Базисы всплесков в функциональных пространствах

Новиков, Игорь Яковлевич

Базисы всплесков в функциональных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Новиков, Игорь Яковлевич АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2000 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Базисы всплесков в функциональных пространствах»

Автореферат диссертации на тему "Базисы всплесков в функциональных пространствах"

На правах рукописи

УДК 517.518

РГ6 од

1 8 ДЕК 2000

Новиков Игорь Яковлевич

Базисы всплесков в функциональных пространствах

специальность 01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Екатеринбург - 2000

Работа выполнена на кафедре функционального анализа и операторных уравнений Воронежского государственного университета

Официальные оппоненты:

Доктор физ.-мат. наук, профессор Конягин C.B. Доктор физ.-мат. наук, профессор Петухов А.П. Доктор физ.-мат. наук, профессор Черных Н.И.

Ведущая организация - Санкт-Петербургский государственный университет.

Защита состоится 21 декабря 2000 г. в 13 часов на заседании специализированного совета Д 002.07.02 при Институте математики и механики Уральского отделения РАН по адресу: 620219, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16, Институт математики и механики УрО РАН.

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан ноября 2000 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физико-математических наук

ысл. 1}оз В /¿У. te

Бадков В.М.

& /б/.ЧЗ^З

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Всплеском, в самом общем виде, называют определенную на числовой осп функцию ф, имеющую нулевое среднее и достаточно быстрое убывание на бесконечности. Термин всплеск предложен К.И.Осколковым в качестве эквивалента английского термина wavelet (фр. - ondelette), что буквально переводится как маленькая (имеется в виду продолжительность) волна, волночка. Термин всплеск лучше отражает суть дела, так как выше упомянутые свойства означают, что функция ф представляет собой затухающее колебание. Всплески используются или в качестве ядра интегрального преобразования

(И^/)(о,Ь) = тф dt, а, Ь е R, а > 0;

или в качестве генерирующей функции для построения базиса при помощи дилатаций, т.е. сжатий с сохранением нормы п Ь2(П-)

ф3Ц) ф30(t) := 2"2ф(2Ч), j € Z,

и сдвигов

V»jfc(t) := \l>j(t - k2~j) = У'2ф(2Ч -к), к 6 Z.

Теория всплесков лежит на пересечении чистой математики, вычислительной математики, преобразования сигналов и изображений. Всплесковый анализ находит все более широкое применение в различных областях науки, так как он дает более подробную информацию о сигнале, изображении или операторе, чем стандартный анализ Фурье. Интегральное всплесковое преобразование дает одновременно локальную информацию о функции и о ее преобразовании Фурье, причем при анализе высокочастотных составляющих функции локализация более сильная (для повышения точности), а при анализе низкочастотных -локализация более слабая (для получения полной информации). Вспле-:ковые ряды очень удобны для приближенных вычислений, поскольку количество операций, необходимых для вычисления коэффициентов разложения, так же, как и количество операций для восстановления

функции по ее всплесковым коэффициентам, пропорционально количеству отсчетов функции. Перечисленные особенности всплесков делают их очень популярными в самых различных приложениях: при анализе свойств сейсмических и акустических сигналов; при обработке и синтезе различных сигналов, например, речевых; при анализе изображений; для изучения турбулентных полей; для сжатия больших объемов информации и т.д. Важной областью применения всплесков является конструктивное описание различных функциональных пространств и построение безусловных базисов в них.

Данная работа посвящена изучению свойств всплесковых базисов в пространствах дифференцируемых функций и построению новых ор-тонормированных всплесковых базисов с различными дополнительными свойствами.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке грантов РФФИ 95-01-00135, 98-01-00044 и "Университеты России".

Цель работы:

- исследовать аппроксимативные свойства периодических всплесков Мейера в пространстве непрерывных функций;

- построить безусловные базисы всплесков в анизотропных пространствах Бесова и Лизоркина-Трибеля и изучить с их помощью непрерывность псевдодифференциальных операторов, действующих в этих шкалах;

- сконструировать всплески с компактным носителем, сохраняющие локализованность при возрастании гладкости;

- исследовать асимптотику нулей специальных полиномов Бернштей-на, возникающих при построении всплесков с компактным носителем и сохраняющих локализованность при возрастании гладкости;

- построить нестационарные бесконечно дифференцируемые всплески с компактными носителями, изучить их локализованность и их базисные свойства в пространствах Соболева;

Методика исследований. Основными методами исследований являются методы математического анализа и теории функций. Новизна методов состоит:

- в использовании тензорного произведения разномасштабных всплесков для построения базисов в анизотропных пространствах Бесова и Лизоркина-Трибеля;

- в исследовании образов всплесков при действии псевдодифферен-(иальных операторов;

- в применении полиномов Бернштейна для построения масштабиру-эгцих фильтров всплесков с компактным носителем;

- в разработке нестационарного кратномасштабного анализа для :онструирования бесконечно дифференцируемых всплесков с компахт-[ым носителем.

Научная новизна. Основные результаты работы состоят в следу-ощем.

1) Доказано, что периодические всплески Мейера для любого нату->ального к являются ¿-оптимальным базисом пространства непрерыв-1ых функций С(0,1), что является положительным ответом на вопрос 1.Л. Ульянова.

2) Построены безусловные базисы всплесков в анизотропных пространствах Бесова и Лизоркина-Трибеля; как следствие получен безусловный базис в анизотропных пространствах Соболева

5) = (зь...,5п), р€( 1,оо).

3) Доказаны теоремы о непрерывном действии анизотропных псев-^одифференциальных операторов в шкале анизотропных пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля, включающей в себя шкалу анизотропных пространств Соболева.

4) Сконструированы всплески с компактным носителем, сохраняю-цие локализованность при возрастании гладкости.

5) Доказано, что предельными кривыми для нулей специальных по-шномов Бернштейна, возникающих при построении всплесков из тункта 4), являются две лемнискаты, связанные с областью сходимости юлиномов Бернштейна в комплексной плоскости.

6) Построены нестационарные бесконечно дифференцируемые зсплески с компактными носителями, изучена локализованность этих зсплесков и доказано, что они являются безусловным базисом для всех тространств'Соболева одновременно.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использо-заны для дальнейшей разработки теории всплесков, теории аппроксимации, для изучения псевдодифференциальных операторов.

Аппробация работы. Результаты этой работы докладывались

на конференциях: Саратовская зимняя математическая школа п теории функций (1992, 1994, 1998, 2000); Воронежская зимняя матемг тическая школа (1991, 1993, 1995, 1997, 1999); Международная летня научная школа С. Б. Стечкина (1994, 1995, 1997, 1999, 2000); Me» дународная конференция "Теория приближения функций и оператс ров", посвященная 80-летию С. Б. Стечкина (2000); симпозиум "Ряд] Фурье и их приложения" (1999); Крымская осенняя математическа школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам (199( 1991, 1995, 1999); Международная конференция по функциональном анализу, Валенсия, Испания (2000); Международная конференци "Всплески и их приложения", ГУангжоу, Китай (1999); Междунаро; нал конференция "Всплески и кратномасштабный анализ" Гон-Кош Китай (1999); Международная конференция по нелинейному анал! зу сигналов и изображений, Анталия, Турция (1999); Междунаро; нал конференция "Математические вопросы преобразования сигналс и изображений", Институт Г. Пуанкаре, Центр Э. Бореля, Парий Франция (1998); Международный математический конгресс, Берлш Германия (1998); Международная конференция "Геометрические ai пекты анализа Фурье и функционального анализа", Киль, Германи (1998); Международная конференция "Всплески на сфере", универс! тет Потсдама, Берлин, Германия (1996); Международная конференци "Всплески", Берлин, Германия (1995); Международная конференци "Распознавание образов", Иерусалим, Израиль (1994); Междунарог нал конференция "Всплески и их приложения", Сингапур, (1994); Мея дународная конференция по теории аппроксимации, Маратеа, Итал1: (1994); ежегодный конгресс SIAM, Филадельфия, США (1993); Мей дународная конференция, посвященная 70-ти летию профессора Ж П.Кахана, Париж, Франция (1993);

