76. - P. 1804-1810.

145. Rosenblum, M. G. From phase to lag synchronization in coupled chaotic oscillators / M. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths // Phys. Rev. Lett. 1997. - Vol. 78. - P. 4193-4197.

146. Anishchenko, V. S. Synchronization of chaos / V. S. Anishchenko, Т. E. Vadivasova, D. E. Postnov, M. A. Safonova // Int. J. Bifurcation Chaos. 1992. - Vol. 2, №3. - P. 633-644.

147. Neiman, A. Stochastic resonance: noise enhanced phase coherence / A. Neiman, A. Silchenko, V. Anishchenko, L. Schimansky-Geier // Phys. Rev. E. 1998. - Vol. 58. - P. 7118-7125.

148. Hadyn, N. Multifractal properties of return time statistics / N. Hadyn, J. Luevano, G. Mantica, S. Vaienti // Phys. Rev. Lett. 2002. - Vol. 88.- P. 2245-2249.

149. Afraimovich, V. Fractal and multifractal properties of exit times and Poincare recurrences / V. Afraimovich, G. M. Zaslavsky // Phys. Rev. E. 1997. - Vol. 55. - P. 5418-5426.

150. Postnov, D. E. Role of multistability in the transition to chaotic phase synchronization / D. E. Postnov, T. E. Vadivasova, O. V. Sosnovtseva, A. G. Balanov, V. S. Anishchenko, E. Mosekilde // Chaos. 1999. - Vol. 9.- P. 227-232.

151. Anishchenko, V. S. Synchronization of switching processes in coupled Lorenz systems / V. S. Anishchenko, A. N. Silchenko, I. A. Khovanov // Phys. Rev. E. 1998. - Vol. 57. - P. 316-322.

152. Mosekilde, E. Topics in nonlinear dynamics. Applications to physics, biology and economic systems / E. Mosekilde. Singapore: World Scientific, 1996.

153. Postnov, D. E. Cooperative phase dynamics in coupled nephrons / D. E. Postnov, O. V. Sosnovtseva, E. Mosekilde, N.-H. Holstein-Rathlou // Int. J. Mod. Phys. B. 2001. - Vol. 15. - P. 3079-3098.

154. Barfred, M. Bifurcation analysis of nephron pressure and flow regulation / M. Barfred, E. Mosekilde, N.-H. Holstein-Rathlou // Chaos. 1996. -Vol. 6. - P. 280-287.

155. Benzi, R. The mechanism of stochastic resonance / R. Benzi, A. Sutera, A. Vulpiani // J. Phys. A. 1981. - Vol. 14. - P. L453-L457.

156. Nicolis, C. Stochastic aspects of climatic transitions additive fluctuations / C. Nicolis, G. Nicolis // Tellus. 1981. - Vol. 33. - P. 225-234.

157. Анищенко, В. С. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка / В. С. Анищенко, А. Б. Нейман, Ф. Мосс, JI. Шиманский-Гайер // Успехи физических наук. 1999. -Т. 169, т. - С. 7-38.

158. Silchenko, A. Multifractal characterization of stochastic resonance / A. Silchenko, С. K. Hu // Phys. Rev. E. 2001. - Vol. 63. - P. 041105.

159. Jaffard, S. Wavelet methods for pointwise regularity and local oscillation of functions / S. Jaffard, Y. Meyer // Mem. Am. Math. Soc. 1996. -Vol. 123, №587, P. 1-110.

160. Veneziano, D. Multifractal analysis: pitfalls of standard procedures and alternatives / D. Veneziano, G. E. Moglen, R. L. Bras // Phys. Rev. E. -1995. Vol. 52. - P. 1387-1398.

161. Moreno, A. Principalis, oralis and interpolaris responses to whisker movements provoked by air jets in rats / A. Moreno, V. Garsia-Gonzalez, A. Sanches-Jimenez, F. Panetsos // NeuroReport. 2005. - Vol. 16, №14.- P. 1569-1573.

162. Harris, K. Accuracy of tetrode spike separation as determined by simultaneous intracellular and extracellular measurements / K. Harris, D. Henze, J. Csicsvari, H. Hirase, G. Buzsaki //J. Neurophysiol. 2000.- Vol. 84. P. 401-414.

163. Schmidt, E. M. Computer separations of multi-unit neuroelectric data: a review / E. M. Schmidt // J. Neurosci. Methods.- 1984. Vol. 12. - P. 95111.

164. Gray, C. Tetrodes markedly improve the reliability and yield of multiple single-unit isolation from multi-unit recordings in cat striate cortex / C. Gray, P. Maldonado, M. Wilson, B. McNaughton //J. Neurosci. Methods. 1995. - Vol. 63. - P. 43-54.

