Применение вейвлет-анализа в задачах исследования структуры сигналов

Думский, Дмитрий Викторович

Применение вейвлет-анализа в задачах исследования структуры сигналов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Думский, Дмитрий Викторович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Саратов МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Применение вейвлет-анализа в задачах исследования структуры сигналов»

Автореферат диссертации на тему "Применение вейвлет-анализа в задачах исследования структуры сигналов"

На правах рукописи

ДУМСКИЙ Дмитрий Викторович

Применение вейвлет-анализа в задачах исследования структуры сигналов

01.04.03 - радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 2005

Работа выполнена на кафедре радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Павлов Алексей Николаевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Трубецков Дмитрий Иванович,

кандидат технических наук,

с.н.с. Логинов Вячеслав Мартемьянович.

Ведущая организация:

Саратовский филиал ИРЭ РАН

Защита состоится 17 ноября 2005 г. в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д.212.243.01 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, III корпус СГУ, ауд. 34.

С диссертацией можно ознакомится в Научной библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан "/./" октября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Аникин В.М.

гдо^В.

1Ъ73в

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Многие процессы в природе являются нестационарными и демонстрируют изменение во времени своих статистических свойств. Примерами могут служить переходные процессы в радиофизических устройствах, атмосферная и гидродинамическая турбулентность, нестационарные волны в океане и т.д. Классические методы анализа структуры сигналов представляют собой инструменты исследования стационарных случайных процессов (Дж. Вен-дат, Р. Пирсол, Р. Отнес, Л. Эноксон, Л. Рабинер и др.); их применение для обработки нестационарных данных зачастую приводит к различным проблемам в интерпретации полученных результатов. В частности, наличие двух пиков в спектре мощности с некратными частотами может соответствовать принципиально разным ситуациям: в динамике изучаемой системы могут одновременно присутствовать два независимых ритма или может наблюдаться процесс переключения частоты, и в каждый момент времени удается зафиксировать только один ритмический процесс.

При проведении анализа структуры сигналов реальных экспериментов целесообразно применять достаточно универсальные методы, эффективность которых не зависит от свойства стационарности данных. Таких универсальных инструментов существует не так много. К числу наиболее известных и популярных подходов можно отнести метод аналитического сигнала, использующий преобразование Гильберта (Д. Габор, П. Пантер и др.), предложенный в работах К. Пенга, Г. Стэнли и соавторов метод анализа флуктуаций относительно тренда и разработанный А. Гроссманом и Дж. Морле вейвлет-анализ. Последний метод является наиболее мощным на сегодняшний день инструментом исследования структуры нестационарных сигналов и обладает не только всеми теми же возможностями, что и два других подхода, но и рядом преимуществ. За последние годы вейвлеты продемонстрировали свою эффективность при решении очень широкого круга задач, связанных с подаг влением шумов, сжатием больших объемов информации, синтезом сигналов и т.д. (К. Чуй, Э. Столниц, Т. ДеРоуз и др.).

В настоящее время вейвлеты часто применяются при изучении спектрального состава случайных процессов, регистрируемых в различных экспериментах. Если необходимо только проиллюстрировать сам факт наличия каких-либо ритмических составляющих ар^ц^^р^^^и^юцееса, то с этой целью

БИБЛИОТЕКА

может применяться классический Фурье-анализ. Если же требуется проследить за эволюцией характерных ритмов во времени, вейвлеты оказываются предпочтительнее. Вейвлет-анализ представляет собой инструмент, который может применяться к коротким, зашумленным и нестационарным случайным процессам. Поскольку такие процессы довольно часто регистрируются в натурных экспериментах, изучение возможностей вейвлет-анализа является актуальной задачей исследования структуры сигналов.

Наряду с этим следует отметить, что несмотря на большое число публикаций, посвященных данному методу, остается много открытых вопросов. Большинство исследователей акцентируют внимание только на преимуществах вейвлет-анализа по сравнению с другими подходами, умалчивая о недостатках. Однако, как и любой другой метод, вейвлеты имеют как свои преимущества, так и свои недостатки. Известно, например, что вейвлеты могут не различать эффекты амплитудной и частотной модуляции. Как показано в работах О.В. Сосновцевой, А.Н. Павлова и др., при проведении вейвлет-анализа иногда возникают «ложные» эффекты модуляции. Их можно оценить, и в численных исследованиях существует возможность сформулировать критерии достоверности результатов, но для этого необходимо изучить не только достоинства, но и ограничения метода.

В последние годы вейвлет-преобразование стало применяться для решения задачи автоматической идентификации сигналов отдельных элементов из процессов, характеризующих суммарную динамику некоторого малого ансамбля данных элементов (такие задачи возникают, в частности, в активной радиолокации при анализе движения группы объектов либо при исследовании процессов кодирования информации в малых нейронных сетях). В работах К. Кироги, Дж. Летелье, П Вебера было продемонстрировано, что использование вейвлетов может быть эффективнее стандартных подходов к решению задачи автоматической идентификации сигналов типа одиночных импульсов на фоне шума. Но численные исследования показывают, что данные выводы далеко не всегда справедливы - можно найти примеры, где вейвлеты действительно представляют собой эффективный метод идентификации, но иногда встречается обратная ситуация - классические методы могут работать лучше. В таких случаях важно определить условия применимости различных подходов, чтобы иметь представление, когда целесообразнее пользоваться тем или иным инструментом.

К настоящему времени вейвлет-анализ мало применялся при исследова-

нии структуры "точечных" процессов, т.е. процессов, в которых информация о динамике содержится во временах каких-либо событий, например, во временах переключений случайного телеграфного сигнала (В.И. Тихонов, М.А. Миронов, Т. Зауэр). Применение вейвлетов для изучения процессов кодирования информации является актуальной задачей, представляющей интерес для представителей разных специальностей.

Довольно часто вейвлет-анализ противопоставляется каким-то другим (классическим) подходам. В ряде случаев это справедливо, например, при изучении спектрального состава нестационарных сигналов малой длительности использование непрерывного вейвлет-преобразования целесообразнее классического Фурье-анализа. Вместе с тем, представляется перспективным не только противопоставлять разные подходы, но и искать способы их "сочетания". Методы исследования, построенные на сочетании вейвлет-анализа с классическими алгоритмами, могут быть эффективнее использования этих подходов по-отдельности.

Цель диссертационной работы заключается в выявлении возможностей и ограничений вейвлет-анализа при решении задачи автоматической идентификации сигналов типа одиночных импульсов на фоне шума и при исследовании точечных процессов, а также в разработке методов анализа структуры сигналов, базирующихся на вейвлет-преобразовании.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Выявить возможности и ограничения вейвлет-анализа при решении задачи идентификации сигналов типа одиночных импульсов на фоне шума большой интенсивности и разработать метод уменьшения ошибки идентификации, базирующийся на сочетании техники вейвлет-преобразования и классического метода анализа главных компонент.

2. Провести сравнительный анализ методов исследования структуры сигналов на входе пороговых устройств по выходным (точечным) процессам,

рассмотреть возможность применения вейвлетов для изучения процессов кодирования информации в пороговых системах.

3. Разработать метод исследования нестационарной динамики нелинейных систем, основанный на сочетании техники вейвлет-анализа с оценкой сложности временных зависимостей мгновенных частот ритмических компонент.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Выявлены ограничения вейвлет-анализа при решении задачи идентификации сигналов типа одиночных импульсов на фоне шума большой интенсивности. Впервые показано, что низкочастотная фильтрация позволяет существенно уменьшить ошибку идентификации методов, основанных на вейвлет-преобразовании (в два и более раза) и не оказывает принципиального влияния на эффективность работы стандартных алгоритмов идентификации.

2. Впервые показано, что сочетание техники вейвлет-анализа и классического алгоритма анализа главных компонент позволяет минимизировать ошибку автоматической идентификации импульсных сигналов.

3. Установлено, что при решении задачи исследования сложного режима колебаний на входе порогового устройства по выходному сигналу расчет динамических характеристик (при выполнении достаточно общих условий) позволяет охарактеризовать входной процесс независимо от амплитуды колебаний или величины порога.

4 На основе исследования сложной динамики мгновенных частот ритмических компонент в системах с несколькими характерными временными масштабами предложен эффективный метод количественного описания изменений структуры сигналов.

Научно-практическое значение результатов работы.

