Решение обратных некорректных задач в прикладной спектроскопии с помощью вейвлет-анализа и нейронных сетей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Севастьянов Алексей Александрович

РЕШЕНИЕ ОБРАТНЫХ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ В ПРИКЛАДНОЙ СПЕКТРОСКОПИИ С ПОМОЩЬЮ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА И НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ

01.04.05-оптика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2004

Работа выполнена на кафедре оптики и спектроскопии Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Казанский государственный университет им. В.И. Ульянова-Ленина»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Салахов Мякзюм Халимуллович

Научный консультант:

кандидат физико-математических наук, ассистент Харинцев Сергей Сергеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Нигматуллин Равиль Рашидович

кандидат физико-математических наук, доцент Михеев Игорь Дмитриевич

Ведущая организация: Саратовский государственный университет

им. Н. Г. Чернышевского

Защита состоится << 20.» мая 2004 г. В часов на заседании

диссертационного совета Д 212.081.07 в Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 18

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета

Автореферат разослан « 20 » апреля 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Сарандаев Е.В.

Общая характеристика работы Актуальность темы исследования. При обработке и интерпретации

спектроскопического эксперимента основной проблемой являются искажения, возникающие на всех этапах работы реальных приборов. Улучшение параметров существующих приборов с помощью математических методов обработки информации позволяет получать более полную и достоверную информацию о физике исследуемого процесса.

В прикладной спектроскопии при обработке эксперимента приходится решать обратные задачи. Такие задачи часто оказываются некорректными, их решение возможно только с привлечением априорной информации об исследуемом объекте (регуляризация решения). Наиболее эффективным для решения спектроскопических задач является метод статистической регуляризации (МСР). Однако статистические регуляризующие алгоритмы обладают рядом ограничений, наиболее существенными из которых являются предположения о стационарном характере и гладкости сигнала, а также о присутствии в спектре только некоррелированного гауссовского (белого) шума. В реальном эксперименте эти предположения часто не выполняются. Как правило, шум обладает сложной спектральной характеристикой с преобладанием низких частот (цветной шум), сигналы могут быть нестационарными. В таких случаях требуется разработка и привлечение новых математических методов для решения задач обработки спектроскопического эксперимента.

Преодолеть некоторые ограничения, присущие МСР, возможно с привлечением методов, основанных на концепциях вейвлет-анализа (ВА) и искусственных нейронных сетей (НС). Вейвлет-анализ, в отличие от анализа Фурье, обладает гибкостью в выборе базисной функции и позволяет осуществлять полосовую фильтрацию с параметрами, изменяемыми во времени. Методы, основанные на нейронных сетях, позволяют решать задачи, которые плохо поддаются формализации, когда входные данные не полны, зашумлены или противоречивы. С помощью НС можно получить устойчивое решение обратных некорректных задач при помощи методов регуляризации.

БИБЛИОТЕКА

оьЩИМ

использованы для получения более достоверных сведений об исследуемых объектах. Таким образом, исследования, проведенные в диссертационной работе, являются актуальными и практически значимыми.

Целью работы является разработка новых и привлечение существующих математических методов на основе вейвлет-анализа и нейронных сетей для решения обратных некорректных задач прикладной спектроскопии, таких как сглаживание данных и удаление шума, улучшение разрешения спектров, разделение сложных спектров на элементарные составляющие, решение уравнения Абеля для осесимметричной плазмы, учет аппаратной функции прибора и определение формы элементарных компонент в ИК спектрах в случае цветных шумов и нестационарных сигналов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Методы повышения разрешения спектров на основе непрерывного вейвлет-преобразования и нейронных сетей позволяют выявлять сложную структуру ИК полос, состоящих из компонент, находящихся на расстоянии порядка их полуширины.

2. Нейронные сети с регуляризацией весов можно успешно применять для решения обратных задач, таких как сглаживание данных, дифференцирование, решение задачи Абеля и учет аппаратной функции прибора в случае белого и цветного шума, нестационарных и негладких сигналов.

3. Метод определения формы полос в молекулярных спектрах на базе нейронной сети Элмана позволяет производить классификацию элементарных компонент по форме контуров в классе известных моделей -контуров Гаусса и Лоренца.

Научная новизна работы состоит в следующем: - Впервые предложены методы улучшения разрешения спектров на основе непрерывного вейвлет-анализа и нейронных сетей, которые позволяют выявлять сложную структуру ИК полос, не разрешаемую с помощью традиционных методов. Решен ряд задач прикладной

спектроскопии с цветным шумом в исходных данных с помощью предлагаемых подходов.

- Разработан новый способ получения базисов вейвлет-преобразования, позволяющих синтезировать вейвлеты, адаптированные для обработки спектроскопических сигналов.

- Разработан и реализован новый метод определения формы полос в молекулярных спектрах с помощью рекуррентной нейронной сети Элмана.

Достоверность полученных результатов и выводов обеспечивается корректностью математических подходов, тщательной отработкой и проверкой предлагаемых методик, применением математических методов, показавших свою эффективность при решении сходных задач. Анализ погрешностей восстановления исходных данных для возможных видов модельных сигналов, воспроизводимость получаемых решений и подтверждение их физическими экспериментами свидетельствует о достоверности результатов работы.

Практическая ценность работы заключается в. том, что предложенные методы решения обратных спектроскопических задач на основе вейвлет-анализа и нейронных сетей могут быть использованы для более качественной и достоверной обработки экспериментальных спектров, особенно в случае сложных цветных шумов и нестационарных сигналов. Предлагаемые подходы также могут использоваться для исследования сложных спектров, составная структура которых не выявлялась ранее с помощью традиционных методов производной спектрометрии.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на международной конференции "Inverse Ill-posed problems: Modeling & Simulating" (Fethiye, Turkey, 2002), на международной школе-конференции "Обратные задачи: теория и приложения" (Ханты-Мансийск, 2002), на международной конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Москва, 2001), на X всероссийской конференции "Структура и динамика молекулярных

систем", (Казань, 2003), на второй молодежной научной конференции "Оптика-2002" (Санкт-Петербург, 2002), на Ш-УП всероссийских молодежных научных конференциях "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия" (Казань, 1999, 2000, 2001, 2002 и 2003).

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 17 работ, из них 10 статей в центральной научной печати и сборниках конференций, 7 тезисов докладов международных и российских конференций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 124 страницы, включая 43 рисунка и 4 таблицы. Список цитированной литературы содержит 122 наименования.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, сформулирована цель работы, изложены основные защищаемые положения, показана новизна результатов и их практическая значимость, приведены структура и содержание диссертации.