на семинаре В.Б. Демидовича, C.B. Конягина и Б.С. Кашин C.B. Конягина в МГУ (2000); на семинаре О.В. Бесова и Л.Д. Кудря: цева в МИРАНе (1992, 1993); на семинаре С.Б. Стечкина в МГУ (199 19S4); на семинарах Н. Дин (1993,1995) и A.M. Олевского (1995) в Тел; Авлвском университете; на семинаре И. Линденштраусса в Иерусалш ском университете (1993, 1995); на семинарах А. Коэна (1993, 1995) И. Мейера (1995) в Парижском университете; на семинаре Ж. Гарей. Куэрве, университет Аутонома, Мадрид, Испания (1992).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-18], список которых приведен в конце реферата. Из совместных работ диссертацию включены только результаты автора.

Структура и объем работы-Диссертация объемом 214 страниц остоит из пяти глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, одержащего 88 наименований.

Основное содержание работы

Первая глава является вводной. В ней приводятся формулировки сновных результатов, полученных в работе, а также некоторые опре-;еления и обозначения.

В Главе 2 излагаются некоторые факты общей теории всплесков, :спользуемые в работе.

Третья глава посвящена всплесковым базисам в пространствах Бе-ова и Лизоркина-Трибеля.

В § 3.1 изучаются периодические всплески Мейера. Пусть С(0,1) -[ространство 1-периодических непрерывных функций, к - неотрица-'ельное целое число. Базис {я*},^ пространства С(0,1) называется :-оптимальным, если существует константа С, такая, что для произ-¡ольной функции / € С(0,1) и любого т £ N

\\f-sm(f)\\cm<c^+i

■де Sm(f) - m-ая частная сумма разложения / в ряд по {гг-}1ем, ;i(<5>/) ~ *-ый модуль непрерывности /.

Известно, что система Хаара является О-оптимальной, система Фа-¡ера-Шаудера - 1-оптимальна. В работах А. П. Горячева, Ю. Н. Субботина, 3. Чисельского /с-оптимальные базисы были построены для про-гаволыюго к € N. В связи с этим П.Л. Ульяновым в 1974 г. был поста->лен вопрос: существует ли базис пространства С(0,1), являюшийся ¡-оптимальным одновременно для всех целых неотрицательных к?

Периодические всплески Мейера определяются следующим образом:

¡tez

'де фм - всплеск Мейера, j > 0, 0 < г < 2;. И. Мейер доказал, гто функции {7п}^=о образуют ортонормированный базис в LP{0,1), . < р < оо, и в С(0,1).

Основным результатом § 3.1 является

Теорема 1 Система периодических всплесков Мейера {7„}™=0 является к-оптпималъным базисом в С(О,1) для любого неотрицательного целого к.

Целью § 3.2 является построение безусловного базиса в анизотропных пространствах Бесова и Лизоркина-Трибеля. Как следствие получен безусловный базис в анизотропных пространствах Соболева (з) := (¿1,..., 5„), р £ (1, оо). Случай изотропных пространств Бесова рассмотрен П.Ж. Лемари и И. Мейером. Утверждение о базис-ности всплесков Мейера в изотропных пространствах Лизоркина-Трибеля может быть получено методами работы М. Фрезье, Б. Яверса об атомарном разложении, которое аналогично всплесковому.

Конструкция всплесковых базисов в анизотропном случае основана на использовании всплесков Мейера-Давида, которые наиболее отвечают методу декомпозиции для пространств анизотропной гладкости. Всплески Мейера-Давида являются модификацией всплесков Мейера. В них параметр сжатия 2 заменяется произвольным числом Ь вида Ь ~ 1 + 1/Л, где к - натуральное число. Г. Давид построил функции ч/>л(£), такие, что - к), £ г, к е Ъ, образуют ортонор-

мированный базис в £2(В.). Преобразование Фурье всплесков Мейера-Даилда имеет компактный носитель.

В дальнейшем носитель преобразования Фурье функции называется спектром.

Для определения анизотропных пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля используется метод декомпозиции, поэтому все координаты анизотропного вектора гладкости (г) := (^1,..., вп) предполагаются либо одновременно положительными, либо одновременно отрицательными, либо одновременно равными нулю.

Далее используются следующие обозначения: х — (х1,... ,х„) € К";

А - индекс, пробегающий множество натуральных чисел от 1 до п; а = (с*!,..., ап) - мультииндекс, ад € N5

Н:=Еад; Щ := |Е\ - мера Лебега множества Е е Л"; тах{^0}, Ь 6 II1;

Щ - наибольшее целое, непревосходящее £;

знак «С означает неравенство < с некоторой константой;

/ ~ д эквивалентно /€?</;

^ и Р-1 - прямое и обратное преобразования Фурье, / 5,(]1П) - пространство Шварца;

5"(И™) - двойственное к 5 пространство обобщенных функций. При йд Ф 0 число 5 определяется соотношением я-1 = тг"1^^^■, а

грл 5д = 0 пологается равным нулю. Пусть (а) := (а],..., а„) - вектор координатами ад := й/зд при 5^0. При й = 0 все ад пологаются »авными единице. Введем также обозначения: ||а;||а = тах ¡яд!1/"* - анизотропное расстояние; |<*|а = Еадад - анизотропный порядок мультииндекса;

П;:={£е11п: ||£||а<С2>}, ^М; ГХ:=П2; -П^+ДП^ь з> 2,

•де С - произвольная константа.

Пусть {<7.;(О)?0 — последовательность неотрицательных фупкпий г, е С°°{Пп), ] 6 N. таких, что Бирра3 С Г;; |£>£ст-Д0| < са для

нобых мультииндексов а, ] € 14, £ 6 К"; £ <?}(() = 1- Обозначим Цх) :=

Эпределение 1 Анизотропное пространство Лиз оркина- Трибеля 0 < р < оо, 0 < д < оо, - это (квази)банахов о пространство Вункций / С 5"(Г1П), для которых конечна (квази)норма

= (1)

Случай р = оо требует несколько иного подхода, соответствующее щределение приводится в диссертации. .

Путем замены в (1) нормы Ьр(1д) на норму 1Ч{ЬР), определяются пространства Бесова 0 < р,д < оо.

Система всплесков с компактными спектрами является безусловным »азисом в пространствах Бесова и Лизоркина-Трибеля, если пектры функций системы образуют совокупность коридоров, близкую

к {Г,-}, фигурирующей в определении пространств. В изотропном случае это легко достигается за счет тензорных произведений всплесков Мейера. Анизотропная ситуация была бы аналогична изотропной, если бы существовали системы всплесков одной переменной, получающиеся растяжением исходной функции в V раз, j € Z, для любого b > 1. В этом случае искомый безусловный базис получался бы путем тензорного перемножения систем всплесков, которые по переменной х\ имеют показатель растяжениями Ь\. Однако системы всплесков построены только для показателей растяжения b = l + 1/h, /г € N, поэтому приходится конструировать безусловный всплесковый базис в анизотропны* пространствах Бесова и Лизоркина-Трибеля, группируя в блоки всплески Мейера-Давида.

