Разделение сложных сигналов с помощью вейвлет-производной спектрометрии и биспектрального анализа

Галимуллин, Дамир Зиннурович

Разделение сложных сигналов с помощью вейвлет-производной спектрометрии и биспектрального анализа тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

Галимуллин, Дамир Зиннурович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Казань МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Разделение сложных сигналов с помощью вейвлет-производной спектрометрии и биспектрального анализа»

Автореферат диссертации на тему "Разделение сложных сигналов с помощью вейвлет-производной спектрометрии и биспектрального анализа"

На правах рукописи

Галимуллин Дамир Зиннурович

РАЗДЕЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ СИГНАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ВЕЙВЛЕТ-ПРОИЗВОДНОЙ СПЕКТРОМЕТРИИ И БИСПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА

01.04.05 - оптика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2006

Работа выполнена на кафедре оптики и нанофотоники Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Казанский государственный университет им. В.И. Ульянова-Ленина»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор С ал ахов Мякзюм Халимуллович

Официальные оппонента: доктор физико-математических наук,

профессор Нигматуллин Равиль Рашидович

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Тарасов Вячеслав Иванович

Ведущая организация: Томский государственный университет

им. В.В. Куйбышева

; 1

Защита состоится » декабря 2006 г. в 3>Стасов на заседании диссертационного совета Д 212.08.1.07 в Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 18

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета

Автореферат разослан ноября 2006 ]

Ученый секретарь диссертационного совета , ^^ Сарандаев Б.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы, исследования. Современная измерительная аппаратура дает возможность не только регистрировать экспериментальные данные, но и производить их первичную обработку с целью извлечения более полной и достоверной информации о физике исследуемого процесса. Это достигается путем включения методов обработки и вычислительной техники в измерительную систему, что позволяет осуществлять комплексную интерпретацию полученного результата.

В прикладной спектроскопии при обработке эксперимента приходится решать задачу выявления сложной структуры сигнала и выделения элементарных компонент. Использование традиционных спектральных и конечно-разностных методов, различных алгоритмов на основе метода наименьших квадратов, особенно при значительном перекрытии составляющих и наличии шума, не всегда позволяет правильно определить их количество и форму. Недостаточность классических методов для обработки спектроскопических данных побуждает использовать и развивать новые математические подходы.

В атомно-силовой микроскопии (АСМ) подобная задача возникает при исследовании колебаний зонда кантилевера в динамическом режиме. Выделение собственных мод осциллятора и использование их при анализе поверхности в воздухе и жидкости позволяет существенно улучшить параметры измерительного прибора. Изучение поведения одного нелинейного осциллятора или их ансамбля традиционно основано на полиспектральном Фурье-анализе. Этот подход применим к большинству изучаемых систем, но только в том случае, если они считаются стационарными в течение некоторого известного промежутка времени. Для реальных систем взаимодействие между локальными подсистемами приводит к временной зависимости характеристических частот. Фазовая связь между когерентными модами осциллятора может. значительно

изменяться с течением времени. При исследовании таких данных полиспектральный Фурье-анализ не является эффективным, поэтому требуется разработка метода, позволяющего учесть временную эволюцию коррелированных структур.

Преодолеть некоторые ограничения, присущие существующим методам исследования структуры сложных сигналов, возможно с привлечением методов,' основанных на концепции непрерывного вейвлет-преобразования (НВП). В отличие от традиционно применяемого Фурье-преобразования, НВП обеспечивает двумерную развертку одномерного сигнала, позволяющую проводить локальный анализ на различных временных масштабах. Гибкость, заключенная в выборе базисного вейвлета в зависимости от исследуемых данных, позволяет охватить значительный круг задач. Вейвлет-анализ может быть использован как эффективный аналитический инструмент для изучения нестационарных (во времени) или неоднородных (в пространстве) сигналов. Таким образом, исследования, проведенные в диссертационной работе, являются актуальными и практически значимыми.

Целью работы является разработка новых методов и привлечение существующих подходов на основе вейвлет-анализа для решения задач разделения сложных спектров на элементарные составляющие и идентификации их формы в случае искажений в исходных данных, выделения когерентных мод зонда кантилевера в атомно-силовой микроскопии и детектирования нелинейных эффектов в сложных нестационарных сигналах.

Основные положения, выносимые на защиту:

1, Поведение нулевых точек вейвлет-проекций спектрального профиля, полученных с использованием базисных вейвлетов Гаусса и Лоренца, позволяет произвести его идентификацию.

2. Метод определения формы линий с использованием базисного вейвлета Лоренца позволяет классифицировать элементарные составляющие

сложного спектрального контура в классе распределений Гаусса, Лоренца, Цаллиса и производить расчет их спектральных параметров. 3. Бйспектральный вейвлет-анализ позволяет идентифицировать корреляцию мод и исследовать ее временную динамику в сложных нестационарных сигналах.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- Впервые разработан алгоритм определения формы составляющих сложного контура на основе вейвлет-производной спектрометрии. Предложенный подход не требует привлечения информации о далеких крыльях спектрального профиля, что позволило решить ряд задач молекулярной спектроскопии с шумом и искажениями в исходных данных.

- Предложено семейство базисных вейвлетов на основе распределения Лоренца, позволяющих производить идентификацию спектральных линий в классе распределений Лоренца, Гаусса, Цаллиса.

- Разработан новый подход, позволяющий улучшить частотное разрешение биспектрального вейвлет-анализа и исследовать временную динамику квадратичной связи при помощи вейвлета Морле. Данный метод позволяет выявлять когерентные моды осциллятора в случае сложной структуры сигналов.

Достоверность полученных результатов обеспечивается путем тщательной проверки предлагаемых методик и сравнением полученных результатов с математическими методами, показавшими свою эффективность при решении аналогичных задач. Анализ погрешностей восстановления модельных данных, воспроизводимость получаемых решений и подтверждение их экспериментами свидетельствуют о достоверности результатов работы.

: Практическая ценность заключается в том, что предложенные методы по определению структуры сигнала и расчету его элементарных компонент: могут быть использованы для более качественной и достоверной обработки экспериментальных данных в прикладной

спектроскопии и атомно-силовой микроскопии в случае сложных и нестационарных сигналов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на VII, VIII Всероссийских и IX, X Международных молодежных научных школах "Когерентная' оптика и оптическая спектроскопия" (Казань, 2003, 2004, 2005, 2006), на общефакультетском научном физическом семинаре КГУ (Казань, 2003), на конференции им.Лобачевского (Казань, 2003), на Международной конференции European Dynamics Days (Palma de Mallorca, Spain, 2003), на Международной конференции "Современные проблемы физики и высокие технологии" (Томск, 2003), на юбилейной научной конференции физического факультета КГУ (Казань, 2004), на VIII Международном симпозиуме по фотонному эхо и когерентной спектроскопии (Калининград, 2005), на итоговой научной конференции КГУ (Казань, 2005), на XLIV Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2006), на Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов-2006" (Москва, 2006).

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 16 работ в центральной научной печати и сборниках конференций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 153 страницы, включая 82 рисунка и 2 таблицы. Список цитированной литературы содержит 116 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, сформулирована цель работы, изложены основные защищаемые положения, показана новизна результатов и их практическая значимость, приведены структура и содержание диссертации.

В первой главе формулируется постановка задачи разложения сложного сигнала на компоненты, описываются основы методов решения поставленной задачи в прикладной спектроскопии и особенности

выделения когерентных мод осциллятора с использованием полиспектрального Фурье-анализа. Рассматривается подробно статистика высших .порядков и различные схемы разложения спектров с неразрешенной структурой. Излагается современное состояние теории вейвлет-анализа в объеме, необходимом для решения поставленных задач. В результате подробного анализа этих методов даются рекомендации по их применению при обработке различных сигналов.