В первой главе формулируется постановка задач и описываются основы методов решения обратных задач прикладной спектроскопии, которые могут быть представлены в виде

(1)

где / - искаженный шумом £ выходной сигнал прибора К, на вход которого поступил сигнал (р. В работе приведен основной подход к решению обратных некорректных задач (ОНЗ). Рассматриваются основы метода статистической регуляризации и общая итерационная схема. Подробно излагается современное состояние теории вейвлет-анализа и искусственных нейронных сетей в объеме, необходимом для решения спектроскопических задач. В результате анализа этих методов даются рекомендации по их применению.

Вторая глава посвящена решению ОНЗ в случае белого и цветного шума методами вейвлет-анализа и с помощью нейронных сетей.

Предложен метод построения адаптированных базисов вейвлет-преобразования, основанный на кратно-масштабном анализе (КМА) [1-5]. Для того чтобы получить вейвлет, адаптированный к обработке спектров, в систему уравнений, следующих из принципов КМА, включено условие ортогональности коэффициентов базиса коэффициентам корреляционной функции сигнала:

¿СЛ=0, (2)

где - коэффициенты корреляционной функции сигнала в виде контура Гаусса, заданного вектором - искомые коэффициенты, однозначно

определяющие вейвлет. При решении новой системы уравнений получен гладкий вейвлет, похожий на функцию Гаусса. Это позволило уменьшить количество особенностей вейвлета по сравнению с вейвлетами Добеши. Гладкость и отсутствие паразитных осцилляций являются необходимыми свойствами вейвлета при обработке спектров методами ВА. Удаление шума из спектров в работе осуществлялось с помощью дискретного или стационарного вейвлет-преобразования.

Подробно описывается подход к решению ОНЗ с помощью НС с регуляризацией весов [6]. Основным преимуществом НС является их способность к обобщению, т.е. к сжатию информации и выделению главных деталей сигнала, за счет чего эффективно подавляется случайный шум. Однако для некоторых некорректных задач этого оказывается недостаточным. Тогда к процессу обучения сети можно применить методы байесовской регуляризации, которые сводятся к заданию целевой функции, подлежащей минимизации, в виде

Е = рЕ0 + аЕ„, (3)

где - сумма среднеквадратичных ошибок сети на обучающем

множестве, - сумма абсолютных значений весов, и

коэффициенты регуляризации. Регуляризация приводит к улучшению обобщающих свойств сети и повышению устойчивости к случайному шуму. Приведен вывод оптимальных значений для параметров

регуляризации. Описан пошаговый алгоритм обучения нейронной сети с байесовской регуляризацией (НСБР).

Приводятся результаты тестирования подходов на основе адаптированных вейвлетов и нейронных сетей с регуляризацией в задаче сглаживания модельных сигналов [1-9]. Произведено сравнение качества сглаживания между НСПР и НСБР на модельном сигнале в виде сложного контура. Показано, что с применением регуляризации ошибка сглаживания уменьшается, и задачу можно решать с меньшим количеством нейронов в скрытом слое. К тому же, в отличие от НСПР, увеличение количества нейронов не ухудшает устойчивости к случайному шуму. Рассматривается решение задачи сглаживания модельных сигналов в виде импульса (ступенька с пологим спадом), контура Гаусса и сложного спектра из шести компонент. Произведено сравнение результатов работы алгоритмов в случае белого и цветного шума. В качестве примера на рис. 1 приведены зависимости квадратичной меры качества сглаживания импульсного сигнала с цветным шумом. Показано, что методы. СВП с адаптированными вейвлетами обладают большей устойчивостью к случайному шуму по сравнению с МСР. Установлено, что при помощи НСБР возможно сглаживание сложных сигналов с тонкими деталями, разрывами производных, в том числе в случае, когда сигнал искажен низкочастотным цветным шумом.

Приводится описание алгоритмов решения уравнения Абеля для осесимметричной плазмы методами стационарного вейвлет-преобразования с адаптированными вейвлетами и НСБР [8,10]. Формальное решение уравнения Абеля

£{г) = --\у1-гг)1ЧХу)ау (4)

123456789 10

1.%

Рис. 1. Зависимость квадратичной меры о1 от уровня шума 1).

представляет собой некорректную задачу. Предложено получать оценку решения задачи Абеля с помощью ВА, удалив шумовые масштабы из разложения:

(5)

где SWT - оператор стационарного вейвлет-преобразования, Г(•) означает операцию обрезания шумовых масштабов (thresholding). Также можно построить регуляризованную оценку с помощью НСБР, обучив сеть осуществлять заданное преобразование

где А - оператор Абеля, Ra ß - регуляризующий оператор. Исследована эффективность работы предложенных алгоритмов в сравнении с МСР на модельных сигналах в виде простой и гладкой функции, ступеньки и сложной функции с двумя максимумами. Приведены зависимости среднеквадратичных ошибок от уровня шума. Алгоритмы протестированы на сигналах с белым и цветным шумом. На рис. 2 в качестве примера приведены зависимости квадратичной меры от уровня шума в случае гладкой функции при цветном шуме. Показано, что методы ВА имеют преимущество в случае простых и сложных гладких функций, отличаются высокой устойчивостью к шуму, в том числе низкочастотному. В то же время НСБР позволяют более точно восстанавливать сложные сигналы, гладкие и с разрывами производных. Сделаны выводы, что методы адаптированного вейвлет-анализа и НСБР позволяют получать эффективную оценку решения уравнения Абеля в случае, когда при расчетах с помощью МСР решение сильно искажено.

{e)w = A-'SWT;{T{SWTvl)

123436789 ю

Рис. 2. Зависимость квадратичной меры С2 от уровня шума Ц в решении задачи Абеля.

Рассматривается задача учета аппаратной функции прибора. Для решения этой задачи были предложены подходы на основе стационарного вейвлет-преобразования с адаптированными вейвлетами и НСБР [2,4,6,9]. Эффективность предлагаемых алгоритмов исследуется в сравнении с МСР на модельных сигналах в виде одиночного и двойного контура Гаусса с белым и цветным шумом. Аппаратная функция была взята в виде функции Гаусса с полушириной, равной полуширине сигнала. В качестве примера на рис. 3. приведены зависимости меры восстановления от уровня шума. Показано, что методы вейвлет-анализа показывают лучшее качество восстановления исходного сигнала по сравнению с МСР и НСБР.

