Методы обработки оптических спектров звезд на основе вейвлет-анализа

Сибгатуллин, Мансур Эмерович

Методы обработки оптических спектров звезд на основе вейвлет-анализа тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

Сибгатуллин, Мансур Эмерович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Казань МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Методы обработки оптических спектров звезд на основе вейвлет-анализа»

Автореферат диссертации на тему "Методы обработки оптических спектров звезд на основе вейвлет-анализа"

Сибгатуллин Мансур Эмерович

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ОПТИЧЕСКИХ СПЕКТРОВ ЗВЕЗД НА ОСНОВЕ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА

01.04.05 - оптика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2006

Работа выполнена на кафедре оптики и нанофотоники Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Казанский государственный университет им. В.И. Ульянова-Ленина»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Салахов Мякзюм Халимуллович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Юльметьев Ренат Музипович

кандидат физико-математических наук, доцент Михеев Игорь Дмитриевич

Ведущая организация: Саратовский государственный университет

им. Н.Г.Чернышевского

Защита состоится «_2£_» декабря 2006 г. В №/00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.081.07 в Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 18.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И.Лобачевского Казанского государственного университета

Автореферат разослан « ач » ноября 2006г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Сарандаев Е.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. При обработке оптических спектров звезд одной из проблем. является учет влияния шума, искажающего экспериментальные данные. В результате математической обработки спектроскопического эксперимента возможно получить более. полную и достоверную информацию о физике процессов, происходящих в атмосферах звезд.

При обработке экспериментальных данных в прикладной спектроскопии наибольшее распространение получили метод Савицкого-Голея, фильтр Кайзера, метод статистической регуляризации и др. Область применения данных методов ограничивается предположениями о стационарности сигнала и некоррелированной природе шума. Оптическая спектроскопия звезд имеет ряд особенностей. Для определения физики звездных атмосфер необходимы спектры с высоким и сверхвысоким разрешением (0.001-0.01 нм), так как при этом появляется возможность зарегистрировать профили отдельных линий, которые определяются физикой атмосфер и параметрами взаимодействия атомов и фотонов в атмосферах звезд. Получаемые оптические спектры могут характеризоваться малым отношением сигнал/шум, сложной формой профилей спектральных линий и обладать коррелированной структурой шума. В этом случае требуется разработка и привлечение новых математических методов для решения задачи обработки оптических спектров звезд.

Использование размерности Ричардсона, показателя Херста, относительной дисперсии, энтропии, как количественных характеристик экспериментального шума (КХШ), и вейвлет-анализа позволяет улучшить качество обработки спектров звезд. КХШ могут быть применены для получения априорной информации о спектроскопическом эксперименте. Вейвлет-анализ является эффективным инструментом обработки сложных и нестационарных сигналов и может быть использован при математической обработке оптических спектров звезд. При этом совместное использование КХШ и В А позволяет проводить эффективный анализ оптических спектров с целью получения дополнительной информации о природе экспериментального шума в случае малого отношения сигнал/шум.

С помощью методов обработки оптических спектров звезд на основе вейвлет-анализа и привлечения априорной информации о природе шума с использованием количественных характеристик шума можно существенно улучшить качество обработки в случае малого отношения сигнал/шум, сложной формы спектральных контуров и коррелированной структуры шума. Таким образом, исследования, проведенные в диссертационной работе, являются актуальными и практически значимыми.

Целью данной диссертационной работы является разработка новых и использование существующих методов математической обработки искаженных шумом оптических спектров звезд, с малым отношением сигнал/шум, на основе вейвлет-анализа.

Основные задачи исследований включают в себя:

1. Исследование возможности применения размерности Ричардсона, показателя Херста, относительной дисперсии и энтропии в прикладной спектроскопии для получения априорной информации об экспериментальных данных в случае малого отношения сигнал/шум.

2. Решение проблемы выбора базисного вейвлета в задаче удаления шума из экспериментальных данных.

3. Изучение возможностей использования вейвлет-анализа при обработке оптических спектров звезд с малым отношением сигнал/шум, искаженных коррелированным шумом.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Для получения априорной информации о спектроскопическом эксперименте может быть использован метод расчета характеристик шума в вейвлет-пространстве.

2. Вейвлет-анализ с использованием в качестве базисного вейвлета койфлета пятого порядка позволяет учесть влияние высокочастотного случайного шума в случае малого отношения сигнал/шум.

3. Использование итерационной схемы удаления шума в вейвлет-пространстве с учетом априорной информации о структуре экспериментального шума позволяет восстановить форму спектральных линий в оптических спектрах звезд в случае низкочастотного шума.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Впервые предложено проводить расчет количественных характеристик шума в вейвлет-пространстве с целью получения априорной информации о спектроскопическом эксперименте.

2. Показано,^ что вейвлет-анализ с использованием в качестве базисной, функции койфлета пятого порядка позволяет удалять высокочастотный шум из оптических спектров без привлечения априорной информации о структуре шума.

3. Разработан новый метод удаления шума, основанный на применении итерационной схемы в вейвлет-пространстве. Проведенный сравнительный анализ показал эффективность предложенной схемы при обработке сигналов искаженных шумом с коррелированной структурой.

Научная и практическая значимость работы заключается в том, что были предложены новые методы обработки экспериментальных данных, на основе вейвлет-анализа, которые позволяют проводить качественную и достоверную обработку оптических спектров звезд в случае малого отношения сигнал/шум. Предлагаемые подходы могут быть также использованы при обработке результатов других экспериментов, когда требуется анализ искаженных сигналов.

Достоверность полученных результатов обеспечивается многократной, проверкой и отработкой предлагаемых методов, анализом качества обработки различных модельных сигналов, подобных встречающимся в эксперименте, воспроизводимостью получаемых решений.

Личный вклад автора. Все результаты диссертации получены автором лично или непосредственно при его участии. Основные результаты докладывались на международных и всероссийских конференциях.

(Казань, 2004, 2005); на итоговой научной студенческой конференции физического факультета Казанского государственного университета (Казань, 2003); на международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных по фундаментальным наукам "Ломоносов-2006" (Москва, 2006); на 10 Всероссийской школе-семинаре "Волновые явления в неоднородных средах" (Москва, 2006); на У-Х международных молодежных научных школах "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия" (Казань, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005 и 2006);

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 17 работ, из них 6 статей в центральной научной печати, 11 статей и тезисов в сборниках конференций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка авторской и цитированной литературы, трех приложений. Объем работы составляет 119 страниц, включая 46 рисунков и 5 таблиц. Список цитированной литературы содержит 118 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, цель и задачи исследований, формулируется научная новизна и практическая значимость работы.

В первой главе формулируется постановка задач, описываются особенности, возникающие при спектроскопическом исследовании звезд. При обработке оптических спектров звезд приходится решать обратные задачи: имея экспериментальный контур испускания и (или) контур поглощения, необходимо оценить исходные параметры исследуемого объекта. В математической постановке этот класс задач может быть представлен в следующем виде:

К<р = / , реФ,/еБ, (1)

где Ф и Б некоторые метрические пространства, К - непрерывный оператор, переводящий элементы <р еФ в элементы / е Р. В физических терминах / = /р + (/р - точные выходные данные) интерпретируется как искаженный случайным шумом с, выходной сигнал прибора К, на вход которого поступил

сигнал (р. Как правило, линейный оператор К, моделирующий измерительный прибор, является непрерывным.

Также были изложены наиболее эффективные существующие методы обработки экспериментальных данных, такие как метод Савицкого-Голея, фильтр Кайзера,' метод статистической регуляризации. Рассмотрены основы вейвлет-анализа, который, как- будет показано в дальнейшем, может быть успешно использовап при обработке оптических спектров звезд.