165. Eggermont, J. Stimulus dependent neural correlations in the auditory midbrain of the grassfrog (Rana temporaria L.) / J. Eggermont, W. Epping, A. Aertsen // Biol. Cybern. 1983. - Vol. 47. - P. 103-117.

166. Zouridakis, G. Multi-unit spike discrimination using wavelet transforms / G. Zouridakis, D. Tam // Comput. Biol. Med. 1997. - Vol. 27. - P. 9-18.

167. Lewicki, M. A review of methods for spike sorting: the detection and classification of neural potencials / M. Lewicki // Net. Com. Neu. Sys. 1998. - Vol. 9. - P. R53-R78.

168. Hulata, E. A metod for spike sorting and detection based on wavelet packets and Shannon's mutual information / E. Hulata, R. Segev, E. Ben-Jacob // J. Neurosci. Methods. 2002. - Vol. 117. - P. 1-12.

169. Letelier, J. Spike sorting based on discrete wavelet transform coefficients / J. Letelier, P. Weber // J. Neurosci. Methods. 2000. - Vol. 101. - P. 93106.

170. Quian Quiroga, R. Unsupervised spike detection and sorting with wavelets and superparamagnetic clustering / R. Quian Quiroga, Z. Nadasdy, Y. Ben-Shaul // Neural Computation. 2004. - Vol. 16. - P. 1661-1687.

171. Kim, K. A wavelet-based method for action potential detection from extracellular neural signal recording with low signal-to-noise ratio / K. Kim, S. Kim // IEEE Trans, on Biomed. Eng. 2003. - Vol. 50, №. 8. - P. 9991011.

172. Simon, W. The real-time sorting of neuro-electric action potentials in multiple unit studies electroenceph / W. Simon // Clin. Neurophysiol. -1965. Vol. 18. - P. 192-195.

173. Feldman, J. Computer detection and analysis of neuronal spike sequences / J. Feldman, F. Roberge // Inform. 1971. - Vol. 9. - P. 185-197.

174. Dinning, G. Real-time classification of multiunit neural signals using reduced feature sets / G. Dinning // IEEE Trans. Biomed. Eng. 1981. -Vol. 28. - R 804-812.

175. Wheeler, B. A comparison of techniques for classification of multiple neural signals / B. Wheeler, W. Heetderks // IEEE Trans. Biomed. Eng. 1982.- Vol. 29. P. 752-759.

176. Glaser, E. On-line separation of interleaved neuronal pulse sequences / E. Glaser, W. Marks // Biol. Med. 1968. - Vol. 5. - P. 137-156.

177. Glaser, E. Separation of neuronal activity by waveforms analysis / E. Glaser // Advances in Biomedical Engineering. 1971. - Vol. 1. - P. 77136.

178. Gerstein, G. Design of a laboratory for multineuron studies / G. Gerstein, M. Bloom, I. Espinosa, S. Evanczuk, M. Turner // IEEE Trans. Systems, Cybern. 1983. - Vol. 13. - P. 668-676.

179. Gerstein, G. Simultaneous studies of firing patterns in several neurons /

180. G. Gerstein, W. Clark // Science. 1964. - Vol. 143. - P. 1325-1327.

181. Cooley, W. W. Multivariate data analysis / W. W. Cooley, P. R. Lohnes.- New York: Wiley, 1971.

182. Rao, K. The transform and data compression handbook / K. Rao, P. Yip (Eds.). Baton Rouge: CRC Press, 2001.

183. Muresan, D. D. Adaptive principal components and image denoising / D. D. Muresan, T. W. Parks // IEEE International Conference on Image Processing (ICIP). 2003. - Vol. 1. - P. 101-104.

184. Jolliffe, I. T. Principal component analysis / I. T. Jolliffe. New York: Springer, 2002.

185. Kaiser, H. F. The application of electronic computers to factor analysis /

186. H. F. Kaiser // Educational and Psychological Measurement. 1960. -Vol. 20. - P. 141-151.

187. Cattell, R. B. The scree test for the number of factors / R. B. Cattell // Multivariate Behavioral Research. 1966. - Vol. 1. - P. 245-276.

188. Burrus, С. S. Introduction to wavelets and wavelet transforms: a primer / C. S. Burrus, R. A. Gopinath, H. Guo. Engelwood Cliffs : Prentice Hall, 1997.

189. Duda, R. Pattern classification and scene analysis / R. Duda, P. Hart. -New York: Wiley, 1973.

190. Hartigan, J. Clustering algorithms / J. Hartigan. New York: Wiley, 1975.

191. Everitt, B. Cluster analysis / B. Everitt. New York: Wiley, 1993.

192. Тихонов, В. И. Марковские процессы / В. И. Тихонов, М. А. Миронов- М.: Сов.радио, 1977.