Излагается подход для улучшения разрешения сложного спектра на основе непрерывного вейвлет-преобразования (НВП) [11-13]. Поскольку операции дифференцирования и НВП коммутируют:

^(a,b)[ö;[/(0]] = (-l)" )лоз;[>>)] dt, (7)

предложено перейти от дифференцирования исходной функции к

дифференцированию вейвлета В качестве

анализирующих функций используются вейвлеты Гаусса 2-го и 4-го порядка. Предлагается подход по выбору оптимального масштаба на основе распределения энтропии вейвлет-коэффициентов по масштабам ВА.

Рассматривается метод повышения разрешения составных спектров на основе НСБР [14-16]. В сети для дифференцирования данных на выходе используются сигмоидальные функции активации, гладкие, многократно дифференцируемые и обладающие сжимающими свойствами. Следствием

П, %

Рис 3. Зависимость квадратичной меры аг от уровня шума Г] в задаче учета аппаратной функции прибора.

таких свойств является тот факт, что оценка производной с помощью дифференцирующего слоя получается свободной от влияния случайных шумов. Методы повышения разрешения на основе НВП и НСБР тестируются на модельных сигналах в виде двойного контура Гаусса с разным расстоянием между компонентами. Исследуется эффективность предлагаемых алгоритмов в сравнении с МСР в задаче вычисления производных спектров, приводятся зависимости степени разрешения и квадратичной меры от уровня белого и цветного шума и расстояния между компонентами. Установлено, что методы повышения разрешения на основе НВП позволяют существенно улучшить степень разрешения спектров, а с помощью методов на базе НСБР можно в несколько раз уменьшить ошибку восстановления и избавиться от паразитных осцилляций на крыльях контуров.

Предложен и описан метод распознавания форм элементарных компонент в сложных спектрах на основе рекуррентной нейронной сети Элмана [14,16]. Предполагается, что в спектре содержатся полосы, описываемые контуром Гаусса или Лоренца, Количество компонент и их положения в спектре определяются с помощью методов повышения разрешения на основе НВП и НСБР. Перебираются все комбинации контуров с помощью МНК, полученные отклонения вместе с

положениями максимумов подаются на вход сети Элмана. На каждом выходе, соответствующем одной компоненте, должна быть " 1" для профиля Лоренца и "0" - для Гаусса в пределах ошибок эксперимента. Метод протестирован на некоторых модельных сигналах, в работе приводится один из сложных для расчетов примеров, когда спектр состоит из двух контуров Гаусса и двух контуров Лоренца, находящихся на расстоянии полуширины.

Третья глава посвящена апробации предлагаемых методик для решения задач детектирования сложной структуры и определения параметров элементарных якомпонент в ИК спектрах конформа-ционно-неоднородных соединений [5,1114,16,17]. С помощью предлагаемых методов повышения разрешения спектров, основанных на НВП и НСБР, удалось математически определить сложную структуру полосы 695 см"1 колебательного спектра 1,9,10,11,12,12-гексахлор-4,6-диоксатрицикло додека-10-ене (ГХА), ранее предположенную экспериментально: На рис. 4 приведен спектр ГХА в CS2 и его четвертые производные, вычисленные с помощью MCP, НВП и НСБР. Показано, что полоса 695 состоит из двух

компонент.

Кроме того, в работе подтверждается сложная структура полосы 573 см"1 ИК спектра 1,2-бромфторэтана (рис. 5). Путем применения методов НВП и НСБР удалось повысить разрешение производного спектра этой полосы.

На основе предлагаемых алгоритмов определено количество полос и их форма в ИК спектре 1,2-дифенилэтана (рис. 6). Установлено, что спектр состоит из 4-х компонент. С помощью нейронной сети Элмана показано, что две полосы

690 695 700 705 Волновое число, см"'

Рис. 4. ИК спектр ГХА и его четвертые производные.

Волновое число, см"'

Рис. 5. ИК спектр 1,2-бромфторэтана и его вторые производные.

500 520 540 Волновое число, см"1

Рис. 6. ИК спектр 1,2-дифенилэтана.

описываются контуром Гаусса и две - контуром Лоренца. На основе полученных данных о количестве и форме компонент рассчитаны параметры каждой компоненты спектра, что позволяет производить конформационный анализ данного соединения.

Основные результаты и выводы

1. Построены адаптированные вейвлеты на основе принципов кратно-масштабного анализа, с включением условия ортогональности коэффициентов, базиса корреляционной функции сигнала, который задается в виде контура Гаусса. Адаптированные базисы в дискретном и стационарном вейвлет-преобразовании позволяют повысить точность и устойчивость к случайному шуму при решении обратных некорректных задач прикладной спектроскопии, в том числе при наличии в исходных данных цветных шумов.

2. Показано, что нейронные сети с регуляризацией применимы для решения обратных задач прикладной спектроскопии, таких как сглаживание, дифференцирование, решение задачи Абеля, учет аппаратной функции прибора. Регуляризация весов по правилу Байеса улучшает обобщающие свойства сети, что позволяет эффективно подавлять случайный шум в исходных данных. Разработанные подходы для решения обратных задач с применением НСБР протестированы на модельных сигналах и апробированы на экспериментальных спектрах. Показана эффективность методов при обработке спектроскопического эксперимента с белым и цветным шумом.

3. Разработан метод повышения разрешения спектров на основе НВП. Показано существенное улучшение разрешения сложных спектров по сравнению с ПС на основе МСР, что позволяет выявить тонкую структуру составных полос, когда расстояние между компонентами сравнимо с их полушириной.

4. Разработан метод определения формы полос в молекулярных спектрах на базе рекуррентной нейронной сети Элмана, позволяющий производить классификацию элементарных компонент по форме полос в классе известных моделей - контуров Гаусса или Лоренца. Решены задачи

определения количества и формы полос модельных и экспериментальных ИК-спектров.

Список авторской литературы

1. Sevast'yanov A.A. Regularized wavelets for processing non-stationary signals with a correlated noise / S.S. Kharintsev, M.Kh. Salakliov // Proc. SPIE. -2003.-V. 4605.-P. 63-71.

2. Севастьянов А.А. Регуляризованные вейвлеты в обработке экспериментальных данных / А.А. Севастьянов, С.С. Харинцев, М.Х. Салахов // V всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. -Казань, 2001. — С. 135-140.

3. Sevast'yanov А.А. Wavelets & Regularization of Inverse Ill-Posed Problems in Applied Spectroscopy / S.S. Kharintsev, A.A. Sevast'yanov, M.Kh. Salakhov // Int. conf. Inverse Problems: Theory & Applications: Contr. papers - Khanty-Mansiysk, 2002.-P. 137-139.