Во второй главе рассматриваются методы обработки сигналов, основанные на использовании вейвлет-анализа. Для получения априорной информации об экспериментальных сигналах предложено использовать несколько параметров, описывающих наблюдаемый процесс, и на основе их совокупного анализа делать вывод о структуре исследуемого явления. При этом используется следующий комплекс параметров: энергетический спектр фурье-преобразования, глобальный спектр энергии коэффициентов непрерывного и дискретного вейвлет-преобразований [1,2]. Применялись количественные характеристики шума: размерность Ричардсона, относительная дисперсия, показатель Херста, энтропия. Приведены результаты модельных расчетов КХШ для шумов со сложной спектральной структурой. Показано, что с увеличением степени коррелированное™ шума происходит рост параметра Херста, уменьшение значений относительной дисперсии и размерности Ричардсона. Также показано, что рассмотренные КХШ, за исключением энтропии, инвариантны относительно амплитуды шума. Применение данных характеристик при анализе шума с коррелированной структурой в спектрах с малым отношением сигнал/шум не дает информации об увеличении влияния низкочастотной компоненты шума на полезный сигнал. Поэтому было предложено использовать процедуру вычисления характеристик в вейвлет-пространстве [3-6]. Это позволило получить дополнительную информацию о шуме в случае малого отношения сигнал/шум. В работе используется дискретный вейвлет-анализ как инструмент разложения исследуемого процесса на масштабные составляющие, и вычисляются КХШ для каждой масштабной компоненты в отдельности. Энтропия и дисперсия могут быть использованы как уникальные характеристики для каждой масштабной компоненты сигнала.

Проведенные модельные эксперименты показали эффективность предлагаемых подходов при анализе сигналов и возможность их использования для получения априорной информации о спектроскопических экспериментальных данных.

В этой главе также рассматриваются методы обработки сигналов с использованием вейвлет-анализа в случае малого отношения сигнал/шум и сложной спектральной структуры шума. Наиболее простым способом учета влияния искажений с использованием вейвлет-анализа является удаление определенных масштабов, которые содержат шумовую компоненту сигнала. В этом случае оценка решения ф запишется следующим образом:

где /-обрабатываемый сигнал, IV - дискретное вейвлет-преобразование, ^"'-обратное дискретное вейвлет-преобразование, Щу,к) - функция аподизации, зависящая в общем случае от масштаба } и сдвига к вейвлет-преобразования сигнала и определяемая в следующем виде:

где ]гр - граничный масштаб. Параметр ]гр в данном случае определяет масштаб, который разделяет полезную составляющую сигнала и его шумовую компоненту. В работе в качестве критерия для выбора граничного масштаба предлагается . использовать минимум спектра мощности вейвлет-преобразования [7-12].

При использовании вейвлет-анализа в задаче обработки экспериментальных данных неизбежно возникает вопрос о том, какой вейвлет использовать в качестве базиса. Результаты восстановления сигнала с использованием вейвлет-анализа всегда будут зависеть от вида используемого базисного вейвлета. Существующее многообразие базисных вейвлетов, с одной стороны, предоставляет исследователю известную гибкость при их выборе с целью достижения наилучшего результата, с другой стороны, неверный выбор базисного вейвлета может привести к менее достоверному представлению результатов математической обработки экспериментальных данных. В случае обработки оптических спектров звезд использовать схемы создания базисных

(2)

(3)

вейвлетов, адаптированных к форме обрабатываемого сигнала, является затруднительным, так как сигналы характеризуются высоким относительным уровнем шума и сложной формой контуров, не описываемых однозначно моделями Лоренца или Гаусса. В работе использовалась следующая схема выбора базисного вейвлета [13-15]. Создавался модельный сигнал, подобный по форме экспериментальным данным, которые планировалось подвергнуть математической обработке. После этого производилась обработка модельных данных и определялось качество восстановления сигнала ст. Выбор базисного вейвлета осуществлялся из условия минимума отклонения восстановленного сигнала от истинного. Таким образом, определялся базисный вейвлет, вносящий наименьшие искажения в обрабатываемый сигнал. Этот базисный вейвлет в дальнейшем предлагается использовать при обработке экспериментальных данных. В качестве одного из модельных сигналов в работе был использован сложный модельный спектр, состоящий из асимметричного контура сложной формы и контура, центральную... часть которого можно рассматривать как профиль сложной формы. Выбор подобного модельного сигнала обусловлен тем, что экспериментальные спектральные линии могут иметь структуру, не описываемую однозначно какой-либо моделью (контурами Лоренца, Гаусса, Фойгта и т.д.) и характеризоваться асимметрией и (или) сложной формой центральной части контура. Показано, что наилучшие результаты среди семейств вейвлетов Добечи, койфлетов и биортогональных вейвлетов достигаются при использовании койфлета пятого порядка. Показана высокая эффективность данного подхода при обработке сигналов с малым отношением сигнал/шум.

Предложен метод удаления шума, основанный на применении итерационной схемы в вейвлет-пространстве (ИСВП) с использованием априорной информации о характере шума, искажающего экспериментальные данные [5,6]. Итерационными методами решения задач называют такие методы, в которых по известному приближению ищется следующее, более точное приближение. Итерационные методы находят широкое применение в практике восстановления сигналов, так как в некоторых случаях они допускают простой учет важных для задач восстановления ограничений непосредственно в схеме

итерационного алгоритма и тем самым представляют собой альтернативу методам нелинейного программирования.

Схема предлагаемого итерационного удаления шума выглядит следующим образом:

=Ц'-1в1Г<р('\ г = 0,1,2..........(4)

где в качестве первого приближения используется экспериментальный сигнал 9^°'=/, IV - дискретное вей влет-преобразование, IV'1 - обратное дискретное

У>]к ~х> если ^¡к -т вейвлет-преобразование, би'д = • м>уА + т, если VI< -т - оператор ограничения

0, в др. случаях

вейвлет-коэффициентов, х - величина порога, м>д = IV(р - коэффициенты дискретного вейвлет-преобразования сигнала (р. Увеличение на каждом" шаге итерации величины порога на некоторое значение 8 позволяет эффективно удалять шум. Общим недостатком итерационных алгоритмов является то, что исследователь должен сам решать, когда следует прервать процесс итераций, руководствуясь теми или иными соображениями о природе сигнала. С одной стороны, это дает возможность экспериментатору на каждом шаге итерации оценивать выборку последовательных приближений и добиваться качества восстановления сигнала, соответствующего его априорным знаниям об эксперименте. Но с другой стороны, субъективность экспериментатора может привести к неправильным результатам. Особенно это актуально при обработке оптических спектров звезд высокого и сверхвысокого разрешения, так как в этом случае форма спектральной линии может быть априори неизвестна, и экспериментатор может не иметь представления о том, как должен выглядеть восстановленный сигнал. В работе предлагается использовать априорную информацию о шуме для принятия решения об остановке итерационного процесса. Производится процедура вычисления количественной характеристики М! на каждом масштабе для удаляемого шума. В качестве

параметра А/; могут выступать показатель Херста, относительная дисперсия и размерность Ричардсона. После этого производится сравнение величины Мс

0.3

. er

априорно известным значением Мj апр , рассчитываемым по записанной в эксперименте шумовой дорожке. Если М¡^М} апр , то итерационный процесс прерывается и производится восстановление сигнала:

<p = W-lWjk. (5)

В противном случае выполняется следующая итерация. Показано, что данная схема позволяет произвести восстановление формы сигнала в случае малого отношения сигнал/шум и коррелированной структуры шума. Учет априорной информации позволяет принять решение о прерывании итерационного процесса, что позволяет, в свою очередь, получать результаты восстановления От сигнала независимо от субъективного вмешательства экспериментатора.

