Непрерывные действия абелевых групп и топологические свойства в Ср-теории тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ЖСКОЗСЬЙЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВИЕШИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗЕЛЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УШЩЕРСИТЕТ ИКНИ М.В.ЛОМОНОСОВА

л£ХАШ-5[0-ЖТ2У;А'Л!ЧЕ;СЙ1Й ЛАКУШТЕГ

На- правах рукописи

КОРОВИН Александр Владимирович

- УДК 515.12

КНП?ЕН£БНЫЕ ДЕЙСТВИЯ АШЕЗКХ ГРУПП И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА В С^ - ТЕОРИЙ

г

01.01.04 - геометрия и топология

АВТ-0РЕ5ЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени какдвдага физико-математических наук

у.сскна

Работа выполнена на кафедре общей топологии и геометрш мехашшо-ттематического факультета Московского государстве* ного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических на;;

профессор А.В.Архангелъский

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наз

профессор ГЛ.М.Чобаи

г

кандидат физико-математических наук, доцент М.Г.Ткаченко

Ведущая организация: механико-мате.маисческий факулътб

Тбилисского государственного университета

Защита Диссертации состоится в 16 час. 05 мин. на заседании специализированного Совета по математике при Московском государственном университете Сл.053.05.05) по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горь М1У, мехашшо-матешгаческиц факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией ыошо ознакомиться в библиотеке механике математического факультета МГУ,

Автореферат разослан

I .>и-

/ Ученый секретарь спещализж-рованного Совета );2, кандидат

физико-математических наук В.Н.Чубарико

OEÜAE XAPAi ..TËPMCTtlKA РАБОТЫ

Актуальность те.ин., 3 .лдосертации рассматриваются^' в основное., две rpyrrnîj вопросов: топологические свойства в Са - теории

г

!л ях приложения к теории топологических групп, в частности, к EienpeptDHiiM действиям групп.

Ср- теория, колодая область общей топологии, возникла на границе топологии и функционального анализа и в последнее время

■штенсивно развивается, i-toaîo считать, что свое начало Си- тео-

11 "

:ия берег в работе ЭЗердейна ', где рассматриваются компактные

тодмко^ества в банаховых пространствах со- слабой топологией, по-тучквше впоследствии название когшактов Зберлейна.

?

Тодъ-лоЁ вклад в изучение свойств контактов Зйерлейна и других компактных пространств, близких к ним по своим свойствам и юзшпсгах в Ср- теории, бнл сделан Гротендиком (Ccroikift-¿¿¿ck А), Корсоном (Се>Г$оиН.Ю, Алвгром (AmiiTID.), Линден-•тпаусом ( ùn\liMitr<SL.u!S J". ) , МеГжлои С MicMéui S.) , V.TiiB С RufUn К EL„\ Прейсом CPreU* » Симно*

V $ilm£>(<\ Р, ) , Гр.'онкаге C6rnte*ika<$t. G),'a тйхг.е советский «тематиками: А.13. Архангельским, ¿¡.О.Асановым, Н.З.Величко, МГ.Гулько, ЗЛМ'тасеевж, г.п.Еатурознм, В.В.Ткачукоа, В.В./с-еикскх:, Д.Г.;:к:с,.атов;г,.< Е.А.Репшгтснко к друттаи.

деобхо.ри;о вн. .ел::ть из /лно-хества результатов, с помощью котс-

:а 7с-\-:::аа;пша?э?ся основине сзойства компактов Зберлейна, за?леча-

21

е.чь'гд; теорзлу Iia.v2ioEn' . Эта теореха. устанавливает связи меэду

* Ькгг&м У/ U/eaiî tcMpajituw, ¿л ßanac/l I -

Prsc. Ai/ AW. îu. USA , 1S47, V. 33, p.51-53.

3 Г. AaWolm. Separate acixLiinuùiy Q^J. pù/d cmiimuiy - Pa.~

CifiC Xwn- 1274, V, 51, :?2, p. 515-531.

раздельной непрерывностью функции на тихоновском произведении компактов и совместной непрерывностью. Она указывает не тольк на зависимости между топологией поточечной сходимости и коша но открытой топологией, имеет приложения не только в Ср- теор в частности, при изучении свойств компактов Эберлейна, но сод жит также очень вачшые связи с классической теоремой Зштса^ теории топологических групп. Попытка использовать эти связи к ду Ср- теорией (свойства компактов Эберлейна') и теорией топо гических групп (теорема Эллиса^, содержащиеся в теореме Нами была предпринята в диссертации.