4. Севастьянов А.А. Регуляризованные вейвлеты в обратных некорректных задачах / С.С. Харинцев, А.А. Севастьянов, М.Х. Салахов // Международная конференция "Обратные и некорректные задачи". -Москва, 2001.-С. 87.

5. Sevast'yanov A.A. Regularization of Inverse Ill-Posed Problem With Wavelets in Applied Spectroscopy / S.S. Kharintsev, A.A. Sevast'yanov, M.Kh. Salakhov // International conference Inverse Ill-posed problems: Modeling & Simulating: Abstracts -Turkey, Fethiye, 2002. - P. 183.

6. Севастьянов А.А. Нейросетевая регуляризация решения обратных некорректных задач прикладной спектроскопии / А.А. Севастьянов, С.С. Харинцев, М.Х. Салахов // Электронный журнал "Исследовано в России". -2003. -№ 189. - С. 2254-2266. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/189.pdf

7. Севастьянов А.А. Влияние Pd-Mg модификатора, магнитного поля и газовых потоков на динамику паров матрицы в графитовом атомизаторе с поперечным нагревом / А.В. Волошин, А.Х. Гильмутдинов, Ю.А. Захаров // Журнал аналитической химии. -2004. -Т. 59, -№3. -С. 1-10.

8. Севастьянов А.А. Решение многомерных обратных некорректных задач в прикладной спектроскопии / А.А. Севастьянов // IV всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. -Казань, 2000. - С. 193-198.

9. Sevast'yanov A.A. Processing and interpretation of spectroscopic data by using neural networks / S.S. Kharintsev, A.A. Sevast'yanov, M.Kh. Salakhov // International conference Inverse Ill-posed problems: Modeling & Simulating: Contr. papers -Turkey, Fethiye, 2002. - P. 135-137.

Ю.Севастьянов А.А. Решение уравнения Абеля с фрактальным гауссовским шумом в прикладной спектроскопии / А.А. Севастьянов, С.С. Харинцев, М.Х. Салахов // III всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. — Казань, 1999.-С. 50-56.

П.Севастьянов А.А. Разделение сложных спектров с помощью вейвлет-производной спектрометрии / АЛ. Севастьянов, С.С. Харинцев, М.Х. Салахов // Структура и динамика молекулярных систем: Сб. ст. -Казань, 2003. -С. 277-282.

12. Севастьянов А.А. Разделение сложных спектров с помощью вейвлет-производной спектрометрии / А.А. Севастьянов, С.С. Харинцев, М.Х. Салахов // Структура и динамика молекулярных систем: Сб. тезисов. Сб. тезисов конф. "Структура и динамика молекулярных систем". -Казань, 2003. -С. 264.

13.Sevastianov A.A. Resolution enhancement of overlapping peaks in molecular spectra by derivative spectrometry method on continuous wavelet transform / S.S. Kharintsev, A.A. Sevastianov, M.Kh. Salakhov // AJS. -2002. -V.6,N.4.-P. 145-154.

14.Севастьянов А.А. Анализ молекулярных спектров с помощью нейронных сетей / А.А. Севастьянов, С.С. Харинцев, Д.И, Камалова, М.Х. Салахов // VI молодежная всероссийская научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. -Казань, 2002. -С.139-144.

16 Ц- 75 9 7

15.Sevast'yanov A.A. Resolution Enhancement of Molecular Spectra By Using Neural Networks / S.S. Kharintsev, A.A. Sevast'yanov, M.Kh. Salakhov // International conference Inverse Ill-posed problems: Modeling & Simulating: Abstracts. -Turkey, Fethiye, 2002. -P. 185.

16. Севастьянов А.А. Анализ молекулярных спектров с помощью нейронных сетей / А.А. Севастьянов, С.С. Харинцев, М.Х. Салахов // Второй научной молодежной школы "0птика-2002": сб. тезисов. -Санкт-Петербург, 2002. -С. 53,2002.

17. Севастьянов А.А. Установление сложной структуры ИК полосы в спектре конформационно-неоднородного соединения методом нейросетевой производной спектрометрии / А.А. Севастьянов, С.С. Харинцев, М.Х. Салахов // VII всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. -Казань, 2003. - С. 326-332.

Отпечатано в ООО «Печатный двор». Казань,ул.Журналистов, 1/16. Тел.72-74-59,41-76-41,41-76-51.

Лицензия ПД №7-0215 от 01.11.01 Выдана Поволжским межрегиональным территориальным управлением МПТРРФ. Подписано в печать 16.04.04. Усл. пен. л. 1,0. Заказ № К-1547. Формат 60x841/16. Тираж 100экз. Бумага офсетная. Печать -ризография

Введение.

Глава 1. Методы решения обратных некорректных задач.

1.1. Методы решения обратных некорректных задач.

1.2. Основные принципы и методы вейвлет-анализа.

1.3. Основные концепции искусственных нейронных сетей.

Выводы.

Глава 2. Методы решения обратных задач на основе вейвлет-анализа и нейронных сетей.

2.1. Метод построения адаптированных вейвлетов с конечным носителем.

2.2. Регуляризация нейросетевого решения обратной задачи.

2.3. Сглаживание экспериментальных данных.

2.4. Решение задачи Абеля.

2.5. Учет аппаратной функции прибора.

2.6. Вейвлет-производная спектрометрия.

2.7. Нейросетевая производная спектрометрия.

2.8. Определение формы полос в молекулярных спектрах.

Выводы.

Глава 3. Методы разделения молекулярных спектров на элементарные составляющие

3.1. Исследование составной структуры ИК полос.

3.2. Определение формы и параметров компонент спектра 1,2-дифенилэтана. 108 Выводы.

Актуальность темы исследования. При обработке и интерпретации спектроскопического эксперимента основной проблемой являются искажения, возникающие на всех этапах работы реальных приборов. Возможности современной вычислительной техники позволяют не только регистрировать экспериментальные данные и производить их первичную обработку, но и осуществлять комплексную интерпретацию получаемой информации. С помощью математических методов можно значительно повысить характеристики приборов и корректировать искажения, возникающие в процессе регистрации экспериментальных данных. Улучшение параметров существующих приборов с помощью методов обработки данных позволяет получать более полную и достоверную информацию о физике исследуемого процесса. Поэтому актуальной является задача разработки и привлечения новых математических методов для обработки результатов физического эксперимента.