Были проведены модельные эксперименты с целью сравнения эффективности различных методов обработки экспериментальных данных

[13,16].

На рис.1 приведена зависимость среднеквадратичного отклонения сг2 от

относительного уровня шума г) в сигнале для методов Савицкого-Голея (СГ), метода статистической регуляризации (MCP), вейвлет-денойзинга с выбором порога по критерию Донохо-Джонстоуна (ВА) и ИСВП. При этом было показано, что наилучшие результаты достигаются при использовании

MCP

испв

О 10 20 30 40

п,%

Рис.1. Зависимость ст2 от Т]. Показатель Херста шума Н-0.7

итерационной схемы удаления шума в веивлет-пространстве.

Третья глава посвящена апробации предлагаемых подходов. для

обработки спектральных линий, полученных при наблюдении звезды Вега на 2-

м телескопе пика Терскол [2,5-7,17]. Для анализа экспериментального шума

были выделены участки непрерывного _ 1.02-—-—:--—-—

спектра, в которых отсутствуют линии ч

поглощения атмосферы звезды. Вейвлет- 2.

анализ, значения показателя Херста, У о.98-

размерности Ричардсона и относительной I

ё 0.96-

дисперсии выявили низкочастотную £ природу шума и наличие в нем 5 о.э^ положительной корреляции. Таким образом, при обработке экспериментальных контуров звезды Вега следует использовать

5269 5269.5 5270 5270.5 5271 ДЛИНА ВОЛНЫ (А)

Рис.2. Удаление шума из участка экспериментального спектра звезды Вега. Интервал длин волн 5268.8-5271.2 А.

— 1.02

9 1.01

ё 1

ё-

2 о, и £

4730 4731 ДЛИНА ВОЛНЫ (А)

4732

итерационную схему удаления шума в вейвлет-пространстве. При этом известно, что полуширина аппаратной функции прибора на порядок меньше, чем у регистрируемых спектральных линий

О 0.97

поэтому при обработке экспериментальных ш 0дб данных не учитывалось влияние аппаратной х 0 95 функции. Искажения, вносимые

турбулентностью земной атмосферы, не учитывались, так как они эффективно усредняются на временах экспозиции. На рис.2 в качестве иллюстрации приведены результаты обработки двух близкорасположенных контуров спектральных линий Ре 1 5269.5 А и Са I 5270.4 А. При этом линии характеризуются асимметрией, такой, что синяя часть более глубокая, чем красная. Линия Ре I 5269.5 А обладает также ядром, "вогнутым вверх" в центре. На рис.3 приведены результаты удаления шума из участка спектра 4728.8-4732.5 А. Контур линии Б II 4729.45 А характеризуется асимметричной формой, контур линии Бе II 4731.47 А имеет ядро в виде "плоского дна".

Рис.3. Удаление шума из участка экспериментального спектра звезды Вега. Интервал длин волн 4728.8-4732.5A

С использованием итерационной схемы удаления шума в вейвлет-пространстве было подтверждено, что спектр звезды Вега состоит из спектральных линий с разной формой контуров. В дальнейшем профили спектральных линий, обработанные с использованием итерационной схемы в вейвлет-пространстве, предполагается использовать для уточнения количественных характеристик атмосферы звезды Вега, а также при исследовании других звезд, для которых удастся провести наблюдение слабых спектральных линий с высоким и сверхвысоким разрешением.

Основные результаты и выводы

1. В работе использованы фурье-анализ, вейвлет-анализ и характеристики шума, такие как показатель Херста, относительная дисперсия, размерность Ричардсона, энтропия, для получения априорной информации о спектроскопическом эксперименте. Предложено определять характеристики шума в вейвлет-пространстве. Это дало возможность получить более полную информацию о свойствах экспериментального шума.

2. Проведено исследование эффективности восстановления сигналов с использованием различных базисных вейвлетов семейств койфлетов, вейвлетов Добечи и биортогональных вейвлетов. Показано, что койфлет пятого порядка вносит наименьшие искажения в сигнал.

3. Было показано, что с помощью дискретного вейвлет-анализа возможно удаление высокочастотного шума без привлечения априорной информации о структуре шума.

4. Разработанный метод удаления шума, основанный на применении итерационной схемы в вейвлет-пространстве, позволяет восстановить сигнал в случае коррелированной структуры шума.

5. С помощью предлагаемых методов и подходов была проведена математическая обработка спектральных линий звезды Вега. Была выявлена низкочастотная структура экспериментального шума, показана сложная форма линий, которая в дальнейшем может быть использована для уточнения количественных характеристик атмосферы звезды Вега.

Список авторской литературы

1. Сибгатуллин М.Э. Исследование периодических сигналов с фрактальным гауссовым шумом // М.Э. Сибгатуллин, Д.З. Галимуллин, А.Ю. Воробьев, С.С. Харинцев, И.Ф. Бикмаев, М.Х. Салахов // IX всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. - Казань, 2005. -С.107-110.

2. Сибгатуллин М.Э. Исследование . аппаратных шумов в оптической астрономии / М.Э. Сибгатуллин, Д.З. Галимуллин, С.С. Харинцев, И.Ф. Бикмаев, М.Х. Салахов // Электронный журнал "Исследовано в России".-2006.-№67.-С.668-676. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2006/067.pdf

3. Сибгатуллин М.Э. Удаление фрактального шума в оптических спектрах с помощью вейвлет-денойзинга / М.Э.Сибгатуллин, С.С.Харинцев, М.Х.Салахов // Юбилейная научная конференция физического факультета. -Казань, 2004.-С. 101.

4. Сибгатуллин М.Э. Введение априорной информации о спектре в схему вейвлет-денойзинга / М.Э.Сибгатуллин, С.С.Харинцев, М-Х.Салахов // VIII всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. - Казань, 2004. -С. 71-76.

5. Сибгатуллин М.Э. Итерационная схема удаления шума из оптических спектров / М.Э. Сибгатуллин, С.С. Харинцев, И.Ф. Бикмаев, М.Х. Салахов //

, , IX всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. - Казань, 2005. -С. 145-148.

6. Сибгатуллин М.Э. Удаление экспериментального шума из оптических спектров с использованием итерационной схемы на основе вейвлет-анализа / М.Э. Сибгатуллин, С.С. Харинцев, И.Ф. Бикмаев, М.Х. Салахов // Ученые записки Казанского государственного университета. Сер физико-математические науки. Том 148 / КГУ; Редкол.: И.Б.Бадриев и др.—Казань, 2006. -С. 179-185.

7. Сибгатуллин М.Э. Математическая обработка оптических спектров звезд / М.Э.Сибгатуллин, С.С.Харинцев,.- И.Ф. Бикмаев, М.Х.Салахов И VII всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. - Казань, 2003. -С. 139-144.

8. Сибгатуллин М.Э. Регуляризованные алгоритмы для сглаживания и денойзинга спектроскопических данных / М.Э. Сибгатуллин II Итоговая научная .студенческая конференция физического факультета Казанского Государственного Университета. - Казань, 2003. -С. 63.

9. Сибгатуллин М.Э. Детектирование детерминированной компоненты в оптических спектрах / Г.В. Фролова, М.Э. Сибгатуллин, Д.З. Галимуллин, С.С. Харинцев, Г.Г. Ильин, М.Х. Салахов // IX всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. - Казань, 2005. -С. 279-282.