193. Hegger, R. Embedding of sequence of time intervals / R. Hegger, H. Kantz // Europhysics Letters. 1997. - Vol. 38. - P. 267-272.

194. Packard, N. H. Geometry from a time series / N. H. Packard, J. R. Crutchfield, J. D. Farmer, R. S. Shaw // Phys. Rev. Lett. 1980. -Vol. 45. - P. 712-716.

195. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence / F. Takens // Dynamical systems and turbulence ; ed. by Rang D., Young L. S. 1980.- Vol. 898. P. 366-381.

196. Sauer, T. Embedology / T. Sauer, J. A. Yorke, M. Casdagli // J. Statistical Physics. 1991. - Vol. 65. - P. 579-616.

197. Tuckwell, H. C. Introduction to theoretical neurobiology / H. C. Tuckwell.- Cambridge: Cambridge University Press, 1988.

198. Abbott, L. F. Lapique's introduction of the integrate-and-fire model neuron (1907) / L. F. Abbott // Brain Research Bulletin. 1999. - Vol. 50. -P. 303-304.

199. Norsworthy, S. R. Delta-sigma data converters theory, design and simulation / S. R. Norsworthy, R. Schreier, G. C. Temes. - New York: IEEE Press, 1997.

200. Sauer T. Reconstruction of integrate-and-fire dynamics / T. Sauer // Nonlinear dynamics and time series ; ed. by Culter C., Kaplan D. 1997.- Vol. 11. P. 63-75.

201. Sauer, Т. Reconstruction of dynamical system from interspike intervals / T. Sauer // Phys. Rev. Lett. 1994. - Vol. 72. - P. 3911-3914.

202. Racicot, D. M. Interspike interval attractors from chaotically driven neuron models / D. M. Racicot, A. Longtin // Physica D. 1997. - Vol. 104. -P. 184-204.

203. Castro, R. Chaotic stochastic resonance: noise-enhanced reconstruction of attractor / R. Castro, T. Sauer // Phys. Rev. Lett. 1997. - Vol. 79. -P. 1030-1033.

204. Castro, R. Reconstructing chaotic dynamics through spike filters / R. Castro, T. Sauer // Phys. Rev. E. 1999. - Vol. 59. - P. 2911-2917.

205. Sauer, T. Interspike interval embedding of chaotic signals / T. Sauer // Chaos. 1995. - Vol. 5. - P. 127-132.

206. Castro, R. Correlation dimension of attractors through interspike intervals / R. Castro, T. Sauer // Phys. Rev. E. 1997. - Vol. 55. -P. 287-290.

207. Bialek, W. Reading a neural code / W. Bialek, F. Rieke, R. R. De Ruyter van Steveninck, D. Warland // Science. 1991. -Vol. 252. - P. 1854-1857.

208. Gabbiani, F. Coding of time-varying signals in spike trains of integrate-and-fire neurons with random threshold / F. Gabbiani, C. Koch // Neural Comput. 1996. - Vol. 8, №. - P. 44-66.

209. Dawson, S. P. Strange nonattracting chaotic sets, crises, and fluctuating Lyapunov exponents / S. P. Dawson // Phys.Rev.Lett. 1996. - Vol. 76. - P. 4348-4351.

210. Froyland, G. Estimation of Lyapunov exponents of dynamical systems using a spatial average / G. Froyland, K. Judd, A. I. Mees // Phys. Rev. E. -1995. Vol. 51. - P. 2844-2855.

211. Анищенко, В. С. Индуцированное шумом экспоненциальное разбега-ние фазовых траекторий в окрестности регулярных аттракторов / В. С. Анищенко, М. А. Сафонова // Письма в ЖТФ. 1986. - Т. 12, вып. 12. - С. 740-744.

212. Anishchenko, V. S. Noise-induced chaos in a system with homoclinic points / V. S. Anishchenko, H. P. Herzel // ZAMM. 1988. - Vol. 68, №7. - P. 317-318.

213. Benettin, G. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for hamiltonian systems; a method for computing all of them / G. Benettin, L. Galgani, A. Giorgilli, J. M. Strelcyn // Meccanica. 1980.- Vol.15. P. 9-20.

214. Shimada, I. A numerical approach to ergodic problem of dissipative dynamical system / I. Shimada, T. Nagashima // Progr. Theor. Phys.- 1979. Vol. 61, №6. - P. 1605-1616.

215. Ershov, S. V. On the concept of stationary Lyapunov basis / S. V. Ershov, A. B. Potapov // Physica D. 1998. - Vol. 118, №3. - P. 167-198.

216. Wolf, A. Determining Lyapunov exponents from a time series / A. Wolf, J. B. Swift, H. L. Swinney, J. A. Vastano // Physica D. 1985. - Vol. 16.- P. 285-317.