Математическая обработка результатов является одним из важнейших этапов спектроскопического эксперимента, включающая в себя как традиционный первичный этап обработки зарегистрированных данных, так и интерпретацию косвенных измерений. Техника обработки экспериментальных данных в прикладной спектроскопии может быть весьма разнообразной: использование аппарата математической статистики, вариационного исчисления, теории информации, методов решения некорректных задач, методов оптимизации и т.д. Однако с помощью существующих методов решение многих задач обработки данных затруднено, а в ряде случаев получение корректного решения невозможно. Например, применение фурье-методов сталкивается со значительными трудностями в таких случаях как недостаточная длина сигнала по сравнению с характерным периодом, наличие случайных возмущений, отсутствие данных за некоторые промежутки времени и т.п.

При обработке экспериментальных данных в прикладной спектроскопии часто приходится решать одну или несколько обратных некорректных задач, таких как: сглаживание данных, дифференцирование спектров, решение уравнения Абеля, учет аппаратной функции прибора и многие другие. Решение таких задач возможно только с привлечением дополнительной априорной информации об исходном решении, например: гладкость, монотонность, дифференцируемость, ограниченность, неотрицательность. Наиболее эффективные существующие методы решения обратных некорректных задач с регуляризацией позволяют включать в алгоритм некоторые априорные предположения об исследуемом объекте. Однако решение обратных некорректных задач прикладной спектроскопии с помощью методов статистической регуляризации во многих случаях затруднено. Наиболее существенными ограничениями методов регуляризации являются предположения о статистической независимости каждого измерения, стационарности сигналов и наличие некоррелированного белого шума с нормальным распределением. К тому же регуляризующие алгоритмы обладают рядом недостатками, такими как проблема выбора одного или нескольких параметров регуляризации, зачастую существенное искажение обрабатываемого сигнала и предположение о наличии в экспериментальных данных некоррелированного гауссовского шума. В реальном эксперименте спектр шума зависит от частоты с преобладанием низкочастотных компонент и может обладать сложной коррелированной структурой. С помощью статистических методов далеко не все априорные предположения, известные из физики исследуемых процессов, можно включать в решение задачи. Поэтому в настоящий момент возникает необходимость разработки новых, более эффективных методов решения обратных некорректных задач, которые позволяли бы включать в решение априорные знания, которые можно получить из физических соображений об исследуемом объекте.

Например, в конформационном анализе актуальной является задача выявления сложной структуры полос в ИК-спектрах и корректное отнесение элементарных компонент полосы к тому или иному конформеру. Часто решение таких задач с помощью существующих методов производной спектрометрии невозможно. При обработке и интерпретации молекулярных спектров важной задачей является корректное разделение сложных полос на элементарные составляющие и определение их формы. Методы разделения сложных спектров на основе метода наименьших квадратов и статистической регуляризации не позволяют производить корректную классификацию составляющих полос по форме линий. Использование традиционных спектральных и конечно-разностных методов, особенно при значительном перекрытии компонент, не позволяет определять количество компонент и их форму. Недостаточность классических методов для обработки спектроскопических данных побуждает использовать и развивать новые математические методы и подходы. В данной диссертационной работе основное внимание сосредоточено на круге задач, связанных с восстановлением сигнала, таких как сглаживание данных, выявление сложной структуры ИК полос в экспериментальных спектрах, решение задачи Абеля и разделение сложных молекулярных спектров на элементарные составляющие. Для решения этих задач будут использованы различные подходы на основе вейвлет-анализа и нейронных сетей.

Вейвлет-анализ - это новый математический аппарат, находящий широкое применение во многих областях обработки сигналов и изображений. В настоящее время вейвлет-анализ получил широкое распространение и применяется для обработки данных, сжатия информации, синтеза изображений и др. Применение методов вейвлет-анализа для решения обратных некорректных задач обусловлено высокой избирательностью полосовой фильтрации сигнала, возможностью обработки сложных и нестационарных сигналов и устойчивостью к высокому уровню случайных ошибок.

Искусственные нейронные сети, как инструмент для обработки и распознавания образов и изображений, используются в задачах, которые плохо поддаются алгоритмизации, а также, когда входные данные не полны, зашумлены или противоречивы. Основными преимуществами нейронных сетей являются высокая помехоустойчивость, независимость от характера шума, гибкость и возможность аппроксимации любой многомерной функции. С помощью нейронных сетей можно получить устойчивое решение обратных некорректных задачи вследствие обобщающих свойств, в результате чего из сигнала выделяются наиболее характерные детали. Это позволяет эффективно отделять полезный сигнал от шума. К тому же устойчивость решения можно повысить путем включения методов регуляризации в процесс обучения сети. С помощью методов обработки спектроскопической информации на основе вейвлет-преобразования можно существенно улучшить качество обработки результатов спектроскопического эксперимента в случае нестационарных сигналов и цветных шумов. Таким образом, исследования, проведенные в диссертационной работе, являются актуальными и практически значимыми.

Целью данной диссертационной работы является разработка новых и привлечение существующих математических методов на основе вейвлет-анализа и нейронных сетей для решения обратных некорректных задач прикладной спектроскопии, таких как: сглаживание данных и удаление шума, улучшение разрешения спектров, разделение сложных спектров на элементарные составляющие, решение уравнения Абеля для осесимметричной плазмы, учет аппаратной функции прибора и определение формы элементарных компонент в ИК спектрах в случае цветных шумов и нестационарных сигналов.

Основные задачи исследований включают в себя: 1. построение адаптированных базисов вейвлет-преобразования для решения обратных некорректных задач в прикладной спектроскопии;

2. разработку методов решения обратных некорректных задач, таких как: сглаживание и дифференцирование данных, решение задачи Абеля и учет аппаратной функции прибора, с помощью нейронных сетей с регуляризацией;

3. разработку новых методов выявления сложной структуры полос в молекулярных спектрах на основе непрерывного вейвлет-анализа и нейронных сетей;

4. решение задач разделения сложных спектров на элементарные составляющие и определение формы составляющих полос;

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Методы повышения разрешения спектров на основе непрерывного вейвлет-преобразования и нейронных сетей позволяют выявлять сложную структуру ИК полос, состоящих из компонент, находящихся на расстоянии порядка их полуширины.

2. Нейронные сети с регуляризацией весов можно успешно применять для решения обратных задач, таких как: сглаживание данных, дифференцирование, решение задачи Абеля и учета аппаратной функции прибора в случае белого и цветного шума, нестационарных и не гладких сигналов.

3. Метод определения формы полос в молекулярных спектрах на базе нейронной сети Элмана позволяет производить классификацию элементарных компонент по форме контуров в классе известных моделей — контуров Гаусса и Лоренца.