10. Сибгатуллин М.Э. Регуляризация обратных некорректных задач в прикладной спектроскопии /Д.З. Галимуллин, М.Э. Сибгатуллин, С.С. Харинцев, М.Х. Салахов // Известия РАН. Серия физическая. -2006, 70(4), 2006, С.534-535.

11.М.Е. Sibgatullin A wavelet-based technique for eliminating noise from optical spectra / M.E. Sibgatullin, S.S. Kharintsev, Il'in G.G., M.Kh. Salakhov // AJS-2005.-V.9.N. 1-4. -P. 43-48.

12.Сибгатуллин М.Э. Определение структуры сложного контура с учетом влияния случайного шума / Д.З. Галимуллин, А.Ю. Воробьев, М.Э. Сибгатуллин, С.С. Харинцев, М.Х. Салахов // IX всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. -Казань, 2005. -С. 197-200.

13.Sibgatullin M.E. Smoothening and denoising optical spectra / M.E. Sibgatullin, S.S. Kharintsev, M.Kh. Salakhov // AJS.-2004. -V.8, N.3-4. -P. 91-100.

14.Сибгатуллин М.Э. Выбор базисного вейвлета в задаче денойзинга оптических спектров / А.Г. Зверев, М.Э. Сибгатуллин, С.С. Харинцев, М.Х. Салахов ИIX всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. - Казань, 2005. -С. 229-232.

15.Сибгатуллин М.Э. Адаптивный вейвлет-анализ нестационарных сигналов прикладной спектроскопии / М.Э.Сибгатуллин, А.А.Севастьянов, С.С.Харинцев, М.Х.Салахов // VI всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. -Казань, 2002.-С. 133-138.

1б.Сибгатуллин М.Э., Сглаживание и денойзинг оптических спектров: преимущества и недостатки / М.Э.Сибгатуллин, С.С.Харинцев, М.Х.Салахов // VIII всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. - Казань, 2004. -С. 65-70.

17.Sibgatullin М.Е. Noise elimination from stellar spectra / M.E.Sibgatullin, D.Z.Gallimullin. S.S.Kharintsev, I.F.Bikmaev, M.Kh. Salakhov // Proc. SPIE. -2006. -V. 6181. -P. 618119-1-618119-7.

Отпечатано в ООО яПечатный двор», г. Казань, ул. Журналистов, 1/16, оф.207

Тел: 272-74-59, 541-76-41, 541-76-51. Лицензия ПД№7-0215 от 01.11.2001 г. Выдана Поволжским межрегиотпьным территориальным управлением МПТР РФ. Подписано в печать 24.11.2006 г. Усл. п.л 1,0. Заказ М К-5642. Тираж 100 зкз. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать -ризография.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Сибгатуллин, Мансур Эмерович

Введение.

Глава 1. Методы математической обработки экспериментальных данных.

1.1. Оптическая спектроскопия звезд.

1.2. Обратные некорректные задачи в астрономии.

1.3. Вейвлет-анализ.

Глава 2. Учет априорной информации и обработка сигналов с использованием вейвлет-анализа.

2.1 Анализ шума с применением вейвлет-преобразования.

2.2. Количественные характеристики при классификации шумов

2.3. Метод расчета количественных характеристик в вейвлет-пространстве.

2.4. Выбор базисного вейвлета.

2.5. Итерационная схема удаления шума в вейвлет-пространстве

2.6. Сравнение методов обработки экспериментальных данных.

ГлаваЗ. Анализ и обработка экспериментальных данных.

3.1 Анализ экспериментальных шумов.

3.2. Обработка спектральных контуров звезды Вега.

Введение диссертация по физике, на тему "Методы обработки оптических спектров звезд на основе вейвлет-анализа"

Актуальность темы исследования. При обработке оптических спектров звезд одной из проблем является учет влияния шума, искажающего экспериментальные данные. Использование математических методов позволяет значительно повысить характеристики приборов и производить учет искажений, возникающих в процессе регистрации экспериментальных данных. В результате математической обработки спектроскопического эксперимента возможно получить более полную и достоверную информацию о физике процессов, происходящих в атмосферах звезд. Это дает возможность в дальнейшем проводить численное моделирование физических условий в астрофизической плазме и сравнение теории и наблюдений.

Математическая обработка эксперимента является одним из важнейших этапов физического эксперимента, включающая в себя как традиционный первичный этап - обработку зарегистрированных данных, так и интерпретацию косвенных измерений. Техника обработки экспериментальных данных может быть очень разнообразной и использует аппарат математической статистики, вариационного исчисления, теорию информации, методы решения некорректных задач, методов оптимизации и т.д. Важно отметить, что никакими методами обработки нельзя увеличить объем информации, она может быть только преобразована в другую форму, более приемлемую с точки зрения интерпретации экспериментальных данных. Математические методы обработки сигналов позволяют, не вкладывая больших затрат, повысить возможности приборов. В ряде случаев математическая обработка данных измерительного эксперимента может интерпретироваться как результат измерения на приборе, характеристики которого превышают предельно достижимые для реальных приборов.

При обработке экспериментальных данных в прикладной спектроскопии наибольшее распространение получили метод Савицкого-Голея, фильтр Кайзера, метод статистической регуляризации и др. Область применения данных методов ограничивается предположениями о стационарности сигнала, некоррелированной природе шума, высоком отношении сигнал/шум в экспериментальных данных. Однако оптическая спектроскопия звезд имеет ряд особенностей. Для определения физики атмосфер звезд необходимы спектры с высоким и сверхвысоким разрешением (0.001-0.01 нм), так как при этом появляется возможность зарегистрировать профили отдельных линий, которые уже определяются физикой атмосфер и параметрами взаимодействия атомов и фотонов в атмосферах звезд. Получаемые оптические спектры могут характеризоваться малым отношением сигнал/шум, сложной формой профилей спектральных линий и обладать коррелированной структурой шума. В этом случае требуется разработка и привлечение новых математических методов для решения задачи обработки оптических спектров звезд.

Эффективность обработки экспериментальных сигналов будет зависеть от количества и качества привлекаемой априорной информации об экспериментальных данных, а также используемого метода математической обработки. Улучшить качество обработки оптических спектров звезд возможно с помощью привлечения количественных характеристик шума, таких как размерность Ричардсона, показатель Херста, относительная дисперсия и энтропия, позволяющих дать количественную оценку и провести классификацию шумов, искажающих экспериментальные данные.

Вейвлет-анализ - это математический аппарат, находящий широкое применение во многих областях обработки сигналов и изображений. В настоящее время вейвлет-анализ получил широкое распространение и применяется для обработки данных, сжатия информации, синтеза изображений. За счет высокой избирательности полосовой фильтрации сигнала, возможности обработки сложных и нестационарных сигналов вейвлет-анализ является удобным инструментом при математической обработке результатов спектроскопического эксперимента. При этом совместное использование размерности Ричардсона, показателя Херста, относительной дисперсии, энтропии и вейвлет-анализа позволяет проводить эффективный анализ оптических спектров с целью получения дополнительной информации о природе экспериментальных шумов в случае малого отношения сигнал/шум.

С помощью методов обработки оптических спектров звезд на основе вейвлет-преобразования и привлечением априорной информации о природе шума с использованием количественных характеристик шума можно существенно улучшить качество обработки в случае малого отношения сигнал/шум, сложной формы спектральных контуров и коррелированной структуры шума. Таким образом, исследования, проведенные в диссертационной работе, являются актуальными и практически значимыми.

Основные задачи исследований включают в себя:

2. Решение проблемы выбора базисного вейвлета в задаче удаления шума из экспериментальных данных.