217. Eckmann, J. P. Liapunov exponents from a time series / J. P. Eckmann, S. O. Kamphorst, D. Ruelle, D. Gilberto // Phys. Rev. A. 1986. - Vol. 34.- P. 4971-4979.

218. Sano, M. Measurement of the Lyapunov spectrum from a chaotic time series / M. Sano, Y. Sawada // Phys. Rev. Lett. 1985. - Vol. 55. -P. 1082-1085.

219. Brown, R. Calculating Lyapunov exponents for short and/or noisy data sets / R. Brown // Phys. Rev. E. 1993. - Vol. 47. - P. 3962-3969.

220. Parlitz, U. Identification of true and spurious Lyapunov exponents from time series / U. Parlitz // Int. J. Bifurcation Chaos. 1992. - Vol. 2, № 1.- P. 155-165.

221. Kantz, H. A robust method to estimate the maximal Lyapunov exponents of a time series / H. Kantz // Phys. Lett. A. 1994. - Vol. 185. - P. 77-87.

222. Eckmann, J. P. Fundamental limitations for estimating dimensions and Lyapunov exponents in dynamical systems / J. P. Eckmann, D. Ruelle // Physica D. 1992. - Vol. 56. - P. 185-187.

223. Brown, R. Computing the Lyapunov spectrum of a dynamical system from an observed time series / R. Brown, P. Bryant, H. D. I. Abarbanel // Phys. Rev. A. 1991. - Vol. 43. - P. 2787-2806.

224. Potapov, A. Distortions of reconstruction for chaotic attractors / A. Potapov // Physica D. 1997. - Vol. 101, №3. - P. 207-226.

225. Paladin, G. Complexity in dynamical systems with noise / G. Paladin, M. Serva, A. Vulpiani // Phys. Rev. Lett. 1995. - Vol. 74. - P. 66-69.

226. Loreto, V. Concept of complexity in random dynamical systems / V. Loreto, G. Paladin, A. Vulpiani // Phys. Rev. E. 1996. - Vol. 53. - P. 2087-2098.

227. Janson, N. B. Reconstruction of dynamical and geometrical properties of chaotic attractors from threshold-crossing interspike intervals / N. B. Janson, A. N. Pavlov, A. B. Neiman, V. S. Anishchenko // Phys. Rev. E. 1998. - Vol. 58. - P. R4-R7.

228. Faure, P. A new method to estimate the Kolmogorov entropy from recurrence plots: its application to neuronal signals / P. Faure, H. Korn // Physica D. 1998. Vol. 122. - P. 265-279.

229. Anishchenko, V. S. Computing Lyapunov exponents from RR-intervals / V. S. Anishchenko, A. N. Pavlov, N. B. Janson // Proceedings of NOLTA'98. 1998. - Vol. 1. - P. 175-178.

230. Farmer, J. D. Predicting chaotic time series / J. D. Farmer, J. J. Sidorowich // Phys. Rev. Lett. 1987. - Vol. 59. - P. 845-848.

231. Ebeling, W. Entropy of symbolic sequences: the role of correlations / W. Ebeling, G. Nicolis // Europhys. Lett. 1991. - Vol. 14. - P. 191196.

232. Ebeling, W. Word frequency and entropy of symbolic sequences: a dynamical perspective / W. Ebeling, G. Nicolis // Chaos, Solitons and Fractals. 1992. - Vol. 2. - P. 635-650.

233. Ebeling, W. Entropy, transinformation and word distribution of information-carrying sequences / W. Ebeling, T. Poschel, K. F. Albrecht // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1995. - Vol. 5, №1. - P. 51-61.

234. Кравцов, Ю. А. Случайность, детерминированность, предсказуемость / Ю. А. Кравцов // Успехи физических наук. 1989. - Т. 158, №. - С. 93-115.

235. Аносов, O.JI. Пределы предсказуемости для линейных авторегрессионных моделей / О. JI. Аносов, О. Я. Бутковский, Ю. А. Кравцов // Радиотехника и электроника. 1995. - Т. 40, вып. 12. - С. 1866-1873.

236. Аносов, О. JI. Минимаксная процедура идентификации хаотических систем по наблюдаемой временной последовательности / О. JI. Аносов, О. Я. Бутковский, Ю. А. Кравцов // Радиотехника и электроника. -1997. Т. 42, вып. 3. - С. 313-319.

237. Аносов, О. Л. Восстановление динамических систем по хаотическим временным рядам / О. JI. Аносов, О. Я. Бутковский, Ю. А. Кравцов // Изв.вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2000. - Т.8, №1. - С. 29-48.