Научная новизна. В диссертационном исследовании получены следующие новые результаты:

- Впервые предложены методы повышения разрешения спектров на основе непрерывного вейвлет-анализа и нейронных сетей, которые позволяют существенно улучшить разрешение сложных спектров и выявлять сложную структуру ИК полос, которые не разрешаются с помощью традиционных методов. Решен ряд задач прикладной спектроскопии с цветным шумом в исходных данных с помощью предлагаемых подходов.

- Разработан новый способ получения адаптированных базисов вейвлет-преобразования, позволяющих синтезировать вейвлеты, адаптированные для обработки спектроскопических сигналов.

- Разработан и реализован новый метод определения формы полос в молекулярных спектрах с помощью рекуррентной нейронной сети Элмана.

Научная и практическая значимость. Практическая ценность работы заключается в том, что в ней были предложены и использованы новые методы решения обратных спектроскопических задач на основе вейвлет-анализа и нейронных сетей, которые были апробированы на разных модельных и экспериментальных сигналах, что позволяет определить возможности и пределы использования каждого метода. Результаты работы могут быть использованы для более качественной и достоверной обработки экспериментальных спектров, особенно, в случае сложных цветных шумов и нестационарных сигналов. Предлагаемые подходы могут использоваться для исследования сложных спектров, составная структура которых не выявлялась ранее с помощью методов производной спектрометрии.

Достоверность полученных результатов и выводов обеспечивается корректностью математических постановок, тщательной отработкой и проверкой предлагаемых методик. Анализ погрешностей восстановления исходных данных для возможных видов модельных сигналов и воспроизводимость получаемых решений свидетельствует о достоверности результатов работы.

Апробация работы. Основные результаты, приводимые в диссертации, докладывались и обсуждались:

1. На международной конференции "Inverse Ill-posed problems: Modeling & Simulating", Fethiye, Turkey, 2002.

2. На международной школе-конференции "Обратные задачи: теория и приложения", Ханты-Мансийск, 10-19 августа 2002 г.

3. На международной конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи", Москва, 25 - 29 июня 2001 г.

4. На Х-й всероссийской конференции "Структура и динамика молекулярных систем", Яльчик, 30 июня — 5 июля 2003 г.

5. На второй молодежной научной с конференции "0птика-2002", Санкт-Петербург, 14-17 октября 2002 г.

6. , На III-VII молодежных научных конференциях "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия", Казань, (1999 г., 2000 г., 2001 г., 2002 г., 2003 г.).

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 17 работ, из них 4 статьи в центральной научной печати, 6 статей в сборниках конференций и 5 тезисов международных конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 124 страницы, включая 43 рисунка и 4 таблицы. Список цитированной литературы содержит 122 наименования.

Выводы

В этой главе с помощью методов повышения разрешения сложных спектров на основе непрерывного вейвлет-преобразования и нейронных сетей были обработаны экспериментальные спектры конформационно-неоднородных соединений ГХА и 1,2-бромфторэтана. Выявлена составная структура ИК полос соединения ГХА в области 695 см"1. Показано, что эта полоса состоит из 2-х компонент, у которых были определены положения максимумов.

Также была подтверждена сложная структура спектра 1,2-бромфторэтана в области 573 см"1. С помощью вейвлет-производной спектрометрии удалось увеличить разрешение производного спектра. Таким образом, методами ВПС и НПС было математически доказана сложная структура этих колебательных полос, состоящих из компонент, принадлежащих разным конформерам, ранее предположенная экспериментально. Полученные результаты могут быть использованы для уточнения термодинамических параметров конформационного равновесия при исследовании конформационно-неоднородных соединений.

С помощью предлагаемых методов удалось определить количество и форму компонент в ИК спектре 1,2-дифенилэтана в области 480-560 см"1 и вычислить параметры этих компонент.

Заключение

В работе предлагается метод построения адаптированных базисов вейвлет-преобразования с конечным носителем на основе принципов кратно-масштабного анализа для сигналов в виде контуров Гаусса. Показано, что получаемые базисы обладают существенно большей степенью гладкости в сравнении с вейвлетами Добеши и позволяют более точно обрабатывать спектроскопические сигналы. Адаптированные вейвлеты с конечным носителем могут бьггь успешно использованы для решения задач первичной обработки спектроскопического эксперимента в случае цветных шумов и нестационарных сигналов.

Предложен подход к решению обратных некорректных задач на базе нейронных сетей с регуляризацией. Регуляризация обучения нейронной сети повышает обобщающие свойства сети, что позволяет успешно решать обратные некорректные задачи прикладной спектроскопии со случайным шумом в исходных данных. Показана эффективность предлагаемого подхода для решения задач обработки данных с белым и цветным шумом.

Разработаны методы повышения разрешения сложных спектров на основе непрерывного вейвлет-преобразования и нейронных сетей. С помощью предложенных методов достигнуто существенное улучшение разрешения спектров по сравнению с известными методами на основе МСР в случае, когда расстояние между компонентами в спектре сравнимо с их полушириной. С помощью предлагаемых методов удается разрешить тонкую структуру ИК спектров ГХА и 1,2-бромфторэтана, ранее предположенную экспериментально.

Разработан метод классификации формы полос в молекулярных спектрах на базе рекуррентной нейронной сети Элмана, позволяющий производить классификацию элементарных компонент по форме полос в классе известных моделей - контуров Гаусса или Лоренца. С помощью предложенных методов решены задачи определения количества и формы полос модельных и экспериментальных ИК-спектров.

С помощью предлагаемых методов решен ряд обратных некорректных задач прикладной спектроскопии, такие как сглаживание и дифференцирование спектров, решение задачи Абеля и удаление аппаратурных искажений приборов на примере разных модельных сигналов и шумов. Произведено сравнение эффективности работы предложенных методов с методом статистической регуляризации. Показаны преимущества и недостатки существующих и новых подходов в решении обратных некорректных задач прикладной спектроскопии.

В заключение автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору, доктору физико-математических наук Салахову М.Х. и научному консультанту, кандидату физико-математических наук Харинцеву С.С. за внимание к работе, помощь и полезные обсуждения полученных результатов, а также профессору, доктору физико-математических наук А.И. Фишману, доценту, кандидату физико-математических наук Камаловой Д.И. и научному сотруднику КГУ Климовицкому А.Е. за предоставленные экспериментальные спектры и ценные советы.