Вторая глава посвящена решению задачи разложения сложного контура на составляющие и расчета их спектральных параметров в случае белого шума при помощи вейвлет-производной спектрометрии (ВПС).

Излагается подробно метод ВПС [1-4] с использованием семейства вейвлетов Гаусса, основанный на "свойстве коммутирования операции дифференцирования и НВП:

к{а,ь)[д",[т}]=(-1)" /до«?; (>„>)] л, (1)

—СО

что позволяет перейти от дифференцирования исходной функции /(/) к дифференцированию вейвлета = (1/\[а)у/[(1 -Ь)/а].

Рассмотрено аналитическое выражение НВП контура Гаусса с использованием вейвлета Гаусса 2-го порядка и проведен его подробный анализ. Основным достоинством непрерывного ВА является его избыточность - количество используемых при анализе масштабов неограниченно. На основе результатов проведенного анализа, и свойства избыточности НВП предложен подход по идентификации спектрального профиля контура Гаусса и расчету его спектральных параметров [5-10] по поведению нулевых точек вейвлет-проекций в зависимости от масштабов (рис.1). Для идентификации контура Лоренца . было использовано семейство вейвлетов Лоренца [6-8] и рассчитано аналитическое выражение для коэффициентов вейвлет-преобразования лоренциана с использованием данного семейства вейвлетов. Показано, что зависимость координаты нулевой точки проекции НВП контуров Гаусса и Лоренца от масштаба является линейной в случае использования предложенного семейства

О 10

Волновое число (отн. ед.)

Рис.1. Вейв лет-преобразование гауссиана для разных масштабов а.

вейвлетов Лоренца (рис.2). Рассмотрено распределение Цаллиса, включающее в себя в общем случае распределения Лоренца и Гаусса. Проведенные исследования показали [6-13], что предложенное семейство вейвлетов Лоренца позволяет провести идентификацию контуров в классе распределений Гаусса, Лоренца, Цаллиса по углу наклона прямой,

аппроксимирующей зависимость координаты нулевой точки вейвлет-проекции от масштаба. Также показано, что для построения аппроксимирующей прямой не требуется привлечение далеких крыльев спектрального контура.

С учетом проведенных исследований предложен алгоритм по идентификации и расчету спектральных параметров компонент сложного профиля [6-10]. Известно, что шумовая составляющая сигнала сосредоточена на малых масштабах его НВП [9, 12]. Поскольку операция численного дифференцирования реальных экспериментальных данных представляет собой обратную некорректную задачу [1-3, 5], то использование ВПС позволяет обойти неустойчивость операции дифференцирования в вейвлет-пространстве путем отсечения малых масштабов. В работах [6-8, 10] дается оценка оптимального рабочего диапазона масштабов путем анализа ошибок при расчете полуширины контура и угла наклона аппроксимирующей прямой в

зависимости от уровня белого шума. Произведено сравнение результатов работы алгоритма в случае отсечения

Масштаб, а

Рис.2. Зависимость значения хо от масштаба а для лоренциана (1) и гауссиана (2).

малых масштабов и при использовании всех масштабов. Показано, что использование подхода с выбором оптимального диапазона масштабов позволяет существенно увеличить устойчивость предложенного метода к влиянию случайного шума [10,12].

Для модельного дублета исследовано взаимное влияние компонент на расчет полуширины и угла наклона прямой, аппроксимирующей зависимость координаты нулевой точки от масштаба. Показано, что относительная ошибка расчета не превышает 10% для компонент, находящихся на расстоянии порядка

0 55г

полторы их относительной I

полуширины, что является 0 о« приемлемым для ■ большинства 5 04

р 0.35

спектроскопических задач [6, 10]. I о.з Проведена апробация методики I °25'

I ог:

для решения задач детектирования I 015 сложной структуры и определения параметров элементарных компонент в ИК спектрах различных соединений [5-14]. Определено количество полос и восстановлены компоненты (рис.3) дублета в ИК-спектре диоксана в области 1340-1400 см"1.

С помощью разработанного подхода удалось определить ц, 5 количество полос и их форму в ИК спектре полиэфиримида Р1-3. Установлено, что в исследуемом диапазоне спектр состоит из пяти компонент. Для определения формы слабых по интенсивности полос 1-У, по сравнению с окружающими

1340 1350 1360 1370 1380 1390 1400

Волновое число г. см'1

Рис.3. Восстановление дублета: 1 - исходный контур, 2, 3 - рассчитанные компоненты, 4 - реконструированный профиль.

1Э50 1400 1450 1500 Волновое ЧИСЛО V , см"

Рис.4. ИК спектр полиэфиримида Р1-3. полосами, проводилась предварительная обработка спектра (рис.4) в

диапазоне 1440-1530 см" . После расчета формы полос А, В и их

,-1

спектральных параметров производилось вычитание данного участка из общего спектра, что позволило реконструировать форму полос на исследуемом спектральном диапазоне 1400-1470 см'1 (рис.4). На основе полученных результатов о количестве и форме компонент рассчитаны параметры каждой компоненты спектра, что позволяет производить конформационный анализ данного соединения [13, 14].

В третьей главе рассматривается бикогерентное вейвлет-преобразование и особенности его численной реализации. Введен в рассмотрение базисный вейвлет Морле и показана связь между масштабом и центральной частотой его Фурье-образа. Рассмотрены подробно различные, ранее не учитывавшиеся, эффекты, возникающие при расчете НВП с использованием вейвлета Морле. Получено выражение для коэффициентов НВП гармонического сигнала ехр(ги>,/) с временем существования Г [15]:

где функция ег/(х) представляет собой функцию ошибки.

Из полученного выражения следует, если две частоты разнесены на большой интервал или, наоборот, находятся достаточно близко друг к другу, то возможна потеря информации об их количестве и времени существования. В первом случае, это будет происходить из-за несоизмеримости амплитуд спектральных линий, удовлетворяющих соотношению:

во втором случае, из-за взаимного их перекрытия вследствие уширения спектральной линии на спектрограмме с ростом частоты.

Показано, что основной недостаток при использовании обычного НВП заключается в том, что если ряд имеет достаточно узкий или,

(2)

(3)

наоборот, широкий спектральный состав, то его биспектральный анализ может быть существенно затруднен. Предложена модификация вейвлета Морле путем введения управляющего параметра - параметра полуширины а, следующим образом [15, 16]:

что позволяет повысить частотную избирательность базисных функций в исследуемом спектральном диапазоне. Эффективность предложенного подхода проиллюстрирована на сигналах, моделирующих отклик системы с квадратичной нелинейностью. Разработан алгоритм выбора значения сг на основе анализа Фурье-спектра исходного сигнала. Для анализа временной динамики квадратичной связи введена функция развертки биспектра во времени [16]:

где ж удовлетворяет условию суммирования частот. Ее использование позволяет выделять временную локализацию когерентных структур и определять характерный временной масштаб нелинейности.

Рассмотрены общие закономерности, приводящие к возникновению квадратичной и кубической связи, на примере оптического осциллятора и произведена их классификация. На основе предложенного подхода исследована динамика осциллятора с квадратичной нелинейностью в присутствии внешней вынуждающей силы. Произведен анализ влияния величины расстройки между частотой накачки и собственной частотой колебаний осциллятора на картину биспектра.

(5)

0.08; 0.06.' S 0.04' 0.02 г о [ - 02 ■0.01 ■0.06-

Четвертая глава посвящена апробации предложенного подхода для решения задачи детектирования квадратичной нелинейности и выделения когерентных мод в спектре процесса колебаний зонда кантилевера АСМ в динамическом режиме. На рис.5 приведен исследуемый сигнал, представляющий запись колебаний кантилевера CSG12 в бесконтактном динамическом режиме на малом временном интервале. С помощью разработанного алгоритма (рис.6) на основе биспектрального вейвлет-анализа удалось выявить сложную структуру колебательного процесса зонда АСМ в присутствии внешней силы, определить присутствующие в спектре когерентные моды осциллятора и оценить характерный временной масштаб квадратичной связи [15]. На основе полученных данных можно произвести [16] расчет собственных мод зонда кантилевера, что позволяет использовать их при съеме топографии поверхности динамическими методами

АСМ и исследовании взаимодействия Рис.6. Вейвлет-биспектр

исследуемого процесса колебаний зонда и образца зонда кантилевера АСМ.