1. Сформулированы практические рекомендации по предварительной фильтрации экспериментальных данных, позволяющие улучшить качество решения задачи идентификации импульсных сигналов отдельных элементов из процессов, характеризующих динамику малого ансамбля данных элементов

2. Предложенный метод анализа нестационарной динамики систем с несколькими ритмическими компонентами может рассматриваться в качестве нового инструмента исследования сигналов различной природы, позволяющего получать более детальную количественную информацию об изменениях в их структуре.

3. Алгоритм уменьшения ошибки идентификации сигналов типа одиночных импульсов может быть использован в приложении к исследованию процессов кодирования информации в нейронных сетях.

4. Результаты диссертационной работы могут быть использованы (и уже используются) в учебном процессе при чтении лекций студентам кафедры радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета в рамках спецкурса «Анализ временных рядов».

Достоверность научных выводов работы подтверждается соответствием результатов, полученных разными методами численного анализа, а также их воспроизводимостью. Результаты численных и экспериментальных исследований соответствуют теоретическим предпосылкам.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Методы автоматической идентификации сигналов типа одиночных импульсов, основанные на вейвлет-преобразоваяии, работают эффективнее стандартного алгоритма анализа главных компонент при выполнении одного из следующих условий:

• при наличии низкочастотного шума большой интенсивности;

• при существовании характерных различий между формами импульсов, проявляющихся только на малых временных масштабах.

Низкочастотная фильтрация сигналов типа одиночных импульсов позволяет уменьшить ошибку автоматической идентификации алгоритмов, основанных на вейвлет-анализе, и в меньшей степени влияет на эффективность работы метода анализа главных компонент.

2. Новый метод уменьшения ошибки идентификации сигналов типа одиночных импульсов при наличии шума на основе сочетания техники вейвлет-преобразования и классического метода анализа главных компонент.

3. Динамические характеристики хаотических колебаний на входе порогового устройства могут быть определены по точечному процессу на выходе (последовательности времен возврата) с погрешностью порядка 10%, если среднее время возврата не превышает характерный временной масштаб, приближенно соответствующий величине, обратной старшему ляпуновскому показателю.

4. Метод исследования нестационарной динамики систем с несколькими характерными временными масштабами, основанный на сочетании вейвлет-

анализа с оценкой сложности зависимостей мгновенных частот ритмических компонент.

Апробация работы и публикации. Основные материалы диссертации были доложены на научных конференциях: «Нелинейные дни в Саратове для молодых-2003» (Саратов, 2003), «Complex Dynamics, Fluctuations, Chaos, and Fractals in Biomedical Photonics» (Сан-Хосе, США, 2004), «Нелинейные дни в Саратове для молодых-2004» (Саратов, 2004), «Physics and Control» («PhysCon2005»), Санкт-Петербург, 2005. Результаты неоднократно обсуждались на научных семинарах кафедры радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета, рабочей группы Гумбольдского университета г. Берлин (под руководством проф. В. Эбелин-га) и рабочей группы университета Комплютенсе г.Мадрида (под руководством проф. Ф. Панетсоса). По теме диссертации опубликовано 9 работ (5 статей в журналах и 4 статьи в материалах конференций). Результаты работы использованы при выполнении международного проекта ИНТАС (012061), грантов CRDF (REC-006), Министерства Образования и Науки (тема «Амплитуда»), а также индивидуальных грантов НОЦ «Нелинейная динамика и биофизика» и Федерального Агентства по образованию РФ (А04-2.9-520).

Личный вклад автора. Основные результаты, на которых базируется диссертация, получены лично автором. В совместных работах автором выполнено программирование всех задач и проведены численные эксперименты. Формулировка поставленных задач, а также объяснение и интерпретация полученных результатов проведены совместно с научным руководителем и соавторами.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех содержательных глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы. В ней содержится 114 страниц текста, 40 рисунков, библиография из 121 наименований на 15 страницах. Общий объем диссертации 154 страницы.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность работы, определяются цели исследования, ставятся основные задачи, раскрывается научная новизна полученных результатов и формулируются положения, выносимые на защиту

В первой главе диссертационной работы рассматривается задача идентификации сигналов типа одиночных импульсов с помощью вейвлет-преобра-зования. Суть данной задачи состоит в том, чтобы определить все импульсы, генерируемые отдельным элементом некоторого малого ансамбля, и сделать это в условиях наличия шума большой интенсивности (сопоставимой с амплитудой сигнала или превосходящей ее) - рис. 1. При этом предполагается, что сигналы разных элементов не являются полностью идентичными. Обсуждаются недостатки стандартных методов идентификации, к числу которых относится пороговое детектирование и анализ главных компонент (АГК). Проводится сопоставление АГК и нескольких подходов, базирующихся на вейвлет-преобразовании.

источники шума

анализируемый сигнал

Рис. 1: Иллюстрация постановки задачи идентификации сигналов отдельных элементов из суммарного отклика ансамбля данных элементов

Анализируются недостатки вейвлетов при решении рассматриваемой задачи, к числу которых относятся произвольность выбора базисной функции и коэффициентов вейвлет-преобразования, используемых в качестве характеристик для идентификации форм импульсов. Именно из-за отсутствия единого подхода к оптимальному выбору коэффициентов стандартный алгоритм АГК может оказаться эффективнее вейвлетов. Обсуждаются два случая, когда целесообразно применять вейвлет-анализ: 1) наличие мелкомасштабной структуры в форме исследуемых импульсных сигналов и существование отличий между разными типами импульсов на малых временных масштабах; 2) наличие низкочастотного шума большой интенсивности.

В диссертационной работе установлено, что закон распределения флуктуации не оказывает принципиального влияния на работу используемых мето-

Д-

дов идентификации, но их эффективность очень сильно зависит от частотного диапазона флуктуаций. Анализ главных компонент демонстрирует высокую чувствительность к низкочастотному шуму (по сравнению с центральной частотой в спектре сигнала), тогда как наличие "быстрых" флуктуаций не столь существенно для его работы. Напротив, методы, базирующиеся на вейвлет-анализе, часто работают хуже при наличии высокочастотного шума, и в меньшей степени чувствительны к "медленным" флуктуациям.

Показано, что ошибки идентификации очень существенно зависят от качества предварительной обработки экспериментальных данных, свидетельством чему служит рисунок 2. За счет смещения частоты среза НЧ-фильтра ошибка методов, основанных на вейвлет-преобразовании, может уменьшиться более чем в 2 раза. Уменьшения ошибки метода АГК при этом не происходит (рис. 2а). В данном случае приведены результаты для метода "Вей-влетный классификатор импульсов" (ВКИ), предложенного Дж. Летелье и П. Вебером. Другие алгоритмы (например, метод К. Кироги с соавторами) приводят к качественно похожим результатам.

Рис 2: Примеры зависимостей величины ошибки идентификации от частоты греза НЧ-фильтра (а) и ВЧ-фильтра (б).

Специальный выбор частоты среза ВЧ-фильтра также позволяет добиться замегного снижения ошибки разделения различных форм импульсных сигналов (рис. 26). Соответствующая фильтрация приводит к улучшению работы обоих методов (ВКИ и АГК). Даже если при этом будут вноситься какие-то искажения в форму импульсов (их сглаживание), с точки зрения решаемой задачи такая фильтрация обеспечит более качественное разделение кластеров в пространстве характеристик, используемых для идентификации сигналов Во многих статьях выбор частотного диапазона проводился без учета связи качества фильтрации с величиной ошибки идентификации,

для практических целей следует учитывать, что такая связь может быть существенной.

хЮ"3

Рис. 3' Распределения точек в пространстве характеристик для метода АГК (пунктирная линия) и предложенного подхода (сплошная линия)

В рамках диссертационной работы был предложен новый метод уменьшения ошибки идентификации при наличии двух близко расположенных кластеров. Первый шаг данного алгоритма состоит в нахождении характерных форм импульсов. С этой целью применяется метод АГК для всех импульсов, полученных в эксперименте. Затем в пространстве характеристик проводится усреднение форм сигналов в малой окрестности центра каждого кластера. Второй шаг предполагает проведение вейвлет-преобразования найденных усредненных форм импульсов и поиск вейвлет-коэффициентов, которые наилучшим образом показывают различия между ними. На третьем шаге алгоритма выбранные коэффициенты вычисляются для всех импульсов из экспериментальных данных и полученные значения рассматриваются в качестве характеристик для идентификации. После применения такой процедуры кластеры лучше отделяются друг от друга (рис. 3). В приведенном примере за счет предложенного подхода удается уменьшить ошибки примерно на 30%.