Список авторской литературы

А1. Sevast'yanov A. A. Regularized wavelets for processing non-stationary signals with a correlated noise / S.S. Kharintsev, M.Kh. Salakhov // Proc. SPIE. -2003. -V. 4605. -P. 63-71.

A2. Севастьянов A.A. Регуляризованные вейвлеты в обработке экспериментальных данных / А.А. Севастьянов, С.С. Харинцев, М.Х. Салахов // V всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. -Казань, 2001. -С. 135-140.

A3. Sevast'yanov A.A. Wavelets & Regularization of Inverse Ill-Posed Problems in Applied Spectroscopy / S.S. Kharintsev, A.A. Sevast'yanov, M.Kh. Salakhov // Int. conf. Inverse Problems: Theory & Applications: Contr. papers -Khanty-Mansiysk, 2002. -P. 137-139.

A4. Севастьянов A.A. Регуляризованные вейвлеты в обратных некорректных задачах / С.С. Харинцев, А.А. Севастьянов, М.Х. Салахов // Международная конференция "Обратные и некорректные задачи". -Москва, 2001. -С. 87.

А5. Sevast'yanov A.A. Regularization of Inverse Ill-Posed Problem With Wavelets in Applied Spectroscopy / S.S. Kharintsev, A.A. Sevast'yanov, M.Kh. Salakhov // International conference Inverse Ill-posed problems: Modeling & Simulating: Abstracts -Turkey, Fethiye, 2002. -P. 183.

A6. Севастьянов A.A. Нейросетевая регуляризация решения обратных некорректных задач прикладной спектроскопии / А.А, Севастьянов, С.С. Харинцев, М.Х. Салахов // Электронный журнал "Исследовано в России". -2003. -№ 189. -С. 2254-2266. http://zhurnal.ape.relarn.rU/articles/2003/l 89.pdf

А7. Севастьянов А.А. Влияние Pd-Mg модификатора, магнитного поля и газовых потоков на динамику паров матрицы в графитовом атомизаторе с поперечным нагревом / А.В. Волошин, А.Х. Гильмутдинов, Ю.А. Захаров // Журнал аналитической химии. -2004. -Т. 59, -№3. -С. 1-10.

А8. Севастьянов А.А. Решение многомерных обратных некорректных задач в прикладной спектроскопии / А.А. Севастьянов // IV всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. -Казань, 2000.-С. 193-198.

А9. Sevast'yanov A.A. Processing and interpretation of spectroscopic data by using neural networks / S.S. Kharintsev, A.A. Sevast'yanov, M.Kh. Salakhov // International conference Inverse Ill-posed problems: Modeling & Simulating: Contr. papers -Turkey, Fethiye, 2002.-P. 135-137.

А10. Севастьянов А.А. Решение уравнения Абеля с фрактальным гауссовским шумом в прикладной спектроскопии / А.А. Севастьянов, С.С. Харинцев, М.Х. Салахов // III всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. -Казань, 1999. -С. 50-56.

А11. Севастьянов А.А. Разделение сложных спектров с помощью вейвлет-производной спектрометрии / А. А. Севастьянов, С.С. Харинцев, М.Х. Салахов // Структура и динамика молекулярных систем: Сб. ст. -Казань, 2003. -С. 277-282.

А12. Севастьянов А.А. Разделение сложных спектров с помощью вейвлет-производной спектрометрии / А.А. Севастьянов, С.С. Харинцев, М.Х. Салахов // Структура и динамика молекулярных систем: Сб. тезисов. Сб. тезисов конф. "Структура и динамика молекулярных систем". -Казань, 2003. —С. 264.

А13. Sevastianov A. A. Resolution enhancement of overlapping peaks in molecular spectra by derivative spectrometry method on continuous wavelet transform / S.S. Kharintsev, A.A. Sevastianov, M.Kh. Salakhov // AJS. -2002. -V.6, N.4. -P. 145-154.

A14. Севастьянов А.А. Анализ молекулярных спектров с помощью нейронных сетей / А.А. Севастьянов, С.С. Харинцев, Д.И. Камалова, М.Х. Салахов // VI молодежная всероссийская научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. -Казань, 2002. -С. 139-144.

А15. Sevast'yanov A. A. Resolution Enhancement of Molecular Spectra By Using Neural Networks / S.S. Kharintsev, A.A. Sevast'yanov, M.Kh. Salakhov // International conference Inverse Ill-posed problems: Modeling & Simulating: Abstracts. -Turkey, Fethiye, 2002. -P. 185.

A16. Севастьянов А.А. Анализ молекулярных спектров с помощью нейронных сетей / А.А. Севастьянов, С.С. Харинцев, М.Х. Салахов // Второй научной молодежной школы "0птика-2002": сб. тезисов. -Санкт-Петербург, 2002. -С. 53,2002.

А17. Севастьянов А.А. Установление сложной структуры ИК полосы в спектре конформационно-неоднородного соединения методом нейросетевой производной спектрометрии / А.А. Севастьянов, С.С. Харинцев, М.Х. Салахов // VII всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. -Казань, 2003. -С. 326-332.

1. Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В .Я. Арсенин. -М.: Наука, 1974. -286 с.

2. Преображенский Н.Г. Неустойчивые задачи диагностики плазмы / Н.Г. Преображенский, В.В. Пикалов. -Новосибирск: Наука, 1982. -236 с.

3. Турчак Л.И. Основы численных методов / Л.И. Турчак. -М.: Наука, 1987. -381 с.

4. Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов / Г.И. Василенко. -М.: Советское радио, 1979. -272 с.

5. Салахов М.Х. Математическая обработка и интерпретация спектроскопического эксперимента / М.Х. Салахов, С.С. Харинцев. -Казань: Изд-во КГУ, 2001. -238 с.

6. Турчин В.Ф. Использование методов математической статистики для решения некорректных задач / В.Ф. Турчин, В.П. Козлов, М.С. Малкевич // Успехи физических наук. -1970. -№102, вып.З. -С.348-385.

7. Hadamar J. / J. Hadamar. Bull. Univ. Princeton: -1902. -V. 13. -P.49.

8. Василенко Г.И. Восстановление изображений / Г.И. Василенко, A.M. Тараторин -М.: Радио и связь, 1986. -302 с.

9. MacKay D.J.C. Bayesian interpolation / D.J.C. MacKay // Neural Computation. -1992. -V.4, N.3.-P.415-447.

10. Дубровкин И.М. Производная спектрометрия. Теория, техника, применение / И.М. Дубровкин, В.Г. Беликов. -Ростов: Изд-во Ростов. Ун-та, 1989. -144 с.