Основные положения, выносимые на защиту

2. Показано, что вейвлет-анализ с использованием в качестве базисной функции койфлета пятого порядка позволяет удалять высокочастотный шум из оптических спектров без привлечения априорной информации о структуре шума.

Научная и практическая значимость работы заключается в том, что были предложены новые методы обработки экспериментальных данных на основе вейвлет-анализа, которые позволяют проводить качественную и достоверную обработку оптических спектров звезд в случае малого отношения сигнал/шум. Предлагаемые подходы могут быть также использованы при обработке результатов других экспериментов, когда требуется анализ искаженных сигналов.

Достоверность полученных результатов обеспечивается многократной проверкой и отработкой предлагаемых методов, анализом качества обработки различных модельных сигналов, подобных встречающимся в эксперименте, воспроизводимостью получаемых решений.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались: на научных семинарах кафедры оптики и нанофотоники физического факультета КГУ; на VIII международном симпозиуме по фотонному эхо и когерентной спектроскопии (Калининград, 2005); на юбилейной научной конференции физического факультета (Казань, 2004); на итоговой конференции Казанского государственного университета (Казань, 2004, 2005); на итоговой научной студенческой конференции физического факультета Казанского государственного университета (Казань, 2003); на международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных по фундаментальным наукам "Ломоносов-2006" (Москва, 2006); на 10 Всероссийской школе-семинаре "Волновые явления в неоднородных средах" (Москва, 2006); на V-X международных молодежных научных школах "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия" (Казань, 2001, 2002,2003,2004,2005 и 2006);

Заключение диссертации по теме "Оптика"

Выводы

В этой главе исследованы экспериментальные шумы, полученные при наблюдении звезды Вега. Было показано, что шум имеет низкочастотную структуру и характеризуется персистентным поведением.

С помощью итерационной схемы на основе дискретного вейвлет-анализа с использованием априорной информации о структуре шума на примере обработки участков спектра на длинах волн 6346-6348Á, 5051.1-5053Á, 5268.8-5271.2Á, 5323.5-5326Á, 5166.4-5169.9Á, 4728.8-4732.5Á удалось показать сложную форму профилей, отличающуюся от гауссовой и/или фойгтовской. Это означает, что формирование этих линий происходит в атмосфере звезды Вега при более сложных условиях, чем предполагают упрощенные и однородные модели звездных атмосфер. По-видимому, расчет теоретических профилей линий для звезды Вега необходимо выполнять с учетом изменения температуры и ускорения силы тяжести по видимой поверхности звезды, обращенной к наблюдателю со стороны полюса звезды.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассматривается схема получения априорной информации об экспериментальных данных при исследовании оптических спектров звезд. При этом используются фурье-анализ, вейвлет-анализ и количественные характеристики шума, такие как показатель Херста, относительная дисперсия, размерность Ричардсона, энтропия. Также предложено определять характеристики оптических спектров в вейвлет-пространстве. Это дает возможность получить более полную и достоверную априорную информацию о свойствах шума, присутствующего в экспериментальных данных.

Проведено исследование эффективности восстановления модельных сигналов с использованием различных базисных вейвлетов семейств койфлетов, вейвлетов Добечи и биортогональных вейвлетов. Показано, что при использовании в качестве базисного койфлета пятого порядка вейвлет-анализ позволяет удалять высокочастотный случайный шум без привлечения априорной информации об эксперименте.

Разработанный метод удаления шума, основанный на применении итерационной схемы в вейвлет-пространстве с использованием априорной информации о структуре шума, позволил восстановить сигнал в случае сложной спектральной структуры экспериментального шума.

Проведено сравнение эффективности предложенных подходов с методами: Савицкого-Голея; методом статистической регуляризации; удалением шума с использованием вейвлет-анализа и выбором величины порога по критерию Донохо-Джонстоуна. Показано преимущество предлагаемых схем в случае малого отношения сигнал/шум, коррелированной структуры шума и сложной формы сигналов.

С помощью предлагаемых методов и подходов была проведена математическая обработка экспериментального спектра звезды Вега.

Выявлена низкочастотная структура экспериментального шума, выделены контуры спектральных линий и показана сложная форма профилей.

В заключение автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору, доктору физико-математических наук Салахову М.Х., кандидату физико-математических наук Харинцеву С.С., а также кандидату физико-математических наук Бикмаеву И.Ф. за предоставление экспериментальных данных и обсуждение результатов математической обработки спектров звезды Вега.

Список авторской литературы

Al. Сибгатуллин М.Э. Исследование периодических сигналов с фрактальным гауссовым шумом // М.Э. Сибгатуллин, Д.З. Галимуллин, А.Ю. Воробьев, С.С. Харинцев, И.Ф. Бикмаев, М.Х. Салахов // IX всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. - Казань, 2005. -С. 107-110.

А2. Сибгатуллин М.Э. Математическая обработка оптических спектров звезд / М.Э.Сибгатуллин, С.С.Харинцев, И.Ф. Бикмаев, М.Х.Салахов // VII всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. - Казань, 2003. -С. 139-144.

АЗ. Сибгатуллин М.Э. Удаление фрактального шума в оптических спектрах с помощью вейвлет-денойзинга / М.Э.Сибгатуллин, С.С.Харинцев, М.Х.Салахов // Юбилейная научная конференция физического факультета. -Казань, 2004. -С. 101.

А4. Сибгатуллин М.Э. Введение априорной информации о спектре в схему вейвлет-денойзинга / М.Э.Сибгатуллин, С.С.Харинцев, М.Х.Салахов // VIII всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. - Казань, 2004. -С. 71-76.

А5. Сибгатуллин М.Э. Итерационная схема удаления шума из оптических спектров / М.Э. Сибгатуллин, С.С. Харинцев, И.Ф. Бикмаев, М.Х. Салахов // IX всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. -Казань, 2005. -С. 145-148.

А6. Сибгатуллин М.Э. Удаление экспериментального шума из оптических спектров с использованием итерационной схемы на основе вейвлет-анализа / М.Э. Сибгатуллин, С.С. Харинцев, И.Ф. Бикмаев, М.Х. Салахов // Ученые записки казанского государственного университета. Сер физико-математические науки. Том 148 / КГУ; Редкол.: И.Б.Бадриев и др.-Казань, 2006. -С. 179-185.

А7. Sibgatullin M.E. Smoothening and denoising optical spectra / M.E. Sibgatullin, S.S. Kharintsev, M.Kh. Salakhov // AJS. -2004. -V.8, N.3-4. -P. 91-100.

A8. Сибгатуллин М.Э. Выбор базисного вейвлета в задаче денойзинга оптических спектров / А.Г. Зверев, М.Э. Сибгатуллин, С.С. Харинцев, М.Х. Салахов // IX всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. - Казань, 2005. -С.229-232.

А9. Сибгатуллин М.Э. Адаптивный вейвлет-анализ нестационарных сигналов прикладной спектроскопии / М.Э.Сибгатуллин, А.А.Севастьянов, С.С.Харинцев, М.Х.Салахов // VI всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. - Казань, 2002. -С. 133-138.

А10. Сибгатуллин М.Э. Регуляризованные алгоритмы для сглаживания и денойзинга спектроскопических данных / М.Э. Сибгатуллин // Итоговая научная студенческая конференция физического факультета Казанского Государственного Университета. - Казань, 2003. -С. 63.

All. Сибгатуллин М.Э. Регуляризация обратных некорректных задач в прикладной спектроскопии /Д.З. Галимуллин, М.Э. Сибгатуллин, С.С. Харинцев, М.Х. Салахов // Известия РАН. Серия физическая. -2006, 70(4), 2006, С.534-535.