Во второй главе проводится анализ структуры "точечных" процессов, к числу которых относятся последовательности времен возврата фазовой траектории в секущую Пуанкаре. Проблема анализа точечных процессов является актуальной в исследованиях динамики пороговых систем, а именно, если требуется охарактеризовать свойства неизвестного процесса 5(4) на входе, располагая записью выходного сигнала, например, последовательностью импульсов, генерируемых при превышении порога (рис. 4)

Рис. 4: Преобразование входного сигнала в последовательность импульсов, генерируемых при превышении порога.

В диссертационной работе проводился сравнительный анализ различных характеристик точечных процессов для выявления степени их чувствительности к способу кодирования информации о входном сигнале. В качестве примера точечного процесса рассматривались последовательности временных интервалов между моментами пересечения фиксированного уровня 9 хаотическим сигналом х(£) известной модели нелинейной динамики - системы Ресслера. Анализировалось, насколько достоверно можно оценить те или иные характеристики сложной динамики на входе порогового устройства по последовательности времен возврата в секущую Пуанкаре х — 9 при изменении величины порога или амплитуды входного сигнала. Особое внимание уделялось случаю, когда в течение некоторых характерных периодов колебаний не происходит пересечения порогового уровня. Показано, что наименьшую зависимость от величины порогового уровня демонстрируют динамические характеристики (старший ляпуновский показатель и динамические энтропии или энтропия источника). Более того, при определенных условиях динамические характеристики можно определить по выходному процессу даже в случае больших значений величины порога (в фазовом пространстве это эквивалентно тому, что часть фазовых траекторий не пересекает секущую плоскость). Это продемонстрировано на рисунке 5, где изображены зависимости старшего ляпуновского показателя А1 и динамической энтропии }г5 от константы, определяющей расстояние секущей плоскости от состояний равновесия для хаотического аттрактора в системе Ресслера. Установлено, что характеристики, вычисляемые по последовательности времен возврата, соответствуют характеристикам входного сигнала с погрешностью порядка 10%, если среднее время возврата не превышает величину, обратную старшему ляпуновскому показателю.

Анализируются пороговые системы, демонстрирующие собственную динамику (подпороговые колебания). Показано, что в таких системах может происходить "наложение" собственной динамики и динамики, обусловленной

пороговое'

" ^"ройствб

о ю

(а)

¿ = 3

(б)

ООО

00 25 60 75 100 125 150 175

00 25 50 75 100 12 5 15 0 175

Рис. 5' Расчет динамических характеристик по точечным процессам а) Лниуновские показатели (пунктирная линия соответствует значению Аь вычисленному по сигналу х(<) системы Ресслера) 6) Динамическая энтропия для разного числа символов к используемого алфавита

внешним воздействием, а не простая реакция типа "воздействие-отклик". В результате в процессе, регистрируемом на выходе пороговой системы, может наблюдаться частотная модуляция, при которой частота сигнала воздействия является несущей частотой, модулируемой медленными процессами (подпороговыми колебаниями). Применение вейвлет-анализа позволяет отследить изменение во времени характеристик модуляции в случае нестационарной динамики.

В третьей главе рассматривается применение техники вейвлет-анализа в исследованиях структуры сигналов нелинейных систем с несколькими временными масштабами. Сосуществование нескольких ритмических компонент наблюдается в динамике систем различной природы в генерируемых такими системами сигналах одновременно проявляются ритмы, имеющие некратные частоты и обусловленные различными механизмами. Численные исследования осложняются тем, что многие процессы, регистрируемые в натурных экспериментах, являются нестационарными, что ограничивает возможности использования классических методов анализа временных рядов. Вследствие нестационарности и проблем, связанных с частотным разрешением при анализе сигналов малой длительности, может возникнуть ситуация, при которой усредненные спектры мощности будут очень похожи, а соответствующая им динамика может заметно отличаться. Пример такой ситуации приведен на рисунке 6.

В рамках данной главы диссертационной работы акцентируется внимание на специальном подходе к исследованию структуры сигналов. Предлагаемый метод состоит в том, чтобы с помощью вейвлет-преобразования выделять временные зависимости мгновенных частот ритмов, а затем по выделенным

б) временные зависимости мгновенной частоты соответствующего ритма

временным зависимостям проводить анализ динамики на основе расчета количественных критериев сложности.

Рис. 7' Результаты расчета энтропии Нр, характеризующей сложность динамики мгновенных частот двух ритмов - /1 (белые кружочки) и /2 (черные кружочки). Цифрами обозначены 3 разных состояния

Обычно оценка сложности динамики некоторой системы проводится "в целом", без учета конкретных изменений, происходящих в структуре отдельных процессов, проявляющихся в анализируемом сигнале. В работе показано, что такой подход имеет свои недостатки. Были рассмотрены различные тестовые и экспериментальные сигналы сложной структуры (нестационарные, содержащие несколько независимых ритмов); при этом исследовалось, как изменение состояния системы отражается в поведении этих ритмов. Показано, что возможны ситуации, когда смена состояния влияет на структуру одного ритмического процесса, и не влияет на другие. В этом случае, чтобы лучше понять изменение структуры сигналов, целесообразно проводить

оценку сложности динамики для каждого ритма в отдельности а не для всего процесса в целом. Уменьшение сложности динамики в данном случае свидетельствует о стабилизации одного из ритмических процессов (рис. 7).

Основные результаты работы суммируются в заключении В приложении описан алгоритм метода "Вейвлетный Классификатор Импульсов"

Основные результаты и выводы

1. Проведен сравнительный анализ методов идентификации сигналов типа одиночных импульсов. Установлено, что существует по крайней мере две ситуации, в которых методы, основанные на вейвлет-преобразовании, работают эффективнее стандартного алгоритма анализа главных компонент: а) существование отличий между разными типами импульсов на малых временных масштабах; б) наличие сильного низкочастотного шума. В остальных случаях из-за произвольности выбора вейвлет-коэффициентов использование классического алгоритма АГК может быть предпочтительнее.

2 Предложен новый метод уменьшения ошибки идентификации за счет специального выбора коэффициентов вейвлет-преобразования и сочетания вейвлет-анализа со стандартной техникой АГК Показано, что предложенный подход способен обеспечить наименьшую ошибку идентификации импульсных сигналов по сравнению с методами, широко используемыми в настоящее время. Выработаны рекомендации по предварительной фильтрации экспериментальных данных с целью уменьшения ошибки идентификации.

3. Проанализирована возможность определения различных характеристик хаотической динамики на входе порогового устройства по выходному точечному процессу (последовательности времен возврата) и исследована чувствительность вычисляемых характеристик к выбору порогового уровня. Показано, что динамические характеристики хаотического входного процесса демонстрируют наименьшую зависимость от величины порогового уровня. Более того, динамические характеристики можно определить по последовательности времен возврата с погрешностью порядка 10% даже в том случае, когда часть траекторий не пересекает пороговый уровень, если среднее время возврата не превышает величину' обратную старшему ляпуновскому показателю.

4 Предложен подход к исследованию сложности режимов динамики систем с несколькими временными масштабами, предполагающий отслежива-

ние временной эволюции различных ритмических составляющих на основе техники вейвлет-анализа и количественное описание сложности динамики применительно к каждому ритму в отдельности. При анализе сигналов малой длительности предложенный метод позволяет получить информацию об изменениях характеристик ритмической динамики, которые сложнее зафиксировать на основе анализа усредненных спектров мощности. Анализ сложности временной динамики ритмических процессов может рассматриваться в качестве дополнительного инструмента исследования сигналов, позволяющего получать более детальную информацию об изменениях в их структуре.

Список работ по теме диссертации

1. Pavlov A.N., Dumsky D.V. Return times dynamics: Role of the Poincare section in numerical analysis // Chaos, Solitons and Fractals. • 2003. - V. 18. - P. 795-801.

2. Павлов A.H, Думский Д В. Динамика времен возврата в зависимости от выбора секущей Пуанкаре // Изв. вузов, Сер. Прикладная нелинейная динамика. - 2003. - Т. И, N6. - С. 65-74.

3. Хованов И.А, Думский Д.В., Хованова H.A. Активационный закон для одномерных отображений // Письма в ЖТФ. — 2004. — Т. 30, вып. 10. — С. 53-60.

4. Dumsky D.V., Pavlov A.N. Characterization of chaotic dynamics from return times // Proc. of the Int. Conf. "PhysCon2005". - St.-Peterburg, 2005. -P. 439-442.