11. Федотов A.M. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных / A.M. Федотов. -Новосибирск: Наука, 1982. -280 с.

12. Salakhov M.Kh. Treatment and interpretation of experimental data in applied spectroscopy / M.Kh. Salakhov //Spectrochim. Acta Rev. -1993. -V.5, N.6. -P.399-476.

13. Тутубалин B.H. Вероятность, компьютер и обработка результатов эксперимента / В.Н. Тутубалин // Успехи Физических Наук. -1993. -Т.193, №.7. -С.93-109.

14. Kharintsev S.S. Inverse problems in the restoration of signal with fractal Gaussian noise in applied spectroscopy / S.S. Kharintsev, R.R. Nigmatullin, M.Kh. Salakhov // Asian J. Spectr. -1999. -V.3. -P.49-65.

15. Kharintsev S.S. Solving inverse problems in applied spectroscopy with random fractal noise // S.S. Kharintsev, R.R. Nigmatullin, M.Kh. Salakhov // JQSRT. -2000. -V.67, N.3. -P.239-252.

16. Huang T.S. Iterative image restoration / T.S. Huang, D.A. Barker, S.P. Berger // Applied Optics. -1975. -V.14, N.5. -P.l 165-1168.

17. Астафьева H.M. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения / Н.М. Астафьева // Успехи физических наук. -1998. -Т. 166, №.11. -С. 1145-1170.

18. Воробьев В.И. Теория и практика вейвлет-преобразования / В.И. Воробьев, В.Г. Грибунин. -СПб.: Изд-во ВУС, 1999. -203 с.

19. Дремин И.М. Вейвлеты и их использование / И.М. Дремин, О.В. Иванов, В.А. Нечитайло / Успехи физических наук. -2001. -Т. 171, N.5. -С.465-561.

20. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике / В.П. Дьяконов. -М.: Солон, 2002. -448 с.

21. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков / А.П. Петухов. -СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999. -132 с.

22. Новиков И.Я. Основы теории всплесков / И.Я. Новиков, С.Б. Стечкин // Успехи математических наук. -1998. -Т.53, №6. -С.53-128.

23. Daubechies I. Ten lectures on wavelets / I. Daubechies. New York: SIAM, 1992. -463 p.

24. Новиков JI.B. Основы вейвлет-анализа сигналов. Учебное пособие. / JI.B. Новиков. -СПб.: Изд-во ООО "МОДУС+", 1999. -152 с.

25. Chui С. An Introduction to Wavelets / С. Chui. New York: Academic Press, 1992. -412 p.

26. Meyer Y. Wavelets and operators / Y. Meyer. Cambridge: Cambridge University Press, 1993.-224 p.

27. Mallat S. Singularity detection and processing with wavelets / S. Mallat, W. Hwang // IEEE Trans. Inform. Theory. -1992. -V.38, N.2. -P.617-643.

28. Фрик П.Г. Вейвлет-анализ и иерархические модели турбулентности / П.Г. Фрик. -Пермь: Препринт ИМСС УрО РАН, 1992. -40 с.

29. Argoul F. Wavelet analysis of turbulence reveals the multifractal nature of Richardson cascade / F. Argoul, A. Arneodo, G. Grasseau, Y. Gagne, E. Hopfinger, U. Frisch // Nature. -1989. -V.338. -P.51-53.

30. Haar A. Zur theorie der orthogonalen funktionensysteme / A. Haar // Mathematische Annalen. -1910. -V.69. -P.331-371.

31. Стаховский И.Р. Вейвлетный анализ временных сейсмических рядов / И.Р. Стаховский //Доклады Академии Наук. -1996. -Т.350, №.3. -С.393-396.

32. Бураков К.С. Вейвлет-анализ вариаций напряженности геомагнитного поля за последние четыре тысячи лет / К.С. Бураков, Д.К. Галягин, И.Е. Начасова, М.Ю.

33. Решетняк, Д.Д. Соколов, П.Г. Фрик // Изв. РАН. Сер. Физика Земли. -1998. -Т.34, №9. -С.83-88.

34. Кирушев В.А. Быстрый алгоритм сжатия изображений / В.А. Кирушев // Вестник молодых ученых. Прикл. матем. и механика. -1997. —№1. -С.4—10.

35. Antonini М. Image coding using wavelet transforms // M. Antonini, M. Barlaud, P. Mathieu, I. Daubechies // IEEE Trans. Image Process. -1992. -V.l. -P.205-220.

36. Rioul O. Wavelets and signal processing / O. Rioul, M. Vetterli // IEEE Signal Processing Magazine. -1991. -V.8, N.4. -P. 14-38.

37. Зимин В.Д. Иерархические модели турбулентности / Зимин В.Д. // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. -1981. -Т. 17, №12. -С. 1265-1273.

38. Heil С.Е. Continuous and discrete wavelet transforms / C.E. Heil, D.F. Walnut // SIAM Rev. -1989. -V.31. -P.628-666.

39. Boashash B. Time frequency signal analysis, in Advances in Spectrum Analysis and Array Processing / B. Boashash S. Naykin // Englewood Cliffs: Prentice - Hall NJ. -1990.-P.418-517.

40. Chui C. Wavelets: A Tutorial in Theory and Applications / C. Chui. -New York: Academic Press, 1992. -256 p.

41. Farge M. Wavelets, fractals and Fourier transforms // M. Farge, J.C.R. Hunt, J.C. Vassilicos. -Clarendon Press, 1993. -420 p.

42. Rioul O. Fast algorithms for discrete and continuous wavelet transforms / O. Rioul, P. Duhamel // IEEE Trans. Inf. Theory. -1992. -V.38, N.2. -P.569-586.

43. Переберин A.B. О систематизации вейвлет преобразований / А.В. Переберин // Вычислительные методы и программирование. -2001. -Т.2. -С. 15—40.

44. Walter G. Wavelets and other orthogonal systems with applications / G. Walter. -Florida: CRC Press Inc., Boca Raton, 1994. -272 p.

45. Lawton W. Necessary and sufficient conditions for constructing orthonormal wavelet bases / W. Lawton // J. Math. Phys. -1991. -V.32. -P.57-61.

46. Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets / I. Daubechies // Communications on Pure and Applied Mathematics. -1998. -N.41. -P.909-996.

47. Cohen I. Orthonormal shift invariant wavelet packet decomposition and representation /1. Cohen, S. Raz, D. Malah // Signal Proceeding. -1997. -V.57, N.3. -P.251-270.48.