238. Sherman, A. Anti-phase, asymmetric and aperiodic oscillations in excitable ^ cells I. Coupled bursters / A. Sherman // Bulletin of Mathematical Biology. - 1994. - Vol. 56. - P. 811-835.

239. Darian-Smith, I. The trigeminal system / I. Darian-Smith // Handbook of Sensory Physiology ; ed. by Iggo A. 1973. - P. 271-314.

240. Arvidsson, J. Somatosensory organization of vibrissae afferents in the trigeminal sensory nuclei of the rat studied by transganglionic transport of hrp / J. Arvidsson // J. Сотр. Neurol. 1982. - V. 211. - P. 84-92.

241. Hayashi, H. Distributions of vibrissae afferent fiber collaterals in the trigeminal nuclei as revealed by intra-axonal injection of horseradish peroxidase / H. Hayashi // Brain Res. 1980. - V. 183. - P. 442-446.

242. Woolsey, T. A. The structural organization of layer iv in the somatosensory region (si) of mouse cerebral cortex / T. A. Woolsey, H. Van der Loos // Brain Res. 1970. - Vol. 17. - P. 205-242.

243. Welker, W. I. Analysis of sniffing of the albino rat / W. I. Welker // Behavior. 1964. - Vol. 12. - P. 223-244.

244. Garabedian, С. E. Band-pass response properties of rat SI neurons / С. E. Garabedian, S. R. Jones, M. M. Merzenich, A. Dale, С. I. Moore // J. Neurophysiology. 2003. - Vol. 90. - P. 1379-1391.

245. Котельников, В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости / В. А. Котельников. M.-JL: Госэнергонздат, 1956.

246. Cuomo, К. М. Circuit implementation of synchronized chaos with applications to communications / К. M. Cuomo, A. V. Oppenheim // Phys. Rev. Lett. 1993. - Vol. 71. - P. 65-68.

247. Kocarev, L. Experimental demonstration of secure communications via chaotic synchronization / L. Kocarev, K. S. Halle, K. Eckert, L. O. Chua, U. Parlitz // Int. J. Bifurcation Chaos. 1992. - Vol. 2. - P. 709-713.

248. Wu, C. W. A simple way to synchronize chaotic systems with applications to secure communication systems / C. W. Wu, L. O. Chua // Int. J. Bifurcation Chaos. 1993. - Vol. 3. - P. 1619-1627.

249. Parlitz, U. Transmission of digital signals by chaotic synchronization / U. Parlitz, L. O. Chua, L. Kocarev, K. S. Halle, A. Shang // Int. J. Bifurcation Chaos. 1992. - Vol. 2. - P. 973-977.

250. Cuomo, К. M. Synchronization of Lorenz-based chaotic circuits with application to communications / К. M. Cuomo, A. V. Oppenheim, S. H. Strogatz // IEEE Trans. Circuits Syst. 1993. - Vol. 40, №10. -P. 626-633.

251. Dedieu, H. Chaos shift keying: modulation and demodulation of a chaotic carrier using self-synchronizing Chua's circuit / H. Dedieu, M. P. Kennedy, M. Hasler // IEEE Trans. Circuits Syst. 1993. - Vol. 40. - P. 634-641.

252. Parlitz, U. Estimating model parameters from time series by autosynchronization / U. Parlitz // Phys. Rev. Lett. 1996. - Vol. 76. -P. 1232-1235.

253. Parlitz, U. Multichannel communication using autosynchronization / U. Parlitz, L. Kocarev // Int. J. Bifurcation Chaos. 1996. - Vol. 6. -P. 581-587.

254. Дмитриев, А. С. Динамический хаос. Новые носители информации для систем связи / А. С. Дмитриев, А. И. Панас. М: Физматлит, 2002.

255. Starkov S.О., Yemetz S.V. Digital communication systems, using chaos // Control of Oscillations and Chaos. Proc. Int. Conf. 1997. - Vol. 2 -P. 207-210.

256. Dmitriev, A. S. Experiments on ultra wideband direct chaotic information transmission in microwave band / A. S. Dmitriev, B. Ye. Kyarginsky, A. I. Panas, S. О. Starkov // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2003. -Vol. 13. - P. 1495-1507.

257. Короновский, А. А. Способ скрытой передачи информации, основанный на явлении обобщенной синхронизации / А. А. Короновский, О. И. Москаленко, П. В. Попов, А. Е. Храмов // Известия РАН. Серия физическая. 2008. - Т. 72, №1. - С. 143-147.

258. Короновский А. А. Устойчивый к шумам способ скрытой передачи информации / А. А. Короновский, О. И. Москаленко, П. В. Попов, А. Е. Храмов // Первая миля. 2008. - Т. 4, №1, С. 14-16.