5. Думский Д.В, Климова О.А, Павлов А.Н. Обусловленные стрессом изменения динамики артериального кровяного давления белых крыс // Изв. вузов, Сер. Прикладная нелинейная динамика. — 2004. — Т. 12, N1—2. — С. 26-39.

6. Думский Д В., Павлов А.Н., Тупицын А.Н., Макаров В.А. Классификация нейронных потенциалов действия на основе вейвлет-преобразования // Изв. вузов, Сер. Прикладная нелинейная динамика. — 2005. — Т. 13 , No. 5.

7. Думский Д В Индуцированные стрессом изменения динамики артериального кровяного давления // Тр. конф. "Нелинейные дни в Саратове для молодых-2003". - Саратов, 2003. - С. 216-217.

8. Pavlov A.N., Dumsky D.V., Ziganshin A.R., Klimova O.A., Anishchen-ko V S Multimode dynamics of arterial blood pressure in healthy rats and its

multifractal characterization // Complex Dynamics, Fluctuations, Chaos, and Fractals in Biomedical Photonics Proc. SPIE. - 2004. - V. 5330. - P. 66-73.

9. Думский Д.В. Вейвлет-анализ в исследовании динамики артериального кровяного давления // Тр. конф. "Нелинейные дни в Саратове для молодых-2004". - Саратов, 2004. - С. 94-97.

Думский Дмитрий Викторович Применение вейвлет-анализа в задачах исследования структуры сигналов Специальность 01.04.03 — радиофизика Автореферат

Подписано в печать 05.10.05. Формат 60x84 1/16. Объем 1,0 п. л. Тираж 100 экз. Заказ

Типография Издательства Саратовского университета. 410012, Саратов, Астраханская, 83.

! i

! !

№18342

РНБ Русский фонд

2006-4 13736

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Думский, Дмитрий Викторович

Введение

1 Идентификация импульсных сигналов на фоне шума с помощью вейвлет-преобразования

1.1 Постановка задачи.

1.2 Основные недостатки метода пороговой сортировки.

1.3 Современные методы идентификации импульсов и их сравнительный анализ.

1.4 Влияние шума на эффективность методов идентификации

1.5 Предлагаемый метод уменьшения ошибки идентификации

1.6 Выводы по главе 1.

2 Анализ структуры точечных процессов

2.1 Постановка задачи.

2.2 Случай отсутствия собственной динамики.

2.3 Случай наличия собственной динамики.

2.4 Выводы по главе 2.

3 Применение вейвлет-анализа в исследованиях динамики нелинейных систем с несколькими временными масштабами

3.1 Постановка задачи.

3.2 Предлагаемый метод исследования.

3.3 Результаты.

3.4 Выводы по главе 3.

Введение диссертация по физике, на тему "Применение вейвлет-анализа в задачах исследования структуры сигналов"

Очень многие процессы в природе являются нестационарными и демонстрируют изменения во времени своих статистических свойств. Примерами могут служить переходные процессы в радиофизических устройствах, атмосферная и гидродинамическая турбулентность, нестационарные волны в океане, нестационарные геофизические и физиологические сигналы и т.д. Классические методы анализа структуры сигналов [1-5] представляют собой инструменты исследования стационарных случайных процессов; их применение для обработки нестационарных данных зачастую приводит к различным проблемам в интерпретации полученных результатов. В частности, наличие двух пиков в спектре мощности с некратными частотами может соответствовать принципиально разным ситуациям: в динамике изучаемой системы могут одновременно присутствовать два независимых ритма или может наблюдаться процесс переключения частоты, и в каждый момент времени удается зафиксировать только один ритмический процесс.

Довольно часто при исследовании экспериментальных данных используется идеология анализа систем с медленно-меняющимися параметрами: предполагается, что на небольших промежутках времени свойства процесса меняются незначительно, и его можно рассматривать как стационарный, применяя классический аппарат статистической обработки. Такой подход следует признать эффективным, если нестационарность ассоциируется с низкочастотной областью спектра по отношению к динамике, представляющей интерес для исследователя. Если же свойства процесса даже на коротких временных промежутках успевают существенно поменяться, то есть два варианта дальнейших действий - либо отказываться от классических методов анализа временных рядов и ориентироваться на специальные методики, либо тщательно проводить предварительную обработку экспериментальных данных, выбирая только те участки, на которых сигналы можно считать приближенно стационарными. Но даже при условии осуществления такой предварительной обработки данных может быть целесообразно проводить анализ структуры сигналов с применением наиболее универсальных методов, эффективно работающих независимо от свойства стационарности данных. Таких универсальных инструментов существует не так много. К числу наиболее известных и популярных подходов можно отнести метод аналитического сигнала, использующий преобразование Гильберта [1,6-8], метод анализа флуктуаций относительно тренда (АФТ)1 [9-12] и вейвлет-анализ [13-24].

Метод аналитического сигнала позволяет ввести понятие мгновенной амплитуды, фазы и частоты для узкополосного случайного процесса; с его помощью можно анализировать, каким образом мгновенная амплитуда и частота меняются во времени. Такой подход может быть эффективен при изучении взаимосвязи сигналов (например, при рассмотрении явления фазовой синхронизации в нестационарной динамике автоколебательных систем). зарубежной литературе используется сокращение DFA (detrended fluctuation analysis).

Техника АФТ является новым инструментом изучения эффектов длительных корреляций в структуре нестационарных случайных процессов. Основная идея этого метода состоит в переходе от анализируемого сигнала к одномерным «случайным блужданиям» [9]. Фактически, данный переход осуществляется путем приведения исходного сигнала к нулевому среднему значению и последующего вычисления интеграла с переменным верхним пределом. Далее рассматриваются отклонения «случайных блужданий» от прямой, описывающей локальный тренд на небольших участках процесса. Как показано в работах [9], вычисляемые методом АФТ величины связаны с характеристиками, описывающими спад корреляционной функции и частотную зависимость функции спектральной плотности мощности. Таким образом, с помощью данного подхода можно проводить спектрально-корреляционный анализ, причем, уже не ограничиваясь только стационарными случайными процессами.

Вейвлет-анализ является наиболее мощным на сегодняшний день инструментом исследования структуры нестационарных данных [14-22]. К настоящему времени вейвлеты продемонстрировали свою эффективность при решении очень широкого круга задач, связанных с подавлением шумов, сжатием больших объемов информации, анализом изображений, синтезом сигналов и т.д. Вероятно, еще не было ни одного математического подхода, который бы всего за 10 лет приобрел столь широкое прикладное значение в самых разных областях науки. Возможности вейвлет-анализа очень широки. Также, как и метод аналитического сигнала, он позволяет определять мгновенную амплитуду, фазу и частоту ритмических компонент нестационарных процессов, не ограничиваясь при этом узкополосными сигналами. Взаимосвязь мгновенной фазы по Гильберту и мгновенной фазы, введенной на основе вейвлетов, продемонстрирована, в частности, в работе [25]. При изучении явления синхронизации в динамике систем с несколькими временными масштабами использование вейвлетов может быть более эффективным чем исследования на основе метода аналитического сигнала [26,27]. Это связано с тем, что вейвлет-преобразование является инструментом многомасштабного анализа, позволяющим одновременно анализировать структуру сигналов в разных диапазонах масштабов наблюдения.

С точки зрения изучения корреляционных свойств случайных процессов, базирующийся на вейвлет-преобразовании мультифрактальный формализм [28-38] обладает не только теми же возможностями, что и техника АФТ, но еще и рядом преимуществ, например, возможностью проводить спектрально-корреляционный анализ нестационарных случайных процессов по сигналам малой длительности [39]. Для метода АФТ требуется, во-первых, большая длительность временного ряда; во-вторых, АФТ менее эффективен при анализе корреляций на малых временных интервалах. Таким образом, из всех перечисленных методов исследования структуры нестационарных сигналов вейвлеты обладают наиболее широкими возможностями.