Полученные в этом направлении результаты, входящие в сфе теории топологических групп, имеют непосредственное лрклояени теории топологически однородных пространств и связаны со след иим общим вопросом, поставленным в работах А.В.Архангельского ссм.4) и 5Ь: .

Пусть - класс топологических групп. Когда на топологи сном пространстве X транзтшшно и непрерывно монет действова группа из класса У- ?

д'ожно, в частности, рассматривать класс ^ групп, наделе ных дискретной топологией.

Очень интересные результаты на эту тему получены ван Лау зном С Т)оиад"ел Ё. К.), Исмаилом (Ьшч! I.} , А.В.Архангел скд:.:, Б. В.Успенским, Д.Б.Моторозым и Е.А.Резниченко.

^ R,E¿£«s. UcccíÍÚj tchosucí {na^síoi^^cíúon йГвирз "Ùuhz М^Ь.ТёиГП , 1S57, V. 24, Л2, p.llS-123.

Архангельский A.B. Клеточные структура и однородность - -.,"ат. 3£:,:еткл, 1935, т.37, JÍ4, с.580-58-6.

^ Архангельский A.B. Топологическая одкороднссть. Топатсгпче Kiie группы и их непрерывные образы. - Успех;: уят.нзук, 153 т.42. с.69-105.

Другая груша результатов связана со следующим вопросом .Г.Пестова и М.Г.Ткаченко:

Для каких классов топологических групп С на пополнеет© по ниверсальной равномерной структуре пространства топологической руппы уи. Сг можга продолжить групповую операцию из таким 'бразом, чтобы превратить ^и Сг в топологическую группу ?

Непосредственно с этим связаны классическая работа Комфорта : Росса Ссм.6^), а такг.е работы- Е.В.Щепина ( см.7)>, М.Г.Ткаченко • В.В.Успенского

Последняя груша результатов диссертационной работы связана ю'следующей нерешенной, задачей А.В.Архангельского: у

охарактеризовать все тихоновские пространства X в терминах 'опологки самого пространства X , для которых пространство лпнделефово. ■

р I

В диссертации, в частности, описываются новые свойства про-¡транств X таких, что пространство Ср(Х) линделе$ово. На этой >снове. удается строить специфические классы пространств X та-сих, что число Линделефа пространства СрСХ) сколь угодно велико.

^ W- V/. СevH^arí, К.A. Ross. P$eud¿cci4p&eétuiS ^d uniform

СОП-iikuiLy icpcdcfcc&i groups. — Pacific TouVh. Httíh., 1366,v. 16, ;S3, p.483-496.

^ Щешга E.B. Топология предельных пространств несчетных

спектров. - Успехи мат.наук, 1976, т.31, А'З, с.17-27.

Pf-eisW И. CoutíbMity o-f ÍU (ИЛтег SC. - Ргос. А ШГ.

Soc., 1985-, V. 95", р. 312-5/4-

^ Успенский В.В. Топологические группы и компакты Дутундаси. -to. сборник, 1989, т.180, Jé8, с.1092-1118.

Цель •работы.

1. Распространить теорему ашшса (сди^) на класс счетно компактных пространств.

.2. Охарактеризовагь счетно компактные и псевдокодаактние пространства, на которых действуют транзитивно абелевы группы.

3. Доказать, что для любой R - факторизуемок в смысле М.Г.Ткаченко группы G на расширение Хьюдтта V G этой групп; продолжается групповая операция так, что J G превращается в г пологическую хрупну.

4. Установить связи между отделимостью пространства X и теснотой пространства X с одноь стороны и числом Лннделефа ю нества L- в пространстве Где (_ - подмножество прост] ства СР(Х) такое, что дом любого конечного под:.жо::;ества к-; любой его окрестности U найдется функция -f ^ ^ такал, что

{00-Ш и íCX-U) - Го} .

Методы исследования. В диссертации используются методы ( теории к теории топологических групп.

Наущая новизна работы заключается в следувщегд:

1. Теорема Здлкса распространена на класс счетно компакт} пространств. Определен класс пространств JY, включающий в с ее все счетно компактные пространства, на который распространяете теорема Еишиса в случае коммутативной групповой структуры. В с ределении класса JY и доказательстве соответствующих теорем бг использованы методы С р - теории.

2- Дня пространств X » лехаддх в классе j]í или в массе кально компактных пространств, получен критерий того, когда hí mosho определить транзитивное действие абелево£ группы.