259. Anishchenko, V. S. Global reconstruction in the presence of a priori information / V. S. Anishchenko, A. N. Pavlov, N. B. Janson // Chaos, Solitons and Fractals. 1998. - Vol. 9. - P. 1267-1278.

260. Anishchenko V. S. Global reconstruction in application to multichannel communication / Anishchenko V.S., Pavlov A.N. // Phys. Rev. E. 1998.- Vol. 57. P. 2455-2457.

261. Анищенко, В. С. Реконструкция динамических систем в приложении к решению задачи защиты информации / В. С. Анищенко, А. Н. Павлов, Н. Б. Янсон // Журнал технической физики. 1998. - Т. 68, вып. 12.- С. 1-9.

262. Грибков, Д. А. Восстановление внешнего воздействия по реализации одной переменной автостохастической системы / Д. А. Грибков, В. В. Грибкова, Ю. И. Кузнецов // Вестн. Моск. ун-та. Физика, Астрономия. 1995. - Т. 36, т. - С. 76-78.

263. Bezruchko В. P. Constructing nonutonomous differential equations from experimental time series / B. P. Bezruchko, D. A. Smirnov // Phys. Rev. E. 2001. - Vol. 63. - P. 016207.

264. Bezruchko, B. P. Role of transient processes for reconstruction of model equations from time series / B. P. Bezruchko, Т. V. Dikanev, D. A. Smirnov // Phys. Rev. E. 2001. - Vol. 64. - P. 036210.

265. Безручко, Б. П. Реконструкция моделей неавтономных систем с дискретным спектром воздействия / Б. П. Безручко, Д. А. Смирнов, И. В. Сысоев, Е. П. Селезнев // Письма в ЖТФ. 2003. - Т. 29, вып. 19.- С. 69-76.

266. Anishchenko, V.S. Nonlinear dynamics of chaotic and stochastic systems. Tutorial and modern development / V. S. Anishchenko, V. V. Astakhov, A. B. Neiman, Т. E. Vadivasova, L. Schimansky-Geier. Berlin ; Heidelberg: Springer, 2007.

267. Публикации по теме диссертации

268. Павлов, А. Н. Реконструкция динамических систем / А. Н. Павлов, Н. Б. Янсон, В. С. Анищенко // Радиотехника и электроника. 1999.- Т. 44, вып. 9. С. 1075-1092.

269. Янсон, Н. Б. Глобальная реконструкция по нестационарным данным / Н. Б. Янсон, А. Н. Павлов, Т. Капитаниак, В. С. Анищенко // Письма в ЖТФ. 1999. - Т. 25, вып. 10. - С. 74-81.

270. Павлов, А. Н. Реконструкция динамических систем по сигналам малой длительности / А. Н. Павлов, Н. Б. Янсон, Т. Капитаниак, В. С. Анищенко // Письма в ЖТФ. 1999.- Т. 25, вып. 11. - С. 7-13.

271. Павлов, A. H. Вычисление старшего ляпуновского показателя по последовательности времен возврата: возможности и ограничения / А. Н. Павлов, В. С. Анищенко // Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика. 1999. - Т. 7, № 4. - С. 59-74.

272. Pavlov, А. N. Extracting dynamics from threshold-crossing interspike intervals: possibilities and limitations / A. N. Pavlov, О. V. Sosnovtseva, E. Mosekilde, V. S. Anishchenko // Phys. Rev. E. 2000. - Vol. 61, № 5.- P. 5033-5044.

273. Pavlov, A. N. Diagnostic of cardio-vascular disease / A. N. Pavlov, N. B. Janson, V. S. Anishchenko, V. I. Gridnev, P. Ya. Dovgalevsky // Chaos, Solitons and Fractals. 2000. - Vol. 11, № 5. - P. 807-814.

274. Павлов, A. H. Определение динамических характеристик хаотических колебаний при анализе точечных процессов / А. Н. Павлов, В. С. Анищенко // Письма в ЖТФ. 2000. - Т. 26, вып. 15. - С. 58-64.

275. Анищенко, В. С. Сравнительный анализ методов классификации состояния сердечно-сосудистой системы при стрессе / В. С. Анищенко,

276. H. Б. Игошева, А. H. Павлов, И. А. Хованов, Т. Якушева // Биомедицинская радиоэлектроника. 2000. - № 2. - С. 24-37.

277. Pavlov, A. N. Chaotic dynamics from interspike intervals / A. N. Pavlov, О. V. Sosnovtseva, E. Mosekilde, V. S. Anishchenko // Phys. Rev. E. -2001. Vol. 63, № 3. - P. 036205.

278. Pavlov, A. N. Scaling features of texts, images and time series / A. N. Pavlov, W. Ebeling, L. Molgedey, A. R. Ziganshin, V. S. Anishchenko // Physica A. 2001. - Vol. 300. - P.,310-324.