Вейвлет-преобразование сигнала x(t) состоит в его разложении по некоторому базису, сконструированному из солитоноподобной функции ip (вейвле-та), посредством ее перемасштабирования и переносов вдоль оси времени: оо

-оо

Здесь \¥ф(а, b) - коэффициенты преобразования, а - масштаб наблюдения, Ъ - параметр смещения вдоль оси времени, символом «*» обозначена операция комплексного сопряжения. Базисная функция ifj должна быть локализована во временной и в частотной областях и обладать такими свойствами как нулевое среднее значение, ограниченность и автомодельность (последнее означает, что при масштабных преобразованиях количество осцилляций функции не меняется) [20]. Выбор ip определяется целями исследования. Каждая функция ф имеет свои особенности во временной и в частотной областях, поэтому с помощью разных функций можно лучше выявить те или иные свойства рассматриваемого процесса. Часто метод вейвлет-преобразования называют математическим микроскопом: параметр Ъ определяет точку фокусировки микроскопа, параметр а - увеличение, базисная функция характеризует оптические свойства [20].

В некоторых случаях (например, при изучении локальной регулярности сигналов [39]) результаты преобразования (1) не зависят от выбора базиса. При решении задач сжатия данных, анализа изображений или фильтрации шума предпочитают применять действительные вейвлеты (Хаар, Добеши, WAVE, МНАТ и другие) [20], при проведении спектрального анализа экспериментальных данных используют комплексные вейвлеты (функция Морле и различные ее модификации) [7]. В зависимости от решаемой проблемы меняется и форма вейвлет-преобразования: рассматривают либо непрерывное (1) , либо дискретное преобразование (2): где N длина временного ряда х(г), параметр смещения b принимает целые значения из области [0;iV — 1], а масштаб наблюдения а - целые значения из области [2; N]. Непрерывное преобразование является избыточным и требует большего времени вычисления, однако в ряде задач анализа структуры сигналов избыточность может быть полезным свойством, позволяющим более детально исследовать особенности анализируемого процесса. В результате преобразования (1) получается поверхность в трехмерном пространстве, и для ее визуализации могут применяться самые разные способы. Например, может рассматриваться проекция поверхности на плоскость с нанесенными изоуровнями (по аналогии с географическими картами, иллюстрирующими рельеф местности) либо так называемый скелетон (картины локальных экстремумов поверхности). Считается, что скелетон отражает наиболее информативные сведения о преобразовании (1).

Вейвлет-анализ несомненно является очень мощным современным инструментом исследования структуры сигналов различной природы. Если необходимо только проиллюстрировать сам факт наличия каких-либо ритмических составляющих анализируемого процесса, то с этой целью может применяться классический Фурье-анализ. Если же требуется проследить за эволюцией характерных ритмов во времени, вейвлеты оказываются предпочтительнее: двумерные частотно-временные спектры вейвлет-преобразования являются более информативными чем усредненные (одномерные) спектры, полученные на основе финитного преобразования Фурье. Одной из особенностей вейвле-тов является то, что при проведении анализа частота и время интерпретируются как независимые величины, и существует возможность одновременно изучать свойства процесса во временной и в частотной областях. Несомненным достоинством метода является возможность извлечения информации о быстрых изменениях в анализируемом процессе из коротких участков сигнала, о медленных изменениях - из более длительных. Эта возможность обеспечивается за счет меняющегося с масштабом наблюдения частотно-временного окна преобразования (1). Вейвлеты представляют собой инструмент спектрального анализа, который может применяться к коротким, зашумленным и нестационарным случайным процессам. Поскольку такие процессы довольно часто регистрируются в натурных экспериментах, изучение возможностей вейвлет-анализа является актуальной задачей исследования структуры сигналов.

Наряду с этим, следует отметить, что несмотря на большое число публикаций, посвященных данному методу, остается много открытых вопросов. Большинство исследователей акцентируют внимание только на преимуществах вейвлет-анализа по сравнению с другими подходами, умалчивая о недостатках. Необходимо подчеркнуть, что как и любой другой подход, вейвлеты имеют как свои преимущества, так и свои недостатки, и было бы неправильно идеализировать вейвлет-анализ. Известно, например, что вейвлеты могут не различать эффекты амплитудной и частотной модуляции. Как показано в работе [40], при наличии только амплитудной модуляции вейвлет-анализ может показывать дополнительные «ложные» эффекты частотной модуляции и наоборот. Эти «ложные» эффекты можно оценить, и при проведении численных исследований существует возможность сформулировать критерии достоверности полученных результатов, но для этого необходимо изучить не только достоинства, но и ограничения метода.

Актуальность работы определяется важностью проблемы выявления потенциальных возможностей и существующих ограничений вейвлет-преоб-разования при решении задач анализа структуры сигналов. В настоящее время именно вейвлеты все чаще и чаще применяются при изучении спектрального состава случайных процессов, регистрируемых в различных экспериментах (это относится, в первую очередь, к системам, где нестационарная динамика является типичным явлением). Однако известно очень мало работ, где бы делался акцент на формулировку ограничений вейвлет-анализа, а ведь для того, чтобы пользоваться любым методом, исследователь должен знать границы его применимости.

Например, в последние годы вейвлет-преобразование стало применяться для решения задачи автоматической идентификации сигналов отдельных элементов из процессов, характеризующих суммарную динамику некоторого малого ансамбля данных элементов (такие задачи возникают, в частности, в активной радиолокации при анализе движения группы объектов либо при исследовании процессов кодирования информации в малых нейронных сетях путем анализа структуры внеклеточных электрических сигналов). В работах [52-54] было продемонстрировано, что использование вейвлетов к решению задачи автоматической идентификации сигналов типа одиночных импульсов на фоне шума эффективнее стандартных подходов. Но численные исследования показывают, что выводы статей [52-54] далеко не всегда справедливы - можно найти примеры, где вейвлеты действительно представляют собой эффективный метод идентификации, но часто встречается обратная ситуация - классические методы могут работать лучше (или, по крайней мере, не хуже). В таких случаях важно определить условия применимости различных подходов, чтобы иметь представление, когда целесообразнее пользоваться тем или иным инструментом.

К настоящему времени вейвлет-анализ мало применялся при исследовании структуры точечных процессов [41,42], т.е. процессов, в которых информация о динамике содержится во временах каких-либо событий, например, во временах переключений случайного телеграфного сигнала, или во временах, соответствующих генерации потенциалов действия нейронами. Применение вейвлетов для изучения процессов кодирования информации (в частности, генерируемого нейронами информационного кода) является новой актуальной задачей, представляющей интерес для представителей разных специальностей.

Довольно часто вейвлет-анализ противопоставляется каким-то другим (классическим) подходам. В ряде случаев это справедливо, например, для изучения спектрального состава нестационарных сигналов малой длительности использование преобразования (1) целесообразнее классического Фурье-анализа. Вместе с тем, представляется перспективным не только заниматься противопоставлением разных подходов, но и искать способы их «сочетания». Методы исследования, построенные на сочетании вейвлет-анализа с классическими алгоритмами, могут быть эффективнее использования этих подходов по-отдельности. Это, в частности, будет проиллюстрировано в первой главе настоящей диссертационной работы, где на основе сочетания вейвлет-преобразования и техники анализа главных компонент предложен метод уменьшения ошибки автоматической идентификации импульсных сигналов сложной формы при наличии флуктуаций большой интенсивности: ошибка предложенного метода меньше, чем ошибка обычного вейвлет-анализа или классических алгоритмов. В третьей главе диссертационной работы будет показано, что сочетание вейвлет-анализа с расчетами мер сложности временной динамики позволяет лучше понять изменения структуры нестационарных процессов с несколькими характерными ритмами.

В рамках данной диссертационной работы рассматривается применение вейвлет-анализа к исследованию сигналов сложной структуры, однако эти сигналы могут иметь разную природу, а разработанные методы могут применяться как в радиофизике (активная и пассивная радиолокация, радиометрия и т.д.), так и в других областях науки, в частности при исследовании процессов кодирования и передачи информации в биологических системах (малые нейронные ансамбли). Рассмотрение биологических приложений представляет интерес по нескольким причинам. Во-первых, проведение экспериментов в низкочастотном диапазоне проще и дешевле, чем качественная оцифровка сигналов, например, в СВЧ-диапазоне. В то же время, методы анализа структуры сигналов, эффективно работающие в низкочастотной области, будут столь же эффективны и в высокочастотной (в случае вейвлет-анализа нет ограничений на область частот, и качество исследования структуры сигналов определяется исключительно качеством их дискретизации, т.е. характеристиками АЦП). Во-вторых, современные биологические исследования невозможны без самого широкого использования физических методов (в том числе и радиофизических). Это отмечают многие физики; можно в частности упомянуть высказывание Нобелевского лауреата B.JI. Гинзбурга о том, что «биологическая и околобиологическая тематика должна и будет занимать в физических институтах, на физических факультетах и на страницах физических журналов все большее место. Нужно это понимать и активно этому содействовать.» [43]. Биологические приложения радиофизических подходов и методов обогащают и саму радиофизику, инициируя создание новых инструментов исследования.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие основные задачи:

2. Провести сравнительный анализ методов исследования структуры сигналов на входе пороговых устройств по выходным (точечным) процессам, рассмотреть возможность применения вейвлетов для изучения процессов кодирования информации в пороговых системах.