Пусть h - натуральное число, для которого 1 + h~l < mia2°\ Дл*

j = 2,3,... определим числа if как наименьшие из целых чисел, удовлетворяющих неравенствам

loSb С + (j - 1)ад log6 2 - logt г < if + 1 < logj С + jax logb 2 - logbг,

где b := 1 + h~\ r := 2тгЯ2/(1 + 2h).

Пусть далее A> 2, - это множество пар (m,e) n-мерных це лочисленных векторов т и n-мерных наборов знаков е = (ei,..., еп) ед = 0,1;е Ф 0, таких, что координата т\ принимает фиксированно! значение шд = if +1, если ед = 0, и пробегает все значения из множе ства {if + 1,..., lj+i}, если ед = 1. Пусть

л/? := {((#> + 1,...,4п) + 1);(0,...,0))}.

Рассмотрим множества троек n-мерных векторов:

■Mj {(пг, к, е) : (m,e) £ Nf, к € Z71}, j G N; М° := \J М*.

j=1

Пусть V>(fj)(i) - это фи{Ь) при ед = 1 и iph(t) при ед = 0, где i}>h{t) и <ph(t - всплески Мейера-Давида. Рассмотрим всплески

:= п - *£*>),

где m,k е Z", := fcA, если ед = 1; и к^х) :- k^Jh, если ед = 0. Че рез фМ(х) обозначается Voo(z)- Множество {Ф^^к^ем' буде!

1зывать блоком, Фа := и Ф?. Отметим, что

]=1

С! 5ирр^1 сг;иг;+1.

Эти множества образуют коридоры, которые могут с точностью до свивалентности служить основой для определения пространств Р^. Спектры тензорных произведений, состоящих из функций фь, шолняют углы коридора, а спектры произведений, в которых участ-,'гот функции <рь, заполняют параллелепипеды, соединяющие эти углы. Для формулировки теоремы о базисности Фа требуются обозначе-ля:

Р°к := {х е К" : хл € [кхЬ~т*, (кх + 1)Ь~т>)}, 0*у := {х е И" : гд е [их2~а^, (г/д + 1)2-"»')}, := {(т,Л,с) : (т,е) € Щ, к е 7Г, Р£к П ф 0}, з е N. к,ие ъп-

Е - характеристическая функция множества Е, хе '■— \Щ~1^Хе- Па-аллелепипеды Р^к, <2®„ естественно называть а-кубами. Если С? = О,^ а-куб, то хс> = (у\2~а1*,..., - левая нижняя вершина а-куба С}.

аметим, что анизотропное расстояние Ця — у\\а между двумя различ-ыми вершинами х,у а-куба равно 1(С}) := 2~К Таким образом, ¿(ф) мяется аналогом длины ребра изотропного куба. Пусть 0,а := 3 € Г*!, V € 2п} - совокупность а-кубов; если

= то С.я := £,„.

»пределение 2 Пространство 0 < р < оо, 0 < д < оо, - это ъвази)банахово пространство числовых последовательностей := {сд}(з6п, для которых конечна (квази)норма

Заменяя норму ЬР{1Я) на норму 1д(Ьр), получим определение про-гранств 0 < р, д < оо.

2" Е

[ Ю)=2->

4=1

Ниже, в формулировках теорем о безусловном базисе в ^ О < р < оо, 0 < д < оо, и 0 < р, д < оэ для несепарабельного случа рассматриваются замыкания пространства 5'(К") в соответствующи нормах.

В дальнейшем показатель анизотропии пространства а буде произвольным, но фиксированным вектором, поэтому в обозначения ||х||0, Щ, Ф°, Г1а этот индекс писаться не будет. То же самс

касается термина а-куб. Индекс а пишется только в обозначениях аш зотропного порядка мультииндекса во избежание путаницы с обычны порядком.

Основным результатом § 3.2 является следующая теорема.

Теорема 2 А. Ортонормированная система Ф образует безусловнъ базис в 0 < р < оо, 0 < д < оо, т.е. любая функция / £ ^

разлагается в ряд Фурье

№ = £ Е

3=1

причем

I Е \Стк\ I Цт,*:1е)е£<} J дбП

В. Ортонормированная система Ф образует безусловный базис 0 < р < оо, 0 < д < оо, или 1 < д < оо при р = оо, причем нор. / £ эквивалентна

* УЧ

(т,к,е)еСа )

Ь=1 иег™

(т,к,с)еСс>

, <?/р\ ^

с соответствующим видоизменением при р или д равном оо.

Аналогичные теоремы доказаны для пространств а также д однородных пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля.

Известно, что = И^') при 1<р<оои£д>0, где И^'' - прострг ство бесселевых потенциалов при дробных 1\ и пространство Соболе

>и натуральных. Таким образом, построен базис из целых функций :споненциального типа в анизотропных пространствах Соболева.

Целью § 3.3 является изучение действия анизотропных псевдодиф-эренцпальных операторов в шкале анизотропных пространств Ли-¡ркина-Трибеля включающей в себя при 1 < р < оо, д = 2 шкалу [изотропных пространств Соболева.

Известны два подхода к изучению изотропных операторов альдерона-Зигмунда и изотропных псевдодифференциальных опера-зров в шкале пространств дифференцируемых функций. Один из них :нован на идеях Р. Койфмана и Ч. Феффермана об атомарном и мо-¡кулярном разложениях. Атом - это финитная функция, оценив.ио-аяся вместе со своими производными через меру носителя; молекула это функция, которая вместе с несколькими своими производными зстаточно быстро убывает на бесконечности. Для каждой функции з соответствующего пространства строится зависящее от нее нели-эйно семейство атомов, в сумму которых она разлагается (теорема 5 атомарном разложении), затем доказывается, что образ атома при эйствин исследуемого оператора есть молекула, откуда с помощью 20ремы о молекулярном разложении делается вывод о непрерывности тератора. Атомарное разложение выступает в этой схеме как некото-ый ослабленный аналог базисного.

Второй подход к изучению изотропных псевдодифференциальных аераторов, предложенный в работах И. Мейера, Г. Белкина, Р. Кой-1мана, В. Рохлина, опирается на существование в Ьр и пространствах есова безусловных базисов всплесков. Матрица {фд, где Я, <3

диадические кубы, фц - соответствующие им всплески, Т - псевдо-ифференциальный оператор, оказывается почти диагональной, что и беслечивает непрерывность Т.

В диссертации используется второй подход на основе построенного о втором параграфе безусловного базиса состоящего из тензор-ых произведений подобранных соответствующим образом всплесков 1ейера-Давида. Здесь существенную роль играет финитность образов Ьурье элементов базиса. Это позволяет исследовать образы всплесков од действием Т, исходя непосредственно из определения Т - без тра-иционного перехода к интегральному оператору с ядром Шварца. Это е только упрощает доказательства, но и ослабляет условия на символ

далее в изотропном случае.

Определение 3 Обозначим через т € R1, К € NJ

No := N U {0}, 6 £ [0,1], класс функций (символов) Т{х,(), бескс нечно дифференцируемых по первой переменной и К\ раз непреръи но дифференцируемых по £д, таких, что для любых мулътииндексо ß, 7, ßx < К\ и любых х, ( £ R"

\D°D2V(x, Ol < сА1( 1 +

Если Т £ Sто псевдодифференциальный оператор

(Tf)(x) = (2ж)~п J V(x, OF№eixtdZ, f £ S(R"),

называется оператором класса анизотропных псевдодиффереi игольных операторов (АПДО) , (Т £ АПДО

Доказательство непрерывности оператора класса АПДО в iHKaj пространств Fjjjp основано на понятии почти диагонального матричш го представления этого оператора по базису Ф.