279. Павлов, A. H. Мультифрактальный анализ временных рядов / А. H. Павлов, А. Р. Зиганшин, В. С. Анищенко // Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика. 2001. - Т. 9, № 3. - С. 39-53.

280. Pavlov, А. N. Multiscality in the dynamics of coupled chaotic systems / A. N. Pavlov, О. V. Sosnovtseva, A. R. Ziganshin, N. H. Holstein-Rathlou, E. Mosekilde // Physica A. 2002. - Vol. 316. - P. 233-249.

281. Sosnovtseva, О. V. Bimodal oscillations in nephron autoregulation / О. V. Sosnovtseva, A. N. Pavlov, E. Mosekilde, N.-H. Holstein-Rathlou // Phys. Rev. E. 2002. - Vol. 66. - P. 061909.

282. Pavlov, A. N. Scaling features of multimode motions in coupled chaotic oscillators / A. N. Pavlov, О. V. Sosnovtseva, E. Mosekilde // Chaos, Solitons and Fractals. 2003. - Vol. 16. - P. 801-810.

283. Pavlov, A. N. Return times dynamics: role of the Poincare section in numerical analysis / A. N. Pavlov, D. V. Dumsky // Chaos, Solitons and Fractals. 2003. - Vol. 18. - P. 795-801.

284. Павлов, A. H. Мультифрактальный анализ хаотической динамики взаимодействующих систем / А. Н. Павлов, О. В. Сосновцева, А. Р. Зиганшин // Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика. 2003. - Т. 11, № 2. - С. 39-54.

285. Sosnovtseva, О. V. Synchronization phenomena in multimode dynamics of coupled nephrons / О. V. Sosnovtseva, A. N. Pavlov, E. Mosekilde, N.-H.-Holstein-Rathlou // Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика. -2003. Т. 11, № 3. - С. 133-147.

286. Павлов, А. Н. Динамика времен возврата в зависимости от выбора секущей Пуанкаре / А. Н. Павлов, Д. В. Думский // Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика. 2003. - Т. 11, № 6. - С. 65-74.

287. Sosnovtseva, О. V. Bimodal dynamics of nephron autoregulation / О. V. Sosnovtseva, A. N. Pavlov, E. Mosekilde, N.-H. Holstein-Rathlou // Physics and Control (PHYSCON-2003), Proc. of the Int. Conf. 2003. -P. 283-288.

288. Sosnovtseva, О. V. Double-wavelet approach to study frequency and amplitude modulation in renal autoregulation / О. V. Sosnovtseva, A. N. Pavlov, E. Mosekilde, N.-H. Holstein-Rathlou, D. J. Marsh // Phys. Rev. E. 2004. - Vol. 70. - P. 031915.

289. Думский, Д. В. Обусловленные стрессом изменения динамики артериального кровяного давления белых крыс / Д. В. Думский, О. А. Климова, А. Н. Павлов // Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика. 2004. - Т. 12, № 1-2. - С. 26-39.

290. Павлов, А. Н. Применение двойного вейвлет-анализа для исследования эффектов модуляции в динамике нефронов / А. Н. Павлов, О. В. Сос-новцева // Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика. 2004. -Т. 12, № 6. - С. 105-117.

291. Marsh, D. J. Frequency encoding in renal blood flow regulation / D. J. Marsh, О. V. Sosnovtseva, A. N. Pavlov, K.-P. Yip, N.-H. Holstein-Rathlou // American Journal of Physiology (Regul. Integr. Сотр. Physiol.). 2005. - Vol. 288. - P. R1160-R1167.

292. Pavlov, A. N. Multifractal characterization of blood pressure dynamics: stress-induced phenomena / A. N. Pavlov, A. R. Ziganshin, O. A. Klimova // Chaos, Solitons and Fractals. 2005. - Vol. 24. -P. 57-63.

293. Думский, Д. В. Классификация нейронных потенциалов действия на основе вейвлет-преобразования / Д. В. Думский, А. Н. Павлов, А. Н. Тупицын, В. А. Макаров // Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика. 2005. - Т. 13, №5-6. - С. 77-98.

294. Dumsky, D. V. Characterization of chaotic dynamics from return times / D. V. Dumsky, A. N. Pavlov // Physics and Control (PhysCon2005), Proc. of the Int. Conf. 2005. - P. 439-442.

295. Ziganshin, A. R. Scaling properties of multimode dynamics in coupled chaotic oscillators / A. R. Ziganshin, A. N. Pavlov // Physics and Control (PhysCon2005), Proc. of the Int. Conf. 2005. - P. 180-183.