Рис.5. Процесс колебаний зонда кантилевера АСМ в бесконтактном режиме.

Основные результаты и выводы

1. Разработан новый метод определения формы спектральных линий на основе вейвлет-производной спектрометрии. Данный подход позволяет идентифицировать' профили в классе распределений Гаусса, Лоренца, Цаллиса. Показано, что предлагаемый подход может быть использован для определения формы составляющих полос в сложных спектрах.

2. Предложено семейство вейвлетов на основе распределения Лоренца и показано, что использование данного семейства позволяет значительно упростить процедуру идентификации по нулевым точкам вейвлет-проекций.

3. Разработанная методика была успешно применена к анализу температурных зависимостей интенсивностей и полуширин составляющих в сложных ИК-спектрах полиэфиримидов. Полученные при помощи предложенного подхода оценки подвижности СН3— и СБа-групп могут быть использованы при обсуждении механизмов диффузии малых молекул в полиэфиримидах. Решен ряд задач определения количества и формы полос модельных и экспериментальных ИК-спектров.

4. Предложен подход по улучшению частотного разрешения биспектрального вейвлет-анализа путем введения параметра полуширины для вейвлета Морле и показано, что для случая сигналов со сложным спектральным составом возможно детектирование нелинейных эффектов. Введена функция развертки биспектра, позволяющая изучать временную динамику квадратичной связи и производить оценку характерного временного масштаба нелинейности. Апробация предложенного подхода при обработке модели осциллятора с квадратичной нелинейностью показала его эффективность при определении связанных частот.

5. Проведен анализ колебаний зонда кантилевера атомно-силовой микроскопии в динамическом режиме. Выявлено, что в процессе колебаний присутствует несколько квазипериодических режимов и существует ряд когерентных мод.

Список авторской литературы

1. Галимуллин, Д.З. Производная спектрометрия сложных молекулярных спектров на основе вейвлет-анализа / Д.З. Галимуллин, С.С. Харинцев, М.Х. Салахов // VII Всероссийская Молодежная Научная Школа "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": сб. ст. - Казань, 2003. - С.371-377.

2. Галимуллин, Д.З. Метод вейвлет-производной спектрометрии для увеличения разрешения сложных молекулярных спектров / Д.З. Галимуллин, С.С. Харинцев // Труды общефакультетского научного физического семинара студентов: сб. науч. тр. / под общ. ред. Р.Х. Гайнутдинова. - Выпуск IV, Казань, 2003. - С. 117-122.

3. Галимуллин, Д.З. Сравнительный анализ методов производной спектрометрии / Д.З. Галимуллин, М.Э. Сибгатуллин Н VIII Всероссийская Молодежная Научная Школа "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": сб. ст. — Казань, 2004. - С.327-333.

4. Галимуллин, Д.З. Исследование спектра излучения нейтральных атомов меди в диапазоне длин волн 300 нм - 350 нм в условиях импульсного капиллярного разряда в воздухе / Д.З. Галимуллин, Г.Г. Ильин, Е.В. Сарандаев // VIII Всероссийская Молодежная Научная Школа "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": сб. ст. -

■ Казань, 2004.-С. 121-127.

5. Галимуллин, Д.З. Регуляризация обратных некорректных задач в прикладной спектроскопии / Д.З. Галимуллин, М.Э. Сибгатуллин, С.С. Харинцев, М.Х. Салахов II Известия РАН, серия физ. - 2006. -Т.70, №4. - С.538-539.

6. Galimullin, D.Z. Band shape determination with robust estimator based on continuous wavelet transform / S.S. Kharintsev, D.Z. Galimiillin, A.Yu. Vorob'ev, M.Kh. Salakhov // Spectrochimica Acta Part A. - 2006. -№65.-P. 292-298;

7. Галимуллин, Д.З. Определение структуры сложного контура с учетом влияния случайного шума / Д.З. Галимуллин, А.Ю. Воробьев, М.Э. Сибгатуллин, С.С. Харинцев, М.Х. Салахов // IX

Международная Молодежная Научная Школа "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": сб. ст. - Казань, 2005. - С.197-201.

8. Галимуллин, Д.З. Разложение сложного контура на элементарные полосы с помощью вейвлет-производной спектрометрии / Е.А. Бондарева, Д.З. Галимуллин, М.Э. Сибгатуллин // IX Международная Молодежная Научная Школа "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": сб. ст. - Казань, 2005. - С.263-267.

9. Галимуллин, Д.З. Детектирование детерминированной компоненты в оптических спектрах / Г.В. Фролова, М.Э. Сибгатуллин, Д.З. Галимуллин, С.С. Харинцев, Г.Г. Ильин, М.Х. Салахов // IX Международная Молодежная Научная Школа "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": сб. ст. - Казань, 2005. - С.279-283.

10.Galimullin, D.Z. Spectral line shape identification with continuous wavelet transform / D.Z. Galimullin, M.E. Sibgatullin, A.Yu. Vorob'ev, D.I. Kamalova, S.S. Kharintsev, M.Kh. Salakhov // Proc. SPIE. - 2006. -№6181.-P. 181-189.

11.Галимуллин, Д.З. Исследование периодических сигналов с фрактальным гауссовым шумом / М.Э. Сибгатуллин, Д.З. Галимуллин, А.Ю. Воробьев, С.С. Харинцев, И.Ф. Бикмаев, М.Х. Салахов // IX Международная Молодежная Научная Школа "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": сб. ст. - Казань,

2005.-С.107-111.

12.Galimullin, D.Z. Noise elimination from stellar spectra/M.E. Sibgatullin, D.Z. Galimullin, S.S. Kharintsev, I. F. Bikmaev, M. Kh. Salakhov // Proc. SPIE.-2006.-№6181.-P. 191-197.

13.Галимуллин, Д.З. Изучение внутреннего вращения полиэфиримидов по ИК-Фурье спектрам / Д.З. Галимуллин, Д.И. Камалова, И.М. Колядко, А.Б. Ремизов, М.Х. Салахов // Ученые Записки КГУ. -

2006.-Т. 148, кн. 1.-С. 99-109.

Н.Галимуллин, Д.З. Изучение конформационных особенностей полиэфиримидов по ИК-Фурье спектрам / Д.З. Галимуллин, Д.И. Камалова, А.Б. Ремизов, М.Х. Салахов // IX Международная

Молодежная Научная Школа "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": сб. ст. - Казань, 2005. - С.93-99.

15.Галимуллин, Д.З. Биспектральный анализ нелинейных эффектов при исследовании движения кантилевера в динамическом режиме I Д.З. Галймуллин, М.Э. Сибгатуллин, М.Х. Салахов, А.П. Чукланов, A.A. Бухараев // Электронный журнал "Исследовано в России". - 2006. -№ 125.-С. 1188-1197. http://?.hurnal.ane.relarn.ru/articles/2006/125.pdf

16.Галймуллин, Д.З. Биспектральный анализ нелинейных эффектов при исследовании колебаний кантилевера в динамическом режиме / Д.З. Галимуллин, А.П. Чукланов, A.A. Бухараев, М.Х. Салахов Н X Международная Молодежная Научная Школа "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": сб. ст. - Казань, 2006. - С. 63-66.

Отпечатано в ООО «Печатный двор». , г. Казань, ул. Журналистов, 1/16, оф.207

Тел: 272-74-59, 541-76-41, S4I-76-S1. Лицензия ПД№7-0215 от 01.11.2001 г. Выдана Поволжским межрегиональным территориальным управлением МПТР РФ. Подписано в печать 23.11.2006 г. Усл. п.л 1,0. Заказ М К-5627. Тираж 100 зю. Формат,.60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать - ризография.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Галимуллин, Дамир Зиннурович

Введение.