Определение 4 Пусть 0 < р < оо, 0 < q < оо, <тд := йд(1 — m/s 6 > 0, m £ R1. Оператор А с матрицей {адя}с?,яеГ! назовем почп диагональным из /W в если

1аед1 ^

sup -< оо,

<?,Д€П UQR

где

uqr := щн(*,т,6) := l(Qy-ml(R)~sx

х fi 4- ^min ( fИ31)Ф (Ш)^

х ЦТ таx{1(R),«Q)}J т1П I ' [l(Q)J

Теорема 3 Почти диагональный оператор А : —► f^ ограниче

При т = 0 и ад = 1 (изотропный случай) данная теорема доказаз Г. Белкиным, Р. Койфманом, В. Рохлиным.

Центральным моментом в доказательстве почти диагональности м тсичного оператора А, соответствующего псевдодпфференциальнс»

оператору 2"1, является следующее утверждение, характеризующее убывание на бесконечности образа всплесков при действии оператора Т. Через rfiR, R € CI, обозначаются функции вида где

(m,k,e)e£R.

Теорема 4 Если V £ и К :— {К\,..., - мулътииндекс, для

которого

Кх =Ä"i(mod4), Л = 2,3,...,п, тт/Сдад > п, то для любого R £ О, и любого мулътииндекса у

\ЩТфф)\ « (l + """,

где а := mmK\ax — п.

Следующие утверждения являются центральными результатами § 3.3.

Теорема 5 Пусть Т € АПДО и Кх = Ki(mod4) <?ая любого

А = 1,...,п. Тогда при m < s и гшп^Гдад > п оператор Т может

быть расширен до непрерывного оператора, действующего из Fj^1 в Fjg\ где 1 < р,q < оо, min{p, g} < оо и координаты вектора (о) вычисляются по формулам сгд = $д(1 — m/s).

Если же т > s и пип Кдад > тг + [ттг — s], то утверждение справедливо при дополнительном предположении, что символ оператора не зависит от пространственной переменной V(x,£) =

Требование V(x, £) = 7>(£) в последней теореме (случай т> s) сужает область ее.применения. Это условие можно заменить на требование Т'(х~') = 0 для всех мультииндексов 7 с | -у| < L, где L € No таково, что ^ min ^ |7|а > тп — s. Однако оно даже в простейшем случае п = 2, Т = ^ (L = 0), аг < ai выполнено только, если а2 > ai — s. Последнее условие является искусственным. Следующая теорема - это попытка избавиться от этого ограничения.

Теорема 6 Пусть задан дифференциальный оператор

С>Гл

Т := Есл^^гГ, сА eL0с, А = 1,2,...,п.

Тогда Т : -* где стА sa(1 - m/s), m тахГлал.

Из этих теорем вытекают, например, следующие соотношения. Для простоты положим п — 2 :

дх\ дх\

Dh ■= д--

ох

дх\

РЯ

ХТЧ

* VI

(в1-хЛ-а) Грд >

Гаг

cpq

,«2-2)

■Рта

В<7 1

s2 > 2sb

S2 < 2sj, s2 -- 2^1.

Причем, эти соотношения точны в том смысле, что ни одна координата вектора гладкости пространства образов увеличена быть не может.

Четвертая глава посвящена модификации конструкции И. Добеши всплесков с компактным носителем. Пусть , N £ N - последовательность масштабирующих функций для всплесков Добеши {^¿^Ьег, кег, т.е. Р<р°'ы(ш) :— Д Недостатком всплесков

Добеши является ухудшение локализованности с повышением гладкости, что связано с тем, что

Кт| - М£2(к) = О,

где <£>5 - масштабирующая функция всплесков Шеннона-Котельникова:

<fS(t) :=

sin TTt ~7пГ'

F<ps{u)

■{i

M < 7г;

M > 7Г-

В отличии от классических, масштабируюгцие функции модифицированных всплесков с повышением гладкости аппроксимируют по норме Ь2(И) масштабирующую функцию Мейера.

Первый параграф Главы 4 посвящен описанию конструкции модифицированных всплесков Добеши. Пусть a G (0,1), /a(i) - бесконечно-дифференцируемая неотрицательная функция на [—1,1], равная 0 при t € [—1, —а] и удовлетворяющая тождеству

fa(t) + /«(-*) = 1, *е[-1,1].

Обозначим через

V 2 /V 2

мономы С.Н. Бернштейна на отрезке [—1,1], ¿л^ := ' = 0,1, ...,ЛГ.

Рассмотрим тригонометрические полиномы с действительными коэффициентами

, 2ЛГ-1

т%(ш) = 2~1'2 £ N € N.

/=о

удовлетворяющие уравнению

|т^И|2 = В^-^сози), т%( 0) = 1,

где !%(£) := Е fa(tк,l)bfí(t)■ Полиномы В% - это полиномы С.Н.Берн-штейна, приближающие функцию /й. Полином тп^ существует в силу леммы Рисса.

Определим функции п •г/,а,Л' через образы Фурье:

оо

= П^И"'), 1=1

_ оо

и) = е~1ш/2т%(ш/2 + тг) П т%(и2"'), и € К.

г=2

Основным результатом § 4.1 является

Теорема 7 Вели а < 1/2, то всплеск порождает в Ь2(Л) орто-нормир ованный базис

Кроме того, существует константа ц > 0 такая, что ipa'N, Va,iv n е N, где

Са :={f: J /И(1 + \w\)a<bj <00}, а > О.

В § 4.2 доказывается, что масштабирующие функции модифицированных всплесков Добеши аппроксимируют по норме L2(R) масштабирующие функции Мейера.

В § 4.3 исследуется локализованность модифицированных всплесков И. Добеши. Дело в том, что базисные свойства всплесков в пространствах, отличных от Z2(R), зависят от локализации масштабирующей функции <р и ее преобразования Фурье Ftp. Время-частотная локализация функции у? характеризуется при помощи радиуса автокорреляционной функции Ф:

Ф(£) := J y>(s)v{s - t) ds,

который определяется формулой

ДФ Ut2\${t)\2dt j f |$(i)|2di

IR. H.

а также при помощи радиуса преобразования Фурье Ф :

Д5 := | /а;2 // |Ф(и;)|2 du

[К ' R

Произведение этих радиусов'называется константой неопределенности ф'

Недостатком всплесков И.Добеши является ухудшение локализован-ности с возрастанием гладкости. Пусть Ф°'М - автокорреляционная функция масштабирующей функции соответствующей

всплеску %j)D'N. Ш. Чуй и Ж. Вонг доказали, что

lim I\F^N - xi-^iIIl, - 0, 1 < р < оо;

iv—*оо '

lim Дс-лл.лг > "тг;

N-* 00 i5? —Vi'

lim A$d,n = 00. W-» 00 v

Следовательно,

lim Аf$d,nA$d,n — оо.

N—»oo

Центральным результатом § 4.3 является оценка констант неопределенности модифицированных всплесков Добеши равномерно по параметру N, определяющему их гладкость.

Определим масштабирующую функцию И. Мейера ipM, используя функцию /а :

F<p"(w) := \J/Q(cos(u;/2))x[-27r,27r](w)-

Автокорреляционные функции для масштабирующих функций Мейера и модифицированных всплесков Добеши обозначим следующим образом:

Фм(г) := / ^{s)ifiM{a-t) ds, R

Фа-»(ь) := I <pa>N(s)<pa>N(s - t) ds.