3. Определен новый класс топологических групп, вклгчаг^й в себя все R - факторизуеже з смысле И.Г.Хкаченко топологиче «еле группы, на дасвгговское раез^реше которых продол-

1ть групповую операцию из Сг так, что С превращается з то-алогическую группу» ,

4. Установлены связи между отделимостью пространства X ' й еснотой прострэнства Х с одной стороны^ и числом Линделефа нсзейтва С з пространстве С>рСХ), где С - подмножество про-транстза СрОО такое, что для любого конечного множества . К с X и лхзбоа его окрестности I] найдется фикция С та-зя, что {^ОМ/ЫоЬ

Теоретическая и практическая'ценность. В диссертации описан ;етод, позволяющий прилагать-С« - теорию к теории топологлчес-

Г :

:их групп и теории топологотескй однородных пространств,- ^ • Апробация работы. Результаты,-содержащиеся в диссертации, »бсуждались и докладывались на Международной топологической конференции э г.Баку (1987 !•.),' на семинаре по оба^ей топологии кафедры ¿общей топологии и геометрии МГУ, а также на семинаре по »бщей топологии и топологической алгебре (руководительпрофес-¡ор А»В.Архангельский)^ "

Цубликаиии'. Основные результаты диссертации опубликованы в заботах, список которых представлен з конце автореферата.

Структура диссертация." Работа состоит из взедения, двух глав и списка цитированной литература. Объем диссертации - 56 страниц машинописного текста. Библиография содержит 27 названий :айот. ,

ССДЗРЖИЕ- РАБОТЫ • '

Во введении определяются задачи исследования, приводится краткое описание результатов и дается "исторический обзор, касающийся тематики работы, а также определяется основные понятая,

используемые во всех главах диссертации.

1 ( •

Все топологические пространства и топологические группы, рассматриваемые в диссертации, предполагаются тихоновскими. Компактами называются Хаусдорфовы бикомпактные лространст Для пространства Л через рт обозначается простран во конечных подмножеств пространства X в топологии Пиксли -Роя, базу которой образуют все множества вида I К ' 13 1 ~

= { А : РСХТ : Кс с 13 } , где К ^ Р[ X 3 , а и

крытое в X множество.

Пусть А - подмножество пространства X . Через [А 3 обозначается замыкание множества А в пространстве X . .

Через обозначаются число Линд(

лефа, плотность, экстент и теснота пространства X , а чере; ^ X и уЦ. X - расширение Стоуна - ,Чеха, пополнение I

Хьптту и пополнение по универсальной равномерной структуре прс сгранства X соответственно (сч.^ или . Для пары

(У; X) , где У - подмножество пространства,) А.В.Архангельским определен следующий кардинальный инвариант

ее У1Х)

, называемый числом Динделефа множества (подпрострг ства) У в пространстве X и равный (минимуму таких кардш лов Т . что из любого покрытая открытыми множествами простран ства X можно выделить подсемейство мощности, не .меньшей, чем • т. покрывающее множество У .

Вещественная прямая и единичный отрезок Г0'1 ] наделен ные естественной топологией, обозначаются через

Й- и I

Дискретное двоеточие обозначается череб

^ Энгелькинг Р. Общая топология. - М., Мир. 1986 г.

^ Архангельский A.B. Типологические пространства функций. -М., МГУ, 1969 г.

Для любых пространств X ж У через ССХ;У) обозначается множество непрерывных отображений пространства - X в пространство У , а пространство непрерывных отображений, из X в У в топологии поточечной сходимости Ссм.-^ > обозначается четзез Ср(X;У) . Вместо будем пи-

сать ССХ) CJX) соответственно.

Говорят, что отображение F:X*y— Z , отображающее тихоновское произведение пространств X и: У в пространство г * раздельно непрерывно в точке <Х; у) £ X* У , если отображе- . . ния Ff»; У): X—>Z FcX;J) а ГсХ;ОгУ—<"2 ■

F<X;y) непрерывны в точках Л и у соответственно. Отображение, раздельно непрерывное в кадцон точке пространства X* У » называют раздельно непрерывным. Отображение F называют совместно непрерывны?.», (в точке <Х;у) <? X* У ) , если оно непрерывно <в точке CX;y)G X * У) относительно топологий тихоновского произведения пространств Xх У и пространства J? .

Через СО обозначается первый бесконечный кардинал.

Для множества А и кардинала т через

Г АГТ

обозначается систе:ла всех подмножеств 6> множества /А таких, что мощность ß не превосходит Т , а модность, шояества/4 обозначается через

\А\.