А12. Сибгатуллин М.Э. Детектирование детерминированной компоненты в оптических спектрах / Г.В. Фролова, М.Э. Сибгатуллин, Д.З. Галимуллин, С.С. Харинцев, Г.Г. Ильин, М.Х. Салахов // IX всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. - Казань, 2005. -С. 279-282.

А13. M.E. Sibgatullin A wavelet-based technique for eliminating noise from optical spectra / M.E. Sibgatullin, S.S. Kharintsev, Il'in G.G., M.Kh. Salakhov //AJS.-2005.-V.9, N.l-4. -P. 43-48.

А14. Сибгатуллин М.Э., Сглаживание и денойзинг оптических спектров: преимущества и недостатки / М.Э.Сибгатуллин, С.С.Харинцев, М.Х.Салахов // VIII всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. - Казань, 2004. -С. 65-70.

Al5. Сибгатуллин М.Э. Сравнительный анализ методов производной спектрометрии / Д.З. Галимуллин, М.Э. Сибгатуллин // VIII всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. - Казань, 2004. -С. 327-332.

Al6. Sibgatullin М.Е. Noise elimination from stellar spectra / M.E.Sibgatullin, D.Z.Gallimullin. S.S.Kharintsev, I.F.Bikmaev, M.Kh. Salakhov // Proc. SPIE. -2006.-V. 6181.-P. 618119-1-618119-7.

A17. Сибгатуллин М.Э. Исследование аппаратных шумов в оптической астрономии / М.Э. Сибгатуллин, Д.З. Галимуллин, С.С. Харинцев, И.Ф. Бикмаев, М.Х. Салахов // Электронный журнал "Исследовано в России".-2006. -№ 67. -С. 668-676. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2006/067.pdf

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Сибгатуллин, Мансур Эмерович, Казань

1. Михалас Д. Звездные атмосферы / Д.Михалас. М.: Наука, 1982. - т. 1. -352 с.

2. Михалас Д. Звездные атмосферы / Д.Михалас. М.: Наука, 1982. - т.2. -422 с.

3. Куто П. Наблюдения визуально-двойных звезд / П. Куто. М.:Мир, 1981.-238 с.

4. Цасевич В.П. Переменные звезды и их наблюдение / В.П. Цасевич. М.: Наука, 1980.- 176 с.

5. Цасевич В.П. Исследование переменных звезд в избранных областях млечного пути / В.П. Цасевич. Киев.: Наукова думка, 1976. - 256 с.

6. Виткевич В.В. О мерцаниях квазаров на неоднородной межзвездной плазме / В.В.Виткевич, В.И. Широков // Тр. / ФИ АН. Москва, 1972. -Т.62. - С.42-45.

7. Щеглов П.В. Проблемы оптической астрономии / П.В. Щеглов. -М.:Наука, 1980.-272 с.

8. Бикмаев И.Ф. Оптическая спектроскопия в астрономии / И.Ф. Бикмаев // VI всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. -Казань, 2002. -С. 18-29.

9. Попов Г.М. Современная астрономическая оптика/ Г.М.Попов. М.: Наука, 1988.- 192 с.

10. Максутов Д.Д. Изготовление и исследование астрономической оптики / Д.Д. Максутов. 2-е изд. - М.: Наука, 1984. - 272 с.

11. Михельсон H.H. Оптические телескопы / H.H. Михельсон. М.: Наука, 1976.- 512 с.

12. Мусаев Ф.А. Кудз-эшелле-спектрометр для 2-м телескопа на пике Терскол/ Ф.А.Мусаев, Г.А.Галазутдинов, А.В.Сергеев, Н.В.Карпов, Ю.В.Подьячев // Кинематика и физика небесных тел. -1999. Т.15,№3, с.282. -287.

13. Галазутдинов Г.А. Препринт / Г.А. Галазутдинов // CAO РАН, Ниж. Архыз, 1992.-№92.

14. Сахибуллин H.A. Методы моделирования в астрофизике / H.A. Сахибуллин. -Казань: Фэн, 1997. -328 с.

15. Бакушинский А.Б. Некорректные задачи. Численные методы и приложения: Учеб. Пособие/ А.Б. Бакушинский, A.B. Гончарский. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. - 199 с.

16. Гончарский A.B. Конечно-параметрические обратные задачи астрофизики/ A.B. Гончарский, С.Ю. Романов, A.M. Черепащук. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991. - 192 с.

17. Гончарский A.B. Численные методы решения обратных задач астрофизики/ A.B. Гончарский, A.M. Черепащук, А.Г. Ягола М.: Наука, 1978.-336 с.

18. Гончарский A.B. Обратные задачи астрофизики / A.B. Гончарский, A.M. Черепащук, А.Г. Ягола / М.: Знание, 1987. 32.с. - (Новое в жизни, науке, технике. Сер. «Математика, кибернетика»; № 2).

19. Гончарский A.B. Некорректные задачи астрофизики / A.B. Гончарский, A.M. Черепащук, А.Г. Ягола-М.: Наука, 1985. 352 с.

20. Василенко Г.И. Восстановление изображений / Г.И.Василенко,

21. A.М.Тараторин. М.: Наука, 1986. - 359 с.

22. Салахов М.Х. Математическая обработка и интерперетация спектроскопического эксперимента / М.Х.Салахов, С.С.Харинцев. -Казань, 2001.-238 с.

23. Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н.Тихонов

24. B.Я.Арсенин. М.: Наука, 1979. - 286 с.

25. Федотов A.M. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных / A.M. Федотов. Новосибирск: Наука, 1982, - 280 с.

26. John С. Brown. Inverse problems in astrophysical spectrometry / John C. Brown // Inverse problems. 1995. - P. 783-794.

27. Wood K. Inverse problems in spectropolarimetry / K. Wood, Geoffrey K. Fox //Inverse problems. 1995. - P. 795-821.

28. Пытьев Ю.П. Математические методы интерпретации эксперимента / Ю.П.Пытьев, М.: Высш. Шк, 1989.-351 с.

29. Пытьев Ю.П. Методы анализа и интерпретации эксперимента / Ю.П.Пытьев, -М.: Изд-во МГУ, 1990.-288 с.

30. Преображенский Н.Г. Неустойчивые задачи диагностики плазмы / Н.Г. Преображенский, В,В. Пикалов. Новосибирск: Наука, 1982. -236 с.

31. Турчак Л.И. Основы численных методов / Л.И. Турчак. М.: Наука, 1987.-381 с.

32. Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов / Г.И. Василенко. -М.: Советское радио, 1979. -272 с.

33. Тутубалин В.Н. Вероятность, компьютер и обработка результатов эксперимента / В.Н. Тутубалин // Успехи Физических Наук. -1993. -Т.193, №.7. -С.93-109.

34. Savitsky A. Smoothing and differentiation of data by simplified least squares procedures / A. Savitsky, M. Golay // Anal. Chem. -1964. -Vol.36, N.8. -P. 1627-1639.

35. Гутников B.C. Фильтрация измерительных сигналов / В.С.Гутников. -Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1990. 192 с.

36. Kaiser J.F. Data smoothing using low-pass digital filters / J.F. Kaiser, W.A. Reed // Rev. Sci. Instrum. -1977. Vol.48, N. 11.- P. 1447-1455.

37. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях: В 2 т. Т.1 / Ж. Макс. М.:Мир, 1983.- 568с.

38. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях: В 2 т. Т.2 / Ж. Макс. М.Мир, 1983. - 568с.