ГЛАВА 1. Методы обработки оптических спектров и нелинейных процессов.

1 Л. Методы разложения спектральных линий с неразрешенной структурой.

1.2. Непрерывный вейвлет-анализ.

1.3. Основные принципы детектирования нелинейных процессов.

ГЛАВА 2. Метод идентификации и расчета параметров спектрального контура на основе вейвлет-производной спектрометрии.

2.1. Непрерывное вейвлет-преобразование контура Гаусса.

2.2. Непрерывное вейвлет-преобразование контура Лоренца.

2.3. Расчет формы спектральной линии по нулевым точкам вейвлет-проекций.

2.4. Алгоритм идентификации с использованием вейвлетов Гаусса и Лоренца.

2.5. Идентификация спектрального контура при помощи вейвлета Лоренца.

2.6. Выбор оптимального диапазона масштабов.

2.7. Расчет параметра Цаллиса.

2.8. Идентификация компонент сложного контура.

2.9. Определение формы полос в экспериментальных молекулярных спектрах.

ГЛАВА 3. Биспектральный анализ нелинейных эффектов в динамике осциллятора с квадратичной нелинейностью.

3.1. Бшсогерентное вейвлет-преобразование.

3.2. Оценка погрешности и особенности расчета вейвлет-биспектра.

3.3. Детектирование квадратичной нелинейности.

3.4. Нелинейные процессы и генерация высших гармоник.

3.5. Динамика осциллятора с квадратичной нелинейностью.

ГЛАВА 4. Исследование колебаний кантилевера атомно-силового микроскопа в динамическом режиме.

4.1. Модель квадратичного осциллятора в атомно-силовой микроскопии.

4.2. Биспектральный анализ колебаний кантилевера в динамическом режиме.

Введение диссертация по физике, на тему "Разделение сложных сигналов с помощью вейвлет-производной спектрометрии и биспектрального анализа"

Современная измерительная аппаратура дает возможность не только регистрировать экспериментальные данные, но и производить их первичную обработку с целью извлечения более полной и достоверной информации о физике исследуемого процесса. Это достигается путем включения методов обработки и вычислительной техники в измерительную систему, что позволяет осуществлять комплексную интерпретацию полученного результата.

С помощью математического аппарата можно значительно повысить характеристики приборов и корректировать искажения, возникающие в процессе регистрации экспериментальных данных.

Высокая потребность в качественных алгоритмах частично удовлетворена различными разработанными методами. Тем не менее, эти методы не всегда пригодны для анализа произвольных данных. В прикладной спектроскопии при обработке эксперимента приходится решать задачу выявления сложной структуры сигнала и выделения элементарных компонент. Использование традиционных спектральных и конечно-разностных методов, различных алгоритмов на основе метода наименьших квадратов (МНК), особенно при значительном перекрытии составляющих и наличии шума, не всегда позволяет правильно определить их количество и форму. Недостаточность классических методов для обработки спектроскопических данных побуждает использовать и развивать новые математические подходы.

Вейвлетный анализ, возникший сравнительно недавно, как оказалось, представляет собой мощное средство изучения динамики систем и привлекает в последнее время все большее внимание исследователей. За короткое время появилось огромное количество публикаций по различным аспектам использования этого математического инструмента при анализе экспериментальных данных. Область его применения включает не только обработку, но и сжатие информации, синтез и кодировку изображений и т.д.

В отличие от традиционно применяемого в обработке данных преобразования Фурье, результаты, полученные с помощью вейвлет-анализа, зачастую обладают большей информативностью и способны непосредственно обрабатывать такие особенности данных, которые при традиционном подходе анализировать затруднительно.

Так, например, Фурье-преобразование предназначено для анализа сигнала в частотной области, оставляя открытым вопрос о локализации во времени различных его компонент. Лбкализационные свойства вейвлет-анализа, заложенные в самой его структуре, привносят в обработку данных дополнительную степень свободы.

Не отвергая значимость анализа Фурье, вейвлет-методы успешно дополняют, а иногда способны и полностью заменить обработку данных традиционными методами.

Вейвлет-анализ обладает способностью выделять из сигнала компоненты разного масштаба. Это часто используют для того, чтобы разделить исходные данные на составляющие. Например, в конформационном анализе актуальной является задача выявления сложной структуры полос в ИК-спектрах и корректное отнесение элементарных компонент полосы к тому или иному конформеру. От решения данной проблемы зависит интерпретация и дальнейшее исследование спектроскопических данных. Преодолеть недостатки существующих методик разделения сложных линий удалось путем использования алгоритма численного дифференцирования на основе непрерывного вейвлет-преобразования (НВП). Разработанный алгоритм позволяет добиться значительного разрешения исходного спектра относительно широко используемых методов производной спектрометрии и малочувствителен к воздействию шума.

Для определения формы компонент сложной линии разработаны и успешно применяются методы, основанные на подгонке модели сигнала к экспериментальным данным. Большинство таких алгоритмов являются итерационными и требуют значительного объема предварительной информации об изучаемом объекте, которая не всегда доступна. Это часто негативно сказывается на производительности системы обработки эксперимента. При некотором уровне искажений мы можем вообще получить неверное разложение.

В то же время практически не изучены возможности вейвлет-анализа в задаче распознавания близкорасположенных сигналов, частично или полностью перекрывающих друг друга. Существующие разработки направлены на расчет параметров сигналов только гауссовой формы, где достигнут определенный прогресс в этом, надравлении. В первой части данной диссертационной работы внимание сосредоточено на задаче восстановления, сигнала путем определения сложной структуры ИК полос в экспериментальных спектрах. Для решения этой проблемы предложен метод идентификации компонент составного спектра в классе гауссовых и лоренцевых кривых с использованием алгоритма дифференцирования на основе непрерывного вейвлет-преобразования. Разработанный подход основан на общих закономерностях поведения определенных точек вейвлет-проекций сигнала и позволяет использовать также в качестве модели контура распределение Цаллиса, включающее в общем случае распределения: Гаусса и Лоренца.

Вторая часть диссертационной работы направлена на изучение динамики систем, демонстрирующих нелинейные эффекты и хаотическое поведение. Большинство процессов, описывающих динамику и взаимодействие локальных подструктур в общей системе, являются нелинейными и сложными. Когерентные эффекты приводят к взаимосвязанному поведению подструктур, что характеризуется перераспределением общей энергии между основными и возникающими дополнительно частотными составляющими.

При работе в полуконтактном или бесконтактном динамическом режиме механическое взаимодействие между зондом АСМ и образцом приводит к дополнительному силовому взаимодействию. Поведение возникающих в результате взаимодействия мод будет в значительной мере зависеть от потенциала взаимодействия, а, следовательно, и от локальных физико-химических свойств исследуемого объекта.

При анализе такого рода сигналов в большинстве случаев исследуются только линейные механизмы, определяющие динамику процесса, так как связь между частотными составляющими исключается. Можно сказать, что имеющейся информации в спектре мощности достаточно для полного статистического описания гауссова процесса с известным средним значением. Однако, когда анализируемый процесс содержит сложную структуру различных временных гармоник или порождается нелинейной динамической системой, то одного спектра мощности уже недостаточно для полного его описания.

Спектр мощности исследуемого сигнала дает информацию о распределении энергии между различными частотными компонентами. Спектр высшего порядка, в свою очередь, позволяет получить необходимую фазовую информацию и провести различие между независимыми или возникающими вследствие нелинейных взаимодействий частотными компонентами сложного спектра. Этот подход применим к большинству изучаемых систем, но только в том случае, если они считаются стационарными в течение некоторого промежутка времени. Значительное количество работ посвящено применению полиспектрального Фурье-анализа для изучения нелинейных взаимодействий в различных областях науки. Разработан ряд статистических тестов, позволяющих оценить стационарность, асимметрию и эксцесс исследуемого процесса.