Пусть X - пространство, а С — группа. Отображений cb G к * X -*Х будем называть действием грушш С на пространстве X , если d. - действие группы С на множестве X , и. для любого элемента g <~ G отображение et С д; •) X —> X; X t—-> с( Сд; X) является автогомеолгарфизмом пространства X • Действие d называет транзитивным, если для некоторой (следовательно, и любой") точки Х£

Дга любой грушш С через KTL CG) ' Cr * С —* G •

- и : G —■» G : g g-1

обозначаются отображения умножения и инверсии, а для любого эле мента g е Gr через : С- —'* С к >—* • к и ^ • G- G ^ ^ "3 ~ левый и правый сдвиги на

элемент g соответственно.

Пара (X; О , где. Л - пространство, а • - групповая структура на X называется;

ИТ.. - топологической группой, . если умножение 9?7 С X '> О раздельно непрерывно,

полутопологической группой, если - ¥Yl - тополо-

гическая группа, и инверсия /а;.) непрерывна,

паратопологической группой, если умножение тех совместно непрерывно, .

топологической группой, если

(X; О и лолутопологическя

TîA

и паратопологическая группа одновременно (см. ^. Глава I состоит из пяти параграфов.

В § IЛ- вводится новый класс пространств JV , для которого доказываются теорема I, следствие I, теорема 3, след -ствие 2, основные результаты главы I. Через

JT: обозначается класс таких пространств А , для которых выполняется следующее условие: для любого У г непрерыв^ ного образа пространства X , лежащего в пространстве Ср (Х\ замыкание

У в (X) является компактом. Кроме того, в § I.I- определяются известные в {Г^-теории классы пространств. В предложении I указываются связи меяду эти классами пространств и классом JV, что характеризует сферу пр> меиения основных теорем главы I.

Через (3 обозначается класс счетно компактных престрачст]

l<¿\ Бурбакя Н.Обцая тодолсгаяЛсп алогические группы «ела я сея: ныв с нами группы л пространства, » "Наука*", 1?о9, ¿92 с, (Б кн. "Здеиенты иахеиатшш" dps редакцией

Через обозначается класс счетно пракомпактных про-

странств, то есть пространств X таких, что найдется плотное в X счетно компактное подпространство,

Через ^Р обозначается класс псевдокомпактных пространств.

Через ^ обозначается класс псевдокодаактных сепарабельных пространств.

Через ^ обозначается класс псевдокомпактных пространств счетной шнитесноты. Говорят, что минитеснота пространства X счетна, если любая вещественная функция £ , определенная на А , непрерывна, если для любого шокества

А * [XI ■

найдется непрерывная на X 'функция ^ , совпадающая с р на множестве/4 (см.*^ ) .

Через ^ обозначается класс, тех псевдокомпактных пространств X , для которых верно следующее условие: для любого псев- • дококпактного подпространства У пространства Ср (X) замыкание У в СрСХ) является компактом.

Зерез ^сз обозначается к.ласс таких пространств X , что счетная тихоновская степень X псевдоко;<шактна.

Все утверждения, содержащиеся в предложении 1 за исключе-аке..1 утверждения д>, ;.ю:хно наСти в ^, ^ и утвер-эденпе д) является следствием примера 3 диссертации.

^ Архангельский A.B. Пространства функций в топологии поточечной сходимости ж компакты. - Успехи :.'лт.наук, 1984, т.39, Ä5, с.11-44.

Архангельска: A.B. Пространства функций в топология поточечной сходхыости. Чг.стъ 1. - Общая топология. Пространства функций и размерность. И., Л7,-1985.

Архангельский A.B., Ткачук В.В. Пространства функций и топологические гнзарганты. - :ЛУ, 1S85 г.

Предложение 1. а) С* & ; б) Фя & ;

в) Г> ; е") <Р .

Следующие утверждения используются в доказательствах теорем главы 1:

Предложение 2* Пусть - действие группы Сг на

пространстве X , а на 0 задана такая топология, относительно которой все правые сдвиги группы О непрерывны. Пусть Х~~У - отображение пространства Л в пространство

композиция отображений ¡1 и £ . Тогда если существует элемент <3„ £ С такой, что отображение совместно непрерывно в любом точке множества {дв}*Х, то отображение Г)р непрерывно отображает тихоновское произведение С* X в пространство У .