Научная новизна работы состоит в следующем:

4. На основе исследования сложной динамики мгновенных частот ритмических компонент в системах с несколькими характерными временными масштабами предложен эффективный метод количественного описания изменений структуры сигналов.

Научно-практическое значение результатов работы:

4. Результаты диссертационной работы могут быть использованы (и уже используются), в учебном процессе при чтении лекций студентам кафедры радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета в рамках спецкурса «Анализ временных рядов».

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Методы автоматической идентификации сигналов типа одиночных импульсов, основанные на вейвлет-преобразовании, работают эффективнее стандартного алгоритма анализа главных компонент при выполнении одного из следующих условий:

• при наличии низкочастотного шума большой интенсивности;

4. Метод исследования нестационарной динамики систем с несколькими характерными временными масштабами, основанный на сочетании вейвлет-анализа с оценкой сложности зависимостей мгновенных частот ритмических компонент.

Результаты неоднократно обсуждались на научных семинарах кафедры радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета, рабочей группы Гумбольдского университета г. Берлин (под руководством проф. В. Эбелинга) и рабочей группы университета Комплютенсе г. Мадрида (под руководством проф. Ф. Панетсоса).

По теме диссертации опубликовано и принято к печати 9 работ (5 статей в журналах и 4 статьи в материалах конференций), которые включены в общий список литературы под номерами [113-121]. Результаты работы использованы при выполнении международного проекта ИНТАС (01-2061), грантов CRDF (REC-006), Министерства Образования и Науки (тема «Амплитуда»), а также индивидуальных грантов НОЦ «Нелинейная динамика и биофизика» и Федерального Агентства по образованию РФ (А04-2.9-520).

Заключение диссертации по теме "Радиофизика"

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

2. Предложен новый метод уменьшения ошибки идентификации за счет специального выбора коэффициентов вейвлет-преобразования и сочетания вейвлет-анализа со стандартной техникой АГК. Показано, что предложенный подход способен обеспечить наименьшую ошибку идентификации импульсных сигналов по сравнению с методами, широко используемыми в настоящее время. Выработаны рекомендации по предварительной фильтрации экспериментальных данных с целью уменьшения ошибки идентификации.

3. Проанализирована возможность определения различных характеристик хаотической динамики на входе порогового устройства по выходному точечному процессу (последовательности времен возврата) и исследована чувствительность вычисляемых характеристик к выбору порогового уровня. Показано, что динамические характеристики хаотического входного процесса демонстрируют наименьшую зависимость от величины порогового уровня. Более того, динамические характеристики можно определить по последовательности времен возврата с погрешностью порядка 10% даже в том случае, когда часть траекторий не пересекает пороговый уровень, если среднее время возврата не превышает величину, обратную старшему ляпуновскому показателю.

4. Предложен подход к исследованию сложности режимов динамики систем с несколькими временными масштабами, предполагающий отслеживание временной эволюции различных ритмических составляющих на основе техники вейвлет-анализа и количественное описание сложности динамики применительно к каждому ритму в отдельности. При анализе сигналов малой длительности предложенный метод позволяет получить информацию об изменениях характеристик ритмической динамики, которые сложнее зафиксировать на основе анализа усредненных спектров мощности. Анализ сложности временной динамики ритмических процессов может рассматриваться в качестве дополнительного инструмента исследования сигналов, позволяющего получать более детальную информацию об изменениях в их структуре.

Заключение

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Думский, Дмитрий Викторович, Саратов

1. Бендат Док., Пирсол А., Прикладной анализ случайных данных, М., Мир, 1989.

2. Отнес Р. Эноксон Я., Прикладной анализ временных рядов, М., Мир, 1982.

3. Дженкинс Г., Ватте Д., Спектральный анализ и его приложения, М., Мир, 1978.

4. Марпл-мл. С.Л.У Цифровой спектральный анализ и его приложения, М., Мир, 1990.

5. Купер Дж., Макгиллем КВероятностные методы анализа сигналов и систем, М., Мир, 1988.

6. Вайнштейн JI.A., Вакман Д.Е., Разделение частот в теории колебаний и волн, М., Наука, 1983.

7. Хоеанова Н.А., Хованов И.А., Методы анализа временных рядов, Саратов, ГосУНЦ «Колледж», 2001.

8. Gabor D. Theory of communications. //J. Inst. Electr. Eng. London.— 1946- V.93.- P.429-457.

9. Peng С.-К., Havlin S., Stanley H., Goldberger A. Quantification of scaling exponents and crossover phenomena in nonstationary heartbeat time series. 11 Chaos.- 1995.- V.5.- P. 82-87.

10. Buldyrev S., Goldberger A., Havlin S., Mantegna R., Matsa M., Peng C.-K., Simons M., Stanley H. Long-Range Correlation Properties of Coding and Noncoding DNA Sequences: GenBank Analysis. // Phys. Rev. E.— 1995.— V. 51.— P. 5084-5091.

11. Stanley H., Buldyrev S., Goldberger A., Havlin S., Peng C.-K., Simons M. Scaling Features of Noncoding DNA. // Physica A.- 1999 V. 273 — P. 118.

12. Havlin S., Buldyrev S., Bunde A., Goldberger A., Ivanov P., Peng C.-K., Stanley H. Scaling in Nature: from DNA through Heartbeats to Weather, j j Physica A.- 1999.- V. 273.- P. 46-69

13. Grossmann A., Morlet J. Decomposition of hardy functions into square integrable wavelets of constant shape. // S.I.A.M. J. Math. Anal.— 1984.— V. 15.- P. 723-736.

14. Meyer Y. Wavelets: Algorithms and Applications, SIAM, 1993.

15. Meyer Y. Wavelets and Operators, Cambridge University Press, 1993.

16. Chui C.K., An Introduction to Wavelets, New York, Academic Press, 1992.

17. Chui C.K., Wavelets: A Mathematical Tool for Signal Analysis SIAM Monographs on Mathematical Modeling and Computation, Philadelphia, S.I.A.M., 1997.

18. Daubechies /., Ten lectures on Wavelets, Philadelphie, S.I.A.M., 1992.

19. Mallat S.G., A Wavelet Tour of Signal Processing, San Diego, Academic Press, 1998.

20. Астафьева H.M. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // УФН 1996,- Т. 166, No. 4.- С. 1145-1170.

21. Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их применение // УФН.- 2001.- Т. 171, No. 5.- С. 465-501.

22. Strang G. Wavelet transforms versus Fourier Transforms. // Bull. Am. Math. Soc 1993.- V. 28 - P. 288-305.

23. Столниц Э., ДеРоуз Т., Д. Салезин Д. Вейвлеты в компьютерной графике, Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002.

24. Короновский А., Храмов А. Непрерывный вейвлетный анализ, Саратов, ГосУНЦ «Колледж», 2002.

25. Quiroga R.Q., Kraskov A., Kreuz Т., Grassberger P. Performance of different synchronization measures in real data: A case study on electroencephalographic signals. // Phys. Rev. E — 2002.- V. 65 — P. 041903.

26. Sosnovtseva O.V., Pavlov A.N., Mosekilde E., Holstein-Rathlou N.-H. Bimodal oscillations in nephron autoregulation. // Phys. Rev. E.— 2002.-V. 66.- P. 061909.

27. Sosnovtseva O.V., Pavlov A.N., Mosekilde E., Holstein-Rathlou N.-H. Synchronization phenomena in multimode dynamics of coupled nephrons. // Izv. VUZ «AND».- 2003.- V. 11, N. 3 P. 133-147.

28. Muzy J.F, Bacry E., Arneodo A. The multifractal formalism revisited with wavelets. // Int. J. Bifurcation Chaos.- 1994.- V.4, No. 2,- P. 245-302.

29. Arneodo A., Decoster NRoux S. Intermittency, log-normal statistics, and multifractal cascade process in high-resolution satellite images of cloud structure. // Phys. Rev. Lett.- 1999 V.83.- P. 1255-1258.

30. Hentschel H.G.E. Stochastic multifractality and universal scaling distributions // Phys. Rev. E 1994.- V.50.- P. 243.