При исследовании сложных нестационарных данных полиспектральный Фурье-анализ, с использованием усредняющего по временной или пространственной координате окна, не является эффективным. Это связано с тем, что моменты высших порядков исследуемого сигнала характеризуют общие, а не локальные характеристики процесса. Необходим метод, позволяющий учесть временную эволюцию коррелированных структур.

Ряд научных работ направлен на развитие методов расчета полиспектров с использованием частотно-временного динамического окна. Однако существует ряд ограничений на использование таких алгоритмов, в частности, требуется точное определение характерного временного масштаба с учетом неизменности его во времени. Возникает и значительная сложность при нормировке полученного полиспектра, поскольку влияние дискретизации и случайных ошибок приводит к необходимости проведения регуляризации. Для преодоления указанных недостатков были введены вейвлетный биспектр и бикогерентность для исследования квадратичных взаимодействий между отдельными осцилляторами. Обобщение биспектра на вейвлетное преобразование дает возможность анализировать такие принципиально нелинейные явления, как временная динамика связи между различными гармониками в сигнале, а также выделять в наборах пространственно-временных данных короткоживущие структуры.

Во второй части диссертационной работы предложена методика, основанная на биспектральном вейвлет-анализе, позволяющая детектировать взаимодействие двух и более компонент системы, оценивать величину нелинейности и временной интервал, на котором когерентность любой пары частотных мод становится ненулевой. С помощью предложенного алгоритма исследована модель осциллятора с квадратичной нелинейностью. Рассмотрены общие закономерности в данной модели, приводящие к нелинейным эффектам различных порядков и изменению состояния осциллятора. Показано, что при значительной величине коэффициента нелинейности наблюдается распределение колебательной энергии между модами и возникновение устойчивых когерентных структур. Полученные данные сравниваются с результатами биспектрального Фурье-анализа.

Проведен анализ колебаний зонда кантилевера АСМ в динамическом бесконтактном режиме в присутствии внешней гармонической силы. Показано, что статистика высших порядков, основанная на вейвлет-анализе, может быть с успехом использована для изучения поведения систем, обладающих нелинейной динамикой, и выделения когерентных структур. Таким образом, исследования, проведенные в диссертационной работе, являются актуальными и практически значимыми.

Целью данной диссертационной работы является разработка новых методов и привлечение существующих подходов на основе вейвлетанализа для решения задач разделения сложных спектров на элементарные составляющие и идентификации их формы в случае искажений в исходных данных, выделения когерентных мод зонда кантилевера в атомно-силовой микроскопии и детектирования нелинейных эффектов в сложных нестационарных сигналах.

Основные задачи исследований включают в себя:

1. разработку нового подхода по классификации спектральных линий на основе непрерывного вейвлет-преобразования;

2. построение базиса для идентификации спектральных компонент составного контура в классе распределений Гаусса, Лоренца, Цаллиса;

3. решение задач определения сложной структуры экспериментальных ИК-спектров и определения формы составляющих полос;

4. разработку методики по идентификации процессов с квадратичной нелинейностью с использованием модифицированного вейвлета Морле;

5.анализ нелинейных эффектов в динамике осциллятора с квадратичной нелинейностью

6. исследование частотных характеристик и выделение когерентных мод колебаний зонда кантилевера атомно-силовой микроскопии в динамическом режиме.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Поведение нулевых точек вейвлет-проекций спектрального профиля, полученных с использованием базисных вейвлетов Гаусса и Лоренца, позволяет произвести его идентификацию.

2. Метод определения формы линий с использованием базисного вейвлета Лоренца позволяет классифицировать элементарные составляющие сложного спектрального контура в классе распределений Гаусса, Лоренца, Цаллиса и производить расчет их спектральных параметров.

3. Биспектральный вейвлет-анализ позволяет идентифицировать корреляцию мод и исследовать ее временную динамику в сложных нестационарных сигналах.

Научная новизна: В диссертационном исследовании получены следующие новые результаты:

Научная и практическая значимость. Практическая ценность работы заключается в том, что в ней были предложены и использованы новые методы по исследованию временной динамики нелинейных процессов и решению спектроскопических задач на основе непрерывного вейвлет-анализа, которые были апробированы на разных модельных и экспериментальных сигналах, что позволяет определить возможности каждого метода. Результаты работы могут быть использованы для более качественного анализа структуры экспериментальных данных.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на VII, VIII Всероссийских и IX, X Международных молодежных научных школах "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия" (Казань, 2003, 2004, 2005, 2006), на общефакультетском научном физическом семинаре (Казань, 2003), на конференции им. Лобачевского (Казань, 2003), на Международной конференции European Dynamics Days (Palma de Mallorca, Spain, 2003), на Международной конференции "Современные проблемы физики и высокие технологии" (Томск, 2003), на юбилейной научной конференции физического факультета КГУ (Казань, 2004), на VIII Международном симпозиуме по фотонному эхо и когерентной спектроскопии (Калининград, 2005), на итоговой научной конференции КГУ (Казань, 2005), на XLIV Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2006), на Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ло*моносов-2006" (Москва, 2006).

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 16 работ, из них 5 статей в центральной научной печати, 11 статей в сборниках конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 153 страницы, включая 82 рисунка и 2 таблицы. Список цитированной литературы содержит 116 наименований.

Заключение диссертации по теме "Оптика"

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработан новый метод определения формы спектральных линий на основе вейвлет-производной спектрометрии в классе распределений Гаусса, Лоренца, Цаллиса. Показано, что предлагаемый подход может быть использован для определения формы составляющих полос в сложных спектрах.

3. Разработанная методика была успешно применена к анализу температурных зависимостей интенсивностей и полуширин различных составляющих ИК спектров полиэфиримидов, оценке подвижности локальных частей макромолекулы. Полученные при помощи предложенного подхода оценки подвижности групп СН3 и CF3 могут быть использованы при обсуждении механизмов диффузии малых молекул в полиэфиримидах.

4. Предложен подход по улучшению частотного разрешения биспектрального вейвлет-анализа путем введения параметра полуширины для вейвлета Морле и показано, что для сигналов со сложным спектральным составом возможно детектирование нелинейных эффектов.

5. Предложена функция развертки биспектра, позволяющая изучать временную динамику квадратичной связи, и исследовано поведение ее величины для когерентных мод квадратичного осциллятора.

6. Проведен анализ колебаний зонда кантилевера атомно-силовой микроскопии в динамическом режиме. Выявлено наличие нескольких квазипериодических режимов колебаний и присутствие когерентных структур, определены их величины

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе предлагается метод определения формы элементарных компонент сложных спектральных линий на основе непрерывного вейвлет-преобразования. Разработанный подход базируется на том, что поведение точек пересечения вейвлет-проекций с осью абсцисс зависит от формы линии. Использование в качестве базиса предложенного семейства вейвлетов Лоренца позволяет обрабатывать спектральные кривые в классе распределений Гаусса, Лоренца, Цаллиса. С помощью предложенного метода решены задачи определения формы полос модельных и экспериментальных ИК спектров. Произведен анализ эффективности работы разработанного алгоритма, показаны преимущества и недостатки существующих подходов в решении прикладных задач молекулярной спектроскопии.

Во второй части диссертационной работы рассмотрены общие принципы биспектрального вейвлет-анализа. Введение параметра полуширины повышает разрешающую способность вейвлетов Морле, что позволяет успешно детектировать нелинейности в случае сигналов с сложным спектральным составом. Показана эффективность предлагаемого подхода для решения задачи обработки данных в случае квадратичной нелинейности. Использование функции временной развертки биспектра позволяет анализировать временную динамику коррелированных структур. С помощью предлагаемого метода показано наличие связи гармонических составляющих при исследовании колебаний кантилевера АСМ в динамическом бесконтактном режиме.