39. Турчин В.Ф. Использование методов математической статистики для решения некорректных задач / В.Ф. Турчин, В.П. Козлов, М.С. Малкевич // Успехи физических наук. -1970. -№102, вып.З. -С.348-385.

40. Salakhov M.Kh. Treatment and interpretation of experimental data in applied spectroscopy / M.Kh. Salakhov // Spectrochim. Acta Rev. -1993. -Vol.5, N.6. -P.399-476.

41. Грачев И.Д. Статистическая регуляризация при обработке эксперимента в прикладной спектроскопии / И.Д. Грачев, М.Х. Салахов, И.С. Фишман. Казань: Изд-во Каз. Ун-та, 1986, - 186 с.

42. Kharintsev S.S. Inverse problems in the restoration of signal with fractal Gaussian noise in applied spectroscopy / S.S. Kharintsev, R.R. Nigmatullin, M.Kh. Salakhov // Asian J. Spectr. -1999. -Vol.3. -P.49-65.

43. Kharintsev S.S. Solving inverse problems in applied spectroscopy with random fractal noise // S.S. Kharintsev, R.R. Nigmatullin, M.Kh. Salakhov // JQSRT. -2000. -Vol.67, N.3. -P.239-252.

44. Астафьева H.M. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения / Н.М. Астафьева//УФН. 1996.-т. 166, № 11.-С. 1145-1170.

45. Daubechies L. Ten Lectures on Wavelets / L.Daubechies. New York: Academic Press, 1991.-P. 464.

46. Исаев Ю.Н. Конструирование биортогональных и комплексных вейвлет-базисов для обработки оптических изображений / Ю.Н. Исаев // Известия Томского политехнического университета. 2004. - Т.307. -С.34-40.

47. Placidi G. Post-processing noise removal algorithm for magnetic resonance imaging based on edge detection and wavelet analysis / G. Placidi, M. Alecci, A. Sotgin // Phys. Med. Biol. 2003. - Vol.48. -P. 1987-1995.

48. Nason G. The stationary wavelet transform and some statistical applications, in: A. Antoniadis and G. Oppenheim, ed. / G. Nason, B. Silverman // Wavelet and Statistics, Springer Verlag. -1995. -P.281-300.

49. Стаховский И.Р. Вейвлетный анализ временных сейсмических рядов / И.Р. Стаховский // Доклады Академии Наук. -1996. -Т.350, №.3. -С.393-396.

50. Бураков К.С. Вейвлет-анализ вариаций напряженности геомагнитного поля за последние четыре тысячи лет / К.С. Бураков, Д.К. Галягин, И.Е. Начасова, М.Ю. Решетняк, Д.Д. Соколов, П.Г. Фрик // Изв. РАН. Сер. Физика Земли. -1998. -Т.34, №9. -С.83-88.

51. Дремин И.М. Вейвлеты и их использование / Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. // УФН. 2001. - т. 171, №5. - С. 465-501.

52. Mallat S. Singularity detection and processing with wavelets / S. Mallat, W. Hwang//IEEE Trans. Inform. Theory. -1992. -Vol.38, N.2. -P.617-643.

53. Фрик П.Г. Вейвлет-анализ и иерархические модели турбулентности / П.Г. Фрик. -Пермь: Препринт ИМСС УрО РАН, 1992. 40 с.

54. Argoul F. Wavelet analysis of turbulence reveals the multifractal nature of Richardson cascade / F. Argoul, A. Arneodo, G. Grasseau, Y. Gagne, E. Hopfmger, U. Frisch // Nature. -1989. -Vol. 338. -P.51-53.

55. Mallat S. A Wavelet Tour of Signal Processing / S.Mallat New York: Academic Press, 1999. - P. 240.

56. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков: Учеб. пособие / А.П. Петухов. СПб.: Изд-во СПбГТУ. - 1999. - 132 с.

57. Новиков И.Я. Основы теории всплесков / И.Л. Новиков, С.Б. Стечкин. -УМН, 1998. т.53, №6. -С.54. -128.

58. Витязев В.В. Вейвлет-анализ временных рядов: Учеб. пособие / В.В. Витязев. Изд-во С.-Петербургского университета, 2001. - 57с.

59. Chui С. An Introduction to Wavelets / С. Chui. New York: Academic Press, 1992.-412 p.

60. Meyer Y. Wavelets and operators / Y. Meyer. Cambridge: Cambridge University Press, 1993. -224 p.

61. Rioul 0. Fast algorithms for discrete and continuous wavelet transforms / 0. Rioul, P. Duhamel // IEEE Trans. Inf. Theory. -1992. -Vol.38, N.2. -P.569-586.

62. Jawerth B. An overwiew of wavelet based multiresolution analyses // B. Jawerth, W. Sweldens // SIAM Rev. -1994. -Vol.36, N.3. -P.377-412.

63. Mallat S. A theory for the multiresolution signal decomposition: The wavelet representation / S. Mallat // IEEE Pattern Analysis and Machine Intelligence. -1989. -Vol.11, N.7. -P.676-693.

64. Mallat S. Multiresolution approximation and wavelets / S. Mallat // Trans. Amer. Math. Soc. -1989. -Vol.315. -P.69-88.

65. Lawton W. Necessary and sufficient conditions for constructing orthonormal wavelet bases / W. Lawton // J. Math. Phys. -1991. -Vol.32. -P.57-61.

66. Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets / I. Daubechies // Communications on Pure and Applied Mathematics. -1998. -N.41. -P.909-996.

67. Du L. 1 ¡fn Noise separated from white noise with wavelet denoising / Lei Du, Yigi Zhuang, Yong Wu // Microelectronics reliability 2002. - Vol. 42. -P.183-188.

68. Fedi M. Localized denoising filtering using the wavelet transform / M. Fedi, L. Lenarduzzi, R. Primiceri, T. Quarta // Pure appl. geophys. 2000. -Vol.157.-P.1463-1491.

69. Alsberg B.K. Wavelet denoising of infrared Spectra / B.K. Alsberg, A.M.Woodward, M.K.Winson, J. Rowland, D.B.Kell // Analyst. 1997. -Vol.122.-P.645-652.

70. Rieder A. A wavelet multilevel method for ill-posed problems stabilized by Tikhonov regularization / A. Rieder // Numer. Math. 1997. -Vol.75. -P.501-522.

71. Akbaryan F. Smooth representation of trends by a wavelet-based technique / F. Akbaryan, P.R. Bishnoi // Computers and Chemical Engineering. 2000. -Vol.24. -P.1913-1943.

72. Zaroubi S. Coplex denoising of MR data via wavelet analysis: Application for functional MRI / S. Zaroubi, G. Goelman // Magnetic Resonance Imaging. -2000.-Vol.18.-P. 59-68.

73. Barj E.M. Speckle correlation fringes denoising using stationary wavelet transform. Application in the wavelet phase evaluation technique /E.M. Barj, M. Afifi., A.A. Idrissi, K. Nassim, S. Rachafi // Optics & Laser Technology. -2004-Vol.38. -P.506-511.

74. Fligge M. Noise reduction in astronomical spectra using wavelet packets / M. Fligge, S.K. Solanki // Astron. Astrophys. Suppl. Ser. -1997. Vol.124. -P.579-587.

75. Lessard R.W. Wavelet imaging cleaning method for atmospheric Cherenkov telescopes / R.W.Lessard, L.Cayon, G.H.Sembroski, J.A.Gaidos // Astroparticle Physics. -2002. Vol.17, - P.427-440.

76. Rioul O. Wavelets and signal processing / O. Rioul, M. Vetterli // IEEE Signal Processing Magazine. -1991. -Vol.8, N.4. -P. 14-38.