31. Wiklund K.O., Elgin J.N. Multifractality of the Lorenz system // Phys. Rev. E.- 1996,- V. 54.— P. 1111.

32. Muzy J.F, Bacry E., Arneodo A. Wavelets and multifractal formalism for singular signals: Application to turbulence data. // Phys. Rev. Lett.— 1991.— V. 67.— P 3515-3518.

33. Strait B.J., Dewey T.G. Multifractals and decoded walks: applications to protein sequence correlations. // Phys. Rev. E — 1995.— V. 52.— P. 6588.

34. Berthelsen C.L., Glazier J.A., Raghavachari S. Effective multifractal spectrum of a random walk. // Phys. Rev. E.— 1994 V.49 — P. 1860.

35. Glazier J.A., Raghavachari S., Berthelsen C.L., Skolnick M.H. Reconstructing phylogeny from the multifractal spectrum of mitochondrial DNA. I/ Phys. Rev. E.- 1995.- V. 51.- P. 2665.

36. Vainshtein S.I., Sreenivasan K.R., Pierrehumbert R.T., Kashyap V., Juneja A. Scaling exponents for turbulence and other random processes and their relationships with multifractal structure. // Phys. Rev. E.— 1994.— V. 50.— P. 1823.

37. Eisenberg E., Bunde A., Havlin S., Roman H.E. Range of multifractality for random walks on random fractals. // Phys. Rev. E — 1993 — V. 47 — P. 2333.

38. Drager J., Bunde A. Multifractal features of random walks and localized vibrational excitations on random fractals: dependence on the averaging procedures. // Phys. Rev. E — 1996.- V.54 — P. 4596.

39. Muzy J.F., В aery E., Arneodo A. The multifractal formalism revisited with wavelets. // Int. J. Bifurcation Chaos 1994 - V.4.- P. 245-302.

40. Sosnovtseva O.V., Pavlov A.N., Mosekilde E., Holstein-Rathlou N.-H., Marsh D.J. Double-wavelet approach to studying the modulation properties of nonstationary multimode dynamics. // Physiological Measurement.— 2005.- V. 26.- P. 351-362.

41. Тихонов В.И., Миронов М.А., Марковские процессы, М., Советское радио, 1977.

42. Sauer Т. Reconstruction of dynamical system from interspike intervals. // Phys. Rev. Lett.- 1994.- V. 72, No. 24.- P. 3811-3814.

43. Гинзбург В.JI., О физике и астрофизике, М, Наука, 1992.

44. Harris К., Henze D., Csicsvari J., Hirase H., Buzsaki G. Accuracy of tetrode spike separation as determined by simultaneous intracellular and extracellular measurements. // J. Neurophysiol — 2000 — V.84 — P. 401-414.

45. Schmidt E. Computer separations of multi-unit neuroelectric data: a review. // J. Neurosci. Methods.- 1984.- V. 12.- P. 95-111.

46. Gray C., Maldonado P., Wilson M.; McNaughton B. Tetrodes markedly improve the reliability and yield of multiple single-unit isolation from multi-unit recordings in cat striate cortex. //J. Neurosci. Methods.— 1995.— V.63.- P. 43-54.

47. Eggermont J., Epping W., Aertsen A. Stimulus dependent neural correlations in the auditory midbrain of the grassfrog (Rana temporaria L.). // Biol. Cybern.- 1983 V.47 - P. 103-117.

48. Salganicoff M., Sarna M., Sax L., Gerstein G. Unsupervised waveform classification for multi-neural recordings: a real-time, software based system. I. Algorithms and implementation. //J. Neurosci. Methods.— 1988.—V. 25.— P. 181-187.

49. Zouridakis G., Tarn D. Multi-unit spike discrimination using wavelet transforms. // Comput. Biol. Med.- 1997.- V.27.- P. 9-18.

50. Lewicki M. A review of methods for spike sorting: the detection and classification of neural potencials. // Net. Com. Neu. Sys.— 1998.— V. 9.— P. R53-R78.

51. Hulata E., Segev R., Ben-Jacob E. A metod for spike sorting and detection based on wavelet packets and Shannon's mutual information. // J. Neurosci. Methods.- 2002.- V. 117.- P. 1-12.

52. Letelier J., Weber P. Spike sorting based on discrete wavelet transform coefficients. // J. Neurosci. Methods 2000.- V. 101- P. 93-106.

53. Quiroga R., Nadasdy Z., Ben-Shaul Y. Unsupervised spike detection and sorting with wavelets and superparamagnetic clustering. // Neural Computation.- 2004.- V. 16 P. 1661-1687.

54. Kim K., Kim 5. A Wavelet-Based Method for Action Potential Detection From Extracellular Neural Signal Recording With Low Signal-to-Noise Ratio. // IEEE Trans, on Biomed. Eng.- 2003 V.50, No. 8.- P. 999-1011.

55. Simon W. The real-time sorting of neuro-electric action potentials in multiple unit studies Electroenceph. // Clin. Neurophysiol.— 1965.— V. 18.— P. 192195.

56. Feldman J., Roberge F. Computer detection and analysis of neuronal spike sequences // Inform.- 1971- V. 9 P. 185-197.

57. Dinning G. Real-time classification of multiunit neural signals using reduced feature sets. // IEEE Trans. Biomed. Eng.- 1981- V. 28- P. 804-812.

58. Wheeler В., Heetderks W. A comparison of techniques for classification of multiple neural signals // IEEE Trans. Biomed. Eng.- 1982 V. 29 P. 752759.

59. Glaser E., Marks W. On-line separation of interleaved neuronal pulse sequences Data Acquisition Process. // Biol. Med.— 1968.— V. 5.— P. 137156.

60. Glaser E. Separation of neuronal activity by waveforms analysis. // Advances in Biomedical Engineering.— 1971.— V. 1.— P. 77-136.

61. Gerstein G.; Bloom M., Espinosa I., Evanczuk S., Turner M. Design of a laboratory for multineuron studies. // IEEE Trans. Systems, Man Cybern.— 1983.- V. 13.- P. 668-676.

62. Gerstein G., Clark W. Simultaneous studies of firing patterns in several neurons. // Science.- 1964.- V. 143 P. 1325-1327.

63. W.H Press, S.A. Teukokolsky, W.T. Vetterling, B.P. Flanney Numerical Recipes in C: the art of scientific computing, Cambridge University Press, 1992.

64. Burrus C.S., Gopinath R.A., Guo #., Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms: A Primer, Engelwood Cliffs, Prentice Hall, 1997.

65. Duda R., Hart P.,Pattern Classification and Scene Analysis, New York, Wiley, 1973.

66. Hartigan J., Clustering Algorithms, New York, Wiley, 1975.

67. Everitt В., Cluster Analysis, New York, Wiley, 1993.

68. Tuckwell H. Introduction to Theoretical Neurobiology., Cambridge, University Press, 1988.

69. Ding M. Yang W . Deterministic point processes generated by threshold crossing dynamics reconstruction and chaos control. // Phys. Rev. E.— 1997.- V. 55, No. 3.- P. 2397-2402.

70. Castro R., Sauer T. Correlation dimension of attractors through interspike intervals. 11 Phys. Rev. E 1997 - V. 55 - P. 287-290.

71. Sauer T. Reconstruction of integrate-and-fire dynamics, in: Nonlinear Dynamics and Time Series, eds. C.Culter and D.Kaplan, Fields Institute Communications, American Mathematical Society, Providence, RI, 1997.

72. Racicot D., Longtin A. Interspike interval attractors from chaotically driven neuron models. // Physica D 1997 - V. 104 — P. 184-204.

73. Hegger R., Kantz H. Embedding of sequence of time intervals. // Europhysics Letters.- 1997 V. 38.- P. 267-272.

74. Pavlov A., Sosnovtseva 0., Mosekilde E. and Anishchenko V. Extracting dynamics from threshold-crossing interspike intervals: Possibilities and limitations. // Phys. Rev. E.- 2000 V. 61- P. 5033-5044.

75. Pavlov A., Sosnovtseva 0., Mosekilde E. and Anishchenko V. Chaotic dynamics from interspike intervals. // Phys. Rev. E.— 2001.— V. 63.— P. 036205-1-036205-5.

76. Grassberger P., Procaccia I. Measuring the strangeness of strange attractors. 11 Physica D.- 1983.- V. 9.- P. 189-208.