В заключение автор приносит благодарность своему научному руководителю - профессору, доктору физико-математических наук Салахову М.Х. за полезные замечания при обсуждении полученных результатов, и научному консультанту Харинцеву С.С. Отдельная благодарность выражается доценту, кандидату физико-математических наук Камаловой Д.И. за предоставленные экспериментальные спектры и ценные советы в области молекулярной спектроскопии; доценту, кандидату физико-математических наук Коноваловой О.А. за внимание и помощь при изучении атомно-силовой микроскопии, аспиранту КФТИ КНЦ РАН Чукланову А.П. за полезные замечания и предоставленные экспериментальные данные.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Галимуллин, Дамир Зиннурович, Казань

1. Брандмюллер, И. Введение в спектроскопию комбинационного рассеяния света / И. Брандмюллер, Г. Мозер. М.: Мир, 1964. - 628 с.

2. Казаченко, Л.П. Молекулярная спектроскопия жидкостей / Л.П. Казаченко. Минск, изд. БГУ, 1978. - 174 с.

3. Сперанская, Т.А. Оптические свойства полимеров / Т.А. Сперанская, Л.И. Тарутина. Ленинград, изд-во "Химия", 1976. - 136 с.

4. Семчиков, Ю.Д. Введению в химию полимеров / Ю.Д. Семчиков, С.Ф. Жтльцова, В.Н. Катаева. М.: изд-во "Высшая школа", 1988. - 150 с.

5. Орвилл-Томас, В.Д. Внутреннее вращение молекул / В.Д. Орвилл-Томас.-М.: Мир, 1977.-510 с.

6. Салахов, М.Х. Математическая обработка и интерпретация спектроскопического эксперимента / М.Х. Салахов, С.С. Харинцев. -Казань: Изд-во КГУ, 2001.-238 с.

7. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. -М.: Наука, 1979.-286 с.

8. Преображенский, Н.Г. Неустойчивые задачи диагностики плазмы / Н.Г. Преображенский, В.В. Пикалов. Новосибирск: Наука, 1982. -236 с.

9. Турчак, Л.И. Основы численных методов / Л.И. Турчак. М.: Наука, 1987.-381 с.

10. Михайленко, В.И. Методы разложения спектров с неразрешенной структурой / В.И. Михайленко, В.В. Михальчук // ЖПС. 1987. -Т.46, №4. - С. 535 -542.

11. Гречушников, Б.Н. Разложение сложного спектрального контура на составляющие заданной формы методом преобразования Фурье / Б.Н. Гречушников, И.Н. Калинкина // ЖПС. 1984. - Т. 41, № 2. - С. 249 -251.

12. Дубровкин, И.М. Производная спектрометрия. Теория, техника, применение / И.М. Дубровкин, В.Г. Беликов. Ростов: Изд-во Ростов. Ун-та, 1988.- 144 с.

13. Грачев, И.Д. Статистическая регуляризация при обработке эксперимента в прикладной спектроскопии / И.Д. Грачев, М.Х. Салахов, И.С. Фишман. Казань: Изд-во КГУ, 1986. - 186 с.

14. Kharintsev S.S. Resolution enhancement of composite spectra with fractal noise in derivative spectroscopy / S.S. Kharintsev, D.I. Kamalova, M.Kh. Salakhov // App. Spectr. 2000. - Vol. 54, № 5. - P. 164-176.

15. Василенко, Г.И. Теория восстановления сигналов / Г.И. Василенко. -М.: Советское радио, 1979. 272 с.

16. Турчин В.Ф. Использование методов математической статистики для решения некорректных задач / В.Ф. Турчин, В.П. Козлов, М.С. Малкевич // УФН. -1970. №102, вып.З. - С.348-385.

17. Tan Н. Wavelet analysis applied to removing nonconstant varying spectroscopic background in multivariate calibration / H. Tan, S. Brown // J. Chemom. 2002. - № 16. - P. 228-240.

18. Shao X. A novel method to calculate the approximate derivative photoacoustic spectrum using continious wavelet transform / X. Shao, C. Pang, Q. Su // Fresenius J. of Analytical Chemistry. 2000. - Vol. 367. -P. 525-529.

19. Shao X. A general approach to derivative calculation using wavelet transform / X. Shao, C. Ma // Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems.-2003.-Vol. 69.-P. 157-165.

20. Shao X. Continuous Wavelet Transform Applied to Removing the Fluctuating Background in Near-Infrared Spectra / X. Shao, C. Ma // Journal of Chemical Information and Computer Sciences. 2004. - Vol. 44.-P. 907-911.

21. Shao X. Quantitative Determination of the Components in Overlapping Chromatographic Peaks Using Wavelet Transform / X. Shao, W. Cai, P. Sun, M. Zhang, G. Zhao // Anal. Chem. 1997. - Vol. 69. - P. 1722-1725.

22. Kharintsev S.S. Resolution enhancement of composite spectra using wavelet-based derivative spectrometry / S.S. Kharintsev, D.I. Kamalova, M.Kh. Salalchov, A.A. Sevastianov // Spectrochim. Acta Part A. 2005. -Vol. 61.-P. 149-156.

23. Kharintsev S.S. Resolution enhancement of overlapping peaks in molecular spectra by derivative spectrometry method on continuous wavelet transform /S.S. Kharintsev, A.A. Sevastianov, M.Kh. Salakhov // AJS. -2002. -Vol.6, № 4. P. 145-154.

24. Galimullin D.Z. Noise elimination from stellar spectra / M.E. Sibgatullin, D.Z. Galimullin, S.S. Kharintsev, I. F. Bikmaev, M. Kh. Salakhov // Proc. SPIE.-2006. Vol. 6181.-P. 191-197.

25. Иберла, К. Факторный анализ / К. Иберла М.: Статистика, 1980. -397 с.

26. Михайленко, В.И. Определение структуры сложного спектрального контура, состоящего из п симметричных полос/ В.И. Михайленко, Б.И. Кучеренко // Опт. и спектр. 1975. - Т. 38, № 4. - С. 642 - 647.

27. Михайленко, В.И. Разложение спектра на элементарные симметричные полосы с помощью метода ортогонализации Грама-Шмидта / В.И. Михайленко, В.В. Михальчук // ЖПС. 1986. - Т.45, № 3. - С. 483 -488.

28. Парлетт, Б., Симметричная проблема собственных значений -численные методы / Б. Парлетт. М.: Мир, 1983. - 382 с.

29. О'Haver Т. Numerical error analysis of derivative spectroscopy for the quantitative analysis of mixtures / Т. О'Haver, G. Green // Anal. Chem. -1976.-Vol. 48.-P. 312-319.

30. Kauppinen J.K. Fourier self-deconvolution: A method for resolving intrinsically overlapped bands / J.K. Kauppinen, D. Moffatt, H.H. Mantsch,

31. D.G. Cameron // App. Spec. -1981. Vol. 35, №3. - P.271-276.

32. Михайленко, В.И. Применение теории графов к разделению спектра на элементарные симметричные полосы / В.И. Михайленко // ЖПС. -1988.-Т. 48, №2.-С. 308 314.

33. Kharintsev S.S. A simple method to extract spectral parameters using fractional derivative spectrometry/ S.S. Kharintsev, M.Kh. Salakhov, Spectrochim. Acta Part A. 2004. - Vol. 60. - P. 2125.

34. Tsallis, C. What should a statistical mechanics satisfy to reflect nature? / C. Tsalis // Physica D. 2004. - Vol. 193. - P. 3-34.