296. Pavlov, A. N. Double-wavelet analysis: a tool to study interaction phenomena in nonstationary dynamics / A. N. Pavlov, О. V. Sosnovtseva // Physics and Control (PhysCon2005), Proc. of the Int. Conf. 2005. - P. 876-879.

297. Pavlov, A. N. Application of wavelet-based tools to study the dynamics of biological processes / A. N. Pavlov, V. A. Makarov, E. Mosekilde, О. V. Sosnovtseva // Briefings in Bioinformatics. 2006. - Vol. 7. - P. 375389.

298. Павлов, A. H. Исследование эффектов модуляции в нестационарной динамике на основе двойного вейвлет-анализа / А. Н. Павлов, О. Н. Павлова // Письма в ЖТФ. Т. 32, вып. 20. - С. 27-35.

299. Павлов, А. Н. Применение вейвлет-анализа в исследованиях структуры точечных процессов / А. Н. Павлов, О. Н. Павлова // Письма в ЖТФ.- 2006. Т. 32, вып. 21. - С. 11-17.

300. Павлов, А. Н. Исследование переходной фазовой динамики на основе метода переустановки фазы / А. Н. Павлов // Письма в ЖТФ. 2006.- Т. 32, вып. 24. С. 53-61.

301. Павлова, О. H. Эффекты влияния низкочастотного магнитного поля на характеристики физиологического тремора / О. Н. Павлова, А. Н. Ту-пицын, А. Н. Павлов // Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика.- 2006. Т. 14, №5-6. - С. 105-117.

302. Павлов, А. Н. Мультифрактальный анализ сложных сигналов / А. Н. Павлов, В. С. Анищенко // Успехи физических наук. 2007. -Т. 177, вып. 8. - С. 859-876.

303. Pavlov, A. N. Sorting of neural spikes: when wavelet based methods outperform principal component analysis / A. N. Pavlov, V. A. Makarov, I. Makarova, F. Panetsos // Natural Computing. 2007. - Vol. 6. - P. 269281.

304. Pavlov, A. N. Using wavelet analysis to detect the influence of low frequency magnetic fields on human physiological tremor / A. N. Pavlov, A. N. Tupitsyn, A. Legros, A. Beuter, E. Mosekilde // Physiological Measurement. 2007. - Vol. 28. - P. 321-333.

305. Павлов, A. H. Взаимодействие ритмов в динамике структурных элементов почек / А. Н. Павлов, О. Н. Павлова, О. В. Сосновцева // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2007. - Т. 15, №2. -С. 14-28.

306. Павлов, А. Н. Мультифрактальный анализ сигналов на основе вейвлет-преобразования / А. Н. Павлов, В. С. Анищенко // Известия Саратовского университета (Физика). 2007. - Т. 7, №1. - С. 3-25.

307. Pavlov A.N., Sosnovtseva O.V., Pavlova O.N., Mosekilde E., Holstein-Rathlou N.-H., Characterizing multimode interaction in renal autoregulation / A. N. Pavlov, О. V. Sosnovtseva, O. N. Pavlova,

308. E. Mosekilde, N.-H. Holstein-Rathlou // Physiological Measurement. -2008. Vol. 29. - P. 945-958.

309. Павлов, A. H. Анализ корреляционных свойств случайных процессов по сигналам малой длительности / А. Н. Павлов, О. Н. Павлова // Письма в ЖТФ. 2008. - Т. 34, №7. - С. 71-78.

310. Павлов, А. Н. Динамика почечного кровотока на микро и макроскопическом уровнях / А. Н. Павлов, О. В. Сосновцева, А. А. Анисимов, О. Н. Павлова // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2008. - Т. 16, т. - С. 3-18.

311. Анисимов, А. А. Вейвлет-анализ чирпов / А. А. Анисимов, О. Н. Павлова, А. Н. Тупицын, А. Н. Павлов // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2008. - Т. 16, №5. - С. 3-11.

312. Павлов, А. Н. Детектирование информационных сигналов на основе реконструкции динамических систем и дискретного вейвлет-преобразования / А. Н. Павлов // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2008. - Т. 16, №6. - С. 3-17.

313. Макаров, В. А. Сортировка нейронных спайков на основе параметрического вейвлет-анализа с адаптивной фильтрацией / В. А. Макаров, А. Н. Павлов, А. Н. Тупицын // Цифровая обработка сигналов. 2008. -т. -с. 26-31.

314. Sosnovtseva, О. V. Characterizing the effect of L-name on intrarand inter-nephron synchronization / О. V. Sosnovtseva, A. N. Pavlov,

315. О. N. Pavlova, Е. Mosekilde, N.-H. Holstein-Rathlou // European Journal of Pharmaceutical Sciences. 2009. - Vol. 36. - P. 39-50.