77. Grassberger P., Procaccia I. Characterization of strange attractors. // Phys. Rev. Lett.- 1983 V. 50.- P. 346-349.

78. Stefanovska A., Kroselj P. Correlation Integral and Frequency Analysis of Cardiovascular Functions. // Open Sys. and Inform. Dyn.— 1997.— V. 4.— P. 457-478.

79. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence, in Dynamical Systems and Turbulence, Warwick 1980, eds. D. Rand and L.S. Young, Lecture Notes in Mathematics. V.898, (Springer, Berlin),— P. 366-381.

80. Janson N., Pavlov A., Neiman A., Anishchenko V. Reconstruction of dynamical and geometrical properties of chaotic attractors from threshold-crossing interspike intervals. // Phys. Rev. E — 1998.— V. 58, No. 1.— P. R4-R7.

81. Wolf A., Swift J., Swinney H., Vastano J. Determining Lyapunov exponents from a time series. // Physica D.- 1985.- V. 16 P. 285-317.

82. Pavlov A., Silantyeva E., Sof'yina E., Anishchenko V. Interspike and interburst intervals: Nonlinear dynamics approach. // Proc. of the Int. Conf.

83. Control of Oscillations and Chaos(COC'2000)», St.Peterburg 2000, ed. by F.L. Chernousko, A.L. Fradkov.- V.3 of 3, P. 445-448.

84. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for hamiltonian systems; a method for computing all of them. // Meccanica.— 1980.— V. 15.— P. 2130.

85. Shimada /., Nagashima T. A numerical approach to ergodic problem of dissipative dynamical system. // Progr. Theor. Phys.— 1979.— V. 61.— P. 1605-1616.

86. Wiesel W. Continuous time algorithm for Lyapunov exponents. I,II. // Phys. Rev. E.- 1993.- V. 47.- P. 3686-3691.

87. Eckmann J., Kamphorst SRuelle D., Gilberto D. Liapunov exponents from a time series. // Phys. Rev. A.- 1986 V. 34 - P. 4971-4979.

88. Sano M., Sawada Y. Measurement of the Lyapunov spectrum from a chaotic time series. // Phys. Rev. Lett.- 1985.- V. 55.- P. 1082-1085.

89. Brown R. Calculating Lyapunov exponents for short and/or noisy data sets. I j Phys. Rev. E.- 1993 V.47.- P. 3962-3969.

90. Parlitz U. Identification of true and spurious Lyapunov exponents from time series. // Int. J. Bifurcation Chaos.- 1992.- V.2, No. 1.- P. 155-165.

91. Kantz H. A robust method to estimate the maximal Lyapunov exponents of a time series. // Phys. Lett. A.- 1994.- V. 185 P. 77-87.

92. Froyland G., Judd K., Mees A. Estimation of Lyapunov exponents of dynamical systems using a spatial average. // Phys. Rev. E.— 1995.— V. 51.— P. 2844-2855.

93. Potapov A. Distortions of reconstruction for chaotic attractors. // Physica D 1997.- V. 101.- P. 207-226.

94. Farmer J., Sidorowich J. Predicting chaotic time series. // Phys. Rev. Lett.— 1987.- V. 59, No. 8.- P. 845-848.

95. Ebeling W., Nicolis G. Entropy of symbolic sequences: the role of correlation. // Europhys. Lett 1991. V. 14 - P. 191-196.

96. Ebeling W., Nicolis G. Word frequency and entropy of symbolic sequences: a dynamical perspective. // Chaos, Solitons and Fractals.— 1992.— V. 2.— P. 635-650.

97. Kaspar F., Schuster H. Easily calculable measure for the complexity of spatiotemporal patterns. // Phys. Rev. E — 1987- V. 36 P. 842.

98. O.V. Sosnovtseva, A.N. Pavlov, N.A. Brazhe, A.R. Brazhe, L.A. Erokhova, G. V. Maksimov, E. Mosekilde Interference microscopy under double-wavelet analysis: A new tool to studying cell dynamics // Phys. Rev. Lett. 2005. -V.94.-P.218103.

99. D.J. Marsh, O.V. Sosnovtseva, A.N. Pavlov, K.-P. Yip, N.-H. Holstein-Rathlou Frequency encoding in renal blood flow regulation // American Journal of Physiology Regul. Integr. Сотр. Physiol. - 2005. - V288. -P R1160-1167.

100. О. V. Sosnovtseva, A.N. Pavlov, E. Mosekilde, N.-H. Holstein-Rathlou, D.J. Marsh Double-wavelet approach to study frequency and amplitude modulation in renal autoregulation // Phys. Rev. E. 2004. - V70. -P031915-031918.

101. A.H. Павлов, О.В. Сосновцева Применение двойного вейвлет-анализа для исследования эффектов модуляции в динамике нефронов j j Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика. 2004. - V12(6). - Р 105-117.

102. О. V. Sosnovtseva, D.E. Postnov, A.M. Nekrasov, E. Mosekilde, and N.-H. Holstein-Rathlou Phase Multistability of Self-Modulated Oscillations // Phys. Rev. E.- 2002,- V. 66.- P. 036224

103. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В., Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем, Саратов, Изд. Саратовского Университета , 1999.

104. Е.М. Izhikevich Neural excitability, spiking and bursting // International Journal of Bifurcation and Chaos 2000 - V. 10, No. 6.- P. 1171-1266.

105. Г.Д.И. Абарбапель, М.И. Рабинович, A.M. Сильверстон, M.B. Баженов, Р. Хуэрта, М.М. Сущик, JI.JI. Рубчинский Синхронизация нейронных ансамблей // УФН 1996 - Т. 166, №4.- С. 363-390.

106. Winfree А. Т., The geometry of biological time, Berlin, Springer, 1980.

107. Haken J., Principles of brain functioning, Berlin, Springer-Verlad, 1996.

108. Сецинский Д. В. Стохастическая динамика малых ансамблей возбудимых систем, Диссертация на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук, Саратов, 2004.

109. Mosekilde Е. Topics in Nonlinear Dynamics: Applications to Physics, Biology and Economic Systems.— Singapore: World Scientific, 1996.— P. 398.

110. Anishchenko V., Saparin P., Anishchenko T. On the criterion of the relative degree of order of self-oscillating regimes. Illustration of Klimontovich's S-theorem. // Proc. SPIE 1994,- V. 2098.- P. 130-136.

111. Анищенко ВИгошева PL., Павлов А., Хованов И., Якушева Т. Сравнительный анализ методов классификации состояния сердечно-сосудистой системы при стрессе // Биомедицинская радиоэлектроника.— 2000.— No. 2.- С. 24-37.

112. Pavlov A.N., Dumsky D.V. Return times dynamics: Role of the Poincare section in numerical analysis. // Chaos, Solitons & Fractals.— 2003.— V. 18.— P.795-801.

113. Павлов A.H., Думский Д.В. Динамика времен возврата в зависимости от выбора секущей Пуанкаре // Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика 2003 — Т. 11, No. 6 - С. 65-74.

114. Хованов И.А, Думский Д.В, Хованова П.А. Активационный закон для одномерных отображений // Письма в ЖТФ.— 2004.— Т. 30, вып. 10.— С.53-60.

115. Dumsky D.V., Pavlov A.N. Characterization of chaotic dynamics from return times. // Proceedings of international conference "PhysCon2005". -St-Peterburg.— 2005.- P. 439-442.

116. Думский Д.В, Климова О.А, Павлов А.Н. Обусловленные стрессом изменения динамики артериального кровяного давления белых крыс // Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика.— 2004.— Т. 12, No. 1-2.— С. 26-39.

117. Думский Д.В. Индуцированные стрессом изменения динамики артериального кровяного давления //Тр. конф. «Нелинейные дни в Саратове для молодых-2003».— Саратов, 2003 С. 216-217.

118. Думский Д.В. Вейвлет-анализ в исследовании динамики артериального кровяного давления // Тр. конф. «Нелинейные дни в Саратове для молодых-2004».— Саратов, 2004 С. 94-97.

119. Pavlov АDumsky D., Ziganshiri A., Klimova ОAnishchenko V.S. Multimode dynamics of arterial blood pressure in healthy rats and its multifractal characterization. // Proc. SPIE — 2004 V. 5330 — P. 66-73.

120. Думский Д.В., Павлов А.Н., Тупицын А.Н., Макаров В. А. Классификация нейронных потенциалов действия на основе вейвлет-преобразования // Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика.— 2005.— Т. 13 , No. 5.- 154-Благодарности