35. Din? E. An application of derivative and continuous wavelet transforms to the overlapping ratio spectra for the quantitative multiresolution of a ternary mixture of paracetamol, acetylsalicylic acid and caffeine in tablets /

36. E. Din?, A. Ozdemir, D. Baleanu // Talanta. 2005. - Vol. 65. - P. 36-47.

37. Xiuqi Z. Curve fitting using wavelet transform for resolving simulated overlapped spectra / Z. Xiuqi, Z. Jianbin, G. Hong // Analytica Chimica Acta.-2001.-Vol. 443.-P. 117-125.

38. Din? E. Wavelet analysis for the multicomponent determination in a binary mixture of caffeine and propyphenazone in tablets / E. Din?, D. Baleanu, Y. Hassan Aboul-Enein // IL FARMACO. 2004. - № 59. - P. 335-342.

39. Cocchi M. Multicomponent analysis of electrochemical signals in the wavelet domain / M. Cocchi, J.L. Hidalgo-de-Cisneros, I. Naranjo-Rodriquez, J.M. Palacios-Santander, R. Seeber, A. Ulrici // Talanta. 2003. -Vol. 59.-P. 735-749.

40. Coelho C. A solution to the wavelet transform optimization problem in multicomponent analysis / C. Coelho, R. Galvao, M. Araujo, M. Pimentel, E. da Silva // Chem. Int. Lab. Sys. 2003. - Vol. 66. - P. 205-217.

41. Depczynski U. Quantitative analysis of near infrared spectra by wavelet coefficient regression using a genetic algorithm / U. Depczynski, K. Jetter, K. Molt, A. Niemoller// Chem. Int. Lab. Sys. 1999. - Vol. 47. - P. 179187.

42. Lu X. Wavelet frequency spectrum and its application in analyzing an oscillating chemical system / X. Lu, H. Liu, J. Kang, J. Cheng // Anal. Chim. Acta. 2003. - Vol. 484. - P. 201-210.

43. Din? D. Multidetermination of thiamine HC1 and pyridoxine HC1 in their mixture using continuous daubechies and biorthogonal wavelet analysis / D. Din?, D. Baleanu // Talanta. 2003. - Vol. 59. - P. 707-717.

44. Din? D. A new fractional wavelet approach for the simultaneous determination of ampicillin sodium and sulbactam sodium in a binary mixture // Spectr. Acta Part A. 2006. - Vol. 63. - P. 631-638.

45. Chui C. Wavelets: A Tutorial in Theory and Applications / C. Chui. New York: Academic Press, 1992. -256 p.

46. Астафьева, H.M. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения / Н.М. Астафьева // УФН. -1998. -Т.166, №.11. С.1145-1170.

47. Воробьев, В.И. Теория и практика вейвлет-преобразования / В.И. Воробьев, В.Г. Грибунин. СПб.: Изд-во ВУС, 1999. -203 с.

48. Дремин, И.М. Вейвлеты и их использование / И.М. Дремин, О.В. Иванов, В .А. Нечитайло / УФН. -2001. Т. 171, №.5. - С.465-561.

49. Дьяконов, В.П. Вейвлеты. От теории к практике / В.П. Дьяконов. М.: Солон, 2002.-448 с.

50. Петухов, А.П. Введение в теорию базисов всплесков / А.П. Петухов. -СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999. 132 с.

51. Новиков, И.Я, Основы теории всплесков / И.Я. Новиков, С.Б. Стечкин // Успехи математических наук. -1998. -Т.53, №6. -С.53-128.

52. Daubechies I. Ten lectures on wavelets / I. Daubechies. New York: SIAM, 1992.-463 p.

53. Новиков, JI.B. Основы вейвлет-анализа сигналов. Учебное пособие. / Л.В. Новиков. СПб.: Изд-во ООО "МОДУС+", 1999. -152 с.

54. Chui С. An Introduction to Wavelets / С. Chui. New York: Academic Press, 1992.-412 p.

55. Новиков, Л.В. Адаптивный вейвлет-анализ сигналов / Л.В. Новиков // Научное приборостроение. -1999. -Т.9, №.2. С.8-21.

56. Переберин, А.В. О систематизации вейвлет преобразований / А.В. Переберин // Вычислительные методы и программирование. -2001. -Т.2. - С.15-40.

57. Желудев, В.А. О цифровой обработке сигналов при помощи сплайн-вейвлетов и вейвлет пакетов / В.А. Желудев // ДАН. -1997. -Т.355, №.5. - С.592-596.

58. Sevast'yanov A.A. Regularized wavelets for processing non-stationary signals with a correlated noise / A.A. Sevast'yanov, S.S. Kharintsev, M.Kh. Salakhov // Proc. SPIE. -2003.-Vol. 4605.-P. 63-71.

59. Sevast'yanov A.A. Regularized wavelets for processing non-stationary signals with a correlated noise / A.A. Sevast'yanov, S.S. Kharintsev, M.Kh. Salakhov // Proc. SPIE. 2003. - Vol. 4605. - P. 63-71.

60. Kerschen G. Past, present and future of nonlinear system identification in structural dynamics / G. Kerschen, K. Worden, A. Vakakis, J. Golinval // Mechanical Systems and Signal Processing. 2006. - Vol. 20. - P. 505592.

61. Collis W. Higher-order spectra: the bispectrum and trispectrum / W. Collis, P. White, J. Hammond // Mechanical Systems and Signal Processing.1998. Vol. 12, №3. -P. 375-394.

62. Balachandran B. Spectral analyses of non-linear interactions / B. Balachandran, K. Khan // Mechanical Systems and Signal Processing. -1996.-Vol. 10, №6.-P. 711-727.

63. Nikias, C. Signal Processing with Higher-Order Spectra / C. Nikias, J. Mendel // IEEE Signal Processing Magazine. 1993. - Vol. 10. - P. 10-37.

64. Макс, Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях / Ж. Макс. М.: Мир, 1983. -Т.1. - 312 с.

65. Persson L. Statistical tests for regional seismic phase characterizations / L. Persson//Journal of Seismology. -2003. Vol. 7. - P. 19-33.

66. Helbig M. Application of time-variant bispectrum in biosignal analysis / M. Helbig, G. Griessbach, B. Schack, H. Witte // Med. Biol. Eng. Comput.1999. Vol. 37, №2. -P. 392-393.

67. Hammond, J. The analysis of non-stationary signals using time-frequency methods / J. Hammond, P. White // Journal of Sound and Vibration. -1996.-Vol. 190, №3.-P. 419-47.

68. Lee, S. Higher order time frequency analysis and its application to fault detection in rotating machinery / S. Lee, P. White // Mechanical Systems and Signal Processing. 1997. - Vol. 11, №4. - P. 637-50.

69. Jamsek J. Time-phase bispectral analysis / J. Jamsek, A. Stefanovska, P. McClintock, I. Khovanov // Physical Review E. 2003. - Vol. 68, 016201. -P.l-12.

70. Hinich, M. Normalizing bispectra / M. Hinich, M. Wolinsky // J. of Statistical Planning and Inference. 2005. - Vol. 130. - P.405-411.

71. Fackrell, J. Bicoherence estimation using the direct method 1: Theoretical considerations / J. Fackrell, S. McLaughlin, P. White // Applied Signal Processing.- 1995.-Vol.2, №3.-P. 155-68.

72. Fackrell, J. Bicoherence estimation using the direct method 2: Practical considerations / J. Fackrell, S. McLaughlin, P. White // Applied Signal Processing. 1995. - Vol. 2, №4. - P. 189-99.

73. Fackrell, J. Interpretation of the Bispectra of Vibration Signals: Part 1: Theory. / J. Fackrell, P. White, J. Hammond, R. Pinnington, A. Parsons // Mechanical Systems and Signal Processing. 1995. - Vol. 9, №3. - P. 257-266.

74. Галимуллин, Д.З. Метод вейвлет-производной спектрометрии для увеличения разрешения сложных молекулярных спектров / Д.З.

75. Галимуллин, С.С. Харинцев // Труды общефакультетского научного физического семинара студентов: сб. науч. тр. / под общ. ред. Р.Х. Гайнутдинова. Выпуск IV, Казань, 2003. - С. 117-123.