Предложение 3. (см.^, предложение 3.4). Пусть 2 - компакт Ьберлейна., .У - псевдокомгактное подпространство пространства £ . Тогда У является замкнутым подпространством пространства Z . Предложение 4. Пусть а :

- транзитивное действие абелевой. группы С на пространстве К . Тогда для кахдой точки К существуют:

абелева групповая структура + на К такая, что - нейтральный элемент группы и С К+) - Иг - топологическая группа, а также С —С К; •+■) - апклорфизи группы С- на грушу

(без топологии на

К).

Основные результаты, содержащиеся-в §1.2 , теоремы 1 и 2, имеют много общего в своих формулировках и доказательствах.

Теорема 1. Пусть с(: 0 * X X - транзитивное действие группы С на пространстве X , на С задана топология, относительно которой непрерывны все правые сдвиги группы

Тогдг

если отображение с1 раздельно непрерывно, то (I является совместно непрерывным отображением.

Теорема 2. Пусть ({Т*С*Х —X - действие группы С на пространстве1 X . Пусть X ^ & , на Сг задана топология, относительно которой все правые сдвиги группы Ос непрерывный и С е . Тогда "если отображение с1 раздельно непрерывно, то является совместно непрерывным отображением.

Теорема I имеет важное следствие, связанное о упоминавшейся выше теоремой Эллиса (см.3*; 2,):

Следствие I. Пусть -( X•) - т - топологическая группа. Тогда если , то а,--у - паратопологичеокая группа» если X? 1Г и (X)') - полутопологичеекая группа»,то СХ|') является топологической группой.

Для доказательства следствия I достаточно рассмотреть умножение

как действие группы на оабв левыми

сдвигами в применить теорему I» '

В §1.3 показывается, что в абелевом случае теорему Эллиса можно распространить на класс «/Г, а также в абелевом случае дается положительный ответ на следуюдай вопрос Уолдеоа

^асхЛ.О.):

любая ли очетно компактная паратопологичеокая группа является топологической группой? - ' Теорема 3, Цусть

(X;-)

- абелев| т - топологическая

. Тогда

СХ;.) - топологическая группа.

группа, и Тогда V. Л , / - топологическая группа.

•I-

Используя теорему 3, теорему Эллиса а предложение 4 становится возможным'получить содержательные следствия для теории топологически однородных пространств. $

Следствие 2. Цусть X - локально компактное |

пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

а) существует транажтианое действие бЬ С*Х—некоторой абелевой группы С на пространстве X

б) пространство X является пространством некоторой абеле-вой топологической группы.

Из следствия 2 и .теоремы Н.Я.Виленкина (см.15^), утверждающей, что пространство абелевой компактной группы является даади-ческим компактом, непосредственно вытекает

Следствие 3. На недиадаческом компакте не может действовать транзитивно никакая абелева группа.

Следствие 3 дает много примеров топологически однородных * компактов, на которых не действует транзитивно никакая абелева

■I

группа, один из таких компактов описан в следующем примере:

Пример 1. Компакт "две стрелки" П.С.Александрова и П.С.Уры-сона (см.1-0)).

В силу следствия 2 на топологически однородном пространстве, приведенном в примере 2, не может действовать транзитивно никакая абелева группа.

Пример 2. "Длинная прямая" Л.С.Александрова (см.^).

В §1.4 показывается, что, в отличие от класса 1/К*, класс богат пространствами, на которых действуют транзитивно абелевы группы. Это видно из теоремы 4, формулировкой и доказательством которой начинается §1.4.

Теорема 4. Пусть Х€ » и Т - такой кардинал, что¥и=Т , и 1X1 Тогда для любой группы О такой, что, най-

дутся пространство , ({'• G1^ У—" У - транзитивное

действие группы С на пространстве У и ^р ■ У —» X - непрерывное отображение У на пространство X .

Виленкин Н.Я. О дкадичности группового пространства биком-' пактных коммутативных групп. - Успехи глат.наук, 1958, т. 13, йб, с.79-80.

Келли Дя.Я. Общая топология. - .Д., Наука, 1981.

Следствие 4. Дня каждого пространства Х^ существуют У6' , 0- ~ абатева группа, (I: С-У—* У - транзитивное действие группы 6- на пространстве У такие, что X является непрерывным образом пространства У .

Используя следствие 4 и теорему 2, легко построить следующий пример:

Пример 3. Существует пространство -У такое, что и на У действует транзлтивно некоторая абелева группа.

Из примера 3 непосредственно следует утверждение д) предложения 1.

§ 1.5. начинается с обобщения понятия - фавторизуемости.