Теорема 8 Пусть а < и функция fa удовлетворяет условуям

(/«)"(*) >0 пРи (/«)"(*) ^0 пРи

(fa)'{t) < C\jfa{t) для некоторой константы С,

то

lim \\F- F$M\\r = О, 1 < р < оо;

Лт—»оо

lim Арфа.я •=

Л'—»oo

jimA*.,* < ^¡^ и, следовательно,

,• А А 4CAF3,M

lim < —f=-.,, ,,,, < оо.

Четвертый параграф главы 2 посвящен изучению асимптотики нулей специальных полиномов Бернштейна, используемых для построения модифицированных всплесков Добеши. Эта информация нужна для нахождения масштабирующих коэффициентов. Аналогичная задача для классических всплесков Добеши исследовалась в статьях Д. Ка-теба, П. Ж. Лемари-Рюссе, Ж. Шена, Г. Стренга, Н. М. Темме.

Пусть

1=0

'4 Ь I

- полиномы Бернштейна, приближающие на [0,1] кусочно-линейную функцию

' 1, ье [о, 1];

т ■■=

.0, <е(|,1].

Отрезок [—1,1], соответствующий определению масштабирующих фильтров, заменен на отрезок [0,1] для сокращения обозначений.

Теорема 9 Все корни полиномов Вь, Ь Е N. неравные 1, лежат вне круга |г - ||| <

Обозначим через С\ и £2 Две лемнискаты А := | х :

X 1/4 1 -ГГ 3/4 1 £2 := <£ : X 3/4 1 - Ж

1/4 3/4 -1' 3/4 1/4

1/4

= 1 .

Пусть а\ н /?1 - области соответственно внутри левой и правой петель лемнискаты С\\ аг и /32 - тоже для £2 :

<*1

А := {х : а>2 :— :

X ¡1/4 |1/4 Н-х I 374 |3/4

| X \ |1/4| |1/4 к-*! 1 3/4 | ¡3/4

X ¡3/4 |3/4 \т]1 |1/4

X ;3/4| [3/4 [1—аг I | 1/4 ] |1/4

< 1 < 1 < 1 < 1

Иех < 1/41; Лег > 1/4|; 11е:г < 3/4|; Лея > 3/4|.

Теорема 10 Нули полиномов Вь(х), Ь £ лежащие внутри круга {г : < 1/4}, удовлетворяют неравенству

X 1/4 1-Х

1/4 3/4

3/4

> а(Ь),

\де

аЩ= Ы 123Х

к > Т*(Ь)Т*{ЪЬУ

Г - гамма-функция.

3/(121/4-4)

Тегко видеть, что а(Ь) \ 1 при Ь —» оо.

Зафиксируем произвольное 5 > 0 н рассмотрим область

скгд :=а2П {к - > {^еж < .

Георема 11 Пусть 8 > О, Ь € N. Тогда расстояние от любого нуля голинома В^х), содержащегося в аг,1, до кривой

А,ь

I :

X 1/4 1-Х

1/4 3/4

3/4 1

*е превосходит с(6)Ь

(2)

-2

Аналогичные теоремы доказаны для области Ие х > 1 /4.

Полученные результаты показывают, что предельной кривой для корней полиномов € К, неравных 1, являются часть лемнискаты £\, расположенная внутри аг, и часть лемнискаты С2, расположенная внутри и вне окружности |а; — ||| = На рисунке точками изображены корни полинома и вышеперечисленные лемнискаты и окружность.

Пятая глава диссертации посвящена нестационарным бесконечно дифференцируемым всплескам с компактным носителем.

'Нестационарные всплески {Ф)к}],кеъ так же> как и стационарные, шляются сдвигами на 2_; функций фjо, однако последние не предпо-гагаются сжатиями фиксированной функции т/>оо. Это понятие было шедено независимо автором в 1992 г. и К. де Бором, Р. ДеВором,

Роном в 1993 г.

За счет более слабых ограничений нестационарные всплески могут обладать свойствами, недопустимыми в стационарной ситуации. Например, известно, что не существует стационарных ортогональных бесконечно дифференцируемых всплесков с компактным носителем. Однако это оказывается возможным в нестационарной ситуации.

Первый параграф Главы 5 посвящен изложению некоторых общих фактов о нестационарных всплесках. Здесь получен нестационарный аналог результата Г. Грипенберга, описывающий нестационарные всплески в терминах преобразований Фурье. Кроме этого вводится понятие нестационарного кратномасштабного анализа (НКМА) и доказывается теорема о построении нестационарных всплесков на основе НКМА.

В §§ 5.2 - 5.4 приводится конструкция и свойства нестационарных ортонормированных бесконечно дифференцируемых всплесков с компактным носителем. При этом длина носителя генератора j-го уровня в этой системе отличается от соответствующей величины в стационарной ситуации на произвольно медленно растущий к бесконечности множитель.

Основным результатом этих параграфов является

Теорема 12 Пусть {T(iY)}^=1 - произвольная последовательность натуральных чисел таких, что

lim T(N) = оо, T(N) < T(N + 1) < T(N) + 1, T( 1) = 1.

Тогда существует система

Ф:={у>ок, Фц, j,kez, j> 0}

со следующими свойствами:

i) Ф - ортонормированный базис в L2(R); ¿0 4>Qk{t) = <Poo(í - к)\

= rl>j0(t - к2->); t € R; j, к e Z, j > 0;

iii) Ф С C°°(R);

iv) supp <poo С [0,2T(1) + 1];

supp С [-(T{j + 1) - 1)2-', (T(j + 2) + l)2->], j € Z, j > 0.

В § 5.5 изучаются константы неопределенности нестационарных всплесков, построенных в § 5.2. Дело в том, что для стационарных всплесков константа неопределенности произвольного элемента одна и та же, так как все функции получаются путем сжатия и сдвига одной фиксированной. В нестационарном случае это свойство не сохраняется и необходимо оценить константы неопределенности для последовательности масштабирующих функций. Оказывается, что для нестационарных всплесков, построенных с использованием классических масштабирующих фильтров Добеши, константы неопределенности неограни-чены.

Пусть j = 0,1,2,..., - последовательность автокорреляционных функций для нестационарных масштабирующих функций <pj, построенных при помощи классических фильтров Добеши. Технически удобнее оценивать константы неопределенности автокорреляционных функций, приведенных к нулевому масштабу: Ф°(£) := Ф;(2~-'1).

Теорема 13

lim ЦФ^ — xi-K,ir]\\Lp — Oi 1<р<оо, liminf Д(Ф}) > lim Д(Ф?) = оо

J-»00 J

и следовательно,

Hm Д(Ф?)Д(Ф°) = оо.

Неограниченность констант неопределенности нестационарных всплесков, построенных на основе фильтров Добеши, устраняется при использовании модифицированных фильтров Добеши. Параграфы 5.6 и 5.7 посвящены построению и свойствам таких нестационарных всплесков.

Пусть Ф® — последовательность автокорреляционных функций для нестационарных масштабирующих функций построенных при помощи модифицированных фильтров. Константы неопределенности опять оцениваются для автокорреляционных функций, приведенных к нулевому масштабу: := Ф?(2~Ч); ipM обозначает масштабирую-

щую функцию Мейера, а Фм - ее автокорреляционную функция.

Теорема 14 Пусть а < и функция /а удовлетворяет условиям

(/а)"(*) > 0, если Ь < 0, (/<*)"(*) ^ если * > (/а)'(0 ^ для некоторой константы С,

lixn ||Ф*° " -F^lk =0, 1 < р < оо; j—>00 J r

lim Д(Фf) = A{F$M)\

j-,00 v J ; v í > - ij^Mjj

j-oo -----

tx следовательно,

< со.

Последний параграф Главы 5 посвящен доказательству того, что нестационарные бесконечно дифференцируемые всплески с компактным носителем образуют безусловный базис во всех пространствах Соболева одновременно.