77. Beylkin G. Fast wavelet transforms and numerical algorithms / G. Beylkin, R. Coifman, V. Rokhlin // Comm. Pure Appl. Math. -1991. -Vol.44. -P.141-183.

78. Coifman F.F. Translation-Invariant DeNoising // F.F. Coifman, D.L. Donoho // Lecture Notes in Statistics: Wavelets and Statistics, New York: SpringerVerlag. -1995. -Vol.1. -P.125-150.

79. Donoho D.L. Adapting to unknown smoothness via wavelet shrinkage / D.L. Donoho, I.M. Johnstone // J. Amer. Statist. Assoc. -1995. -Vol.90. -P. 12001224.

80. Constantine W.L.B. Wavelet-based in-band denoising technique for chaotic sequences / W.L.B. Constantine, P.G. Reinhall // International Journal of Bifurcations and Chaos. 2001. - Vol. 11, №2. - P. 483-495.

81. Johnstone I.M. Wavelet threshold estimators for data with correlated noise / I.M.Johnstone, B.W.Silverman // J.R.statist. Soc. B. 1997. - Vol.59. -P.319-351.

82. Adelino R. Ferreira da Silva. Wavelet denoising with evolutionary algorithms/ Adelino R. Ferreira da Silva. // Digital signal processing. 2005. -Vol.15№4. - P.382-399.

83. Abramovich F., Benjamini Y. Adaptive thresholding of wavelet coefficients / F.Abramovich, Y.Benjamini // Computational Statistics & Data Analysis -1996. Vol.22 - P.351-361.

84. Lotric U. Wavelet based denoising integrated into multilayered perceptron / U.Lotric//Neurocomputing.- 2004.-Vol.62 P.179 - 196.

85. Aminghafaria M. Multivariate denoising using wavelets and principal component analysis/ M. Aminghafaria, N. Cheze, J-M. Poggi// Computational Statistics & Data Analysis. 2006. - Vol.50, №9. - P.2381 - 2398.

86. Hou Z. Adaptive singular value decomposition in wavelet domain for image denoising / Z.Hou // Pattern Recognition 2003. - Vol.36. - P.1747 - 1763.

87. Adelino R. Ferreira da Silva. Bayesian wavelet denoising and evolutionary calibration / Adelino R. Ferreira da Silva. // Digital signal processing.-2004. -Vol.14-P.566-589.

88. Sorzano C.O.S. Improved Bayesian image denoising based onwavelets with applications to electron microscopy / C.O.S. Sorzano, E. Ortiz, M. Lypez, J. Rodrigo // Pattern Recognition 2006 - Vol.39 - P. 1205 - 1213.

89. Dufour R.M. Statistical signal restoration with 1// wavelet domain prior models / R.M.Dufour, E.L.Miller // Signal Processing. -1999. -Vol.78. -P.289-307.

90. Bacchelli S. Filtered wavelet thresholding methods / S. Bacchelli., S. Papi // Journal of Computational and Applied Mathematics 2004 - Vol. 164 - P. 3952.

91. Baussard A., Nicolier F., Truchetet F. Rational multiresolution analysis and fast wavelet transform: application to wavelet shrinkage denoising / A. Baussard, F. Nicolier, F. Truchetet // Signal Processing 2004. -Vol.84 -P.1735 - 1747.

92. Yuen S.Y. Fractal dimension estimation and noise filtering using Hough transform / S.Y.Yuen, C.K.Fong, K.L.Chan, Y.W.Leung // Signal Processing. -2004.-Vol.84.-P.907-917.

93. Zhang De S. An implicit method for data prediction and impulse noise removal from corrupted signals / De S. Zhang, H. Wang, D.J. Kouri // International Journal of Modern Physics С 2002,- Vol.13, No. 4 - P.565-583.

94. Ruiz-Medina M.D. Fractional-order regularization and wavelet approximation to the inverse estimation problem for random field / M.D. Ruiz-Medina, J.M. Angulo, V.V.Anh // Journal of Multivariate Analysis. 2003. - Vol.85.1. D 1П1 Olf1. JL . 1 /. I U.

95. Antoniadis A. Regularization of wavelet approximation / A.Antoniadis, J.Fan // Journal of Americal Statistical Association. 2001. -Vol. 96. - P.939-955.

96. Бендат Дж. Прикладной анализ случайных данных / Дж.Бендат, А.Пирсол. М.: Мир, 1989.-540 с.

97. Марпл.-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. / С.Л. Марпл.-мл. М.: Мир, 1990. - 584 с.

98. Qiu L. Wavelet spectrogram of noisy signals / L. Qiu // Int. J. Electronics. -1995. Vol. 79, №5. - P. 665-677.

99. Yisong Dai. The time-frequency analysis approach of electric noise based on the wavelet transform / Yisong Dai // Solid-State Electronics. 2000. - Vol. 44.-P. 2147-2153.101.0'Нейл Э. Введение в статистическую оптику / Э. О'Нейл. М.:Мир, 1966. -256 с.

100. Serva М. Random dynamical systems, entropies and information / M. Serva // Physica A. 2001. - Vol. 290. - P. 243-250.

101. Xinbao Ning. Approximate entropy analysis of short-term HFECG based on wave mode / Xinbao Ning, Yinlin Xu, Jun Wang, Xiaofei Ma // Physica A. -2005.-Vol. 346.-475-483.

102. Rapp P.E. Nonlinear signal classification / P.E. Rapp, T.A.A. Watanabe, P. Faure, C.J. Cellucci // International Journal of Bifurcations and Chaos. -2002.-Vol. 12, №6.-P. 1273-1293.

103. Richardson L.F. The problem of contiguity / L.F. Richardson // Gen. Syst. Yearbook. 1961. -Vol.6. -P. 139-187.

104. Федер E. Фракталы / Е.Федер. M.: Мир, 1991.-254 с. Ю7.Гмурман В.Е. теория вероятностей и математическая статистика / В.Е.

105. Гмурман. 4-е изд. доп. -М.: Высшая школа, 1972. - 368 с.

106. Klocke R.A. Distribution of pulmonary capillary transit times / R.A. Klocke, H.J. Schunemann, B.J. Grant // Am. J. Respir. Crit. Care Med. -1995. -Vol.152.-P.2014-2020.

107. Willis D.M. Statistics of the largest geomagnetic storms per solar cycle / D.M. Willis, P.R. Stevens, S.R. Crothers // Ann. Geophys. 1997. - Vol.15. -P.719-728.

108. Mandelbrot B.B. Fractal Geometry of Nature / B.B. Mandelbrot. San-Francisco: Freeman, 1982. - 486 p.

109. Pallikari F. A study of the fractal character in electronic noise processes / F. Pallikari // Chaos. Solitons and Fractals. 2001. - Vol. 12. - P. 1499-1507.

110. Думский Д.В. Применение вейвлет-анализа в задачах исследования структуры сигналов Дис. канд. физ.-мат. наук: 01.04.03 / Д.В. Думский; СГУ. Саратов, 2005. -114.: ил.

111. Wei G.W. Wavelet generated by using singular convolution kernels / G.W. Wei // J. Phys. A: Math. Gen. 2002. - Vol. 33. - P. 8577-8596.

112. Новиков JI.B. Адаптивный вейвлет-анализ сигналов / Л.В. Новиков // Научное приборостроение. -1999. -Т.9, N.2. -С.8-21.

113. Sevast'yanov А.А. Regularized wavelets for processing non-stationary signals wits a correlated noise / A.A. Sevast'yanov, S.S. Kharintsev, M.Kh. Salakhov //Proc. SPIE.-2003.-Vol.4605.-P. 63-71.