б Понятие - факторизуемости введено ¡Л.Г.Ткаченко, впрочем,

свойства типа 1\ - факторлзуеиости рассматривались раньте, нагл

пример Е.В.Шепиннм в ').

Пусть 'УС - класс топологических групп. Топологическая группа 0- называется ЭчГ- факторизуемоа, если для любой функции {' С С С С) найдутся Н <? У~С; <? С СН) и £-»/-/ - непрерывны!: эпиморфизм на топологическую группу /-/ такие, что

л

Пусть Л( - класс топологических групп со счетной базой. Тогда - факторкзуемость совпадает с К - факторизуемостыо.

Через обозначается класс всех топологических групп ¿г такях, что на О С существует групповая структура , относительно которой пара *) является топологической группой, е естественное влогенпе

начнется топологическим изоморфизмом топологической группы С на своп образ.

Сснозное утверждение § 1.5., теорема 5, располагается в начале : 1.5.

Тесгемс с. Пусть Сх ~ Ц*" - факторизуемая группа. Тогда П - 1 С-

иг-^ и , теэгемы о легко вытекает

Следствие 5. Пусть Cr - R, - факторизуеыая груша.

Тогда

Глава 2 диссертации состоит из двух параграфов и связана с изучением кардинальных инвариантов типа числа Линделефа.

§ 2.1. начинается с обобщения теореш М.О.Асанова сем. ), утверздаыдей» что для любого пространства X выполняется следующее:

Теореш 6. Пусть X - пространство, С - подмножество пространства СрОО - такое, что для любых непересекающихся замкнутого в пространстве Л множества /л и конечного множества

К сХ

найдется функция т ^ такая, что

fCA) - {о] , a fCK)-UK

Тогда ддя любого числа (liW ,

Завершает § 2.1. группа результатов, являющихся усилениями более ранних результатов автора (см.^Ъ.

Теорема 7. Цуетъ У - подпространство пространства X , С -подпространство пространства С„СХ), Т - кардинал, и

eccic^cx))'^.

Тогда если для любой непрерывной на У функции £ и любого множества 'А € СУ] ^ найдется функция д<? такая, чтоХ, {"!Д ~ f IД , то подпространство У С-вложено в пространство^.

Следствие 6. Пусть У - подпространство пространства X , С - подпространство пространства Ср ГХ) , Т - кардинал, и

Тогда если любое множество

АЛУГС-

вложено в пространство X , то множество У такн-.е С - вло:?.ено в пространство X •

Следствие 7. Пусть X - пространство, t - кардинал и С -подпространство пространства СрОС) такое, что и дан любых множеств Ае LX1~X и ве СХ1~ таких,

- 15 -

что , найдется функция f € С такая,

что f ГА) = {о} , а f С 6>) - { I) . Тогда выполняются следующие условия:

а) пространство X нормально

б) если, дополнительно, С = СрСХ) , а Т , то пространство X коллективно нормально.

Следствие 8. Пусть X ~ сильно счетно компактное пространство, и — 6J . Тогда пространство X коллективно нормально.

Пространство называется сильно счетно когтактнда (вполне ограниченным), если замыкание любого его счетного подмножества является компактом.

Первым основным результатом § 2.2. является

Пример 4. Пусть L* - плоскость Невдцкого. Тогда

еССрСЛ;1))=еССрШ)=2.° .

Вторым основным результатом § 3.2. является следующее утверждение:

Теорема 8. Цусть СХ; <) - бесконечный линейно упорядоченный коотакт.

тогда еССpCPCX]jD))= е ССр (PCXШХ1

Автор выраяает глубокую признательность своему научно:лу руководителю, профессору Александру Владигшровичу Архангельском за лодцеряку и по.мозць в работе.

Основные результаты диссертация опубликованы в работах:

1. Коровин A.B. Простые свойства пространств с линделефо-вым сс. - Бакинская международная топологическая конференция. Тезисы, Баку, 1S87, ч.П, с.154.

2. Коровин A.B. О распространении групповой операции на расширение Хьвитта топологической группы. - PFTü, г.Рязань; 4с., Леп.3 КП5ГГЙ З.С7.90, .'С3735-В 90.

3. Коровин A.B. Непрерывные действия лсевдокомпахтных груш и аксиомы топологической группы. - РРТИ, г.Рязань, 23 е., Деп.

в ВИНИТИ 3.07.90, JS3734-B 90.

4. Коровин A.B. О числе Линделефа пространств ЕРТИ, г.Рязань, 11 е., Деп.в ВИНИТИ 3.07.90, JS3733-B 90.