Теорема 15 Системы Ф := {уоь V'jb J^eZ, j > 0} ti Фа := {í^oit, V'jjti УД £ Z, j > 0} являются безусловными базисами во всех пространствах Соболева > 0, одновременно. Еслг функция

/0е) = Е - fc) + Е djjrf>jAx) =

ke z j>o,kez

= £<&,»(*-*) + £

Aez j>0M2

принадлежит то ее всплесковые ряды сходятся в дм

О < s < г и имеет место эквивалентность

\\f\\2r ~ Е Ы2 + Е 22rjfe|2 ~ Е \4\2 + Е 22rj]^|2. * j,k k j,k

Более того, Pjf - /||, 0 и 2>(r"*)||P// - /||, 0 при j +о<

для любой f € Pj и Pj ортогональные проекторы из 1? т

j-oe подпространство соответствующего нестационарного кратю масштабного анализа.

Список основных публикаций по теме диссертации

[1] Новиков И.Я. Нестационарные бесконечно дифференцируемые всплески с компактными носителями и равномерно ограниченными константами неопределенности. Вестник Воронежского госуниверситета. Серия физика, математика. 2000. Вып. 1. С. 132-142.

[2] Новиков И.Я. Асимптотика нулей полиномов, связанных с модифицированными всплесками Добеши. Труды математического факультета (новая серия). Воронеж: ВГУ. 1999. N 4. С. 62-71.

[3] Новиков И.Я. Nonstationary orthonormal infinitely differentiable compactly supported wavelets with uniformly bounded uncertainty constants. // Self-Similar Systems. Dubna: Joint Institute for nuclear research. 1999. C. 110-115.

[4] Новиков И.Я. Всплески (краткий обзор основ теории). // Материалы 12-ой Сибирской Школы, Новосибирск, 18-23 Июля, l'J98. Новосибирск: Изд-во института математики им. C.JÏ. Соболева, 1999. С. 92-111.

[5] Новиков И.Я. Константы неопределенности для модифицированных всплесков Добеши. Изв. Т^л.гос.ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: ТУлГУ, 1998. Т. 4, вып. 1. С. 107-111.

[6] Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков. Успехи ма-тем. наук. 1998. Т. 53, 6. С. 53-128.

[7] Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основные конструкции всплесков. Фундаментальная и прикладная математика. 1997. Т. 3, вып. 4. С. 999-1028.

[8] Новиков И.Я., Семенов Е.М. Haar Series and Linear Operators. Se^-ries: Mathematics and its applications (Kluwer Academic Publishers): V. 367. 1996. 218 p. (Главы 5, 6, 8, 9, 10, 15, 16 написаны Новиковым И.Я. Главы 1-4, 7, 11-14, 17 - Семеновым Е.М.)

[9] Новиков И.Я. Modified Daubechies wavelets preserving localizator with growth of smoothness. East Journal on Approximation. 1995 V. 1, N 3. P.341-348.

[10] Берколайко M.3., Новиков И.Я. Базисы всплесков и линейные one раторы е анизотропных пространствах Лизоркина-Трибелк. Тру ды МИР АН. 1995. Т. 210. С. 5-30. (Теоремы 1, 2, 3,4 (случай m < s) 5, 6 доказаны Новиковым И.Я. Случай m > s в Теореме 4 доказа! Берколаико М.З.).

[11] Берколаико М.З., Новиков И.Я. Базисы всплесков и линейные one раторы в анизотропных пространствах Лизоркина-Трибеля. До клады РАН. 1995. Т. 340, 5. С. 583-586. (Теоремы 1, 2, 3 (oiynai m < s), Следствие 2 доказаны Новиковым И.Я. Случай то > s i Теореме 3 и Следствие 1 доказаны Берколайко М.З.)

[12] Берколайко М.З., Новиков И.Я. О бесконечно гладких почти всплесках с компактным носителем. Матем. заметки. 1994 Т. 56, 3. С. 3-12. (Леммы 1-6,8 и Теорема доказаны Новиковым И.Я Лемма 7 доказана Берколайко М.З.)

[13] Берколайко М.З., Новиков И.Я. Образы всплесков при действи операторов свертки. Матем. заметки. 1994. Т. 55, 5. С. 13-24. (Tt орема 1 доказана Новиковым И.Я., Теорема 2 - Берколайко М.З.

[14] Новиков И.Я. On the construction of non-stationary orthonormal ir finitely differentiable compactly supported wavelets. Functional diffci ential equations, Israel seminar. 1994. 2. C. 145-156.

[15] Берколайко M.3., Новиков И.Я. Безусловные базисы в npocmpai ствах функций анизотропной гладкости. Труды МИР АН. 1991 Т. 204. С. 35-51. (Теоремы 1, 2, 3 (неоднородный случай) доказан Новиковым И.Я. Теоремы 1', 2', 3' (однородный случай) доказан Берколайко М.З.)

[16] Берколайко М.З., Новиков И.Я. О бесконечно гладких почтi всплесках с компактным носителем. Докл. РАН. 1992. Т. 326, С. 935-938. (Леммы 1-3, 5, 6 и Теорема доказаны Новиковым HJ Лемма 4 доказана Берколайко М.З.)

17] Берколайко М.З., Новиков И.Я. Базисы всплесков в пространствах дифференцируемых функций анизотропной гладкости. Докл. РАН. 1992. Т. 323, 4. С. 615-618. (Теоремы 1, 2 (неоднородный случай) доказаны Новиковым И.Я. Теоремы 1, 2 (однородный случай) доказаны Берколайко М.З.)

18] Новиков И.Я. Онделетты И. Мейера - оптимальный базис в С(0,1). Матем. заметки. 1992. Т. 52, 5. С. 88-92.

Заказ №Шот О. И- 2000 г. Тир.ЮО экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ.

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, доктора физико-математических наук, Новиков, Игорь Яковлевич, Воронеж

Воронежский государственный университет

1ь оз лт/

На правах рукописи

)Ш - й1Ш4 р _ УДК 517.518

Новиков Игорь Яковлевич

Базисы всплесков в функциональных пространствах

специальность 01.01.01 - математический анализ

Диссертации

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Кз

Воронеж - 2000

Содержание

1 Введение 4

1.1 Общая характеристика работы..............................4

1.1.1 Актуальность темы....................................4

1.1.2 Цель работы............................................5

1.1.3 Научная новизна ......................................6

1.2 Основное содержание работы................................8

1.3 Определения и обозначения..................................28

2 Некоторые факты общей теории всплесков, используемые в работе 30

2.1 Стационарные всплески и существование масштабирующей функции....................................................30

2.2 Кратномасштабный анализ в Ь2(И) .......: . . . . 31

2.3 Регулярные КМА в Ь2{К)....................................40

2.4 Система Уиттакера-Шеннона-Котельникова ..............41

2.5 Всплески Мейера..............................................43

2.6 Ортогональные всплески с компактным носителем ... 44

2.7 Константы неопределенности................................51

2.7.1 Соотношения между радиусами масштабирующего фильтра и масштабирующей функции..........53

3 Безусловные базисы всплесков в пространствах Лизоркина-Трибеля и Бесова 60

3.1 Оптимальные базисы в пространстве С(0,1)..............60

3.2 Безусловные базисы всплесков в анизотропных пространствах Бесова и Лизоркина-Трибеля..............63

3.2.1 Определения и предварительные сведения..........64

3.2.2 Конструкция всплескового базиса..................70

3.2.3 Эквивалентные нормы в пространствах В и ^ . . 75

3.2.4 Основные результаты и комментарии..............75

3.2.5 Доказательства........................................85

3.3 Базисы всплесков и линейные операторы в пространствах Лизоркина-Трибеля............................................94