76. Галимуллин, Д.З. Сравнительный анализ методов производной спектрометрии / Д.З. Галимуллин, М.Э. Сибгатуллин // VIII Всероссийская Молодежная Научная Школа "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": сб. ст. Казань, 2004. - С.327-333.

77. Rioul О. Wavelets and signal processing / О. Rioul, M. Vetterli // IEEE Signal Processing Magazine. -1991. Vol. 8, N.4. -P. 14-38.

78. Стаховский, И.Р. Вейвлетный анализ временных сейсмических рядов / И.Р. Стаховский // Доклады Академии Наук. -1996. -Т.350, №.3. -С.393-396.

79. Mallat S. Singularity detection and processing with wavelets / S. Mallat, W. Hwang // IEEE Trans. Inform. Theory. -1992. Vol. 38, N.2. - P.617-643.

80. Шитов А.Б. Разработка численных методов и программ, связанных с применением вейвлет-анализа для моделирования и обработки экспериментальных данных: Дисс. . канд. физ. мат. наук: 05.13.18 / А.Б. Шитов; ИвГУ. Иваново, 2001. - 125 е.: ил.

81. Galimullin D.Z. Band shape determination with robust estimator based on continuous wavelet transform / S.S. Kharintsev, D.Z. Galimullin, A.Yu. Vorob'ev, M.Kh. Salakhov // Spectrochimica Acta Part A. 2006. - Vol. 65.-P. 292-298.

82. Galimullin D.Z. Spectral line shape identification with continuous wavelet transform / D.Z. Galimullin, M.E. Sibgatullin, A.Yu. Vorob'ev, D.I. Kamalova, S.S. Kharintsev, M.Kh. Salakhov // Proc. SPIE. 2006. - Vol. 6181.-P. 181-189.

83. Галимуллин, Д.З. Регуляризация обратных некорректных задач в прикладной спектроскопии / Д.З. Галимуллин, М.Э. Сибгатуллин, С.С. Харинцев, М.Х. Салахов // Известия РАН, серия физическая.2006. -Т.70, №4. С.538-539.

84. Bruma М. Polyetherimides for gas separation membranes / M. Bruma, E. Hamciuc, Yu. Yampolskii, A. Alentiev, I. Ronova, E. Rojkov // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2004. - Vol. 418. - P.739-747.

85. Галимуллин, Д.З. Изучение конформационных особенностей полиэфиримидов по ИК-Фурье спектрам / Д.З. Галимуллин, Д.И. Камалова, А.Б. Ремизов, М.Х. Салахов // IX Международная

86. Молодежная Научная Школа "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": сб. ст. Казань, 2005. -С.93-99.

87. Галимуллин, Д.З. Изучение внутреннего вращения полиэфиримидов по ИК-Фурье спектрам / Д.З. Галимуллин, Д.И. Камалова, И.М. Колядко, А.Б. Ремизов, М.Х. Салахов // Ученые Записки КГУ. 2006. - Т.148, кн. 1.-С. 99-109.

88. Короновский, А.А. Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения / А.А Короновский, А.Е. Храмов. М.: Физматлит, 2003. -176 с.

89. Короновский, А.А. Исследование когерентных структур в электронном пучке со сверхкритическим током с помощью вейвлетной бикогерентности / А.А. Короновский, А.Е. Храмов // Физика плазмы. 2002. - Т. 28, №8. - С. 722-737.

90. Короновский, А.А. Исследование процессов структурообразования в электронном пучке с виртуальным катодом с помощью вейвлетной бикогерентности / А.А. Короновский, А.Е. Храмов, Ю.И. Левин // Письма в ЖТФ. 2002. - Т. 28, №13. - С. 57-65.

91. Gelman, L. Fatigue crack diagnostics: A comparison of the use of the complex bicoherence and its magnitude / L. Gelman, P. White, J. Hammond // Mechanical Systems and Signal Processing. 2005. - Vol. 16. -P. 913-18.

92. Hramov, A. Detecting synchronization of self-sustained oscillators by external driving with varying frequency / A. Hramov, A. Koronovsky, V. Ponomarenko, M. Prokhorov // Physical Review E. 2006. - Vol. 73, 026208.-P. 1-6.

93. Milligen, B. Nonlinear Phenomena and Intermittency in Plasma Turbulence / B. Milligen, C. Hidalgo, E. Sanchez // Phys. Rev. Letters. 1995. - Vol. 74, №3,-P. 395-400.

94. Болынев, Л.Н. Таблицы математической статистики / Л.Н. Болынев, Н.В. Смирнов. М.: Наука, 1983. - 416 с.

95. Анфиногентов, В.Г. Вейвлетный анализ и его использование для анализа динамики нелинейных динамических систем различной природы / В.Г. Анфиногентов, А.А. Короновский, А.Е. Храмов // Изв. РАН, сер. Физическая. 2000. - Т. 64, №12. - С. 2383-2390.

96. Короновский, А.А. Введение в непрерывный вейвлетный анализ для специалистов в области нелинейной динамики / А.А. Короновский, А.Е. Храмов // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. -2001.-Т. 9, №4/5.-С. 3-27.

97. Galimullin, D.Z. Nonlinear prediction of chaotic time series using wavelet-based bicoherence /S.S. Kharintsev, D.Z. Galimullin, M.Kh. Salakhov // Dynamics Days, Palma de Mallorca, Spain. 2003, September 25-27. -p.59-60.

98. Кузнецов, А.П. Нелинейные колебания / А.П, Кузнецов, С.П. Кузнецов, Н.М. Рыскин. М.: Физматлит, 2002. - 290 с.

99. Слабко, В.В. Резонансная нелинейная оптика / В.В. Слабко // Соросовский образовательный журнал. 2000. - Т. 6, № 11. - С. 7782.

100. Миронов, B.JI. Основы сканирующей зондовой микроскопии / B.J1. Миронов. Ниж. Новгород, изд-во инст. физики микроструктур РАН, 2004.-114 с.

101. Tsukada, М. Features of cantilever motion in dynamic-mode AFM / M. Tsukada, N. Sasaki, R. Yamura, N. Sato, K. Abe // Surface Science. -1998.-Vol. 401.-P. 355-363.

102. Wang, W. Modal response and frequency shift of the cantilever in a noncontact atomic force microscope / W. Wang, H. Jack // Applied Physics Letters. 2005. - Vol. 87, 183506. - P. 1-3.

103. Lee, S.I. Nonlinear dynamics of microcantilevers in tapping mode atomic force microscopy; A comparison between theory and experiment / S.L. Lee, S. W. Howell, A. Raman, R. Reifenberger // Phys. Rev. B. 2002. -Vol. 66, 115409.-P.l-10.

104. Paulo, A. Unifying theory of tapping-mode atomic-force microscopy / A. Paulo, R. Garsia // Phys. Rev. B. 2002. - Vol. 66, 041406. - P.l-4.

105. Stark, R. Higher harmonics imaging in tapping-mode atomic-force microscopy / R. Stark, W. Heckl // Review of Scientific Instruments. -2003.-Vol. 74, № 12.-P. 5111-5114.

106. Stark, R. Tuning the interaction forces in tapping mode atomic force microscopy / R. Stark, G. Schitter, A. Stemmer // Phys. Rev. B. 2003. -Vol. 68, 085401.-P. 1-5.

107. Paulo, A. Attractive and repulsive tip-sample interaction regimes in tapping-mode atomic force microscopy / A. Paulo, R. Garsia // Phys. Rev. B. 1999.- Vol. 60, № 7. - P. 4961-4967.

108. Игошева, Н.Б. Методы анализа сердечного ритма / Н.Б. Игошева, А.Н. Павлов, Т.Г. Анищенко. Саратов, изд-во ГосУНЦ "Колледж",.2001. -120 с.