3.3.1 Введение................................................94

3.3.2 Определения и предварительные сведения..........96

3.3.3 Формулировки результатов и комментарии .... 97

3.3.4 Доказательства........................................99

4 Модифицированные всплески Добеши, сохраняющие ло-кализованность с возрастанием гладкости 122

4.1 Описание конструкции..........................................122

4.2 Предельное поведение модифицированных

всплесков........................................................129

4.3 Константы неопределенности для модифицированных всплесков Добеши..............................................132

4.4 Минимальные константы неопределенности

для фильтров простейшей модификации и для классических фильтров Добеши........................................139

4.5 Асимптотика нулей полиномов Бернштейна, используемых в построении модифицированных всплесков Добеши 141

4.5.1 Введение................................................141

4.5.2 Расположение нулей полиномов Бернштейна ... 143

4.5.3 Вспомогательные результаты........................149

5 Нестационарные всплески 157

5.1 Общая теория нестационарных всплесков..................157

5.2 Нестационарные бесконечно дифференцируемые орто-нормированные всплески с компактным носителем . . . 168

5.3 Построение системы Ф........................................170

5.4 Свойства системы Ф...................................174

5.5 Константы неопределенности для Ф........................180

5.6 Нестационарные всплески с модифицированными фильтрами Добеши..................................................187

5.7 Свойства системы Фа..........................................190

5.8 Константы неопределенности для Фа........................191

5.9 Базисы нестационарных всплесков в пространствах Соболева ............................................................196

1 Введение

1.1 Общая характеристика работы 1.1.1 Актуальность темы

Всплеском, в самом общем виде, называют определенную на числовой оси функцию ф, имеющую нулевое среднее и достаточно быстрое убывание на бесконечности. Термин всплеск предложен К.И. Осколковым в качестве эквивалента английского термина wavelet (фр. - ondelet-te), что буквально переводится как маленькая (имеется в виду продолжительность) волна, волночка. Термин всплеск лучше отражает суть дела, так как выше упомянутые свойства означают, что функция ф представляет собой затухающее колебание. Всплески используются или в качестве ядра интегрального преобразования

(И^/)М) = /R/WV> dt, а, Ъ € R, а > 0;

или в качестве генерирующей функции для построения базиса при помощи дилатаций, т.е. сжатий с сохранением нормы в L2(R)

:= ф,o(t) := 2''/fy(2>'t), j <= Z,

и сдвигов

:= ф^ - k2~j) = 2^2ф(2Н - к), ке Z.

Теория всплесков лежит на пересечении чистой математики, вычислительной математики, преобразования сигналов и изображений.

Простейшим примером всплесков нулевой гладкости являются функции Хаара [Нааг]. Бесконечно дифференцируемые всплески, убывающие на бесконечности как 1/х, рассмотрены X. Трибелем [Triebel 77]. Экспоненциально убывающие всплески изучены Ж.-О. Стрембергом [Stromberg] (см. также [Meyer 88]), П.Ж. Лема-ри [Lemarie 88] и Г. Бэтлом [Battle]. В работе [Meyer 87] И. Мейер построил бесконечно дифференцируемый всплеск с компактным спектром. И. Добеши сконструировала всплески любого конечного порядка гладкости с компактным носителем [Daubechies 88]. Единый подход к построению систем всплесков предложен С. Малла [Mallat].

Всплесковый анализ находит все более широкое применение в различных областях науки, так как он дает более подробную информацию о сигнале, изображении или операторе, чем стандартный анализ Фурье. Интегральное всплесковое преобразование дает одновременно локальную информацию о функции и о ее преобразовании Фурье, причем при анализе высокочастотных составляющих функции локализация более сильная (для повышения точности), а при анализе низкочастотных - локализация более слабая (для получения полной информации). Всплесковые ряды очень удобны для приближенных вычислений, поскольку количество операций, необходимых для вычисления коэффициентов разложения, так же, как и количество операций для восстановления функции по ее всплесковым коэффициентам, пропорционально количеству отсчетов функции. Перечисленные особенности всплесков делают их очень популярными в самых различных приложениях: при анализе свойств сейсмических и акустических сигналов; при обработке и синтезе различных сигналов, например, речевых; при анализе изображений; для изучения турбулентных полей; для сжатия больших объемов информации и т.д. Важной областью применения всплесков является конструктивное описание различных функциональных пространств и построение безусловных базисов в них.

1.1.2 Цель работы

- исследовать аппроксимативные свойства периодических всплесков Мейера в пространстве непрерывных функций;

- сконструировать всплески с компактным носителем, сохраняющие локализованность при возрастании гладкости;

- исследовать асимптотику нулей специальных полиномов Бернштейна, возникающих при построении всплесков с компактным

носителем и сохраняющих локализованность при возрастании гладкости;

- в исследовании образов всплесков при действии псевдодифференциальных операторов;

- в применении полиномов Бернштейна для построения масштабирующих фильтров всплесков с компактным носителем;

- в разработке нестационарного кратномасштабного анализа для конструирования бесконечно дифференцируемых всплесков с компактным носителем.

1.1.3 Научная новизна

Основные результаты работы состоят в следующем.

1) Доказано, что периодические всплески Мейера для любого натурального к являются /с-оптимальным базисом пространства непрерывных функций С(0,1), что является положительным ответом на вопрос П.Л. Ульянова.

(з) = Р<Е(1,оо).

3) Доказаны теоремы о непрерывном действии анизотропных псевдодифференциальных операторов в шкале анизотропных пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля, включающей в себя шкалу анизотропных пространств Соболева.

4) Сконструированы всплески с компактным носителем, сохраняющие локализованность при возрастании гладкости.

5) Доказано, что предельными кривыми для нулей специальных полиномов Бернштейна, возникающих при построении всплесков из Пункта 4), являются две лемнискаты, связанные с областью сходимости полиномов Бернштейна в комплексной плоскости.

6) Построены нестационарные бесконечно дифференцируемые всплески с компактными носителями, изучена локализованность этих всплесков и доказано, что они являются безусловным базисом для всех пространств Соболева одновременно.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории всплесков, теории аппроксимации, для изучения псевдодифференциальных операторов.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 18 работах, перечисленных в списке литературы. Из совместных работ в диссертацию включены только результаты автора.

Аппробация. Результаты докладывались на различных семинарах и конференциях, например: на семинарах В. Б. Демидовича и С. В. Ко-нягина и Б. С. Кашина и С. В. Конягина в МГУ (2000); на семинаре С. А. Теляковского в МИРАНе (2000); на семинаре О. В. Бесова и Л. Д. Кудрявцева в МИРАНе (1992, 1993); на семинаре С. Б. Стечкина в МГУ (1993, 1994); на семинарах Н. Дин (1993, 1995) и А. М. Олевского (1995) в Тель-Авивском университете; на семинаре И. Линденштраус-са в Иерусалимском университете (1993, 1995); на семинарах А. Коэна (1993, 1995) и И. Мейера (1995) в Парижском университете; на семинаре Ж. Гарсиа-Куэрве, университет Аутонома, Мадрид, Испания (1992).

Структура и объем работы. Диссертация объемом 214 страниц состоит из пяти глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содержащего 88 наименования.

1.2 Основное содержание работы

Во введении приводятся формулировки основных результатов, полученных в работе, а также некоторые определения и обозначения.

В Главе 2 излагаются некоторые факты общей теории всплесков, используемые в работе.

Третья глава посвящена всплесковым базисам в пространствах Бесова и Лизоркина-Трибеля.

В § 3.1 изучаются периодические всплески Мейера. Пусть С(0,1) - пространство 1-периодических непрерывных функций, к - неотрицательное целое число. Базис {íc¿}¿€n пространства С(0,1) называют fc-оптимальным, если существует константа С, такая, что для произвольной функции / € С(0,1) и любого т Е N

\\f - SM)\\c(o¿) < Сшш f),

где Sm(f) - m-ая частная сумма разложения / в ряд по /) ~ ¿-ый модуль непрерывности /. Известно, что система Хаара является О-оптимальной [Алексич], система Фабера-Шаудера - 1-оптимальна [Ciesielski 59], [Матвеев]. В работах [Горячев 73], [Субботин], [Ciesielski 75] ¿¡-оптимальные базисы были построены для произвольного к £ N. В [Горячев 74, с.10], [Ульянов 89, с.277] Ульяновым П.Л. поставлен вопрос: существует ли базис пространства С(0,1), являющийся А;-оптимальным одновременно для всех целых неотрицательных к?

Периодические всплески Мейера определяются следующим образом:

70« := 1, 72i+rW := У'2 £ ФМ(^ + ^к - г),

kez

где фм - всплеск Мейера, j > 0, 0 < г < 2J. И. Мейер доказал, что функции {7n}£Lo образуют ортонормированный базис в Lp(0,1), 1 < р < оо, и в С(0,1) [Meyer 87].

Основным результатом § 3.1 является

Теорема 1.1 Система периодических всплесков Мейера {7w}£Lo является k-оптималъным базисом в С(0,1) для любого неотрицательного целого к.

Целью § 3.2 является построение безусловного базиса в анизотропных пространствах Бесова и Лизоркина-Трибеля. Как следствие получен безусловный базис в анизотропных пространствах Соболева s = (si,...,sn), р G (1,оо). Случай изотропных пространств Бесова рассмотрен П.Ж.Лемари и И.Мейером [LM]. Утверждение о базисности всплесков Мейера в изотропных пространствах Лизоркина-Трибеля может быть получено методами статьи М. Фрезье, Б. Яверса об атомарном разложении, которое аналогично всплесковому [FJ].

Конструкция всплесковых базисов в анизотропном случае основана на использовании всплесков Мейера-Давида, которые наиболее отвечают методу декомпозиции для пространств анизотропной гладкости. Всплески Мейера-Давида являются модификацией всплесков Мейера [Meyer 87]. В них параметр сжатия 2 заменяется произвольным числом b вида 6=1 + 1/h, где h - натуральное число. Г.Давид построил функции iph{t)i такие, что bi^ifthfot — j G Z, к G Z, образуют ортонормированный базис в L2(R). Преобразование Фурье всплесков Мейера-Давида имеет компактный носитель.

В дальнейшем носитель преобразования Фурье функции будем называть спектром.

Для определения анизотропных пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля используется метод декомпозиции (см., например, [Трибель, Гл. 10], [Берколайко 87]). Поэтому все координаты вектора (5) (sb... ,sn), определяющего анизотропную гладкость, предполагаются либо одновременно положительными, либо одновременно отрицательными, либо одновременно равными нулю.

Далее используются следующие обозначения:

х — ..., Xjij G R ,

Л - индекс, пробегающий множество натуральных чисел от 1 до щ

а — (cki, . .., ап) - мультииндекс, а\ G N;

И :=

яН

Da •=-•

0®?1... 0®«"'

\Е\ - мера Лебега множества Е G Rn;

а+ max{a,0}, a G R1;

[а] - наибольшее целое, непревосходящее а;

знак <С означает неравенство < с некоторой константой;

/ ~ д эквивалентно

^ и .Р-1 - прямое и обратное преобразования Фурье,

f'•=F(f).

5(КП) - пространство Шварца;

5'(КП) - двойственное к Б пространство обобщенных функций. При яд ф 0 число 5 определяется соотношением

1 _ 1 ^ 5 П д Яд

а при 5д = 0 в полагается равным 0. Число в называется усредненной гладкостью.

Вектор (а) := (а1,...,ап) с координатами ад в/вх при в ф 0 называется вектором анизотропии. При в = 0 все ад полагаются равными единице.

Введем также обозначения:

||ж||(0) = тах^д!1/^ - анизотропное расстояние;

М(а) = Ескдад - анизотропный порядок мультииндекса; Л

П[ := ||£||(а) < СЩ, 3 Е К;

Г1 := п2; Г; := П,-+1\П,-_Ь з> 2-

Пусть {сДО}?0 _ последовательность неотрицательных функций аз Е С°°(11те), з Е К, таких, что

эирро^ С Tj•,

< са для любых мультииндексов а, $ Е £ Е Н/1;

7 = 1

Обозначим Ц(х) :=

Определение 1.1 Анизотропное пространство Лизоркина-Трибе-ля 0 < р < оо, 0 < д < оо, - это (квази)банахово простран-

ство функций / Е 5"(КП), для которых конечна (квази)норма

= (1.1) 10

Случай р = оо требует несколько иного подхода, соответствующее определение приводится в диссертации.

Путем замены в (1.1) нормы Lp(lq) на норму lq(Lp), определяются пространства Бесова B$(Rn) := О < р, q < оо.

Система всплесков с компактными спектрами является безусловным базисом в пространствах Бесова и Лизоркина-Трибеля, если спектры функций системы образуют совокупность коридоров, близкую к {Tj}, фигурирующей в определении пространств. В изотропном случае это легко достигается за счет тензорных произведений всплесков Мейе-ра. Анизотропная ситуация была бы аналогична изотропной, если бы существовали системы всплесков одной переменной, получающиеся растяжением исходной функции в W раз, j G Z, для любого b > 1. В этом случае искомый безусловный базис получался бы путем тензорного перемножения систем всплесков, которые по переменной х\ имеют показатель растяжениями 2°А. Однако системы всплесков построены только для показателей растяжения b = h Е N, поэтому прихо-

дится строить безусловный всплесковый базис в анизотропных пространствах Бесова и Лизоркина-Трибеля, группируя в блоки всплески Мейера-Давида.

Пусть h - натуральное число, для которого < min2aA. Для

j = 2,3,... определим числа как наименьшие из целых чисел, удовлетворяющих неравенствам

log6 С + (j - l)aA log6 2 - log6 г < lf] + 1 < log6 С + jax log6 2 - logb r,

h + 1 2trh2

где b := —-—, r :=

И ' ' 1 + 2/*

Пусть далее > 2, - это множество пар (ш,е) п-мерных це-

лочисленных векторов т и п-мерных наборов знаков е = (ех,..., еп)] бд = 0,1; б ф 0; таких, что координата т\ принимает фиксированное значение т\ = + 1, если бд = 0, и пробегает все значения из множества {/^ + 1,..., ^+1}, если бд — 1. Пусть

Рассмотрим множества троек тг-мерных векторов:

М{*] := {(т,Л,е) : (т,е) € Л/^а), /с £ гл}, з € N5

7И(а) := 0 М{-

г (а)

Пусть - это при бд = 1 и при бд = 0, где фк(Ь) и </?/>(£)

- всплески Мейера-Давида (см. (3.4)). Рассмотрим всплески

где то, к е Z7г, А) := ^Л) если бд = 1; и := к\/1г, если бд = 0. Через ф(е\х) обозначим фоо(х). Множество

ф] } := {Фтк}(щ^^ем^

будем называть ^'-м блоком,

фИ := и ф«

7=1

Отметим, что

и вирр^^ С ^ иг^+1.

Эти множества образуют коридоры, которые могут с точностью до эквивалентности служить основой для определения пространств В^ и Спектры тензорных произведений, состоящих из �